Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005 _ T1 Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides Ph. Ackerer,

T1

Journée GDR MoMas Méthodes Numériques pour les Fluides – 19/12/2005

_

Quelques variantes de la formulation éléments finis mixtes hybrides

Ph. Ackerer, A. Younes

[email protected]

Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg

La méthode des EFMH

Réduction du nombre d’inconnues

Condensation de masse

T2


_

Résolution de l’EDP (conservation de la masse, loi de Darcy, CI & CL)

0D

D

NN

Pc .q f sur 0,Tt

q a P sur 0,T

P P sur

P P sur 0,T

q. q sur 0,T

��

q��P

f

a

c

: charge [L]

: vitesse de Darcy [L/T] : terme puits/source [1/T]

: conductivité hydraulique [L/T]

: coefficient d’emmagasinement [1/L]

: vecteur unitaire normal��

T3


_

Résolution avec les EFMH

la valeur moyenne de P sur AAP

la valeur moyenne de P suriATP

l’approximation de sur A A Aq X��

q a P ��

l’espace RT0AX��

3

1

A Ai iA

iq Q

��

1 1 2 32

AiA

i Ai

x x, i , ,

A y y

��

Pour les triangles, une base de est AX��

Valeur de P et du gradient

Valeur de PA

(xi,yi)

Ak

��Aj

��

Ai

��AkQ

��

AjQ

��

AiQ

��(xj,yj)

jAkA

iA (xk,yk)

T4


_

1) L’écriture variationnelle de la loi de Darcy ( )q a P ��

3

1

A A A A A A A A Ai j i j i iA

jA A A

q Q a P a P TP

��

A Aij i j

A

B . ��

31

1

A A Ai ij j

jQ a B P TP

qui s’écrit

11 1 1

1 1 1 1 13 1 1 1

ijjk jk jk ki jk

ijjk ki ki ki ki

ij ij ij ijjk ki

r r r r r rB r r r r r r

A r r r r r r

B-1 est une matrice élémentaire définie positive

13

13 12

48

ij

ij ik jk

jB

A

(xi,yi)

Ak

��Aj

��

Ai

��AkQ

��

AjQ

��

AiQ

��(xj,yj)

jAkA

iA (xk,yk)

T5


_

2) Discrétisation implicite de l’équation de conservation de la masse

31 1

1

A,n A,n A,n Asj A

j

c AP P Q A f Q

t

3) Hybridation3

1 1

1

AA,n A,n A,n s

i ii

QaP TP P

3 31 1 1 1

1 1

AsA,n A,n A,n A,ni i i

i j j ij jj j

a QQ a TP B TP P

Continuité des Pressions et des flux entre deux éléments A et B

1 1 0A,n B,ni iQ Q

A Bi iTP TP

(xi,yi)

Ak

��Aj

��

Ai

��AkQ

��

AjQ

��

AiQ

��(xj,yj)

jAkA

iA (xk,yk)

T6


_

3 1

1ij

A A A Ai j

j

Q B P TP

11 2 3

1

3A A A A A A An

AP TP TP TP F S P

S

Trouver une nouvelle variable H (par élément) tq :

A A A A A Ai i i i iQ ( H TP )

1 1 2 2 3 3A A A A A A AH TP TP TP

Les coefficients sont obtenus par identification Remarque : Le système précèdent n’est pas linéairement indépendant.Un coefficient est à définir a priori.

Nouvelle formulation

Formulation standard

T7


_

(xi,yi)

Ak

��Aj

��

Ai

��AkQ

��

AjQ

��

AiQ

��(xj,yj)

jAkA

iA (xk,yk)

B

AD

C0A B

k k'Q Q

A Bk k'TP TP

Continuité des flux et charges

A A A CA A A A A B A Dj j j jA A B C Di i k k i i k k

AB AC AD AB AC AD

A B A C A DA A A

i j kAB AC AD

H H H Hb b b b b b

b b b

Forme discrétisée complète

A A A A A Ai i i i iQ ( H TP )

1 1 2 2 3 3A A A A A A AH TP TP TP

Nouvelle formulation

T8


_

A A A CA A A A A B A Dj j j jA A B C Di i k k i i k k

AB AC AD AB AC AD

A B A C A DA A A

i j kAB AC AD

H H H Hb b b b b b

b b b

Le cas elliptique (avec ou sans termes puits source)

iA

iB

AB

iB

iA

BA

iA

iB

iA

iBb b

AAi A

i

2a

cot g

avec

La matrice est symétrique. Elle est définie positive si

B A C A D Ai i j j k k

B A D AC A

2 2 20

cot g cot g cot g cot g cot g cot ga a a aa a

Dans le cas du problème elliptique sans terme puits source, H peut être interprété comme la charge au centre du cercle circonscrit.

T9


_

Le cas parabolique (avec ou sans termes puits source)

Dans le cas de triangles équilatéraux, la matrice est définie positive. Elle peut être rendue symétrique avec un choix adéquat du coefficient choisi a priori (un coef. par élément).

La matrice est généralement non symétrique et non définie positive.

T10


_

(b0) (a0) Dirichlet type boundary

Xk

2 5

0.2 3

1 2

0.02 5

0.01 3 4

0

0

A A Ax xy XA

A A Axy y Y

k k cos sin cos sink

k k sin cos sin cosk

K

T11


_

T12


_

Propriétés des EFMH

La charge et la vitesse sont approchées simultanément P q��

La masse est conservée localement

Continuité des flux et des charges sur les facettes de chaque maille

Résolution en traces de charge : matrice symétrique définie positive

nf nf

La matrice obtenue n’est en général pas une M-matrice

La propriété de M-matrice garantie le principe du maximum discret : Dans un domaine sans terme puits/source, il ne peut y avoir de maximum ou de minimum local dans la solution en P obtenue.

T13


_

(xk,yk)

(xi,yi)

(xj,yj)

jAkA

iA

k

A Bii ii iim m m

2

1 1 03

3

r rA jki

ji

km a aA

a

Le terme sur la diagonale

21 123 33

r rij

k kik

j am cotaA

Le terme hors diagonale

c At

Matrice des EFMH

T14


_

0iim

0

60

0

0

0 40 89

40 89 90

90

k

C

k

k

k

tanij

ij

ij

&

.

. t t

si

si

m

sm i

m

Régime transitoire ( )

618C

ktgc A

at

0 ?ijm &

Régime permanent ( )0 0

0 90

90

k

kij

ij si

m

m

si

i

j

jAkA

iA

k

Pour une triangulation à angles aigus, les EFMH donnent une M-matrice

Dans le cas du régime permanent

Dans le cas du régime transitoire si Ct t

T15


_

2. Dans le cas du régime permanent, le système en TP obtenu en écrivant la continuité des flux avec les EFMH est le même qu’avec les

La pression et la vitesse peuvent être approchés en deux étapes :

P est approchée via la méthode des éléments finis non conformes .

Ensuite, la vitesse est approchée dans chaque éléments via l’espace RT0

1,0ncP

Remarques

1. L’utilisation d’une approximation permet de diagonaliser la matrice élémentaire B et abouti ainsi à une procédure de condensation de masse (triangle ou rectangle).

T16


_

Continuité des charges et des flux entre deux éléments A et B A Bi iTP TP

03 3 3 3

A BA B A Bi ii i i i B BA A

A A B BTP TPQ Q Q f c Q f c

t t

La méthode EFMH avec condensation de masse Sur l’élément A l’espace RT0A Aq X

��

3

1

A Ai iA

iq Q

��

Le flux sur chaque facette Ai est donné par

3 3AA iii A

A A TPQ Q f c

t

AiQ correspond au cas stationnaire sans terme puits/source :

3 3 31 1

1 1 1

i jij j ij j ij j

j j

Ai

jQ a TP a B TP a B TP

(xi,yi)

Ak

��Aj

��

Ai

��AkQ

��

AjQ

��

AiQ

��(xj,yj)

jAkA

iA (xk,yk)

T17


_

Matrice des EFMHC

Le terme sur la diagonale

A Bii ii iim m m 2

3Ajk jkA i

ii

c Ar rm a

tA

(xk,yk)

(xi,yi)

(xj,yj)

jAkA

iA

k

Régime permanent (c = 0)

0

02

2

k

kij

ij si

m si

m

Régime transitoire

0

02

2

k

kij

ij si

m si

m

Le terme hors diagonale

2Aij km a cot

1233

ij km cota c A

t

(EFMH)

T18


_

Expériences numériques

1D

2D

N

Pq c 0 in 0,Ttq a P in 0,T

P( x,0 ) 0 in

P 1 on 0,T

P 0 on 0,T

q. 0 on 0,T

��

��

N 0

N 0

D 1D 0

Domaine et CL

Solution analytique

2

3 21 2 1 2 1 2 1 2

0

4 4

16 4 4 4

tx y y xP x,y,t erf erf exp da a a a

0 005t T .

1c1a

T19


_

t 0.001 0.5

Pmin Erreur Pmin Erreur

Mesh a

EFMH -0.49 3.10-3 0.00 1.10-2

EFMH_C 0.00 5.10-5 0.00 1.10-2

Mesh b

EFMH -0.16 5.10-4 0.00 1.10-2

EFMH_C 0.00 1.10-4 0.00 1.10-2

Mesh c

EFMH -0.26 5.10-3 -7.10-3 9.10-3

EFMH_C -9.10-4 9.10-5 0.00 8.10-3

Mesh d

EFMH -0.27 5.10-3 0.00 9.10-3

EFMH_C -1.10-3 1.10-4 0.00 8.10-3

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Pre

sure

Distance (m)

analyt EFMH EFMH_C

Résultats

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

a

b

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

c

d

T20


_

Pressure (cm)

-1000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0

Dep

h (c

m)

02468

1012141618202224262830

Solution de PhilipMHFEMFDL_MHFEM

Pressure (cm)

-1000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0

Dep

h (c

m)

02468

1012141618202224262830

analytical solutionMHFEMFDL_MHFEM

Uns

at. p

orou

s m

edia

Output h=-1000 cm

Input h=-75 cm

0h KK ht z z z

Ecoulement en milieux non saturés

T21


_

Conclusion : La formulation à une inconnue 1. Nous avons construit une formulation pour la MEFM appliquée aux

triangles.Le nombre d’inconnues avec cette formulation est le nombre total d’élément pour le problème elliptique et parabolique pour une triangulation quelconque.

2. Pour le problème elliptique avec termes puits source (la plupart des cas étudiés), on obtient une matrice symétrique qui peut être définie positive. Dans ce cas, la nouvelle formulation est très attractive en terme de temps CPU.

3. Pour le problème parabolique, la matrice est, en général, non symétrique et non définie positive.

4. La méthode peut être étendue aux tétraèdres réguliers.

T22


_

4. Les EFMHC sont simples à implémenter dans les codes basés sur les EFMH .

1. Les EFMHC donnent toujours une matrice symétrique définie positive (solvers itératifs).

2. Les EFMHC donnent une M-matrice uniquement dans le cas d’une triangulation à angles aigus.

3. Les EFMHC peuvent être utilisés dans le cas où la conductivité est un tenseur plein.

Conclusion : Les EFMHC

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