La modélisation des interactions spatiales

Hélène MathianCNRS, UMR Géographie-cités

13 rue du four, 75006 Parismathian@parisgeo.cnrs.fr

Interaction spatialeInteraction spatiale«Action réciproque entre deux ou plusieurs lieux ou unités géographiques (quartiers, bourgs, villes régions…) »

« L’interaction spatiale est au cœur de l’évolution des systèmes étudiés par la géographie »

Des individus au territoireDes individus au territoireLes comportements individuels sont générateurs d’interactions et l’agrégationde comportements individuels permet d’établir le comportement moyen d’unités géographiques et mesurer l’intensité de l’interaction spatiale entre un couple de lieux.

Les modèles d’interactions spatiales.Les modèles d’interactions spatiales.

0

100010010

Capacités des lieux à générer ou attirer

des flux

échanges

Hypothèse 1.Les échanges entre deux lieux sont proportionnels à leurs capacités d'émission et de réception

km

km

Distance

Hypothèse 2.L'importance des échanges entre deux lieux diminue lorsque la distance augmente

Hypothèse 3.

Deux lieux appartenant à une même entité territoriale ont des flux plus importants quedeux lieux séparés par une frontière Frontière

Le modèle Le modèle gravitairegravitaire::hypothèses et formulationhypothèses et formulation

L’intensité des interactions entre 2 lieux i et j (Iij) est fonction :

-de l’émissivité de i (Pi ) , -de l’attractivité de j (Pj)-Cette intensité diminue avec la distance (dij)

Dans sa forme la plus simple le modèle gravitaire s’écrit: Iij=kPiPj/dij

2

L’analogie L’analogie gravitairegravitaire• Économique (Zipf): L’effet de la distance correspond à

l’ajustement entre offre et demande dû au coût de déplacement. (Les acteurs obéissent au principe du moindre effort.)

• Sociologique (Stouffer): Plus la distance augmente, plus le nombre d’occasions interposées est élevé.

• Psychologique (Hagerstrand): La décroissance des interactions (au niveau individuel) est liée à l’ignorance des migrants sur les lieux de destination éloignés.

Du modèle Du modèle gravitairegravitaire…aux aires d’influence…aux aires d’influence

Du modèle gravitaire on peut déduire un modèle d’attraction commerciale à partir de 4 hypothèses principales (Reilly, 1929):

1- Les consommateurs fréquentent l’établissement le plus proche.

2- Leur demande faiblit au fur et à mesure que l’on s’éloigne du centre (coût de transport)

Du modèle Du modèle gravitairegravitaire…aux aires d’influence…aux aires d’influence3- L’attraction (Aij) d’un centre i sur un

consommateur j est proportionnelle à son importance (Pi)

4- Cette attraction est inversementproportionnelle au carré de la distance (dij) qui le sépare du consommateur j.

Dans sa forme la plus simple la loi de Reillys’écrit:

Aij= Pi /dij2

La délimitation des aires de La délimitation des aires de marchémarché

La loi de Reilly permet de - décrire la forme générale de l’aire

d’attraction autour d’un centre - Calculer comment une clientèle

donnée peut se répartir entre plusieurs centres d’inégales importances.

Les utilisations du modèle de Les utilisations du modèle de ReillyReilly- Géomarketing: implantation d’établissement,

analyse de la clientèle potentielle- Aménagement du territoire: implantation de

services publics dont la fréquentation est soit libre (bureau de poste, dispensaires…) soit imposée (carte scolaire, carte hospitalière..)

Chaque application donne lieu à des transformations pour l’adapter aux variations possibles des répartitions (population, revenus, comportements, catégorie de clients, accessibilité…)

Un exempleUn exemple• Choix de localisation d’un supermarché: Quelle

est l’implantation la plus avantageuse à partir de deux possibilités de localisation A et B :

40 km

30 km

20 km

+ B

10 km

40 km

30 km

20 km

+ A

: 1 000 habitants

Etude de la distribution des opportunitEtude de la distribution des opportunitéés s de relation en fonction de la distance:de relation en fonction de la distance:

A 40km la localisation B bénéficie d’une clientèle nettement plus élevée.

A 20 km c’est avantage est à la localisation A.0

6 000

12 000

18 000

0 10 20 30 40

Distance en km

Popu

latio

n cu

mul

ée

B

A

Les paramètres du modèleLes paramètres du modèle• L’attractivité (Pi): relatif à la question posée

Nombres d’emplois, nombres de commerces, population totale…

• L’éloignement(dij): mesure d’un coût de déplacement. L’interaction n’est pas forcément de dimension spatiale mais sa réalisation l’est.Distance à vol d’oiseau, sur un réseau, temps de parcours….

• La forme de la décroissance de l’intensité de l’attractivité avec la distanceDépend du mode de transport, du type de bien proposé….

GénéralisationGénéralisationIntensité del'influence ou attraction

Distance

2015105

0 105 20

)(),(

ij

i

dfMjiA =

• A(i,j) est une mesure théorique de l’influence du lieu i sur le lieu j.

• Mi est le poids associé au lieu i• Dij est une mesure de l’éloignement entre i et j

Les différentes fonctions de la distance

0 20 km10d

f(dij)= 0,5

1

0 40 km 302010dij

f(dij) = 0,5

1

Fonction rectangulairefα(dij) = 1 si dij < αfα(dij) = 0 si dij > α

f(dij)= 0,5

1

0 410 20 30 0 kmdij

Fonction exponentielle modifiéefα,β(dij) = exp (-α.dij

β)

Fonction paretienne modifiéefα,β(dij) = (1+α.dij)-β

•Les paramètres des fonctions sont α et β. •Le plus souvent l’exposant est β =2. •Le paramètre α est lié à la portée du phénomène. •On définit ici la portée (R)comme étant la distance à laquelle l’attraction initiale a perdu 50% de sa valeur. f(R)=0.5

Exemple de délimitation théorique de zones d’influence

A B

Point d'équilibre

Intensité del'influence ou attraction

Distance

Le point d’équilibre: applicationLes habitants de Arras sont ils davantage attirés par Paris à 150 km (10 millions d’habitants) que par Lille à 50 km (1 million d’habitants) ?

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 50 100 150 200 250

Paris Lille

Intensité de l'attraction

Km

distance attraction distance attraction1 10000000 200 25

50 4000 150 44100 1000 100 100150 444 50 400152 433 48 434175 327 25 1600200 250 1 1000000

pop en hab. pop en hab.Paris 10000000 Lille 1000000

Aires d’attraction: validation ou confrontation ?

Aires d'attractions observées pour la fréquentation des services de base(inventaire communal, ville de plus de 10 000 habitants la plus fréquentée)

Limite théorique entre les zones d'attractions des 3 villes

Bourg-en-Bresse

Mâcon

Villefranche-sur-Saône

10 km

Les simulations de différentes organisations spatiales

Au paramètre α est associé la portée du phénomène, Selon les valeurs choisies, on simule des champs d’influence de portées variables.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 20 40 60 80

F(0.01)F(0.1))1(

1)( 2ij

ijd

dfα+

=

L’émergence des pôles ou têtes de réseaux

A B

Intensité del'influence ou attraction

Distance A B

Intensité del'influence ou attraction

Distance

B n'est pas "sous l'influence de" A.A et B sont "pôles"

B est "sous l'influence de" A.A est "tête de réseau", B constitue ce réseau

Différentes situations

Distance

Tête de réseau ou pôle

Lieu sous "contrôle"d'un pôle

L’algorithme• On cherche pour toutes les unités j, l’unité i0 telle que

F(i0,j)=maxi F(i,j)

Si i0=j alors j est pôle

Sinon j est « dans le réseau de i0 »

Une application:la modélisation des réseaux

d’habitats

Hélène Mathian, Lena SandersFrançois Favory, Claude Raynaud

Les établissements

Les descripteursClasses de descripteurs Descripteurs TECHNIQUES ET FONCTIONNELS

- Matériaux de construction - Mobilier - Activité - Fonction - Superficie

CHRONOLOGIQUES - Date d'implantation - Durée d'occupation - Occupation antérieure et legs - Statut au XVIIIe (carte de Cassini) - Statut actuel

SITOLOGIQUES - Topographie - Sol - Altitude

SITUATIONNELS - Distance à la voirie - Nombre de chemins menant au site - Nombre de liaisons avec les établissements contemporains

- Distance au plus proche voisin - Intensité d’occupation dans le voisinage

Une analyse spatio-temporelle ?

S u p e

r f i c i

e M

a t e r

i a u XIè Siècle

Bizac_1

Moulines IIIè Siècle ap.

IIè Siècle ap.

Ier Siècle ap.

Temps

Descripteur X

Ambrussum

Moulines

Bizac_1

Ambrussum 7 4

S u p e

r f i c i e

M a t

e r i a

u ...

...

Ier Siècle av. ...

Temps

Am

Bi

Pa

Am

Bi

Pa

Am

Bi

Pa

Mo

...

Durée de vie de Moulines

(A') (A)

E t a b

.

E t a b

.

Ambrussum -300 230 7 4

Moulines 350 1300 0.8 4

Bizac_1 50 1995 1.5 4

Pautier_1 50 500 0.1 2

D a t e

d e c r

é a t i o

n D

a t e d e

d i s p a

r i t i o

n S u

p e r f i

c i e

M a t

e r i a

u ...

...

Temps

Descripteur X

Ambrussum

Moulines

Bizac_1

Pautier_1

Durée de vie de Moulines

E t a b

l i s s e

m e n

t s

(B) (B')

Evolution dans le temps

L’enchaînement des étapes. t

- Sélection des descripteurs les plus discriminants par rapport à la durabilité, - mise en évidence de la dimension temporelle

Base de données archéologique

Hiérarchisation des

habitats

t

Modélisation théoriquedes réseaux d'habitats

t

écarts et ressemblances

Typologie desétablissements(AFC, CAH)

t

Retouchesdu modèle

La hiérarchisation des établissements

1ère coordonnée factorielle

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 10 100Rang

Réseaux théoriques et réseaux empiriques

leRh

™ny

Vert

leRh

™ny

le R

h™ny

R.de Sinsans

le R

h™nyR

au

Rau de Sinsans

deCalvisson

Rau NAGES NAGES

CLARENSAC CLARENSAC

BIZACBIZAC

SINSANSSINSANS

MAURESSIPMAURESSIP

PLAISANCEPLAISANCE

I

II

III

IV

V

V

VI

VII

VIIIVIII

0 - 50 m

reseau empirique

numéro du réseau empirique

réseau théorique

50 - 100 m100 - 150 m> 150 m

cours d'eau

Altitude

NN

0 2 km

Les réseaux d’habitats théoriques au Iè siècle av.

MéditerranéeMer

7

Nages

Mauressip

Nages

Mauressip

0 - 50 m 50 - 100 m100 - 150 m> 150 m

0 2 km

Petit Rh™ne

Vido

urle

Gard

Réseau théorique Niveau hiérarchique

50 ̂ 100 m> 100 m

< 50 m

N

0 10 km

Altitude

10

2,5 0,5

Nimes

Nages

Mauressip

Lattes

Nimes

Nages

Mauressip

Lattes

Les réseaux d’habitats théoriques au Ier siècle

MéditerranéeMer

0 - 50 m 50 - 100 m100 - 150 m> 150 m

0 2 km

BizacBizac

Nages

SinsansSinsansClarensacClarensac

PlaisancePlaisance

MauressipMauressip

Nages

Petit Rh™ne

Vido

urle

Gard

Réseau théorique Niveau hiérarchique

50 ̂ 100 m> 100 m

< 50 m

N

0 10 km

Altitude

3 0,5

Nimes

Nages

Mauressip

Lattes

Nimes

Nages

Mauressip

Lattes

13

Les réseaux d’habitats théoriques au Vè siècle

MéditerranéeMer

0 - 50 m 50 - 100 m100 - 150 m> 150 m

0 2 km

St-Andr�

St-Martin Minteau

St-Andr�

St-Martin Minteau

BizacBizac

Nages

SinsansSinsansClarensacClarensac

PlaisancePlaisanceNages

Petit Rh™ne

Vido

urle

Gard

Réseau théorique Niveau hiérarchique

50 ̂ 100 m> 100 m

< 50 m

N

0 10 km

Altitude

2,30,3

Nimes

Nages

Lattes

Nimes

Nages

Lattes

9

Les réseaux d’habitats théoriques au XIè siècle

Mer

0 - 50 m 50 - 100 m100 - 150 m> 150 m

0 2 km

St-C™me

St-Dienizy

Calvisson

St-C™me

St-Dionizy

Boissi�resBoissi�resLivi�reLivi�re

Calvisson

MinteauMinteau

BizacBizac

SinsansSinsansClarensacClarensac

NagesNages

Petit Rh™ne

Vido

urle

Gard

Réseau théorique Niveau hiérarchique

50 ̂ 100 m> 100 m

< 50 m

N

0 10 km

Altitude

20,1

Nimes

Nages

Lattes

Nimes

Nages

Lattes

7

Méditerranée