L’accélération

ac comme dans accroître ...

celere comme dans célérité

C’est quand la vitesse augmente ...

... ou diminue

(et dans ce cas, on parle de ralentissement)

C’est pourquoi nous allons commencer par ce cas particulier :

supposer l’accélération constante, ce qui se définit par « la vitesse augmente proportionnellement au temps ».

Temps Vitesse acquise

t v – vo

1 a

Ce tableau nous donne l’équation

v – vo = a t (égalité des produits croisés)

Définition : le nombre vo est la valeur de la vitesse initiale.

Cette formule nous donne la géométrie ci-dessous

Cette hypothèse nous donne le tableau ci-contre

L’aire du trapèze est donc égale à la moitié de celle du rectangle

v

t Temps

Vitesse

1

voAire = xM – xMo

v

vo

Les deux trapèzes sont égaux

v

t

vo

(v + vo) t

2 Aire = xM – xMo = =

1

2(v + vo) t

Faisons un peu de géométrie.

Quelle est la formule de l’aire d’un trapèze ?

Seulement voilà : comment parler de la géométrie de l’accélération quand celle-ci varie ?

Difficile à dire ...

Cette grandeur est par définition l’accélération

xM – xMo =

On substitue v par a t + vo

v – vo = a t

v – vo + vo = a t + vo

Additionnons vo des deux côtés :

v = a t + vo

1

2(a t + vo + vo) t

1

2(a t + 2 vo) t=

1

2= a t 2 + vo t

xM – xMo =1

2a t 2 + vo t

v

(v + vo) t

2 Aire = xM – xMo = =

1

2(v + vo) t

Et dans l’espace à trois dimensions ?

v – vo = a t

Au lieu de suivre UN mouvement le long d’un axe, on en suit TROIS

O

1

1

1

M

xM

yM

zM

P

yP

zP

xP

Abscisse = xP – xM

Ordonnée = yP – yM

Cote = xP – xM

Donc, au lieu d’écrire UNE équation on en écrit TROIS

Et dans l’espace à trois dimensions ?

xM – xMo =1

2a t 2 + vo t yM – yMo =

1

2ay t 2 + vyo t xM – xMo =

1

2ax t 2 + vxo t zM – zMo =

1

2az t 2 + vzo t

v – vo = a t

Quand le corps trace la flèche accélération

Imaginons que le corps dont la vitesse initiale est nulle se déplace pendant 2 secondes

Alors les formules ci-dessus deviennent, parce que le carré de est 2 2

donc yM – yMo = zM – zMo =ax xM – xMo = ay az

Ainsi, en secondes, si sa vitesse initiale est nulle, le corps trace lui-même une flèche dont les coordonnées sont celles de l’accélération.

2

Le calcul du carré de la longueur de cette flèche MMo2 = (xM – xMo)2 + (yM – yMo )2 + (yM – yMo )2

donne la formule du carré de l’accélération a 2 = ax2 + ay

2 + az2

yM – yMo =1

2ay t 2 + vyo t xM – xMo =

1

2ax t 2 + vxo t zM – zMo =

1

2az t 2 + vzo t

yM – yMo =1

2ay 2 + 0 x xM – xMo =

1

2ax 2 + 0 x zM – zMo =

1

2az 0 + 0 x 2 2 2,,

v – vo = a t

Unité de l’accélération

Pour cette formule, substituons les valeurs par leurs unités

m s-1 = u s

Multiplions par s-1 m s-1 s-1 = u s s-1

En se servant des propriétés des puissances m s -2 = u

L’unité d’une accélération est le m s-2 ou m / s2

yM – yMo =1

2ay t 2 + vyo t xM – xMo =

1

2ax t 2 + vxo t zM – zMo =

1

2az t 2 + vzo t

v – vo = a t

Quelles propriétés ?

Celle de la multiplication des puissances

qm qn = qm + n

Vecteur accélérationProblème de géométrie :

Un corps ...

Un point sur ce corps ... ... mais lequel ?

... on le suit pendant secondes2

L’ensemble de ces flèches mérite un nom ...

... et un symbole ...

Définition : un vecteur un ensemble de flèches parallèles, de même orientation et de même longueur.

Définition : l’ensemble de flèches parallèles, de même orientation et de même longueur que MA

M

A

est le vecteur MA.

Ainsi, l’ensemble MA est le vecteur accélération a .