Lahlou s4 Chapitre i

Chapitre 1 :

Résolution des systèmes linéaires

Introduction Les phénomènes abondés en économie ou en gestion dépendent le plus souvent de plusieurs

paramètres. Pour les modéliser, on peut fait appel aux systèmes d'équations linéaires à plusieurs inconnues.

Ces derniers sont relativement simples d’un point de vue mathématique, précisément en raison de la linéarité

des équations. Pour leurs résolutions, on mettra en œuvre que des méthodes directes.

A. Généralités sur le système linéaire

I. Définition d’un hyperplan affine (équation linéaire à inconnues)

Définition :

Un hyperplan affine est représenté par une équation de type :

où les coefficients sont non tous nuls. C’est un sous-espace affine de dimension –

dans .

EXEMPLE :

La notion d'hyperplan est confondue avec celle

d’une droite dans le plan

d’un plan dans l’espace .

Deux équations linéaires sont équivalentes s’ils ont exactement les mêmes solutions. Si on multiplie, divise,

additionne ou soustrait les deux membres d’une équation par un même nombre non nul, on obtient une

équation équivalente à .

EXEMPLE :

l’équation est équivalente à l’équation

.

a. Équation linéaire à deux inconnues (une droite dans le plan )

Définition :

Une équation linéaire (du premier degré) à deux inconnues et et à coefficients réels est de la forme :

où les coefficients , et la constante sont des données ( et sont non tous nuls).

EXEMPLE :

Un fleuriste propose un type de bouquets de fleurs composé de 2 roses jaunes et 3 iris pour un prix de 8

Unités Monétaires. Soit le prix d'une rose jaune et le prix d'un iris. On peut modéliser le problème

sous forme d’une équation linéaire à deux inconnues .

Résoudre une telle équation dans revient à rechercher tous les couples de solutions qui la vérifient :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A9liser

Professeure LAHLOU Amale Chapitre I

Semestre IV, Module 16 : Méthodes Quantitatives, Élément de module : Algèbre II et géométrie Page 2

EXEMPLE :

Soit l’équation linéaire à deux inconnues

Comme , alors le couple est solution de l’équation :

Comme , alors le couple n’est pas solution de l’équation :

IL existe une infinité de solutions vérifiant l’équation :

à chaque choix de correspond un calculé par la formule

. On écrit ainsi,

ou encore, à chaque choix de correspond un calculé par la formule

. On écrit,

Chaque équation linéaire à deux inconnues, de type où définit une fonction affine, et

est donc représentée graphiquement par une droite dans le plan muni d'un repère orthonormé.

Si et , l’équation réduite

est

équivalente à l’équation . La représentation

graphique de la fonction affine

dans le plan est

une droite oblique (non parallèle ni à l'axe des abscisses ni à

l’axe des ordonnées) d’équation réduite

de

coefficient directeur

( est dit aussi pente de la

droite). est un vecteur directeur de la droite. Le

coefficient

n’est autre que l’ordonnée à l’origine.

EXEMPLE : l’équation .

Si ( ) alors on a l’équation réduite (où

) qui représente graphiquement une droite horizontale

(parallèle à l'axe des abscisses).


Si ( ) alors on a l’équation réduite (où

) qui représente graphiquement une droite verticale

(parallèle à l'axe des ordonnées).


Propriétés :

1. Par deux points distincts dans le plan passe une et une seule droite.



2. Soit une droite dans le plan passant par deux points distincts

et

:

si , alors l'équation réduite de la droite est tout simplement .

si , alors l'équation réduite de la droite est tout simplement .

si et , alors l'équation réduite de la droite est tels que le

coefficient directeur vaut

, et l'ordonnée à l'origine est calculé en remplaçant les

coordonnées de l’un des deux points dans l’équation .

3. Le coefficient directeur d’une droite est positif si et seulement la droite monte. De même, il est négatif si

et seulement si la droite descend.

4. Deux droites dans le plan d'équations réduites respectives et sont :

parallèles si et seulement si ;

sécantes si et seulement si ;

perpendiculaires si et seulement si .

b. Équation linéaire à trois inconnues (un plan dans l’espace )

Définition :

Une équation linéaire à trois inconnues , et à coefficients réels est de la forme :

Les coefficients , , et la constante sont des données (les coefficients , et sont non tous

nuls).

EXEMPLE :

Un fleuriste propose un type de bouquets de fleurs composé de 3 roses jaunes, 2 roses rouges et 1 iris

pour un prix de 12 Unités Monétaires. Soit le prix d'une rose jaune, le prix d’une rose rouge et le

prix d'un iris. On peut modéliser le problème sous forme d’une équation linéaire à trois inconnues :

Résoudre une telle équation dans revient à rechercher tous les triplets de solutions qui la

vérifient :

EXEMPLE :

Soit l’équation linéaire à trois inconnues

Comme , alors le triplet est solution de l’équation :

Comme , alors le triplet n’est pas solution de l’équation :

Chaque équation linéaire à trois inconnues, écrite sous forme cartésienne où

( est représentée graphiquement par un plan dans le l’espace muni d'un repère

orthonormé. Le vecteur

est un vecteur normal au plan (perpendiculaire ou orthogonal au plan).

EXEMPLE :

est l’équation cartésienne d’un plan de vecteur normal

.

Propriétés :

1. Par trois points non alignés passe un et un seul plan.



2. Un plan dans l’espace, noté , d’équation cartésienne , passant par trois

points non alignés

,

et

. On prend un point de référence par exemple «

» et on détermine un vecteur normal

orthogonal aux deux vecteurs

et

. Ceci revient à résoudre un système de deux équations à trois

inconnues :

Puis pour trouver le second membre « »,il suffit de remplacer les coordonnées du point « » dans

l’équation .

3. Deux plans dans l’espace sont parallèles si et seulement si les coefficients respectifs des variables sont

proportionnelles.

4. Deux plans dans l’espace sont sécantes si et seulement si les coefficients respectifs de l’une des

variables sont non proportionnelles.

Remarques importantes :

1. Dans l’espace , étant donnée une droite de vecteur directeur

et passant par un point

. Un point est un point de la droite si et seulement si il existe tel que :

. Il s’agit de la représentation paramétrique de la droite :

2. Dans l’espace , la représentation paramétrique d’un plan passant par un point

et de

vecteurs directeurs

et

est donnée par :

II. Définition classique d’un système linéaire

Définition :

On appelle système d'équations linéaires (ou tout simplement système linéaire) de type (ou encore de

équations à inconnues ) à coefficients dans , le système :



où

les inconnues , , ... , sont des scalaires réels ;

les données sont composées par des coefficients aux premiers membres et par les seconds

membres , pour tous et ;

Les accolades du système désignent la conjonction « et » de conditions portant sur les variables ,

, ... , .

EXEMPLE :

est un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues,



est un système de 3 équations linéaires à 4 inconnues.

Vocabulaire :

Lorsqu’on a plus d’équations que d’inconnues : , le système (S) est dit « système surabondant »,

lorsqu’on a moins d’équations que d’inconnues : , le système (S) est dit « système sousabondant »,

lorsqu’on a autant d’équations que d’inconnues : , le système (S) est dit « carré »,

un système est dit homogène si le vecteur second membre est nul. À tout système (S), on associe un

système homogène obtenu en conservant les premiers membres de (S) et en annulant tous les

seconds membres :

III. Définition matricielle d’un système linéaire

Définition :

Le système s’écrit sous la forme matricielle suivante : où est la matrice de transformation de

type (ou encore, matrice des coefficients), est le vecteur colonne second membre et est l’inconnue,

avec

Le nombre de colonnes de A est égal au nombre d’inconnues ;

Le nombre de lignes de A est égal au nombre d’équations ;

Pour le système homogène associé , le second membre est nul : .

On appelle matrice augmentée du système , la matrice, notée , de type contenant toutes

les données du système :



EXEMPLE :

Soit le système suivant,

Le système homogène associé est donné par :

Le système (S) s’écrit sous la forme matricielle , et son système homogène associé s’écrit sous

la forme avec,

La matrice augmentée du système est la matrice donnée par :

Vocabulaire :

Lorsque tous les coefficients situés en dessous de la diagonale d’une matrice carrée

sont nuls, la matrice est dite « triangulaire supérieure » et le système associé est dit « triangulaire

supérieur »,

lorsque tous les coefficients situés en dessus de la diagonale d’une matrice carrée

sont nuls, la matrice est dite « triangulaire inférieure » et le système associé est dit « triangulaire

inférieur »,

on appelle rang du système, le rang de la matrice associée.

IV. Définition vectorielle d’un système linéaire

Définition :

À chaque système linéaire on associe une application linéaire définie comme suit :

Où :

est la matrice associée à l’application linéaire ,

est un espace vectoriel de dimension le nombre d’inconnues (nombre de colonnes de la matrice ),

est un espace vectoriel de dimension le nombre d’équations (nombre de lignes de la matrice ),

est un vecteur colonne des coordonnées d’un vecteur ,

est un vecteur colonne des coordonnées d’un vecteur .

EXEMPLE :




avec,

On associe canoniquement à ce système une application linéaire définie comme suit :

on pose . Ainsi,

B. Résolution d’un système linéaire

Définitions :

Étant donné un système linéaire de équations à inconnues à coefficients réels :

Résoudre un tel système, c’est décrire l’intersection de hyperplans dans . Une solution du système

est un -uplet vérifiant les équations de . Ainsi, résoudre ce système

revient à montrer qu’il n’a pas de solution, ou alors en exhiber une résolution. Le système est dit :

Incompatible, inconsistant ou encore impossible s’il n’admet aucune solution,

compatible s’il admet au moins une solution. Dans le cas où il admet une infinité de solutions, le

système est dit indéterminé.

L’ensemble solution « » du système , s’il n’est pas vide, est un sous-espace affine de ,

Le système est toujours compatible, en effet, le -uplet est solution triviale du système,

L’ensemble solution « » du système homogène est un sous-espace vectoriel de de

dimension au moins égale à – .

La solution générale d’un système linéaire est la somme d’une solution particulière de et de la

solution générale du système homogène associé .

Deux systèmes linéaires et aux mêmes inconnues sont dits équivalents s’ils ont exactement le

même ensemble de solutions : il existe des manipulations qui permettent de transformer un système

en un système équivalent.

Les méthodes de résolution d’un système linéaire sont multiples selon que la matrice du système linéaire soit

carrée ou de dimension quelconque.

V. Méthode du pivot de Gauss



Étant donné un système d’équations linéaires quelconque, l’idée générale de base de la méthode

d’élimination de Gauss consiste à appliquer successivement des opérations élémentaires sur ce système en

vue de le transformer en un système échelonné en forme réduite équivalent, dont la résolution est très facile.

En pratique, on travaillera avec la matrice augmentée associée au système étudié.

EXEMPLE :

Soient les trois systèmes linéaires suivants :

Les trois systèmes sont équivalents. La résolution du système est plus simple comparée à celle de .

De même, la résolution du système est encore plus simple comparée à celle de . La méthode de

Gauss consiste à passer du système au système échelonné puis en fin au système échelonné en

forme réduite

c. Opérations élémentaires-lignes

On cite trois types d’opérations élémentaires-lignes définies comme suit où :

L’opération : on multiplie la ligne par un scalaire non nul :

L’opération : on permute la ligne avec la ligne : et

L’opération : on ajoute à la ligne la ligne multipliée par :

On définit aussi l’opération (on permute la colonne avec la colonne : et ).

La notation « », signifie « prend la valeur ».

d. Matrices lignes-équivalentes :

Deux matrices et sont dites lignes-équivalentes si l’une est la transformée de l’autre par une suite finie

d’opérations élémentaires-lignes. On note tout simplement la notation «

», signifie « équivalent à

l’aide de l’opération ».

En effectuant l’opération élémentaire , on obtient une nouvelle matrice lignes-équivalente à

. On note

En effectuant l’opération élémentaire , on obtient une nouvelle matrice lignes-équivalente à .

On note

En effectuant l’opération élémentaire , on obtient une nouvelle matrice lignes-équivalente à

. On note

Les matrices lignes-équivalentes ont le même rang.

EXEMPLE :

Soit la matrice donnée par :



Effectuons simultanément sur les opérations élémentaires-lignes , puis :

On constate que

e. Matrice échelonnée en forme réduite ou canonique

Définition d’une matrice lignes-échelonnée

Une matrice est dite une matrice lignes-échelonnée s’il existe un entier , appelé rang de la

matrice ( ), tels que :

toute ligne qui succède une ligne nulle de la matrice est aussi nulle,

le nombre de zéros consécutifs commençant une ligne non nulle de la matrice est strictement croissant

de ligne en ligne,

toutes les lignes après les premières lignes sont nulles.

Vocabulaire :

Le premier coefficient non nul de toute ligne non nulle de la matrice lignes-échelonnée est appelé « pivot »

de cette ligne. La colonne qui contient ce pivot est appelée colonne de pivot. Le rang d’une matrice lignes-

échelonnée est tout simplement : c’est le nombre des premières lignes non nulles ou encore le nombre de

pivots.

Une matrice est dite une matrice colonnes-échelonnée si la matrice transposée est lignes-

échelonnée :

EXEMPLE :



La matrice est lignes-échelonnée avec . Les deux pivots sont 3 et .

La matrice est colonnes-échelonnée avec . Les trois pivots sont 1, 2 et 5.

La matrice n’est pas lignes-échelonnée puisque le deuxième critère n’est pas vérifié.

Recherche d’une matrice lignes-échelonnée

Soit la matrice non nulle .

1. déplacer toutes les lignes nulles en bas de la matrice ;

2. si tous les coefficients de la première colonne sont nuls, on effectue une permutation des colonnes

pour obtenir une première colonne non nulle ;

3. on choisit dans la première colonne un élément non nul (appelé pivot) tel que pour

tout indice , et on effectue l’opération élémentaire , échange des lignes 1 et i. On obtient ainsi

une matrice dont le coefficient

est non nul ;

4. annuler tous les coefficients en bas du pivot en effectuant l’opération élémentaire

; on

obtient alors une nouvelle matrice sous la forme

5. si la matrice B est nulle, alors ;

6. sinon on répète les itérations sur la matrice autant de fois que nécessaire. Si, au bout de

itérations, la matrice constituée des – dernières lignes et – dernières colonnes est nulle,

alors .

EXEMPLE :

Définition d’une matrice lignes-échelonnée en forme réduite :

Une matrice lignes-échelonnée est dite lignes-échelonnée en forme réduite si :

tous les pivots des lignes de la matrice sont égaux à 1,

chaque pivot de ligne est le seul coefficient non nul de la colonne de pivot correspondante.

EXEMPLE :



La matrice est lignes-échelonnée en forme réduite, alors que la matrice ne l’est pas.

Recherche d’une matrice lignes-échelonnée en forme réduite équivalente

Soit la matrice non nulle . On détermine tout d’abord une matrice lignes-échelonnée

équivalente à . En suite, on rend tous les pivots égaux à 1 et puis on annule tous les coefficients en haut des

pivots en effectuant des opérations élémentaires lignes par remontée en commençant par la dernière ligne de

pivot. On obtient alors une nouvelle matrice, par exemple, sous la forme :

EXEMPLE :

Système linéaire échelonné en forme réduite

i. Système linéaire échelonné

Nous dirons qu’un système linéaire est échelonné s’il se présente sous la forme suivante :

Mettre un système sous forme échelonnée , c’est passer de à par une suite

d’opérations lignes-élémentaires, et une permutation éventuelle des variables et/ou des équations, de sorte

que :

les inconnues de sont celles de , mais dans un ordre qui peut être différent, on les

appelle « les inconnues principales ». Les autres inconnues sont dites non principales ou secondaires,

les coefficients , appelés pivots, sont tous non nuls.

La matrice associée à un système linéaire échelonnée est une matrice lignes-échelonnée :



Avec est le rang du système ou encore le rang de la matrice associée.

En effectuant l’opération , on obtient un nouveau système équivalent à en multipliant

la équation de par un scalaire non nul : . On note

.

En effectuant l’opération , on obtient un nouveau système équivalent à en permutant la

équation avec la équation de : et

. On note

En effectuant l’opération , on obtient un nouveau système équivalent à en permutant la

inconnue avec la inconnue de : et

. On note

En effectuant l’opération on obtient un nouveau système équivalent à en ajoutant à

la équation de la équation de multipliée par : . On note

.

EXEMPLE :

Soit le système linéaire échelonné suivant :

Sa matrice lignes-échelonnée associée est donnée par :

Le rang de la matrice est égal à trois, . Les pivots sont 1, 4, 2. Les variables correspondants

aux colonnes de pivot sont les inconnues principales , et . Seule est une inconnue

secondaire.

ii. Compatibilité d’un système linéaire échelonné

Une équation de compatibilité est toute équation du système échelonné dont le premier membre est nul. En

général, on a conditions de compatibilité à vérifier. Deux cas se posent :

le second membre de l’une des équations de compatibilité est non nul,

tous les seconds membres des équations de compatibilité sont nuls.

EXEMPLE :



Le système n’admet aucune équation de compatibilité,

Le système admet deux équations de compatibilité toutes ayant un second membre nul,

Le système admet trois équations de compatibilité dont l’une admet un second membre non nul.

iii. Résolution d’un système linéaire échelonné :

Si , le système est compatible et admet une unique solution.

Si , on a équations de compatibilité à vérifier :

o Si le second membre de l’une des équations de compatibilité est non nul, alors le système

linéaire échelonné est incompatible et par conséquent son ensemble de solution est vide.

o Si les seconds membres de toutes les équations de compatibilité sont nuls, alors le système est

compatible. On retire les équations de compatibilité et on obtient un autre système équivalent à

, puis on résout le système par remontée en commençant par calculer l’inconnue principale

dans sa dernière équation :

si , on considère les inconnues secondaires comme des paramètres et on

les fait passer dans le second membre. Le système admet une infinité de solutions.

si , si le système admet une solution alors elle est unique.

EXEMPLE 1 :

Soit le système suivant ( et ) :

Permutation des équations et .

On résout le système par « remontée » en commençant par la

dernière équation :

Le système est donc compatible et



EXEMPLE 2 :

Reprenons le système de l’exemple 1 ( et ) :

Permutation des variables et




EXEMPLE 3 :

Soit le système suivant ( , et ) :

une seule équation de

compatibilité



On résout le système en fixant (inconnue secondaire),

Donc,

Le système est donc indéterminé : est une droite affine

passant par la solution particulière , et de vecteur

directeur .

EXEMPLE 4 :

Soit le système suivant ( , et ) :

, une seule équation de

compatibilité

Le système est donc impossible

EXEMPLE 5 :

Soit le système suivant ( et ) :






iv. Système linéaire échelonné en forme réduite

Nous dirons qu’un système linéaire est échelonné en forme réduite si la matrice associée est lignes-

échelonnée en forme réduite.

EXEMPLE :

Le système linéaire suivant est échelonné en forme réduite,

puisque sa matrice associée est lignes-échelonnée en forme réduite, en effet :

v. Résolution d’un système échelonné en forme réduite

Une fois le système mis sous forme échelonnée, on discute :

Si , le système est compatible et admet une unique solution.

Si , on a équations de compatibilité à vérifier :

o si le second membre de l’une des équations de compatibilité est non nul, alors le système

linéaire échelonné est incompatible et par conséquent son ensemble de solution est vide,

o Si les seconds membres de toutes les équations de compatibilité sont nuls, alors le système est

compatible et on doit chercher les solutions :



on retire les équations de compatibilité et on obtient un autre système équivalent à

avec lequel on va travailler,

On divise chacune des équations restantes par son pivot. Le nouveau pivot vaut 1,

s , on a que des inconnues principales et si , on considère les

inconnues secondaires comme des paramètres qui peuvent prendre des valeurs

arbitraires et on les fait passer dans le second membre,

en commençant par la dernière inconnue principale et dans la dernière équation du

système, on annule les termes au dessus du pivot. On recommence cette procédure par

remontée jusqu’à parcourir toutes les inconnues principales.

Reprenons quelques exemples précédents :

EXEMPLE 1 :


Ainsi,

. On a bien

EXEMPLE 2 :





Effectivement,

vi. La méthode du pivot de Gauss

La méthode de Gauss permet de transformer un système linéaire en un système échelonné en

forme réduite en effectuant une succession d’opérations lignes-élémentaires. Ainsi, le système

échelonné en forme réduite obtenu est équivalent au système initial. La résolution du système revient

donc à celle du système échelonné qui a été traitée dans le paragraphe précédent. On peut résumer les

étapes de résolution :

écrire la matrice augmentée du système ,

déterminer une matrice échelonnée en forme réduite équivalente à . Cette matrice correspond

au système échelonné en forme réduite ,

les deux systèmes et ont même ensemble de solutions.

EXEMPLE 1 :




Ainsi,

. On bien

EXEMPLE 2 :


Effectivement,

VI. Méthode de Rang

Étant donné un système linéaire de équations à inconnues où est une matrice de

type à coefficients réels, et un second membre supposé non nul. Notons par son système

linéaire homogène associé .

On associe canoniquement à la matrice l’application linéaire :

On note respectivement, et , le noyau et l’ensemble image de l’application linéaire :



et .

On note par , l’ensemble des solutions du système et par , l’ensemble des solutions du système

homogène associé .

Proposition :

La solution générale du système non homogène est donnée par où :

est une solution particulière du système non homogène ( ),

est une solution du système homogène ( ).

Si la matrice est inversible, alors est le vecteur nul, sinon, est un vecteur non nul.

EXEMPLE :

Soit le système avec,

,

et

On a trouvé antérieurement que le système admet une infinité de solutions. Une solution générale du

système est donnée par :

où est une variable arbitraire.

on vérifie que

est une solution particulière du système et est une solution

du système homogène associé .

f. Cas où il y a autant d’équations que d’inconnues :

Dans ce cas, on s’intéresse au système à matrice carrée d’ordre et à coefficients réels :

avec, et .

Définition :

Le système est dit de Cramer si la matrice associée est carrée et inversible.

N.B. : est carrée si et seulement si .

est inversible si et seulement si si et seulement si .

Théorème :

Tout système de Cramer admet une et une seule solution.

Résolution par inversion de matrice :

Étant donné un système de Cramer, la matrice associée est inversible ainsi,

où

.

Résolution par les formules de Cramer :



La méthode des déterminants est particulièrement efficace pour résoudre des systèmes linéaires de Cramer.

En effet, les formules de Cramer expriment les coordonnées de l’unique solution comme des rapports de

déterminants :

a) Systèmes homogènes

On montre facilement que , c'est-à-dire, l’ensemble des solutions du système n’est

autre que le noyau de l’application linéaire associée et le système est compatible. Deux cas se présentent :

La matrice est inversible, i.e., : dans ce cas l’application linéaire est bijective et donc

et . Le vecteur nul est l’unique solution du système, .

La matrice est non inversible, i.e., : dans ce cas l’application linéaire est non

bijective et par conséquent et où , le système

admet une infinité de solutions.

EXEMPLES :

1. Soit le système avec,

et

Tout calcul fait, on obtient donc est inversible et


et

Tout calcul fait, on obtient donc est non inversible avec .

où est l’inconnue secondaire qui parcourt . Ainsi

.

est un sous espace vectoriel de dimension 1 engendré par le vecteur

N.B. : ici,


et

Tout calcul fait, on obtient donc est non inversible avec .



où et sont les inconnues secondaires qui parcourent . Ainsi

est un sous espace vectoriel de dimension 2 engendré par les vecteurs et

. C’est un

plan dans l’espace d’équation .

N.B. : ici,

b) Systèmes non homogènes

Trois cas se présentent :

Si , alors le système n’admet aucune solution ;

Si et

o si , alors le système est de Cramer et donc admet une unique solution. En effet,

la matrice est inversible, i.e., et . Dans ce cas, le vecteur solution

est l’unique solution du système. On peut retrouver la solution par les formules de

Cramer.

o si , alors la matrice est non inversible, i.e., : pour que le système

admet une infinité de solutions il faut que .

EXEMPLE 1 :


,

et

Tout calcul fait, on obtient donc est inversible.

Méthode 1 de résolution : par inversion matricielle

et

Méthode 2 de résolution : en appliquant les formules de Cramer

–



Méthode 3 de résolution : élimination de Gauss

Le système admet donc une unique solution

.

EXEMPLE 2 :


,

et

Tout calcul fait, on obtient donc est non inversible. La matrice échelonnée en forme

réduite de la matrice est donnée par :

donc .

Soit la matrice associée au système avec,

La matrice échelonnée en forme réduite de la matrice est donnée par :

Et comme , le système est donc impossible : .

EXEMPLE 3 :


,

et



donc .




On a la matrice échelonnée en forme réduite de la matrice est donnée par :

Et comme , le système est donc compatible (admet une infinité de

solutions) et on a :

Donc, est une droite dans l’espace passant par le point

et de vecteur directeur

EXEMPLE 4 :


,

et



donc .





Donc, est un plan dans l’espace passant par le point et de vecteurs directeurs

et

:

g. Cas où le nombre d’équations est différent de celui des inconnues :



Étant donné un système linéaire où est une matrice carrée d’ordre à coefficients réels et

le second membre. On associe canoniquement à la matrice l’application linéaire

Trois cas se présentent :

si , alors le système n’admet aucune solution ;

si et

o si , alors le système admet une unique solution ;

o si , alors le système admet une infinité de solutions.

c) Pour les systèmes surabondant

En général, le système est incompatible. Toutefois on peut rencontrer des systèmes avec une infinité de

solutions.

EXEMPLE :


,

et


donc .



Et comme , le système est donc incompatible.

d) Pour les systèmes sousabondant

En général, le système admet une infinité de solutions. Toutefois on peut rencontrer des systèmes

incompatibles.

EXEMPLE :




,

et


donc .





Donc,

C. Résolution d’un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues

Définition :

Un système de deux équations linéaire à deux inconnues et (ou tout simplement un système linéaire carré

à deux inconnues) est un système de la forme suivante :

où les inconnues et sont des scalaires réels et les données sont composées par des coefficients et

par le second membre pour tout et

EXEMPLE :

Un fleuriste propose deux types de bouquets de fleurs :

l'un composé de 2 roses jaunes et 3 iris pour 9 UM.

l'autre composé de 1 rose jaune et 1 iris pour 3.5 UM.

Pour calculer le prix x d'une rose et le prix y d'un iris, il faut résoudre le système suivant :

Définition :



Le système (S) s’écrit sous la forme matricielle suivante où la matrice carrée d’ordre 2 et le

second membre sont les données, et l’inconnue avec

On appelle le déterminant du système (S), le déterminant de la matrice associée donné par :

EXEMPLE :

L’équation est l’écriture matricielle du système :

Avec,

Résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues dans le plan revient à rechercher tous les couples

de solutions qui vérifient simultanément les deux équations. Ce type de système admettra une solution

unique (droites sécantes), aucune solution (droites strictement parallèles), ou une infinité de solutions

(droites parallèles confondues).

Notons qu’en remplaçant l’une des équations par une équation équivalente, ceci ne change en rien

l’ensemble des solutions. Pour résoudre (S), on résout le système équivalent ,

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre un tel système. Le choix de la méthode dépend du système

considéré.

résolution algébrique (inversion de matrice, formules de Cramer, substitution, comparaison,

combinaison linéaire, …) : donne une valeur exacte de la solution du système.

résolution graphique : donne souvent une valeur approchée de la solution du système.

Résolution algébrique

Soit à résoudre le système linéaire suivant :

Trois cas sont possibles selon la nullité ou non du déterminant de ce système :

CAS 1 : , dans ce cas le système admet une unique solution,

CAS 2 : et , dans ce cas le système n’admet aucune solution,

CAS 3 : et , dans ce cas le système admet une infinité de solutions.

CAS 1 : , dans ce cas le système admet une unique solution

Le système linéaire de 2 équations à 2 inconnues a une solution unique si et seulement si la

matrice associée est inversible, si et seulement si son déterminant est non nul.

Dans ce cas, le système est de Cramer.



On traite l’exemple suivant via plusieurs méthodes :

Méthode par inversion de matrice :

Pour cet exemple, on a bien une matrice inversible puisque . Ainsi, l’unique solution est

donnée par

On sait que :

Ainsi,

Et donc

Formules de Cramer :

Pour cet exemple, le système est bien de Cramer et on trouve la solution à l’aide des formules de Cramer,

Ainsi,

=

Méthode d’élimination par substitution :

Elle consiste à exprimer dans une équation une des deux inconnues en fonction de l’autre, puis à remplacer

l’expression obtenue dans l’équation restante ; on obtient ainsi une équation à une seule inconnue :

on isole l’inconnue dans la deuxième équation

–

on remplace par son expression dans la première

équation



on détermine la valeur de l’inconnue


Donc,

Méthode par comparaison :

Elle consiste à exprimer dans les deux équations une des deux inconnues en fonction de l’autre. On obtient

ainsi une équation à une seule inconnue :

on exprime par exemple dans chaque équation en

fonction de

à partir de ces deux égalités, on va former une équation

qui ne dépend que de


puis on détermine la valeur de l’inconnue

Donc,

Méthode par combinaisons linéaires (combinaisons de lignes) :

Encore dite méthode d’addition, Cette méthode s'adapte facilement aux cas les plus complexes. Elle consiste

à ajouter, membre à membre, les deux équations après les avoir multipliées par des coefficients

convenablement choisis pour éliminer l’une des deux inconnues ; on obtient ainsi une équation à une seule

inconnue :

on multiplie les deux équations par des nombres

choisis de manière à obtenir les coefficients

opposés dans chacune des deux équations pour,

par exemple, l’inconnue .

on additionne membre à membre les deux

équations du système afin d’obtenir une équation

à une seule inconnue .

on détermine alors en résolvant cette équation.

on détermine ensuite l’inconnue en reportant la

valeur dans une des équations de départ.

Donc



CAS 2 : et , dans ce cas le système n’admet aucune solution

Le système linéaire de 2 équations à 2 inconnues est indéterminé si et seulement si les deux équations

formant ce système sont équivalentes. Dans ce cas, il est possible de chercher les mêmes coefficients des

variables dans les deux équations du système (puisque ) avec des seconds membres identiques

(puisque ).

On traite l’exemple suivant :

Notons que le déterminant du système et On cherche les mêmes

coefficients des variables dans les deux équations du système,

On remarque qu’on aboutit à une même équation. Donc le système est indéterminé : l’une des inconnues est

choisie arbitrairement et l’autre calculée à partir du choix de la première :

CAS 3 : et , dans ce cas le système admet une infinité de solutions

Le système linéaire de 2 équations à 2 inconnues n’admet aucune solution si et seulement si et

. Dans ce cas, il est possible de chercher les mêmes coefficients des variables dans les

deux équations du système (puisque ) mais on se trouve avec des seconds membres différents

(puisque ).

On traite l’exemple suivant :

Notons que le déterminant du système et On cherche les mêmes

coefficients des variables dans les deux équations du système,

On remarque qu’on aboutit à deux équations telles que les premiers membres sont identiques et les seconds

membres sont différents. Donc le système est impossible : .

Résolution graphique :

Une lecture graphique conduit souvent à une solution approchée du système.




Chacune des équations linéaires de ce système représente une droite :

La droite a pour coefficient directeur


La droite a pour coefficient directeur


La résolution d’un tel système est liée à la position relative des deux droites et dans le plan. Elle

peut être vide, réduite à un point, ou égale à une droite :

Droites sécantes :

Si les deux équations représentent deux droites avec des coefficients directeurs différents

« autrement dit, les deux vecteurs directeurs associés et sont non colinéaires ( ) »,

alors l’intersection de ces deux droites est un unique point. Et donc, le système correspondant admet

une solution unique.

Droites parallèles confondues :

Si les deux équations représentent deux droites avec des coefficients directeurs identiques

« autrement dit, les deux vecteurs directeurs associés et sont colinéaires ( ) » et

les ordonnées à l’origine sont identiques, alors l’intersection des deux droites est une infinité de points.

Le système se résume donc en une seule équation et donc admet une infinité de solution.

Droites strictement parallèles :

Si les deux équations représentent deux droites avec des coefficients directeurs identiques

« autrement dit, les deux vecteurs directeurs associés et sont colinéaires ( ) » et

les ordonnées à l’origine sont différents, alors l’intersection de ces deux droites est vide. Le système

correspondant n’a aucune solution.

EXEMPLE 1 : vecteurs directeurs non colinéaires

On prend l’exemple suivant :

Chacune des équations linéaires du système représente une droite :

La représentation graphique de la fonction affine

est une droite, qu’on notera

, d’équation

de coefficient directeur

et de vecteur directeur ,

La représentation graphique de la fonction affine

est une droite, qu’on notera ,

d’équation

de coefficient directeur et de vecteur directeur



Ainsi, les deux droites ont des coefficients directeurs différents

et donc des vecteurs

directeurs non colinéaires.

Résoudre le système revient à déterminer les points d’intersection des deux droites

et . Ces deux droites sont sécantes puisque leurs coefficients directeurs sont différents. Pour tracer

chaque droite, on cherche le tableau de valeurs de deux points,

0

3 0

0

0

La droite passe par les points de coordonnées

et

et la droite passe par les

points de coordonnées

et

. On trace

dans un repère les deux droites. Les deux droites se

coupent en un point dont les coordonnées donnent

la solution du système

. Il est indispensable

de vérifier la solution lors d’une résolution d’un

système.

Il faut donc toujours vérifier les résultats de la

lecture graphique par le calcul

On peut ainsi lire graphiquement une approximation

de la solution du système.

EXEMPLE 2 : vecteurs directeurs colinéaires et les ordonnées à l’origine sont identiques


est l’équation d’une droite de vecteur directeur ,

est l’équation d’une droite de vecteur directeur

.

Ainsi, les deux droites ont des vecteurs directeurs colinéaires (et par conséquent des

coefficients directeurs identiques) et les ordonnées à l’origine sont identiques. Ainsi, les deux

équations du système représentent la même droite :

Graphiquement, on obtient un cas particuliers de droites

parallèles « droites confondues »

EXEMPLE 3 : vecteurs directeurs colinéaires et les ordonnées à l’origine sont différentes




est l’équation d’une droite de vecteur directeur ,

est l’équation d’une droite de vecteur directeur

.

Ainsi, les deux droites ont des vecteurs directeurs

colinéaires (et par conséquent des coefficients

directeurs identiques) mais les ordonnées à l’origine sont

différentes ( ). Ainsi, les deux équations du système

représentent deux droites strictement parallèles.

D. Résolution d’un système linéaire de 3 équations à 2 inconnues

Définition :

Considérons le système formé par trois équations linéaires à deux inconnues et :

où les inconnues et sont des scalaires réels et les données sont composées par des coefficients

et et par le second membre pour tout et

Résolution algébrique :

EXEMPLE 1 :

Soit à résoudre le système linéaire suivant,

On considère le sous système de deux équation à deux inconnues

qui admet comme

unique solution . Ce pendant cette solution ne vérifie pas l’équation restante, en effet,

. De ce fait, le système est impossible.

EXEMPLE 2 :





qui admet comme

unique solution . Cette solution vérifie aussi l’équation restante, en effet, .

De ce fait, le système admet une solution unique.

EXEMPLE 3 :



qui admet une infinité

de solutions pour tout réel . Cette solution vérifie aussi l’équation restante, en effet,

.

De ce fait, le système admet une infinité de solutions.


Géométriquement, résoudre un tel système revient à déterminer l’intersection de trois droites dans le plan

. Le système est généralement impossible, mais il peut être indéterminé ou avoir une solution unique.

EXEMPLE 1 :

Soit à résoudre le système linéaire suivant,

L’intersection de ces trois droites dans le plan est vide. Ainsi,

le système n’admet aucune solution.

EXEMPLE 2 :


L’intersection de ces trois droites dans le plan se réduit à un

point. Ainsi, le système admet une solution unique.

EXEMPLE 3 :




Les trois équations de ce système sont équivalentes, donc

elles représentent la même droite. Ainsi, le système admet

une infinité de solutions.

E. Résolution d’un système linéaire de 2 équations à 3 inconnues

Définition :

Considérons le système formé par deux équations linéaires à trois inconnues et :

où les inconnues , et sont des scalaires réels et les données sont composées par des coefficients

et et par les seconds membres pour tout et .

Pour résoudre un système de deux équations à trois inconnues, on se ramène à un système de deux

équations à deux inconnues, la troisième étant considérée comme si elle était un paramètre. Si nous donnons

à, par exemple, une valeur , on obtient un système à deux inconnues et :


EXEMPLE 1 :


On fixe, par exemple, la variable . Soit

On remarque que , le système

est de Cramer, donc compatible. Pour tout fixé,

Pour chaque valeur de , le système admet une unique solution :

pour , on a admet l’unique solution

pour , on a admet l’unique solution .

En déduit que le système est indéterminé :



Pour chaque valeur de , le système admet une solution :

pour , le système admet la solution

pour , le système admet la solution .

On donne une autre écriture de l’ensemble des solutions à l’aide d’une équation paramétrique :

L’ensemble des solutions est une droite passant par et de vecteur directeur

« ou encore

»

EXEMPLE 2 :


On fixe, par exemple, la variable . Soit :

On remarque que on peut donc chercher un système qui lui est équivalent

dont les

premiers membres de ses équations sont identiques. Dans ce cas, les seconds membres des équations

formants sont différents donc le système

est donc impossible et par suite le système est

aussi impossible. Il en est de même pour le système

EXEMPLE 3 :

Soit à résoudre le système suivant :

On fixe, par exemple, la variable . Soit :

On remarque que on peut donc chercher un système qui lui est équivalent

dont les

premiers membres de ses équations sont identiques. Dans ce cas, les équations de sont carrement

équivalentes donc le système est donc indéterminé et par suite le système

est aussi indéterminé.

Il en est de même pour le système

Pour tout fixé on a,

En déduit que :

En effet, Les deux équations du système représentent le même plan. L’ensemble des solutions du

système est un plan d’équation

.




Géométriquement, résoudre un tel système revient à calculer l’intersection de deux plans dans l’espace .

Le système est généralement indéterminé, mais il peut être impossible.

EXEMPLE 1 :


Géométriquement, le système proposé représente l'intersection

de deux plans dans l'espace. Comme les coefficients respectifs

des variables et ne sont pas proportionnels, les deux

plans ne sont pas parallèles, ils sont sécants ; leur intersection

est donc une droite.

EXEMPLE 2 :


Comme les coefficients respectifs des variables et sont

proportionnels, les deux plans sont parallèles. Et puisque les

deux équations ne sont pas équivalentes les deux plans sont en

fait strictement parallèle. Leur intersection est donc vide.

EXEMPLE 3 :

Soit à résoudre le système suivant :

Comme les coefficients respectifs des variables et sont

proportionnels, et puisque les deux équations sont

équivalentes, les deux plans sont parallèles confondues. Leur

intersection est donc un plan.



F. Résolution d’un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues

Définition :

Un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues , et (ou tout simplement un système carré à trois

inconnues) est un système qui peut être écrit sous la forme standard suivante :

où les inconnues , et sont des scalaires réels et les données sont composées par des coefficients

et par les seconds membres pour tout .

Pour un système de 3 équations à 3 inconnues on a trois cas possibles :

Il peut avoir une solution unique (l’intersection de trois plans est un point de l’espace).

il peut se faire que deux des plans soient parallèles, auquel cas le système n’aura pas de solution,

l’un des plans contienne l’intersection des deux autres, auquel cas le système aura une infinité de

solutions.

Un système peut présenter des particularités qui permettent de le résoudre plus rapidement en employant une

méthode adaptée à ces particularités. En particulier, si un système de 3 équations à 3 inconnues présente

deux équations équivalentes, il se ramène alors à un système de deux équations à trois inconnues. Ce système

admet alors une infinité de solutions, que l’on exprime en fonction d’une des trois inconnues. Dans ce cas de

figure, il y a donc plusieurs façons d’exprimer les triplets solutions, suivant l’inconnue que l’on conserve en

paramètre. On présentera dans ce qui suit quelques méthodes de résolution.


EXEMPLE 1 :


( )

Le système étant de Cramer puisque , donc admet une et une seule solution.

Par inversion de matrice :

On calcule la matrice inverse de la matrice :

Ainsi,



Méthode de Cramer :

Le système est de Cramer, on peut appliquer les formules de Cramer :

Ainsi,

Méthode d’élimination (ou encore, méthode du pivot de Gauss) :

Le principe de base consiste à former un système triangulaire (inférieur ou supérieur) équivalent de trois

équations. On garde la variable dans la première équation et on l’élimine dans les deux équations restantes.

Par remontée on calcule les variables,



Ainsi,

Méthode de substitution :

Pour résoudre un système de 3 équations à 3 inconnues, il est pratique d’exprimer, à l’aide de l’une des trois

équations, une inconnue en fonction des deux autres, puis de remplacer cette inconnue par sa nouvelle

expression dans les deux équations restantes. Ces deux dernières équations forment alors un système de deux

équations à deux inconnues déjà traité.

De la première équation, tirons l’expression de en fonction de et de :

et remplaçons par son expression obtenue dans les deux autres équations. On obtient ainsi un système de

deux équations à deux inconnues et :

Ou encore,

On est donc ramené à résoudre le système :

Entre les deux dernières équations, éliminons par soustraction membre à membre :

On en tire : .

L’équation : donne alors

.

L’équation équivalente à la première équation du système nous donne

Ainsi,

Méthode par combinaisons linéaires :

Eliminons par addition entre les deux dernières équations

Eliminons par addition entre la première et la dernière équation.

Résolvons le système :

En soustrayons membre à membre, ces deux équations, on obtient : ou encore



L’équation donne alors

Enfin une des équations du système donné en amont, la première par exemple, donne la valeur de :

Ainsi,

EXEMPLE 2 :


On constate que :

En effet, les deux premières équations du système sont équivalentes. Le système se résume maintenant

en un système de deux équations à trois inconnues,

Ainsi, l’ensemble des solutions est une droite dans l’espace passant par le point

et de vecteur

directeur

:

EXEMPLE 3 :


On constate que

En effet, la première et la troisième équation du système sont équivalentes. Un système équivalent se

résume en un système de deux équations à trois inconnues,

Ainsi, l’ensemble des solutions est vide :

EXEMPLE 4 :




On constate que

En effet, les trois équations du système sont équivalentes. Le système se résume maintenant en un

système d’une seule équation à trois inconnues .

Ainsi, l’ensemble des solutions est un plan dans l’espace passant par le point

et de vecteur

normal

:


EXEMPLE 1:


Le système admet une solution unique.

EXEMPLE 2 :


Deux plans sont strictement parallèles (1ère

et 2ième

équations), le système est donc impossible.

EXEMPLE 3 :


Deux plans sont confondues (1ère

et 3ième

équations), le

système est équivalent à un système de deux équations à

trois inconnues :



le système est donc indéterminé : l’ensemble solution est une

droite dans l’espace.

EXEMPLE 4 :


Les trois plans sont confondues, le système est donc

équivalent à un système d’une seule équation à trois

inconnues : . Le système est

indéterminé : l’ensemble solution est un plan dans l’espace.

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Lahlou s4 Chapitre i