Les calculatrices au Capes de mathématiquesjohan.mathieu.free.fr/maths/doc_maths/voyage200/pour_le_capes.pdf · Un rappel de formules usuelles Regroupements de lignes trigonométriques

Les calculatrices au Capes de mathématiques


Les calculatrices actuelles permettent de disposer de divers logiciels dont l’usage est inscrit dans les programmes de l’enseignement secondaire. Leur place dans l’enseignement des mathématiques devient de plus en plus importante, et elles apportent avec elles dans les classes de nouveaux outils (calcul formel, applications géométriques) que les concepteurs des programmes n’avaient pas nécessairement prévus à cette place, et qu’ils n’ont pas forcément pris en compte. Les nouvelles modalités de la seconde épreuve orale du CAPES ont entre autre pour objectif de renforcer l’évaluation des capacités des candidats dans le domaine des TICE, et donc de l’usage pédagogique des calculatrices, puisque c’est de cette manière que le concours est actuellement pourvu en matériel.

Ce document commence par présenter les attentes du jury dans la maîtrise de ces outils et dans la réflexion sur leur rôle dans l’enseignement aujourd’hui. Il propose ensuite, pour les deux modèles mis à la disposition des candidats, quelques exemples illustrant des potentialités de ces machines pouvant servir dans le cadre de l’enseignement. Le jury s’attend à ce que les candidats maîtrisent ces potentialités, dans la mesure où les questions ainsi abordées restent dans le cadre des programmes des épreuves orales, et qu’ils aient réfléchi à leur usage. Les exemples ainsi donnés, en outre, ne prétendent nullement à l’exhaustivité.

La publication de ce document, ainsi que son contenu, ne peuvent être opposés au programme du concours, seul revêtu d’un caractère légal. Les items déclinés dans ce document (qui a été rédigé avec le souci de respecter l’esprit de ce programme) doivent être compris uniquement comme des aides à une bonne préparation et une formation adéquate des candidats. Seuls les sujets et les connaissances s’inscrivant dans le cadre des programmes du concours, et particulièrement des programmes des deux épreuves orales, sont exigibles des candidats. Le jury ayant pour mission de s’éclairer le mieux possible sur les capacités du candidat, il est cependant amené, dans ses questions, à explorer les ouvertures que celui-ci aura données lors de ses exposés ou dans des précédentes réponses.

Ce qu’on attend du candidat au Capes

Cette note s’appuie sur le texte du groupe Mathématiques de l’Inspection Générale « Les technologies de l'information et de la communication dans l’enseignement des mathématiques au collège et au lycée »1.

Dans le cadre du concours les compétences des candidats en matière de TICE sont évaluées à partir de l’usage qu’ils sont éventuellement conduits à faire des calculatrices mises à leur disposition et de la qualité de leur réflexion en ce domaine.

Voici, sans souci d’exhaustivité, quelques compétences que le jury attend des candidats.

Calculatrice numérique et opérations Le candidat doit être capable d’expliquer (en termes compréhensibles par des élèves) la

distinction entre calcul exact et approché. Il doit avoir une idée de la représentation des nombres dans une calculatrice numérique et des conséquences de cette représentation (par exemple savoir que 1014+1–1014 ne donne pas, en général, pour résultat 1).

1 http://www.eduscol.education.fr/index.php?./D0015/LLPHAG02.htm

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http://www.eduscol.education.fr/index.php?./D0015/LLPHAG02.htm


Calculatrice graphique et représentations Le candidat doit être capable d’obtenir la représentation graphique d’une fonction, de

visualiser sous diverses formes quelques termes d’une suite, d’obtenir les représentations graphiques associées aux séries statistiques que l’on rencontre dans l’enseignement secondaire en mathématiques mais aussi dans les autres disciplines (géographie, économie…). Il doit être conscient qu’un écran graphique ne permet d’afficher qu’un nombre fini de points.

Calculatrice formelle et calcul algébrique Bien que l’usage d’un calcul formel automatisé ne figure pas en tant que tel, de manière

explicite, dans les programmes de l’enseignement secondaire, la présence de fonctionnalités assez développées sur les machines actuelles – sur chacun des deux modèles présents au concours, mais aussi sur un grand nombre d’autres modèles – rend nécessaire un minimum de pratique de la part du candidat dans ce domaine.

Devenu enseignant, il sera de plus en plus souvent confronté à des questions d’élèves qui auront utilisé ces fonctionnalités pour effectuer des calculs, sans que leur professeur ait nécessairement demandé de passer par ce moyen … et il est donc éminemment souhaitable qu’il dispose de quelques bases pour élaborer sa réponse en pareil cas. Il ne s’agit évidemment pas de donner explicitement les procédures effectivement employées par le logiciel mais de montrer qu’il dispose d’algorithmes pour résoudre tel ou tel problème.

Logiciel de construction géométrique Le candidat doit être capable de construire les figures rencontrées dans les divers

exercices et avoir une idée des questions mathématiques que ces constructions permettent d’évoquer. Par exemple un candidat doit être capable de construire un quadrilatère dont les longueurs des côtés sont données et d’évoquer quelques-unes des questions qui peuvent être abordées à partir de cette construction (existence, aire et périmètre …).

Usage d’un tableur Les programmes du collège et du lycée font largement appel à cet usage. Les « micro-

tableurs » disponibles sur les modèles de calculatrice sont suffisants pour mettre en évidence les compétences attendues en ce domaine. Les programmes de l’enseignement secondaire et les documents d’accompagnement listent les principales situations où l’usage d’un tableur est pertinent. Les candidats doivent montrer qu’ils possèdent la maîtrise suffisante de l’outil pour mettre en œuvre ces diverses situations, ils doivent aussi avoir réfléchi aux apports de cet outil à l’enseignement des mathématiques.

Important : La session 2005 verra l'utilisation de deux calculatrices seulement : « ClassPad 300 » de Casio et « Voyage 200 » de Texas Instruments. Le jury affirme dès à présent une neutralité totale par rapport au choix que feront les candidats. Il est bien évident que les deux machines ne sont pas complètement identiques, et que sur tel ou tel point, l'une ou l'autre peut offrir une facilité ou une simplicité particulière. Mais nous réaffirmons que les candidats seront évalués sur le programme du concours tel que les calculatrices peuvent le servir, comme il l'est rappelé dans les documents publiés ci-dessous, et non sur leur capacité à utiliser des fonctionnalités particulières à telle ou telle machine. Le jury souhaite élargir dans l'avenir le choix proposé aux candidats, mais seuls les deux constructeurs précités offrent pour l’instant des modèles satisfaisant aux conditions requises.

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Un aperçu du « Voyage 200 »

Plan du document

Ce qu’on attend du candidat au Capes Calculs algébriques

– Expressions contenant des radicaux – Expressions polynomiales – Expressions rationnelles – Trigonométrie – Logarithme, exponentielle, puissances – Arithmétique des entiers – Nombres réels – Nombres complexes

Calcul différentiel – Calculs de limites – Dérivation, recherche d’extremum – Intégration – L’instruction Taylor

Résolution d’équations – Racines d’un polynôme – Résolution exacte ou approchée – Systèmes d’équations – Équations différentielles

Statistiques et probabilités – Modèles de régression – Statistiques à une variable – Statistiques à deux variables – Tracés statistiques – Probabilités, dénombrements

Listes et tableaux – Listes, séquences, sommes, produits – Matrices – Utilisation de l’éditeur de données

Modes graphiques – Le mode « Fonction » – Les modes « Paramétric » et « Polar » – Le mode « Sequence » – Le mode « 3D » – Le mode « Diff Equations »

Cabri-Géomètre – Un exemple de construction – Les différents menus

Un exemple complet – Approche géométrique – Mesures et calculs sur la figure – De la géométrie aux statistiques – Une réponse formelle

La programmation – Les scripts – Des programmes d’une ligne – Programmes et fonctions – L’éditeur de programmes

Exemples de programmes –

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Un aperçu du « voyage 200 »

Calculs algébriques Expressions contenant des radicaux

On voit que le Voyage 200 effectue parfois des simplifications ou des développements automatiques avec la fonction « racine carrée ».

Expressions polynomiales

L’instruction factor factorise sur les rationnels. On voit ici que l’argument supplémentaire « x » fournit la factorisation complète de x4+1 dans Ñ, et cFactor permet de le factoriser dans Â. On voit comment on développe l’expression a, d’abord sans distinguer x ou y, puis en organisant le résultat suivant x ou y.

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Expressions rationnelles

Développement d’une fraction rationnelle, puis retour à la forme initiale.

Mise au dénominateur commun (sans factoriser) Extraction du numérateur et du dénominateur.

On définit ici une fonction rationnelle f.

L’instruction propFrac permet d’extraire la partie entière (ou principale) de f (x).

On obtient ainsi l’équation de l’asymptote à la courbe y = f (x) (et le signe du terme résiduel donne le placement…)

Trigonométrie

Un rappel de formules usuelles Regroupements de lignes trigonométriques.

Valeurs trigonométriques directes ou inverses. Variations autour de la fonction tangente (avec utilisation de la fonction | « sachant que »)

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Logarithme, exponentielle, puissances

On voit que ex+y n’est pas automatiquement développé (expand est nécessaire), mais que le produit ex ey est automatiquement regroupé.

La dernière instruction montre comment sont évaluées des « puissances de puissances » (sans hypothèse sur x, y, z dans les trois premiers cas, et avec l’hypothèse x > 0 dans le dernier).

expand ne développe pas ln(xy) sans hypothèse sur x ou y (et c’est normal). Il faut par exemple supposer x > 0 (avec l’instruction | « sachant que »)

On voit également comment l’instruction « sachant que » peut faciliter les calculs symboliques avec le logarithme.

Arithmétique des entiers

Le Voyage 200 effectue des calculs exacts sur les entiers dans la limite d’environ 600 chiffres.

Une factorisation n’est pas « éditable », à moins de la transformer en chaîne de caractères.

Pcgd, ppcm, simplification auto, primalité. Quotient et reste entiers, « modulo ».

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Nombres réels

Approximation d’un réel par des rationnels. Arrondis, parties entières ou décimales.

Nombres complexes

Exemples de simplifications automatiques.

Calculs avec l’exponentielle complexe.

Les fonctions abs, angle, conj, imag, real considèrent que les variables ont un contenu « réel ». Pour spécifier un contenu « complexe », on fait suivre le nom d’un trait de soulignement.

Conversion entre coordonnées cartésiennes et coordonnées polaires (en mode « radians »)

Conversions d’angles (en mode « degrés » puis en mode « radians »)

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Calcul différentiel Calculs de limites

Nous voyons ci-dessus quelques limites simples. On constate comment (à l’aide d’un argument supplémentaire « 1 » ou « -1 ») on précise s’il s’agit d’une limite à droite ou à gauche.

L’écran ci-contre illustre des limites à l’infini. Le symbole « ¸ » seul signifie « + ¸ ».

Dérivation, recherche d’extremum

Dérivée symbolique d’ordre 1 ou plus. Dérivée n-ième du polynôme (x2-1)n.

Dérivée en un point. Dérivée numérique. Extremums locaux (en mode « approx »)

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Intégration

Voici quelques calculs de primitives On calcule ici des intégrales sur des segments

Quand l’intégration symbolique échoue, ou quand on le demande explicitement avec nInt, on passe en intégration approchée.

La fonction f est une intégrale dépendant de ses bornes. On voit que la calculatrice sait calculer et simplifier la dérivée de f.

On écrit une fonction rect calculant la valeur approchée de l’intégrale de f sur [0,1] par la méthode des rectangles, avec une subdivision régulière en n sous-segments. On effectue une application numérique avec la fonction définie par f (x) = 1/(1+x2), et en choisissant n = 10 puis n = 100. On termine en comparant avec la valeur obtenue par la fonction intégrée nInt.

L’instruction Taylor

On forme le développement de y = ln(x) en x = 0 à l’ordre 3, puis celui de y = (1+x) ex en x = 0 à l’ordre 2 (tangente y = 2x+1, courbe au-dessus), puis enfin celui de y = ln(x)/(x-3) en x = 1 à l’ordre 3 (et on remarque que la droite y =1-x est tangente d’inflexion).

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Résolution d’équations Racines d’un polynôme

L’instruction zeros donne les racines réelles, alors que cZeros donne les racines complexes. Si la résolution exacte est impossible, la calculatrice passe en numérique (ci-dessus on est « 3 FLOAT » pour les deux derniers résultats).

Résolution exacte ou approchée

On doit souvent « aider » la fonction nSolve à trouver une solution en indiquant une valeur pour initialiser la recherche. Ici, bien que f soit polynomiale de degré 4, ses racines sont assez simples pour être toutes trouvées de façon exacte par la fonction solve (ou par la fonction zeros).

Ici solve donne plusieurs solutions (7 en fait) de cos(3x) = cos(x), et de façon approchée. Ce n’est pas la bonne méthode : il faut réécrire l’équation, et les solutions sont alors obtenues de façon symbolique (@n1 et @n2 désignent des entiers relatifs arbitraires).

On trouve d’abord la solution de tan(x) = x la plus proche de la valeur Œ. Puis on place dans s et dans t deux fonctions trouvant la solution la plus proche de n Œ. Cependant t est d’exécution plus rapide que s, notamment pour les « grandes » valeurs de l’entier n (explication classique).

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Systèmes d’équations

Résolution d’un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues (ici solution unique).

Un système linéaire de deux équations à trois inconnues (ici infinité de solutions).

Ce système de deux équations à deux inconnues semble admettre une solution unique (x, y).

En fait le système précédent n’a pas de solution si m = 1, et en possède une infinité si m = -2.

Ce système non linéaire de deux équations à deux inconnues possède deux solutions : les deux intersections du cercle de centre O et de rayon 5 avec la droite d’équation y = 2(x-1). La dernière instruction place les coordonnées de ces deux points dans une matrice 2×2.

Ici on résout matriciellemment le même système

linéaire x y z

x y z

x y z

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

+ =+ =

+ =

2 3 - 1-5 02 4 - 2

que dans le premier

exemple ci-dessus. Le résultat est obtenu sous la forme d’un vecteur colonne.

Équations différentielles

Exemples d’équations différentielles linéaires d’ordre 1. Les symboles @1, @2, etc. désignent ici des constantes arbitraires.

Équations différentielles linéaires d’ordre 2. On peut préciser des conditions initiales, comme « … and y(0) =1 and y’(0) = 0 »).

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Statistiques et probabilités Modèles de régression

On définit la liste a des abscisses ak, la liste b des ordonnées bk, et celle des effectifs nk (elle est facultative : par défaut les nk valent 1). On calcule la droite de meilleure approximation des points Mk(ak, bk) avec les effectifs nk.

ShowStat résume les résultats de la régression.

Après « regeq(x)→y1(x):NewPlot 1,1,a,b »

Il y a bien d’autres modèles possibles de régression : QuadReg, CubicReg, ExpReg, PowerReg, LnReg, SinReg, MedMed, Logistic.

Voici l’affichage obtenu (avec les mêmes points et des effectifs égaux à 1) après une régression quadratique (QuadReg) et l’instruction « regeq(x)→y1(x) : NewPlot 1,1,a,b) » qui trace les points et la fonction polynôme de degré 2 qui constitue l’approximation.

Pour faire bonne mesure, voici l’approximation cubique (instruction CubicReg) de notre nuage de points (toujours avec des effectifs de 1) …

… et l’approximation quartique par QuartReg : (les deux points qui posaient problème avec QuadReg sont mieux pris en compte).

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Statistiques à une variable

On définit une liste x de 10 valeurs xk.

Des fonctions intégrées permettent d’en calculer la longueur, le minimum, le maximum, la somme, la moyenne et la médiane.

La variance et l’écart-type sont ici calculés à l’anglo-saxonne (valeurs « de population » et non « d’échantillon »).

On forme ici la liste des carrés des xk. Cela permet de calculer la (vraie) variance v de la liste x, et sa racine carrée l’écart-type e.

On retrouve enfin la variance « de population » obtenue ci-dessus (qui était obtenue par division par n-1=9 et non par l’effectif n =10).

Sur cet exemple, on reprend la liste x précédente mais on ajoute une liste n d’effectifs nk.

On calcule la liste des nk xk, la liste des effectifs cumulés, et la moyenne arithmétique des valeurs xk pondérées par les effectifs nk.

L’instruction « OneVar x,n:ShowStat » permet de retrouver les résultats précédents (et bien plus encore…). Dans cette syntaxe, la liste n des effectifs nk est facultative (par défaut les effectifs nk

valent 1).

Sur la fenêtre PopUp (flèches de direction pour la parcourir) on lit la moyenne š des nk xk, leur somme Σx, la somme Σx2 des nk xk

2, l’effectif total nStat, l’écart-type de population Sx, la médiane medStat, les quartiles q1 et q2,…

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Statistiques à deux variables

Pour les listes x et y, on forme la liste des produits xk yk, puis la covariance de x et y.

Avec les mêmes listes x et y, on calcule les deux variances, puis le coefficient de corrélation.

« TwoVar x,y : ShowStat » affiche les données statistiques des listes x, y : moyennes š et ›, sommes des xk, des yk et de leurs carrés, somme des xk yk, écarts-type de population Sx et Sy, nombre de points, valeurs extrêmes en x et y.

Tracés statistiques

L’éditeur de données et de matrices est bien adapté aux calculs et tracés statistiques, mais on peut très bien créer et afficher un tracé statistique depuis l’écran principal de calcul. En voici deux exemples, parmi bien d’autres possibilités…

Les instructions…

…et le résultat (dans la fenêtre [-1,15]x[-1,10])

Les instructions…

…et le résultat, une « boîte à moustaches »

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Probabilités, dénombrements

L’instruction rand() renvoie un réel pseudo-aléatoire compris entre 0 et 1.

Pour tout entier n positif rand(n) renvoie un entier pseudo-aléatoire de [1, …, n].

On place ici dans la variable s une liste de 100 entiers pseudo-aléatoires compris entre 0 et 10.

L’instruction « newplot 1,4,s : DispG » donne l’histogramme des valeurs de cette liste s.

L’instruction RandSeed permet de réinitialiser le générateur de nombres aléatoires.

On calcule ici (de deux manières) le nombre de combinaisons ou d’arrangements de 3 éléments pris parmi 10.

On définit ensuite une fonction bnp donnant la loi binomiale de paramètres n, p.

On calcule enfin la probabilité d’obtenir 3 fois « pile » si on lance 10 fois une pièce équilibrée.

La fonction piece() donne 0 ou 1 avec la même probabilité (on convient que 1=«pile»). On simule d’abord 5 lancers de cette pièce. La fonction lancers() compte le nombre de cotés « pile » en 10 lancers successifs. On met enfin dans la variable s la liste de 100 résultats successifs de la fonction lancers().

L’instruction « NewPlot 1,4,s : DispG » donne l’histogramme des valeurs contenues dans la liste s (il faut régler les paramètres de fenêtre pour bien centrer le graphique). La position du curseur sur l’écran montre que notre « pièce » a réalisé 26 fois le score de 5 piles à l’issue des 100 séries de 10 lancers.

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Listes et tableaux Listes, séquences, sommes, produits

L’instruction seq permet de créer des listes dont le terme général obéit à une formule donnée (ici les angles de 0 à π/2 avec un « pas » de π/6).

De nombreuses fonctions (comme ici la fonction cos) peuvent être évaluées sur des listes (et elles renvoient alors la liste des images).

Tri ascendant ou descendant d’une liste de 12 entiers choisis aléatoirement dans [1,9].

Opérations arithmétiques sur une liste (parmi bien d’autres possibilités…)

On regroupe dans u deux listes s et t. On calcule la somme et le produit des éléments de u, puis on extrait de u six termes à partir du quatrième.

A la suite de ce qui précède, on extrait les huit premiers termes de u, puis les sept derniers ; on place dans v les cumuls d’éléments de s, etc.

On calcule ici trois sommes classiques. NewProb permet de s’assurer (entre autres) que les variables a…z sont vides de tout contenu. C’est une bonne façon de « faire le ménage »…

On forme la somme des n premiers termes d’une suite géométrique (et sa limite si 0 < q < 1) Le dernier calcul montre une simplification du produit des 1-1/k2 avec 2 ≤ k ≤ n)

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Matrices

Les programmes de mathématiques de Terminale ES introduisent des notions de théorie des graphes, comme la matrice associée à un graphe (éventuellement pondéré par des probabilités).

On définit ici une matrice carrée A d’ordre 2. La syntaxe est [[3,4][2,3]] a. On calcule A2 puis [x,y]A et A[[x][y]].

On calcule l’inverse B de A, et on vérifie que le produit AB donne la matrice identité. On forme enfin la matrice transposée de A.

Ici M est aléatoire de taille 3×5. Les symboles « .+ », « .* », « .^ » etc. appliquent une même opération à tous les coefficients d’une matrice.

Cette fonction r est un bon moyen de former la matrice d’adjacence d’un graphe orienté.

On voit ici un mécanisme pour créer la matrice d’adjacence B d’un graphe non orienté (matrice symétrique par rapport à sa diagonale).

Pour le graphe non orienté d’ordre 4 défini par la matrice B, il y a 13 chaînes de longueur 5 joignant S1 à S2, et 40 cycles de longueur 5.

Ici P est la matrice de transition d’un graphe probabiliste et v l’état probabiliste à l’étape 0. On calcule l’état probabiliste aux étapes 1 et 3.

Ces résultats laissent à penser que la suite des puissances successives de P est convergente, et que l’état probabiliste « final » est [1/2, 1/4, 1/4].

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Utilisation de l’éditeur de données

L’éditeur de données permet de créer, de modifier et de sauvegarder des objets de type « liste » (une seule colonne) ou de type « donnée » (plusieurs colonnes de longueurs quelconques) ou de type « matrice » (une ou plusieurs colonnes de même longueur. Une colonne peut être calculée en fonction d’une ou de plusieurs autres, comme dans un tableur. L’éditeur de données est également un environnement confortable pour préparer (choix des paramètres) et effectuer un calcul statistique, puis pour afficher le graphique correspondant.

L’éditeur s’ouvre alors sur un tableau vide, qu’on peut remplir à sa guise, et bien sûr sans se limiter comme ici aux 7 premières lignes… Sur cet exemple, on va considérer les éléments de la colonne c1 comme des abscisses xk, et ceux de c2 comme des ordonnées yk. De même nous interpréterons les deux éléments de la colonne c3 comme les coefficients a et b d’une droite d’équation y = a x + b.

On place l’expression (c2-c3[1]*c1-c3[2])^2 dans la case marquée c4 à l’écran : la quatrième colonne se remplit alors immédiatement avec les valeurs (yk

– a xk - b)2.

On place enfin l’expression sum(c4) dans la case marquée c5 : la somme des (yk

- axk - b)2

apparaît donc dans la première cellule c5. Les colonnes c4 et c5 dépendent maintenant des colonnes précédentes (voir le « cadenas »)

Si on modifie les deux valeurs de la colonne 3 les contenus des colonnes 4 et 5 sont recalculés (ce mécanisme automatique peut être désactivé). Nous avons ainsi créé les conditions d’une approximation interactive, au sens des moindres carrés, du nuage des points Mk (xk, yk) par la droite d’équation y = a x+b : le « jeu » est de bien choisir le contenu des colonnes c3[1] et c3[2] pour minimiser celui de c5[1].

On crée la variable exemple de type Data. On n’a pas à préciser le nombre de lignes ou de colonnes.

Nous allons maintenant piloter, depuis l’éditeur de données, le tracé conjoint de la droite de régression y = a x+b et du nuage des points Mk (xk, yk). Toute cette étude aura donc été effectuée sans qu’il soit besoin de programmer ou de connaître le nom et la syntaxe des fonctions utilisées.

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Dans l’écran précédent, on choisit « F5:Calc » pour paramétrer le calcul statistique.

On choisit le modèle LinReg, qui est l’une des options de « Calculation Type ». On place c1 dans le champ réservé à la variable indépendante x, et c2 dans celui réservé à la variable dépendante y. On choisit de placer le résultat de la régression dans la fonction y1.

A l’appui sur Enter, le résultat de la régression (notamment les coefficients a et b de la droite y = a x+b des « moindres carrés ») est affiché.

On trouve alors le minimum de Σ(yk

- axk - b)2

en plaçant l’expression RegCoef[1] (donc a) dans c3[1] et RegCoef[2] (donc b) dans c3[2].

Toujours à partir de l’éditeur de données, le menu « F2 : Plot Setup » ouvre un écran permettant de paramétrer le tracé statistique.

Dans l’écran ouvert par « F1:Define », on choisit un tracé « Scatter » (nuage de points), chaque point étant représenté par un carré. On place c1 et c2 dans les champs x et y.

Un appui sur Enter et on voit que les données du tracé sont complètes et sélectionnées. On sort de cet écran par un appui sur la touche Esc.

Dans l’écran « Y= » on voit qu’un tracé stats est sélectionné, et que y1 contient notre droite. On choisit « 9:ZoomData » dans « F2:Zoom »

Le choix du zoom à l’étape précédent ajuste automatiquement la fenêtre de tracé pour qu’elle contienne au mieux le nuage de points, et lance le tracé de la droite de régression et du nuage. On termine ainsi cette étude interactive (menée toute entière depuis l’éditeur de données) de la droite d’approximation d’un nuage de points, au sens des moindres carrés.

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Modes graphiques

Un appui sur la touche MODE affiche la première page du menu des différents « modes » de la calculatrice. La sélection du premier « champ » permet de choisir un « mode graphique » (celui qui est actif apparaît en surbrillance). On peut ainsi préparer la calculatrice pour le tracé de fonctions y = f (x), d’arcs paramétrés, de courbes en polaires, de suites, de surfaces, ou de solutions d’équations différentielles.

Le mode « function »

Un appui sur la touche [Y=] donne accès à l’écran de saisie des fonctions à représenter. La touche [F3] permet de modifier une expression déjà entrée en ligne de saisie. La touche [F4] sert à (dé)sélectionner les fonctions à tracer (la sélection est mise par défaut à la saisie). Le sous-menu [F6] permet de choisir un « style » de tracé pour chacune d’elles.

Le sous-menu [F5] permet de (dé)sélectionner toutes les fonctions d’un coup, de réinitialiser tous les styles de tracé, ou encore de désactiver les représentations statistiques en cours, pour qu’elles n’interfèrent pas avec le tracé à venir.

La touche [WINDOW] permet de modifier les caractéristiques de la fenêtre de tracé. • xmin (resp. xmax) représente l’abscisse minimum (resp. maximum). • ymin (resp. ymax) représente l’abscisse minimum (resp. maximum). • xscl et yscl désignent l’écart entre deux marques successives sur chaque axe. • xres = n signifie qu’un tracé de point est effectué toutes les n colonnes.

Augmenter n accélère le tracé au détriment de sa précision. • Les données affichées ici sont celles obtenues après un zoom de type ZoomDec (voir ci-après).

Voici le tracé (avec les données précédentes) après un appui sur la touche [GRAPH]. La courbe y1 a été munie du style thick c’est-à-dire en gras, et y2 a été munie du style dot c’est-à-dire en pointillés. On voit que le tracé de y1(x) = 2sin(x)/√(x) n’a pas provoqué d’erreur pour x < 0. Nous allons maintenant aborder certaines des possibilités offertes dans cet écran de tracé.

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Nous commençons par le menu [F2:Zoom], qui offre de nombreuses possibilités :

• ZoomBox : dans un rectangle dessiné par l’utilisateur. • ZoomIn (resp. ZoomOut) : en avant (resp. en arrière), à partir d’un point

choisi par l’utilisateur, et d’un coefficient défini par SetFactors. • ZoomDec : centre en (0,0) avec ∆x = ∆y = 0.1 (un pixel = 1/10ème d’unité). • ZoomSqr : ajuste l’axe Oy pour passer en repère orthonormé. • ZoomStd : fenêtre par défaut [-10..10]× [-10..10], xcsl = yscl = 1. • ZoomTrig : centre en (0,0), ∆x = π/24, xscl = π/2, -4 ≤ y ≤ 4, yscl = 0.5 • ZoomInt : centre au point choisi, puis ∆x = ∆y = 1, et xscl = yscl = 10.

• ZoomData : ajuste la fenêtre aux données statistiques sélectionnées. • ZoomFit : ajuste l’axe Oy pour visualiser au mieux les tracés de fonctions. • Memory : permet d’annuler le dernier zoom effectué, ou de sauvegarder les dimensions actuelles,

ou de rappeler celles qui ont été sauvegardées. • SetFactors : permet de régler les coefficients de zoom en x ou y pour ZoomIn et ZoomOut.

Après le choix ZoomBox, on est invité à choisir deux points diamétralement opposés d’un rectangle dans lequel on va effectuer le zoom.

Le choix des deux points s’effectue en déplaçant un point mobile à l’écran (avec les touches de déplacement, éventuellement préfixées par la touche [2nd] pour aller plus vite…)

Le choix de chaque point est validé par [ENTER]. Dès le deuxième point choisi, le zoom est effectué dans la fenêtre ainsi définie.

Ici nous avons zoomé dans [0,11]×[-1..2]. Un passage par l’écran [WINDOW] permettrait de confirmer que les valeurs de xmin, xmax, ymin et ymax ont bien été modifiées.

Le menu F1/9:Format (accessible par [♦][F]) permet de régler certains paramètres de l’affichage :

• Coordinates : choix entre un affichage des coordonnées (x,y) ou (ρ,θ ) ou aucun.

• Graph Order : courbes y1, y2, etc. l’une après l’autre ou simultanément.

• Grid : affiche ou non une grille de repérage. : affiche ou non les axes de coordonnées• Axes .

• Leading Cursor : affiche ou non un curseur

mobile lors du tracé. Labels : affiche ou no• n le nom des axes.


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Nous allons continuer l’exemple précédent, en survolant rapidement les différentes options de menu accessibles depuis l’écran de tracé.

Dès le tracé terminé, l’utilisateur peut (au moyen des touches de déplacement du clavier) déplacer un « viseur ». Celui-ci désigne un point dont les coordonnées (x, y) apparaissent (si on est mode « coordinates = rect », voir ci-avant) au bas de l’écran. Les mouvements du point se font pixel par pixel, mais si on préfixe les touches de déplacement par [2nd], on va dix fois plus vite.

[F3:Trace] permet de passer en mode « suivi ». Le viseur se place alors sur une des courbes. Les déplacements → ou ← sont limités à la courbe en cours de suivi. Les déplacements ↑ ou ↓ provoquent un saut à la courbe suivante (s’il y en a plusieurs !) Le chiffre en haut à droite indique le numéro de la courbe actuellement suivie. Un appui sur ESC fait quitter le mode « suivi ».

En mode « suivi », un appui sur [Enter] centre l’écran sur le point où se trouve le viseur. Le menu [F7] permet d’ajouter des éléments graphiques au tracé en cours. Les déplacements du viseur peuvent être préfixés (donc accélérés dix fois) avec la touche [2nd]. Chaque construction peut être interrompue par un appui sur [ESC].

• Pencil : ajoute des points isolés (se déplacer puis [Enter]) ou de tracés continus (appuyer la touche « main » enfoncée pendant le déplacement).

• Eraser : comme Pencil, mais efface des points ou des tracés. • Line : trace un segment entre deux points choisis. • Circle : trace un cercle (choisir le centre puis le rayon). • Horizontal, Vertical : trace une droite parallèle à l’un des axes. • Text : choisit l’emplacement, taper le texte puis valider par [Enter].

Le menu [F6 Draw] permet d’ajouter au tracé en cours des représentations graphiques de fonctions, d’inverses de fonctions, de courbes en polaires, d’arcs paramétrés, de droites. L’option « ClrDraw » de ce menu efface les objets graphiques auxiliaires ajoutés avec [F6] et [F7] et trace à nouveau les fonctions y1, y2, etc. (action analogue à [F4:Regraph]). Dans les syntaxes rappelées ci-dessous, les noms de variables x, θ ou t sont imposés.

Attention : les courbes ajoutées au moyen du menu [F6 Draw] ne sont pas enregistrées en mémoire (notamment dans l’écran [Y=]) et ne peuvent donc pas faire l’objet d’une étude mathématique au moyen des outils du menu [F5 Math] (voir page suivante).

• « Drawfunc f (x) » ajoute la courbe d’équation y = f(x) au tracé en cours.

• « DrawInv f (x) » ajoute la courbe symétrique de y = f(x) par rapport à y = x.

• « DrawPol ρ(θ), θmix, θmax, ∆θ » ajoute la courbe en polaires ρ= ρ (θ ). • « DrawParm x(t), y(t), tmin, tmax, ∆t » ajoute l’arc paramétré x = x(t), y = y(t).

• « DrawSlp a, b, m » ajoute la droite passant par (a, b) de coeff directeur m.


Nous poursuivons l’exemple présenté au début de cette section consacré au mode « function ». Nous allons maintenant examiner les options du menu [F5 Math].

La plupart d’entre elles s’appliquent à une des fonctions yk qui sont tracées. Il convient de choisir d’abord cette fonction, au moyen des touches de déplacement vertical.

Il faut aussi souvent choisir une abscisse a ou un segment [a, b] avec a < b. Ce choix s’effectue en « mode suivi » sur la courbe sélectionnée, ou en tapant directement la ou les abscisses.

Certaines des fonctions du menu [F5 Math] se traduisent par un résultat numérique (une intégrale par exemple), ou par le placement du viseur sur un point particulier (par exemple un maximum) ou encore par un effet graphique (tracé d’une tangente, zone grisée pour une intégrale, etc.) Ces ajouts graphiques peuvent être effacés par un appui sur la touche [F4 Regraph].

Voici donc les différentes options du menu [F5 Math] :

• Value : demande l’abscisse x et place le viseur en (x, y1(x)). • Zero : recherche une valeur annulant la fonction sélectionnée, sur un segment [a, b] choisi. • Minimum, Maximum : recherche un extremum de la fonction sélectionnée.

• Intersection : cherche une intersection de deux courbes. • Derivative : calcule le nombre dérivé au point choisi de la fonction. • ·f(x)dx : calcule l’intégrale de la fonction sur un segment. • Inflection : cherche un point d’inflexion de la fonction. • Distance : calcule la distance entre deux points de deux courbes. • Tangent : trace la tangente en un point de la courbe et donne son équation. • Arc : calcule la longueur de la courbe entre deux points choisis. • Shade : ombre la zone entre deux courbes, sur un intervalle donné.

Voici les étapes pour trouver une racine de y1.

Voici les étapes pour intégrer y1 de π à 2π.

On a ombré (avec « shade ») la zone située au-dessus de y1, en dessous de y2, et sur [2,7].

On a tracé la tangente pour x = 7 à la courbe y1. L’équation de la tangente est affichée).

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sur l’image obtenue.

nt être [TBLSET].

] (ou [APPS 5]).

On vient de voir que la calculatrice peut afficher les représentations graphiques des fonctions sélectionnées et permet d’effectuer toutes sortes de « traitements »Il est également possible de créer une table des valeurs des fonctions tracées. Cette table peut être générée automatiquement ou à la demande.

• En mode « AUTO », la table des valeurs peut être celles des points utilisés dans la représentation graphique (elle est alors dépendante des paramètres définissant la fenêtre de tracé) ou au contraire être générée à partir d’une valeur initiale et d’un incrément de la variable x.

• En mode « ASK » c’est à l’utilisateur de préciser les valeurs (ou les suites de valeurs) de la variable x dont il souhaite calculer les images par les fonctions sélectionnées.

Les paramètres qui permettent de préciser comment former la table de valeurs doiveprécisés dans l’écran obtenu par un appui sur la touche

La table elle-même est affichée par un appui sur la touche [TABLE

Nous reprenons la situation décrite dans les eux mêmes

passe en ant au départ sur

e

exemples précédents, avec les dfonctions y et y , et les mêmes 1 2 paramètres de fenêtrage. Un appui sur la touche [F3 Trace]mode « suivi », le viseur se situle point d’abscisse médiane de la courbreprésentative de y1.

Dans [TBLSET] on choisit de faire dépendre la table des valeurs du graphe de y1 et y2.

Voici le résultat obtenu par [TABLE]. On a réglé la largeur des colonnes avec [♦][F].

Dans [TBLSET] on peut aussi préciser une valeur initiale de x, et un incrément.

Voilà alors le résultat dans [TABLE]. La mention « undef » signifie que y1(0) n’est pas défini.

En mode « Independent = Ask », l’utilisateur peula calculatrice lui répond par les images corr

t saespond

isir des valeurs arbitraires dans la colonne x, et antes par les fonctions sélectionnées.


Voici enfin l’exemple d’une famille de courbes dépendant d’un paramètre. On définit y1(x) en fonction du paramètre (ici n), et on place dans la variable n la liste des valeurs de ce paramètre. Mais attention : les différentes courbes ainsi obtenues ne peuvent pas être différenciées (par exemple dans [F5 Math]) comme le seraient les courbes y = yk(x) pour différentes valeurs de k.

Dans [Y=] on définit y1(x) = n x / (n + x2). Dans [Calc Home] on place la liste {1,2,…,10} dans la variable n. Dans [Window] on se place sur [0,10]×[0,2], avec xres=5 pour accélérer le tracé. On lance le tracé avec la touche [Graph]. On obtient ainsi le tracé de 10 courbes, pour les valeurs de l’entier 1 ≤ n ≤ 10.

Les modes « Paramétric » et « Polar »

Il s’agit ici de tracer et d’étudier des arcs paramétrés définis par des égalités x = x(t), y = y(t), ou des courbes définies en polaire par une équation ρ = ρ(θ). Comme ce n’est pas vraiment abordé dans le second cycle des lycées, nous nous contenterons d’un survol très rapide.

Les menus [Style], [Zoom], [Draw], [Math], etc. sont ceux du mode « fonction » et ont été décrits précédemment. On notera que le contenu des écrans [Y=] et [Window] est dépendant du mode graphique en cours (expressions à mémoriser, paramètres de fenêtres…).

En « Parametric », voici les étapes (écrans [Y=], puis [Window] puis [♦][Graph]) de la construction de la courbe x(t) = cos(3t), y(t) = sin(2t), pour 0 ≤ t ≤ 2π, dans la fenêtre [-1.5..1.5]×[-1.5..1.5].

En « Polar », voici les étapes (écrans [Y=], puis [Window] puis ♦[Graph]) de la construction de la courbe ρ = √(θ), avec 0 ≤ θ ≤ 10π, dans la fenêtre [-6..6]×[-6..6], avec un « pas » ∆θ

= 1/10.

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Le mode « sequence »

Ce mode permet de tracer et d’étudier des suites numériques : • Dont le terme général un est donné explicitement, par exemple un=(1+1/n)^n pour n ≥ 1.

•

• Qui obéit à une relation de récurrence simple, du genre un+1 = f(un).

Dans ce cas il faut préciser la valeur du terme intial de la suite. Qui obéit à une relation de récurrence double, du genre un+2

= f(un+1, un). Dans ce cas il faut préciser la liste des deux termes intiaux de la suite.

Après avoir sélectionné le mode graphique

général de la suite. « sequence », on passe dans l’écran [Y=] et on saisit le terme On pose ici

21 2

300( ) n nu n +=90 n+

Bien sûr, cette suite va converger vers 1. itial

Les menus [F1] à [F6] offrent pratiquement les mê . Dans le menu [F6], il vaut mieux conserver « 3:Squ« SEQUENCE ». Le menu [F7 Axes] est propre au mode va représenter graphiquement la ou les suites sélec

Il n’est pas nécessaire de préciser le terme incar la suite est définie explicitement.

mes possibilités que dans le mode « FUNCTION »are » qui est le choix par défaut dans le mode « SEQUENCE » et permet de choisir la façon dont on tionnées.

Dans le menu [F7 Axes], on vérifie que les axes sont en mode « TIME » (affichage des entiers n en abscisses et des valeurs u(n) en ordonnées).

et de choisir pour quelles valeurs de n on va tracer les un acé. Il faut distinguer les valeurs de n pour lesquelles u(n) est

(celles-ci sont évidemment incluses dans celles-là).

En mode « SEQUENCE », l’écran [Window] permet les dimensions de la fenêtre de trcalculé et celles pour lesquelles il sera tracé

• On précise pour quels entiers (de nmin à nmax) les u(n) vont être calculés. Avec t le e uite. (à par

’est donc d• plotStep précise l’incrém

Dire que plotStrep = 1, c’Evidemment, les u(n) successifs sont toujours

• Le reste (xmin, etc.) définit la fenêtre de

cette définition, unmin devien• plotStrt indique à quel rang

Dire que plotStrt

pr mier élément calculé de la stir de nmin) on commence à tracer. ire qu’on va tracer à partir de u = 1, c nmin.

ent de n entre deux tracés successifs. est donc dire qu’on trace tous les un successifs.

calculés. tracé, comme dans le mode « FUNCTION »

Voici le tracé obtenu dans l’écran [Graph]. En abscisses on a les différentes valeurs de n : il est donc commode de choisir xmin = nmin et xmax = nmax dans l’écran [Y=].

Les menus [F1] à [F7] offrent les mêmes possibilités que dans le mode « FUNCTION », sauf [F5] (qui réduit à l’option Value) et [F3]

(qu’on va aborder maintenant).

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Avec un appui sur la touche [F3 Trace] on paen mode « suivi ». Des déplacements → et ←permettent de passer d’un point (n,

sse

e

dix fois) en préfixant le déplacement par [2nd]. sser

e qui n’est pas le cas ici).

On constate que la suite u, après avoir donné l’imp ante. Étant minorée, elle converge. Elle converge vers 1mais la fenêtre précédente est trop réduite (0 ≤ n ≤ 3

u(n)) auprécédent ou au suivant. On peut accélérer (d

Des déplacements ↑ et ↓ permettent de pad’une suite sélectionnée à l’autre (s’il y en a plusieurs bien sûr, cSur cet écran, le viseur pointe (10, u(10)).

ression d’être croissante, devient décroiss, bien sûr, comme le montre l’expression de un, 0) pour qu’on s’en rende bien compte.

Voici ce qu’obtient avec de nouveaux paramètres dans l’écran [Window].

é la droite y = 1

définie par

On trace de u0 à u200, en ne marquant qu’un point sur 10. On a aussi tracavec l’instruction Drawfunc 1 dans le menu [F6 Draw].

Nous allons maintenant considérer la suite u 0 2u 1= et 11 4n

nu

u −=

+pour tout n ≥ 1.

cette suite est 1.

5

Il est facile de voir que la seule limite possible de

Dans l’écran [CALC HOME] on définit la fonction f. Dans l’écran [Y=], on définit la suite par récurrence, et on précise la valeur du terme initial. Dans [WINDOW], on choisit

ler les de n = = 15, de les représenter tous à de calcu un 0 à nl’écran, et on fixe la fenêtre de visualisation.

Dans [F7 Axes] on choisit le mode « web » et un suivi « auto » (avec « trace », la représentation est interactive, à l’aide de déplacements →)

La calculatrice trace alors y = x, y = f(x), et une

la e.

représentation de la suite u. On constate que suite converge vers 1, sans être monoton

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On va maintenant étuu2 (resp. u3) des term

dier séparément les sous-suites

u3 (avec f o f et des 1/2, u3(0) = u1(1) = 5/3).

ionner u1 pour ême temps que u2 et u3.

On passe dans l’écran [WINDOW] pour adapter les paramè

es d’indices pairs (resp. impairs) de la suite u1 définie précédemment. On voit comment définir u2 et valeurs u2(0) = u1(0) =

La touche F4 permet de dé-sélectqu’elle ne soit pas tracée en m

tres de fenêtre à l’étude de u2 et u3.

Voici le tracé en mode « TIME ». On est passé en sur [F3 Trace].

ents → et ← permettent de suivre rs que

(le chiffre en haut à droite indique la suite suivie).

ici des suites) sélectionnées.

mode « suiviDes mouvem

» par un appui

la progression d’une suite particulière, alo↑ et ↓ passent d’une suite à une autre. Ici le viseur est sur le point (3, u2(3))

On voit que u2 (resp. u3) est croissante (resp. décroissante) et qu’elles convergent vers 1.

Comme dans le mode « Function » (et comme dans tous les modes graphiques sauf « 3D ») la calculatrice peut générer une table des valeurs des fonctions (

Dans [TblSet] on a choisi Independant=Auto et on a corrélé la table au graphe (Graph↔Table=On). Voici le résultat dans [Table]. On y voit les valeurs numériques approchées

Un appui sur [2nd][↓] permet d’avoir les valeurs

On peut égale f (un-1, un-2). Il faut alors don

des termes u2(n) et u3(n), pour 0 ≤ n ≤ 7. Rappel : on passe par [♦][F] pour régler la largeur des colonnes de la table.

des u2(n) et u3(n), pour 8 ≤ n ≤ 15.

ment étudier une suite définie par une récurrence d’ordre 2, donc par un =

ner la liste {u , u } des deux termes initiaux. 1 0

On définit la suite u par ( )1 2

1 910n n nu u u− −= +

et par u0 = 1 et u1

= 0. Dans [F6 Style] on choisit l’option « Line ». On règle les paramètres de la fenêtre de tracé. On va tracer les un de u0 à u25.

e]). n = 16.

Voici le résultat dans l’écran [Graph]. Les (n, un) sont les sommets de la ligne brisée. On les parcourt en mode « suivi » ([F3 TracLe viseur est ici sur (n, un), avec


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i d’étudier une suite de points Mn(xn,yn) du plan (ou ce qui e

Il suffit de définir deux suites à valeurs réelles (reordonnées yn) et de les tracer conjointement dans

On va voir enfin qu’ l est possible revient au même, une suite de nombres complex s zn

= xn + i yn).

présentant l’une les abscisses xn et l’autre les le mode « Axes = Custom ».

On définit 121nun

cos nπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= et 122nu

n

sin nπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠=

Dans [F6 Style], on choisit le style « Square »Dans [F7 Axes], on choisit « Axes

. ec

= Custom » avu1 sur l’axe Ox et u2 sur l’axe Oy. Dans [♦][F], on indique « Labels=On ». Dans l’écran [Window], on précise les paramètresdu tracé et de la fenêtre.

Voici le tracé obs’enroulent en u e. On peut bien sû 3 On remarque quLe résultat est a

nombres comple

tenu. Les points successifs ne spirale autour de l’originr les suivre avec [F Trace]. e les axes sont nommés. ussi une représentation des

xes in

nez

n= , avec 1 ≤ n ≤ 72.

L

x, ).

La calculatrice va afficher la partie de cette surface qui est incluse dans un parallélépipède dont les faces, parallèles aux plans de coordonnées, sont délimitées par des conditions qui s’écrivent:

xmin ≤ x ≤ xmax, ymin ≤ y ≤ ymax et zmin ≤ z ≤ zmax . Une fois qu’on a précisé la boîte de visualisation, fixe le contenu de cette boîte, et comm

La position de l’observateur est défini• Une longitude eyeθ, égale à 0° quand• Une colatitude eyeφ, égale à 0° quan ) et à 90°

quand il est dans le plan xOy (donc dans le plan z = 0).

que la caméra a été tournée d’un quart de tourl’impression d’avoir tourné d’un quartmieux conserver cet angle à la valeur 0°, et modifi

L’image observée à l’écran peut appa• En mode « Wireframe », on trace les coupes

Pour cela on découpe [xmin, xmax] (resp. [ymin, yma• Le mode « Hidden Surface » est identique, sauf• En mode « Contour Levels », on trace des coupes h

eue

e mode « 3D »

Ce mode graphique permet de tracer des surfaces d’équation z = f( y

il faut indiquer la position de l’observateur qui ent il tient sa caméra.

e par deux angles, toujours exprimés en degrés : l’observateur est suivant Ox (avec x > 0).

d il est « au pôle nord » (suivant Oz, avec z > 0

L’observateur a la possiblité de tourner sa caméra d’un angle eyeψ : si cet angle vaut 45°, c’est vers la droite (à l’écran l’image donnera

de tour vers la gauche). Dans la pratique, il vaut peut-être er seulement la position de l’observateur.

raître sous plusieurs formes : de la surface selon les plans parallèles à Oyz ou Oxz.

x]) en xgrid (resp. ygrid) parties égales. que le maillage masque les parties cachées.

orizontales de la surface. • Le mode « Wire and Contour » cumule les mod• Dans le mode « Implicit Plot », on ne trace q

s « Wireframe » et « Contour Levels ». l’intersection de la surface avec le plan Oxy.

Un aperçu du « voyage 200

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e de révolution d’axe Oz, et d’équation z = x2+y2.

»

A titre d’exemple, on va tracer le paraboloïd

Dans l’écran [Y=] on définit la fonction z1 le

e at ».

(remarque : on ne peut sélectionner qu’une seufonction zk à la fois en mode 3D)

Un appui sur [♦][F] mène au m nu « FormOn y choisit : • Un affichage des coordonnées x, y, z. • Le tracé de la boîte et le nom des axes. • Le style « fil de fer ».

On définit les paramètres de tracé dans l’écran [Window]• Une boîte de visualisation délim 2• Un observateur situé en longitu

direction d’observation vers un • La caméra est tenue droite (l’an• Pour le maillage, les intervalles

(il y aura donc 15 coupes à x co• Pour le mode « Contour », on pr

Le tracé est obtenu comme d’habitude par un appu e temps, pendant lequel le pourcentage des calculs déjà effectués s’affiche à l’écran.

mat »

. itée par -2 ≤ x ≤ 2, -2 ≤ y ≤ , 0 ≤ z ≤ 4.

de 20° ouest et 60° de colatitude (donc la angle de 30° avec la plan xOy). gle eyeψ est nul). en x et en y sont partagés en 14 parties égales nstant, et 15 coupes à y constant). évoit le tracé de cinq coupes horizontales.

i sur la touche [Graph], après un certain laps d

On peut ensuite passer d’un mode de représentation au suivant sans repasser par le menu « Formais par un simple appui sur la touche [F].

Tracé en mode « Wireframe »

En mode « ac » Hidden Surf e

En mode « Contour Levels »

En mode « Wire and Contour »

Le mode « 3D » récèle encore bien des possibilitésts) ma

(notamment celle qui consiste à animer la figure par des appuis sur les touches de déplacemen is restons-en là pour une première approche…


Le mode « Diff Equations »

A titre d’exemple, on va considérer une ou plusieurs solutions y(t) de l’équation y′ + y = 2e-t.

L’instruction deSolve montre que la solution générale est y(t) = (2t+λ)e-t, où λ est un nombre quelconque dont la signification est λ = y(0).

Dans [Window] on définit le temps initial t0

= 0, l’équation y1′ = − y1

+ 2e-t, et la condition initiale y1(t0) = 0 (on peut préciser une liste de CI)

Dans « Format » (touches [♦][F]) on précise entre autres : • La méthode d’approximation numérique des solutions de

l’équation diffférentielle. Ici c’est Runge-Kutta, plus précise mais moins rapide que la méthode d’Euler (l’autre choix).

• L’affichage « SLPFLD » (Slope field) des lignes de pente, qui donne une idée générale de l’ensemble des solutions.

Dans l’écran [Y=] on précise : • L’instant initial t0, le temps final tmax, et l’incrément tstep. • L’instant tplot à partir duquel le tracé doit commencer. • La fenêtre d’affichage xmin

≤ x ≤ xmax, ymin ≤ y ≤ ymax

. • Les distances xscl et yscl entre deux marques successives sur chaque axe. • Le nombre ncurves de courbes tracées en l’absence de condition initiale. • Le paramètre diftol de tolérance, pour la précision du tracé. • Le paramètre fdlres indiquant le nombre de colonnes dans le tracé du champ

des pentes (plus fdlres est élevé, plus ce champ est « dense »).

Un appui sur [Graph] et voici ce qu’on obtient : • La solution correspondant à notre condition

initiale y(0) = 0 est tracée (en gras). • La calculatrice trace aussi (ici en fldres = 20

colonnes successives) les tangentes aux courbes représentatives d’autres solutions de l’équation différentielle.

On peut suivre la courbe avec [F3 Trace].

Avec [F8] on peut donner une nouvelle condition initiale (interactivement avec le viseur ou en tapant les coordonnées d’un point, ici t =1, y =2). On obtient alors la solution correspondante.

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Cabri-Géomètre™

Quelques pages ne suffisant pas à détailler le fonctionnement d’une telle application, nous nous

se reportera à

contenterons d’un aperçu rapide.

Pour plus de précision sur le « projet Cabri », on www.cabri.imag.fr

Cabri-Géomètre permet de construire et d’animer des figures géomsur des constructions simples à partir d’éléments Ces objets de base sont « libres » en ce sens qu’ilconstructions formées à partir de ces objets sont a

Le « degré de liberté » d’un objet géométrique déOn pourra ainsi former un cercle (C) en précisantquelconque F, puis un point M sur (C), et enfin dessiner la m MF] : les points O et

M est « libre sur le cercle (C) ».

lde M : toute modification (resp. suppression) de Ol’actualisation (resp. la suppression) de ∆.

On pourra animer la figure en « lançant » le point la droite ∆ et même dessiner la courbe à laquelle ∆ e conique de foyers O et F (une ellipse si F est inté .

étriques. Celles-ci reposent de base (des points, des droites, des cercles). s peuvent être déplacés par l’utilisateur : les lors actualisées automatiquement.

pend des objets à partir desquels il est construit. son centre O et son rayon r, créer un point

édiatrice ∆ de [F et le rayon r sont totalement libres, alors que le point

Quant à la droite ∆, elle n’a plus aucun degré de iberté puisqu’elle est fixée par le choix de F et , r, F ou M se traduit automatiquement par

M sur le cercle (C), observer le mouvement de reste toujours tangente : cette courbe est un

rieur à (C), une hyper l lui est extérieur)bole s’i

Voici l’écran d’ouverture d’une nouvelle session de géométrie. Cet écran n’est qu’une fenêtre ouverte sur une feuille de travail qu’on

p plus grande. tre déplacé librement.

appui sur ESC.

enus en français (on rappelle que

peut imaginer beaucouLe « pointeur » peut êIl a ici la forme d’une croix, signe qu’on se déplace sans intention particulière. On pourra revenir à ce mode par

Dans toute la suite de cette présentation, nous utiliserons les mle choix de la langue s’effectue dans la troisième page du menu MODE).

Un appui sur ♦F (ou encore le choix de l’opt9:Form

ion at dans le menu F8) ouvre un menu de

es

lieu défaut égal à 20, mais qu’on

ns, rotations, ar ENTER la

configuration dans lequel on peut fixer quelqucaractéristiques de l’environnement. C’est là notamment qu’on peut fixer le nombre de points utilisés dans la construction d’un géométrique (par peut augmenter jusqu’à 99).

La création de nouveaux objets (points, cercles, droites, etc.) et les constructions à partir d’objets de base (parallèles, médiatrices, etc.) ou de transformations (translatiosymétries, etc.) s’effectuent en choisissant l’option de menu appropriée et en validant pposition de création (ou les objets nécessaires à la construction).

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Uli

n exemple de construction Nous allons détailler l’exemple évoqué dans les gnes qui précèdent.

On choisit l’option « F3:Cercle ». On appuie sur ENTER pour créer le centre du cercle. On tape immédiatement la lettre O pour nommer ce point (c’est facultatif).

gir le tape

le obtenu. A ce stade, l’outil « Cercle » est encore actif (au cas où on

u cercle).

On déplace ensuite le pointeur pour élarrayon du cercle. On valide par ENTER et on(C) pour nommer le cerc

veuille tracer un nouvea

Dans le menu F2, on choisit l’outil « Poinun objet ». Le curseur n’a pas be

t sur soin d’être

te déjà sur un point de (C).

uite au mode

quelque part à l’intérieur du cercle (C).

déplacé car il poinOn valide ce point et on le nomme M. Un appui sur ESC nous ramène ensde déplacement libre. On place le pointeur

Avec l’outil « F2:Point », on crée un point F. On choisit alors l’outil « F4:Mediatrice ». Avec le pointeur on désigne le point F puis le point M. La médiatrice du segment [MF] est alors tracée et on lui donne le nom (D). Remarque : la construction du dernier objet peut toujours être annulée par ♦Z.

On choisit ensuite l’outil « F4:Lieu ». On sélectionne la droite (D) (l’objet dépendant) puis le point M (l’objet donc dépend la droite). La calculatrice trace une courbe représentant « l’envelo (D) quand le point M parcourt le cercle (C). Cette

ppe » de la famille des droites

courbe est une ellipse de foyers O et F à laquelle la droite (D) reste constamment tangente.

On peut modifier la position de M sur (C) et observer les conséquences sur la droite (D). Pour cela on amène le pointeur sur M, et on appuie sur la touche . Le pointeur prend la forme d’une main « tenant » le point M. Celui-ci peut alors être déplacé libremen

). On constate que (D) se déplact sur le

cercle (C e en même temps, et reste tangente à notre ellipse.


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ie. On y reconnaît la plupart des options de la version commerciale de Cabri-Géomètre.

Les différents menus

Sans commentaires, voici les différents menus accessibles dans l’environnement de géométr


Un exemple complet

du « voyage 200 » : Nous allons maintenant présenter un exemple d’exercice utilisant plusieurs environnementsl’application géométrie, le module de traitement des données statistiques et le noyau de calcul formel. Le problème est le suivant : On considère le carré ABCD et un point E du coté BC. On forme le cercle tangent à [AE], [EC] et [CD]. On construit également le cercle inscrit dans le triangle ABE.

A

a construction.

La question est alors de connaître la position de E sur le coté [BC] pour que les deux cercles aient le même rayon, ou encore pour qu’ils soient tangents en un même point du segment [AE].

pproche géométrique

Nous allons commencer par une approche purement expérimentale, en construisant la figure dansl’environnement « Cabri », pour l’animer en modifiant la position du point E sur [BC]. Nous n’indiquerons pas tous les détails de l

On construit (outil F2/5) le segment vertical [BC] et on y place (outil F2/2) le point E. Par les points B et C, on mène (outil F4/1) les perpendiculaires au segment [BC]. On construit (F3/1) le cercle de centre B et de rayon [BC], puis A par intersection (F2/3). Par A on mène (F4/2) la parallèle à (BC) et on trouve D par intersection (F2/3). On trace (F2/4) la demi-droite issue de A et passant par E, coupant (CD) en F (F2/3).

On trace (F2/5) les segments [AC] et [BD]. On forme (F4/5) les bissectrices des angles

P Q à l’intersection de ces bissectrices avec les diagonales (AC) et (BD).

DFA et BAE (sélectionner à chaque fois les trois sommets dans le bon ordre). On marque alors et

On mène les parallèles à (BC) passant par P et Q, et on crée les points d’intersection G et H.

On trace (F3/1) le cercle de centre P passant par G, et le cercle de centre Q passant par H. On obtient ainsi nos deux cercles tritangents. On voit que si on tire le point E (touche ) la figure est modifiée en conséquence.

our On peut notamment comme ici tirer E pque les droites (QH) et (GP) viennent se confondre : les cercles ont alors même rayon.

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La figure commençant à devenir très chargée, nous décidons de cacher (outil F7/1) les objets qui ne sont pas indispensables.

Cacher des objets ne signifie évidemment pas is

], [AB], et

r la figure obtenue, et récolter ces données pour

qu’ils sont détruits ! Ils sont toujours là maon ne les voit plus… On a tracé les segments [CD], [DA[AE] en remplacement des droites correspondantes maintenant invisibles. On trace le segment [PQ] et son intersection R avec (AE) avant de cacher le segment [PQ].

Mesures et calculs sur la figure

Nous allons maintenant effectuer des mesures suune position donnée du point E sur le coté [BC].

A l’aide F7/5, on crée des commentaires (par exemple « BE= ») destinés à identifier les quantités à mesurer ou calculer. Avec F6/1, on mesure les distances BE et BC, et les longueurs CQ et CP des cercles. Avec l’outil F6/3 on mesure l’angle ARQ . A chaque fois, on déplace le résultat vers le commentaire correspondant (touche ) pourplus de lisibilité.

Avec l’outil « calculatrice » (F6/6) on calcule BE/BC et CQ-CP puis on déplace les résultats (préfixés par R: ) vers leurs commentaires.

Le calcul s’effectue en sélectionnant les quantités dans les mesures déjà effectuées (quantités que la calculatrice renomme localement a et b) et en formant l’expressionvoulue (ici a/b ou a-b selon le cas). On voit que modifier le point E entraîne une actualisation complète (figure et résultats).

Avec F6/7 (« recueillir des données ») on choisit dans l’ordre BE/BC, CQ-CP et ARQ.

n Avec F8/B on ouvre l’éditeur de données (eécran partagé) les colonnes c1, c2, c3 étant prêtes à recevoir nos résultats. On peut recentrer la ure par des déplace-ments préfixés par la touche [2nd].

fig

Un appui sur ♦D envoie les trois résultats dans l’éditeur.

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De la géométrie aux statistiques

x cercles de même rayon ou de même point de tangence sur [AE]. Pour l’instant, l’écran est partagé entre la

On va maintenant faire varier le point E sur [BC], recueillir les données correspondantes et les traiter dans l’environnement de statistiques pour évaluer la position de E donnant deu

géométrie et l’éditeur de données. On peut passer de l’un à l’autre au moyen de la touche . pourrait contenir (F1/8). On commence par vider l’éditeur de données de ce qu’il

Sur la figure, on déplace le point E pour l’amener à proximité du point B et on acquiert les trois données par appui sur ♦D.

On met fin au partage d’écran (F8/C) puis

On déplace ensuite le point E de B à C, par petits intervalles, en recueillant les données à chaque étape (on pourrait aussi avoir recours à une animation). Sur l’exemple ci-contre, on a recueilli 26 mesures successives.

on passe dans l’éditeur de données (touche ) e nommée sysdata. Les données recueillies se trouvent dans la variable-systèm

points) en choisissant de tracer les élém(les différences de circonférence CQ-CP) en ordonnée. Au retour dans l’éditeur de données, on crcolonnes c1 et c2, et on décide de plLe résultat montre que la corrélation entre les colonnes c1 et c2la recherche d’une régression linéaire.

On crée (F2/F1) un nouveau tracé statistique (placé ici dans Plot1) de type Scatter (nuage de ents de c1 (les rapports BE/BC) en abscisse et ceux de c2

ée un calcul statistique (F5) de type LinReg sur les acer le résultat dans la fonction y1.

est très forte, et justifie a posteriori

Dans [Window] on sélectionne l’option de zoom ZoomData pour adapter la fenêtre au nuage de points. On obtient alors le tracé de ce nuage (très rectiligne) et de la droite de régression. Avec l’option 2 du menu F5 on trouve que la fonction y1 s’annule pour x ≈ 0.64333… On a ainsi obtenu une valeur approchée de l’ordonnée du point E pour laquelle les deux cercles ont le même rayon.

Remarque : si au lieu de choisir une régression LinReg, on choisit CubicReg (approximation par un polynôme de degré trois) on trouve une corrélation parfaite (R2 = 1) et la fonction y1 s’annule en x ≈ 0.64779714 ce qui est une approximation précise à 10-6 (voir plus loin).

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On va maintenant appliquer la ur approchée de l’ordonnée de E pour laquelle les deux cer u segment [AE]. Il suffit en effet de trouver quand l’angle

même méthode pour trouver une valecles sont tangents en un même point d

ARQ a une valeur de 90°.

On forme le trprécédemme

effectue à nouveau un « ZoomData ».

Voici le tracé obtenu, qui laisse apparaître une », et qui suggère de chercher un

3.

acé statistique Plot1 comme nt (mais sur les colonnes c1, c3)

et on

« inflexion eapproximation par un polynôme de degré

On effectue donc un CubicReg sur c1 et c3

hique. intersection » (F5/4) nous permet de

trouver où la droite coupe la courbe.

ent

Une réponse formelle

Nous allons maintenant étudier le problème dans l’calcul formel. On se place dans le repère d’origine B et D aient pour coordonnées (1,0) et (0,1).

AC], et un point

On note t une mesure de l’angle

(avec résultat dans y1). Dans [Y=] on rajoute y2 = 90 et on passe dans l’écran grapL’outil «

On trouve x ≈ 0.40165, valeur approchée de l’ordonnée de E pour lequel les cercles soitangents en un même point du segment [AE].

environnement de A tels que les points

On va considérer un point P(1-a,1-a) quelconque de [Q(1-b,b) quelconque de [BD], avec les conditions 0 ≤ a ≤ 1 et 0 ≤ b ≤ 1.

ABC , avec 0 ≤ t ≤ π/4.

On part sur des bases saines avec NewProb.

On crée le point P(1-a,1-a) puis le vecteur u (cos(θ),sin(θ)) unitaire dirigeant AE .

La troisième composante du produit vectoriel u AP∧ est positive (d’après l’orientation) et donne la distance dp de P à la droite (AE).

On cherche ensuite pour quelle valeur de a cette distance est égale à a.

On obtient ainsi la valeur de a pour laquepoint P(1-a,1-a) est centre du cercle tritangent

lle le

aux segments [AE], [EC] et [CD].

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On crée le point Q(1-b,b) La troisième composante du produit vectoriel AQ u∧ est positive (d’après l’orientation) et

donne la distance dq de point Q à [AE]. Cette distance est naturellement fonction de b.

On cherche ensuite pour quelle valecette distance est égale à b. On obtient a

ur de b insi la

t valeur de b pour laquelle le point Q(1-b, b) escentre du cercle inscrit dans ABE.

On résout a = b pour connaître pour quel angle t = les cercles ont même rayon.

tan(t) ≈ 0,647798871261.

On a donc obtenu la position de E sur [BC] pour qu est à rapprocher de la valeur 0,6433… obtenue « s n linéaire (mais le résultat 0,647797… obtenu par CubicReg

On va enfin chercher pour quel angle t = DAE les dIl suffit pour cela d’exprimer que le segment [PQ]orthogonal à la droite (AE) donc à u = (cos t, sin t )

DAEOn trouve t ≈ 0,574826297516 radians, et

e les cercles aient même rayon. Ce résultattatistiquement » par une régressio était beaucoup plus précis).

eux cercles sont tangents. (qui joint les centres des deux cercles) est qui en est un vecteur directeur.

On trouve t ≈ 0,383117190712. Ainsi tan t ≈ 0,403031716763 donne la position de E sur BC pour que les deux cercles soient tangents (on avait trouvé la valeur 0.40165… avec notre méthode géométrico-statistique).

e a permis de faire collaborer plusieurs stiques et calcul formel).

Voilà qui termine cet exemple où un même exercicenvironnements de la calculatrice (géométrie, stati

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La programmation

n controlée s spects

du problème. Pour parler simplement, il faut un joréunir une série d’instructions dans un même objecelui-ci à loisir et obtenir les résultats escomptés.

Les scripts Nous allons commencer par programmer sans écrire de programme !

Supposons qu’on ait patiemment mis au point unereproduire devant des élèves. Pour ne pas être gên tration » par une erreur

t ».

lles vont être on,

Pour l’instant on a utilisé le « voyage 200 » dans un mode interactif assez immédiat, la calculatrice répondant simplement à des questions simples.

Il arrive pourtant fréquemment qu’on souhaite garder une trace durable de la méthode employée, ou que le résultat auquel on désire aboutir ne puisse être atteint que par la répétitiod’instructions élaborées ou par l’utilisation de te ts permettant de répondre aux différents a

ur ou l’autre programmer la calculatrice, donc t (le « programme ») pour ensuite invoquer

séquence de calculs, et qu’on veuille la é dans cette « démons

toujours possible ou par l’oubli d’une étape, il convient de créer ce qu’on appelle un rip« sc

Il s’agit d’un fichier texte reprenant les différentes instructions dans l’ordre où etraitées. On peut y ajouter des commentaires pour faciliter la relecture. Pour illustrer cette notinous allons reprendre les calculs formels de « exemple complet », aux pages 37 à 40.

Le Voyage 200 mémorise un nombre limité

l’écran Home (30 par défaut). de couples « instruction/réponse » dans

Ce nombre peut-être porté à 99 après un appui sur ♦F (ou F1/9), ce qui est indispensable si on veut sauvegarder des scripts un peu longs.

Plaçons-nous après la séquence de calculs que nous avions intitulée « une réponse formelle » dans les pages précédentes. La ligne d’état (au bas de l’écran) montre que cette séquence se compose de 18 couples instruction/réponse (sur les 99 qu’est capable de mémoriser la calculatrice).

Nous appuyons alors sur les touches ♦S (ou

te

îte de dialogue, nous pouvons fort bien effacer l’écran de

F1/2) pour ouvrir la boîte de dialogue nous permettant de sauvegarder nos calculs. Nous choisissons de nommer « demo » cetséquence d’instructions. Après avoir validé cette bo

calcul formel, ou procéder à d’autres calculs.

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Après appui sur Apps et sélection de l’éditeur de textes, la calculatrice propose d’ouvrir le fichier-texte courant, d’en créer un nouveau, ou d’en ouvrir un qui soit déjà sauvegardé. Nous choisissons bien sûr d’ouvrir le fichier-texte que nous avons nommé « demo ».

Celui-ci apparaît dans l’éditeur. Il est formé des lignes d’instructions (pas des réponses)

F4 exécute la commande de la ligne du curseur, pu

précédées du préfixe « C » indiquant qu’il s’agit de commandes. Le curseur est placé sur la première ligne.

is place celui-ci sur la ligne suivante.

Le couple instruction/réponse est alors visible dans l’écran de calculs Home. On utilise alors la touche pour basculer de Home à l’écran de l’éditeur de textes.

omécran dans le menu F3. voit en même temps

t les instructions évaluées

ment ajouter des commentaires, pour aboutir par exemple au texte ci-dessous.

:Trouver la position du centre P

C:getNum(a-b)→eq

et de AE

En fait, il est plus cl’option de partage d’De cette manière, on

mode de choisir

l’éditeur de textes edans l’écran Home.

On peut bien sûr modifier le texte dans l’éditeur, et notam

C:NewProb :Définition du point P C:[[1-a,1-a]]→p :Définition du vecteur u C:[[cos(t),sin(t)]]→u :Produit vectoriel de u par AP C:crossP(u,p)→dp :Distance de P à AE C:factor(dp[1,3])→dp :Trouver la position du centre P C:solve(dp=a,a)→dp :Le rayon du cercle centré en P C:right(dp)→a :Définition du point Q C:[[1-b,b]]→q

:Produit vectoriel de AQ par u C:crossP(q,u)→dq :Distance de Q à AE C dq[1,3]→dq :

C:solve(dq=b,b)→dq yon du cercle centré en Q

C:right(dq)→b :Chercher si les rayons sont égaux

:Le ra

:Valeur approchée de la solution C:nSolve(eq=0,t=π/8) :Produit scalaire de PQ C:getNum(dotP(p-q,u))→eq :Valeur approchée de la solution C:nSolve(eq=0,t=π/8)

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Des programmes d’une ligne Il n’est pas besoin d’écrire des programmes très évEn effet certaines instructions du « voyage 200 » comrépétition (notamment les fonctions seq, Π et Σ) ofonctions sont « listables » (on peut les faire agir s ltats individuels) ce qui évite de programmer des boucles.

olués pour obtenir des résultats intéressants. nt en elles-mêmes une notion de

u de test (la fonction when) et de nombreuses ur une liste et obtenir ainsi la liste des résu

porte

OSwOn déclare donc que le pgcd de deux entiers a et b vaut a si b = 0, et sinon est égal au pgcd de b et du reste dans la division de a par b. O n v f

uche) et sd (somme droite) calculant les sommes de Riemann d’une expression f (x) (la variable doit être x) sur un segment [a,b], au moyen d’une s((On utilise ensuite ces fonctions sur x , d’abord avec 10 puis avec n sous-intervalles. Dans ce d nd vers l’infini.

n définit ici une fonction pgcd récursive. a définition est : hen(b=0,a,pgcd(b,mod(a,b)) → pgcd(a,b)

n teste cette fonction sur un exemple et oérifie que sultat est exact en appelant la le réonction intégrée gcd.

On définit ci-dessous les fonctions sg (somme ga

ubdivision en n sous-intervalles égaux. Leur définition est respectivement : b-a)/n∗Σ(f | x=a+k*(b-a)/n,k,0,n-1) → sg(f,a,b,n) b-a)/n∗Σ(f | x=a+k*(b-a)/n,k,1,n) → sd(f,a,b,n)

3

ernier cas, on voit très bien que les résultats obtenus tendent vers ¼ quand n te

L ) sont ceux du triangle de Pascal, des lignes m à n. La syntaxe est : seq(seq(nCr(i,j),j,0,n),i,m,n) → tp(m,n) L’instruction sum(tp(0,7)) calcule la somme des lignes 0 à 7 du triangle de Pascal. On y retrouve des coefficients de la ligne 8 : c’est une bonne introduction pour un exercice classique !

a fonction tp crée une matrice dont les coefficients (sur et sous la diagonale

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Programmes et fonctio

Il y a une ambigüité sur la définition du mot « programme », que nous avons jusqu’ici utilisé rt les

ns

sous son acception la plus large. Le « Voyage 200 » est plus précis et distingue d’une paprogrammes (au sens strict) et les fonctions.

Les variables pgcd, sg, sd, et tp (définies et illustrées page précédente) sont des fonctions. Cela signifie qu’elles prennent des arguments en entrée (par exemple les deux entiers nommés localement a et b pour la fonction pgcd) et qu’elles renvoient un résultat. Ce dernier peut être invoqué dans une expression notamment dans une instruction d’affectation.

Par exemple, en utilisant les fonctions sg et sd précédentes, on définit une fonction tr qui calcule l’intégrale approchée de f(x) sur [a,b]

trapèzes (sur n sous- longueur). Il suffit pour

es affichages intermédiaires ou modifier des variables globales).

t pas ces limitations. Ils ne renvoient pas un e

messages dans l’écran PrgmIO, créer modifier ou ef

par la méthode dessegments de mêmecela de calculer la demi-somme des résultats renvoyés par les fonctions sg et sd.

Les fonctions sont des « boîtes noires » renvoyant un résultat en sortie à partir d’arguments fournis par l’utilisateur en entrée. En particulier elles ne possèdent pas d’« effets de bord » : cela signifie qu’elles ne peuvent modifier leur environnement extérieur (comme effectuer d

Les « programmes » (au sens du Voyage 200) n’onrésultat final, mais peuvent agir sur leur environn ment (tracer des courbes, afficher des

facer des variables globales, etc.)

LduLeur nom commence par une majuscule pour les programmes et par une minuscule pour les ffl

Par exemple SortA (tri dans l’ordre croissant) est unvariable contenant une liste, et trie cette liste en mém contentant comme tous les programmes d’indiquer p travail. Pour vérifier que le tri a bien été effectué, il faut rappeler le contenu de la variable.

nune liste, renvoie un résultat sans modifier le conten

a liste des fonctions et programmes intégrés ’origine au « voyage 200 » est accessible par n appui sur la touche CATALOG.

onctions (cette possibilité n’existe pas pour les onctions et programmes définis par ’utilisateur).

programme. Il prend en argument un nom de oire. Il ne renvoie pas de résultat apparent, sear « Done » qu’il a terminé son

En revanche, cumSum (sommes cumulées) est une fo ction qui, appliquée à une variable contenant u de la variable.

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L’éditeur de programmes

L’éditeur de programmes est un environnement de type « traitement de textes » qui permet enus facilitent notamment l’insertion des s plus courants.

d’écrire des programmes… et des fonctions. Des méléments de programmation (tests, boucles, etc.) le

Dl rir le programme/fonction en cours, ou un qui existe déjà, ou on décide comme ici d’en créer un nouveau. Il faut choisir si on veut créer un programme ou u a p

Voici ce qu’on obtient selon qu’on a décidé d’appel programme (écran de gauche) ou notre nouvelle fonction (écran de droite) é entre les parenthèses qui suivent le nom du programme (de la fonction), à l’endroit où on place le nom donné aux paramètres qui sont attendus.

ans la liste des applications, on sélectionne ’éditeur de programmes. On choisit d’ouv

ne fonction, dans quel répertoire on va le ou llacer, et quel sera son nom.

er essai notre nouveau . Dans les deux cas, le curseur est positionn

L’éditeur offre un certain nombre d’entrées de menu que voici (en partie). Il est impossible de décrire toutes ces options (beaucoup d’entre elles sont assez claires). Pour en savoir plus, on consultera avec profit le chapitre consacré à la prohttp://education.ti.com/us/product/tech/89ti/guide/

grammation sur le site de Texas-Instruments: 89tiVoy200guidefr.html

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Exemples de programmes

•

lynôme ( )

Polynôme interpolateur d’une famille de n points du plan On considère une famille M1(a1,b1), ..., Mn(an,bn) de n points du plan, d’abscisses distinctes. Il existe un polynôme unique P, de degré ≤ n-1, tel que pour tout k de {1, ..., n}, P(ak) = bk.

Pour tout entier k compris entre 1 et n, on définit le po1,

.n

jk

jkj j k

x aL x

a a=

−∏ −

= ≠

Par exemple, si n = 4, ( ) ( )( )( )( )( )( )

1 3 42

2 1 2 3 2

x a x a x aL x

a a a a a a− − −

=− − −

On vérifie les égalités: { }, 1, 2,..., , ( )jkk j n L a

4. Chaque Lk est de degré n-1.

si1 si0jk

j kj k

δ⎧⎪⎨⎪⎩

=∀ ∈ = =≠

.

On constate alors que le polynôme ( ) (1

n

k kk

)P x b L=

=∑

En effet, deg(P) ≤ n-1 et: { } ( )1 1

1,..., ,n

x satisfait au problème.

( ) .n

j j jk k kjL a b bδ= =∑ kk k

j n P a b= =

∀ ∈ =∑La fonction interp forme le polynôme interpolateur P. La syntaxe est interp(a, b,x) où a est la liste des abscisses, b celle des ordonnées, et x est le nom de la variable dont doit dépendre P.

: interp(a,b,x) : Func : Local k,r,p : 0→p : For k,1,dim(a) : → (x-a)/(a[k]-a) r : 1→r[k] : p+b[k]*product(r)→p : EndFor : EndFunc

é à 0. cle For actualise la valeur de p.

up

remplace par 1. On multiplieajoute le résultacontenu de p (la de

Le polynôme est calculé dans p, et initialisChaque passage dans la bouRemarquer l'expression (x-a)/(a[k]-a), formant d'un seul coles quotients (x - aj) / (ak - aj), aj parcourant la liste a. Pour j=k, ce quotient vaut undef, mais l'instruction 1→r[k] le

par l’ordonnée bk le produit de ces quotients et on t à p. Le résultat renvoyé par la fonction est le

rnière instruction est une affectation de p).

Voici un exemple d’utilisation de la fonction interp, avec les points (-3,4), (-1,-2), (3,5) et (7,3) (la liste des abscisses est dans a et celle des ordonnées est dans b). Après avoir obtenu le polynôme p, on vérifie qu’il « passe » bien par les quatre points.

On crée le nuage de points par l’instruction NewPlot 1,1,a,b. On règle les dimensions de la fenêtre graphique, et on trace le polynôme P en écrivant drawfunc p. Voici le résultat, qui illustre la propriété du polynôme P relativement au nuage de points.

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•

tifs u, v tels que au+bv = a∧b.

L’algorithme d’Euclide

On se donne deux entiers non nuls a et b. On sait que le pgcd a∧b de a et de b peut être obtenupar une suite de divisions euclidiennes (d’abord de a par b, puis de b par le reste de la divisionprécédente, et ainsi de suite), et que a∧b est le dernier reste non nul dans cette succession. On sait également qu’il existe des entiers rela

Voici un programme euclide affichant les divisions successives puis le pgcd :

: euclide(a,b) : Prgm: Local q,r : ClrIO : While b≠0 : floor(a/b) → q: mod(a,b) → r : Pause string(a)&"="&string(b)&"*"&string(q)&"+"&string(r) : b → a: r → b : EndWhile : Disp "pgcd="&string(a) : EndPrgm

On peut améliorer ce programme en lui demandant un couple (u,v) tel que au+bv = a∧b. Cela est possible de la manière suivante :

: euclide(a,b) : Prgm: Local aa,bb,m,q,r : ClrIO: identity(2) → m: a → aa: b → bb : While b ≠ 0 : floor(a/b) → q: mod(a,b) → r : Pause string(a)&"="&string(b)&"*"&string(q)&"+"&string(r) : b → a: r → b: [[0,1][1,-q]]*m → m : EndWhile : Pause "pgcd="&string(a) : Disp string(m[1,1])&"*"&string(aa)&"+"&string(m[1,2])&"*"&string(bb)&"="&string(a): EndPrgm

Voici un exemple d’utilisation de la deuxième vel’instruction euclide(2004,588). L’affichage a lie

rsion du programme. Pour cela on a évalué u dans l’écran PrgmIO.

: euclide(a,b) : Func

: Local m,q,r : identity(2) → m : While b ≠ 0 : floor(a/b) → q: mod(a,b) → r : b → a : r → b : [[0,1][1,-q]] * m → m : EndWhile : {m[1,1],m[1,2],a} : EndFunc

Ci-dessus on voit comment modifier le programme euclide pour en faire une fonction renvoyant {u,v,a∧b}, où ua+vb = a∧b. Voici un exemple d’utilisation de cette fonction, avec les mêmes deux entiers a et b que dans l’exemple précédent.

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Documents

Les calculatrices au Capes de mathématiquesjohan.mathieu.free.fr/maths/doc_maths/voyage200/pour_le_capes.pdf · Un rappel de formules usuelles Regroupements de lignes trigonométriques