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1/7 Fiche d’exercices 2 : Limites de fonctions Mathématiques terminale S obligatoire - Année scolaire 2015/2016
PHYSIQUE ET MATHS – Soutien scolaire et universitaire - http://www.physique-et-maths.fr - [email protected] - 06-01-98-97-87
Fiche d’exercices 2 : Limites de fonctions
Notion de limite et asymptotes
Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, on donne la représentation graphique d’une fonction f ainsi que les éventuelles asymptotes. En déduire :
- le domaine de définition de f - les limites aux bornes de l’ensemble de définition
Exercice 2 Dans chacun des cas suivants, on donne certaines limites d’une fonction f. Donner une interprétation graphique de chacune de ces limites.
Exercice 3
Déterminer les limites suivantes :
( )xflimx +∞→
; ( )xglimx +∞→
; ( )xg
flim
x
+∞→ ; ( )( )xgflim
x×
+∞→
1. ( )x
1xf = ( )
x
3xg =
2. ( ) 2xxf = ( )x
1xg =
3. ( )x1
xxf
+= ( )
x1
xxg
−=
Exercice 4
Etudier la limite à droite et à gauche de a pour chacune des fonctions suivantes :
1. ( )x21
xxf
3
−= ;
2
1a =
2. ( )1x
1xf
−= ; 1a =
3. ( )x1
5x4xf
−−= ; 1a =
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Exercice 5
Exercice 6
Déterminer les limites en -∞ et en +∞ des fonctions suivantes :
1. ( )1x3
1x4xf
+−=
2. ( )5x3
1x2xxf
2
2
+−+=
3. ( )1x
1x4xf
2 ++−=
4. ( )1x3
1x3xf
4
++=
Exercice 7
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
Exercice 8
f est définie sur ℝ -
−
3
1 par : ( )
1x3
xsinx2xf
+−=
1. Montrer que pour tout x ≥ 0,
( )1x3
1x2xf
1x3
1x2
++≤≤
+−
2. En déduire la limite de f en +∞.
Exercice 9
On définit f sur ℝ* par : ( )x
1xx4xf
2 ++=
1. Prouver que pour tout réel 0x ≥ : ( )222 1x21xx4x4 +≤++≤
2. En déduire que pour tout réel x >0 : ( )x
1x2xf2
+≤≤ .
3. Calculer la limite de f en +∞.
Exercice 10
On considère 3 fonctions f, g et h, définies sur ℝ, telles que pour tout nombre réel x, on a :
( ) ( ) ( )xhxgxf ≤≤ Si l’on sait que l’on a ( ) +∞=
+∞→xglim
x, alors on peut en déduire :
Réponse A : ( ) +∞=+∞→
xflimx
Réponse B : ( ) −∞=+∞→
xflimx
Réponse C : ( ) +∞=+∞→
xhlimx
Exercice 11
Calculer les limites suivantes :
1. x
3x2x2lim
2
x
+−−∞→
2. 1x
2x3xlim
4
x ++−
+∞→
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Exercice 12
Déterminer les limites suivantes (On justifiera soigneusement) :
1. ( )22
3x x3
6x5xlim
−+−
−→ 3. 3x2x3lim 2
x+−
+∞→
2. 2x2x
1xlim
2
3
3x −−+
−→ 4.
x4
33x3lim
4x −−+
+→
Exercice 13
Exercice 14
Exercice 15
Exercice 16
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
Exercice 17
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
1. 2xx
4xlim
22x ++−−
+→ 5. 4xxlim 2
x−+
−∞→
2. 2xx
4xlim
2x ++−−
+∞→ 6.
5x
xsinx35lim
2x ++
−∞→
3. 3x
xx3lim
2
x −−
−∞→ 7.
( )20x x2
x7sinlim→
4. 3x
xx3lim
2
3x −−
+→
Exercice 18
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
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Exercice 19
Exercice 20
Soit la fonction f définie sur ]-∞,0[ par :
( ) xcosxxf 3 −=
1. Démontrer que l’on a pour tout x ≤0 :
( ) 1xxf 3 +≤
2. En déduire la limite de f en -∞.
Exercice 21
Exercice 22
Exercice 23
Exercice 24
Exercice 25
Exercice 26
Exercice 27
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Problème de synthèse
Exercice 28
Déterminer les limites des fonctions suivantes :
Exercice 29
Déterminer les limites en -∞ et en +∞ des fonctions suivantes :
Soit f la fonction définie par f(x) = 2x² – 3x – 10
x – 3. On note C la courbe
représentative de f dans un repère orthonormal. 1. Déterminer le domaine de définition de f.
2. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout réel x ∈ℝ-{3},
f(x) = ax + b + c
x – 3
3. Calculer limx → –∞
(f(x) – (2x + 3)) et limx → +∞
(f(x) – (2x + 3)).
Donner une interprétation graphique du résultat. 4. On note ∆ la droite d’équation y = 2x + 3.
Etudier la position relative de C et de ∆. 5. Déterminer lim
x → 3x > 3
f(x) et limx → 3x < 3
f(x).
Donner une interprétation graphique de ce résultat.
Exercice 30
Soit ( )2x
x3xsin2xf
−−= définie sur D = ℝ \ {2}
Déterminer ( )xflimx −∞→
et ( )xflim2x −→
Exercice 31
Exercice 32
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Exercice 33
Exercice 34
Exercice 35
Exercice 36
Exercice 37
Exercice 38
Exercice 39
Exercice 40
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Exercice 41
Exercice 42
Exercice 43
Exercice 44
Exercice 45
Exercice 46
