MATHEMATIQUES EN PREMIERE RESUMES DES COURS …

BARRYCENTRE Mr BARRY 77 250 04 44

Volonté Habilité Courage

1

MATHEMATIQUES EN PREMIERE

RESUMES DES COURS

Exercices bien classés

Tu veux la correction détaillée

Ben ! rejoins moi au renforcement

Sujets type devoir et compo bien corrigés

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TEL : 77 250 04 44

Dakar, le 12 Mai 2015

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……………

ETABLISSEMENT:……………………………………………………CLASSE:…………

……

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2

PARTIE ALGEBRE

EQUATIONS –INEQUATIONS IRRATIONNELLES

EXERCICE 1 :

A) Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes :

1)𝑥2 + (√2 + √3)𝑥 + √6 = 0 ; 2)2𝑥2 − 4√3𝑥 + 6 = 0 ; 3) |𝑥 − 2| = 2 − 𝑥

4)𝑎𝑥² − (2 + 𝑎)𝑥 + 2𝑎 = 0 (𝑎 ∈ ℝ) ; 5) 3𝑥2 + 6𝑥 − 9 ≤ 0 ;

6) 𝑥2 − |2𝑥 + 3| > 0 ; 7)𝑥² − 3𝑥 + 5 = |𝑥 − 1| ; 8)(𝑥 + 1)2 − |𝑥 + 1| − 6 = 0

9)𝑥2 − 5𝑥 + 9

𝑥2 − 2𝑥 − 5= 0 ; 10)

𝑥2 − 4𝑥 + 3

25 − 4𝑥2≤ 0

B) Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes :

1)(𝑥 − 2) + √2𝑥 − 2 + 2 = 0 ; 2)𝑥 + 1

3𝑥2 − 2𝑥 − 1≥ 0 ; 3)

1

2<

𝑥 + 1

(𝑥2 + 2𝑥 − 2)≤3

4

4)√3(𝑥2 − 1) > 2𝑥 − 1 ; 5)√𝑥 − 4 ≥ √𝑥 + 2 ; 6) √𝑥 + √𝑥 + 1) > √𝑥 + 2

7)√𝑥 + 4 + √𝑥 − 1) > √4𝑥 + 5 ; 8) √3𝑥2 − 6𝑥 + 3√3 ≥ 0 ; 9) 𝑥² + √2𝑥 + √2 − 3 = 0 EXERCICE2

Résoudre dans ℝ les équations et inéquations suivantes

1)√2 − 𝑥² − √𝑥² − 1 = 0 ; 2) √4 − 𝑥² = 𝑥 − 1 ; 3) √𝑥² − 9 + 𝑥 = −9

4) √𝑥 + √𝑥 + 1 = √2𝑥 + 1 ;5) √2𝑥 + 1 − √2𝑥 − 1 = 1 ; 6) √𝑥 + 4 − √𝑥 − 1 > √4𝑥 + 5

7) √ 𝑥3 + 3𝑥² − 𝑥 − 1 − 𝑥 + 3 = 0 ; 8) √2(𝑥2 − 2𝑥 + 2) < √𝑥² + 1 ; 9)𝑥 − 4 ≥ √𝑥² − 4

10) √𝑥2 + 6𝑥 + 6 ≥ |2𝑥 + 1| ; 11) √6𝑥 + 2 − √3𝑥 < √9𝑥 − 2 ; 12)√3 − 2𝑥 > √𝑥 EXERCICE 3:

1- Résoudre les équations et inéquations suivantes :

2

2 3 2 ; 3 2 2 4

2 3 ; 1 2

x x x x

x x x x x

EXERCICE 4Résoudre les équations et inéquations suivantes

3 2

2 2

1 3 1 3

2 x+1 2 1

3 2 3 3 2 3 9 20

4 2 1 2 1 1

5 1+ x x+2

x x x x

x x

x x x x

x x

x



3

EXERCICE 5:

1. 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐼𝑅 𝑙𝑒𝑠 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 :

𝑎 − 122 xxx . 𝑏 − 432 xxx .

2. 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐼𝑅 𝐼𝑅 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠 :

𝑎 −

4)2)(2(

522

yx

yx

𝑏 −

3

22

2

xyy

xyx.

EXERCICE6

1. Résoudre dans IR les équations suivantes.

a) 32 x = x ; b) 522 xx ; c) 11 2 xxx

2. Résoudre dans IR les inéquations suivantes:

a) 211 xx 0 b) 1232 xxx

c) 231 xx EXERCICE 7:

1. 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐼𝑅 𝑙𝑒𝑠 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑒𝑡 𝑖𝑛é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 :

𝑎) 31 xx . 𝑏) 012 22 xx . 𝑐) 1312 xxx

2. 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐼𝑅 𝐼𝑅 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 :

4)1)(1(

1322

yx

yx

EQUATIONS PARAMETRIQUES –POLYNOME ET SYSTEMES

EXERCICE8

On considère l’équation (E) :𝑥2 + (2 −𝑚)𝑥 +𝑚 + 1 = 0

1)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑚 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡: 𝑎)𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠

𝑏)𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑐)𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑑)𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é𝑒𝑠 2)𝑂𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑥1 𝑒𝑡 𝑥2 . 𝑇𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑚 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑥1 𝑒𝑡 𝑥2 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑜𝑢𝑏𝑙𝑒𝑠.

EXERCICE8

On donne 𝑃(𝑥) = (𝑚² − 1)𝑥² + (𝑚2 + 2𝑚 + 1)𝑥 + 1 +𝑚

1) Existe –t-il une ou des valeurs du paramètre réel m tel que P(x)=0

2) Déterminer suivant les valeurs de m le degré de P

EXERCICE 9

Dans chacun des cas suivants déterminer les valeurs de m telles que l’équation (E) admette

respectivement deux solutions positives ,négative et deux solution de signes contraires

(𝐸) : 𝑚𝑥2 − (2𝑚 − 7)𝑥 + 𝑚 + 5 = 0 ; (𝐸) : 𝑚𝑥2 − (2𝑚 + 3)𝑥 + 𝑚 + 1 = 0 ;



4

(𝐸) : (𝑚 − 3)𝑥2 + (2𝑚 − 1)𝑥 +𝑚 + 2 = 0

EXERCICE10

𝑂𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑥2 + (2𝑡 + 1)𝑥 + 𝑡2 + 1

1)𝑑𝑖𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛. 2)𝑝𝑜𝑢𝑟𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠. 3)𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑎2 + 𝑏2 = 29 |𝑎 − 𝑏 | = 1

EXERCICE 11:

𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸) 𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 02)12( 22 mxmx .

1. 𝐷𝑖𝑠𝑐𝑢𝑡𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 m , 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 ( 𝐸 ).

2. 𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑜ù ( 𝐸 )𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 'x 𝑒𝑡 ''x , 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 m 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 :

𝑎) 35''' 22 xx 𝑏) 5''' xx

𝑐 − 𝑇𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 m 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 'x 𝑒𝑡 ''x .

3. 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 m𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ( 𝐸 ) 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡𝑡𝑒 : a- 𝐷𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠. b- 𝐷𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠 c- 𝐷𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠.

EXERCICE 12 :

𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝐸) 𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 052)3( 2 mmxxm .

1. 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟m𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 ( 𝐸 ) 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑐𝑡𝑒𝑠 'x 𝑒𝑡 ''x .

2. 𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑙𝑒 𝑐𝑎𝑠 𝑜ù ( 𝐸 ) 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 'x 𝑒𝑡 ''x , 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 m 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 : 𝑎) (2𝑥′ − 1)(2𝑥′′ − 1) = 6 𝑏)𝑥′2 + 𝑥′′2 = 2

𝑐 − 𝑇𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 m 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 'x 𝑒𝑡 ''x .

3. 𝐹𝑜𝑟𝑚𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑒 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑎𝑦𝑎𝑛𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 : (3𝑥′ − 2) 𝑒𝑡 (3𝑥′′ − 2)

4. 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 m𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ( 𝐸 ) 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡𝑡𝑒 : a. 𝐷𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠. b. 𝐷𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠 c. 𝐷𝑒𝑢𝑥 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠.

EXERCICE13

A) Soit le polynôme défini par :𝑃(𝑥) = 𝑥² + (2𝑚 + 1)𝑥 + 𝑚² + 1

Déterminer les valeurs du nombre réel m pour que P ait 2 racines 𝛼 𝑒𝑡 𝛽

a) 𝛼2 + 𝛽2 = 29 b) |𝛼 − 𝛽|Pour chacun des cas calculer 𝛼 𝑒𝑡 𝛽

B) Soit le polynôme défini par : 𝑄(𝑥) = (𝑚 − 1)𝑥2 − 2(𝑚 + 2)𝑥 + 𝑚 − 3

Déterminer l’ensemble des réels m pour que Q(x)=0 ait

-Deux solutions de signes positifs

-Deux racines de signes négatifs

-Deux racines de signes contraires EXERCICE 14

On donne l’équation 2: 2( 1) 3 0Em mx m x m .

1- Discuter suivant les valeurs de m de nombre de solutions de cette équation.



5

2- Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle deux solutions positives.

EXERCICE 15

On donne l’équation d’inconnue x où m désigne un paramètre réel :

3 2: 1 2 1 2 0Em mx m x m x m

1- Trouver la valeur de m pour que 1 soit une solution de cette équation.

1- Résoudre cette équation pour m = 2.

EXERCICE 16

Soit l’équation x2 + (2m + 1)x + m

2 + 1 =0

1. discuter suivant les valeurs de m du nombre de solutions de l’équation et de leurs

signes.

2. déterminer l’ensemble des réels m pour que l’équation ait deux solutions x1 et x2 tels

que :

a) x1 + x2 = 5

b) x1.x2 = -2

c) 2

1x + 2

2x =29

d) 21 xx = 1

EXERCICE 17

1) Résoudre graphiquement l’inéquation x2 – 4y

2 < 0.

2) Soit f(x)= (1 – m) x2 + 2(m – 5) x + 16 – m (m IR.)

a) Déterminer l’ensemble des réels m pour les quels f(x) = 0 admet deux racines

de signes contraires.

b) Déterminer l’ensemble des réels m tel que pour tout x appartenant IR f(x) < 0

EXERCICE 18

Soit mxmxmxxPm 1515166)( 23

1- Vérifier que m est une racine de Pm( x ).

2- Déterminer toutes les racines de Pm( x ) puis écrire Pm( x ) sous forme d’un produit de

facteur du 1er

degré.

3- Etudier le signe de P1( x ).

4- Résoudre dans IR

234);32)();1)() 2

11 xxxcxxPbxxPa

EXERCICE 19

𝑃(𝑥) = 4𝑎𝑥3 + 𝑎𝑥2 − 7𝑥 + 21 déterminer le réel a pour que P(x) soit factorisable par

2x+3.Pour a=2 , résoudre P(x)=0.

EXERCICE20

1) Résoudre dans ℝ

a) 4𝑥4 − 5𝑥² + 1 < 0 ; b) 𝑥4 ≥ 𝑥² + 12 ; c)𝑥3 − 13𝑥² + 𝑥 + 12 ≥ 0

2) Soit le polynôme définie par : 𝑝(𝑥) = 𝑥4 + 𝑥3 − 5𝑥² + 𝑥 − 6

a) Factoriser p(x)

b) Résoudre dans ℝ 𝑥4 + 𝑥3 − 5𝑥² + 𝑥 − 6 ≤ 0

3) Déterminer le polynôme P de degré qui s’annule en 0 et vérifie de plus pour tout réel x

𝑃(𝑥 + 1) − 𝑃(𝑥) = 𝑥². Factorise le polynôme trouvé.



6

EXERCIC21

Soit P le polynôme défini par :𝑃(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥² − 5𝑥 + 1

1) Démontrer que pour tout nombre réel x non nul ,on a :

𝑃(𝑥) = 𝑥2 ((𝑥 +1

𝑥)2

− 5(𝑥 +1

𝑥) + 4 )

2) Résoudre dans ℝ l’équation P(x)=0 et l’inéquation P(x)≥ 0.

EXERCICE22

On considère le polynôme P(x) défini par : 𝑃(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥)(2𝑥2 − 9𝑥 − 5) 1) Vérifier que 5 est une racine de P(x)

2) Résoudre dans ℝ l’équation P(x)=0

3) Résoudre dans ℝ (𝑥2−2)(2𝑥2−9𝑥−5)

𝑥2−4< 0

EXERCICE23

1) Déterminer les polynômes de degré trois dont les divisions par (x-1) , par (x-2) ,par

(x-3) ont le même reste (+36).Déterminer celui d’entre eux qui est divisible par (x+4).

2) Soit 𝑃(𝑥) =(𝑥−𝑏)(𝑥−𝑐)

(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐) +

(𝑥−𝑐)(𝑥−𝑎)

(𝑏−𝑐)(𝑏−𝑎)+(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)

(𝑐−𝑎)(𝑐−𝑏)

a)Calculer P(a) , P(b) et P(c)

b) En déduire que pour tout x réel P(x)=1.

EXERCICE 24

On donne le polynôme 𝑃(𝑥) = 3𝑥3 + 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 − 1

1) Trouver les réels a et b tel que le polynôme P(x) soit divisible par (x-1)²

2) Résoudre alors P(x)=0.

EXERCICE 25

Soit (𝐸) : 𝑥2 − 7𝑥 + 12 = 0 𝑢𝑛𝑒 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑 𝑑𝑔𝑟é . 1) Montrer que ( E) admet deux racines x’ et x’’.

2) Sans calculer x’ et x’’ déterminer

𝑎)𝑥’² + 𝑥’’² 𝑏)𝑥’

𝑥′′ +

𝑥′′

𝑥′ 𝑐)𝑥’3 + 𝑥’’3

EXERCICE 26 :

Soit (E) l’équation 4𝑥4 + 8𝑥3 − 37𝑥²+ 8𝑥 + 4 = 0. 1) Montrer que 0 n’est pas une solution de ( E ).

2) Montrer que si le réel 0

x est solution de ( E )alors 1

𝑥0est aussi solution de ( E).

3) Montrer que l’équation (E) est équivalente à l’équation de

( 𝐸’) : 4𝑥2 + 8𝑥 − 37 +8

𝑥+4

𝑥2= 0.

3) On pose 𝑋 = 𝑥 +1

𝑥 montrer que l’équation ( E’) est équivalente à une équation

du second degré 4𝑋2 + 8𝑋 − 45 = 0, apelée (E’’). Résoudre dans IR l’équation (E’’) puis en déduire les solutions de (E).



7

EXERCICE 27:

1°) On donne le polynôme P(x) : 4 3 24 6 5 2P x x x x x .

Démontrer que P(x) est divisible par x – 1 et par x – 2 puis factoriser P(x).

2°) On donne 4 3 23 2 2P x x x x x .

Résoudre l’équation P( x ) = 0 sachant P( x ) a deux racines opposées.

EXERCICE 28 :

On donne le polynôme : 4 2 , p et q sont des réelsP x x px q .

Déterminer p et q de manière que P(x) soit divisible par x²-6x + 5.

Résoudre l’équations P(x) = 0.

EXERCICE 29:

Les restes de la division euclidienne d’un polynôme P(x) par x – 1 et par x – 2 sont

respectivement 6 et 18. Déterminer le polynôme reste de la division de P(x) par (x – 1)(x – 2).

EXERCICE 30

On donne le polynôme 3 23 1P x x ax bx .

1°) Trouver les réels a et b tel que le polynôme P(x) soit divisible par 2

1x .

2°) Résoudre alors P(x) = 0.

EXERCICE 31

Soit le polynôme 4 3 2 1P x x ax bx ax a et b étant des réels.

1°) a- Montrer que si est une racine de P(x) alors est non nul.

b- Montrer que est solution de P( x ) = 0 si , et seulement si, 1

est une racine de P(x).

2°) Montrer que est solution de P( x ) = 0 si et seulement si 1

est solution de

l’équation 2 2 0X aX b .

3°) Résoudre alors l’équation 4 3 24 1 0x x x x EXERCICE 32:

Quatre cubes ont respectivement pour arêtes mesurées en cm x ; x+1 ; x+2 ; et x+3 ou x est

un nombre entier naturel. Déterminer x pour que le contenu des trois cubes d’arêtes x ; x+1 ; x+2 remplissent exactement le cube d’arête x+3.

EXERCICE 33

On considère le polynôme 1

1 1 0... avec 0n n

n n nP x a x a x a x a a

On désigne par 1 2 , , ..., n les racines distinctes où non de P( x ).

Montrer que l’équation F( x ) = 0 obtenue en faisant le changement d’inconnue 2X x dans

l’équation 0P x P x n’est autre que l’équation qui admet comme racines les carrés

des racines de l’équation P( x ) = 0.

Application Former l’équation en X qui admet comme racines les carrés des racines de

l’équation 21 2 1 0m x mx m .

EXERCICE 34

On donne le polynôme 1 1 1n nP x nx n x

1°) Montrer que ce polynôme est divisible par (x – 1)².

2°) Déterminer le polynôme Q( x ) tel que P( x ) = (x – 1)²Q(x) pour n = 1 ; n = 2 ; n = 3.



8

EXERCICE 35:

1. a) Vérifier que 2 et –2 sont racines du polynôme P défini par

P(x) = -x5 + 2x

4 + 2x

3 – 7x

2 + 8x – 4

b) Factoriser ce polynôme

2. résoudre dans IR l’inéquation P(x) 0

EXERCICE 36

1. Démontrer que, pour tout nombre réel y : y3 = (

2

2 yy +)

2 – (

2

2 yy )

2

2. Soit Q le polynôme défini par Q(y) = (2

2 yy )

2. Démontrer que Q(y + 1) – Q(y) = y

3

3. a) Démontrer que, pour tout entier naturel m2 13 + 2

3 + …+m

3 =Q(m + 1) – Q(1)

c) En déduire 13 + 2

3 + …+m

3 =

4

)1( 22 mm

EXERCICE 37

Soit P(x) = ))((

))((

))((

))((

))((

))(( 222

bcac

bxaxc

abcb

axcxb

caba

cxbxa

1. Calculer P(a), P(b) et P(c).

2. Soit Q(x) = P(x) – x2 ;

a) Donner trois racines de Q(x).

b) En déduire, sans autres calculs, que P(x) = x2 pour tout nombre réel x

EXERCICE38

1) Résoudre les systèmes suivants

𝑎) {

(𝑥 − 2)(𝑥 − 1)

2𝑥 − 3> 0

(1 − 𝑥)(𝑥 + 2)

𝑥< 0

𝑏) {𝑥 − 𝑦 = 2𝑥𝑦 = 35

𝑐) {

𝑥2

𝑦+𝑦2

𝑥= 0

𝑥𝑦 = −1

𝑑) {𝑥2 + 𝑦2 = 5𝑥𝑦 = −2

𝑒) {2𝑥 − 𝑦 = 2

2𝑥2 − 𝑦2 = 2

𝑓) {𝑥 + 𝑦 = 5

2𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦 − 7𝑦 = 13 𝑔) {

𝑥2 + 𝑦2 = 29

𝑥𝑦 + 3(𝑥 + 𝑦) + 1 = 0 ℎ) {

2𝑥 − 3𝑦 = 1𝑥 + 2𝑦 = 4

𝑖) {2|𝑥 + 3| − 3|𝑦 + 5| = 1|𝑥 + 3| + 2|𝑦 + 5| = 4

𝑗) {𝑥2 + 𝑦2 =

25

4

𝑥𝑦 = −3 𝑘) {

𝑥𝑦 = −61

𝑦+

1

𝑥=

1

6

𝑙) {

1

𝑥+

1

𝑦= −

1

20

1

𝑥2+

1

𝑦2=

41

400

𝑚) {𝑥² − 𝑥𝑦 + 𝑦² = 13

𝑥 + 𝑦 = −2 𝑛) {

𝑦

𝑥+

𝑥

𝑦= −

25

12

𝑥𝑦 = −1

3

1) Résoudre et discuter suivant les valeurs de m les systèmes suivants

𝑎) {(√2 − 1)𝑥 − 𝑚𝑦 = √2 − 1

𝑥 − (√2 + 1)𝑦 = 𝑚 𝑏) {

(𝑚 − 1)𝑥 − 2𝑦 = 𝑚

4𝑥 − (𝑚 + 1)𝑦 = 𝑚 + 1

2) Résoudre les systèmes



9

𝑎)

{

4

𝑥−5

𝑦= −3

2

𝑥−3

𝑦= 2

𝑏) {5(𝑥 + 𝑦) − 3(𝑥 − 𝑦) = 5√2

3(𝑥 + 𝑦) + (𝑥 − 𝑦) = 4√2 𝑐) {

2√𝑥 + 3√𝑦 = −1

√𝑥 + 2√𝑦 = 2 𝑑) {

2𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = −1𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2

EXERCICE 39

Résoudre dans ℝ3 les systèmes suivants :(méthode du Pivot de Gauss)

𝑎) {

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −23𝑥 − 4𝑦 + 12𝑧 = −6−𝑥 + 5𝑦 + 𝑧 = 19

𝑏) {

7𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 35𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = −1−7𝑥 − 𝑦 + 6𝑧 = 9

𝑐) {

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 2

−3𝑥 + 3𝑦 − 6𝑧 = 19

𝑑) {

−2𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 2−3𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −1

𝑒) {2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = −114𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −8𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −2

𝑓) {

𝑥 − 2𝑦 = √2

𝑦 − 2𝑧 = √2

𝑥 − 2𝑧 = √2

𝑒) {4𝑥 − 5𝑦 + 3𝑧 = −66𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 8𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = −3

𝑓) {𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 4𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6

2𝑥 + 3𝑦 + 7𝑧 = 10 𝑔) {

2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 = −114𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −8𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −2

EXERCICE 40

𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒𝑠 𝑑’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑙𝑖𝑛é𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠 :

1.

1423

92

12

zyx

zyx

zyx

. 2.

53

02

332

zyx

zyx

zyx

. 3.

533

222

2432

zyx

zyx

zyx

.

EXERCICE 41

Résoudre les systèmes suivants :

EXERCICE42

𝐴)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑚é𝑡ℎ𝑜𝑑𝑒 𝑑𝑢 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡é𝑚𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡:

{4𝑚 + 2𝑛 + 𝑝 = 59𝑚 + 3𝑛 + 𝑝 = 1𝑚 + 𝑛 + 𝑝 = −1

𝐵)𝑒𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛𝑜𝑚𝑒 𝑃 𝑑𝑒 𝑑é𝑔𝑟é 3 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑃(2) = 10 ; 𝑃(3) = 3 𝑒𝑡 𝑃(1) = 1.

3

1 23

3 3 3 3

3 15 2

; E 3 1 2 5

3 1

On calculera et

x y z xx x y

E y z x yy x y

z x y z

x y x y



10

EXERCICE 4 3

On se propose de résoudre le système (S) 2 2 2

3 3 3

0

0

0

x y z

x y z

x y z

1°) Montrer que ( S) est équivalent au système

0

( ') 3

6

x y z

S xy yz zx

xyz

En déduire que x , y et z sont les solutions de l’équation 3 3 2 0 EX X

Résoudre alors E puis en déduire toutes les solutions de ( S’ ).

Indication : Donner les formes factorisée et développée d’un polynôme de degré n qui admet

n racines. EXERCICE 44

a) Résoudre par la méthode du pivot de GAUSS le système suivant :

01

139

524

zyx

zyx

zyx

b) En déduire un polynôme P de degré 3 tel que P(2)= 10 , P(3) = 3 et P(1) = 1

EXERCICE45

1. Résoudre dans IR :

a) –3x4 + x

2 + 2 = 0

b) 2x x -6x –2 = 0

c) 21

)1(2

xx

xx

2. a) Déterminer la somme et le produit de deux nombres x et y vérifiant

=+

=+

2

5

2022

x

y

y

x

yx

b) En déduire les solutions du système.

3. en discutant suivant les valeurs du paramètre réel m, déterminer le nombre de

solutions de l’équations : x2 + (m – 1)x – m + 1= 0

EXERCICE46

1)Déterminer P(x)polynôme du second degré ; tel que pour tout x réel: P(x) − P(x − 1) = x; en déduire la somme 1 + 2 + 3 +⋯+ n. 2)Déterminer Q(x)polynôme de degré trois , tel que pour tout x réel: Q(x) − Q(x − 1) = x2 − x; e𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 +⋯+ 𝑛 ∗ (𝑛 + 1). 3)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑡(𝑥)𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑡𝑟𝑜𝑖𝑠 , 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 𝑟é𝑒𝑙: (x) − P(x − 1) = x² , en déduire la somme 1² + 2² + 3² +⋯+ n².



11

EXERCICE 47

1. Résoudre dans IR3 et dans IR

4 les systèmes suivants

131

2

3

3

4

12

2

2

3

3

71

2

1

3

2

zyx

zyx

zyx

323

732

222

2

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

271

2

9

3

4

81

2

3

3

2

11

2

1

3

1

zyx

zyx

zyx

423

832

022

1

tzyx

tzyx

tzyx

tzyx

PARTIE ANALYSE

FONCTIONS NUMERIQUES-LIMITES-CONTINUITE-DERIVABILITE-

ETUDE DE FONCTION

I. Rappels: Généralités sur les fonctions

I-1 :Variations de f

Définition 1: Soit I un intervalle de IR

f est croissante sur I si et seulement si ( x1I) ( x2 I) [x1< x2 xf ( 1) f (x2)]

f est strictement croissante sur I ….. ….. [x1< x2 xf ( 1) < f (x2)]

f est décroissante sur I [x1< x2 xf ( 1) f (x2)]

f est strictement décroissante sur I [x1< x2 xf ( 1) > f (x2)]

I-2. Extremums d’une fonction

Définition 2 : Une fonction f définie sur un intervalle I possède un maximum absolu

(resp. minimum absolu) en x0 I ssi ( x I) f(x) f(x0) [rep. ( xI) f(x) f(x0)].

Définition 3 : Une fonction f définie sur un intervalle I possède un maximum relatif

U( rep minimum relatif) en x0 I ssi il existe un intervalle centré en x0 : I (x0) I tel que

( Ix (x0) ) f(x) f(x0) [rep.( xI (x0) ) f(x) f(x0)]

f possède un extremum en x0 signifie que f possède un maximum ou un minimum en x0

Théorème : On démontre et on admet le résultat suivant :

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I contenant x0 ; si f admet un

extremum en x0. alors f ’(x0) = 0 (f’ s’annule en x0 et change de signe)

I-3.Parité d’une fonction

Définition 4:

Une fonction f est paire si

Pour tout x Df, alors -x Df et f (-x) = f(x).

Donc Cf est symétrique par rapport à (Oy) dans un repère orthogonal du plan .



12

Une fonction est impaire si

Pour tout x Df, alors –x Df et f (-x)= - f(x).

Donc Cf est symétrique par rapport à O l’origine du repère quelconque.

Remarque : Une fonction peut être ni paire, ni impaire.

Exemple: .

:

xxx

IRIRf

A vérifier aisément par le lecteur

I-4.Eléments de symétrie d’une courbe

a - Centre de symétrie d’une courbe

Le plan est muni d’un repère (O, I, J) et f une fonction numérique donnée. Le point A (a, b)

est centre de symétrie de Cf ssi f (2a - x) + f(x) = 2b ou f (a-x) + f (a + x)= 2b

B - Axe de symétrie

La droite d’équation x = a est axe de symétrie à Cf ssi f (2a – x) = f(x)

II : BRANCHES INFINIES D’UNE COURBE

II- 1. Organigramme d’étude d’une branche infinie

Remarque :on obtient un organigramme similaire en - .

II-2. Courbes asymptotiques

Définition : Soient f et g deux fonctions définies au voisinages de + ; Cf et Cg leur courbe

représentatives.

On dit que Cf et Cg sont Courbes asymptotiques ( c'est-à-dire ont la même allure) au

voisinage de + si

0)()(lim

xgxfx

.

Remarque : on obtient une définition similaire en - .

lim𝑥→+∞

|𝑓(𝑥)| = +∞

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑎 , 𝑎 𝑟é𝑒𝑙

lim𝑥→+∞

[𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥] = 𝑏𝑏 𝑟é𝑒𝑙

lim𝑥→+∞

|𝑓(𝑥) − 𝑎𝑥| = +∞

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 0

lim𝑥→+∞

|𝑓(𝑥)

𝑥| = +∞

fCadmet en +

Une asymptote oblique

d’équation y = ax + b.

fCadmet en +

Une branche parabolique

de direction y = ax.

fCadmet en +

Une branche

parabolique

de direction (OX)

fCadmet en +

Une branche

parabolique

de direction (OY)



13

III .PLAN D’ETUDE D’UNE FONCTION

L’étude d’une fonction nécessite une démarche bien choisie pour mettre en exergue toutes les

propriétés relatives à la fonction étudiée afin de pouvoir tracer avec soin sa courbe

représentative. Ainsi :

Pour étudier la fonction f.

On doit commencer par chercher :

1.) L’ensemble de définition : Df

- Déterminer le domaine de définition de la fonction proposée.

- Réduction de l’ensemble d’étude dans le cas d’une fonction [paire, impaire,

périodique].

2.) L’étude de limites aux bornes de Df ou du domaine d’étude ( DE)

Calculer les limites aux bornes de Df en vous servant de l’écriture de Df ou de DE sous forme

de réunions d’intervalles.

En déduire l’existence d’asymptotes horizontales ou verticales à la courbe Cf.

3.) Variation de f

Etude de la continuité et de la dérivabilité de f : domaine de dérivabilité de f.

Déterminer la fonction dérivée f ’ de f et étudier son signe sur Df ou DE.

Dresser le tableau de variations de f

Remarque : Ce tableau permet de résumer les résultats ci-dessus.

4.) Représentation graphique de f dans le plan rapport à un repère (O, I, J)

Préciser les points d’intersection avec les asymptotes ; l’existence de tangentes parallèle à (O,

i) ; d’asymptotes obliques , de branches paraboliques; des symétries s’il en a.

Donner un tableau de valeurs de f

Tracer soigneusement la courbe représentative en précisant les équations des tangentes

éventuelles



14

VERY IMPORTANT

Soit f et g deux fonctions définies sur Df et Dg . On note Cf et Cg leurs courbes

représentatives dans le plan muni d’un repère orthogonal (O;

i ,

j ) .

Si pour tout réel x de Dg , on a :

g ( x ) = f ( x – a ) + b

( où a IR et b IR )

, alors : la courbe Cg

est l’image de la

courbe Cf par

la translation

de vecteur

v = a

i + b

j

g ( x ) = – f ( x ) , alors :

la courbe Cg est l’image

de la courbe Cf par

la réflexion d’axe ( Ox )

g ( x ) = f ( – x) ,

alors :la courbe Cg

est l’image de

la courbe

Cf par

la réflexion d’axe ( Oy )

g ( x ) = – f ( – x ), alors :

la courbe Cg est

l’image de la

courbe Cf par

la symétrie de

centre O .

Exercice 1 :

Donner l’ensemble de définition des fonctions suivantes

1) f(x) =(2x2 + 8x + 9)

x2 + 4x + 3 ; 2)f(x) = √x2 + |x| − 2 ; 3) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + √2𝑥2 + 5𝑥 − 3 − 3

4) 𝑓(𝑥) =2

𝑥 + √2𝑥2 + 5𝑥 − 3 − 3 ; 5) 𝑓(𝑥) = √

𝑥2 − 3𝑥 + 2

𝑥2 − 5𝑥 + 6 ; 6)𝑓(𝑥) =

√𝑥2 − 3𝑥 + 2

𝑥2 − 5𝑥 + 6

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants , dites si les fonctions f et g sont égales.

1)𝑓(𝑥) = (√𝑥 − 1)² 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 ; 2)𝑓(𝑥) =𝑥2

|𝑥| 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = |𝑥|

3)𝑓(𝑥) =x2 + 6x + 9

(x − 1)(x + 1) 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) =

(𝑥 + 3)2

𝑥2 − 1 ; 4)𝑓(𝑥) =

1

√𝑥 − 2 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) =

(√𝑥 + 2)

𝑥 − 4

5)𝑓(𝑥) =1

√𝑥+1−1 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) =

√𝑥+1+1

𝑥

Exercice 3 Soit f la fonction définie sur ℝ par :𝑓(𝑥) = |2𝑥 − 4| − |𝑥| − 3|𝑥 + 1| Préciser les fonctions suivantes :

a) f1 est la restriction de f sur 𝐼1 = ]−∞;−1] b) f2 est la restriction de f sur 𝐼2 = [−1; 0] c) f 3 est la restriction de f sur 𝐼3 = [0; 2] d) f4 est la restriction de f sur 𝐼4 = ]2;+∞[

Cf

0

Cg M

M’ 0

M’

Cf Cg

M

Cf

Cg M’

M

0

v

M’

0 Cg

M

Cf



15

Exercice 4

Déterminer 𝐷𝑔𝑜𝑓 ; 𝐷𝑓𝑜𝑔 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑔𝑜𝑓 𝑒𝑡 𝑓𝑜𝑔 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑐ℎ𝑎𝑐𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠:

1)𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 + 1.

2)𝑓(𝑥) = 𝑥² 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) =(𝑥 + 1)

𝑥 − 1.

3)𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥²

4)𝑓(𝑥) = 𝑥 +𝜋

2 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥

5)𝑓(𝑥) =(2𝑥 − 1)

𝑥 + 3 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) =

(3𝑥 + 1)

2 − 𝑥

Exercice 5

Déterminer les plus grands intervalles sur lesquels f≤g ou f≥g .Interpréter ce résultat.

1)f(x) = 2x3 + x² − x + 1 et g(x) = x3 + x² + 2x + 1

2)f(x) = x + 1 et g(x) =x3 + x2 − 1

x2 − 1

3)f(x) = −x² − x + 3 et g(x) =2x + 3

x + 1

Exercice 6

On considère les fonctions 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 𝑥 − 3 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) = −2𝑥² + 8𝑥 − 3.On note Cf et Cg

leurs courbes respectives.

1) Déterminer les points communs de Cf et Cg.

2) Etudier la position relative de Cf et Cg.

Exercice 7

1) Tracer la courbe C représentant la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥2. En déduire les courbes représentant les fonctions suivantes

𝑓1(𝑥) = 𝑥2 − 1 ; 𝑓2(𝑥) = (𝑥 + 2)2 ; 𝑓3(𝑥) = −𝑥2 𝑒𝑡 𝑓4(𝑥) = |𝑥2 − 1|

2) Tracer la courbe C’ représentant la fonction 𝑓(𝑥) =1

𝑥 .En déduire les courbes

représentant les fonctions suivantes :

𝑓1(𝑥) =1

𝑥− 2 ; 𝑓2(𝑥) =

1

|𝑥|− 2 ; 𝑓3(𝑥) = |

1

𝑥− 2| 𝑒𝑡 𝑓4(𝑥) =

1

𝑥 − 2

Exercice 8

Dans chacune des questions 1) à 4) ,f désigne une fonction définie sur un intervalle I.On

demande de démontrer que f est bornée sur I.

1)𝐼 = [−3; 2] 𝑒𝑡 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 3| 2)𝐼 = [−4; 1] 𝑒𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑥2

3)𝐼 = [−1; 3] 𝑒𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 2𝑥 4)𝐼 = [−1; 1] 𝑒𝑡 𝑓(𝑥) =2𝑥+3

𝑥+2

Exercice 9

On considère les fonctions définies par :

𝑓(𝑥) =1

1 + 𝑥2 , 𝑔(𝑥) = −

𝑥

2+ 1 , ℎ(𝑥) = −

𝑥2

2+ 1

Montrer que pour tout x ∈ [0; 1] ,𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ ℎ(𝑥)



16

EXERCICE 10

On considère les applications 𝑓1; 𝑓2; 𝑓3; 𝑓4; 𝑓5 𝑒𝑡 𝑓6 𝑑𝑒 ℝ − {0; 1}vers lui même

définies par 𝑓1(𝑥) = 𝑥 ; 𝑓2(𝑥) = 1 − 𝑥; 𝑓3(𝑥) =1

𝑥 ; 𝑓4(𝑥) =

𝑥

𝑥−1 ;

𝑓5(𝑥) =𝑥−1

𝑥 ; 𝑓6(𝑥) =

1

1−𝑥 .Déterminer 𝑓𝑖𝑜𝑓𝑗 𝑖 = 1; 2; 3; 4; 5; 6 𝑒𝑡 𝑗 = 1; 2; 3; 4; 5; 6

CALCULS DE LIMITES

Exercice 1 :

Calculer les limites en + et en - des fonctions suivantes.

a) f(x) = 62

742

2

x

xx b) f(x) =

133

722

xx

x c)

43

322

x

xx d) f(x) =

32

22

x

x

e) f(x) = x + xx 22 f) f(x) = 11 22 xxx g) x

x 112 h) f(x) =

23

x

xx

Exercice 2 :

Dans chacun des cas calculer la limite de la fonction f en 0.

a) f(x) = x

x5sin b) f(x) =

x

x

3sin

5sin c) f(x) =

x

xsin d) ) f(x) =

2

3sin

x

x e) ) f(x) =

x

x2

33

sin

cos

f) ) f(x) = x

xx tansin g) ) f(x) =

xx

xx

sin

cos

Exercice 3 :

1. Démontrer que x [1 ; + [, 112

1

x

x. En déduire

1lim

x

xx et

)1(lim

xx

x

2. Démontrer que x IR, 2sincos xx . En déduire les limites en + et en - de

la fonction x 2

sincos

x

xx

Exercice 4 :

Utiliser les propriétés de comparaison pour calculer les limites suivantes.

a) x

x1

sinlim0

b) x

x1

coslim 2

0 c)

1

coslim

2 x

x d)

xx sin

1lim

e)

x

xx

cos3

coslim

Exercice 5 :

1. Démontrer que la limite en 0 de la fonction x 2

1cos12

x

x

2. En déduire la limite en 0 des fonctions suivantes.

a) x x

x

cos1

3

b) x

1cos

sin2

x

x c)

xx

x

tan

1cos2 d)

x

x

sin

cos1



17

Exercice 6 :

Calculer la limite de f en x0 dans chacun des cas suivants

a) f(x) = x

x 11 x0 = 0 b) f(x) =

x

x 1cos x0 = 0 c) f(x) =

x

x

sin1

cos

x0 = (

2

)

-

d) f(x) =

22

cossin

x

xx x0 =

4

e) f(x) =

xxx

xxx

2

2

42

13 x0 = + 𝑓)𝑓(𝑥) =

(𝑥−3)

𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥 𝑥0 = 3

𝑔)𝑓(𝑥) =1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠²𝑥 𝑥0 =

𝜋

2 ; ℎ)𝑓(𝑥) =

𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥

𝑚𝑥 𝑥0 = 0

𝑖)𝑓(𝑥) =1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥2 𝑥0 = 0 ; 𝑗)𝑓(𝑥) = sin

1

𝑥 𝑥0 = (∓∞)

𝑘)𝑓(𝑥) =6𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥

2𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑥0 = 0 ; 𝑙)𝑓(𝑥) =

𝑠𝑖𝑛𝑥

√𝑥 𝑥0 = 0

𝑚)𝑓(𝑥) =1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑥2 𝑥0 = 0 ; 𝑛)𝑓(𝑥) =

sin (𝑡𝑎𝑛𝑥)

𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥0 = 0

𝑜)𝑓(𝑥) =𝑠𝑖𝑛3𝑥

𝑠𝑖𝑛5𝑥 𝑥0 = 0 ; 𝑝)𝑓(𝑥) =

tan2x

5𝑥 𝑥0 = 0

𝑞)𝑓(𝑥) =𝑥² + 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2

𝑥 + 1 𝑥0 = +∞ ; 𝑟)𝑓(𝑥) =

sin3𝑥

𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑥0 = 0

𝑠)𝑓(𝑥) =𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑥0 = 0 ; 𝑡)𝑓(𝑥) =

2x − sin𝑥

1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥0 = 0

𝑢)𝑓(𝑥) =𝑥² + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1

2𝑥² + 3 𝑥0 = −∞

Exercice 7

𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑐ℎ𝑎𝑐𝑢𝑛 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑠 , 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝐷𝑓, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑏𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐷𝑓 𝑒𝑡 𝑝𝑟é𝑐𝑖𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑡 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐ℎ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 𝐶𝑓.

1)𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 5𝑥 + 4 ; 2) 𝑓(𝑥) =2𝑥2 + 3𝑥 − 5

−𝑥2 − 2𝑥 + 3

3)𝑓(𝑥) =−𝑥2 + 3𝑥 − 1

𝑥 − 2 ; 4)𝑓(𝑥) =

3𝑥3 + 𝑥2 + 2𝑥 − 4

𝑥2 − 1

Exercice 7

𝑇𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑎𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑠𝑒𝑖𝑔𝑛𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝑓.

1)𝑓(𝑥) =𝑎(𝑥 + 1)

(𝑥 − 2)+𝑏(𝑥2 − 𝑥 + 1)

𝑥2 − 1 lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 1 𝑒𝑡 𝑓(0) = −1

2)𝑓(𝑥) =𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 3

2𝑥2 + 1− 𝑥 lim

𝑥→+∞𝑓(𝑥) = 2

3)𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 + 1

𝑏𝑥 − 3 𝐶𝑓 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑥 = 3 𝑒𝑡 𝑦 = 2 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒𝑠

3)𝑓(𝑥) =𝑎𝑥 − 3

𝑥 − 𝑏 𝐶𝑓 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐼(3; 1)𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑒.



18

Exercice 8

Déterminer l’ensemble de définition de f dans chacun des cas suivants

a) 6

1)(

2

x

xxf b)

2

125)(

23 xxxxf

c)

3

123

1)(

2

xx

xf d) x

xf

1

1)(

e) 22)( xxxf f) xxxxf 2)( g)

0

01)( 2

xsix

xsix

x

xf

CONTINUITE

Exercice 9:

Etudier la continuité sur IR de la fonction xE(x) + [x – E(x)]2 ou E désigne la fonction

partie entière.

Exercice 10 :

Dans chacun des cas suivants déterminer la valeur de a pour que la fonction f soit continue

sur IR.

a)

a f(0)

0x

f(x)2

xsix

x b)

afx

xx

)1(

1xsi1

1x f(x)

2

c)

0 xsi,x f(x)

0xsi,32

1)(

2 axx

xxf

Exercice 11 :

1. Soit f la fonction définie par :

af

xx

)3(

3xsi9x

36x f(x)

2

2

a. Déterminer le domaine de définition de la fonction f.

b. déterminer la limite a gauche et à droite en 3.

c. Existent-ils des valeurs de a pour lesquelles f est continue en 3.

2. soit g la fonction définie par : g(x) = 3

92

x

x ;

g est-elle prolongeable par continuité en -3 ?; en 3 ? si oui donner le prolongement.

EXERCICE 12 Soit f la fonction numérique définie par

{

𝑓(𝑥) =(2𝑥3 + 3𝑥2 − 3𝑥 − 2)

3𝑥2 + 3𝑥 − 6 𝑠𝑖 𝑥 ≠ −2 𝑒𝑡 𝑥 ≠ 1

𝑓(−2) = −1

𝑓(1) = 0

La fonction f est elle continue en x=-2 ;en x=1.

EXERCICE 13 Soit la fonction numérique f définie par

{𝑓(𝑥) =

((2+𝑥)2−4)𝑥

5

𝑓(0) = 0 Etudier la continuité de f en 0.



19

EXERCICE 14Soit la fonction numérique f définie par

{𝑓(𝑥) =

(𝑥3+3𝑥2+3𝑥−7)

𝑥−1

𝑓(1) = 12 Etudier la continuité de f en 1.

EXERCICE 15

𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑥0

1)𝑓(𝑥) = 3𝑥² + 𝑥 − 1 𝑥0 = 1 ; 2)𝑓(𝑥) = {

𝑥2 − 𝑥 − 2

𝑥𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2

𝑥 − 2 −

𝑥² − 1𝑠𝑖 𝑥 > 2

𝑥0 = 2

3)𝑓(𝑥) = {3𝑥2+𝑥−1

𝑥+1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑠𝑖 𝑥 − √𝑥 + 1 > 0 𝑥0 = 0 4)𝑓(𝑥) = {

𝑥2+2𝑥−3

𝑥−1𝑠𝑖 𝑥 > 1

𝑥2 + 𝑥 − 4 𝑠𝑖 𝑥 < 1𝑓(1) = −2

𝑥0 = 1

5)𝑔(𝑥) = {𝑠𝑖𝑛𝑥 +√1−𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥

2 𝑠𝑖 𝑥 = 0 6) 𝑓(𝑥) = √|𝑥² − 2𝑥 − 3| 𝑠𝑖 𝑥0 = −1 𝑒𝑡 𝑥0 = 3

EXERCICE 16

𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑑𝑒 𝑅 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑅 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟:

𝑓(𝑥) = {𝑥2 − 9

|𝑥| − 3𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3 𝑒𝑡 𝑥 ≠ −3

6 𝑠𝑖 𝑥 = 3 𝑒𝑡 𝑥 = −3

1)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑓. 2)𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 − 3 𝑒𝑡 𝑒𝑛 3? EXERCICE 17

1)𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟:

𝑓(𝑥) = {−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥2 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 1𝑚𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒(𝑠)𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟(𝑠)𝑑𝑒 𝑚 𝑓 𝑒𝑠𝑡 − 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑅 ? 2)𝑆𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑓 𝑒𝑡 𝑔 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟 ∶

𝑓(𝑥) =√𝑥 + 1 − 1

𝑥 𝑒𝑡 𝑔(𝑥) =

1

1 + √𝑥 + 1

𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑜𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑓 , 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é 𝑎𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑥 = 0. 3)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 (𝑠′𝑖𝑙𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒)𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑙𝑜𝑛𝑔𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑡 𝑥0

𝑓(𝑥) =𝑥2−3𝑥+2

3𝑥²−7𝑥+2 𝑥0 = 3 2)𝑓(𝑥) =

𝑥−√𝑥

√𝑥 𝑥0 = 0

EXERCICE 18

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑓 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑅 𝑝𝑎𝑟: {𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 −

1

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0

𝑓(0) = 𝑎

𝑎) 𝑄𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑓? 𝑏)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐷𝑓.



20

DERIVATION

Exercice 19 :

Après avoir préciser l’ensemble de dérivabilité de f, calculer sa dérivée.

a) f(x) = 2

322

2

x

xx ; b) f(x) =

323

542

2

xx

x ; c) f(x) =

3

2

32

x

x ; d) f(x) = x

6x

e) f(x) = (2 – 5x)

3

2

12

x

x ; f) f(x) =

335

3

x ; g) f(x) = 92 x ; h) f(x) = 673 xx

Exercice20:

Soit f la fonction f la fonction définie sur IR par : f(x) = (1-x) 21 x .

1. Etudier la dérivabilité de f en 1 et en -1. Donner l’ensemble de dérivabilité de f.

2. calculer f’(x) dans chaque intervalle où elle est dérivable.

Exercice 21 :

Dans chacun des cas suivants, déterminer le ou les points de Cf ou la tangente (T) à Cf répond

à la condition indiquée.

a. f(x) = x3 +3x

2, le coefficient directeur de (T) est 0.

b. f(x) = x

1 (T) passe par le point B(2,-4).

c. f(x) = x -1 + 1

82 x

(T) parallèle à la droite (D) : y = x – 1

Exercice 22 :

1. Montrer que f réalise une bijection de I vers un intervalle J à préciser.

a) f(x) = 4

32

x

x I= [0 ; 2] b) f(x) =

3

1

x

x I = [-7 ; -4 ] c) f(x) =

2

232

2

xx

xx I= [3; 10].

2. Dans chacun des cas suivants déterminer l’ensemble f(K).

a) f(x)= x2 – 4x + 2 K = [-2 ; 4] b) f(x) =

12

1

x

x K= [-1 ; + [ c) f(x) = 12 2 x K= [-

Exercice 23 :

1. Dans chacun des cas suivants étudier la continuité et la dérivabilité en 0 de la fonction f

a) f(x) = 122

2

xx

xx b) f(x) = 23 8xx c) f(x) = 45 3xx

d)

2

1)0(

0xsi121

)(

f

x

xxxf

e)

0)0(

0 x sisintan

)(2

fx

xxxf

2. soit g la fonction définie par :

b g(2)

21-x

b2ax g(x)

223x g(x) 2

xsi

xsibx

a. Déterminer les réels a et b pour que la fonction g soit continue sur IR.

b. Etudier alors la dérivabilité de g en 2.



21

Exercice 24:

1. a) Montrer que l’équation x3 – 5x + 3x +2 = 0 admet trios solutions dans IR

b) Trouver un encadrement d’amplitude 10-1

de chacune de ses solutions.

2. Montrer que l’équation : 5

1x

2 +4x

3 + 11x – 3 = 0 admet une seule solution dans [-2 ; 2]

Trouver un encadrement d’amplitude 10-1

de .

Exercice 25:

Soit la fonction de la variable x définie sur IR {4

1} par f (x) =

14

514-²8

x

xx

1. Etudier les variations de f.

2. Soit (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère ortho normal.

Montrer que (C) admet pour asymptotes de la droite d’équation y = 2x – 3 et pour centre de

symétrie le point 0’ ( )2

5-,

4

1 .

Calculer les abscisses des points d’intersections A et B de la courbe avec l’axe des abscisses.

2. Tracer (C).

Exercice 26 : On se propose d’étudier la fonction

f : IR IR x 1

2-²

+

+

x

xx

1. Déterminer Df. Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur chacun des intervalles de Df

et, en particulier au point x = 2.

2. Etudier les limites de J aux bornes de Df.

3. Etudier les variations de f.

4. Construire (g) dans un repère(O ; ji, )

Vous préciserez les asymptotes ainsi que la position de la courbe par rapport à ces

asymptotes.

Exercice 27 :

Soit f la fonction numérique de la variable réel x définie sur IR* par f(x) =

x

xx 22

1. Etudier et construire la courbe représentative de f

2. Déterminer une équation de la tangente à Cf en son point A d’abscisse 1. Tracer cette

tangente.

3. En utilisant Cf tracer dans un même repère les courbes des fonctions suivantes :

g(x) = x

xx 2-2 + et h(x) =

x

xx 2-2 +

EXERCICE28

Montrer que la relation f réalise une bijection de I vers J à préciser puis exprimer

f ‘(-1) (x) en fonction de x.

𝑎) 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 𝑏)

𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1



22

EXERCICE29

Le plan est muni d' un repère orthonormé (O,I,J).Soit l' application

𝑓: [−1

2;+∞[ → ℝ

𝑥 → √2𝑥 + 1

1) Démontrer que f est bijective et déterminer sa bijection réciproque 𝑓−1. 2) Construire la courbe représentative de 𝑓−1. 3) En déduire la courbe représentative de f.

EXERCICE 30

Dans chacun des cas suivants f est une relation. Est elles une application ?

Est elle injective? Est elle surjective? 𝑎) 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑓(𝑥) =𝑥2 + 1

𝑥2 + 1

𝑏) 𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑓(𝑥) = √𝑥² − 1 − 1

𝑐) 𝑓: [0; +∞[ → ℝ

𝑥 → 𝑓(𝑥) =𝑥

√𝑥2 − 1

𝑑) 𝑏) 𝑓: ℝ → ℤ

𝑥 → 𝐸(𝑥) 𝑒)

𝑓: ℝ → ]−1; 1[

𝑥 → 𝑓(𝑥) =𝑥

√𝑥2 − 1 𝑓)

𝑓: ℝ → ℝ

𝑥 → 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥

𝑔) 𝑓: ℝ − {2} → ℝ

𝑥 → 𝑓(𝑥) =𝑥 + 1

𝑥 − 2

EXERCICE 31

f est la relation définie sur E=R-{1 } par 𝑓(𝑥) =2𝑥+1

𝑥−1.

Montrer que f réalise une bijection de E vers f(E) à déterminer puis définir 𝑓−1. EXERCICE32

Soit f la fonction définie par 𝑓(𝑥) =1+√𝑥2−1

1−√𝑥2−1

1) Déterminer son ensemble de définition D.

2) Résoudre dans R l^' équation 𝑓(𝑥) = 𝑦;où y est un paramétre réel.

L' application 𝑓: 𝐷 →R est elle injective ?surjective?

4) Déterminer deux parties E et F de R ;les plus grandes possibles , pour que

l' application 𝑔: 𝐸 → 𝐹

𝑥 → 𝑓(𝑥) soit bijective

EXERCICE33

Soit f la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 1 +𝑥

√𝑥2+1 et soit C la courbe représentative de f dans un

repère orthonormé

1) Etudier les variations de f

2) Montrer que la courbe de f admet un point d^' inflexion dont on précisera

3) Déterminer l' équation de la tangente (T) à C au point 0.On pose ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑥

4) Montrer que l' équation ℎ(𝑥) = 0 admet une solution 𝛼 ∈ [1; 2]. En déduire que f(α)=α.

5) Montrer que f est une bijection de R sur un intervalle J 𝑞𝑢𝑒 𝑙′on précisera .

6) Tracer la courbe C de f

7) déterminer l' ensemble de définition et le sens de variation de 𝑓−1

(𝑜𝑛 𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑓−1).

8) Donner l' expression de 𝑓−1 (𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑟é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑦 = 𝑓(𝑥))



23

9) Tracer la courbe de 𝑓−1 dans un même repère que celui de repère

EXERCICE 34

On considère la correspondance f de R dans lui même par

𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 1 − 2𝑥

a)Montrer que f réalise une bijection de 𝐼 = [2

√3; +∞[vers un intervalle J à déterminer

b) Déterminer l' expression de 𝑓−1 (x)en fonction de x.

EXERCICE35

Pour chacune des fonctions suivantes définies par f(x):

Déterminer l' ensemble de définition D.

Déterminer l' ensemble image f(D).

Dire si f est injective . Dire si f est une bijection de D sur f(D).

1)𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1; 2)𝑓(𝑥) = √5 − 2𝑥; 3)𝑓(𝑥) =1 − 2𝑥

2𝑥 ; 4)𝑓(𝑥) =

1

1 + 𝑥2 ;

5)𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2 + 1

Exercice 36

On considère les fonctions f et g définies par : 12)( 2 xxf et xxg 1)(

1) Déterminer l’ensemble de définition de g0f

2) Déterminer l’ensemble de définition de f0g

3) Expliciter f0g(x) et g0f(x).

EXERCICE37

Pour chacune des fonctions suivantes donner l' ensemble de définition Df puis calculer

les limites aux bornes de Df

1)𝑓(𝑥) =(5 + 1)

𝑥 − 3 2)𝑓(𝑥) =

2𝑥 + 1

𝑥 3)𝑓(𝑥) =

−𝑥 + 4

𝑥 + 2 4)𝑓(𝑥) =

3𝑥 − 2

−𝑥2 + 1

5)𝑓(𝑥) =𝑥2 − 1

𝑥 + 1 6)𝑓(𝑥) =

(2𝑥2 + 3𝑥 − 2)

𝑥2 + 1 7)𝑓(𝑥) =

(4 − 5𝑥)

𝑥2 + 2𝑥 − 3

8) 𝑓(𝑥) =1

(𝑥−3)2 9)𝑓(𝑥) =

1

√𝑥2−4 10)𝑓(𝑥) =

2𝑥2+3𝑥−2

−𝑥2−𝑥+2

11)𝑓(𝑥) =(6𝑥 − 2)

−2𝑥 + 8 12)𝑓(𝑥) =

(2𝑥2 + 3𝑥 − 2)

−𝑥2 − 𝑥 + 2 13)𝑓(𝑥) = −3𝑥3 + 5𝑥² − 7𝑥

Etudier la continuité de f en x=1 .

EXERCICE 38

Soit g la fonction définie par g(x) =

{

𝑥2 − 𝑥 + 𝑝 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1√𝑥+2−1

𝑥+1 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 2

−𝑥

𝑥+4+ 𝑞 𝑠𝑖 𝑥 > 2

𝑜ù 𝑞 𝑒𝑡 𝑝 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠.

1)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑝 𝑒𝑡 𝑞 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 − 1 𝑒𝑡 𝑒𝑛 2 . 2)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 lim

𝑥→−∞𝑔(𝑥) ; lim

𝑥→+∞𝑔(𝑥) 𝑒𝑡 𝑔(0).



24

Exercice 39

1. Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :

a) f(x) = 5142 2 xx b) f(x) = x

x

1

1 c) f(x) =

32

11

x

xx

2. Soit a et b deux paramètres réels et f la fonction numérique définie par :

12)1()1-a(x f(x)

10x2 f(x) 2 xsixb

xsi

a. . Préciser le domaine de définition de f

b. Monter que f est continue sur IR+

c. Déterminer une relation nécessaire et suffisante liant a et b pour que f soit dérivable en1.

Exprimer b en fonction de a.

EXERCICE 40

1- Soit f et g les fonctions définies par : 3)(et 4

1)(

2

xxg

xxf .

Déterminerfggfgf DetDDD ,, puis donner les formes explicites de ))(( xgf et

))(( xfg .

2- soit f la fonction définie par :2

52)(

2

2

xx

xxxf .

a- Déterminer le domaine de définition Df de f.

b- Déterminer les limites aux bornes de Df. En déduire les asymptotes éventuelles

EXERCICE 41

Dans chacun des cas préciser le domaine et déterminer s’il existe le prolongement par

continuité en x0.

1- f définie par 3

3128)(

33

9)(

0

2

xen

xsixxf

xsix

xxf

2- g définie par 11

231)( 0

xen

x

xxg

3- h définie par 0)( 0 xenx

xxh

EXERCICE 42

1- Calculer les limites suivantes :

2

22lim);)3(lim);

35

2lim)

42lim);lim);lim)

2

2

4

2

22

x

xfxxxe

x

xd

x

xcxxxbxxxa

xxx

xxx

2- Soit x

xxExxf

sin3

sinxg(x)et )(

2

.

a- Encadrer chacune des fonctions f et g.



25

b- En déduire les limites en + et en de chacune d’elles. ( pour tout réel x on a

E(x) x E(x) + 1 ).

EXERCICE 43

Soit f la fonction définie par 22 )(paret 23)( xxggxxxf .

1- Montrer que f(x) peut s’écrire sous la forme f( x ) = g(x – a) + b avec a et b

deux réels que l’on déterminera. En déduire que la courbe Cf de f se déduit de celle Cg

de g par une transformation géométrique que l’on déterminera.

2- Montrer que la droite d’équation x = 2

3 est axe de symétrie de Cf.

3- Donner dans chacun des cas suivants la transformation géométrique permettant

d’obtenir la courbe de la fonction considérée à partir de celle de f.

23)();23)();23)() 2

3

2

2

2

1 xxxfcxxxfbxxxfa

EXERCICE 44

Soit f la fonction définie par f(x) = 𝑥3−3𝑥+2

√𝑥2+1−√3𝑥−1

1) Déterminer le domaine de définition de f.

2)a)Montrer que f(x) peut s’écrire sous la forme :f(x)=R(x). √𝑥2 + 1 − √3𝑥 − 1 où R(x) est

une fonction rationnelle à déterminer.

b) Calculer lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) ; lim𝑥→2 𝑓(𝑥) ; lim𝑥→1 𝑓(𝑥) 3)𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑅(𝑥).

4)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ 𝑙′𝑖𝑛é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛: 𝑥3−3𝑥+2

√𝑥2+1−√3𝑥−1≥ 0

EXERCICE 45

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑑𝑒 ℝ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ 𝑝𝑎𝑟: 𝑓(𝑥) =(𝑥 − 1)

𝑥 + 2

1)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑟é𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐼 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 𝐽 à 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 .

2)𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑔(𝑥) =𝑥

√1 + 2𝑥

𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑔 𝑟é𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐷𝑔 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝐽 𝑜ù 𝐽 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 à 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 .

PROBLEME1

On considère la fonction f définie par f(x) = 2

23 4

x

xx

1. Etudier les limites aux bornes de l’ensemble de définition de f .

2. Etudier le sens de variation de la fonction f et dresser son tableau de variation .

3. Montrer que l’équation (E) : x3 – x

2 + 4 = 0 admet une seule solution réelle qu’on

encadrera par deux entiers consécutifs.

4. Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) à Cf au point d’abscisse -2

5. Déterminer les abscisses des points de la courbe Cf ou la tangente est parallèle à la droite

d’équation y = -7x+1.

6. Construire Cf.

Problème 2:

Soit f la fonction définie par f(x) = 22

232

x

xx, et Cf sa courbe représentative dans un repère

orthonormé (O, ji , ).



26

1. Déterminer Df , étudier les limites aux bornes des intervalles de Df .

2. Montrer qu’ils existent des réels a, b et c tels que pour tout x de Df ; f(x) = ax + b +1x

c.

En déduire que la droite D d’équation y = 2

1x + 1 est asymptote à Cf. déterminer la

position de D par rapport à Cf en + .

3. Montrer que Cf admet une asymptote parallèle à (oy) et donner son équation.

4. Etudier le sens de variation de f dans les intervalles ou elle est définie.

5. On désigne par A le point de la courbe Cf ayant pour abscisse 0, déterminer une équation

de la droite T, tangente à la courbe Cf en A.

6. Construire, les asymptotes de Cf , le point A, la droite T et la courbe Cf.

Problème 3:

Soit f la fonction définie par f(x) = 1

2322

2

x

xx et Cf sa courbe représentative dans un repère

orthonormé (O, ji , ).

1. Montrer qu’il existent deux réels a et b tels que f(x) =a + 12 x

bx.

2. Etudier la fonction f.

3. Montrer que le point I de Cf d’abscisse 0 est un centre de symétrie de la courbe Cf .

4. Donner une équation de la tangente T à Cf en I.

5. Etudier la position de Cf par rapport à T.

6. Tracer la courbe Cf et sa tangente en I.

PROBLEME 4

1. Soit f la fonction définie par f(x) = x + 12 x et Cf sa courbe représentative.

a. Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de

définition ; Cf admet elle des tangentes aux points d’abscisse 1 et -1 ?

b. Démontrer que Cf admet deux asymptotes que l’on précisera.

c. Etudier les variations de f et construire Cf .

2. Soit la fonction g définie par g(x) = x- 12 x et Cg sa courbe représentative.

a. Démontrer que Cf et Cg sont symétrique par rapport à O.

b. Construire Cg sur le même graphique que Cf

PROBLEME 5:

Soit f(x)={−𝑥 + √4 + 𝑥²𝑠𝑖 𝑥 < 0

√|4 − 𝑥²| 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

1) Déterminer Df

2) Etudier la continuité et la dérivabilité de f . Donner un interprétation graphique

3) Etudier les branches infinies

4) Calculer f’(x) dans les intervalles où f est dérivable.

5) Dresser le tableau de variation de f

6) Montrer qu’il existe un unique 𝛼 ∈ [0; 2] solution de l’équation f(x)=0.

7)Vérifier que 𝛼 ∈ [1;3

2].



27

PROBLEME 6 :

On considère la fonction f définie par : f(x) = x

xx 12

1. a) préciser l’ensemble de définition de f

b) écrire f(x) sans les valeurs absolues.

2. on suppose que f(x) =

11

101

01

2

2

2

xsix

xx

xsix

xx

xsix

xx

Étudier la continuité et la dérivabilité de f en 0 et 1

3. calculer f’(x) et étudier les signe de f’(x) dans chacun des intervalles

4. établir le tableau de variation de f.

5. déterminer l’intersection de la courbe avec les axes.

6. a) montrer qu’il existe a, b et c réels tels que f(x) = ax + b + 0xsix

c

en déduire l’asymptote oblique en - et sa position relative par rapport à la courbe Cf

b) déterminer l’asymptote oblique en +

c) déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse 2

7. construire Cf

8. a) soit g la restriction de f sur I=]1 ; + [ ; montrer que g est bijective de I vers un

intervalle J a préciser

d) la bijection g-1

est elle dérivable en 2

5 ; si oui préciser son nombre dérivé.

e) Déterminer l’équation de la tangente à C’ courbe représentative de g-1

f) Représenter C’ dans le même repère que Cf.

EXERCICES DE SYNTHESE EXERCICE 1

Résoudre les inéquations suivantes :

1°) x4 + x

2 + 1 < 0 2°) ― x

4 + 3x² + 4 ≥ 0

EXERCICE 2

Pour quelles valeurs du paramètre m l’équation : mx² ― 2(4 + m) x + 15 + m = 0

a-t-elle deux solutions de signes contraires ?

EXERCICE 3

Résoudre les équations et inéquations irrationnelles suivantes :

1°) 2x + 1 + 1 = 3x 2°) 2x + x² ― 4x ― 5 = 18

3°) ― x2 + 3x ― 2 ≥ x ― 1 4°) 7 ― 6x < 2x + 1



28

EXERCICE 4

Soit f la fonction définie sur IR par

f (x ) = – 1

2 x

2 + x + 4

1°) Tracer C f dans un repère orthonormé.

2°) Etudier les variations de f et établir son tableau de variation.

3°) Etudier les points d'intersection de la courbe C de f avec les axes puis tracer la courbe de f

4°) Que pensez-vous de l'équation f (x ) 3,5 ?

5°) Etudier le signe de

d (x ) = f (x ) – ( 3x – 2 )

En déduire la position relative de C f d et de la droite D d’équation y = 3x – 2

EXERCICE 5

1°) Soit g le polynôme : x ↦x45x

3+8x

25x+1.Vérifier que pour tout x ≠0, g

1

x =

1

x4 g(x)

En déduire que si a est une racine de g, alors a est non nul et 1

a est aussi une racine de g.

2) Un polynôme P est dit « réciproque de degré n » lorsque :

- P est de degré n

- Pour tout réel x ≠0, P

1

x =

1

xn P(x)

h(x)=2( )1+x4

( )1+x 4 est-il un polynôme réciproque ?

3) P est le polynôme x ↦x4x

3x

2x+1

Zéro est-il une racine de P ? Ce polynôme admet-il une racine évidente ?

On se propose de déterminer cependant les racines de P.

a) Vérifier que P est un polynôme réciproque de degré 4

b) On pose, pour tout x ≠0, X=x+ 1

x

- Calculer X2 en fonction de x

En remarquant que pour x ≠0 P(x)=x2

x

2x1

1

x +

1

x2 , exprimer x

2x1

1

x +

1

x2 en

fonction de X et montrer alors que lorsque x ≠ 0 (P(x)=0) équivaut à (X=x+ 1

x et Q(X)=0) où

Q est un polynôme de degré 2 à préciser. En déduire les racines de P.

4) A partir de la définition d’un polynôme réciproque donnée à la question 2), trouver la

forme générale des polynômes réciproques de degré 1 puis ceux de degré 2, 3, 4, 5.

Donner un exemple dans chaque cas.

5) En s’inspirant de la question 3) résoudre l’équation :x44x

3+2x

24x+1=0

6) Préciser comment on trouve, de manière générale, les racines d’un polynôme

réciproque de degré 4.

7) P est un polynôme réciproque de degré 5

a) Montrer que 1 est une racine de P.

b) Montrer qu’alors chercher les autres racines de P revient à chercher les racines d’un

polynôme réciproque de degré 4.



29

EXERCICE 6

On considère un triangle MNP et les points I, J, K tels que :I est le barycentre de ( )M, 2

,( )P, 1 J est le barycentre de ( )M, 1 , ( )N, 2 K est le barycentre de ( )N, 4 , ( )P, 1

Justifier les affirmations suivantes :

(A) N est le barycentre de ( )K, 3 , ( )P, 1

(B) J est le barycentre de( )M, 2 , ( )K, 3 , ( )P, 1

(C) I, J et K sont alignés.

(D) J est le barycentre de ( )I, 1 , ( )K, 1

(E) J est le milieu de [ ]IK .

EXERCICE 7

Soit la fonction fm définie par : fm (x)=mx2 2mx+1 et soit Cm la courbe

représentative de fm dans un repère ( )O, i⇁⇀ , j⇁⇀ .

A- 1) Pour quelles valeurs de m la courbe Cm coupe-t-elle l’axe des abscisses ?

2) Construire les courbes C1 et C0 correspondant à m=1 et m=0.

3) Chercher les coordonnées des points d’intersection A et B des courbes C1 et C0.

Démontrer que ces coordonnées vérifient l’équation de la courbe Cm quel que soit m.

Que peut-on en conclure pour les courbes Cm?

4) Discuter en fonction de x0 et y0 le nombre de courbes Cm passant par M0(x0, y0).

5) Pour quelles valeurs de m la droite d’équation y=2 coupe-t-elle la courbe Cm?

S’il y a deux points d’intersection A1 et B1 démontrer que le milieu I de [ ]A1B1 est fixe

quand m varie.

B- Soit H la courbe d’équation y= 2x+1

x+1 représentative de la fonction g : x ↦

2x+1

x+1

1) Etudier les variations de g.

2) Tracer la courbe H dans le repère précédent.

3) Discuter en fonction de m le nombre de points d’intersection de Cm et de H.

4) Montrer que si Cm∩H contient trois points, l’un est fixe et le milieu des deux autres

appartient à une droite fixe.

EXERCICE 8

On considère s’il en existe des polynômes f(x) de degré 4 tels que :

f(0)=0 et f(x)f(x1)=x3

1) Prouver que f(x) est divisible par x2+x.

2) Déterminer le polynôme f(x)

3) Déduire de l’étude ci-dessus l’expression en fonction de n de la somme :

S=13+2

3+3

3+………….+n

3

EXERCICE 9

ABCD est un parallélogramme.

1) Déterminer les coefficients b et c qu’il faut affecter aux points B et C pour que D soit

barycentre de ( )A, 1 ; ( )B, b ; ( )C, c

2) b et c ayant les valeurs trouvées ci-dessus, le point H centre du parallélogramme est

affecté du coefficient h. Déterminer h pour que H' barycentre de ( )A, 1 ; ( )B, b ; ( )C, c ;

( )H, h soit le milieu de [ ]HB .



30

EXERCICE 10

A et B sont deux points distincts, f est la fonction :M ↦ MA

MB

1) Montrer qu’il n’y a pas de ligne de niveau k lorsque k 0.

2) Examiner les cas : k = 0 et k = 1.

3) Dans toute la suite on suppose k 0 et k ≠ 1.

Montrer que chercher les lignes de niveau k de f revient à chercher les points M tels que :

MA2

k2MB

2 =0

4) Montrer que les lignes de niveau sont des cercles de rayon R = k

1k2

AB, de centre G où

G est le barycentre de ( )A, 1 ; ( )B, k2

5) Soit I le barycentre de( )A, 1 et ( )B, k

et J le barycentre de ( )A, 1 et ( )B, k

Vérifier que I et J appartiennent à la ligne de niveau k de f.

Démontrer que la ligne de niveau k de f est le cercle de diamètre [ ]IJ

EXERCICE 11

Résoudre dans les équations et l’inéquation suivantes :

1) 5x + 9 x 4 = 3x + 1

2) x2 3x + x

2 3x + 11 = 1 ( )Poser X = x

2 3x

3) x + 2 3x 4

EXERCICE 12

1°) Etudier la parité des fonctions suivantes :

f : x ↦ 3x

| x4 ― x² + 1 |

et g : x ↦ x² + 1

1 ― x²

2°) Dans chacun des cas suivants, étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle

D, en utilisant le signe du

rapport f (a) ― f (b)

a ― b , où a et b sont des réels distincts de D.

a) f (x) = x² + 4x + 7 ; D = ] ― ∞ ; ― 2] b) f (x) = x + 5

x ; D = ]0 ; 5 ] .

EXERCICE 13

Soit k un réel strictement positif et f une fonction définie sur R telle que, pour tout réel x,

f(x ― k) = ― f(x + k) . Montrer que la fonction f est périodique, et en préciser une période .

EXERCICE 14

Les différentes questions sont indépendantes.

1°) Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

a) f (x) = ― x

2x + 1 b) f (x) =

― 6x2 + 13x + 5

2x ― 3

c) f (x) = 1 ― ― x

1 + ― x d) f (x) =

x ― 5

2| x | ― 3

2°) Soit la fonction numérique f définie par f (x) = 2x ― 1 + 1 .

a°) Montrer que f est une bijection de



31

[ 1

2 ; + ∞ [ sur (1 ; + ∞ [.

b°) Préciser f―1

.

EXERCICE 15

On considère le polynôme

P(x) = 2x3 ― x² ― x ― 3 .

1°) Vérifier que 3

2 est une racine de P(x) .

2°) Résoudre dans R l’équation P(x) = 0.

3°) Résoudre dans R l’inéquation : 2x

3 ― x² ― x ― 3

― x² + 3x ― 2 < 0 .

EXERCICE 16

1°) Discuter suivant les valeurs du paramètre m l’existence et le signe des racines des

équations suivantes :

a) (m² ― 4) x² ― 2(m + 2) x + 2 = 0

b) (m ― 3) x² + (2 m ― 1) x + m + 1 = 0

2°) Résoudre et discuter l’inéquation suivante :m x² ― (2m + 1) x + 2 < 0 .

EXERCICE 17

1°) Soit P(x) = x3 ― 7x + 6 .

Trouver une racine évidente de P(x), puis factoriser P(x) en produit de polynômes du premier

degré.

2°) On considère l’équation ( E ) suivante : ( E ) : 8 x3 + 12 x² ― 50x + 21 = 0 .

a) On pose x = y + h. en remplaçant x par y + h dans l’équation ( E ), on obtient

une nouvelle équation ( E ' ) d’inconnue y.

Quelle valeur faut-il donner à h dans l’équation ( E ' ) pour que le coefficient de y² soit nul ?

b) h ayant la valeur trouvée en a) , résoudre alors l’équation ( E ' ) , puis l’équation ( E ) .

Indication : Utiliser la question 1°.

EXERCICE 18

Soit P(x) = 6x3 + 25x² + 3x ― 4 .

1°) Vérifier que (― 4) est une racine de P puis factoriser P(x) en polynômes du 1er

degré.

2°) a) Résoudre l’équation P(x) = 0 .

b) En déduire les solutions de l’équation :

6(x² ― 20)3 + 25(x² ― 20)² + 3 (x² ― 20) ― 4 = 0

3°) Résoudre dans R l’inéquation : P(x) > 0 .

EXERCICE 19

Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :

a) 2x + 3 + 5 ― 2x = 4x + 7

b) 3x + 1 ― x ― 4 = 3

c) ― 5x² + 3x + 2 > 5x ― 1

d) 4x² ― 1 + 4x < 0



32

EXERCICE20

Soi f (x) = x

1 + x² et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé

( O, →i ,

→j ) du plan .

1°) Etudier la parité de f. Que peut-on en déduire pour C f ?

2°) a) Montrer que : ∀ x ≥ 0 , f (x) ≤ 1

2 .

b) Calculer f (1). Que peut-on en déduire pour C f ?

3°) a) Soient x1 et x2 deux réels positifs et distincts (c’est-à-dire : x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 et x1 ≠ x2).

Soit T (x1 , x2) le taux de variation de f entre les réels x1 et x2 . Montrer que :

T (x1 , x2) = 1 ― x1x2

(1 + x1 ²)(1 + x2²)

Etudier son signe si x1 et x2 appartiennent à [0 ; 1] , puis s’ils appartiennent à [1 ; + ∞ [ .

b) En déduire le sens de variation de f sur [0 ; 1] et sur [1 ; + ∞ [ .

c) En utilisant la parité de f, donner sans calcul le sens de variation de f sur ] ― ∞ ; ― 1] et

sur [― 1 ; 0] .

d) Dresser le tableau de variation de f sur

[ ― 2 ; 2 ].

e) Etablir sur R ∗ la position relative de C f et C g où C g est la courbe représentative de la

fonction g : x ↦ 1

x

EXERCICE 21

Soit f une fonction et k un réel strictement négatif tels que, pour tout réel x, on ait :

f (x ― 2k) = ― f (x + k)

Montrer que f est périodique et préciser la période.

EXERCICE 22

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

1°) f : x ↦ 2°) g : x ↦ 1 ― x²

x² + 2x

3°) h : x ↦ 1 ― x + 1

x 4°) h : x ↦

x²

| 2x + 1 | ― 2

EXERCICE 23

Etudier la parité de la fonction f lorsque :

a) f (x) = x3 + 3x ― 3 b) f (x) =

x²

5x² ― 3 c) f (x) =

8x3 ― 2x

4x5

d) f (x) = x

4x² ― 3 e) f (x) = x x

3 + 3x

EXERCICE 24

Soit f une fonction périodique, de période 1, telle que :

si x ∈ [0 ; 1

2 ] : f (x) = x

si x ∈ [1

2 ; 1) : f (x) = ― x + 1

Faire la représentation graphique de f pour x ∈ [ ― 4 ; 5 ] .



33

EXERCICE 25

Soit la fonction f représentée graphiquement ci- dessous :

1°) Dresser le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; 4] .

2°) Déterminer les extremums relatifs de f .

3°) f est-elle monotone sour [0 ; 2] ? Justifier.

4°) Résoudre graphiquement l’équation : f (x) = 0 .

5°) Résoudre graphiquement les inéquations :

a) f (x) ≤ 4 b) f (x) ≥ 0

EXERCICE 26

On considère le polynôme Q (x) suivant :

Q (x) = (m3 ― m² ― 6m) x

3 ― (m² + m ― 2) x² + (m ― 1) x + 2m ― 1 .

Déterminer m pour que :

a) deg (Q) = 3 b) deg (Q) = 2 c) deg (Q) = 1 .

EXERCICE 27

1°) Déterminer un polynôme P de degré 3 vérifiant la relation : P (x) ― P (x ― 1) = x² + x

2°) En déduire l’expression en fonction de n de la somme :

S = (1 × 2) + (2 × 3) + (3 × 4) + ………………n(n + 1)

EXERCICE 28

Soit P (x) = x4 + 2x

3 ― 16 x² ― 2x + 15

1°) Montrer que 1 et ― 1 sont racines de P (x) puis donner une factorisation de P (x) .

2°) Résoudre l’équation P (x) = 0 et l’inéquation P (x) ≤ 0 .

EXERCICE 29

Soit la courbe C ci-dessous, représentative de la fonction

f : x → x3 ― 4 x

2 + 3, et la droite D d’équation y = ― x ― 3 .

1°) Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 3, puis l’inéquation f (x) < 3 .

2°) Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 0, puis l’inéquation f (x) ≥ 0 .

On donnera un encadrement d’amplitude 5 × 10― 1

des solutions non entières .

3°) Résoudre graphiquement l’équation f (x) = ― x ― 3 , puis l’inéquation f (x) ≤ ― x ― 3.

4°) Retrouver algébriquement les résultats des questions 1°, 2° et 3° .



34

EXERCICE 30

Une équation du second degré a ses racines x ' et x '' telles que :

m x ' + m x '' ― m = 4 ― 2 x ' ― 2 x ''

m x ' x '' + m = 2 ― 2 x ' x ''

1°) Former cette équation dont les coefficients dépendent du paramètre m .

2°) Montrer qu’il existe entre x ' et x '' une relation indépendante de m.

3°) Utiliser cette relation pour déterminer les racines doubles de l’équation obtenue.

4°) Comment faut-il choisir m pour que les deux racines soient positives ?

EXERCICE 31

Soient A, B deux points distincts tels que AB = 2a.

Déterminer l’ensemble des points M vérifiant :

1°) MA² ― MB² = a² . 2°) →

AB . →

AM = ― 2 a²

EXERCICE 32

Soit P(x) = 6x3 + 25x

2 +3x ― 4.

1°) Vérifier que ― 4 est une racine de P(x), puis factoriser P(x) en polynômes du premier

degré.

2°) a) Résoudre dans R l'équation P(x)= 0.

b) En déduire la résolution de l'équation :

6(x² ― 20)3 + 25(x² ― 20)

2 +3(x² ― 20) ― 4 = 0 (Indication : Poser X = x² ― 20).

3°) Résoudre dans R l’inéquation P(x) ≥ 0.



35

EXERCICE 33

1°) Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :

a) 𝑓(𝑥) = √√3 − 𝑥 – 𝑥 + 1 b) 𝑓(𝑥) =√𝑥+1 + 2

√𝑥+6 − 3 c) 𝑓(𝑥) = {

𝑥²

𝑥−1

√𝑥² + 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 1 𝑠𝑖 𝑥 > 1.

2°) Soit g la fonction définie par : g(x) = √1+𝑥 +√1−𝑥

√1+𝑥 −√1−𝑥

a) Déterminer l’ensemble de définition Dg de g.

b) Démontrer que ∀𝑥 ∈ Dg , g(x) = 1+√1−𝑥²

𝑥.

c) Etudier la parité de g.

EXERCICE 34

On considère l’application g définie par : g : ℝ\{1} ⟶ ℝ\{2}

𝑥 ⟼2𝑥+3

𝑥−1

et on désigne par C g sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O, →i ,

→j ).

1°) Démontrer que g est bijective et déterminer g ― 1

.

2°) Soit I le point de coordonnées (1,2). Déterminer l'équation de la courbe C g de g dans le

repère (I, →i ,

→j ).

3°) Tracer dans un même repère la courbe C g et celle de la fonction h définie par :

h(x) = |𝑔(𝑥)|. EXERCICE 34

Calculer les limites des fonctions suivantes :

1)𝑓(𝑥) =1 − 𝑥2

𝑥 + 1 𝑥0 = (−∞;−1;+∞) 2)𝑓(𝑥) =

1

𝑥2 + 2𝑥 − 3 𝑥0 = 1

3)𝑓(𝑥) =1

(1 − 𝑥)(𝑥 + 2) 𝑥0 = −2 4)𝑓(𝑥) =

𝑥 + √𝑥2 − 1

𝑥 𝑥0 = +∞

5)𝑓(𝑥) =√𝑥 + 1 − 2

√𝑥 + 6 − 3 𝑥0 = 3 6)𝑓(𝑥) =

𝑥 − √𝑥 + 2

√4𝑥 + 1 − 3 𝑥0 = 2

7)𝑓(𝑥) = 𝑥²√𝑥 − 𝑥² − 3 𝑥0 = +∞ 8)𝑓(𝑥) =𝑥 − √𝑥² + 1

𝑥 − √𝑥² − 1 𝑥0 = ±∞

9)𝑓(𝑥) =𝑥2

10 + 𝑥√𝑥 𝑥0 = +∞ 10)𝑓(𝑥) =

𝑥𝑝 − 1

𝑥𝑛 − 1 𝑥0 = ±∞

11)𝑓(𝑥) =𝑥√𝑥

10 + 𝑥√𝑥 𝑥0 = +∞ 10)𝑓(𝑥) =

𝑥𝑝 − 1

𝑥𝑛 − 1 𝑥0 = ±∞



36

Teste

toi

3H

Test 1 :

Prends 10mn de lecture afin de commencer par

le plus facile et 5mn à la fin pour vérification

Une simple règle de trois te permettra de trouver le temps

à passer sur chaque exercice

EXERCICE 1 (4 points)

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

2

2 3 2 ; 3 2 2 4

2 3 ; 1 2

x x x x

x x x x x


On donne l’équation

2: 2( 1) 3 0Em mx m x m .

1) Discuter suivant les valeurs de m de nombre de solutions de cette équation.

2) Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle deux solutions positives.



3 2: 1 2 1 2 0Em mx m x m x m

1- Trouver la valeur de m pour que 1 soit une solution de cette équation.

2- Résoudre cette équation pour m = 2.



01

139

524

zyx

zyx

zyx



Soit f(x)= (1 – m) x2 + 2(m – 5) x + 16 – m (m IR.)

c. Déterminer l’ensemble des réels m pour les quels f(x) = 0 admet deux racines de

signes contraires.

d. Déterminer l’ensemble des réels m tel que pour tout x appartenant IR f(x) < 0



37

Teste

toi

3H

Test 2 :



1ère S

règle de trois 20pts→105mn et pour 5pts ?

EXERCICE I 5pts:

1) Résoudre dans IR :

a) –3x4 + x

2 + 2 = 0 b) 2x x -6x –2 = 0 d) 2

1

)1(2

xx

xx

2) Déterminer la somme et le produit de deux nombres x et y vérifiant

=+

=+

2

5

2022

x

y

y

x

yx


3) en discutant suivant les valeurs du paramètre réel m, déterminer le nombre de solutions

de l’équations : x2 + (m – 1)x – m + 1= 0

EXERCICE II 5pts:

1)a)Vérifier que 2 et –2 sont racines du polynôme P défini par

P(x) = -x5 + 2x

4 + 2x

3 – 7x

2 + 8x – 4

b) Factoriser ce polynôme

2) Résoudre dans IR l’inéquation P(x) 0

EXERCICE III 5pts:

1) Démontrer que, pour tout nombre réel y :y3 = (

2

2 yy +)

2 – (

2

2 yy )

2 .

2) Soit Q le polynôme défini par Q(y) = (2

2 yy )

2.

3)Démontrer que Q(y + 1) – Q(y) = y3

a) Démontrer que, pour tout entier naturel m2 13 + 2

3 + …+m

3 =Q(m + 1) – Q(1)

b) En déduire 13 + 2

3 + …+m

3 =

4

)1( 22 mm

EXERCICE IV 5pts :

Soit P(x) = ))((

))((

))((

))((

))((

))(( 222

bcac

bxaxc

abcb

axcxb

caba

cxbxa

1) Calculer P(a), P(b) et P(c).

2) Soit Q(x) = P(x) – x2 ;

a)Donner trois racines de Q(x).

b) En déduire, sans autres calculs, que P(x) = x2 pour tout nombre réel x solution de Q.



38

Teste

toi

2H

Test 3 :



1ère S

règle de trois 20pts→105mn etpour 8 pts ? pour 12pts ?

Exercice (08 points)

Calculer les limites suivantes :

1) lim𝑥→3√𝑥+1−2

𝑥−3 2) lim𝑥→1

𝑥2−1

√(𝑥−1)2

3) lim𝑥→+∞√𝑥2+1−𝑥+2

𝑥+3 4) lim𝑥→0

𝑥

√𝑥2+1−1

Problème (12 points)

Soit la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) =𝑥2−2𝑥+3

−𝑥+1 et 𝐶𝑓 sa représentation graphique dans un

repère orthonormé.

1) Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition. Interpréter si possible.

2) a) Calculer 𝑓′(𝑥) puis étudier son signe.

b) En déduire le tableau de variation de 𝑓 et préciser ses extrémums.

c) Montrer que 𝑓 est bijective sur l’intervalle 𝐼 = [1 + √2;+∞[ vers un intervalle 𝐽 à

préciser.

3) a) Montrer qu’il existe trois réels 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 tels que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +𝑐

−𝑥+1

b) En déduire que la droite (∆) d’équation 𝑦 = −𝑥 + 1 est asymptote oblique à 𝐶𝑓 .

4) a) Trouver une équation de la tangente (𝑇) à 𝐶𝑓 au point d’abscisse 3 .

b) Vérifier que le point 𝛺(1; 0) est un centre de symétrie de la courbe 𝐶𝑓 .

5) Construire la courbe 𝐶𝑓, les asymptotes et la tangente (𝑇) dans un même repère.

Teste

toi

2H

Test 4



1ère S

règle de trois 20pts→105mn et pour4pts ?pour 12pts

Exercice 1 4 points

Soit g(x)=√𝑥2 + 𝑥 + 1

Déterminer Dg puis calculer les limites de g aux bornes de Dg. Montrer que la courbe de g

admet deux asymptotes obliques D et D’ dont on précisera les équations.

Exercice 2 12 points

On considère la fonction f définie par : f(x) ={

𝑥2+𝑥−2

𝑥+3 𝑠𝑖 𝑥 < 1

−2√𝑥² − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

1) Déterminer Df puis calculer les limites de f aux bornes de Df.

2)a)Etudier la continuité de f en1

b) Etudier la dérivabilité de f en 1.Interpréter vos résultats.

3) a)) Calculer f’(x) pour x< 1 et pour x> 1. b) Etudier le signe de f’(x) puis établir le tableau de variation de f.

4)a)Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique ∆ en -∞ .



39

b) Etudier la position de (Cf) par rapport à ∆ sur ]−∞ ; 1[

𝑐)Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique D en +∞

c) Etudier la position de (Cf) par rapport à D sur [1; +∞[ Exercice 3 4 points

Soit h(x)=𝑎𝑥+𝑏

𝑥2+2𝑥−3

1) Déterminer Dh.

2) Déterminer les réels a et b pour que Ch passe par le point A(0 ; −2

3) 𝑒𝑡 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡𝑡𝑒

𝑒𝑛 𝑐𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟é𝑙𝑙𝑒, à 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 (𝐷) : y=2x+1

Teste

toi

2H

Test 5:



1ère S

règle de trois 20pts→105mn et pour 10 pts ? pour

6pts ?pour 4pts

Exercice 1 10points

Dans ct exercice toutes les questions sont indépendantes.

1) Calculer les limites suivantes lorsqu’elles existent.

𝑎) lim𝑥→+∞(2𝑥2 − 𝑥 − 𝑥3) 𝑏) lim𝑥→−∞

√4𝑥2+1

3𝑥−1

𝑐) lim𝑥→1+

𝑥2 + 2𝑥 − 3

√𝑥2 − 1 d) lim

𝑥→+∞(𝑥 − 3 − √𝑥3 + 2𝑥)

2) Soit f la fonction définie par :f(x)={𝑎 + √−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −13𝑥 − 𝑏 𝑠𝑖 𝑥 > −17 𝑠𝑖 𝑥 = −1

.

𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑎 𝑒𝑡 𝑏 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 − 1.

3) Soit 2𝑥2−4𝑥+3

(𝑥−1)(𝑥−2). 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠 𝑎 , 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓

𝑔(𝑥) = 𝑎 +𝑏

𝑥 − 1+

𝑐

𝑥 − 2.

4) Soit h la fonction définie par

h(x)= {√

𝑥3

𝑥−1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0

𝑥+1

𝑥2−1𝑠𝑖 𝑥 > 0

𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 ℎ

Exercice 2 6 points

𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑓(𝑥) =√1−𝑥+√1+𝑥

√1+𝑥−√1−𝑥 1)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝐷𝑓

2)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∀ 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑓(𝑥) =1 + √1 − 𝑥²

𝑥 . 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 lim

𝑥→1−

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1



40

Exercice 3 4 points

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑔 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑔(𝑥) =

{

√𝑥3

𝑥− 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

1

𝑥2 + 1+

1

𝑥2 − 𝑥𝑠𝑖 𝑥 > 0

0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑔 𝑒𝑛 0.

EXERCICE 1 : ( 06 points)

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

1)(;

3

31)(;23)(;

)1(

1)(

3

2

22

2

x

xxxk

x

xxxhxxxg

xx

xxf

5

13

2)(

x

xxL ;

xxxL

1)(2


Soit f : IR IR

x 54

12 xx

a. Calculer f( 4- x ) 2 pts

b.En déduire que la courbe C représentative de f dans un repère orthogonal admet un axe de

symétrie ( D ) dont on précisera une équation. 2 pts


On pose 23)(1

)(

2

xxhetx

xxT

1) Calculer l’image de -5 par la fonction T. 1 pt

2) Déterminer l’expression explicite de hoT(x). 1 , 5 pt

3) Déterminer la période de f(x) = cos( 7x + ) puis de g(x) = sin2x cosx. 2 pts

4) On donne f : IR + IR

x 3423 xxx

Déterminer tous les antécédents de -1 par f 1,5 pt

Teste

toi

Test 6 :



1ère S

2H Règle de trois 20pts→105mn et pour

6pts ?pour4pts ?pour3pts



41


Indiquer en justifiant votre réponse la parité de chaque fonction :

On donne 21

)(;)(;2sin)(x

xxxxxxxx

.

Exercice 1 : 8pts

Soit la fonction définie par 𝑓(𝑥) =𝑥2+4𝑥+7

2𝑥+2

1) Déterminer l’ensemble de définition puis les limites aux bornes de Df.2x+1

2) Etudier la parité de f.

3) Déterminer l’ensemble de dérivabilité puis donner la fonction dérivée de f.

4) Etudier le signe de la fonction dérivée en déduire le sens de variation de la fonction f.

5) Dresser le tableau de variation puis préciser les extremums s’ils existent.

6) Déterminer un intervalle I dans lequel h établit une bijection .En déduire h(I).

Exercice 2 : 4pts

Soit la fonction g définie par 𝑔(𝑥) = {√2𝑥² + 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 01

2𝑥² + 2𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 < 0

1)Déterminer l’ensemble de définition puis les limites aux bornes de Df.

2)Etudier la continuité de g en 0.g(x) admet –elle un prolongement par continuité en 0 ?

3)Déterminer l’ensemble de dérivabilité puis donner la fonction dérivée.

4)La courbe de g admet-elle une tangente au point d’abscisse 0 ?

Exercice 3 5pts

Soit g la fonction définie par ℎ(𝑥) = 2𝑥 + 1 −𝑥

𝑥2+𝑥−2

1) Déterminer le domaine de définition de g.

2) Calculer les limites aux bornes du domaine de g.

3) En déduire les asymptotes éventuelles de la courbe représentative de g. Exercice 4 3pts

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes en précisant d’abord leur domaine de

dérivabilité .

𝑓(𝑥) = 3𝑥4 − 2𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 − 1 ℎ(𝑥) = (𝑥2 − 3)(−2𝑥 + 1)

𝐴(𝑥) =(𝑥+3)2

𝑥2+𝑥+5 𝐶(𝑥) = √−2𝑥 + 3

Teste

toi

Test 7 :



1ère S





42

Exercice 1 : 4pts

Soit f la fonction définie par : {

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 2𝑏 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 2

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 − 3 𝑠𝑖𝑥 > 2

𝑓(𝑥) = 3 𝑠𝑖 𝑥 = 2

Pour quelles valeurs des réels a et b f est-elle continue sur ℝ ?

Exercice 2: 7pts

Soit f la fonction définie par :{𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 4√𝑥² − 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0

𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2√𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

1)a)Justifier que l’ensemble de définition Df de f est ℝ

b) Calculer les limites de f en +∞ 𝑒𝑡 𝑒𝑛 − ∞.

2)a)f est –elle continue en 0 ?

b) Etudier la dérivabilité de f en 0 ; interpréter les résultats.

Exercice 3: 9pts

Après avoir préciser l’ensemble de dérivabilité de f, calculer sa dérivée

a)𝑓(𝑥) =(2𝑥2−𝑥+3)

𝑥2−2 ; b) 𝑓(𝑥) = (

2𝑥−3

𝑥−2)3 ; 𝑐)𝑓(𝑥) = 𝑥6√𝑥

d) 𝑓(𝑥) = (2 − 5𝑥) (2𝑥−1

𝑥+2)3 ; e)𝑓(𝑥) =

3

(5−3𝑥)3 ; f) 𝑓(𝑥) = √𝑥² − 9

Exercice 1 : 4pts

Résoudre dans R les équations suivantes

1)√𝑥 − 1 = √𝑥² − 𝑥 − 1 2) √2𝑥 − 3 = 𝑥

3) On considère l’équation E √𝑥 + 1 + √𝑥 − 2 = 3

a)Montrer que E est équivalente à {𝑥 ≥ 2

√𝑥² − 𝑥 − 2 = −𝑥 + 5

b) Trouver alors l’ensemble solution de E.

Teste

toi

Test 8 :



1ère S



Teste

toi

Test 9 :



1ère S





43

Exercice 2 2pts

Résoudre le système :

{

3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −1𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 + 3𝑦 − 3𝑧 = −2

Exercice 3 4pts

On se propose de résoudre dans R l’équation( E) :𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥3 + 𝑐𝑥2 − 𝑏𝑥 + 𝑎 = 0

a)Vérifier que 0 n’est pas solution de E.

b) Montrer que E est équivalente à 𝑎 (𝑥2 +1

𝑥2) + 𝑏 (𝑥 −

1

𝑥) + 𝑐 = 0

c)En déduire que le changement d’inconnue 𝑋 = 𝑥 −1

𝑥 permet de ramener E à l’équation

du second degré 𝑎𝑋² + 𝑏𝑥 + 2𝑎 + 𝑐 = 0

d) Résoudre alors dans R l’équation 3𝑥4 + 𝑥3 − 10𝑥2 − 𝑥 + 3 = 0

Exercice 4 4pts

1) On considère la fonction f de R vers R définie par : 𝑓(𝑥) =3−4𝑥−4𝑥2

(2𝑥+5)(3−2𝑥) et C1 sa courbe

représentative dans un repère orthonormé du plan .

a)Déterminer l’ensemble de définition Df de f.

b) Montrer que la droite d’équation 𝑥 = −1

2 est un axe de symétrie de C1.

2) On considère la fonction g de R vers R définie par 𝑔(𝑥) =𝑥2+𝑥+3

𝑥−2 et C2 sa courbe

représentative dans un repère orthonormé du plan .

a)Déterminer l’ensemble de définition Dg de g.

b) Montrer que le point A(2 ;5) est un centre de symétrie de C2.

Exercice 5 6pts

Soit f la fonction définie sur R par 𝑓(𝑥) = −𝑥 − |𝑥 + 2|

1) Montrer que 𝑓(𝑥) = {2𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2

−2𝑥 − 2 𝑠𝑖 𝑥 > −2

2) Construire la courbe représentative Cf d f dans un repère orthonormé.

3) En déduire les courbes Cg ,Ch et Ck des fonctions g, h et k définies par :

𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2) , ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 1 , 𝑘(𝑥) = |𝑓(𝑥)| .



44

GEOMETRIE :

1-BARYCENTRE

B- PRODUIT SCALAIRE

Propriétés

Soit �� et 𝑣 deux vecteurs .On appelle produit scalaire de �� par 𝑣 le nombre réel noté

�� . 𝑣 défini par :

�� . 𝑣 = 0 si l’un des vecteurs �� ou 𝑣 est nul ;

�� . 𝑣 = ‖�� ‖‖ 𝑣 ‖cos ( �� . 𝑣 ) si l’un des vecteurs �� et 𝑣 sont non nuls

�� . 𝑣 se lit « �� scalaire �� 𝑣 ) Dans un triangle quelconque, on a les relations suivantes :

(1) Théoréme d’Al kashi

Abccba ˆcos2222 Baccab ˆcos2222 Cabbac ˆcos2222

(2)Théorème des sinus c

C

b

B

a

A ˆsinˆsinˆsin

(3) cpbpappS où S est l'aire du triangle et p le demi-périmètre du triangle.

(4) AbcS ˆsin2

1 BacS ˆsin

2

1 CabS ˆsin

2

1

(5) 2

HauteurBaseS

= HauteurBase

2

1

Exercice 1 : J'appelle h la hauteur issue du sommet A.

Utiliser les formules ci-dessus pour calculer l'aire des triangles indiqués.

L'unité de longueur est le centimètre

1. 5a 2

5h 2. 90A

3

2b

2

5c

3. a = 2 b = 3 c = 4 4. 3

2a

3

1b 2c

5. 3

1a

6

1b

2

1c 6. 60A 60B c=8

7. 30A b = 5 c = 8 8. 45A 100B 35C



45

Exercice 2 : Résoudre un triangle, c'est déterminer les longueurs des côtés a, b et c du triangle

et la mesure des angles A , B et C

Résolvez, lorsque c'est possible, les triangles 1.,2.,3.,6. de l'exercice précédent.

(On se contentera de valeurs approchées à 10-2

près.)

Exercice 3

1. u

et v

sont tels que : 3u

; 5v

et uuv

Calculer vu

. et vu

.

2. Les vecteurs w

et r

sont tels que 3w

; 5r

et 6 rw

. Calculer rw

32 .

Exercice 4

1. A, B, C et D étant quatre points du plan, Démontrer que :

𝐴𝐵 . 𝐶𝐷 + 𝐴𝐶 . 𝐷𝐵 + 𝐴𝐷 . 𝐵𝐶 = 0. 2. En déduire que dans un triangle ABC si M désigne un point tel que

BCMA et ACMB alors ABMC .

Exercice5

Soit C le cercle de centre O et de rayon R. Soit A un point quelconque du plan. Une

droite D qui passe par A coupe C en B et C .

Démontrer que.; 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 = 𝐴𝑂² − 𝑅² Exercice 6 Dans un parallélogramme ABCD on donne : 4AB ; 7AC et . Calculer

𝐴𝐵 . 𝐴𝐷 ; 𝐴𝐵 . 𝐶𝐵 ; 𝐴𝐵 . 𝐴𝐶 ; 𝐴𝐵 . 𝐶𝐷 ; 𝐴𝐶 . 𝐵𝐷 . Exercice 7

Dans un triangle ABC rectangle en A ; P désignant le milieu de AB et O celui de

AC .Démontrer que 4

5 2

22BC

PCBO .

Exercice 8 A, B, C trois points non alignés, on donne 5AB ; 8AC et 6BC . Déterminer une valeur approchée de la mesure des angles du triangle ABC. Exercice 9 ABCD, un parallélogramme tel que 50AB ; 80AD ; 70AC .

1. Montrer que 𝑨𝑫 . 𝑫𝑪 = 𝟐𝟎𝟎𝟎.. En déduire une mesure en degré de l’angle

CDA ˆ

2. Calculer 𝑨𝑫 . 𝑨𝑩 et (𝑨𝑫 − 𝑨𝑩 )² .

5AD



46

Exercice 10

A, B, C trois points non alignés ; G barycentre du système 3,;2;;3; CBA , I milieu

de AC .

1. Calculer BI et AG. 2. Déterminer l’ensemble des points M du plan tel que :

a) (𝟑𝑴𝑨 − 𝟐𝑴𝑩 + 𝟑𝑴𝑪 ). 𝑨𝑩 = 𝟎

b) ‖𝟑𝑴𝑨 − 𝟐𝑴𝑩 + 𝟑𝑴𝑪 ‖ = 𝟐‖𝑴𝑨 + 𝑴𝑪 ‖

c) 𝟑𝑴𝑨² − 𝟐𝑴𝑩² + 𝟑𝑴𝑪² = 𝟐𝟓

Exercice 11

Soit ABC un triangle équilatéral de côte de mesure 2 et à tout point M du plan on

associe le réel 122 MBMA .

1. Déterminer l’ensemble des points M tels que : 4122 MBMA .

2. Soit E l’ensemble des points M tels que kMBMA 122 . Déterminer k si le

point C appartient à E .

Exercice 12 Soit f une fonction définie par :

22MAM

:

MB

IRPf

1. Déterminer k pour la ligne de niveau k de f passe par le barycentre des points

pondérés 1,A et 3,B .

2. Soit G le centre de gravité du triangle ABC . Construire la ligne de niveau 2GB

de f .( NB : ABCD est un carré de côté de mesure 2 )

EXERCICE 13

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐴𝐵𝐶 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐵𝐴�� 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑎𝑖𝑔𝑢 𝑖𝑛𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑂 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑦𝑜𝑛 𝑅. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝐵𝐶 = 𝑎; 𝐴𝐵 = 𝑐 ; 𝐴𝐶 = 𝑏; 𝐵𝐴�� = 𝐴. 𝑂𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒 𝐷 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑖𝑎𝑚é𝑡𝑟𝑎𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑝𝑝𝑜𝑠é à 𝐴

𝑎)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎

𝑠𝑖𝑛𝐴= 2𝑅

𝑏)𝑃𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑎𝑢𝑒 𝑙′𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡: 𝑆 =𝑎𝑏𝑐

4𝑅

EXERCICE14

1) Construire les barycentres I de (A ;1) et (B ;2) et J de (A ;1) et (B ;-2).

2)a)Montrer que :MA=2MB équivaut à (𝑀𝐴 -2𝑀𝐵 )( 𝑀𝐴 +2𝑀𝐵 )=0.

b) Montrer que 𝑀𝐴 -2𝑀𝐵 = −𝑀𝐽 et 𝑀𝐴 +2𝑀𝐵 = 3𝑀𝐼 . En déduire que l' ensemble des points M du plan vérifiant

MA=2MB est le cercle de diamètre [𝐼𝐽] .Construire ce cercle.

3) Déterminer l' ensemble des points du plan tels 𝑞𝑢𝑒 𝑀𝐴 .𝑀𝐵 = 12.Le construire



47

EXERCICE 15

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐴𝐵𝐶 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝐴𝐵 = 𝑐 ; 𝐴𝐶 = 𝑏 𝑒𝑡 𝐵𝐶 = 𝑎. Connaissant certaines indications sur le triangle déterminer d' autres éléments du triangle

𝑎) �� =𝜋

6 ; �� =

𝜋

6 𝑒𝑡 𝑎 = 1 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑏

𝑏) �� =2𝜋

3 ; 𝑏 = 1 𝑒𝑡 𝑐 = 2 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑎.

𝑐) �� =𝜋

3 ; 𝑎 = √2 𝑒𝑡 𝑏 = 1 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙′𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 .

EXERCICE 16

𝐷𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑂; 𝑖 ; 𝑗 )𝑜𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝐴(−3;−1)𝑒𝑡 𝐵(5; 3). 𝑇𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝐸 𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑀 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑜𝑛𝑛é𝑒𝑠 (𝑥; 𝑦)𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

2𝐴𝑀 + 𝑀𝐵 𝑒𝑡 𝑀𝐴 + 2𝑀𝐵 𝑠𝑜𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑔𝑜𝑛𝑎𝑢𝑥 EXERCICE 17

ABCD est un parallélogramme de centre O .

1) Quel est l’ensemble des points M tels que :𝐴𝑀 . 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 . 𝐶𝐵 ?

2) Quel est l’ensemble des points N tels que 𝐴𝑁 . 𝐴𝐵 = 𝐴𝑁 . 𝐶𝐷 ?

3) Quel est l’ensemble des points L tels que 𝑂𝐿 . 𝑂𝐴 ≤ 𝑂𝐿 . 𝑂𝐵 ?

EXERCICE 17

A et B sont deux points du plan. On cherche l’ensemble E des points M tels que :

‖𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 ‖ = 𝑀𝐴

1) Montrer que B est un point de E

2) On appelle I le milieu de [𝐴𝐵]

Exprimer 𝑀𝐴 + 𝑀𝐵 en fonction de 𝑀𝐼 .En déduire qu’il existe un autre point de E sur(AB).

3) Montrer que M est élément de E si et seulement si 4MI²-MA²=0

4) Déterminer E. EXERCICE 18

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐴(−2; 1)𝑒𝑡 𝐵(4;−2) 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑢 𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑚𝑢𝑛𝑖 𝑑′𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 (𝑂 ; 𝑖; 𝑗). 𝑂𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑒 (𝐶)𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑀(𝑥; 𝑦)𝑑𝑢 𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒: 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 − 6𝑦 − 15 = 0. (𝑓𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑓𝑒𝑢𝑖𝑙𝑙𝑒 𝑠é𝑝𝑎𝑟é𝑒) 1)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙 ′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑑𝑒 (𝐶). 2)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑒 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 (𝐴𝐵). 3)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑑′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐼 𝑒𝑡 𝐽 𝑑𝑒 (𝐴𝐵) 𝑎𝑣𝑒𝑐 (𝐶). 4)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑒 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 à (𝐶)𝑎𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐾(2;−1).



48

3-ANGLES ORIENTES –TRIGONOMETRIE

EXERCICE1

A) Donner la mesure principale θ en radian d' un angle dont une mesure α en

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑒𝑠𝑡 ∶ −19𝜋

4;−9𝜋

10 ;2000𝜋

3 ;7𝜋

6;𝜋

3;−43𝜋

3 ;95𝜋

7

EXERCICE2

A ; B et C sont des tels que :

(𝐴𝐵 ; 𝐴𝐶

) 𝑒𝑡 (𝐵𝐴 ; 𝐵𝐶

)𝑜𝑛𝑡 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠𝜋

6 𝑒𝑡 −

𝜋

4.

𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 (𝐵𝐴 ; 𝐴𝐶

) ; (𝐶𝐴 ; 𝐶𝐵

) ; (𝐵𝐴 ; 𝐶𝐴

)

EXERCICE3

A et B sont deux points distincts du plan. Représenter l'ensemble des points M

du plan dans chacun des cas suivants:

𝑎)13𝜋

6 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 (𝐴𝐵 ; 𝐴𝑀

)

𝑏) (𝐴𝐵 ; 𝐴𝑀

)𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒 −𝜋

3

𝑐) (𝐴𝑀 ; 𝐴𝐵

)𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑛𝑢𝑙

𝑑) (𝑀𝐴 ;𝑀𝐵

) 𝑒𝑠𝑡 𝑙′𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑡

EXERCICE4

A ; B et C sont des tels que :

(𝐴𝐵 ; 𝐴𝐶

) 𝑒𝑡 (𝐵𝐴 ; 𝐵𝐶

)𝑜𝑛𝑡 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠𝜋

5 𝑒𝑡 −

𝜋

6.

𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 (𝐵𝐴 ; 𝐴𝐶

) ; (𝐶𝐴 ; 𝐶𝐵

) ; (𝐵𝐴 ; 𝐶𝐴

)

EXERCICE5

PQR est un triangle tel que 𝑚𝑒𝑠 (𝑄𝑅 ; 𝑄𝑃

) = −9𝜋

5 𝑒𝑡 𝑚𝑒𝑠 (𝐵𝐴 ; 𝐵𝐶

) =

22𝜋

5.

Démontrer que le triangle PQR est isocèle.

ont respectivement pour mesures principales𝜋

5 𝑒𝑡 −

𝜋

6.

EXERCICE4

ABC est un triangle équilatéral de centre S tel que (𝐴𝐵 ; 𝐴𝐶 ) ait pour mesure

principale𝜋

3.Déterminer en radian puis en dégré les mesures principales des

𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡é𝑠. (𝐵𝐶 ; 𝐵𝐴

) ; (𝑆𝐴 ; 𝑆𝐵

) ; (𝑆𝐴 ; 𝐵𝐶

) ; (𝑆𝐴 ; 𝐶𝐴

) ; (𝑆𝐴 ; 𝐴𝐵

)

EXERCICE5

ABCDE est un pentagone régulier de sens direct et de centre S.

Déterminer en radian puis en degré les mesures principales des

𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡é𝑠. (𝑆𝐴 ; 𝑆𝐵

) ; (𝐴𝐵 ; 𝐴𝐸

) ; (𝐵𝐸 ; 𝐵𝐴

) ; (𝐶𝐷 ; 𝐵𝐴

) ; (𝐵𝐶 ; 𝐷𝐴

)

EXERCICE6

1)𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒𝑟 𝑒𝑛 𝑠𝑜𝑚𝑚𝑒 ∶ 𝑎)𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠7𝑥 𝑏)𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥

2)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 sin (𝜋

2) sin (

5𝜋

2) 𝑝𝑢𝑖𝑠 sin (

𝜋

2) + sin (

5𝜋

2) .

𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 sin (𝜋

2) 𝑒𝑡 sin (

5𝜋

2)



49

3)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶

𝑠𝑖𝑛4𝑥 =1

8(3 − 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠5𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥) 𝑒𝑡 1 + cos (

2𝜋

5) + cos (

4𝜋

5) + cos (

6𝜋

5) + cos (

8𝜋

5)

4)𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑎)𝑐𝑜𝑠5𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑏)𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥

EXERCICE 7 Résoudre dans ℝ

2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 = 0; 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + √3 = 0 ; 𝑐𝑜𝑠3𝑥 =1

2 ; cos (

5𝜋

4− 4𝑥) = cos (𝑥 +

𝜋

6)

𝑠𝑖𝑛2 (2𝑥 +𝜋

6) = 𝑠𝑖𝑛2 (3𝑥 +

𝜋

4) ; 4𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 2(√2 + 1)𝑐𝑜𝑠𝑥 + √2 = 0;

tan (2𝑥 +𝜋

6) = tan (𝑥 +

𝜋

3) ; 4𝑡𝑎𝑛2𝑥 − 3𝑡𝑎𝑛𝑥 − 5 = 0; sin (2𝑥 +

𝜋

3) cos (2𝑥 −

𝜋

6) =

1

2 ;

𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5𝑥 = 0;√3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −√2; √3𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1; 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛9𝑥 − 𝑠𝑖𝑛5𝑥 = 0

EXERCICE 8

a)Montrer que∶ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 =1

4𝑠𝑖𝑛4𝑥 .

En déduire une simplification de l'écriture suivante: 𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥

b) calculer l'expression: 𝑐𝑜𝑠 (𝜋

9) 𝑐𝑜𝑠 (

2𝜋

9) 𝑐𝑜𝑠 (

4𝜋

9)

EXERCICE 9

Déterminer les valeurs exactes de cos (11𝜋

12) 𝑒𝑡 sin (

11𝜋

12).

𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑟é𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛: (√3 − 1)𝑐𝑜𝑠2𝑥 + (√3 + 1)𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2

EXERCICE 10 Résoudre dans R les inéquations suivantes

𝑎) 𝑐𝑜𝑠𝑥 <1

2 𝑠𝑢𝑟 [0; 𝜋] 𝑒𝑡 [−𝜋; 𝜋] 𝑏)2𝑐𝑜𝑠𝑥 + √3 ≥ 0 𝑠𝑢𝑟 [0; 2𝜋]

𝑐)4𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 2(√2 + 1)𝑐𝑜𝑠𝑥 + √2 𝑠𝑢𝑟 [0; 2𝜋]

𝑑) cos (2𝑥 −𝜋

3) <

√3

2 𝑠𝑢𝑟 [0; 2𝜋] 𝑒𝑡 𝑠𝑢𝑟 [−𝜋; 𝜋]

EXERCICE11

𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑓(𝑥) =tan (𝑥 −

𝜋4) − √3

𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2

1)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐷𝑓 𝑑𝑒 𝑓. 2)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑠𝑢𝑟 [0; 2𝜋] 𝑙′𝑖𝑛é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑓(𝑥) ≥ 0. EXERCICE 12

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓(𝑥) =1 − 4𝑐𝑜𝑠²𝑥

4𝑐𝑜𝑠𝑥

1)𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑓 2)𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒𝑟 𝐶𝑓. EXERCICE 13

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 −3

2𝑐𝑜𝑠𝑥

1)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓′(𝑥) =3

2𝑠𝑖𝑛𝑥(1 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥).En déduire le tableau de variation def.

2)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐴 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛 à 𝐶𝑓 𝑒𝑡 à 𝑙′𝑎𝑥𝑒 (𝑥𝑥′). 3)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝐶𝑓.



50

Exercice 14

1) Soit

xxf

4

1cos1)( . Calculer )4( xf et )8( xf .

Quelle est la période de f ?

2) Soit f une fonction numérique définie sur . On suppose que f est impaire

Donner la valeur de f(0) en justifiant votre réponse .

3) Déterminer les réels a et b tels que la fonction baxxxf 2)( admette la droite

d’ équation 1x comme axe de symétrie.

EXRCICE 1 5

1)𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑎. lim𝑥→

𝜋4

1𝑐𝑜𝑠2𝑥

2𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑏. lim

𝑥→0𝑠𝑖𝑛𝑥 +

√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐. lim

𝑥→𝜋4

𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1

𝑥 −𝜋4

𝑑. lim𝑥→+∞

√𝑥2 − 𝑥 − √𝑥2 + 1 𝑒. lim𝑥→−∞

√𝑥2 − 𝑥 − √𝑥2 + 1 𝑓. lim𝑥→2

𝑥 − 2

|𝑥2 − 4|

2) 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑔 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 − 4 . 𝑎. 𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑔 𝑒𝑡 𝑑𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑏.𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔(𝑥) = 0 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑞𝑢𝑒 𝛽 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 2,19 < 𝛽 < 2,20

EXERCICE 16

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑛𝑢𝑚é𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟

{𝑔(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 +

√1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑔(0) = √2

𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑔 𝑒𝑛 𝑥 = 0 .

EXERCICE 17

Résoudre dans R les équations trigonométriques suivantes:

1) cos 2𝑥 = −1

2 2)𝑠𝑖𝑛𝑥 =

√2

2 3) 2𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −

𝜋

3) = √3 4) sin(2𝑥) = −

√3

2

5) tan(2𝑥) = 1 6) cos (3𝑥 −𝜋

4) =

√2

2 7)2 sin (𝑥 −

𝜋

3) = 1

8) cos (3𝑥 +𝜋

3) = cos (𝑥 −

2𝜋

3) 9) tan(2𝑥) = √3

10)𝑐𝑜𝑠3𝑥 = cos (𝑥 +𝜋

2) 11)2 sin(2𝑥) = √3 12) cos (2𝑥 +

𝜋

2) = cos (𝑥 +

𝜋

4)

EXERCICE 18

En utilisant les formules de transformations ou d' addition calculer les expressions

1)𝐴 = (𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑦)² + (𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦)2 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑥 − 𝑦 =𝜋

3

2)𝐵 = sin (𝜋

2− 𝑥 ) + cos(𝜋 − 𝑥) + tan (

3𝜋

2+ 𝑥) + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(−𝑥)

𝐶) 𝐶 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(−𝑥) + tan (𝜋

2− 𝑥) + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(2𝜋 − 𝑥) + sin (

𝜋

2+ 𝑥 ) + sin (

𝜋

2+ 𝑥 ) − 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝐷)𝐷 = cos(2𝜋 − 𝑥) + cos(−𝑥) + tan(2𝜋 + 𝑥) + 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(−𝑥)

𝐸)𝐸 = 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 (3𝜋

2− 𝑥) + tan(𝜋 − 𝑥) + cos(−𝑥) + sin(−𝑥)



51

EXERCICE 19

déterminer l' angle α en radian dans les cas suivants∶

1) {𝑐𝑜𝑠𝛼 =

1

2

𝑠𝑖𝑛𝛼 =√3

2


√3

2

𝑠𝑖𝑛𝛼 =−1

2 3) {

𝑐𝑜𝑠𝛼 = −√3

2

𝑠𝑖𝑛𝛼 =1

2


−√2

2


2

5) {𝑐𝑜𝑠𝛼 = −

1

2


2


−√2

2

𝑠𝑖𝑛𝛼 = −√2

2

7) {𝑐𝑜𝑠𝛼 = −1𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0


√2

2


2

9) {𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0𝑠𝑖𝑛𝛼 = 1

10)

{

𝑐𝑜𝑠𝛼 = −√3

2

𝑠𝑖𝑛𝛼 =1

−2

11) {𝑐𝑜𝑠𝛼 = 1 𝑠𝑖𝑛𝛼 = 0

12)

{

𝑐𝑜𝑠𝛼 = −1

2


2

13)

{

𝑐𝑜𝑠𝛼 =√3

2

𝑠𝑖𝑛𝛼 =1

2

14)

{

𝑐𝑜𝑠𝛼 =

√2

2


2

15) {𝑐𝑜𝑠𝛼 = 0𝑠𝑖𝑛𝛼 = −1

16)

{

𝑐𝑜𝑠𝛼 =1

2


2

EXERCICE 20

𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (𝐸): 𝑥 ∈ [−𝜋; 𝜋] , 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 1)𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑠𝑒𝑟 sin 3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 . 2)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑅 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛(𝐸)𝑒𝑡 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 . 3)𝑆𝑖 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 180° 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑎)𝑠𝑖𝑛2𝑎 + 𝑠𝑖𝑛2𝑏 + 𝑠𝑖𝑛2𝑐 = 4𝑐𝑜𝑠𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏𝑐𝑜𝑠𝑐 ; 𝑏)𝑐𝑜𝑠2𝑎 + 𝑐𝑜𝑠2𝑏 + 𝑐𝑜𝑠2𝑐 = 1 + 4𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏𝑠𝑖𝑛𝑐. EXERCICE 21

I) Résoudre dans R les équations suivantes

1)𝑐𝑜𝑠𝑥 =1

2 2) cos (2𝑥 +

𝜋

4) = sin(𝑥) 3)√2 cos(3𝑥) =

√6

2

4)2𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 3 = 0 5) tan(𝑥) tan (2𝑥 +𝜋

5) = 1

II) Résoudre les inéquations suivantes

1)𝑠𝑖𝑛𝑥 >1

2 𝑑𝑎𝑛𝑠 ]−𝜋; 𝜋] 2) cos 𝑥 < −

√3

2 𝑑𝑎𝑛𝑠 [0; 2𝜋] 3)𝑡𝑎𝑛𝑥 ≥ 1 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ

EXERCICE 22

1) Résoudre dans R les équations suivantes d' inconnues x puis placer sur le cercle

trigonométrique les points images des solutions.

𝑎) cos 𝑥 − 1 = 0 𝑏) sin(2𝑥) − √3 = 0 ; 𝑐) 𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 4 + 2√3 = (√3 + 1)²

𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑟é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 − 4𝑠𝑖𝑛2(𝑥) + 2(√3 − 1)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4 = 0

𝑑) cos (𝑥 +𝜋

2) − sin (𝑥 −

3𝜋

4) = 0

2) 𝑎) 𝑐𝑎𝑙𝑢𝑙𝑒𝑟 (√3 + √2)2𝑒𝑡 𝑟é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

4𝑥2 + 2(√3 − √2)𝑥 − √6 = 0

𝑏) 𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑟é𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑎𝑛𝑠 [0; 2𝜋 ] 𝑑𝑒 4𝑠𝑖𝑛2(𝑦) + 2(√3 − √2)𝑐𝑜𝑠𝑦 − √6 = 0 .



52

𝑃𝑙𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑠𝑢𝑟 𝑙𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑙𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒. 3)𝑎)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑅 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1 ; 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 3 𝑏)𝐴𝑝𝑟é𝑠 𝑎𝑣𝑜𝑖𝑟 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖é 𝑞𝑢𝑒 ∶ sin(2𝑥) = (𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 1 𝑟é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠

𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 ∶ 1 −1

2sin(2𝑥) + sin(𝑥) + cos(𝑥) = 0 𝑒𝑡 1 +

1

2sin(2𝑥) + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0

4)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 [0; 2𝜋 ] ² 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡é𝑚𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 {

𝑥 − 𝑦 =𝜋

4

𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 =√2

4

5)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 [0; 2𝜋 ] ² 𝑙𝑒 𝑠𝑦𝑠𝑡é𝑚𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡

{

cos(𝑥 + 𝑦) =1

2

cos(𝑥 − 𝑦) =√3

4

6) 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎)𝐴 = sin(𝑥 − 𝑦) cos(𝑥 + 𝑦) − sin(𝑥 + 𝑦) cos(𝑥 − 𝑦)

𝑏)𝐵 =𝑐𝑜𝑠2𝑥

1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥

7)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 cos (𝜋

12) =

(√6 + √2)

4 𝑒𝑡 sin (

𝜋

12) =

(√6 − √2 )

4

𝑠𝑎𝑐ℎ𝑎𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝜋

12=𝜋

3−𝜋

4 .

EXERCICE 23

Résoudre les équations suivantes

1

2

3

4

2: sin(3 ) sin( )

3 3

: sin(3 ) cos( ) 6

: cos( ) cos(3 ) 03

1 : tan(3 )

tan

E x x

E x x

E x x

E xx

EXERCICE 24

En remarquant que 2 4 8

, calculer cos

8

. En déduire sin

8

.

EXERCICE2 5

1- Résoudre l’équation 3 24 4 1 0X X X

2- Résoudre 3 24cos 4cos cos 1 0x x x

Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique

EXERCICE 26

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑥 ∈ ]0;𝜋

4[ 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ cos 𝑥 =

(√2 + 8√2)

2

1)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 cos 2𝑥 =√2

2 2)𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑥.



53

EXERCICE 27

𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 ℝ 𝑑𝑎𝑛𝑠 ℝ 𝑝𝑎𝑟: 𝑓(𝑥) = 8𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 8𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1

𝑎)𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 ℝ , 𝑓(𝑥) = cos 4𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑏) 𝑗𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑐ℎ𝑜𝑖𝑥 𝑑𝑒 𝑙′𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑒 [0; 𝜋 ] 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑′é𝑡𝑢𝑑𝑒𝑑𝑒 𝑓. 2) 𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟é𝑒𝑙 𝑥, 𝑓′(𝑥) = 4 cos 2𝑥(1 − 2𝑠𝑖𝑛2𝑥) 𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑛 𝑓′(𝑥) = 0 𝑑𝑎𝑛𝑠 [0; 𝜋 ] . 𝐷é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑓. PROBLEME 1:

Soit f la fonction définie par : f(x) = 2sin3x - 3sinx.

1. Etudier la parité et la périodicité de f.

2. Vérifier que 𝑓(2

− 𝑥) = 𝑓(

2

+ 𝑥). Que peut – on en déduire pour la courbe Cf de f.

3. On note C1 la courbe représentative de f sur [0 ; 2

]. Quelles transformations

géométriques permettent de construire Cf à partir de C1.

4. Démontrer que pour tout réel x f’(x) = -3cosx cos2x.

5. Donner le tableau de variation de f restreinte à [0 ; 2

].

PROBLEME 2

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 −2

3𝑠𝑖𝑛3𝑥

1.𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙′𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑙′é𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑓 à [0;𝜋

2]

2.𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 .

3. 𝐷𝑜𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ [0;𝜋

2] 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 cos 𝑥 𝑒𝑡 cos 2𝑥 .

𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑓′(𝑥)𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑒𝑡 𝑑𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑓. 4. 𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑑𝑒 𝑓 𝑙𝑜𝑟𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑥 ∈ [−𝜋; 𝜋].

Problème 3:

Soit f1(x) = sinx – x et g(x) = x- tanx

1) a. Etudier et dresser les tableaux de variations des fonctions f1 et g sur [- ; ] .

b. Montrer que f1 et g sont bijectives de ]0 ;2

[ vers des intervalles J et K à préciser.

c. En déduire que pour x ]0 ;2

[ sinx ≤x ≤tanx (1)2) Soit f2(x) =

x

xsin Déduire de la

relation (1) que la fonction f2 est décroissante sur ]0 ;2

[ .

Soit a et b tels que 02

≤≤≤ ba On suppose que

b

abab

a

ab22 cos

≤tantan≤cos

En bien choisissant a et b déduire que pour x ]0 ;2

[ : x

x

xx

2costan ≤≤ ;



54

puis que sinx x

x

cos≤

(2)

3) Déduire des égalités (1) et (2) que, pour 0 2

≤x , on a cosx

xx

x

cos

1sin≤≤

4) Prouver alors que le prolongement continue de f2 en 0 est dérivable en 0 et calculer le

nombre dérivé.

PROBLEME 4

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑔(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥

1)𝐷𝑜𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑔 𝐷𝑔

2)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙′𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑖𝑛𝑑𝑟𝑒 𝑙′é𝑡𝑢𝑑𝑒𝑑𝑒 𝑔 𝑠𝑢𝑟 [0; 2𝜋] 3)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑔′(𝑥)𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑑𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑔

4)𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒𝑟 𝐶𝑔

PROBLEME 5 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓(𝑥) = 2 sin (𝑥

2+𝜋

4)

1)Donner l'ensemble de définition de f Df

2) Justifier le choix de l'intervalle[−2𝜋; 2𝜋] comme intervalle d^' étude de f.

3) Calculer 𝑓′(𝑥)puis dresser le tableau de variation de g

4) Tracer Cg

5)Montrer que la droite (𝐷): 𝑦 =𝜋

2est un axe de symétrie de la courbe Cg.

PROBLEME 6

1)𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 .Exprimer 𝑓(𝑥 + 2𝜋)en fonction de 𝑓(𝑥). En déduire la périodicité de f.

2)Etudier la parité de f.Justifier le choix de l'intervalle 𝐼 = [0; 𝜋] . 3)Etudier les variations de f sur [0; 𝜋] . 4) Montrer que ∀ 𝑥 ∈ ℝ: 2𝑥 − 1 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 2𝑥 + 1.En déduire les limites

𝑑𝑒 𝑓 𝑒𝑛 ± ∞. 5)𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐷1: 𝑦 = 2𝑥 − 1 𝑒𝑡 𝐷2: 𝑦 = 2𝑥 + 1. 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛 à 𝐶𝑓 𝑒𝑡 𝐷1 puis à Cf et D_2 en précisant les tangentes en ces points .

6) Etudier la position de Cf par rapport à sa tangente au point d' abscisse0.

7) Tracer Cf (𝑢𝑛𝑖𝑡é: 2𝑐𝑚) PROBLEME 7

1)𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 . 𝑎)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑒𝑠𝑡 2𝜋 − 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒 . 𝑏)𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑓 . 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙′𝑜𝑛 𝑝𝑒𝑢𝑡 é𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑓 𝑠𝑢𝑟 [0; 𝜋] 2)𝑎)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑠2𝑥 = (2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1)(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1) 𝑏)𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑞𝑢𝑒𝑠𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑟é𝑐é𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 é𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑓. 3)𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟é𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝐶 𝑑𝑒 𝑓. PROBLEME 8

1)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 [0;𝜋

3] 𝑠𝑖𝑛3𝑥 > 0 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑠3𝑥 > 0

2)𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓(𝑥) = 5𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠5𝑥 ; 𝑥 ∈ [0;𝜋

2]

𝑎)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑓′(𝑥) puis dresser le tableau de variation de f

𝑏)En déduire le signe de f(x)sur [0;𝜋

2] et la résolution de l^' équation f(x)=0 𝑠𝑢𝑟 [0;

𝜋

2]



55

3)𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑔(𝑥) =𝑐𝑜𝑠2𝑥

𝑠𝑖𝑛3𝑥

a)Déterminer Dg sur [0;𝜋

2] puis calculer les limites de g aux bornes de Dg.

𝑏) Montrer que∶ ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑔: 𝑔′(𝑥) = −𝑓(𝑥)

2𝑠𝑖𝑛23𝑥. En déduire les variations de g.

c)Représenter graphiquement g dans un R O N (𝑢𝑛𝑖𝑡é 2𝑐𝑚).

Teste

toi

Test 10: 1ère S

3HEURES Règle de trois 20pts→105mn et pour 2,5pts ?pour

3pts ?pour 4pts pour 5pts ?pour2 pts ? Mardi 18 janvier 2005

Exercice 1 : VRAI OU FAUX (0.5+1+1=2.5 points) Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration

pour la réponse indiquée.

– Une réponse non démontrée ne rapporte pas de point.

1. La fonction sinus est paire.

2. Dans un repère polaire (O ;

i ), les points A(5 ;

4) et B( 5 ;

5

4 ) sont confondus.

3. cos( 99

8 ) = cos (

97

8 )

Exercice 2 : Angles (3 points) Sur un cercle trigonométrique de centre O, les points A, B, C et D sont les images respectives

des réels 0 ;

3 ;

3

4 ; -

6

0.5pt 1°) Placer les points A, B, C et D sur le cercle .

1.5pt 2°) Donner une mesure en radian de chaque angle

a) (

OA ;

OB ) b) (

OC ;

OD ) c) (

OB ;

OD)

d) (

BO ;

DO )

1pt 3°) Donner les sinus et cosinus de (

OA ;

OB ) et (

OB ;

OD)

Exercice 3 : Equations (3 points)

1.5pt 1°) Résoudre l’équation sin x = - 2

2 dans IR.

1.5pt 2°) Résoudre l’équation cos (2x)= - 1

2 dans [

-

2 ;

2 ].

Exercice 4 : Polaire et cartésien (4 points)

Soit (O ;

i ;

j ) un repère orthonormé. Et A( 1

2 ; -

1

2 ) .

1pt 1°) Déterminer les coordonnées de A dans le repère polaire (O ;

i )

3pts 2°) Dans ce repère polaire on donne les points B( 2 ;

4 ) et C( 5 ;

- 3

2 )

a) Déterminer une mesure de (

OB ;

OC)

b) Déterminer les coordonnées cartésiennes de B et C dans (O ;

i ;

j ).

c) Calculer la distance BC.



56

Exercice 5 : Calculs (3 points)

1pt 1°) Calculer la valeur exacte de cos ( 13

12 ) sachant que sin (

13

12 ) =

2 - 6

2

2pts 2°) En déduire les valeurs exactes de cos ( 7

12 ) et sin (

19

12)

Exercice 6 : Formules (4.5 points)

1.5pt 1°) Montrer que : sin

8 – sin

3

8 + sin

5

8 – sin

7

8 = 0

3pt 2°) Ecrire chaque expression en fonction de cos x ou sin x

a) A = sin ( x +

2 + ) + cos( x -

2 - )

b) B = cos ( + x) + 2 cos (-2 + x) + 3 cos (3 +x)

Bonus : (2pts)

Redémontrer le calcul de cos (/4), de cos (/3) et de cos (/6) SUITE NUMERIQUE

Suite arithmétique

Une suite où chacun des termes est égales à la somme du terme précédent et d’un

nombre fixe r est appelée suite arithmétique. Le réel fixe r est appelé la raison de la

suite. Pour tout n on a un + 1 = un + r. (relation entre deux termes consécutifs)

Pour montrer qu’une suite u est arithmétique, on calcule de manière général

un + 1 - un en simplifiant on trouve une constante qui sera la raison de la suite.

Si u est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout entiers p et n on a :

un = up + ( n – p)r ( relation entre deux termes quelconques)

On en déduit la relation entre le terme général et le premier terme

Si p = 0 on a un = u0 + nr ; si p = 1 on a un= u1+ (n – 1)r .

Si u est une suite arithmétique, pour tout n 0, la somme des n premiers termes de u

est S = u0 + u1 + u2 + …un – 1 = 2

)( 10 nuun ou

de manière général S = 2

)( termederniertermepremiertermedenombre .

Suite géométrique :

Une suite où chacun des termes est égale au produit du terme précédent par un nombre

fixe q est appelée suite géométrique. Le réel fixe q est appelé raison de la suite.

Pour tout n on a un + 1 =un q. ( relation entre deux termes consécutifs)

Pour montrer qu’une suite u est géométrique, on calcule de manière générale le

rapport n

n

u

u 1 en simplifiant on trouve une constante qui sera la raison de la suite.

Si u est une suite géométrique de raison q, alors pour tout entiers n et p on a :

un = qn - p

up (relation entre deux termes quelconques)

On en déduit la relation entre le terme général et le premier terme.

Si p = 0 on a un = qn u0 et si p = 1 un = q

n - 1u1



57

Si u est une suite géométrique de raison q 1, pour tout n 0, la somme des n

premiers termes de u est S = u0 + u1 + u2 + …un – 1 = q

uqu n

1

10 ou S =u0q

qn

1

1

de manière général S = raison

termedernierraisontermepremier

1 ou

S= premier terme raison1

raison1 termede nombre

Si -1 1q alors

limn

qn = 0 ;

Si q = 1

limn

qn = 1 ; la suite u est constante.

Si q 1 alors

limn

qn = + ;

Si q -1 alors qn n’a pas de limite

Si

limn

𝑈𝑛 = 𝑙 (fini) alors la suite est convergente et converge vers l.

Si

limn

𝑈𝑛 = ∞ alors la suite est divergente

EXERCICE1

Calculer les sommes suivantes :

𝑆1 = 1 + 2 + 3 +⋯+ 1999 + 2000 𝑒𝑡 𝑆2 = 2001 + 2002 + 2003 +⋯+ 9998 + 9999

EXERCICE2

1) Déterminer trois nombres réels , termes consécutifs d’une suite arithmétique tels que leur

somme soit 3 et leur produit -8.

2) Soit (Un) une suite définie

par :𝑈1 = 2 ; 𝑈1 = 1 ; 𝑈𝑛+1 =2𝑈𝑛+𝑈𝑛−1

3 𝑒𝑡 (𝑉𝑛)𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟: 𝑉𝑛 = 𝑈𝑛+1 − 𝑈𝑛

𝑎)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑉𝑛+1 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑉𝑛. 𝑏)Montrer que (𝑉𝑛) est une suite géométrique .Calculer 𝑉2puis exprimer 𝑉𝑛 en fonction de n.

𝑐)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑆𝑛 = 𝑉2 + 𝑉3 +⋯+ 𝑉𝑛. 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑆𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑈1 𝑒𝑡 𝑈𝑛

𝑑)En déduire l' expression de 𝑈𝑛 en fonction de n.

EXERCICE3

A) Soit 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 (𝑈𝑛) 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 {𝑈0 + 𝑈1 + 𝑈2 = −1 𝑈3 + 𝑈4 + 𝑈5 = 42

1)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 2)𝐸𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑈𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛. 3)𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑆𝑛 = 𝑈0 + 𝑈1 +⋯+ 𝑈𝑛. 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑆𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛. 𝐵)𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑉𝑛)𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑉𝑛 = 3

𝑆𝑛

1)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 (𝑉𝑛) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑔é𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 . 𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑉𝑛) EXERCICE4

Soit (𝑈𝑛) 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑔é𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 à 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓𝑠 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 {𝑈1𝑈5 = −81 𝑈2 − 𝑈4 = 24

1)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑞 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛3𝑥² + 8𝑥 − 3 = 0

2)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑒𝑡𝑟𝑚𝑒 3)𝐸𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑈𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛 , 𝑒𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑈𝑛 = 3

−𝑛+5. 𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 +⋯+ 𝑈𝑛. 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑈0 𝑆𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛. 𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑛.



58

EXERCICE5

Démontrer par récurrence les relations suivantes :

1² + 2² + 3² +⋯+ 𝑛² =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

13 + 23 + 33 +⋯+ 𝑛3 =𝑛2(𝑛+1)2

4= (1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛)2

1 ∗ 2 + 2 ∗ 3 +⋯+ 𝑛(𝑛 + 1) =𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)

3

∀ 𝑛 ∈ ℕ∗ 32𝑛 − 2𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 7. ∀ 𝑛 ∈ ℕ 4𝑛 + 5 𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3. ∀ 𝑛 ≥ 1 𝑛! ≥ 2𝑛−1

EXERCICE6

Soient (𝑈𝑛) 𝑒𝑡 (𝑉𝑛) 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠: 𝑈0 = 1;𝑈1 = 1;𝑈𝑛+2 = 𝑈𝑛+1 + 𝑈𝑛 . 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛 + 2𝑈𝑛. 𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛 𝑈𝑛² − 3𝑉𝑛² = 1 ; 𝑈𝑛+1 + 𝑈𝑛−1 = 4𝑈𝑛 ; 𝑉𝑛+1 + 𝑉𝑛−1 = 4𝑉𝑛

EXERCICE7

On considère la suite(𝑉𝑛) 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 ∶ {𝑉1 = 6

5𝑉𝑛+1 = 𝑉𝑛 + 16

1)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑉𝑛) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟é𝑒 𝑝𝑎𝑟 4. 2) ∀ 𝑛 ∈ ℕ 𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑈𝑛 = 𝑉𝑛 − 𝑎. 𝑎)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑟é𝑒𝑙 𝑎 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 (𝑈𝑛)𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑔é𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑡 𝑜𝑛 𝑝𝑟é𝑐𝑖𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒. 𝑏)𝑂𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑒 𝑎 = 4. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑈𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑉𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛 . 𝑆𝑎𝑐ℎ𝑎𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 +⋯+ 𝑈𝑛 𝑒𝑡 𝑇𝑛 = 𝑉1 + 𝑉2 +⋯+ 𝑉𝑛. EXERCICE8

Soit (𝑈𝑛) 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 ∶ 𝑈0 = 1; 𝑉0 = 0;𝑈𝑛+1 = 2𝑈𝑛 + 3𝑉𝑛 ; 𝑒𝑡 𝑈𝑛+1 = 𝑈𝑛 + 2𝑈𝑛. 1. 𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑒𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 . 2. 𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛 𝑈𝑛 ≥ 𝑛

3. 𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑈𝑛² − 𝑈𝑛+1𝑈𝑛−1 = (−1)𝑛

EXERCICE9

Soient (𝑈𝑛) 𝑒𝑡 (𝑉𝑛) 𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟: 𝑈𝑛 = 1;𝑈1 = 1 +1

1!+⋯+

1

𝑛! 𝑒𝑡

𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 +1

𝑛 ∗ 𝑛! .

1)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 (𝑈𝑛) 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒(𝑉𝑛) 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒. 2)𝑉é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑈𝑛 ≤ 𝑉𝑛 . 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑒𝑟 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑞𝑢𝑒 (𝑈𝑛) 𝑒𝑡 (𝑉𝑛) 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 3)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢′𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑛𝑡 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙𝑎 𝑚ê𝑚𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑙. (𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 (𝑈𝑛)𝑒𝑡 (𝑉𝑛)𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠). 4)𝑎)𝐷𝑒 𝑈𝑛 < 𝑙 < 𝑉𝑛 ; 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑛 ∈ ℕ

∗ , 𝑖𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛 𝑟é𝑒𝑙 𝜃𝑛 ∈ ]0; 1[

𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑙 = 1 +1

1!+ ⋯+

𝜃𝑛𝑛 ∗ 𝑛!

𝑏)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑟𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑙 . (𝐶′𝑒𝑠𝑡à 𝑑𝑖𝑟𝑒 𝑙 𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑢𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑠′é𝑐𝑟𝑖𝑟𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠

𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒 𝑝

𝑞 𝑜ù 𝑝 𝑒𝑡 𝑞 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 )



59

EXERCICE10

Soit 𝑓 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑓(𝑥) =1

2(𝑥 +

𝑎

𝑥) , 𝑎 𝑢𝑛 𝑟é𝑒𝑙 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓.

1)𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑑𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑛 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 .

2)𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 (𝑈𝑛)𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 ∶ {𝑈0 = 𝐸(√𝑎) + 1

𝑈𝑛+1 = 𝑓(𝑈𝑛)

𝑎)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑟é𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛 𝑜𝑛𝑎 ∶ √𝑎 < 𝑈𝑛+1 < 𝑈𝑛 < 𝑈0.

𝑏)𝐷é𝑚𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑈𝑛+1 − √𝑎 ≤1

2(𝑈𝑛 − √𝑎)

𝑐)𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑟é𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑈𝑛+1 − √𝑎 ≤ (1

2)𝑛

(𝑈0 − √𝑎).

𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑈𝑛. EXERCICE11

Soit (𝑈𝑛)𝑛∈ℕ 𝑢𝑛𝑒 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 {𝑈0 = 1 𝑈1 = 2

𝑈𝑛+2 = 𝑈𝑛+1 −1

4𝑈𝑛𝑛 ∈ ℕ

1)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑈2; 𝑈3; 𝑈4

2)𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝑉𝑛)𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑉𝑛 = 2𝑛𝑈𝑛

𝑎)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑉0; 𝑉1; 𝑉2; 𝑉3

𝑏)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑉𝑛+2 − 𝑉𝑛+1 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑉𝑛+1 − 𝑉𝑛

𝑐)𝐸𝑡𝑎𝑏𝑙𝑖𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑉𝑛+1 − 𝑉𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑑é𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑛 𝑒𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒𝑟 𝑠𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟. 𝑑)𝐸𝑥𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑉𝑛 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑈𝑛 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑛. Exercice 12

Déterminer les 3 premiers termes de la suite (Un) dans les cas suivants :

a) Un = 2n2- 1 ; b) Un = (-2)

n ; c) U0 = 1 et Un = Un-1 – 2 pour tout n IN ,

d) U0 = 0 et Un+1 = 1

3-

+n

n

U

U pour tout n IN.

Exercice 13 :

1) Calculer la somme des entiers multiples de 3 qui sont plus grands que 100 et plus

petits que 1000.

2) Calculer 3

23

3

21......

3

5

3

3

3

1+++++=S .

Exercice 14:

1) Soit (Un) une suite de terme général Un = 3n – 2.

a) Démontrer que (Un) est une suite arithmétique et préciser sa raison et son terme initial.

b) Calculer U100 .

c) Définir la suite (Un) par récurrence.

2) Soit (Vn) la suite définie par {

=

+=+

3

)( -)2

1(

0

221

V

VVV nnn

a) Monter que (Vn) est une suite arithmétique et préciser sa raison.

b) Exprimer Vn en fonction de n.

c) Calculer V100.



60

Exercice 15:

1) Dans chacun des cas suivants on considère une suite (Un) de premier terme U0 et de

raison r telle que Sn = Uo +U1 +……. + Un

a) On donne Uo = 3 et U32 = 99, calculer r et S32.

b) On donne Uo = 42 ; Un = 6 et Sn = 312. Calculer n puis r.

c) On donne Uo = -3 ; r = 2 et Sn = 5 .Calculer n puis r.

2) Dans chacun des cas suivants on considère une suite (Vn) de premier terme Vo et de

raison r telle que Sn = V1 + V2 +…….+ Vn.

a) On donne V41 = 118 et r = 3 calculer V1 et S41.

b) On donne Vn = -9 ; r = -2 et Sn = -21 ; calculer n puis V1.

Exercice 16:

Soit (Vn) une suite définie par Vo = 5 et Vn +1 = Vn –10

3Vn pour tout n entier.

1) Calculer V1 et V2 .

2) Monter que (Vn) est une suite géométrique et préciser sa raison.

3) Exprimer le terme général Vn en fonction de n.

4) Calculer V5 et V10.

5) Exprimer la somme Sn = V0 + V1 +…..+ Vn en fonction de n.

6) Calculer S = V0 + V1 +…..+ V10 .

Exercice 17: BAC 2001 ; série L1’et L2 ; 2e gp

Soit (Un) nN définie par :

{ =

+=+

9

23

10

1

U

UU nn

1. Calculer U1, U2 et U3.

2. Soit la suite (Vn) nN définie par : Vn = Un – 3

Montrer que (Vn) nN est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

3) Exprimer Vn en fonction de n, puis Un en fonction de n.

4. Calculer la somme Sn des n premiers termes de la suite (Vn) nN en fonction de n.

En déduire la somme S’n des n premiers termes de la suite (Un) nN.

Exercice 18: BAC 2004 ; série L’1 :2e gp

On considère la suite (Un) définie par :

{ 2-

≥,33

1

1

=

+=+

U

nUU nn1

1) Calculer U2 et U3.

2) On définit la suite (Vn) par Vn = Un +2

3 , n 1

a) Calculer V1 et V2.

b) Montrer que (Vn) est une suite géométrique et préciser le premier terme et la raison.

c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.

d) Montrer que (Vn) et (Un) sont divergentes.



61

Exercice 19: BAC 2003 ; série L’1 ;2e gp

On considère la suite (Un) définie par : { 2

12

3

0

1

=

+=+

U

UU nn

1) Calculer U1 et U2.

2) On considère la suite (Vn) définie par Vn = Un + 2 pour tout nIN.


b) Montrer que (Vn) est une suite géométrique et préciser le premier terme et la raison.

c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.

d) Calculer Sn = V0 + V1 +…..+ Vn-1, puis S’n = Uo +U1 +…….+ Un-1 en fonction de n.

Exercice 20 : BAC 2003 ; série L2 :2e gp

1) On donne la suite (Un ) nN* de terme général Un = -3 où n est un entier naturel non nul.

Montrer que (Un) nN* est une suite arithmétique dont on déterminera sa raison.

2). Soit la suite (Vn) nN* la suite définie par son terme général : Vn = eUn

(n est un entier

naturel non nul)

Montrer que (Vn) est une suite géométrique. Déterminer sa raison.

3) calculer la somme Sn des n premiers termes de la suite (Vn) nN*.

En déduire la limite de Sn lorsque n tend vers +.

Exercice 21

Démontrer par récurrence, rapidement, avec efficacité et sérénité que la suite définie par :

U0 =

1

2

Un + 1 = 2 Un + 1 si n 0 est une suite à termes positifs

Démontrer de la même façon que n IN , on a Un 2 n – 1

et conclure quant à la limite de

(Un )

Exercice 22

La suite (an ) est définie par a1 = 1 et an + 1 =

1

n +

1

n2 an pour tout entier naturel n

1°) Calculer a2 et a3 puis démontrer par récurrence que :

pour tout n non nul on a : an = n

(n – 1)!

2°) Calculer an + 1

an et étudier le sens de variation de ( an )

3°) Etudier la limite de la suite.

Exercice 23

Soit f définie par f (x ) = x

2

2x – 1 sur ]

1

2 ; + [

1°) Démontrer que, pour tout x 1 , f (x ) 1

On peut donc définir la suite ( Un ) par U0 = 2 et Un + 1 = f (Un )

2°) On considère les suites ( Vn ) et (Wn ) telles que pour tout n

Vn = Un – 1

Un et Wn = ln Vn

a) Vérifier que ( Vn ) et ( Wn ) sont bien définies.

b) Démontrer que ( Wn ) est géométrique.



62

c) Exprimer en fonction de n, Wn puis Vn et en déduire que Un = 1

1 –

1

2

2 n

Quelle est la limite de ( Un )

Exercice24

Soit 𝑈𝑛 définie par 𝑈𝑛+1 = √35 + 2𝑈𝑛 et 𝑈0 donné

1) Montrer que si 𝑈0 = 0 alors (𝑈𝑛) est strictement croissante et majorée par 7.

2) Montrer que si 𝑈0 = 9 alors (𝑈𝑛) est strictement décroissante et minorée par 7.

Exercice 25

Soit (𝑈𝑛) définie par 𝑈0 = 1 et 𝑈𝑛+1= √12 + 𝑈𝑛 montrer que (𝑈𝑛) est croissante et majorée

par4

Exercice 26

On considère la suite (Un ) définie par U0 = 1; U1 = 3 et si n IN :

Un + 2 = 1

2 a

2 Un + 1 + (a – 3 ) Un et on introduit (Vn ) par Vn = Un + 1 – Un

1°) On pose a = 2

a) Démontrer que (Vn ) est une suite constante.

b) En déduire que (Un ) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la

raison.

c) Exprimer, en fonction de n, Un et Sn = i = 0

i = n

Ui en déduire la somme des entiers naturels

impairs inférieurs à 100

2°) On pose a = – 4

a) Vérifier que ( Vn ) est géométrique et exprimer Vn en fonction de n.

b) Calculer la somme sn = i = 0

i = n

Vi en fonction de n

c) Démontrer que sn = Un + 1 – 1

.Exercice 27

Soit (𝑈𝑛) 𝑒𝑡 (𝑉𝑛) définie par 𝑈0 = 1 ; 𝑉0 = 0 𝑈𝑛+1 = 2𝑈𝑛 + 3𝑉𝑛 et 𝑉𝑛+1 = 𝑈𝑛 + 2𝑉𝑛

Démontrer que pour tout n ∈ ℕ .

a) 𝑈𝑛² − 3𝑉𝑛² = 1 b) 𝑈𝑛+1 + 𝑈𝑛−1 = 4𝑈𝑛 c) 𝑉𝑛+1 + 𝑉𝑛−1 = 4𝑈𝑛

EXERCICE 28

1)Soit a un réel non entier naturel. On considère la suite (un) définie par

Un = 1-n-a

na nIN*

a) Montre que la suite (vn ) définie par : vn =1-nn uu

1

- 2-n1-n u-u

1 n 2 est une

suite arithmétique.

b) pour quelles valeurs du nombre a la suite (vn) est elle croissante ;décroissantes ?

c) déterminer la somme Sn des n premiers termes de la suite (vn) dans le cas ou a =41

1. soit (wn) la suite de réels définie par w0=1 et pour tout entier n, wn+1 = wn + n

n

w2w1

a) Montrer que pour tout n, wn 0 ; en déduire que (wn ) est croissante.



63

b) Si wn converge quelle est sa limite ?

c) En déduire que la suite (wn) n’est pas majorée.

EXERCICE29

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes.

1. 1 + 22 + 3

2 + 4

2 + . . . + n

2 =

6

1)1)(2nn(n

2. Pour tout réel positif a et pour tout entier n ( 1 + a )n 1 + na

3. 32n

- 2n est divisible par 7

EXERCICE 30

Deux suite u et v sont définies par u2 = 1 ; v2 =13 et pour tout entier naturel non nul n

Un+1 = 31 (un+ 2vn) et vn+1 =

41 (un + 3 vn )

1. Calculer les trois premiers termes de chacune des suites .

2. On pose pour tout n 2 wn = vn – un .Montrer que (wn)n est une suite géométrique .

3. Calculer wn en fonction de n ; quel est son signe ?

4. Etudier le sens de variation de u et de v

5. que u et v sont bornées.

6. On pose pour tout n 2 tn = 3un + 8vn montrer que tn est une suite constante .

7. Déduire des question précédentes l’expression de un puis celle de vn en fonction de n .

8. Déterminer les limites des suites (un )n et (vn )n en déduire quelles sont convergentes.

PROGRESSION

Exercice 1 : BAC 2000 ; série L2 ;1e gp

Une usine produit des chaussures pour enfants. On suppose qu’en l’an 2000 sa production

annuelle s’élève à 200 000 paires de chaussures et que la production augmente de 5% par an.

On note P(n) le nombre de paires de chaussures fabriquées en l’an (2000+n).

1.a) Préciser P(0) puis établir une relation entre p(n) et p(n + 1) .

b) En déduire la nature de la suite [P(n)].

c) Exprimer, pour tout entier n, P(n) en fonction de n.

2. Quelle sera la production annuelle de l’usine en l’an 2010 ?

3. En quelle année la production aura-t-elle doublé ?

Exercice 2 : BAC 2000 ; série L1’ ;1e gp

En 1970, le prix du kilogramme de sucre était de :Po = 75 f. On admet que ce prix augmente

régulièrement de 7% par an. On désigne par Pn le prix du kilogramme de sucre en l’an

(1970 + n), nIN.

1.a) Exprimer, pour tout entier naturel n, Pn+1 en fonction de Pn.

b) En déduire la nature de suite de terme générale Pn et l’expression de Pn en fonction de n

2. Quel est le prix du kilogramme de sucre en 1972 ?en 1980 ?

3. A partir de quelle année le prix du kilogramme de sucre dépassera-t-il 750f.

Exercice 3 : BAC 2000 :(Burkina faso )

Le recensement d’un pays a estimé la population à 6 600 000 habitants au 31 décembre 1975.

On admet que la population croit régulièrement de 2,5% par an à partir de cette date. On

appelle P0 la population en 1975 et Pn la population en l’année (1975 + n).

1 .a) Exprimer, pour tout entier naturel n, Pn+1 en fonction de Pn et en déduire la nature de

suite ( Pn ).

b) Exprimer, pour tout entier naturel n, Pn en fonction de n

2. Quelle est la population de ce pays en 1985 ? en 1998 ? en 2000 ?



64

3. En quelle année la population de ce pays dépassera-t-elle pour la première fois le double de

celle de 1975 ? Quelle est alors la population de l’année en question ?

On donne : ln2 0,69 ; ln(1,025) 0,02 ;(1,025)10

1,28 ;(1,025)25

1,85 (1,025)29

2,05.

Exercice 4: BAC remplacement 2001 ; série L1 ;1e gp

Une femme « bana-bana » dispose de 100 000 F.CFA qu’elle dépose le 1er

janvier 2000 à la

mutuelle « ndimbël jaboot » au taux d’intérêts composés de 5% par an. Soit Cn le capital de

cette dame au 1er

janvier de l’année 2000 + n.

1. Calculer C1, C2 et C3.

2. a) Calculer, pour tout entier n, Cn+1 en fonction de Cn .

b) En déduire l’expression de Cn en fonction de n.

3. L’objectif de cette dame est d’acheter une cantine au marché « Ndiarème » au prix de

200 000 F.

En quelle année pourra-t-elle disposer de cette somme si elle ne compte que sur ce

placement ?

Exercice 5 : BAC 2001 ; série L1’ ;1e gp

Partie A Soit (Un) la suite numérique définie par :

U0 donné ; et pour tout nIN, Un = 1,05Un-1 + 1 000.

Soit (Vn) la suite définie par : pour tout nIN, Vn = Un + 20 000

1. Démontrer que (Vn) est une suite géométrique.

2. a) Calculer, pour tout entier naturel n, Vn en fonction de V0 et n.

b) En déduire l’expression de Un en fonction de U0 et n

Partie B

En février 1995, la population électorale d’une commune était de 20 000 électeurs.

Chaque année cette population électorale augmente de 5% et de plus, 1 000 électeurs

supplémentaires viennent s’y établir définitivement.

1. Préciser la population électorale en février 2 000 dans cette commune.

2. Etant donné que le taux d’abstention est de 20%, déterminer le nombre de votants dans

cette commune en février 2000.

Exercice 6 : BAC 2001 ; série L2 ;1e gp

Une personne place une somme de 500 000F à la caisse d’épargne dans les conditions

suivantes : chaque année, le capital acquis augmente de 8% de sa valeur.

1. On appelle Co le capital initial [ Co= 500 000 F] et Cn le capital en l’an 2000 + n .

a) Calculer C1 et C2.

b) Exprimer, pour tout entier naturel n, Cn+1 en fonction de Cn.

Quelle est la nature de (Cn) ?

c) Exprimer, pour tout entier naturel n, Cn en fonction de n.

2. En quelle année le capital doublera-t-il pour la première fois ?

(On prendra : ln (1,08) = 0,08.)

Exercice 7 : BAC (Côte d’Ivoire) 2001 ; série A2

Une radio de proximité commence le premier mois avec 5000 auditeurs. A la fin de chaque

mois, il y a 4 000 nouveaux auditeurs et un taux de défection de 20%.

On désigne par :

U1 le nombre d’auditeurs le 1er

mois,

U2 le nombre d’auditeurs le 2e mois,

Un le nombre d’auditeurs le n-ième mois.

1. Vérifier que : U2 = 8 000.



65

2. Justifier que, pour tout entier naturel n non nul : Un+1 = 5

4 Un + 4 000.

3. (ajouté) soit (Vn) de terme général Vn = Un – 20 000


b) Montrer que (Vn) est une suite géométrique et préciser sa raison et sa raison.

c) Exprimer Vn puis Un en fonction de n

d) Déterminer le nombre d’auditeurs après 12 mois d’émission

EXERCICE I :1) Etudier les limites de f en a :

a) f(x) = -3x3 +5x – 1 a = ; b) f(x) =

152

1232

2

x

x

xx a =

c) f(x) = cos 12 x

x a = + ; d) f(x) =

112x

x a = 0

2) Si f est une fonction impaire définie sur IR , montrer que nécessairement f(0) = 0 .

3)Soit g la fonction par g(x) = (x – 1)2 – 4 .

a) tracer dans un repère orthogonal la courbe Cg.

b) A partir de Cg tracer les courbes représentatives des fonctions

h(x) =g( x+1) ; t(x) = g( x ) ; l(x) = g(-x) .

EXERCICE III :

1) Démontrer que pour tout élément x de [o 2 ], ona sin4x1 = sin2x + cos2x.

2) Calculer cosx et sinx si cos2x = -97 et x[ -

2 ]

3) Soit A= cos2

8

+ cos2

83 + cos

2

85 + cos

2

87

et B =sin2

8 +sin

2

83 + sin

2

85 + sin

2

87

a) calculer A + B et A – B

b) en déduire A et B

4) Résoudre dans IR les équations suivantes et représenter les images de leurs

solutions sur le cercle trigonométrique.

𝑎)𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 –𝜋

6)

/

𝑏)𝑠𝑖𝑛(−𝑥 +3𝜋

2) + 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 +

𝜋

3 ) = 0

𝑐)𝑐𝑜𝑠(−𝑥 + 3 ) + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0 𝑑)𝑠𝑖𝑛²2𝑥 − 3 𝑠𝑖𝑛2𝑥 +

43 = 0

EXERCICE IV

1)Soit a un réel non entier naturel. On considère la suite (un) définie par

Un = 1-n-a

na nIN*

a) Montre que la suite (vn ) définie par : vn =1-nn uu

1

- 2-n1-n u-u

1 n 2 est une

suite arithmétique.

Teste

toi

3H

Test11 : prend 15mn afin de comprendre et de commencer

par le plus simple

1S



66

b) pour quelles valeurs du nombre a la suite (vn) est elle croissante ;décroissantes ?

c) déterminer la somme Sn des n premiers termes de la suite (vn) dans le cas ou a =41

2. soit (wn) la suite de réels définie par w0=1 et pour tout entier n, wn+1 = wn + n

n

w2w1

a) Montrer que pour tout n, wn 0 ; en déduire que (wn ) est croissante.

b) Si wn converge quelle est sa limite ?

c) En déduire que la suite (wn) n’est pas majorée.

EXERCICE 1

1. Exprimer en fonction de cosx et de sinx l’expressions suivante

A(x) = sin(2

7 +x) + sin(x - 2

3 ) + 2sin(3 - x )+ 4 cos (x + 2

5 )

2. Démontrer que pour tout nombre réel cos + cos( +3

2 ) + sin ( +3

4 ) = 0

3. On considére un nombre réel tel que 2 et cos(

2 - ) =

32 Calculer

cos ; cos2 ; tan et tan2 .

4. Résoudre dans l’ensemble indiqué les équations suivantes :

a) x [-2 ; 2 ], 2cosx = 2

b) xIR 2cos3x = - 3

c) xIR - cos2x = sin(x - 4 )

d) x[0; 2 ] 2sin2x + cosx - 1 = 0

EXERCICE 2

Deux suite u et v sont définies par u2 = 1 ; v2 =13 et pour tout entier naturel non nul n

Un+1 = 31 (un+ 2vn) et vn+1 =

41 (un + 3 vn )

9. Calculer les trois premiers termes de chacune des suites .

10. On pose pour tout n 2 wn = vn – un .Montrer que (wn)n est une suite géométrique .

11. Calculer wn en fonction de n ; quel est son signe ?

12. Etudier le sens de variation de u et de v

13. que u et v sont bornées.

14. On pose pour tout n 2 tn = 3un + 8vn montrer que tn est une suite constante .

15. Déduire des question précédentes l’expression de un puis celle de vn en fonction de n .

16. Déterminer les limites des suites (un )n et (vn )n en déduire quelles sont convergentes.

EXERCICE3

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes.

4. 1 + 22 + 3

2 + 4

2 + . . . + n

2 =

6

1)1)(2nn(n

5. Pour tout réel positif a et pour tout entier n ( 1 + a )n 1 + na

6. 32n

- 2n est divisible par 7

Teste

toi

Test 12 : prend 15mn afin de comprendre

et de commencer par le plus simple

1ère S

4H



67

EXERCICE 4:

1. Calculer les limites suivantes

a) x

x

2sin

2cos-1lim

20 b)

x

xx

cos3

coslim

2. Etudier la continuité et la dérivabilité de la fonction f définie par

0)0(

0 x sisintan

)(2

fx

xxxf

Test Test 13 1ère S 4 HEURES J UIN 2015

EXERCICE 1 7pts

On considère la suite (𝑈𝑛)définie sur ℕ par : 𝑈0 = −1 ; 𝑈1 =1

2 et pour tout entier naturel n :

𝑈𝑛+2 = 𝑈𝑛+1 −1

4𝑈𝑛

1) Calculer 𝑈2 et en déduire que la suite (𝑈𝑛) n’est ni arithmétique ni géométrique.

2) On définit la suite (𝑉𝑛)𝑒𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙 𝑛: 𝑉𝑛 = 𝑈𝑛+1 −1

2𝑈𝑛

𝑎) Calculer𝑉0.

b) Exprimer 𝑉𝑛+1 en fonction de 𝑉𝑛.

c)En déduire que (𝑉𝑛)est géométrique de raison 1

2

d) Exprimer 𝑉𝑛 en fonction de n.

3) On définit la suite ((𝑊𝑛) en posant pour tout n ∈ ℕ : 𝑊𝑛 =𝑈𝑛

𝑉𝑛

𝑎)Calculer 𝑊0

b) En utilisant l’égalité 𝑈𝑛+1 = 𝑉𝑛 +1

2𝑈𝑛 ;exprimer 𝑊𝑛 en fonction de 𝑈𝑛 𝑒𝑡 𝑉𝑛

c)En déduire que pour tout ∈ ℕ : 𝑊𝑛+1 = 𝑊𝑛 + 2

d) Exprimer 𝑊𝑛 en fonction de n.

4) Montrer que pour tout entier naturel n :𝑈𝑛 =2𝑛−1

2𝑛

EXERCICE 1 5pts

1) Démontrer que ∀ 𝑥ℝ ∶ 𝑎)(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 2(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑏)𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥

2) Résoudre dans [0; 2𝜋[les équations suivantes et placer sur le cercle trigonométrique les

images des solutions.

a) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −√2 b) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛4𝑥 = 0

PROBLEME 8pts

Soit f la fonction définie de ℝ vers ℝ par 𝑓(𝑥) = −2𝑥2+3𝑥+2

2𝑥−1 et Cf sa courbe représentative

dans le plan muni d’un repère orthonormé (𝑂, 𝑖 ; 𝑗 ). 1) Donner l’ensemble de définition Df de f.

2) Déterminer les limites de f aux bornes de son domaine de définition. En déduire l’équation

d’une asymptote de(Cf)

3) Trouver les réels a ,b et c tels que ∀ 𝑥Df ;𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +𝑐

2𝑥−1.En déduire l’équation de

l’autre asymptote de (Cf) .



68

4) Calculer f’(x) où f ‘ est la fonction dérivée de f.

5) Dresser le tableau de variation de f.

6) Donner une équation de la tangente au point d’intersection de la courbe (Cf) avec l’axe

des ordonnées.

7) Montrer que le point 𝐼 (1

2;1

2) 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 (𝐶𝑓).

8)Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (Cf).

Type

composition

Test 14 1ère S

Mardi 18 janvier 2005


A- 1- Ecrire cos(3x) en fonction de cosx et sin(3x) en fonction de sinx. (0.75 + 0.75pt)

2- En déduire que x

x2

2

tan31

tan-3tanxtan(3x)

(0.5pt)

B- Calculer sin(2x) et cos(2x) dans chacun des cas suivants :

1- ,0et x3

1sinx

; 2- cosx =

2;

2-et x

5

3


Résoudre dans IR les équations suivantes et représenter les solutions sur le cercle

trigonométrique.

1) 1E : cos(3x) = 2

2 ; 2E : sin(3x) + cos

6x

= 0 ; 0

3

6sinx

3

3cos:3 xE

PROBLEME (12 points)

Partie A

Soit f la fonction définie par :x1

x f(x)

2

et (Cf) sa courbe représentative dans un repère

orthonormé.

1- Déterminer Df ensemble de définition de f puis calculer les limites de f aux bornes de

Df. En déduire les asymptotes éventuelles de Cf. (2pts)

2- Calculer f’(x) et étudier son signe. Dresser le tableau de variation de f. (2.5 pts)

3- a- Déterminer les réels a, b et c tels que x1

bax f(x)

c

pour xDf. (0.5pt)

b- En déduire que Cf admet une asymptote oblique (D) que l’on précisera. (0.5pt)

c- Etudier la position relative de Cf et de (D). (0.5pt)

4- Tracer Cf et ses asymptotes. (1 pt)

5- En déduire dans le même repère que Cf la représentation graphique de la fonction g définie

par :x-1

xg(x)

2

(0.5pt) 6-

a- Résoudre graphiquement l’équation x2 + mx – m = 0. (1pt)

b- Retrouver les résultats graphiquement. (1pt)



69

Partie C

Soit h la fonction définie par :

0 xsi 1

xh(x)

0 xsixx1

xh(x)

2

2

x

1- a- Préciser Dh ensemble de définition de h (0.5 pt)

b- Etudier la continuité de h en 0. (1 pt)

2- Etudier la dérivabilité de h en 0. (1pt)

Type

composition

Test 15 1ère S

Angles orientés et trigonométrie Mardi 18 janvier 2005


On considère la suite (Un) définie par

1U

3U5U

0U

n

n1n

0

1- Calculer U1 ,U2 ,U3 et U4. Vérifier que (Un) n’est ni arithmétique ni géométrique. (1pt)

2- On considère la suite (Vn) définie par :1U

3UV

n

nn

.

a- Montrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison. (1pt)

b- Exprimer Un puis Vn en fonction de n. (1 pt)

c- Calculer la limite de (Vn) puis celle de (Un). (1 pt)

EXERCICE 2

Résoudre dans R.

1)sin (𝑥 +3𝜋

4) + sin (𝑥 +

3𝜋

4) = 0

2)4𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 2(√2 − 1)𝑐𝑜𝑠𝑥 − √2 = 0

3)𝑡𝑎𝑛 sin (𝑥 +𝜋

4) = tan (2𝑥 +

𝜋

8)

4)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 ]−𝜋; 𝜋] 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑖𝑣𝑎𝑛𝑡𝑒 , 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑠 ∶

𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 −𝜋

6) = sin (𝑥 +

𝜋

4)

PROBLEME

PARTIE A :

𝑂𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑è𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 (𝐶𝑓)𝑑’é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑦 =𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏)

2(𝑥 − 𝑐)2𝑜ù 𝑎; 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑑𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠,

𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑝è𝑟𝑒 𝑜𝑟𝑡ℎ𝑜𝑛𝑜𝑟𝑚é (0; 𝑖 ; 𝑗 ). 𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑟é𝑒𝑙𝑠 𝑎 ; 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒

(𝐶𝑓)𝑑𝑒 𝑓 𝑎𝑖𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑑′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑥 = 1 𝑒𝑡 𝑦 =3

2 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑒𝑛 0 𝑎𝑖𝑡 𝑝𝑜𝑢𝑟 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑦 = −2𝑥. PARTIE B :

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑓 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ ]−∞; 1[ ∪ ]1;+∞[ 𝑝𝑎𝑟𝑓(𝑥) =3𝑥2 − 4𝑥

2(𝑥 − 1)2.

1)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑢𝑥 𝑏𝑜𝑟𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐷𝑓 , 𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑓.



70

𝑃𝑟é𝑐𝑖𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒𝑠. 2)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑑é𝑟𝑖𝑣é𝑒 𝑓′ 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑑𝑟𝑒𝑠𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑒 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑓.

3)𝐷é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 0 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑎𝑢 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑑′𝑎𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑠𝑒4

3.

4)𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 (𝐶𝑓)𝑝𝑎𝑟 𝑟𝑎𝑝𝑝𝑜𝑟𝑡 à 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝑒 (∆)

𝑑′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑦 =3

2.

5)𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒𝑟 (𝐶𝑓), 𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑡 𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒𝑠.

4HEURES Test 16 1ère S Mardi 18 janvier 2005


On considère la suite (Un) définie par :{𝑈0 = 1

𝑈𝑛+1 =(5𝑈𝑛−1)

4𝑈𝑛+1 𝑛 ∈ ℕ

1) Calculer 𝑈1 ; 𝑈2 𝑒𝑡 𝑈3 .

2) On considère la suite (𝑉𝑛) définie par 𝑉𝑛 =1

𝑈𝑛−1

2

.Démontrer que

(𝑉𝑛) 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑖𝑡ℎ𝑚é𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑡 𝑜𝑛 𝑝𝑟é𝑐𝑖𝑠𝑒𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑠𝑜𝑛 𝑒𝑡 𝑙𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒. 3) Exprimer 𝑉𝑛 en fonction de n.

4) En déduire 𝑈𝑛 en fonction de n.

5) Calculer la somme 𝑆𝑛 des premiers termes de la suite (𝑉𝑛) EXERCICE 2 (3 points)

Soit 𝛼 un réel tel que 𝑠𝑖𝑛𝛼 =√5−1

4 et 0< 𝛼 <

𝜋

2

1)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 cos2 𝛼 2)a)Montrer que cos4 𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛼

b) Résoudre dans ℝ l’équation cos4𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥

𝑐)𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝛼. EXERCICE 3 (3 points)

1)a)Montrer que :𝑐𝑜𝑠𝑥 − √3𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2 cos (𝑥 +𝜋

3)

𝑏)𝑅é𝑠𝑜𝑢𝑑𝑟𝑒 𝑑𝑎𝑛𝑠 [0; 2𝜋[ 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛: 𝑐𝑜𝑠𝑥 − √3𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1

2)𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛: (𝐸): √3𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛²𝑥 = √2 − 1

𝑎)𝑀𝑜𝑛𝑡𝑟𝑒𝑟 𝑞𝑢𝑒 (𝐸)𝑒𝑠𝑡 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 à (𝐸′): 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + √3𝑠𝑖𝑛2𝑥 = √2

b)Résoudre (E’) dans ℝ 𝑝𝑢𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑛𝑠 [0; 2𝜋[ EXERCICE 4 (2 points)

Démontrer que ∀𝑥 ℝ

1)(𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥) (1 −1

2𝑠𝑖𝑛2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 ; 2) 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4𝑥 =

3

4+1

4𝑐𝑜𝑠4𝑥

Problème 8pts

Soit f la fonction définie de ℝ vers ℝ par 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑎𝑥+𝑏

3−𝑥.

On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé (O ;𝑖 ;𝑗 ) (unité graphique 1cm).

1) Déterminer les réels a et b pour que la courbe (C) passe par le point A(2 ;1) et présente une

tangente horizontale en ce point.



71

2) On pose a=-5 et b=7

a) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition .En déduire les

asymptotes éventuelles de (C) .

b) Trouver les réels 𝛼 ; 𝛽 𝑒𝑡 𝛾 tels que ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 ; f(x)= 𝛼𝑥 + + 𝛽 +𝛾

3−𝑥.

𝐸𝑛 𝑑é𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙′𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 3) Calculer f’(x) où f’ est la fonction dérivée de f.

4) Dresser le tableau de variation de f.

5) Donner une équation de la tangente au point d’intersection de la courbe (C) avec l’axe

des ordonnées .

6) Montrer que le point d’intersection des asymptotes est centre de symétrie pour la

courbe (C)

7) Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (C).

CORRIGE DES TEST

Test 1 :

EXERCICE 1 (4 points) 160mn pour 20pts ben t’as 32 mn pour çà

Résolvons les équations et inéquations suivantes :

√2𝑥 − 3 = 𝑥 + 2 ⇔ {2𝑥 − 3 ≥ 0𝑥 + 2 ≥ 0

2𝑥 − 3 = (𝑥 + 2)2 ⇔ {

𝑥 ≥3

2

𝑥 ≥ −22𝑥 − 3 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

⇔ {𝑥 ∈ [

3

2;+∞[

𝑥² + 2𝑥 + 7 = 0

𝑥2 + 2𝑥 + 7 = 0 ∆= 4 − 28 = −24 < 0 𝑑′𝑜ù

√3𝑥 − 2 + √𝑥 + 2 = 4 ⇔ {

3𝑥 − 2 ≥ 0𝑥 + 2 ≥ 0

(√3𝑥 − 2 + √𝑥 + 2)2= 42

⇔ {

𝑥 ≥2

3

𝑥 ≥ −2

(√3𝑥 − 2 + √𝑥 + 2)2= 42

⇔ {𝑥 ∈ [

2

3; +∞[

4𝑥 + 2√(3𝑥 − 2)(𝑥 + 2) = 16

⇔ {𝑥 ∈ [

2

3;+∞[

2 √3𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 16 − 4𝑥

⇔ {𝑥 ∈ [

2

3;+∞[

√3𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 8 − 2𝑥

𝑆 = ∅

C cool

non ?



72

⇔

{

𝑥 ∈ [

2

3; +∞[

3𝑥2 + 4𝑥 − 4 ≥ 08 − 2𝑥 ≥ 0

3𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 64 − 32𝑥 + 4𝑥²

⇔

{

𝑥 ∈ [

2

3; +∞[

3𝑥2 + 4𝑥 − 4 ≥ 08 − 2𝑥 ≥ 0

𝑥² − 36𝑥 + 68 = 0

3𝑥2 + 4𝑥 − 4 ≥ 0 𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 3𝑥2 + 4𝑥 − 4 = 0

∆= 16 + 48 = 64 ; √∆= 8

𝑥1 =−4 − 8

6= −2 𝑒𝑡

𝑥1 =−4+8

6 =

2

3

√3𝑥 − 2 + √𝑥 + 2 = 4 ⇔

{

𝑥 ∈ [

2

3; +∞[

𝑥 ∈ ]−∞;−2] ∪ [2

3; +∞[

𝑥 ≤1

4

𝑥² − 36𝑥 + 68 = 0

⇔

{

𝑥 ∈ [

2

3; +∞[

𝑥 ∈ ]−∞;−2] ∪ [2

3; +∞[

𝑥 ∈ [1

4; +∞[

𝑥² − 36𝑥 + 68 = 0

−∞ − 2 2

3

1

4 + ∞

⇔ {𝑥 ∈ [

1

4; +∞[

𝑥² − 36𝑥 + 68 = 0

𝑥2 − 36𝑥 + 68 = 0

∆′= 324 − 68 = 256 ; √∆′= 16

𝑥1 =18−16

1= 2 𝑥 ∈ [

1

4; +∞[ 𝑒𝑡 𝑥1 =

18+18

1 = 36𝑥 ∈ [

1

4; +∞[

√𝑥 − 2 ≤ 𝑥 − 3 ⇔ {

𝑥 − 2 ≥ 0𝑥 − 3 ≥ 0

(√𝑥 − 2 +)2≤ (𝑥 − 3)2

⇔ {𝑥 ≥ 2𝑥 ≥ 3

𝑥 − 2 ≤ 𝑥2 − 6𝑥 + 9

⇔ {𝑥 ∈ [3;+∞[

𝑥2 − 7𝑥 + 11 ≥ 0

𝑃𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑥2 − 7𝑥 + 11 = 0 ∆= 49 − 44 = 5

𝑥1 =−7−√5

2 𝑥 ∉ [3;+∞[ 𝑒𝑡 𝑥1 =

−7+√5

2 ∈ [3;+∞[

√𝑥2 − 𝑥 + 1 ≥ 2 − 𝑥 ⇔ { 𝑥2 − 𝑥 + 1 ≥ 0𝑥2 − 𝑥 + 1 ≥ 𝑥2 − 2𝑥 + 4

⇔ {𝑥2 − 𝑥 + 1 ≥ 0𝑥 − 3 ≥ 0

𝑥 −∞ − 2 2

3 +∞

3𝑥2 + 4𝑥 − 4 + − +

𝑆 = {2; 36}

𝑆 = ∅



73

⇔ {𝑥² − 𝑥 + 1 ≥ 0𝑥 ≥ 3

; 𝑥2 − 𝑥 + 1 = 0 ; ∆= 1 − 4 = −3

⇔ {𝑥 ∈ ℝ

𝑥 ∈ [3;+∞[

EXERCICE 2 (4 points) 160mn pour 20pts ben t’as 32 mn pour

On donne l’équation

2: 2( 1) 3 0Em mx m x m .

1) Discutons suivant les valeurs de m de nombre de solutions de cette équation.

(𝐸𝑚):𝑚𝑥2 + 2(𝑚 + 1)𝑥 + 𝑚 − 3 = 0.

𝑆𝑖 𝑚 = 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑒𝑛𝑡 2𝑥 − 3 = 0 ; 𝑥 =3

2 𝑆 = {

2

3}

𝑆𝑖 𝑚 ≠ 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 ∆= 4(𝑚2 + 2𝑚 + 1) − 4𝑚(𝑚 − 5) = 28𝑚 + 4

𝑆𝑖 ∆= 0 𝑖𝑒 ∶ 28𝑚 + 4 = 0 𝑚 = −1

7

𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 (𝐸𝑚) 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑢𝑏𝑙𝑒

𝑥0 =−2(𝑚+1)

2𝑚=

−2(−1

7+1)

2𝑚= −

6

7

−1

7

= 6 𝑆 = {6}

𝑆𝑖 ∆> 0 𝑖𝑒 ∶ 28𝑚 + 4 > 0 ; 𝑚 > −1

7 ; 𝑚 ∈ ]−

1

7;+∞[

𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 (𝐸𝑚) 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑐𝑡𝑒𝑠

𝑥1 =−2(𝑚 + 1) − √28𝑚 + 4

2𝑚=−2(𝑚 + 1) − 2 √7𝑚 + 1

2𝑚=−(𝑚 + 1) − √7𝑚 + 1

𝑚

𝑥1 =−2(𝑚 + 1) + √28𝑚 + 4

2𝑚=−2(𝑚 + 1) + 2 √7𝑚 + 1

2𝑚=−(𝑚 + 1) + √7𝑚 + 1

𝑚

∆< 0 𝑖𝑒 ∶ 28𝑚 + 4 < 0 ; 𝑚 < −1

7 ; 𝑚 ∈ ]−∞;−

1

7[

𝐴𝑙𝑜𝑟𝑠 (𝐸𝑚) 𝑛′𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠.

2) Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle deux solutions positives.

𝑆𝑖 (𝐸𝑚) 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 ∶ {∆> 0𝑆 > 0𝑃 > 0

{∆> 0𝑆 > 0𝑃 > 0

𝑖𝑒

{

𝑚 ∈ ]−

1

7; +∞[

2(𝑚+1)

𝑚> 0

−𝑚+3

𝑚> 0

2(𝑚+1)

𝑚> 0

𝑚 −∞ −1 0 +∞

𝑚 + 1 − + +

𝑚 − − +

𝑆 + − +

𝑚 ∈ ]−∞;−1[ ∪ ]0;+∞[

𝑆 = [3; +∞[



74

−𝑚 + 3

𝑚> 0

𝑚 −∞ 0 3 +∞

−𝑚 + 3 + + −

𝑚 − + +

𝑆 − + −

𝑚 ∈ ]0; 3[

−∞ − 1 −1

7 0 3 +∞

EXERCICE 3 (3 points) 160mn pour 20pts ben t’as 24 mn pour ça


3 2: 1 2 1 2 0Em mx m x m x m

1- Trouvons la valeur de m pour que 1 soit une solution de cette équation.

1 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 (𝐸𝑚) 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑚13 + (𝑚 + 1) ∗ 12 − (2𝑚 + 1) ∗ 1 − 𝑚 + 2 = 0. 𝑚 +𝑚 + 1 − 2𝑚 − 1 −𝑚 + 2 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 − 𝑚 = −2 𝑑𝑜𝑛𝑐 2-Résoudre cette équation pour m = 2.

(𝐸𝑚): 2𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑥(2𝑥2 + 3𝑥 − 5) = 0 ; 𝑥 = 0 𝑜𝑢 2𝑥2 + 3𝑥 − 5 = 0

∆= 9 + 40 = 49 ; √∆= 7

𝑥1 =(−3 − 7)

4= −

5

2 𝑥1 =

(−3 + 7)

4= 1



01

139

524

zyx

zyx

zyx

{

4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 5 𝐿19𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 1 𝐿2−𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = −1 𝐿3

{

4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 5 𝐿1

−5𝑥 − 𝑦 = 4 𝐿′2 = 𝐿1 − 𝐿2

3𝑥 + 𝑦 = 4 𝐿′3 = 𝐿3 + 𝐿1

{4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 5 𝐿1

−5𝑥 − 𝑦 = 4 𝐿′2

−2𝑥 = 8 𝐿′′3 = 𝐿′2 + 𝐿′3

−2𝑥 = 8 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑥 = −4 −5𝑥 − 𝑦 = 4 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 − 5 ∗ (−4) − 𝑦 = 4 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑦 = −4 + 20 = 16

4 ∗ (−4) + 2(16) + 𝑧 = 5 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 − 16 + 32 + 𝑧 = 5 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 16 + 𝑧 = 5 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑧 = −11

𝑆𝑖 (𝐸𝑚) 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠 𝑚 ∈ ]0; 3[

𝑚 = 2

𝑆 = {−5

2; 0; 1}

𝑆 = {−4; 16;−11}



75


𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐

𝑝(2) = 10 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑎 ∗ 22 + 𝑏 ∗ 2 + 𝑐+= 0

4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 5

𝑝(3) = 3 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑎 ∗ 32 + 𝑏 ∗ 3 + 𝑐 = 0

9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 1 𝑝(1) = 1 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑎 ∗ 12 + 𝑏 ∗ 1 + 𝑐 = 1

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1 donne −𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 1 = 0

{4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 5 9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 1−𝑎 − 𝑏 − 𝑐 + 1 = 0

𝑎 ; 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑢 𝑠𝑦𝑠𝑡è𝑚𝑒 𝑝𝑟é𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑎 = −4; 𝑏 = 16 𝑒𝑡 𝑐 = −11

𝑑′𝑜ù 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒 𝑝(𝑥) = −4𝑥² + 16𝑥 − 11 EXERCICE 5 (5 points)

Soit f(x)= (1 – m) x2 + 2(m – 5) x + 16 – m (m IR.)

a)Déterminer l’ensemble des réels m pour les quels f(x) = 0 admet deux racines de

signes contraires.

F(x)=0 admet deux racines de signes contraires ssi (1 – m)≠ 0 𝑒𝑡 {∆> 0𝑃 < 0

Où ∆= 4(𝑚2 − 10𝑚 + 25) − 4(1 −𝑚)(16 − 𝑚) = 4𝑚2 − 40𝑚 + 100 − 4(𝑚2 − 17𝑚 + 16) = 4𝑚2 − 40𝑚 + 100 − 4𝑚2 − 68𝑚 + 64

= −108𝑚 + 164 > 0

−108𝑚 + 164 > 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑚 >164

108 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑚 >

41

27 ;𝑚 ∈ ]

41

27;+∞]

𝑃 =16 −𝑚

1 −𝑚= 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑚 = 16

M −∞ 1 16 +∞

16 −𝑚 + + −

1 −𝑚 + − −

P + − +

𝑚 ∈ ]−∞; 1[ ∪ ]16;+∞[ 𝑒𝑡 𝑚 ∈ ]41

27;+∞]

𝑆𝑖 𝑚 ∈ ]16;+∞[ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟𝑒𝑠

b) Déterminer l’ensemble des réels m tel que pour tout x appartenant

IR f(x) < 0

𝑆𝑖 ∆= −108𝑚 + 164 < 0 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓(𝑥)𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 (1 − 𝑚)

Ie si 𝑚 ∈ ]41

27; +∞] 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓(𝑥) < 0𝑠𝑠𝑖 1 − 𝑚 < 0 𝑖𝑒 𝑚 > 1 𝑖𝑒:𝑚 ∈ ]1;+∞[

−108𝑚 + 164 > 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑚 >164

108 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑚 >

41

27 ;𝑚 ∈ ]

41

27;+∞]

𝑓(𝑥) < 0 𝑠𝑖 𝑚 ∈ ]1;+∞[ ∩ ]41

27;+∞] = ]

41

27;+∞]



76

Test 2 :

1ère S

EXERCICE I 5pts:

1) Résoudre dans IR :

a) –3x4 + x

2 + 2 = 0

Posons X=x² alors on a -3X² +X+2=0 ∆= 1 + 24 = 25

𝑋1 =−1−5

−6= 1 𝑒𝑡 𝑋2 =

−1+5

−6= −

2

3

𝑆𝑖 𝑋 = 1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥² = 1 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑥 = −1

𝑆𝑖 𝑋 = −2

3 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑥2 = −

2

3 𝑎𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑒

b) 2x x -6x –2 = 0

𝐿′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 é𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑢𝑡 à { 2x² − 6x – 2 = 0 si x > 0−2x² − 6x – 2 = 0 si x < 0

𝑖𝑒 {2x² − 6x – 2 = 0 si x ∈ ]0;+∞[

−2x² − 6x – 2 = 0 si x ∈ ]−∞; 0[

2x2 − 6x – 2 = 0 ∆′= 9 + 4 = 13

𝑥1 =3 − √13

2∉ ]0;+∞[ 𝑒𝑡 𝑥2 =

3 + √13

2 ∈ ]0;+∞[

−2x2 − 6x – 2 = 0 2x² + 6x + 2 = 0 ∆′= 9 − 4 = 5

𝑥1 =3−√5

2∈ ]−∞; 0[ 𝑒𝑡 𝑥2 =

3+√13

2 ∉ ]−∞; 0[

c) 21

)1(2

xx

xx

𝐿′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑠 𝑠𝑠𝑖 𝑥2 + 𝑥 − 1 ≠ 0 ∆= 1 + 4 = 5

𝑥 ≠−1 − √5

2 𝑒𝑡 𝑥 ≠

−1 + √52

𝑠𝑖 𝑥 ≠−1−√5

2 𝑒𝑡 𝑥 ≠

−1+√5

2 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠

𝑥(𝑥 + 1)

𝑥2 + 𝑥 − 1− 2 < 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒

𝑥(𝑥 + 1)−2𝑥2 − 2𝑥 + 2

𝑥2 + 𝑥 − 1 < 0

𝑥2 + 𝑥−2𝑥2 − 2𝑥 + 2

𝑥2 + 𝑥 − 1 < 0

−𝑥2−𝑥+2

𝑥2+𝑥−1 < 0 𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠

−𝑥2−𝑥+2

𝑥2+𝑥−1= 0

𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 −𝑥2 − 𝑥 + 2 = 0 ∆= 1 + 8 = 9

𝑥1 =−1−3

2= −2 𝑒𝑡 𝑥2 =

−1+3

2= 1

𝑥

−∞ −2 −1−√5

2

−1+√5

2 1 +∞

𝑥2 + 𝑥 − 2 + − − − +

𝑥2 + 𝑥 − 1 + + − + +

+ − + − +

𝑆 = {−1; 1}

𝑆 = {3 − √5

2 ; 3 + √13

2}



77

2) Déterminer la somme et le produit de deux nombres x et y vérifiant

=+

=+

2

5

2022

x

y

y

x

yx

{𝑥2 + 𝑦2 = 20𝑥2+𝑦2

𝑥𝑦=

5

2

{𝑥2 + 𝑦2 = 20

20

𝑥𝑦=

5

2

{𝑥2 + 𝑦2 = 20

𝑥𝑦 = 8

{(𝑥 + 𝑦)2 − 2𝑥𝑦 = 20

𝑥𝑦 = 8 {𝑆

2 − 2𝑃 = 20𝑃 = 8

𝑃 = 8 𝑒𝑡 𝑆2 − 16 = 20 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑆2 = 36 𝑑′𝑜ù 𝑆 = 6 𝑜𝑢 𝑆 = −6


𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑆 = 6 𝑒𝑡 𝑃 = 8 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑋2 − 6𝑋 + 8 = 0 ∆′= 9 − 8 = 1

𝑥13 − 1

2= 1 𝑒𝑡 𝑥2 =

3 + 1

2= 2

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑆 = −6 𝑒𝑡 𝑃 = 8 𝑥 𝑒𝑡 𝑦 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑑𝑒 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛, 𝑋2 + 6𝑋 + 8 = 0 ∆′= 9 − 8 = 1

𝑥1−3 − 1

2= −2 𝑒𝑡 𝑥2 =

−3 + 1

2= −1

3) en discutant suivant les valeurs du paramètre réel m, déterminer le nombre de

solutions de l’équation : 𝒙² + (𝒎 – 𝟏)𝒙 – 𝒎 + 𝟏 = 𝟎 ∆= (𝑚 − 1) − 4(−𝑚 + 1) = 5𝑚 − 5

𝑆𝑖 ∆= 5𝑚 − 5 = 0 𝑖𝑒 𝑚 = 1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑜𝑢𝑏𝑙𝑒

𝑥0 =−(𝑚−1)

2=

−(1−1)

2= 0

𝑆𝑖 ∆= 5𝑚 − 5 > 0 𝑖𝑒 𝑚 > 1 𝑖𝑒 ∶ 𝑚 ∈ ]1;+∞[ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑐𝑡𝑒𝑠

𝑥1 =−(𝑚 – 1) − √5𝑚 − 5

2 𝑒𝑡 𝑥2 =

−(𝑚 – 1) + √5𝑚 − 5

2

𝑆𝑖 ∆= 5𝑚 − 5 < 0 𝑖𝑒 𝑚 < 1 𝑖𝑒 ∶ 𝑚 ∈ ]−∞; 1[ 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑙′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑛′𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 EXERCICE II 5pts:

1)a)Vérifier que 2 et –2 sont racines du polynôme P défini par

P(x) = -x5 + 2x

4 + 2x

3 – 7x

2 + 8x – 4

𝑃(2) = −25 + 2 ∗ 24 + 2 ∗ 23 – 7 ∗ 22 + 8 ∗ 2 – 4

= −32 + 32 + 16 − 28 + 16 − 4

𝑃(2) = 0 donc P est une racine de P(x) 𝑃(−2) = −(−2)5 + 2 ∗ (−2)4 + 2(− ∗ 2)3 – 7 ∗ (−2)2 + 8 ∗ (−2) – 4

𝑆 = ]−2;−1 − √5

2[ ∪ ]

−1 + √5

2; 1[

𝑃 = 8 𝑒𝑡 𝑆 = 6 𝑜𝑢 𝑆 = −6

𝑆 = {−2;−1; 1; 2}



78

= 32 + 32 − 16 − 28 − 16 − 4

𝑃(−2) = 0 donc P est une racine de P(x) b) Factoriser ce polynôme

2 et -2 sont racines de P donc P est factorisable par (x-2)(x +2)

Il existe une polynôme Q(x) tel que P(x)= (x-2)(x +2)Q(x) avec d°Q=3

P(x) = -x5 + 2x

4 + 2x

3 – 7x

2 + 8x – 4

Méthode d’Horner

-1 2 2 -7 8 -4

2 X -2 0 4 -6 4

-1 0 2 -3 2 0

-2 X 2 -4 4 -2

-1 2 -2 1 0

𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(−𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 1) = 0

(𝑥 − 2) = 0 𝑜𝑢 (𝑥 + 2) = 0 𝑜𝑢 (– 𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 1) = 0

𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2 (−𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 1) = 0 1 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 −13 + 2 ∗ 1² − 2 ∗ 1 + 1 = 0

−𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑥 − 1

𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥² + 𝑥 − 1 𝑥2 − 2𝑥

−𝑥2 + 𝑥

−𝑥 +1

𝑥 − 1

0

D’où (– 𝑥2 + 𝑥 − 1 )(𝑥 − 1) = 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑥 = 1 𝑜𝑢 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

∆= 1 − 4 = −3 < 0 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛

𝑃𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(– 𝑥2 + 𝑥 − 1 )

2) Résoudre dans IR l’inéquation P(x) 0

𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑃(𝑥) = 0 (𝑥 − 2)(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)(– 𝑥2 + 𝑥 − 1 ) = 0 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 1 𝑜𝑢 – 𝑥2 + 𝑥 − 1 = 0

𝑥 −∞ −2 1 2 +∞

𝑥 − 2 − − − +

𝑥 + 2 − + + +

𝑥 − 1 − − + +

– 𝑥2 + 𝑥 − 1 − + − +

𝑆 = [−2; 1] ∪ [2;+∞[



79

EXERCICE III 5pts:

1) Démontrer que, pour tout nombre réel y :y3 = (

2

2 yy +)

2 – (

2

2 yy )

2 .

(2

2 yy +)

2

– (2

2 yy )

2

=𝑦4 + 2𝑦3 + 𝑦2 − (𝑦4 − 2𝑦3 + 𝑦2)

4=4𝑦3

4= 𝑦3

𝐷′𝑜ù 𝑦3 = (2

2 yy +)

2

– (2

2 yy )

2

2) Soit Q le polynôme défini par Q(y) = (2

2 yy )

2.

3) Démontrer que Q(y + 1) – Q(y) = y3

𝑄(𝑦 + 1)– 𝑄(𝑦) = ((𝑦 + 1)2 − 𝑦 − 1

2)

2

− (𝑦2 − 𝑦

2)

2

=(y2 + 2y + 1 − y − 1)2

4− (

𝑦2 − 𝑦

2)

2

= (y2 + y

2)

2

− (𝑦2 − 𝑦

2)

2

𝐷′𝑜ù 𝑄(𝑦 + 1)– 𝑄(𝑦) = 𝑦3

a) Démontrer que, pour tout entier naturel m2 1

3 + 2

3 + …+m

3 =Q(m + 1) – Q(1)

13 = (12 + 1

2)

2

− (12 − 1

2)

2

= 𝑄(1 + 1)– 𝑄(1)

23 = (22 + 2

2)

2

− (22 − 2

2)

2

= 𝑄(2 + 1) − 𝑄(2)

.

.

.

.

𝑚3 = (m2 +m

2)

2

− (𝑚2 −𝑚

2)

2

= 𝑄(𝑚 + 1) − 𝑄(𝑚)

13 + 23 + …+𝑚3 = 𝑄(1 + 1)– 𝑄(1) + 𝑄(2 + 1) − 𝑄(2) + ⋯+ 𝑄(𝑚 + 1) − 𝑄(𝑚)

13 + 23 + …+𝑚3 = 𝑄(2)– 𝑄(1) + 𝑄(3) − 𝑄(2) + ⋯+ 𝑄(𝑚 + 1) − 𝑄(𝑚)

𝐷′𝑜ù 13 + 23 + …+𝑚3 = 𝑄(𝑚 + 1) − 𝑄(1)

b) En déduire 13 + 2

3 + …+m

3 =

4

)1( 22 mm

13 + 23 + …+𝑚3 = 𝑄(𝑚 + 1) − 𝑄(1) = ((𝑚 + 1)2 −𝑚 − 1

2)

2

− (12 − 1

2)

2



80

=(𝑚2+2𝑚+1−𝑚−1)2−(𝑚2−𝑚)²

4

=(𝑚²+𝑚)2

4

=(𝑚(𝑚+1))

2

4

D’ où 13 + 23 + …+𝑚3 =𝑚²(𝑚+1)²

4

EXERCICE IV 5pts :

Soit P(x) = ))((

))((

))((

))((

))((

))(( 222

bcac

bxaxc

abcb

axcxb

caba

cxbxa

1) Calculer P(a), P(b) et P(c).

𝑃(𝑥) =𝑎2(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐)

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐))+𝑏2(𝑥 − 𝑐)(𝑥 − 𝑎)

(𝑏 − 𝑐)(𝑏 − 𝑎))+𝑐2(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)

(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏))

𝑃(𝑎) =𝑎2(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐)

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐))+𝑏2(𝑎 − 𝑐)(𝑎 − 𝑎)

(𝑏 − 𝑐)(𝑏 − 𝑎))+𝑐2(𝑎 − 𝑎)(𝑎 − 𝑏)

(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏))

𝑃(𝑎) =𝑎2(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐)

(𝑎−𝑏)(𝑎−𝑐))

𝑃(𝑏) =𝑎2(𝑏 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐)

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐))+𝑏2(𝑏 − 𝑐)(𝑏 − 𝑎)

(𝑏 − 𝑐)(𝑏 − 𝑎))+𝑐2(𝑏 − 𝑎)(𝑏 − 𝑏)

(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏))

𝑃(𝑏) =𝑏2(𝑏−𝑐)(𝑏−𝑎)

(𝑏−𝑐)(𝑏−𝑎))

𝑃(𝑐) =𝑎2(𝑐 − 𝑏)(𝑐 − 𝑐)

(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑐))+𝑏2(𝑐 − 𝑐)(𝑥 − 𝑎)

(𝑏 − 𝑐)(𝑏 − 𝑎))+𝑐2(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏)

(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏))

𝑃(𝑐) =𝑐2(𝑐−𝑎)(𝑐−𝑏)

(𝑐−𝑎)(𝑐−𝑏))

2) Soit Q(x) = P(x) – x2 ;

a) Donner trois racines de Q(x).

𝐿𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑄(𝑥)𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑐𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑖 𝑣é𝑟𝑖𝑓𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑄(𝑥) = 0

𝑄(𝑥) = 0

𝑃(𝑥) − 𝑥2 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑃(𝑥) = 𝑥2𝑜𝑟

𝑃(𝑎) = 𝑎² 𝑃(𝑏) = 𝑏² 𝑒𝑡 𝑃(𝑐) = 𝑐² 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑎 ; 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑡𝑟𝑜𝑖𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑄(𝑥) b) En déduire, sans autres calculs, que P(x) = x

2 pour tout nombre réel x racine de Q(x)

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑄(𝑥) 𝑜𝑛 𝑎 𝑄(𝑥) = 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑃(𝑥) − 𝑥2 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑃(𝑥) = 𝑥2

𝑃(𝑎) = 𝑎²

𝑃(𝑏) = 𝑏²

𝑃(𝑐) = 𝑐²



81

Test 3 :

1ère S

Exercice (08 points)

Calculer les limites suivantes :

1) lim𝑥→3√𝑥+1−2

𝑥−3=

√3+1−2

3−3=′′

0

0′′ 𝐹𝐼 levons l’indétermination

lim𝑥→3

√𝑥 + 1 − 2

𝑥 − 3= lim

𝑥→3

(√𝑥 + 1 − 2)(√𝑥 + 1 + 2)

(𝑥 − 3)(√𝑥 + 1 + 2)

= lim𝑥→3

(𝑥 + 1 − 4)

(𝑥 − 3)(√𝑥 + 1 + 2)

= lim𝑥→3

(𝑥 − 3)

(𝑥 − 3)(√𝑥 + 1 + 2)

= lim𝑥→3

1

(√𝑥+1+2)

=1

√2 + 1 + 2=

1

√3 + 2

2) lim𝑥→1𝑥2−1

√(𝑥−1)2=

12−1

√(1−1)2= ′′

0

0′′ FI levons l’indétermination

lim𝑥→1𝑥2−1

√(𝑥−1)2= lim𝑥→1

(𝑥−1)(𝑥+1)

|𝑥−1|=

Signe de 𝑥 − 1

𝑥 −∞ 1 +∞

𝑥 − 1 − +

lim𝑥→1−𝑥2−1

√(𝑥−1)2= lim𝑥→1−

(𝑥−1)(𝑥+1)

−(𝑥−1)= lim𝑥→1− −(𝑥 + 1) = −2

lim𝑥→1+𝑥2−1

√(𝑥−1)2= lim𝑥→1+

(𝑥−1)(𝑥+1)

(𝑥−1)= lim𝑥→1+(𝑥 + 1) = 2

3) lim𝑥→+∞√𝑥2+1−𝑥+2

𝑥+3

{lim𝑥→+∞

√𝑥2 + 1 − 𝑥 + 2 = +∞−∞ 𝐹𝐼

lim𝑥→+∞

𝑥 + 3 = +∞ 𝑙𝑒𝑣𝑜𝑛𝑠 𝑙′𝑖𝑛𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛

Lim𝑥→+∞√𝑥2+1−𝑥+2

𝑥+3= lim𝑥→+∞

(√𝑥2(1+1

𝑥2)−𝑥+2)

(𝑥+3)

lim𝑥→3

√𝑥 + 1 − 2

𝑥 − 3= (√3 − 2)



82

Lim𝑥→+∞√𝑥2+1−𝑥+2

𝑥+3 = lim𝑥→+∞

(|𝑥|√(1+1

𝑥2)−𝑥+2)

(𝑥+3)

= lim𝑥→+∞

𝑥 (√(1 +1𝑥2) − 1 +

2𝑥)

𝑥 (1 +3𝑥)

= lim𝑥→+∞

(√(1 +1𝑥2) − 1 +

2𝑥)

(1 +3𝑥)

=(√(1 + 0) − 1 + 0)

(1 + 0)=1 − 1

1= 0

4) lim𝑥→0𝑥

√𝑥2+1−1= ′′

0

0′′ FI

lim𝑥→0

𝑥

√𝑥2 + 1 − 1= lim

𝑥→0

𝑥(√𝑥2 + 1 + 1)

(√𝑥2 + 1 − 1)(√𝑥2 + 1 + 1)

= lim𝑥→0𝑥(√𝑥2+1+1)

(𝑥2+1−1)

= lim𝑥→0𝑥(√𝑥2+1+1)

𝑥2

= lim𝑥→0

(√𝑥2 + 1 + 1)

𝑥=(2)

0

Good question: ceci nous pousse à chercher les limites à gauche et à

droite en 0 .

lim𝑥→0−

𝑥

√𝑥2 + 1 − 1=2

0−= −∞ 𝑒𝑡 lim

𝑥→0+

𝑥

√𝑥2 + 1 − 1=2

0+= +∞

Problème (12 points)

Soit la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) =𝑥2−2𝑥+3

−𝑥+1 et 𝐶𝑓 sa représentation graphique dans un

repère orthonormé.

1) Calculer les limites aux bornes de son domaine de définition. Interpréter si possible.

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 2𝑥 + 3

−𝑥 + 1 𝑓 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 − 𝑥 + 1 ≠ 0 𝑖𝑒 𝑥 ≠ 1

𝐷𝑓 = ]−∞; 1[ ∪ ]1 + ∞[

lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→−∞𝑥2−2𝑥+3

−𝑥+1= lim𝑥→−∞

𝑥2

−𝑥= lim𝑥→−∞−𝑥 = −∞

Il existe une branche infinie pour Cf

ROI

Mais quelle

infinie ?



83

lim𝑥→1− 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−𝑥2−2𝑥+3

−𝑥+1=

2

0+= +∞

lim𝑥→1+ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+𝑥2−2𝑥+3

−𝑥+1=

2

0−= −∞

La droite d’équation x=1 est une asymptote verticale pour Cf en +∞ 𝑒𝑡 𝑒𝑛 − ∞

2) a) Calculer 𝑓′(𝑥) puis étudier son signe.

𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑥 →𝑥2 − 2𝑥 + 3

−𝑥 + 1 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟 𝐷𝑓 𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑞𝑢𝑒

𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑦𝑛ô𝑚𝑒

𝑓(𝑥) =𝑥2 − 2𝑥 + 3

−𝑥 + 1=(2𝑥 − 2)(−𝑥 + 1) + (𝑥2 − 2𝑥 + 3)

(−𝑥 + 1)²

=−2𝑥2 + 4𝑥 − 2 + 𝑥2 − 2𝑥 + 3

(−𝑥 + 1)2

𝑓′(𝑥) =−𝑥2 + 2𝑥 + 1

(−𝑥 + 1)²

𝑓′𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 −𝑥2 + 2𝑥 + 1

𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 −𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 0

∆= 4 + 4 = 8

𝑥1 =−2 − 2√2

−2= 1 + √2 ; 𝑥1 =

−2 + 2√2

−2= 1 − √2

𝑥 −∞ 1 − √2 1 1 + √2 +∞

𝑓′𝑥) + − − +

𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]−∞; 1 − √2 [ ∪ ]1 + √2;+∞[

𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]1 − √2; 1 [ ∪ ]1; 1 + √2[

b) En déduire le tableau de variation de 𝒇 et préciser ses extrémums.

𝑥 −∞ 1 − √2 1 1 + √2 +∞

𝑓′𝑥) + − − +

𝑓

c) Montrer que 𝒇 est bijective sur l’intervalle 𝑰 = [𝟏 + √𝟐;+∞[ vers un intervalle 𝑱 à

préciser.

𝑆𝑢𝑟 [1 + √2;+∞[ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑡 𝑒𝑠𝑡 𝑠𝑡𝑟𝑖𝑐𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑧𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑜𝑛 𝑐 𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡

𝑏𝑖𝑗𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑑𝑒 𝐼 = [1 + √2;+∞[ 𝑣𝑒𝑟𝑠

𝐽 = 𝑓([1 + √2;+∞[ ) = [𝑓(1 + √2); lim+∞ 𝑓(𝑥)[

𝑓(1 + √2) =(1 + √2)

2− 2(1 + √2) + 3

−(1 + √2) + 1=1 + 2√2 + 2 − 2 − 2√2 + 3

−√2= −

4

√2

+∞

−2√2

+∞ √2



84

𝑓(1 + √2) = −4

√2= −2√2 𝐽 = [−2√2;+∞[

𝑓(1 + √2) = −2√2 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐴(1 + √2;−2√2) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑢𝑚

𝑓(1 − √2) =(1 − √2)

2− 2(1 − √2) + 3

−(1 + √2) + 1=1 − 2√2 + 2 − 2 + 2√2 + 3

−√2=2

√2

𝑓(1 − √2) =2√2

2= √2 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐵(1 − √2; √2) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑚𝑖𝑛𝑖𝑖𝑚𝑢𝑚

3) a) Montrer qu’il existe trois réels 𝒂, 𝒃 𝒆𝒕 𝒄 tels que 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃 +𝒄

−𝒙+𝟏

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 +𝑐

−𝑥 + 1=−𝑎𝑥2 + 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑏 + 𝑐

−𝑥 + 1

𝑥2 − 2𝑥 + 3

−𝑥 + 1=−𝑎𝑥2 + 𝑥(𝑎− 𝑏)+ 𝑏+ 𝑐

−𝑥+ 1

𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑥2 − 2𝑥 + 3 = −𝑎𝑥2 + 𝑥(𝑎 − 𝑏) + 𝑏 + 𝑐

𝑝𝑎𝑟 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑛 𝑎 {1 = −𝑎

−2 = 𝑎 − 𝑏3 = 𝑏 + 𝑐

𝑎 = −1 𝑏 = 1 𝑒𝑡 𝑐 = 2

𝐷′𝑜ù 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1 +2

−𝑥 + 1

b) En déduire que la droite (∆) d’équation 𝒚 = −𝒙 + 𝟏 est asymptote oblique à 𝑪𝒇.

lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥)−𝑦 = lim𝑥→+∞

(−𝑥+ 1+2

−𝑥+ 1)—𝑥+1

= lim𝑥→+∞

2

−𝑥 + 1= 0

𝑑′𝑜ù (∆) :𝑦 = −𝑥 + 1 est asymptote oblique à 𝐶𝑓 .

4) a) Trouver une équation de la tangente (𝑻) à 𝑪𝒇 au point d’abscisse 3 .

(𝑇): 𝑦 = 𝑓′(3)(𝑥 − 3) + 𝑓(3)

𝑓(3) =32 −2 ∗ 3+ 3

−3+ 1=6−2

= −3

𝑓′(3) =−32 + 2 ∗ 3 + 1

(−3 + 1)2= −

2

4= −

1

2

(𝑇): 𝑦 = −3(𝑥 − 3) −1

2= −3𝑥 + 9 −

1

2= −3𝑥 +

17

2

(𝑇): 𝑦 = −3𝑥 +17

2

b) Vérifier que le point 𝛺(1; 0) est un centre de symétrie de la courbe 𝐶𝑓 .

𝑃𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 𝑜𝑛 𝑎 𝑥 ≠ 1 𝑑𝑜𝑛𝑐 − 𝑥 ≠ −1 ; 2 − 𝑥 ≠ 2 − 1; 2 − 𝑥 ≠ 1

2 − 𝑥 ∈ 𝐷𝑓

𝑓(2 − 𝑥) + 𝑓(𝑥) = (2 − 𝑥)2 − 2(2 − 𝑥) + 3

−(2 − 𝑥) + 1+𝑥2 − 2𝑥 + 3

−𝑥 + 1



85

=𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 4 + 2𝑥 + 3

𝑥 − 1−𝑥2 − 2𝑥 + 3

𝑥 − 1

=𝑥2−4𝑥+4−4+2𝑥+3

𝑥−1−𝑥2−2𝑥+3

𝑥−1= 0

= 2 ∗ 0 𝑑′𝑜ù le point 𝛺(1; 0) est un centre de symétrie de la courbe 𝐶𝑓 .

5) Construire la courbe 𝑪𝒇, les asymptotes et la tangente (𝑻) dans un même repère.

Test 4

1ère S

Exercice 1 4 points

Soit g(x)=√𝑥2 + 𝑥 + 1

Déterminer Dg puis calculer les limites de g aux bornes de Dg. Montrer que la courbe de g

admet deux asymptotes obliques D et D’ dont on précisera les équations.

Domaine de définition Dg

g(x)𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑥2 + 𝑥 + 1 ≥ 0 𝑃𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 ∆= 1 − 4 = −3 < 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥2 + 𝑥 + 1 > 0 ∀ 𝑥 ℝ 𝑑′𝑜ù 𝐷𝑔 = ℝ = ]−∞;+∞[ Limites aux bornes

Lim𝑥→−∞ 𝑔(𝑥) = lim𝑥→−∞ √𝑥2 + 𝑥 + 1 = +∞

lim𝑥→+∞

𝑔(𝑥) = lim𝑥→+∞

√𝑥2 + 𝑥 + 1 = +∞

Etude des branches infinies

Lim𝑥→−∞𝑔(𝑥)

𝑥= lim𝑥→−∞

√𝑥2+𝑥+1

𝑥



86

= lim𝑥→−∞

√𝑥2(1+1

𝑥+1

𝑥2)


|𝑥|√(1+1

𝑥+1

𝑥2)

𝑥

= lim𝑥→−∞

−𝑥√(1+1

𝑥+1

𝑥2)

𝑥= lim𝑥→−∞−√(1 +

1

𝑥+

1

𝑥2)

Lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥)

𝑥= −1

lim𝑥→−∞

(𝑔(𝑥) + 𝑥) = lim𝑥→−∞

(√𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥)

= lim𝑥→−∞

(√𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥)(√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥)

√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥

= lim𝑥→−∞(𝑥2+𝑥+1−𝑥2)

√𝑥2+𝑥+1−𝑥 = lim𝑥→−∞

𝑥+1

√𝑥2+𝑥+1−𝑥

lim𝑥→−∞

(𝑔(𝑥) + 𝑥) = lim𝑥→−∞

𝑥 (1 +1𝑥)

√𝑥2 (1 +1𝑥+1𝑥2) − 𝑥

= lim𝑥→−∞

𝑥 (1 +1𝑥)

|𝑥|√(1 +1𝑥+1𝑥2) − 𝑥

= lim𝑥→−∞

𝑥 (1 +1𝑥)

−𝑥√(1 +1𝑥+1𝑥2) + 𝑥

= lim𝑥→−∞

𝑥 (1 +1𝑥)

−𝑥√(1 +1𝑥+1𝑥2) − 𝑥

= lim𝑥→−∞

−(1 +1𝑥)

√(1 +1𝑥+1𝑥2) + 1

=−1

2

𝐿𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑑′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (𝐷): 𝑦 = 𝑥 −1

2 est une asymptote oblique pour Cf en −∞.

Lim𝑥→+∞𝑔(𝑥)

𝑥= lim𝑥→+∞

√𝑥2+𝑥+1

𝑥

= lim𝑥→+∞

√𝑥2(1+1

𝑥+1

𝑥2)


|𝑥|√(1+1

𝑥+1

𝑥2)

𝑥

= lim𝑥→+∞

𝑥√(1+1

𝑥+1

𝑥2)

𝑥= lim𝑥→+∞√(1 +

1

𝑥+

1

𝑥2)

Lim𝑥→−∞

𝑔(𝑥)

𝑥= 1

lim𝑥→+∞

(𝑔(𝑥) − 𝑥) = lim𝑥→+∞

(√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥)

= lim𝑥→+∞

(√𝑥2 + 𝑥 + 1 − 𝑥)(√𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥)

√𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥

= lim𝑥→+∞(𝑥2+𝑥+1−𝑥2)

√𝑥2+𝑥+1+𝑥 = lim𝑥→+∞

𝑥+1

√𝑥2+𝑥+1+𝑥

= lim𝑥→+∞

𝑥 (1 +1𝑥)

√𝑥2 (1 +1𝑥+1𝑥2) + 𝑥

= lim𝑥→+∞

𝑥 (1 +1𝑥)

|𝑥|√𝑥2 (1 +1𝑥+1𝑥2) + 𝑥



87

= lim𝑥→+∞

𝑥 (1 +1𝑥)

−𝑥√(1 +1𝑥+1𝑥2) + 𝑥

= lim𝑥→+∞

𝑥 (1 +1𝑥)

−𝑥√(1 +1𝑥+1𝑥2) + 𝑥

= lim𝑥→+∞

(1 +1𝑥)

√(1 +1𝑥+1𝑥2) + 1

=1

2

𝐿𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑑′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (𝐷′): 𝑦 = 𝑥 +1

2 est une asymptote oblique pour Cf en +∞.

Exercice 2 12 points

On considère la fonction f définie par : 𝑓(𝑥) = {

𝑥2+𝑥−2

𝑥+3 𝑠𝑖 𝑥 < 1

−2√𝑥² − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

1) Déterminer Df puis calculer les limites de f aux bornes de Df.

𝑠𝑖 𝑥 < 1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓1(𝑥) =𝑥2 + 𝑥 − 2

𝑥 + 3 𝑓1 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑥 + 3 ≠ 0 𝑖𝑒: 𝑥 ≠ −3

𝐷𝑓1 = ]−∞; 1[ ∩ (]−∞;−3[ ∪ ]−3;+∞[) = ]−∞;−3[

𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1 𝑎𝑙𝑜𝑟𝑠 𝑓1(𝑥) = −2√𝑥2 − 1 𝑓2 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑥

2 − 1 ≥ 0

𝐷𝑓2 = (]1;+∞[) ∩ (]−∞;−1[ ∪ ]1;+∞[) = ]1;+∞[

2)a)Etudier la continuité de f en1

𝑓(1) = −2√1² − 1 = 0

Lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−

𝑥2 + 𝑥 − 2

𝑥 + 3=12 + 1 − 2

1 + 3= 0

𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 1 à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒

Lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

−2√𝑥2 −1 = −2√12 −1 = 0

𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 1 à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 𝑃𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 1

b) Etudier la dérivabilité de f en 1.Interpréter vos résultats.

Lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1−

𝑥2 + 𝑥 − 2𝑥 + 3 − 0

𝑥 − 1= lim

𝑥→1−

𝑥2 + 𝑥 − 2

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1)

= lim𝑥→1−

(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = lim

𝑥→1−

(𝑥 + 2)

(𝑥 + 3)=3

4 ∈ ℝ

𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 𝑒𝑛 1

Lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1+

−2√𝑥2 −1− 0𝑥 − 1

= lim𝑥→1+

−2√𝑥2−1(𝑥 − 1)

= lim𝑥→1+

−2(𝑥² − 1)

(𝑥 − 1)√𝑥2−1 = lim

𝑥→1+

−2(𝑥 + 1)

√𝑥2 −1=−4

0+= −∞

𝑓 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 1

𝐷𝑓 = ]−∞;−3[ ∪ ]1;+∞[



88

𝑃𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑓 𝑛′𝑒𝑠𝑡𝑝𝑎𝑠 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑛 1 Interprétation

Lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1=3

4

𝐶𝑓 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑′é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑦 = 𝑓𝑔′(1)(𝑥 − 1) + 𝑓(1)

𝑦 = (3

4𝑥 −

3

4) + 0 (𝑇): 𝑦 =

3

4𝑥 −

3

4

Lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1= −∞

𝐶𝑓 𝑎𝑑𝑚𝑒𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑟𝑖𝑔é𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑠 𝑙𝑒 𝑏𝑎𝑠

3)a) Calculer f’(x) pour x< 1 et pour x> 1.

𝐿𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑥 →𝑥2 + 𝑥 − 2

𝑥 + 3 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟]−∞;−3[∪ ]−3;+∞[

𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑖𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑟 ]−∞; 1[

𝑓′(𝑥) =(2𝑥 + 1)(𝑥 + 3) − 1(𝑥2 + 𝑥 − 2)

(𝑥 + 3)2=2𝑥2 + 7𝑥 + 3 − 𝑥2 − 𝑥 + 2

(𝑥 + 3)2

𝑓′(𝑥) =𝑥2 + 6𝑥 + 5

(𝑥 + 3)2 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]−∞;1[

𝐿𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑥 → −2√𝑥2−1 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑟]−∞;−1[∪ ]1;+∞[ 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑠𝑢𝑟 ]1; +∞[

𝑓′(𝑥) = −2 (2𝑥

2√𝑥2−1 ) 𝑓′(𝑥) = −

2𝑥

√𝑥2−1

b) Etudier le signe de f’(x) puis établir le tableau de variation de f.

𝑠𝑢𝑟 ]−∞;1[ 𝑓′𝑒𝑠𝑡 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑥2 + 6𝑥 + 5

𝑝𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0 ∆= 36 − 20 = 16

𝑥1 =−4 − 4

2= −4 𝑒𝑡 𝑥2 =

−4 + 4

2= 0

𝑥 −∞ −4 0 +∞

𝑥2 + 6𝑥 + 5 + − +

𝑓′(𝑥) > 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]−∞;−4[ ∪ ]0;+∞[ 𝑒𝑡 𝑓′(𝑥) < 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]−4; 0[

𝑓′(𝑥) = −2𝑥

√𝑥2 −1 < 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]1;+∞[ 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑑é𝑐𝑟𝑜𝑖𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒

𝑓′(𝑥) = −2𝑥

√𝑥2 −1 < 0 ∀ 𝑥 ∈ ]1;+∞[



89

𝑥 −∞ − 4 −3 −1 0 1 +∞

𝑓′(𝑥) + − − − + −

𝑓

4)a)Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique ∆ en -∞ .

lim𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→−∞𝑥2+𝑥−2

𝑥+3= −∞

lim𝑥→−∞𝑓(𝑥)


𝑥2+𝑥−2

𝑥(𝑥+3)= lim𝑥→−∞

𝑥2

𝑥²= lim𝑥→−∞ 1 = 1

lim𝑥→−∞(𝑓(𝑥) − 𝑥) = lim𝑥→−∞ (𝑥2+𝑥−2

𝑥+3− 𝑥) = lim𝑥→−∞ (

𝑥2+𝑥−2−𝑥²−3𝑥

𝑥+3)

= lim𝑥→−∞

(−2𝑥 − 2

𝑥 + 3) == lim

𝑥→−∞2 = 2

𝐷′𝑜ù (∆): 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 (𝐶𝑓)

b) Etudier la position de (Cf) par rapport à ∆ sur ]−∞ ; 𝟏[

𝑓(𝑥) − 𝑦 =𝑥2 + 𝑥 − 2

𝑥 + 3− 𝑥 − 2 =

𝑥2 + 𝑥 − 2 − 𝑥2 − 5𝑥 − 6

𝑥 + 3=−4𝑥 − 8

𝑥 + 3

−4𝑥 − 8

𝑥 + 3= 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 − 4𝑥 − 8 = 0 ; 𝑥 = −2

𝑥 −∞ −3 − 2 +∞

−4𝑥 − 8 + + −

𝑥 + 3 − + + −4𝑥 − 8

𝑥 + 3

− + −

𝑓(𝑥) − 𝑦 > 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]−∞ ;−2[ (𝐶𝑓)𝑒𝑠𝑡 𝑎𝑢 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑢𝑠 𝑑𝑒 ∆

𝑓(𝑥) − 𝑦 > 0 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]−2 ; 1[ (𝐶𝑓)𝑒𝑠𝑡 𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑑𝑒 ∆

𝒄)Montrer que (Cf) admet une asymptote oblique D en +∞

lim𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = lim𝑥→+∞−2√𝑥² − 1 = −∞

Lim𝑥→+∞𝑓(𝑥)


−2√𝑥2−1


−2𝑥√1−1

𝑥2

𝑥= lim𝑥→+∞−2√1 −

1

𝑥2 = −2

Lim𝑥→+∞(𝑓(𝑥) + 2𝑥) = lim𝑥→+∞(−2√𝑥2 − 1 + 2𝑥)

= lim𝑥→+∞

(−2√𝑥2 − 1 + 2𝑥)(−2√𝑥2 − 1 − 2𝑥)

(−2√𝑥2 − 1 − 2𝑥)

= lim𝑥→+∞

(4(𝑥2 − 1) − 4𝑥2)

(−2√𝑥2 − 1 − 2𝑥)

= lim𝑥→+∞−4

𝑥(−2√1−1

𝑥2 −2)

= 0

𝐷′𝑜ù (𝐷): 𝑦 = −2𝑥 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑎𝑠𝑦𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑒 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 (𝐶𝑓) d) Etudier la position de (Cf) par rapport à D sur [𝟏;+∞[

𝑓(𝑥) − 𝑦 = −2√𝑥2 − 1 + 2𝑥 > 0

0

5

9

10

−∞

+∞

−∞ −∞



90

𝐸𝑛 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡 {(2√𝑥2 − 1 )² = 4𝑥² − 4

(2𝑥)2 = 4𝑥²

4𝑥² − 4 < 4𝑥² d’où 2√𝑥2 − 1 < 2𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑐 − 2√𝑥2 − 1 + 2𝑥 > 0

Cf est au dessus de (D) sur [1; +∞[ Exercice 3 4 points

Soit h(x)=𝑎𝑥+𝑏

𝑥2+2𝑥−3

1) Déterminer Dh.

ℎ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑥2 + 2𝑥 − 3 ≠ 0 ∆= 4 + 12 = 16

𝑥1 =−2 − 4

2= −3 𝑒𝑡 𝑥1 =

−2 + 4

2= 1

𝐷ℎ = ]−∞;−3[ ∪ ]−3; 1[ ∪ ]1;+∞[

2) Déterminer les réels a et b pour que Ch passe par le point A(𝟎 ; −𝟐

𝟑) 𝒆𝒕 𝒂𝒅𝒎𝒆𝒕𝒕𝒆

𝑒𝑛 𝑐𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟é𝑙𝑙𝑒, à 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 (𝐷) : y=2x+1

Ch passe par le point A(0 ; −2

3) 𝑑𝑜𝑛𝑐 ℎ(0) = −

2

3 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒

𝑎∗0+𝑏

0+0−3= −

2

3

𝐷′𝑜ù 𝑏 = 2

Ch admet au 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐀 (𝟎 ; −𝟐

𝟑) 𝑢𝑛𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑟é𝑙𝑙𝑒, à 𝑙𝑎 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 (𝐷) : y=2x+1

𝑆𝑜𝑖𝑡 (𝑇)𝑐𝑒𝑡𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 (𝑇): 𝑦 = ℎ′(0)(𝑥 − 0) + ℎ(0)

(𝑇) ∥ (𝐷)𝑑𝑜𝑛𝑐 ℎ′(0) = 2

h′(x) =𝑎(𝑥2 + 2𝑥 − 3) − (2𝑥 + 2)(𝑎𝑥 + 𝑏)

(𝑥2 + 2𝑥 − 3)2=−𝑎𝑥2 − 2𝑏𝑥 − 3𝑎 − 2𝑏

𝑥2 + 2𝑥 − 3

h′(0) =−𝑎 ∗ 02 − 2𝑏 ∗ 0 − 3𝑎 − 2𝑏

02 + 2 ∗ 0 − 3= 2 𝑖𝑒 ∶

−3𝑎 − 2𝑏

−3= 2

−3𝑎 − 2 ∗ 2 = −6 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 − 3𝑎 = −2 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑎 =2

3 𝒃 = 𝟐 𝒆𝒕 𝒂 =

𝟐

𝟑

Test 5: 1ère S

Exercice 1 10points

Dans ct exercice toutes les questions sont indépendantes.

1) Calculer les limites suivantes lorsqu’elles existent.

𝑎) lim𝑥→+∞(2𝑥2 − 𝑥 − 𝑥3) = lim𝑥→+∞−𝑥

3 = −∞

𝑏) lim𝑥→−∞

√4𝑥2 + 1

3𝑥 − 1= lim

𝑥→−∞

−𝑥 (√4 +1𝑥2)

𝑥 (3 −1𝑥)

= lim𝑥→−∞

−(√4 +1𝑥2)

(3 −1𝑥)

= −2

3

𝑐) lim𝑥→1+

𝑥2 + 2𝑥 − 3

√𝑥2 − 1= lim

𝑥→1+

(𝑥2 + 2𝑥 − 3)(√𝑥2 − 1)

(√𝑥2 − 1)²= lim

𝑥→1+

(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(√𝑥2 − 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)



91

= lim𝑥→1+(𝑥+3)(√𝑥2−1)

(𝑥+1)= 0

𝑑) lim𝑥→+∞

(𝑥 − 3 − √𝑥3 + 2𝑥) = lim𝑥→+∞

(𝑥 − 3 − √𝑥3 + 2𝑥)(𝑥 − 3 − √𝑥3 + 2𝑥)

(𝑥 − 3 − √𝑥3 + 2𝑥)

= lim𝑥→+∞−𝑥3+𝑥2−8𝑥+9

(𝑥−3+√𝑥3+2𝑥)= lim𝑥→+∞

𝑥²(−𝑥+1−8

𝑥+9

𝑥²)

(𝑥−3+𝑥²√1+2

𝑥3)

= lim𝑥→+∞𝑥2(−𝑥+1−

8𝑥+9

𝑥2)

𝑥2(1𝑥−3

𝑥2+√1+

2

𝑥3) = −∞

2) Soit f la fonction définie par :f(x)={𝒂 + √−𝒙 𝒔𝒊 𝒙 < −1𝟑𝒙 − 𝒃 𝒔𝒊 𝒙 > −1𝟕 𝒔𝒊 𝒙 = −𝟏

.

𝑫é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆𝒓 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒇 𝒔𝒐𝒊𝒕 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒆 𝒆𝒏 − 𝟏. f continue en − 1 ssi lim

𝑥→1+𝑓(𝑥) = lim

𝑥→1−𝑓(𝑥) = 𝑓(1) = 7

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

𝟑𝒙 − 𝒃 = 3 − 𝑏 = 7 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑏 = −4

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−

𝒂 + √−𝒙 = 𝑎 + 1 = 7 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑎 = 6

3) Soit 𝟐𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟑

(𝒙−𝟏)(𝒙−𝟐). 𝑫é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒓é𝒆𝒍𝒔 𝒂 , 𝒃 𝒆𝒕 𝒄 𝒕𝒆𝒍𝒔 𝒒𝒖𝒆 ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇

𝑔(𝑥) = 𝑎 +𝑏

𝑥 − 1+

𝑐

𝑥 − 2.

𝑔(𝑥) = 𝑎 +𝑏

𝑥−1+

𝑐

𝑥−2=

𝑎(𝑥−1)(𝑥−2)+𝑏(𝑥−2)+𝑐(𝑥−1)

(𝑥−1)(𝑥−2) =

𝑎(𝑥2−3𝑥+2)+𝑏𝑥−2𝑏+𝑐𝑥−𝑐

(𝑥−1)(𝑥−2)

=𝑎𝑥2 − 3𝑎𝑥 + 2𝑎 + 𝑏𝑥 − 2𝑏 + 𝑐𝑥 − 𝑐

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

2𝑥2 − 4𝑥 + 3

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)=𝑎𝑥2 + (−3𝑎 + 𝑏 + 𝑐)𝑥 + 2𝑎 − 𝑐 − 2𝑏

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)

𝑝𝑎𝑟 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑜𝑛 𝑎 {𝒂 = 𝟐 (1)

−3𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = −42𝑎 − 𝑐 − 2𝑏 = 3 (3)

(2)

De (2)−6 + 𝑏 + 𝑐 = −4 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑏 = 2 − 𝑐

(3) devient 4 − 𝑐 − 4 + 2𝑐 = 3 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝐜 = 𝟑 𝑒𝑡 𝑏 = 2 − 3 = −1 ; 𝒃 = −𝟏

𝑃𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑔(𝑥) = 2 +−1

𝑥 − 1+

3

𝑥 − 2

4) Soit h la fonction définie par h(x)= {√ 𝒙𝟑

𝒙−𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≤ 𝟎

𝒙+𝟏

𝒙𝟐−𝟏𝒔𝒊 𝒙 > 0

𝑫é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆𝒓 𝒍𝒆 𝒅𝒐𝒎𝒂𝒊𝒏𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒉



92

𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 ℎ1(𝑥) = √𝒙𝟑

𝒙 − 𝟏ℎ1 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 {

𝑥3

𝑥 − 1≥ 0

𝑥 − 1 ≠ 0

{𝑥3

𝑥 − 1≥ 0

𝑥 ≠ 1

𝑥 −∞ 0 1 +∞

𝑥3 − + +

𝑥 − 1 − − +

𝑥3

𝑥 − 1

+ − +

𝐷ℎ1 = (]−∞; 0] ∪ ]1;+∞[) ∩ ]−∞; 0] = ]−∞; 0]

𝑠𝑖 𝑥 > 0 ℎ2(𝑥) = 𝒙 + 𝟏

𝒙𝟐 − 𝟏ℎ2 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑥

2 − 1 ≠ 0 𝑖𝑒 𝑥 ≠ 1 𝑒𝑡 𝑥 ≠ −1

𝐷ℎ1 = ]0; 1[ ∪ ]1;+∞[

𝐷ℎ = ]−∞; 0] ∪ ]0; 1[ ∪ ]1;+∞[

𝑫𝒉 = ]−∞; 𝟏[ ∪ ]𝟏;+∞[ Exercice 2 6 points

𝑶𝒏 𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒇(𝒙) =√𝟏−𝒙+√𝟏+𝒙

√𝟏+𝒙−√𝟏−𝒙 𝟏)𝑫é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆𝒓 𝑫𝒇

𝑓 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 {𝟏 − 𝒙 ≥ 𝟎𝟏 + 𝒙 ≥ 𝟎

√𝟏 + 𝒙 − √𝟏 − 𝒙 ≠ 𝟎

𝑠𝑠𝑖 {𝒙 ≤ 𝟏𝒙 ≥ −𝟏

√𝟏 + 𝒙 ≠ √𝟏 − 𝒙

𝑠𝑠𝑖 {𝒙 ∈ ]−∞; 𝟏]

𝒙 ∈ [−𝟏;+∞[𝟏 + 𝒙 ≠ 𝟏 − 𝒙

{𝒙 ∈ [−𝟏; 𝟏]𝑥 ≠ 0

𝒅′𝒐ù 𝑫𝒇 = [−𝟏; 𝟎[ ∪ ]𝟎; 𝟏]

𝟐)𝑴𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆𝒓 𝒒𝒖𝒆 ∀ 𝒙 ∈ 𝑫𝒇 𝒇(𝒙) =𝟏 + √𝟏 − 𝒙²

𝒙 . 𝑬𝒏 𝒅é𝒅𝒖𝒊𝒓𝒆 𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟏−

𝒇(𝒙) − 𝒇(𝟏)

𝒙 − 𝟏

𝑓(𝑥) =√1 − 𝑥 + √1 + 𝑥

√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥=(√1 − 𝑥 + √1 + 𝑥)(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)

(√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥)(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)

=(1 + 𝑥 + 1 − 𝑥 + 2√(1 + 𝑥)(1 − 𝑥))

1 + 𝑥 − (1 − 𝑥)

=2+2√1−𝑥2

2𝑥 𝒅′𝒐ù 𝒇(𝒙) =

𝟏+√𝟏−𝒙²

𝒙

𝒇(𝟏) =𝟏 + √𝟏 − 𝟏²

𝟏= 𝟏

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1−

1 + √1 − 𝑥²𝑥 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1−

1 + √1 − 𝑥² − 𝑥

𝑥(𝑥 − 1)

= lim𝑥→1−√1−𝑥2−(𝑥−1)

𝑥(𝑥−1)= lim𝑥→1−

(√1−𝑥2−(𝑥−1))(√1−𝑥2+(𝑥−1))

𝑥(𝑥−1)(√1−𝑥2+(𝑥−1))



93

= lim𝑥→1−

((1 − 𝑥2) − (𝑥² − 2𝑥 + 1))

𝑥(𝑥 − 1) (√1 − 𝑥2 + (𝑥 − 1))

= lim𝑥→1−

2𝑥(𝑥 − 1)

𝑥(𝑥 − 1) (√1 − 𝑥2 + (𝑥 − 1))

= lim𝑥→1−

2

(√1 − 𝑥2 + (𝑥 − 1))

=2

0

√1 − 𝑥2 + (𝑥 − 1) ≥ 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 1 − 𝑥2 ≥ 𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 2𝑥(𝑥 − 1) ≥ 0

𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1

𝑥 −∞ 0 1 +∞

2𝑥² − 2𝑥 + − +

𝑑′𝑜ù lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) − 𝑓(1)

𝑥 − 1=20−= −∞

Exercice 3 4 points

𝑆𝑜𝑖𝑡 𝑔 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑é𝑓𝑖𝑛𝑖𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑔(𝑥) =

{

√𝑥3

𝑥− 2 𝑠𝑖 𝑥 < 0

1

𝑥2 + 1+

1

𝑥2 − 𝑥𝑠𝑖 𝑥 > 0

0 𝑠𝑖 𝑥 = 0

𝐸𝑡𝑢𝑑𝑖𝑒𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡é 𝑑𝑒 𝑔 𝑒𝑛 0 .

𝑔(0) = 0

lim𝑥→0−

𝑔(𝑥) = lim𝑥→0−

√𝑥3

𝑥− 2 = lim

𝑥→0−

−𝑥√𝑥

𝑥− 2 = lim

𝑥→0−−√𝑥 − 2 = −2

𝑔 𝑛’𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 0 à 𝑔𝑎𝑢𝑐ℎ𝑒 .

lim𝑥→0+

𝑔(𝑥) = lim𝑥→0+

1

𝑥2 + 1+

1

𝑥2 − 𝑥= 1 = −2

lim𝑥→0+1

𝑥2+1= 1 lim𝑥→0+

1

𝑥2−𝑥=

1

0=

𝑥2 − 𝑥 = 0 𝑑𝑜𝑛𝑛𝑒 𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = 1

𝑥 −∞ 0 1 +∞

𝑥² − 𝑥 + − +

lim𝑥→0+

1

𝑥2 − 𝑥=1

0−= −∞



94

lim𝑥→0+

𝑔(𝑥) = 1 −∞ = −∞

𝑔 𝑛’𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 0 à 𝑑𝑟𝑜𝑖𝑡𝑒 .

𝑃𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝑔 𝑛’𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑒 𝑒𝑛 0.

Exercice 1 6 points

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :

𝑓(𝑥) =𝑥2+1

𝑥2(1−𝑥2) 𝑓 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑥2(1 − 𝑥2) ≠ 0 ; 𝑥2 ≠ 0 𝑒𝑡 (1 − 𝑥2) ≠ 0

𝑥 ≠ 0 𝑒𝑡 𝑥 ≠ 1 𝑒𝑡 𝑥 ≠ −1 𝐷 𝑓 = ℝ − {−1; 0; 1} 𝒐𝒖 𝑫𝒇 = ]−∞;−𝟏[ ∪ ]−𝟏; 𝟎[ ∪ ]𝟎; 𝟏[ ∪ ]𝟏;+∞[

𝑔(𝑥) = √𝑥2 + 3𝑥 + 2 𝑔 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑥2 + 3𝑥 + 2 ≥ 0 𝑃𝑜𝑠𝑜𝑛𝑠 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 ∆= 9 − 8 = 1

𝑥 =−3 − 1

2= −2 𝑜𝑢 𝑥 =

−3 + 1

2= −1

𝑥 −∞ −2 − 1 +∞

𝑥2 + 3𝑥 + 2 + − +

𝑫𝒈 = ]−∞;−𝟐[ ∪ ]−𝟏;+∞[

ℎ(𝑥) =𝑥−1+|𝑥−3|

𝑥−3 ℎ 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑥 − 3 ≠ 0 𝑠𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3 𝐷𝑓 = ℝ − {3}

𝑜𝑢 𝐷𝑓 = ]−∞; 3[ ∪ ]3;+∞[

𝑘(𝑥) = 𝑥√𝑥3

𝑥−1 𝑘 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 {

𝑥3

𝑥−1≥ 0

𝑥 − 1 ≠ 0 {

𝑥

𝑥−1≥ 0

𝑥 ≠ 1

𝑥 −∞ 0 1 +∞

𝑥 − + +

𝑥 − 1 − − + 𝑥

𝑥 − 1 + − +

𝑫𝒌 = ]−∞; 𝟎[ ∪ ]𝟏;+∞[ 5

13

2)(

x

xxL ;

L1(x) = (2 + x

x − √3)5

L1 existe ssi x − √3 ≠ 0 ; x ≠ √3

𝐃L1 = ℝ − {√𝟑} = ]−∞;√𝟑[ ∪ ]√𝟑;+∞[

L2(x) = |x +1

x| L2 existe ssi x ≠ 0 DL2 = ℝ− {0} = ]−∞; 𝟎[ ∪ ]𝟎;+∞[

Test 6 : 1ère S



95

Exercice 2 4 points

Soit f : IR IR

x 54

12 xx

a. Calculer f( 4- x ) 2 pts

𝑓( 𝑥) =1

𝑥2 − 4𝑥 + 5

𝑓( 4 − 𝑥) =1

(4 − 𝑥)2 − 4(4 − 𝑥) + 5

=1

16−4𝑥+𝑥²−16+4𝑥+5=

1

𝑥2+5

𝑓( 4 − 𝑥) =1

𝑥2 + 5

b. En déduire que la courbe C représentative de f dans un repère orthogonal admet

un centre de symétrie. 2 pts

𝑓( 4 − 𝑥) + 𝑓(𝑥) =1

𝑥2 + 5+

1

𝑥2 − 4𝑥 + 5=(𝑥2 − 4𝑥 + 5)(𝑥2 + 5)

(𝑥2 + 5)(𝑥2 − 4𝑥 + 5)= 1 = 2 ∗

1

2

𝑓( 4 − 𝑥) + 𝑓(𝑥) = 2 ∗1

2 𝑑′𝑜ù 𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡 𝐴 (2;

1

2) 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑦𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑒 .

Exercice 3 6 points

On pose 23)(1

)(

2

xxhetx

xxT

1) Calculer l’image de -5 par la fonction T. 1 pt

On pose 𝑇(−5) =(−5)2

(−5)−1=

25

−6= −

25

6

2) Déterminer l’expression explicite de hoT(x). 1 , 5 pt

ℎ𝑜𝑇(𝑥) = 3(𝑥2

𝑥 − 1) − 2 =

3𝑥2 − 2𝑥 + 2

𝑥 − 1

2) Déterminer la période de f(x) = cos (7x + ) puis de g(x) = sin2x cosx. 2 pts

𝑓(𝑥 + 2𝜋) = cos(7𝑥 + 𝜋 + 2𝜋) = cos(7𝑥 + 𝜋) 𝑑′𝑜ù 𝑓 (𝑥)𝑒𝑠𝑡 2𝜋 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒

𝑔(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑖𝑛2(𝑥 + 2𝜋) cos(𝑥 + 2𝜋) = sin(2𝑥 + 4𝜋) cos(𝑥 + 2𝜋) = sin2xcosx

𝑑′𝑜ù 𝑔(𝑥)𝑒𝑠𝑡 2𝜋 𝑝é𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑞𝑢𝑒

4) On donne f : IR + IR

x 3423 xxx

Déterminer tous les antécédents de -1 par f 1,5 pt

Il suffit de résoudre 𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 3 = −1

𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 0 ; (2)3 − (2)2 − 4(2) + 4 = 8 − 4 − 8 + 4 = 0



96

𝑑𝑜𝑛𝑐 2 𝑒𝑠𝑡 𝑢𝑛𝑒 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒 é𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒

Méthode d’horner

1 −1 −4 4

2

2 2 −4

1 1 −2 0

𝑥3 − 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = (𝑥 − 2)(𝑥2 + 𝑥 − 2) = 0

(𝑥2 + 𝑥 − 2) = 0

∆= 1 + 8 = 9

𝑥1 =−1−3

2= −2 ; 𝑥1 =

−1+3

2= 1

𝐿𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡é𝑐é𝑑𝑒𝑏𝑡𝑠 𝑑𝑒 − 1 𝑝𝑎𝑟 𝑓 𝑠𝑜𝑛𝑡 − 2 ; 2 𝑒𝑡 1

Exercice 4 3 points

Indiquer en justifiant votre réponse la parité de chaque fonction :

On donne 21

)(;)(;2sin)(x

xxxxxxxx

.

𝜂(𝑥) = 𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝐷𝑓 = ℝ ; ∀𝑥 ∈ ℝ − 𝑥 ∈ ℝ 𝑒𝑡 𝑓(−𝑥) = −𝑥𝑠𝑖𝑛(−2𝑥) = 𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑑′𝑜ù 𝑓 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒

𝛽(𝑥) = 𝑥√𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0 𝐷𝑓 = [0;+∞[ ∀𝑥 ∈ [0;+∞[ ; −𝑥 ∉ [0;+∞[ 𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒 𝛽 𝑛′𝑒𝑠𝑡 𝑛𝑖 𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑛𝑖 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒

∅(𝑥) =𝑥

1 + 𝑥2 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠𝑠𝑖 1 + 𝑥² ≠ 0 𝑡𝑜𝑢𝑗𝑜𝑢𝑟𝑠 𝑣𝑟𝑎𝑖𝑒 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐷∅ = ℝ

∀𝑥 ∈ ℝ − 𝑥 ∈ ℝ 𝑒𝑡 𝑓(−𝑥) =−𝑥

1 + (−𝑥)2= −

𝑥

1 + 𝑥2

𝑑′𝑜ù∅𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟𝑒 .

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