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Mathématiques SN. Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES. Réalisé par : Sébastien Lachance. 3 nouveaux rapports trigonométriques. Mathématiques SN - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES -. 1. cosec . COSÉCANTE :. =. sin . 1. SÉCANTE :. sec . =. cos . 1. cotan . COTANGENTE :. =. - PowerPoint PPT Presentation
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Mathématiques Mathématiques SNSN
Les Les IDENTITÉSIDENTITÉSTRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES
Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance
3 3 nouveaux nouveaux rapportsrapports trigonométriquestrigonométriques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
sinsin
11==coseccosec COSÉCANTE :COSÉCANTE :
SÉCANTE :SÉCANTE :
COTANGENTE :COTANGENTE :
coscos
11==secsec
tantan
11==cotancotan
Les 3 Les 3 identitésidentitéstrigonométriquestrigonométriques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
11
P(P() = ( , )) = ( , )xx yy
xx
yy
cos cos sin sin
Par Pythagore :Par Pythagore :
xx22 + + yy22 = 1 = 122
Donc :Donc :
coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1
IDENTITÉ IDENTITÉ ## 11
coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1
À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :
IDENTITÉ IDENTITÉ ## 22
coscos22 coscos22 coscos22
1 + tan1 + tan22 = sec = sec22
RAPPELRAPPEL
coscos
11== sec sec
sin sin
11== cosec cosec
tan tan
11== cot cot
À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :
coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1
IDENTITÉ IDENTITÉ ## 33
sinsin22 sinsin22 sinsin22
cotcot22 + 1 = cosec + 1 = cosec22
Ex. #1 :Ex. #1 : DémontrerDémontrersecsec22
11++
coseccosec22
11== 11
11++
11== 11
coscos22
11sinsin22
11
++ == 11coscos22 sinsin22
== 1111Ce symbole signifie que la Ce symbole signifie que la démonstration est terminée !démonstration est terminée !
On peut aussi écrire On peut aussi écrire CQFDCQFD ((cce e qqu’il u’il ffallait allait ddémontrer).émontrer).
Ex. #2 :Ex. #2 : DémontrerDémontrer cos x cos x tan x = sin x tan x = sin x
== sin xsin xcos x cos x cos xcos xsin xsin x
== sin xsin xsin xsin x
Ex. #3 :Ex. #3 : SimplifierSimplifier (1 + tan(1 + tan22x) cosx) cos22xx
(sec(sec22x) cosx) cos22xx
coscos22xx11 coscos22xx
11
Ex. #4 :Ex. #4 : DémontrerDémontrer tantan22x – tanx – tan22x sinx sin22x = sinx = sin22xx
tantan22x (1 – sinx (1 – sin22x) = sinx) = sin22xx
tantan22x (cosx (cos22x) = sinx) = sin22xx
(cos(cos22x) = sinx) = sin22xxcoscos22xxsinsin22 x x
sinsin22x = sinx = sin22xx
Ex. #5 :Ex. #5 : DémontrerDémontrer – – sin x = cot x cos xsin x = cot x cos x
sin xsin x11
– – sinsin22x = cot x cos xx = cot x cos x
sin xsin x11
sin xsin x
1 – sin1 – sin22x = cot x cos xx = cot x cos x
sin xsin x
coscos22x = cot x cos xx = cot x cos x
sin xsin x
coscos x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x
sin xsin x
cotcot x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x
Résolutions d’équationsRésolutions d’équations à l’aide d’identités à l’aide d’identités trigonométriquestrigonométriques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
Exemple : Exemple : Résoudre sin x = 2 cosRésoudre sin x = 2 cos22x – 1x – 1
sin x = 2 (1 – sinsin x = 2 (1 – sin22 x) – 1 x) – 1
sin x = 2 – 2 sinsin x = 2 – 2 sin22 x – 1 x – 1
sin x = -2 sinsin x = -2 sin22 x + 1 x + 1
0 = -2 sin0 = -2 sin22 x – sin x + 1 x – sin x + 1
Exemple : Exemple : Résoudre sin x = 2 cosRésoudre sin x = 2 cos22x – 1x – 1
sin x = 2 (1 – sinsin x = 2 (1 – sin22 x) – 1 x) – 1
sin x = 2 – 2 sinsin x = 2 – 2 sin22 x – 1 x – 1
sin x = -2 sinsin x = -2 sin22 x + 1 x + 1
0 = -2 sin0 = -2 sin22 x – sin x + 1 x – sin x + 1 Posons sin x = Posons sin x = aa . .
Il faut donc résoudre :Il faut donc résoudre :
0 = -20 = -2aa22 – – aa + 1 + 1
aa11 = =
1122
etet aa22 = -1 = -1
sin xsin x11 = = 1122
etet sin xsin x22 = -1 = -1
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
6677
4455
44 33
6655
4433
22 33
661111
4477
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Exemple : Exemple : Résoudre sin x = 2 cosRésoudre sin x = 2 cos22x – 3x – 3
sin x = 2 (1 – sinsin x = 2 (1 – sin22 x) – 3 x) – 3
sin x = 2 – 2 sinsin x = 2 – 2 sin22 x – 3 x – 3
sin x = 2 sinsin x = 2 sin22 x – 1 x – 1
0 = 2 sin0 = 2 sin22 x + sin x – 1 x + sin x – 1 Posons sin x = Posons sin x = aa . .
Il faut donc résoudre :Il faut donc résoudre :
0 = 20 = 2aa22 + + aa – 1 – 1
aa11 = =
1122
etet aa22 = -1 = -1
sin xsin x11 = = 1122
etet sin xsin x22 = -1 = -1
66
xx11 = = 5566
xx11 = = etet
11-1-1
11
-1-1
yy
xx
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11
P( ) = ( , )P( ) = ( , )2222
2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )
2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11--
--P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )2222
2222-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11-- --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11 --
P( ) = ( , )P( ) = ( , )2222
2222--
P( ) = ( , )P( ) = ( , )22
3322
11--
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )
P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )
P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )
66
44
33
6677
4455
44 33
6655
4433
22 33
661111
4477
55 33
33 22
22
P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22
00
Exemple : Exemple : Résoudre sin x = 2 cosRésoudre sin x = 2 cos22x – 3x – 3
sin x = 2 (1 – sinsin x = 2 (1 – sin22 x) – 3 x) – 3
sin x = 2 – 2 sinsin x = 2 – 2 sin22 x – 3 x – 3
sin x = 2 sinsin x = 2 sin22 x – 1 x – 1
0 = 2 sin0 = 2 sin22 x + sin x – 1 x + sin x – 1 Posons sin x = Posons sin x = aa . .
Il faut donc résoudre :Il faut donc résoudre :
0 = 20 = 2aa22 + + aa – 1 – 1
aa11 = =
1122
etet aa22 = -1 = -1
sin xsin x11 = = 1122
etet sin xsin x22 = -1 = -1
xx22 = = etet
P = P = 22| | bb | |
22| 1 || 1 |
==
PériodePériode
= 2= 266
xx11 = = 5566
xx11 = = etet
Réponse :Réponse :
x x + 2 + 2n , + 2n , + 2n , n , + + 22n n où n où n 66
5566
3322
3322
Autres Autres identités identités trigonométriquestrigonométriques
Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --
sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))
Somme de Somme de uu et et vv
cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))
tan (tan (uu + + vv) = tan() = tan(uu) + tan() + tan(vv))
1 – tan(1 – tan(uu) tan() tan(vv))
sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))
Somme de Somme de uu et et vv
cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))
Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément sin ( = , calculer précisément sin (uu + + vv) .) .44
33
sin ( + ) = sin ( + ) = 44
33
sin ( )sin ( )44
cos ( )cos ( )33
++ sin ( )sin ( )33
cos ( )cos ( )44
sin ( ) = sin ( ) = 771212
( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( ) 2222
3322
1122
2222
sin ( ) = sin ( ) = 771212
( )( ) ++ ( )( ) 2244
6644
sin ( ) = sin ( ) = 771212
+ 2 + 2
6644
tan (tan (uu + + vv) = tan() = tan(uu) + tan() + tan(vv))
1 – tan(1 – tan(uu) tan() tan(vv))
2244
sin (sin (uu – – vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(vv) cos() cos(uu))
Différence entre Différence entre uu et et vv
cos (cos (uu – – vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(uu) sin() sin(vv))
Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément cos ( = , calculer précisément cos (uu – – vv) .) .3344
2233
cos ( – ) = cos ( – ) = 3344
2233
cos ( )cos ( )3344
cos ( )cos ( )2233
++ sin ( )sin ( )3344
sin ( )sin ( )2233
cos ( ) = cos ( ) = 1212
( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( )- 2- 222
- 1- 122
3322
2222
cos ( ) = cos ( ) = 1212
( )( ) ++ ( )( ) 2244
6644
+ 6 + 6
cos ( ) = cos ( ) = 1212
tan (tan (uu – – vv) = tan() = tan(uu) – tan() – tan(vv))
1 + tan(1 + tan(uu) tan() tan(vv))
