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Méthodes non-linéaires appliquées à la dynamique

des structures avec contacts

Jean-Jacques Sinou Journée CSMA « contact et dynamique » - Jeudi 3 Avril 2008 – Ecole Centrale de Nantes

Ecole Centrale de Lyon

Laboratoire de Tribologie et Dynamique des Systèmes UMR CNRS 5513

Equipe Dynamique, Durabilité, Fiabilité - Groupe Dynamique des Structures et des Systèmes

http://ltds.ec-lyon.frhttp://d2s.ec-lyon.fr

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Intégration temporelle⇒ Temps de calcul prohibitif

Méthodes de réduction (variétes, approximants,…) Modes non-linéaires complexes

Balance harmonique,…

Systèmes non-linéaires avec interfaces frottantes

Mécanismes avec contactet jeux de fonctionnement

Structures avec desjonctions complexes,…

Méthodes classiques Méthodes non-linéaires

Préambule

Dynamique des structures

Compréhension du comportement dynamique non-linéaire

Régime « stationnaire », réponses à excitations multiples,vibrations auto-entretenues,…

Structures avec contacts et interfaces non-linéaires

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Deux exemples de résultats de recherche

• Thématique n°1Dynamique non-linéaire des systèmes tournants avec roulements

Régimes périodiques et quasi-périodiques

• Thématique n°2 Dynamique non-linéaire des systèmes avec interfaces frottantes

Stabilité et vibrations stationnaires auto-entretenues

Conclusions

Cadre général

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Systèmes mono et bi-rotors

Partenariat LTDS - Safran/secteur Dynamique D’Ensemble

Roulements non-linéaires: contact de Hertz, jeu radial

Thème n°1: dynamique non-linéaire des rotors

Rotor HPRotor BP

1- ExemplesThématique 1

2- Conclusion

ENSEMBLEENSEMBLE

Rotor BP

Banc DDE mono-rotor

Banc DDE bi-rotors

ROTOR BP

STATOR

ROTOR HP

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Modélisation

• Dissymétrie tournante– Joint d’accouplement

• Roulement non-linéaire– Cinématique et géométrie des billes

– Contact de Hertz + jeu radial sur chaque bille

Mono-rotor: modélisation non-linéaire

Système mono-rotor non-linéaire

1- ExemplesThématique 1

2- Conclusion

( ) ( )k cage billesθ t =ω t+2π k-1 /N

( )3 2k k H k

k k

∆ > : Q K ∆ -∆ < : Q 0

/δ = δ

δ =

balourdsgravité

Roulement non-linéaire

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 3 icos 2ωt sin 2ωt t, , ,+ +ω + + + + = + + ω θNLMx C G x K K K K x Q W f x

Dissymétrie tournante

balourdsgravité

Roulement non-linéaire

( ) ( ) ( )( ) ( )1 2 3 icos 2ωt sin 2ωt t, , ,+ +ω + + + + = + + ω θNLMx C G x K K K K x Q W f x

Dissymétrie tournante

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Balance harmonique

• Approximation de la réponse non-linéaire

• Equation dynamique non-linéaire (pour n=1,…,H)

• Contribution des termes non-linéaires: passages fréquentiel/temporel

Dynamique non-linéaire

Gravité Composantes NLDissymétriesContact - Jeu

Balourds

1- ExemplesThématique 1

2- Conclusion

( ) ( ) ( )( )H

0 n nn=1

t cos nωt sin nωt= + +∑x B B A

( )( )

Wn 1 1

Q Wn 0 0 n 1

2n

nn

fnf2

1

n n 0

n n=

= =

⎡ ⎤⎡ ⎤ δ⎢ ⎥+⎢

⎡ ⎤− ω − ω ⎡ ⎤⎢ ⎥ = +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦− ω − ω⎣⎥

δ ⎢ ⎥⎢ ⎥ δ⎣

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎦⎦ ⎦ ⎣ ⎦ ⎥⎣

K SM D ABD CM

S

K C C

( ) ( ) ( )( )H

f fn n

n=0

t cos nωt sin nωt, ,ω = +∑NLf x C S

( ) ( )1

fFFT FFTn n

fn ¨n 1,...,H n ¨n 1,...,H

St t

C

−

= =

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎯⎯⎯→ → ⎯⎯⎯→ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

NLNL

AX x f F

B

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• Partition sur les interfaces non-linéaires de contact (roulement)

• Substitution sur les interfaces non-linéaires

⇒ Interaction directe roulement-balourd sur l’ordre 1, indirecte pour l’ordre n⇒Contribution des non-linéarités de contact sur les ordres n pour l’élément

« roulement »⇒ Influence du contact sur la réponse globale par substitution

Dynamique non-linéaire1- ExemplesThématique 1

2- Conclusion

n 1

cc cu c c W fn n n n n 1 1 nTuc uu u u W fn n n 1 n 1 1 n=

=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦δ

Θ Θ X F S SΨ

Θ Θ X F C C

Q f0 00= +KB C COrdre 0 :

Ordres n :c=«non-linéaire»u=«linéaire» n 1

cc cu c c W fn n n n n 1 1 nTuc uu u u W fn n n 1 n 1 1 n=

=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤δ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦δ

Θ Θ X F S SΨ

Θ Θ X F C C

Q f0 00= +KB C COrdre 0 :

Ordres n :c=«non-linéaire»u=«linéaire»

( ) ( )|nl |nl |nl |nl |nl |nl,ω = + +NL 0r X Λ X F X F

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Résultats

A BC D

1- ExemplesThématique 1

2- Conclusion

A

B

Réponse non-linéaire

Contacts• Contacts continus « fond de roulement »

9/21

Résultats1- ExemplesThématique 1

2- Conclusion

Réponse non-linéaire

Contacts• Contacts continus « fond de roulement »• Contacts intermittents

A BCD

C

10/21

Résultats1- ExemplesThématique 1

2- Conclusion

A BC D

Montée

Descente

Réponse non-linéaire

Contacts• Contacts continus « fond de roulement »• Contacts intermittents• Sauts et solutions multiples

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Modélisation• 5 roulements non-linéaires:

– 3 sur le rotor BP: n°3–4-5– 1 sur le rotor HP: n°1– 1 à l’inter-arbre: n°2

Méthode non-linéaire• Balance harmonique bi-dimensionnelle

• Equation du mouvement dans le domaine fréquentiel

Bi-rotors: modélisation non-linéaire

1 2 3 54

1- ExemplesThématique 1

2- Conclusion

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )BP HP BP HP BP HP BP HP i, , , , ,+ ω ω + ω ω + = + ω + ω + ω ω θdys NLMx D x K K x Q W W f x

balourds BP et HPgravité Roulements non-linéairesContact de Hertz + jeu

Dissymétries tournantes

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )BP HP BP HP BP HP BP HP i, , , , ,+ ω ω + ω ω + = + ω + ω + ω ω θdys NLMx D x K K x Q W W f x

balourds BP et HPgravité Roulements non-linéairesContact de Hertz + jeu

Dissymétries tournantes

( ) ( ) ( ) ( )H H

cos sini,j 1 2 i,j 1 2

i=-H j=-Ht cos i +j cos i +j t= τ τ + τ τ =∑∑x U U T U i iω tτ =avec( ) ( ) ( ) ( )

H Hcos sini,j 1 2 i,j 1 2

i=-H j=-Ht cos i +j cos i +j t= τ τ + τ τ =∑∑x U U T U i iω tτ =avec

( )22 2

mm=1 n=1 m n m

, , ,⎛ ⎞∂ ∂

= ω + + + + +⎜ ⎟∂τ ∂τ ∂τ⎝ ⎠∑ ∑ NL

Y Yr U Y M D KY Y f Y Q W

N= ⊗Y T I2 2 T

1 2 1 2 1 20 0d d,

π π= τ τ∫ ∫X X X Xavec et

( )22 2

mm=1 n=1 m n m

, , ,⎛ ⎞∂ ∂

= ω + + + + +⎜ ⎟∂τ ∂τ ∂τ⎝ ⎠∑ ∑ NL

Y Yr U Y M D KY Y f Y Q W

N= ⊗Y T I2 2 T

1 2 1 2 1 20 0d d,

π π= τ τ∫ ∫X X X Xavec etN= ⊗Y T I

2 2 T1 2 1 2 1 20 0

d d,π π

= τ τ∫ ∫X X X Xavec et

12/21*Résultats de thèse: M. Guskov, 2007, collaboration Snecma-Moteur.

Réponses non-linéaires

Influence du jeu de roulement

(0,2)

(1,0)

(0,1)

(2,0)

Résultats expérimentaux

Calculs numériques*

Résultats

Ordre (ω1,ω2)

Contact non-linéaire et jeu*

Contact roulement

1- ExemplesThématique 1

2- Conclusion

13/21

Deux exemples de résultats de recherche

• Thématique n°1Dynamique non-linéaire des systèmes tournants avec roulements

Régimes périodiques et quasi-périodiques

• Thématique n°2 Dynamique non-linéaire des systèmes avec interfaces frottantes

Stabilité et vibrations stationnaires auto-entretenues

Conclusions

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Thème n°2: stabilité des systèmes frottantsContexte

• Stabilité et dynamique des systèmes non-linéaires avec frottement • Freins aéronautique et automobile

Objectifs• Prédictions du comportement « instable » des systèmes• Estimation des amplitudes non-linéaires: « cycles limites »• Quelle méthode non-linéaire suivant le niveau de complexité ?

1- ExemplesThématique 2

2- Conclusion

Conception Intégration

Fonc

tion

Org

ane

Piè

ce

TempsFabrication

Test véhicule complet

Test système de freinage

Modèle de conception

Modèle de développement

Modèle « phénoménologique »

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Démarche globale

Modélisation non-linéaireStructure, contacts, non-linéarités,…

Etude de stabilitéEquilibres statiques non-linéairesAnalyse aux valeurs propres du

système linéarisé

Equilibresstables

Equilibres instables

Optimisation des systèmesModifications des paramètres physiques,

matériaux, géométrie, contacts,…

Niveaux acceptables

Conception validée

A

1- ExemplesThématique 2

2- Conclusion

Méthodes non-linéairesRéduction du système

Approximation de la réponse…

Dynamique non-linéaireIntégration temporelle

⇒Temps de calcul prohibitif

Niveaux élevés

A

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Contacts et pertes de contacts*• Évolution des positions statiques • Contacts permanents ou intermittents

Stabilité

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.81930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020

2030

2040

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.81930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

2010

2020

2030

2040

Coefficient de frottement normé

Fréq

uenc

e (H

z) InstableStable

1- ExemplesThématique 2

2- Conclusion

Parie

sré

elle

s no

rmée

s

Coefficient de frottement normé

Fréquence (Hz)

InstableStable

A

B

B

A

*Résultats de thèse: G. Fritz, 2007, thèse CIFRE Renault.

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Méthode de la variété centrale étendue• Réduction du nombre de degrés de liberté

• Simplification des termes NL par approximants fractionnels multivariables

Cas A: Modèles phénoménologiques

Au voisinage du point de bifurcation

de Hopf!!

1- ExemplesThématique 2

2- Conclusion

Proche de µ0« Loin » de µ0

Hypothèse de contact permanent

( ) 1 22 0 0

ˆ ˆavec , .p pm

i j lc c

p i j l j lv v

= + + = = =

= = ∑ ∑∑s c ijlv h v aµ µ( ) ( )ˆ ˆ. , ,

ˆ 0

= +⎧⎪⎨

=⎪⎩

c c c c sv J v G v vµ µ

µ

( ) ( )ˆ ˆ. , ,= +s s s c sv J v G v vµ µ

( ) 1 22 0 0

ˆ ˆavec , .p pm

i j lc c

p i j l j lv v

= + + = = =

= = ∑ ∑∑s c ijlv h v aµ µ( ) ( )ˆ ˆ. , ,

ˆ 0

= +⎧⎪⎨

=⎪⎩

c c c c sv J v G v vµ µ

µ

( ) ( )ˆ ˆ. , ,= +s s s c sv J v G v vµ µ

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Modes complexes non-linéaires/HBM sous contraintes• Approximation de la solution non-linéaire

• Suivi du mode complexe non-linéaire instable

Balance harmonique condensée• Fréquence inconnue • Passages fréquentiel/temporel

• Réduction sur les inconnues non-linéaires

Contrainte sur la condition de stationnarité

• Linéarisation équivalente• Suivi de la solution non-linéaire « temporelle divergente »

Cas B: modèles avec perte de contact 1- ExemplesThématique 2

2- Conclusion

( ) ( ) ( )( )H

0 2j-1 2jj=1

t cos jωt sin jωt= + +∑x X X X

( ) ( )λt λtt p e e= +z ψ ψ

( ) ( )1FFT FFTt t

−

⎯⎯⎯→ → ⎯⎯⎯→NL NLX x f F

( ) ( )|nl |nl |nl |nl |nl |nl,ω = + −NL 0r X Λ X F X F

( ) ( )1FFT FFTt t

−

⎯⎯⎯→ → ⎯⎯⎯→NL NLX x f F

( ) ( )|nl |nl |nl |nl |nl |nl,ω = + −NL 0r X Λ X F X F

( ) ( )≡ +NLz = Jz + g z J J' z( )( )Max Re λ < ε

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RésultatsCycles limites*

Intérets• Phénomènes de contacts et pertes de contacts• Loin du point de bifurcation• Fréquence inconnue• Gain en temps de calcul (HBM=30 sec.)

Limitations• Cycles limites stationnaires recherchés• Modèles « simplifiés »

* Résultats de thèse: N. Coudeyras, thèse CIFRE PSA.

Interfacesfrottantes

1- ExemplesThématique 2

2- Conclusion

Proche de µ0 « Loin » de µ0

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Deux exemples de résultats de recherche

• Thématique n°1Dynamique non-linéaire des systèmes tournants avec roulements

Régimes périodiques et quasi-périodiques

• Thématique n°2 Dynamique non-linéaire des systèmes avec interfaces frottantes

Stabilité et vibrations stationnaires auto-entretenues

Conclusions

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Conclusion

Apports de la prise en compte des contacts et non-linéarités• Meilleure description du comportement vibratoire

– des systèmes tournantes mono et bi-rotors– des systèmes frottants

• Non-linéaire ≠ « modélisation trop complexe » des systèmes• Définitions de critères « avancés » pour la conception des systèmes

Développements de méthodes non-linéaires• Gain en temps de calcul ⇒ outil utilisable pour l’optimisation des structures …• Interactions non-linéaires ⇒ compréhension, définitions de critères,…

Limitations - perspectives• Notions des régimes stationnaires uniquement• Aller vers une modélisation physique «plus juste » • Prise en compte des dispersions/incertitudes• Aspects expérimentaux en parallèle pour validation

1- Exemples2- Conclusion