MILIEUX FERROMAGNETIQUES - PrépaBellevue

Cours n_p_ : EM dans la matière page 1/28

MILIEUX FERROMAGNETIQUES

Matière charges liées

déplacements d’ordre de grandeur = dimension de l’atome

(0,1 nm)

Interaction avec ( B,E

) contribution aux propriétés électriques et

magnétiques de l’espace à travers les phénomènes de polarisation et

d’aimantation du milieu

Moyenne spatiale et temporelle accès au champ électromagnétique de

l’espace.

Limitation du programme étude des matériaux réagissant très fortement à

l’application d’un champ magnétique extérieur = matériaux ferromagnétiques,

qui constituent, entre autres, les aimants permanents

I . AIMANTATION D’UN MILIEU MATERIEL :

1) Aimant permanent :

Cours d’électromagnétisme

examen des cartes de champ de différents aimants

pôles de l’aimant : le champ sort de l’aimant par le pôle nord et rentre dans

l’aimant par le pôle sud

analogie de la carte de champ magnétique d’un aimant droit, à grande

distance, avec celle d’un dipôle électrostatique et avec celle d’une spire :

définition du moment dipolaire (en A.m2) de l’aimant, assimilé à une

petite spire de rayon R, parcourue par un courant i :

« Petite » car on examine les effets de la spire ou de l’aimant à une distance

r>>R

Lignes de champ

magnétique aimant Lignes de champ

magnétique spire

Lignes de champ

électrique dipôle


créé par le dipôle dans son environnement en un point M tel que r>>R :

indépendant de φ : symétrie de révolution

des lignes de champ autour de l’axe du dipôle.

Ordres de grandeur :

système Spin

électron

Terre Spire circulaire

R= 5cm, i = 1A

Aimant

usuel

(A.m2) 10

-24 10

23 10-3

10

B(T) 10-5

(à 10-8

m) 10

-5 mT 0,1 à 1

2) Actions subies par un dipôle dans un champ magnétique extérieur :

Interaction aimant / :

Moment :

Positions d’équilibre de l’aimant :

θ = 0 : aligné avec , de même sens

θ = π : aligné avec , de sens opposé

Ces deux positions se distinguent par leur stabilité.

Un champ extérieur a donc tendance à aligner le dipôle dans le même sens

que lui (application : la boussole)

Energie potentielle d’interaction :

stabilité évoquée plus haut : Ep minimale pour θ=0 (équilibre stable),

maximale pour θ=π (équilibre instable)

Force :

Sens de rotation de

l’aimant


puisque constant (dipôle rigide). un champ uniforme n’a aucun effet vis-à-vis de la translation d’un

aimant

un champ non uniforme a tendance à attirer le dipôle vers les zones de

champ intense

Application : dessiner en justifiant la force s’exerçant sur l’aimant dans le

dessin ci-dessous :

Solution :

avec F>0 car B(x) croissante.

x

x


II. EQUATIONS DE MAXWELL DANS LES MILIEUX

MAGNETIQUES DANS L’ARQS :

1) Aimantation d’un milieu magnétique :

Vecteur aimantation = moment dipolaire magnétique par unité de volume

du matériau

Si le volume dτ porte le moment dipolaire δ alors :

Déterminer l’unité de .

Solution :

L’unité de est l’A.m-1

.

Ampère a suggéré, pour expliquer les propriétés magnétiques de la matière,

l’existence de petites boucles de courant au sein du matériau.

Inexact : on sait aujourd’hui que le magnétisme est une conséquence des

moments magnétiques quantiques de spin.

Mais modèle des courants volumiques équivalents utile pour une description

classique des propriétés magnétiques des matériaux

On admet que le phénomène d’aimantation peut être décrit par la densité

volumique de courant équivalente :

Exercice :

Montrer que la dimension de est bien compatible avec celle d’une

distribution volumique de courant.

Solution :

OK

2) Equation de Maxwell Ampère :

Montrer que la généralisation de l’équation de Maxwell Ampère correspond à

la prise en compte de tous les courants existant dans le matériau, courant de

charges libres ou liées, conduit à l’expression suivante :

Avec excitation magnétique :


Quelle est la dimension de ?

Solution :

On définit un nouveau vecteur noté excitation magnétique :

de même dimension que = celle d’une densité surfacique de courant

(A.m-1

)

L’équation de Maxwell Ampère prend alors une forme très simple :

3) Forme intégrée des équations de Maxwell utiles pour l’étude des

matériaux magnétiques :

Maxwell Gauss : div

inchangée, mais ne sert pas car le matériau

magnétique est électriquement neutre

Maxwell Thomson : div inchangée conservation du flux de comme dans un matériau non magnétique

Maxwell Faraday :

inchangée loi de Faraday

toujours applicable

Maxwell Ampère et théorème d’Ampère :

Le théorème d’Ampère s’applique donc à :

La circulation le long d’un contour fermé orienté de l’excitation magnétique

est égale au courant libre orienté qui traverse le contour .

Remarques :

Les courants libres apparaissent comme la source de l’excitation

magnétique .


sources de = courants électriques libres +

aimantation

III. MATERIAUX FERROMAGNETIQUES :

1) Qu’est ce que le ferromagnétisme ?

Propriétés magnétiques = conséquences de l’existence d’électrons

célibataires dans les molécules constituant le milieu, et de leurs spins

quantiques associés

Certains matériaux possédant des électrons célibataires sont le siège

d’interaction très fortes entre moments dipolaires voisins à l’échelle

mésoscopique, existence de zones aimantées (domaines de Weiss de taille

caractéristique entre 0,1 mm et 1 mm) séparées par des parois (parois de

Bloch)

Rôle des parois : transition dans l’orientation du moment magnétique de

chaque grain

Ces matériaux sont dits ferromagnétiques.

Corps simples ferromagnétiques = fer, cobalt, nickel

Certains oxydes de ces métaux et certains alliages (à base ou non de ces

métaux) possèdent aussi des propriétés ferromagnétiques (ex magnétite :

Fe3 O4)

Les propriétés ferromagnétiques disparaissent au-delà d’une température

appelée température de Curie Tc :

matériau Fe Co Ni

Tc (K) 1043 1388 627


Echelle macroscopique : même au dessous de la température de

Curie, le matériau peut ne présenter aucune aimantation (moment

dipolaire de chacun des domaines orienté au hasard) matériau alors

désaimanté (voir figure ci-dessus)

2) Action du champ magnétique sur un milieu ferromagnétique :

Matériau ferromagnétique soumis à une excitation magnétique extérieure

acquiert une aimantation très élevée, rémanente (si on enlève l’excitation,

l’aimantation est conservée)

L’énergie apportée par l’excitation extérieure aide à l’alignement des dipôles

de chaque grain de matière (domaine de Weiss), au mouvement puis à la

disparition des parois les séparant (parois de Bloch). On obtient un seul bloc :

on a atteint l’aimantation maximale possible ou aimantation à saturation.

Opération non réversible quand H élevé : la reconstruction des grains

nécessite une énergie que l’agitation thermique est insuffisante à fournir le

matériau reste aimanté quand l’excitation cesse (aimantation rémanente)

opération d’aimantation menée à son terme non réversible

courbe de réponse du système = cycle, appelé cycle d’hystérésis

3) Cycle d’hystérésis d’un matériau ferromagnétique :

Montage (à connaître) pour le tracé du cycle étudié ultérieurement dans la

leçon sur le transformateur.

Milieu ferromagnétique milieu linéaire : la courbe de réponse à une

excitation , soit )H(M

n’est ni une droite, ni une ellipse, mais forme un

cycle appelé cycle d’hystérésis du matériau

H).H(M m

m = susceptibilité magnétique du matériau, fonction de l’excitation H


Sa valeur maximale est plusieurs milliards de fois supérieure à celle d’un

matériau non ferromagnétique : le matériau ferromagnétique réagit avec une

grande intensité à l’application d’une excitation magnétique.

Quand on place un matériau

ferromagnétique au cœur d’une

bobine (dite alors à noyau de fer), on

lit sur la figure ci contre que le

champ résultant sera beaucoup plus

intense que celui de la bobine seule

Expliquer cette lecture.

Solution : lignes de champ plus resserrées sur le schéma de droite champ

plus intense

Analyse des courbes et composées

Cycle d’hystérésis Courbe de première

aimantation

Bsat

Msat

- Msat

- Bsat


De la courbe de première aimantation : cas où le matériau est

désaimanté ( ou = 0 pour = ), et augmente

M augmente saturation à la valeur Msat (matériau complètement

aimanté)

B augmente saturation à la valeur Bsat proche de 1 T, car :

si atteint

= droite de pente µ0 = 4π.10-7

très faible… donc quasi nulle

Du cycle d’hystérésis : si à partir de cette valeur de M = Msat , on

diminue H, la courbe décrite ne reprend pas la courbe de première

aimantation, mais décrit un cycle

*Pour H =0 (plus d’excitation), le matériau reste aimanté, avec M = Mr

(aimantation rémanente) et B = Br (champ magnétique rémanent)

fabrication d’aimants permanents

* Pour obtenir une aimantation ou un champ magnétique nul : il faut

appliquer une excitation égale à –Hc, Hc = excitation coercitive

* Matériaux ferromagnétiques utilisés pour canaliser les lignes de champ à

l’intérieur d’un bobinage

Exemple : Tore d’un transformateur où le matériau ferromagnétique permet le

meilleur couplage entre les bobinages primaire et secondaire

4) Milieux magnétiques doux et durs :

Suivant l’allure de leur cycle d’hystérésis :

Classement des matériaux ferromagnétiques en deux catégories :

ferromagnétiques doux / durs

Ferromagnétiques doux : cycle d’hystérésis étroit, Hc faible, se désaimantent

spontanément quand l’excitation cesse

Ferromagnétiques durs : cycle très large, valeur élevée de Hc, restent aimantés

en l’absence d’excitation

Aire du cycle d’hystérésis caractéristique de l’énergie dissipée par unité

de volume du matériau quand il est soumis à une excitation alternative

cycles étroits bien adaptés pour une utilisation avec une excitation

alternative (moteurs électriques, transformateur) quand on désire un bon

rendement

Aire du cycle pour un aimant permanent = énergie stockée par unité de

volume sous forme magnétique

plus l’aire sera grande, plus l’aimant est puissant


Matériau

Doux

Dur

Hc limites

<100 A.m-1

>104 A.m

-1

utilisation

Noyaux de bobines, de

transformateur, tôles de

moteurs, électroaimants

Aimants permanents de très

forte puissance

cycle

Etroit

Large

Exemples

Permalloy

Ferrite doux

(céramiques)

Neodyme

Fer Bore

Alnico

Composi-

tion

Alliage

Fe (15 %)

Ni (80 %)

Oxydes

MgOFe2O3

ZnOFe2O3

Alliage

Fe, Ne, B

Alliage

Fe, Al, Ni, Co

Hc (A.m-1)

0,16 10 1,5.106

105

Br (T) 1,2 0,4 1,3 1,25


5) Modélisation linéaire des milieux ferromagnétiques doux :

Zone centrale du cycle (matériau non saturé)

Cycle très étroit peut être confondu avec la courbe de première

aimantation, donc assimilable à une droite

réponse du matériau linéaire :

HM m

. ( constante)

µ =µ0 (1+χm)=µ0 µr (coefficient de proportionnalité) = perméabilité du

matériau (même dimension que µ0)

Déterminer cette dimension.

Solution :

µ= µ0 µr avec µr sans dimension la perméabilité relative du matériau

Ordre de grandeur pour le Permalloy : µr = 105

On retient :

Pour un matériau ferromagnétique doux non saturé, la relation liant la réponse

du matériau à l’excitation est linéaire : avec µ0

=4π.10-7

H.m-1

perméabilité du vide, µ perméabilité du matériau et µr

perméabilité relative du matériau.

Equation de Maxwell Ampère:

Zone où on assimile le cycle à

la droite qui passe par O

(linéarisation), de pente µ.

B(T)

H


théorème d’Ampère applicable dans un milieu ferromagnétique doux de la

même façon que dans le vide, en remplaçant µ0 par µ0µr

IV CIRCUITS MAGNETIQUES

1) Bobine à noyau de fer doux modélisé linéairement :

N = nombre de spires parcourue par le

courant I, bobinées sur la longueur d, R

le rayon des spires

Fil de cuivre de la bobine enroulé autour

d’un noyau de fer doux le calcul du

champ par le théorème d’Ampère se

fait de la façon suivante :

Effets de bords négligés (bobine de longueur d>>R rayon d’une spire)

hors de la bobine (tracé lignes de champ très évasées prouvant

que le champ extérieur est << champ interne)

Déterminer le champ interne à la bobine, son inductance propre, l’énergie

stockée et la densité d’énergie correspondante. Comparer à la bobine sans

noyau de fer.

Solution :

Etude des symétries identique à celle réalisée dans le cas d’une bobine

dans le vide

Théorème d’Ampère sur le contour de longueur l orienté :

en un point M intérieur au fer B uniforme :

Inductance propre de la bobine :

z


Inductance de la bobine multipliée par µr>>1

énergie stockée par la bobine plus importante :

Densité d’énergie électromagnétique associée :

Energie magnétique stockée dans le milieu ferromagnétique doux, non

saturé :

2) Forme des lignes de champ dans un circuit magnétique :

Analogie entre circuit électrique et magnétique :

Circuit électrique : la force électromotrice fait circuler un courant I,

flux du vecteur densité de courant électrique Circuit magnétique : le courant = force magnétomotrice qui fait

circuler un flux magnétique, flux du champ magnétique à travers la

section du circuit ferromagnétique

Le matériau ferromagnétique canalise les lignes de champ, donc

empêche les fuites des lignes de champ hors du matériau :

Calcul du flux de à travers une

section d’un tube de champ confiné

dans le matériau ferromagnétique,

de longueur lfer :

Lignes de champ confinéesdans le tore

Lignes de champ fuyant le tore


Idem à travers une section d’un tube de champ qui fuit hors du matériau

ferromagnétique, de longueur l assimilée à la longueur de la partie du tube se

trouvant dans l’air lair :

Dans un modèle simplifié, on peut admettre que les lignes de champ sont

parfaitement canalisées par le matériau ferromagnétique

Analyse avec les lois de passage :

BN1=BN2 et Ht1=Ht2 en l’absence de courants libres surfaciques

pour l’interface air (milieu 1)/fer (milieu 2) :

Les lignes de champ se rapprochent de la surface dans le matériau.

air

fer


Circuit magnétique torique fermé (sans entrefer):

Modèle simplifié lignes de champ

parfaitement confinées dans le tore

Circuit électrique alimenté avec une tension

sinusoïdale

u(t)=U cos(ωt)

En négligeant les pertes par effet Joule dans

le fil de cuivre :

sinusoïdal

Mais :

Non linéarité du matériau forme non

sinusoïdale pour le courant I

I lié à H par le théorème d’Ampère

appliqué sur un contour circulaire de

longueur moyenne l :

Hl=NI.

B connu on en déduit H avec le cycle

d’hystérésis, donc I à un coefficient

multiplicatif près

I(t) non sinusoïdal : matériau non linéaire

Exemple de circuit avec entrefer : Electroaimant

Electroaimant = circuit magnétique alimenté par une bobine enroulée autour

d’un matériau ferromagnétique

Circuit magnétique interrompu par une ou plusieurs zones = entrefer

But de l’électroaimant :

soit maintenir un champ magnétique élevé dans l’entrefer (cas de gauche

de la figure ci dessous)

soit réaliser le levage d’une pièce ferromagnétique (cas de droite)

u(t)


S = section du circuit magnétique

l =longueur moyenne du circuit magnétique

Constatation expérimentale : tant que e << largeur caractéristique du circuit

magnétique ( , les lignes de champ sortent du circuit magnétique

orthogonalement à l’interface avec l’entrefer

Si l’entrefer devient plus grand évasement des lignes de champ, l’air

canalisant moins bien le champ que le fer

Dans le cas où on peut supposer les lignes de champ parfaitement canalisées

dans l’entrefer : section S du tube de champ = constante

En utilisant la conservation du flux de et le théorème d’Ampère, calculer le

champ dans le fer et l’entrefer.

Solution :

Conservation du flux de

v

i

N

i

N

v

entrefer

v e

i

N

i

N

v


Théorème d’Ampère sur un contour moyen de longueur l + e (l dans

le fer et e dans l’entrefer :

Hypothèse : matériau ferromagnétique doux modélisé par une relation linéaire

Comme µr 105>>1 :

3) Etude des pertes énergétiques (Joule, Hystérésis, Courants de

Foucault):

Exemple d’une bobine :

N spires enroulées autour d’un circuit

magnétique de section S

alimentée par une tension alternative

u(t) = U cos(ωt).

Energie électrique non utilisée intégralement

convertie en pertes que nous cherchons à spécifier

En utilisant la loi des mailles et le théorème

d’Ampère, établir un bilan énergétique montrant les deux types de pertes :

Pertes cuivre :

Pertes par hystérésis :

ou dA est l’aire

élémentaire sous le cycle B(H)

Solution :

Loi des mailles : u(t) = Ri-e =

Théorème d’Ampère sur le contour de longueur l : Hl = Ni

Pendant l’intervalle de temps dt, le générateur fournit l’énergie (terme

d’échange avec le système) :

e

S


Où V = Sl volume de matériau ferromagnétique

H dB =aire élémentaire sous le cycle d’hystérésis

Partie des pertes correspondante = pertes

par hystérésis correspondant au

mouvement et à la modification non

réversible des parois de Bloch

Pertes Pertes

cuivre par hystérésis

Pertes cuivre = pertes par effet Joule dans le fil de cuivre

Sur un cycle :

Pertes par hystérésis proportionnelles à l’aire du cycle

A haute fréquence (cycle décrit un grand nombre de fois par seconde), un

matériau ferromagnétique dur consomme beaucoup d’énergie dans ces pertes

par hystérésis rendement du système diminué

On préfère pour améliorer le rendement des machines, utiliser des tôles en

matériau ferromagnétique doux, à cycle étroit (Permalloy ou ferrites doux)

Puissance moyenne associé :

Autre source de pertes = existence des courants de Foucault dans le matériau

ferromagnétique, minimisés en feuilletant le matériau

B

H

H

dB

dA


Circuit magnétique de transformateur triphasé à 3 colonnes

Solution insuffisante à haute fréquence (puissance moyenne associée à ces

courants proportionnelle au carré de la fréquence)

Utilisation de matériaux ferromagnétiques très peu conducteurs (ferrites

céramiques) qui allient un cycle d’hystérésis étroit et une faible conductivité

électrique

Pertes par hystérésis +Pertes par par courant de Foucault = pertes fer

Ordre de grandeur des pertes fer:

1W/kg à 50 Hz pour des tôles d’acier de 0,35 mm d’épaisseur

50 mW/kg pour une ferrite MnZn

IV. TRANSFORMATEUR :

1) Tracé expérimental du cycle d’hystérésis (montage à connaître

absolument) :

Transformateur = ensemble de deux bobines (appelées primaire, nombre de

spires N1 et secondaire nombre de spires N2) enroulées autour d’un matériau

ferromagnétique


Transformateur utilisé en TP

On réalise à partir de cette structure le montage suivant :

Les points désignent les bornes par où rentre un courant orientant

positivement le contour d’Ampère de façon unique par la règle du tire

bouchon.

R>>R0

VY1 = R0.i1 = R0.1N

Hl= H.

N

lR

1

0 image électrique de H

ω>>ωc

jRC

1H

VY2= B.RC

SN.N.

RC

1dt.

dt

dN

RC

1dt).t(e

RC

1 2c2

c22

image électrique de B

mode X-Y représentation de B en fonction de H = allure du cycle

d’hystérésis

N2

spires

R0

GBF

i1

e1

N1

spires

R

Ce2

Y1

Y2..

Matériau

ferromagnétique

Bobine du

primaire

Bobine du

secondaire


2) Nécessité de la conversion d’énergie électrique et rôle du

transformateur :

ordres de grandeur des courants et tensions efficaces très différents le long de

la chaîne de transport de l’électricité nécessité d’une conversion avec un

bon rendement

Energie transportée sous haute tension :

Puissance fixée consommée par l’utilisateur Pmoy = Ueff Ieff cosφ

Energie perdue par effet Joule dans la ligne d’alimentation :

plus Ueff est élevée à Pmoy et cosφ fixés, plus le rendement de la ligne est

élevé

Transformateur utilisé à chaque fois que l’on désire modifier la tension

efficace ou le courant efficace dans la ligne

d’alimentation.

Transformateur de poteau 20kV/380V Transfo triphasé 450 MVA, 380 kV

Centrale nucléaire :Ieff = 106 AUeff = 1 à 20 kV

P = 900 MW

Transformateursabaisseurs de

tension

Ligne THT

Ueff = 225 à 400 kV

Ligne MT

Ueff = 32 à 60 kV

Transformateurélévateur de

tension

Ligne BT

Ueff = 220 V

UsagerP varie du Wau kW


Transformateur triphasé 250 MVA,

735 kV d ’Hydro-Quebec

Transformateur d’interconnexion

de réseau

3) Définitions et relations de base :

Le transformateur réalise une conversion d’énergie électromagnétique statique

(sans mouvement) uniquement en courant alternatif.

Constitution : deux enroulements (primaire et secondaire) de résistances

respectives R1 et R2 couplés par le matériau ferromagnétique, de forme

torique de section S

Phénomène d’induction :

N2

spires

v1 e1

N1

spires

e2 v2

i1 i2

Contourd’Ampère

CA

R1R2..


Théorème d’Ampère : Hl = N1i1+N2i2. (l est la longueur du contour

d’Ampère)

Les points désignent les bornes par où rentre un courant orientant

positivement le contour d’Ampère de façon unique par la règle du tire

bouchon.

Lois des mailles : v1 = R1.i1-e1 v2=R2.i2-e2

Lois de l’induction : dt

de 11

et

dt

de 2

2

φ1 est le flux du champ total à travers les N1 spires du primaire

φ2 est le flux du champ total à travers les N2 spires du secondaire

v1 = R1.i1-e1= R1.i1+dt

d 1 v2=R2.i2-e2= R2.i2+dt

d 2

4) Transformateur parfait :

Trois hypothèses définissent le modèle :

fuites des lignes de champ hors du tore magnétique négligées :

flux du champ magnétique à travers une section constant, appelé φc (flux

commun à toutes les sections)

dt

dN

dt

de c

11

1

et dt

dN

dt

de c

22

2

φc=B.S= Sl

iNiNHS rr

221100

dt

di

l

SNN

dt

di

l

SNe 221r01

21r0

1

=-(L1

dt

diM

dt

di 21 )

dt

di

l

SN

dt

di

l

SNNe 2

22r0121r0

2

=- (Mdt

diL

dt

di 22

1 )

les f.e.m induites aux bornes des enroulements prennent en compte

l’inductance propre des bobinages, ainsi que le phénomène d’inductance

mutuelle.

pertes par effet Joule dans les enroulements négligées :


R1 = R2 = 0

v1 = -e1= dt

d 1

dt

dN c

1

et v2= -e2= dt

d 2

dt

dN c

2

par quotient :

111

22 mvv

N

Nv (m=N2/N1 rapport de transformation)

r (matériau magnétique parfait)

r0

B

l = N1i1+N2i2=N1im 0 (im = courant magnétisant)

22

1

21 mii

N

Ni

En combinant les deux équations :

v1i1+v2i2=0 ou P1+ P2 = 0

Un transformateur parfait a un rendement égal à 1.

Schéma du transformateur idéal :

5) Applications :

a) Transformateur d’isolement :

Dans un transformateur d’isolement, N1 = N2 m = 1 et v2=v1

Utilisations :

Création d’une masse flottante permettant la mesure d’une différence de

potentiels entre deux points quelconques d’un circuit

Ex : si on veut visualiser à la fois la tension aux bornes de R1 et R2 à

l’oscilloscope, R2 est court-circuitée par la ligne de terre

Solution : TI intercalé entre le GBF et le circuit

m

i1

v1

i2

v2 Z

..


Protection électrique des personnes dans le cas d’un contact direct

phase/terre (salles opération, prise de rasoir des hôtels)

Protection assurée en cas de contact

avec un point du circuit (phase par

exemple) ou si existe un défaut d’isolation

de carcasse métallique au secondaire car

pas de liaison avec la terre

Protection non assurée en cas de

contact avec deux points du circuit

secondaire car le disjoncteur vérifie les

fuites de courant au primaire

b) Transfert d’impédance du secondaire au primaire :

On branche le secondaire d’un transformateur sur une impédance Z :

Montrer l’équivalence entre les deux schémas suivants :

1eq2

1221 iZ

m

iZ

m

iZ

m

vv

Impédance vue du primaire du transformateur = celle du secondaire /m2

Utilisation : adaptation d’impédance

c) Transfert d’une source du primaire au secondaire :

R1

R2 GBF

CH1

CH2

R1

R2 GBF

CH2

CH1

Masse du GBF

(terre)

Masse du

GBF (terre)

Masse de

l’oscilloscope

Masse de

l’oscilloscope

i1

v1 Z/m2

Masse de

l’alimentation

(terre)

Protégé

Protégé Non protégé

m

i1

v1

i2

v2 Z

. .


Montrer l’équivalence entre les deux schémas suivants :

v2= mv1 = m(Eg – Zg i1) = m(Eg +m Zg i2)= mEg +m2 Zg i2

Source transférée au secondaire : f.e.m. multipliée par m, impédance

multipliée par m2

6) Pour aller plus loin : modelisation plus complète : le

transformateur reel

a) Prise en compte des inductances de fuite et résistances des

enroulements :

Certaines lignes de champ s’échappent hors du matériau ferromagnétique

fuites

1 = N1 c+ fuites

= N1 c+Lf1 i1 (Lf1 inductance de fuite du primaire)

dt

diL

dt

dN

dt

de 1

1fc

11

1

v1 = R1.i1-e1= R1.i1dt

diL

dt

dN 1

1fc

1

= R1.i1+dt

diL 1

1f +u1

u1 correspond au modèle du transformateur parfait

idem pour le secondaire, d’où le schéma équivalent :

m

i1

v1

i2

v2

Zg

Eg

.. i2

v2

m2Zg

mEg

m

i1

v1

i2

v2u1 u2

R2Lf1 Lf2R1 ..


b) Prise en compte des « défauts » du circuit magnétique : courant

magnétisant et pertes fer :

Courant magnétisant :

i2 = -2

1

N

N(i1-im) avec B= m

1r0i

l

N et m1m

21r0

B iLil

SN

e1 = dt

diL

dt

d m1

B

Pertes fer : Rfer permet de les modéliser

Attention : dipôle obtenu non linéaire, les pertes fer dépendant de la fréquence

(donc Rfer aussi)

D’où le schéma équivalent :

b) Calcul du rendement :

Par un bilan de puissance :

P1 = P2 + PJoule, enroulement + PCourants de Foucault + Phystérésis

= Putile + Pcuivre + Pfer

pertes cuivre = pertes par effet Joule dans les enroulements

mesure : secondaire en cours circuit, et i1 = i1nominal ; il suffit d’une tension

très faible pour fournir ce courant, on néglige donc alors les pertes fer, et P2

= 0.

Pcuivre= P1, court circuit

pertes fer = pertes par hystérésis et courant de Foucault dans le matériau

mesure : secondaire à vide, car ainsi, les courants sont très faibles les

pertes cuivre négligeables. On maintient v1 = v1, nominal.

On a toujours P2 = 0.

m

i1

v1

i2

v2u1u2

R2Lf1 Lf2R1

L1

Rfer

..


Pfer = P1, vide

Rendement : cuivrefer2

2

PPP

P

< 1 pour un transformateur réel !

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MILIEUX FERROMAGNETIQUES - PrépaBellevue