MODÈLE DE LA COURBE DES TAUX

Mbarek Lassaâd & Kesraoui Afef Direction Générale de la Politique Monétaire Banque Centrale de Tunisie

Lancement de la courbe des taux de place BCT le 21 Décembre 2017

2

I- Modèle de la courbe des taux (BCT)

- Choix du modèle Nelson-Siegel

- Interprétation des paramètres

- Méthodologie d’estimation

II- Intégration des marchés (MdF)

III- Intégration des données (TC)

IV- Cohérence des données & publication de la courbe (CMF)

Plan de la présentation

3

Typologie des courbes de taux

• La structure par terme des taux ou courbe des taux est la fonction qui à une date donnée et pour chaque maturité en abscisse, indique le niveau du taux de rendement associé en ordonnée

• On distingue les courbes de marché et les courbes implicites :

- Les courbes de marché sont construites directement à partir des cotations de marché d’instruments comme les obligations et les swaps (courbe des taux de rendement à maturité, courbe des taux de swap)

- Les courbes implicites sont dérivées indirectement à partir des cotations de marché (courbe des taux zéro-coupon, courbe des taux forwards, courbe des taux de rendement au pair)

4

Applications de la courbe des taux

• La construction d’une courbe des taux zéro-coupon pour les émissions souveraines permet de :

- Valoriser les portefeuilles obligataires au prix du marché ‘mark to market’

- Se conformer aux exigences réglementaires et comptables de valorisation à la juste valeur

- Mettre en place une gestion active des positions

- faire des scénarios sur la déformation de la courbe des taux dans une optique de gestion des risques ou d’exercice de stress testing

- déduire les taux forwards qui constitue un élément important pour représenter les anticipations des marchés (surtout pour les économistes et les banques centrales)…

5

• La valeur d’une obligation est la valeur actualisée de ses cash flows

• Les titres les plus simples à valoriser sont les obligations zéro-coupon

• Ces obligations n’ont qu’un seul cash flow à l’échéance ce qui neutralise tout effet coupon

• La duration des ces obligations est égale à leur maturité

• Les obligations zéro-coupon de l’Etat (émises en monnaie nationale) ne comporte pas de risque de défaut

L’estimation d’une courbe de taux de référence est basée sur les zéro-coupon

Attrait des obligations zéro-coupon

Mais le spectre des maturités couvert par les zéro-coupon n’est pas suffisant pour construire une courbe des taux complète

6

Extraction de l’information des bons avec coupon

• Les bons avec coupons peuvent être stripés en un portefeuille de ZC ce qui permet d’extraire de l’information pour compléter la courbe des taux

• Mêmes pour ces bons, les données des marchés (surtout ceux des pays émergents) ne permettent pas de reconstituer l’ensemble de la gamme des taux pour toutes les maturités

• Le modèle de Nelson Siegel (1987) a été retenu pour la construction de la courbe des taux de place en raison de sa capacité de représenter un grand nombre de formes des courbes, sa bonne qualité d’ajustement aux données du marché (surtout peu liquide) et son aisance d’interprétation…

Il est donc nécessaire de contraindre la courbe des taux ZC à appartenir à une famille particulière de courbes avec un nombre raisonnable de paramètres à estimer

7

Spécification du modèle Nelson-Siegel

• Nelson-Siegel modélise les taux de rendement ZC à la date t pour une maturité T comme suit :

soit au total 3 paramètres variables dans le temps 𝛽0,𝑡 , 𝛽1,𝑡 , 𝛽2,𝑡 et une constante λ

• Cette spécification permet de décrire des courbes de forme très variée : Monotone, avec une bosse ou en forme de S …

• L’interprétation économique des paramètres de la fonction Nelson-Siegel est également intuitive (Diebold et Li, 2006)

𝑟𝑡,𝑇 = 𝛽0,𝑡 + 𝛽1,𝑡 1 − 𝑒−λ 𝑇

λ 𝑇+ 𝛽2,𝑡

1 − 𝑒−λ 𝑇

λ 𝑇 − 𝑒−λ 𝑇

8

Interprétation de lambda

• La première interprétation du coefficient λ est dérivée de la formule des taux forwards instantanés :

λ représente la vitesse de convergence du taux forward instantané vers le taux à long terme

• La deuxième façon consiste à trouver la valeur λ qui permet de maximiser la courbure :

• Dans la littérature 𝑇𝑚𝑎𝑥 est fixé entre 2 et 3 ans sans que ce choix ait un impact sur la qualité de l’ajustement de la courbe; dans notre cas on fixe la position de la cloche à 2,5 ans ce qui correspond à une valeur de λ égale à :

𝑓𝑡,𝑇 = 𝛽0,𝑡 + 𝛽1,𝑡𝑒−λ 𝑇 + 𝛽2,𝑡λ 𝑇𝑒−λ 𝑇

𝑐 𝑇 =1 − 𝑒−λ 𝑇

λ 𝑇 − 𝑒−λ 𝑇

𝜕𝑐(𝑇)

𝜕𝑇= 0 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑒λ 𝑇 = (λ 𝑇)2 + λ 𝑇 + 1 et λ 𝑇𝑚𝑎𝑥 =1,7933

λ = 1,7933

2,5= 0,7173 𝑒𝑛 𝑓𝑟é𝑞 𝑎𝑛𝑛𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒; 0,0598 𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑒𝑡 0,00197 𝑒𝑛 𝑗𝑜𝑢𝑟𝑛𝑎𝑙𝑖è𝑟𝑒

9

Interprétation des betas

• 𝛽0 traduit le niveau de long terme des taux; en effet on peut montrer aisément que :

lim𝑇→∞

𝑟𝑇 = 𝛽0 = 𝑙

Ce facteur est lié à l’inflation anticipée à long terme

Il explique 50% des mouvements de translation de la courbe

• 𝛽1 traduit la pente de la courbe c’est-à-dire la différence entre les taux long et court; en effet :

lim𝑇→0

𝑟𝑇 = 𝛽0 + 𝛽1 = 𝑙 + 𝑠

Ce facteur est lié à la politique monétaire, à l’activité réelle, à l’output gap…

Il explique 30% des mouvements de pentification ou d’aplatissement de la courbe

• 𝛽2 traduit la courbure ou la partie moyen terme de la courbe

Ce facteur est lié à la volatilité de l’inflation

Il explique 20% des mouvements de variation de la courbure (convexité/concavité)

10

Processus d’évolution des betas

• Les betas sont modélisés sur un historique de 3 mois

• Ces facteurs évoluent selon un processus autorégressif AR(1)

• Les coefficients d’autocorrélation sont établis à 1 pour assurer que chaque facteur suive une marche aléatoire

• Le modèle favorise les transactions les plus récentes

• Les valeurs de départ ou valeurs moyennes sont fixés à 7% ; -3% et 0 respectivement pour 𝛽0,𝑡 , 𝛽1,𝑡 et 𝛽2,𝑡

• Les écart-types ont été bien calibrés pour que le comportement de la courbe reflète vraisemblablement la réalité du marché tunisien compte tenu des interactions entre la politique monétaire et les variables réelles

𝛽𝑖,𝑡 = 𝜑𝛽𝑖,𝑡−1 + 𝜀𝑖,𝑡

11

Dynamique des paramètres du modèle

Date: 12/18/17 Time: 13:59

Sample: 12/30/2016 12/15/2017

BETA_0 BETA_1 BETA_2

Mean 8.394163 -3.691297 -2.511569

Median 8.421518 -3.824309 -2.904027

Maximum 8.921743 -2.719667 -0.738214

Minimum 7.824555 -4.313317 -4.134617

Std. Dev. 0.305125 0.538685 0.915749

Skewness -0.246840 0.630706 0.820172

Kurtosis 2.280482 1.965131 2.282989

Jarque-Bera 7.963252 27.84128 33.51721

Probability 0.018655 0.000001 0.000000

Sum 2106.935 -926.5156 -630.4039

Sum Sq. Dev. 23.27527 72.54530 209.6492

Observations 251 251 251

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12

2017

Beta 0 Beta 1

Beta 2 Lambda

λ = 0,00197

12

Mouvement de la courbe des taux

13

Méthode d’estimation

• La méthodologie d’estimation repose sur les prix

• Chaque prix observé est considéré comme une observation entachée d’erreur de la « vraie » valeur :

𝑃𝑖,𝑡𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣é = 𝑃𝑖,𝑡

𝑡ℎ𝑒𝑜𝑟𝑖𝑞𝑢𝑒exp (η𝑖,𝑡)

Avec η𝑖 l’erreur de mesure pour l’observation 𝑖 qui suit une loi de Gauss

centrée d’écart-type σ(η𝑖,𝑡

)

• Les betas sont estimés par la méthode du pseudo-maximum de vraisemblance en minimisant la somme des erreurs quadratique entre les prix observés et les prix théoriques selon une méthode d’optimisation non linéaire

• L’écart-type de l’erreur de mesure dépend de plusieurs facteurs qui seront présentés sous peu

σ(η𝑖,𝑡

) = 𝑒𝛼∅𝑖,𝑡𝑚𝑘𝑡∅𝑖,𝑡

𝑣𝑜𝑙∅𝑖,𝑡𝑜𝑓𝑓

∅𝑖,𝑡𝑟𝑚

14