OHEROHER III

Pour la rentrée,Tangentepropose

aux plus jeunesde ses lecteurs

un dossierspécial méthodes.

Premier volet :CHERCHER ...

S'il n'y a aucunerecette miracleen la matière,

quelques conseilsne peuvent pas

faire de malpour développer

de bonnes

aire des mathématiques,c'est chercher, vousdiront les amateurs, lamine gourmande ... Maisquelle angoisse, aussi,quand, bloqué devantvotre feuille blanche vousne savez pas par quel

bout prendre un problème !

Une horrible vérité, pour vousachever : il n'y a pas de recetteabsolue, ça se saurait ... Tel quitrouve aujourd'hui demain séche-ra, il faut accepter cette dure fatali-té : chercher en maths est uneactivité de création, et, commedirait I'Autre, la création, ça nes'invente pas.

t Sécher sans complexes

Apprenez donc d'abord à séchersans vous dévaloriser : je cherche,donc je sèche ! Si ça peut vousconsoler, les plus grands mathé-maticiens sont tous passés par-làun jour ou l'autre.

Et si certains "trouvent" plus sou-vent en maths que vous, avant depenser "que vous êtes décidémentune tache", dites-vous bien queleur aisance apparente supposed'abord un bon entraînement.Les "dons" personnels ou le "style"peuvenl apporter un "plus", mais

ils ne se développent pas en ter-rain vierge. Vous le savez déjàpour le sport, la musique ou leséchecs : le "génie" du mathémati-cien ne fait pas plus exception à larègle que le tour de main "ma-gique" de I'artisan.

Si vous eslimez quand même(peut-être à tort) que, décidément,vous êtes perdu pour la carrière demathématicien, n'oubliez pasqu'en musique, en sport ... ou enmécanique auto, on peut pratiquerpassablement et y prendre grandplaisir sans être pour autant le vir-tuose du siècle. Encore une fois,les maths ne font pas exception :

donnez-vous au moins cet objectif,au lieu de baisser les bras !

t Chercher :un état d'esprit

Apprendre à chercher, c'est doncd'abord se confronter régulière-ment à la recherche, si possibleau-delà du minimum exigé par leprof de maths.Faites les problèmes de champion-nats, de rallyes, lisez régulière-ment Tangente le crayon en main,vous verrez, vous y prendrez bien-tôt goût, et les idées vous vien-dront plus facilement avec unesolide "culture" (le gros mot esthabitudes.

,

ETHoDES

lâché : eh oui, la culture mathé-matique, ça existe ...).Soyez toujours en train de cher-cher, en classe, à la maison, àvélo, au supermarché. Un bonconseil :

"Quand il n'y a rien à chercher,c'est simplement qu'il faut d'abordchercher l'énoncé !"

(Tonton Lulu, vol 36, à paraître)

t Soyez actif !

"QLtand on cherche, c'est qu'onne sait pas encore"... Voici encoreune belle maxime pas chère.N'attendez pas passivement quela solution se présente toute cuite :

Cette solution, il va falloir que vousI'aidiez à naître, en préparant soi-gneusement le terrain.

Comme dans les autres matières,Commencez par cerner le sujet.Lisez bien l'énoncé, élaguez cequi est inutile, résumez les hypo-thèses significatives par écrit (à cestade, "ABC est un triangle" n'esfpas une hypothèse significative,trois points forment en général untriangle ; plus tard, pour la rédac-tion, il deviendra peut-être impor-tant de souligner que A, B, C nesont pas alignés).

Si le texte est compliqué, n'hésitezpas à I'analyser presque mot à mot,mais cherchez ensuite à com-prendre la question dans sa globali-té ; traduisez au besoin par unefigure, un schéma, un tableau : leproblème doit devenir assez fami-lier pour le voir complètement"dans votre tête".En géométrie, faites une premièrefigure, en évitant soigneusementles cas particuliers : sauf indica-tions contraires, vos triangles doi-vent être vraiment très quel-

conques, et vos angles pas tropdroits. distinguez bien les pointsfixes des points variables, n'hési-tez pas à utiliser la couleur.En algèbre, prenez la mesure duproblème : quelles sont les quanti-tés fixes, celles qui "bougent" ?

Y a-t-il plus d'équations qued'inconnues, ou le contraire ?Y a{-il un ordre de grandeur vrai-semblable ? Empoignez votre pro-grammable pour examiner le com-portement apparent des suites oudes fonctions.

Observez les symétries de l'énon-cé (plusieurs éléments jouent lemême rôle) : il sera en principeastucieux de les garder en évitantde privilégier l'un de ces éléments.

Après cette lecture/traduction,vous pouvez peut-être déjà amor-cer une piste ? Sinon, creusez-vous un peu : n'avez- vous pasdéjà résolu un problème du mêmetype ? N'y a-t-il pas un théorèmedont les hypothèses ressemblent àvotre situation ?

Vous ne "voyez" toujours pas ?Faites bouger les paramètres ou

les données de la figure, le problè-me vous apparaîtra peut-êtremieux. Habituez-vous à utiliser leslogiciels de calcul, de graphiquesou de dessin géométrique pour fai-re des essais nombreux etrapides.lmaginez ce qui se passe quandles éléments variables prennentdes positions limites (quand le tri-angle devient aplati, quand je choi-sis mon point carrément sur lecercle, quand le réel m devient trèsgrand, très petit ? ...), ou dans descas particuliers (quand le parallélo-gramme devient un losange, unrectangle, quand a vaut 0 ?).

Peut être pouvez-vous introduiredes éléments nouveaux (incon-nues auxiliaires, droites pas enco-re tracées ...) qui vous ramènerontà une situation connue ?

En cas de désespoir prolongé, ilvous reste les armes lourdes : cal-cul pur et dur en algèbre ou coor-données en géométrie. Mais neles sortez qu'en dernière extrémi-té.

Quand vous tenez enfin l'idée,hop, saisissez-la au passage,notez si besoin une abréviation, unbout de calcul, un dessin, un mot,quelque chose de très rapide pourne pas la laisser s'évanouir. Netentez surtout pas de rédiger com-plètement tout de suite, laissezvotre idée se développer jusqu'aubout. C'est si beau, une idée quiprend son vol !

§rf)(ÿ)acoC}tOt(Y)

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=UJ(5tqa§too)oȧ§o:o

rri!

o§E§'oc§È

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I§oÈotrNG§)GÈotlil-=trl(5

=s

Er st vous PRENtEz DU REIUL ?Parfois, l'énoncé vous dit ce que enchaînements, vous choisirezvous devez trouver '. "montrez plus facilement entre plusieursque X, Y, Z sont alignés", par pistes, et vous contrôlerez mieux,exemple, ou vous le devinez très enfin, si vous restez dans la bon-vile '. "Bon sang, mais c'est bien ne direction. Posez-vous en per-sûr, y doit être égal à x2". Parlir du manence des questions sur votrerésultat mettra peut-être à votre démarche :

portée un objectif qui vous inspi-rera davantage.

Plus généralement, prenez durecul, ne restez pas, tel un ran-donneur myope, le nez sur votredernière ligne ! Vous trouverezplus facilement des idées, des

Qu'est-ce que je cherche ?

Est-ce qu'il n'y a pas, dans lesrésultats précédents, quelquechose d'utile ?

Mon résultat est-il vraisemblable ?Mes calculs ne sont-ils pas déjàun peu longs ? ...

Ex ctnsse, DEs MÉTHaDEI pEU AvouABLEs ...

Le devoir en classe est au vruiproblème de recherche æ que laplsclne est à la plage. Pas pas-sionnant, mals plus simple.*yez ru#, utilisez le contexte :qu'est-ce qu'on étudie en cemoment ? Qu'est-ce qu'on adéjà vu comme méthode là-dessus ?

Ou encore, pour les problèmesd'examens à questions pro-gressives, ne laissez pas pas-ser res liens entre questions : àla lecture du mot magique "endéduire" votre regard doitbalayer avidement les résultatsqui précèdentn pour chercher àles organiser.

Francis Dupuis

tiqUe, deS piègeS qui sera donc vraie'

AtsoNNEB, c'rsr la natu-re même des mathéma-tiques !

Commençons par unpeu de logique :

Toute proposition eslsoit vraie, soit fausse ;

'des règles précises depermettent de construire

de propositions vraies :

. L'implication est une déduction"à sens unique".Ex:Si x=y (estvraie)

AIors x2 = ÿ2 (est vraie).(l'implication réciproque - "en sensinverse" - n'est pas vraie : si x2 =y2, x et y peuvent aussi êtreopposés).

. L'équivalence logique est unedéduction "à double sens".Ex : X = ÿ,équivaut à 2x = 2y.(les deux propositions sont soitvraies, soit fausses en mêmetemps).

Faire une démonstration, c'est, enpartant des données de votre pro-blème (parfois appelées hypo-thèses), construire un enchaîne-ment d'implications ou d'équiva-lences jusqu'à la conclusion quevous vous proposez de montrer,

Le raisonnement ne tiendra doncque si tous ses maillons sont cor-rects. D'où l'importance, à chaque

RAISONNER

étape, de bien vérifier si ce quevous écrivez est déjà établi ou s'ils'agit d'une conjecture, d'unesimple supposition ; soyez extrê-mement clair sur ce point dansvotre rédaction ... Et dans votretête.

Les risques sont très grands engéométrie lorsque vous observezla figure : sur une figure correcte,tout apparaît évidemment aussivrai, ce qui est déjà montré commece qui ne l'est pas encore !

Réservez aussi autant que pos-sible le mot de "conclusion"pour laf in de votre démonstration. Audébut du problème, employezcplutôt le mol "conjecture", cela cla-rifie un peu le stade ou vous enêtes.

t La chaîne du "Vrai"

Chaque maillon doit être justifié.Nuançons aussitôt : sauf si votredéduction repose sur un argumenttellement simple que tout le mondel'acceptera sans discuter (ce quiintroduit évidemment une marged'appréciation).

Une figure, quelques exemples, uncalcul approché ne sont jamaisdes justifications : leur rôle est pré-cieux pour trouver une bonneconjecture, pas au-delà. ll faut éta-

Rdéductionune suiteLa logique,

c'est très simple :les choses

sont vraies,ou fausses,

selon les cas.Ensuite,

on enchaînetout ça,

et on obtientun raisonnement

tout neuf.Mais dans'la pra-

votts guettent :sachez les éviter.

,

E

tr

€ll frtts æ5 ït1rrs i( frrüTAtÆ 6 P€tlore Tufi€ nlPrfito lt

7

blir une preuve générale, valabledans tous les cas.Stationner 50 fois au mêmeendroit sans avoir de PV ne signi-fie pas que le stationnement estautorisé. Par contre, la conformitéaux règles du stationnement estinattaquable.

ll est plus facile de montrer quequelque chose est faux : un seulcontre-exemple suffit. Si vousvoyez un chat blanc, vous pouvezaffirmer que tous les chats ne sontpas gris !

Vous pouvez aussi, dans ce cas,raisonner "par l'absurde" : si, par-tant d'une proposition, des déduc-tions correctes vous amènent à un

résultat faux, c'est que votre Pro-position de départ est certaine-ment fausse.

Attention quand vous cherchez "àl'envers", en partant du résultat :

vous espérez, sans même y pen-ser, que vous pourrez refaire lechemin en sens inverse. Au mo-ment de rédiger, il faut contrôlerque vous pouvez effectivementréécrire toutes les étapes dans lebon sens.Un seul maillon non réversible, etvotre raisonnement tombe à I'eau !

Heureusement, il y a le plus sou-vent équivalence ; méfiez-vousd'autant plus des exceptions (élé-

vations au carré en algèbre, pro-jections en géométrie ...) !

Les équations vous exposent auxmêmes déboires : dès que vousn'êtes plus tout à fait sûr d'avoirsuivi une chaîne d'équivalences(systèmes, notamment), il fautcontrôler si les "solutions" n'ontpas été introduites par des trans-formations douteuses. Le test estfacile : ces valeurs vérifient-ellesencore l'équation de départ ?

Utilisez en tous cas une rédactiontrès rigoureuse (voir encadré)

S'il s'agit de démontrer une égalitéA = B, paftez de A = ... et transfor-mez peu à peu pour arriver à B. (oul'inverse).Ceci vous évite de partir, comme onle voit souvent, de A = B pour par-venir à 0 = 0, Mais il faudrait alorsajouter (et en être s1r) : "puisquenous avons procédé par équiva-lences, et que 0 = 0 est vraie, alorsA = B est vraid'. Correct, mais fran-chement lourdingue !

Une subtilité, pour terminer.La réciproque d'une implicationn'est pas toujours vraie :

Si un animal est un éléphant,alors il a une trompe. (1). Yrai.

Réciproquement,Si un animal a une trompe,Alors c'est un éléphant. (2/Faux. (Ça peut être un papillon).

Par contre, à partir de (7/, vousdisposez aussitôt du résultat sui-vant :

Si un animal n'a pas de trompe,Alors ce n'est pas un éléphant.On dit que c'est la forme contrapo-sée de l'implication (7/. Elle estéquivalente à l'implication (7/.

La réciproque a également uneforme contraposée :

Si un animal n'est pas un éléphant,AIors, il n'a pas de trompe.(Equivalente à la forme (2) de laréciproque, donc aussi fausse.Voir encore le papillon).

Alors, si vous dites qu'un trianglede côtés 10, 50 et 49 n'est pasrectangle, utilisez-vous le théorè-me de Pythagore, ou sa réci-proque ? Avouez qu'il y a de quoise tromper !

Francis Dupuis

o(ocr)66O)o,(r)

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=lu(5trqaatoO)

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ouil-=lU(5=s

Er vottÀ aIMMENT oN DÉMaNTRE euE 3 = 0 !

Résoudre dans R l'équation : x2 + x + 1 = 0 (1).

0 n'est pas solution ;On peut donc diviser les deux membres par x :

x+1+l/x=9,l/x=-(x+1).

-(x+1)=x2,7/x = x2 ,x3=1,

Lasolutionestdoncx= T,etonendéduit 12 +1+ 1=0 !

Où est l'erreur ?

Sotunott

d'oùOr, d'après (1),d'oitet finalement,

'[suo17enbg,p sryd uou'sç1-!p6?,p npls al luauo4ep 's!olalloc 'luo nelq ue senlucg sell

'uonnlos epsed s,u uo11enb9,; 'uo1sn;cuog

@'g = | +X + zX SJOIE'L =X !S.

I 'T=NÊr5proilnio§aun lsa x ,s 'luono9suoc rEd

.f =eX ,lueuue;eur;1e

' "x

= x1y Qo,p'"x=(S+x)-

'(t) sqtde,p'.tg'(l +x) -=xll Qo,P

'O=xll+L+x 'cuoq'0 + x Qo,p'uorlnlos sed lso,u O(ù.0=L+x+zx ,Slolv

'solle e4uo,p aun,l x }ros lo 'suorl-nlos sop e  lr,nb suosoddng.

i gnol ]se rno]sre^neu êl lo 'Jêlsoluoc El p sedeôuos ou uo 'oglnrurol g1g sede,u esqqlodÂq epec ouLuoo stef!

'tEle0glso L+x+"xenbesqqlodÂq,l op al!npgp lsa,,1 = x,, uorsnlcuoc e| enb auos oc

',,gllle6g,, gUlEuol el p ,,uorlenbg,,

9lrlPuol El êp Jar^9p luol snouluo^rns !nb ,,"' luauralpurl,, ol lo',,"' no,p,, ol ',, (1) sprde,p 'rO,, ol',,"' no,p,, reruuerd e1 : ener6 sn;6

'1rp sedlso,u ac 'uorsrcgrdlut oJQLuêJd'lnO e elue;enrnbg êlla-lso tnl; erqrLuerd el co^P uodder uos srole

lsê lênO 'uorlenbg aun cuop lsa,C'uor1enbg,l ap uorlnlos

aun ISo x enb asqqlodÂq,1 gsodsed e,u uo,nbsrnd 'gllleôg eun sedlsê,u êC e uorleluas?rd sues glel

".0=xll + I +x,,

: ror.lcr.rl sues suouerdag : gcuou?,1 enb ec1sa,n6(sur des idées de M. Brunet et R. Raynaud)

I

uand vous rédigez undocument scientif ique,ce que vous écrivezdoit être particulière-ment précis, compré-hensible par n'importequi sans avoir à joueraux devinettes.

Aujol]'hui, c'est le professeur qui

Vous avez des lit volllcopie, demain, c'est

connaissances,d'après vos rapports que vos col-lègues ou vos "chefs" se pronon-ceront sur vos projets.vous avez

quelques idées, t La logiqueau bout du stylo

Première croyance à dissiper, rédi-ger, ce n'est pas "en écrire deskilomètres" : trop, c'est trop, vousseriez vous-même noyé sous ledéluge de vos phrases.Non, rédiger en maths, c'est avanttout bien mettre en évidence les

REDIGER

qu'une grosse phrase mélangeanttout dans des subordonnéesemboîtées maladroitement. N'hési-tez pas à laisser des blancs, àsouligner ou à encadrer pour faireressortir les étapes, les résultatsintermédiaires.

La phase de rédaction est le mo-ment idéal pour vérifier que vosraisonnements se lisent "dans lebon sens", surtout si vous avezcherché en partant du résultat.

Avant d'appliquer un théorème,rappelez bien que les conditionsd'uiilisation sont remplies :

"Dans le triangle ABC, rectangleen C, le théorème de Pythagorenous donne ..."Pour citer le théorème, utilisez sonnom, comme ci-dessus, ou unephrase complète et précise si cen'est pas un grand classique :

"On sait que si I'on fait suivredans cet ordre deux symétriescentrales So ef So, , on obtient latranslation Tz Od, "

Dans l'exemple ci-dessus, il nesuffit pas de dire "la composée dedeux symétries centrales est unetranslation": il faut préciser l'ordredes deux symétries. Par contre,si, dans votre problème, lescentres des symétries s'appellentA et B, utilisez tout de suite ceslettres à la place de O et O'.

bref, vous nevous sentez pastrop malheureux

en maths,mais chaque

devoir écrit Y:?#,.":.|;t#:ii res articurations de

esf une corvée Enoncez clairement vos hypo-thèses, en les séparant bien, dites

pOUf VOUS ... clairement ce qu'il faut montrer, etchaînez vos expressions mathé-

et pOUr votre prof ! mariques par oes rrens rosrques

Tangente vouslivre /es sec rets

brefs : donc, (ou par suite, ou onen déduit) or, mais, car ...

Prélérez des phrases courtes jux-taposées, une par élément de rai-sonnement ou d'explication, plutôtde la rédaction.

,

ET

DEs

HN !l !.-llrr.

Enfin, n'oubliez pas de conclureen bonne et dûe forme, ne restezpas sur un vague calcul.

Quelques "ficelles" :

. n'hésitez pas à nommer les élé-ments dont vous voulez parler :

"soit H le pied de la hauteur..."

. Numérotez les équations ourésultats partiels que vous allezréutiliser : "d'après l'équation (3),on a ..." ou .de (1) et (4), on tire..."

. Attention au sens de certains mots :

en mathématiques, le mot ?n"veut dire "au moins un". ll faut, lecas échéant, préciser "un et unseul" orJ "un unique".

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Les pnaasps eut nUENT

Sachez éviter les phrases qui font bondir le corrècteur à 50 centi'mètres au-dessus de son fauteuil, ayec des retonnbées pas totale'ment prévisibles, mais toujours particulièrement dangereuses :

"On voit sur la figure que ..." : une figure n'est pas une preuve.C'est I'erreur classique du débutant, la Bérésina du collégien,le Waterloo du lycéen."On voit euê ...", "ll est évident que ..," : variantes du précédent,utilisées également en algèbre. Le seul ennui, c'est gue vote prota une très mauvaise vue : ce qui suit doit être uraiment évidento ' '

du type 3 + 1 = 4, sinon, il iurera que lui, il n'a rien vu, avec unemauvaise toi éhontée. Surtout pas de blutf avec ce type d'argu-ments, ou c'est l'estocade au stylo rouge garantie !Aunoore : proscrire ces expressions, sauf si vous annoncez clai-rement. qu'il s'agit d'une constatation. que vous vous proposezensuite de prouver.

"On sait qu'un trapèze est toujours inscrit dans un cercle quandte milieu de ses cotés ..." : ici aussi, le protesseur flaireral'arnaque. En bon professionnel, il connaît en principe te signale'ment de la plupart des théorèmes courants. lnventer un théorè-me-maison qui répond justement à ta question esf frès risqué.Aunoorc : avouez clairement votre ignorance quand il manque unmaillon.

"D'oi! x = 1f7 = 0,74." : la confusion entre valeur exacte et appro-chée est toujours très mal vue, la récidive pardonne rarement.Ar'tnpore : Utilisez le signe -, eui montre bien Ia nuance, ou lais-sez tomber la valeur approchée. Rien ne vous oblige à la donnerquand elle n'est pas demandée. Gardez-la pour vérifier votreordre de grandeur. Et surtout, utilisez la valeur exacte pour pour-suivre votre calcul, sinon, c'est carrément faux ...

"Je mets la pointe du compas sur M, je trace ..." : on vous ademandé d'expliquer votre construction, pas de raconter votrevie ! Pas dramatique, mais très agaçant. Et très long pour vous.La mort survient en une à quatre heures par étouîfement rédac-tionnel du raisonnement, compliqué d'un dépassement du tempsréglementaire ...Aunoore : expliquez tout, mais de manière concise !

. Pas de négligence !

ll existe quelques règles qui nenécessitent aucune habileté parti-culière, et qui améliorent la qualitéde votre travail. Les ignorer vousferait passer pour négligent ousuperficiel. Vous ne laisseriez pascroire une chose pareille !

. N'utilisez jamais d'abréviations,

. Distinguez bien phrases enFrançais et expressions mathéma-tiques. Ecrivez (d) ll (d'), ou "lesdroites (d) d (d') sont parallèles",mais pas '(d) d(d') sont ll",

. Si la réponse s'exprime dans cer-taines unités, n'oubliez pas de lesmentionner (et de vérifier au pas-sage la vraisemblance,

. Alignez vos traits de fraction avecles signes d'opération,

. Prolongez bien vos radicaux (vossignes ./- ; lusqu'au bout de laquantité qu'ils doivent couvrir, versla droite et vers le bas,

. Simplifiez des écritures comme1x, 3y13, 2211, ,311, ^/9, écrivez '.

x, y, 22,3f, 3 ...

. Arrondissez correctement lesvaleurs approchées, vers le haut sile premier chiffre supprimé est 5,6,7,8,9, vers le bas s'il est égal àO, 1,2,3 ou 4. Écrivez-les avecune précision raisonnable : pour7.295867814 sur votre calculatri-ce, gardez 7,296, ou 7,30 (ce n'estpas pareil que 7,3).

Francis Dupuis

,,, fraÿ 2ç fot€ X,,, T i|€n'ûls Rlit^l

X!'W Do1;C tt*t+@,uN /iSS;',,, fiaàg îNeàr 4atryiù! *'u,î;;'feioorc*. UE, . W..lux+bg+XIç"4

tffi "':-,::*#Msrryr-!.;ru'?'tÿ\ "'

I

Tout le mondea peur

de se tromper.A tel point que

l'on chercheplus souvent

à se persuaderqu'on a raison

plutôt qued'essayer de voir

où l'on a pu

DETEOTER

qui défendit durant plus de vingtans, jusqu'à sa mort, qu'il y a descanaux sur Mars (construits pardes Martiens, bien sûr...).

Donc, pas de honte à commettredes erreurs ! Mieux : en mathéma-tiques, l'erreur constitue une armeprécieuse pour progresser.

t Errare humanum est

lmaginez-vous aux prises avec unproblème quelconque, mathéma-tique ou pas. Une première étapevers la solution peut être une petiteétude qualitative préliminaire : onne connaît pas la réponse au pro-blème, mais on peut quand mêmedire des choses dessus. Parexemple, si vous voulez calculer lamoyenne des notes de votre petitesæur et que celles-ci sont com-prises entre 1 4120 el B/20 (petitefaiblesse de fin de trimestre), alorsle résultat sera forcément entreces valeurs extrêmes. N'oublionspas cetle phrase citée par Jean-Marc Lévy-Leblond : "ne jamaisfaire un calcul avant d'en connaîtrele résultat.,, Autrement dit, avantde loncer, faisons fonctionnernotre cerveau.

Bon : cette fois, ça y est, on a trou-vé la réponse au problème posé.

faire des fautes.Auiourd'hui,

prenonsles devanfs

et combattons

SES ERREURS

ott. LE nÉoRcrrun enchef de Tangente veutcet article pour dansdeux semaines, alors jedécide de m'y mettre. Unstylo dans la main, moncourage de l'autre, etc'est parti. Je commence

à écrire. Hum... Drôlement maltournée, cette phrase. Allez, onbarre. Reprenons...Eh oui !Je sais bien que vous, lec-teur, avez sous les yeux deuxpages parfaites, sans rature, sansfaute (ou si peu). Mais, croyez-moi, le brouillon ne leur ressemblepas beaucoup ... ll y a plus deratures que de texte, et de loin.

Ma seule consolation quand, jerelis mes brouillons, c'est que je nesuis pas le seul dans ce cas : toutle monde se trompe.Et pas qu'un peu. De Pasteur,farouchement opposé à laconstruction des égouts de Parisen invoquant I'hygiène, à Einsteinqui soutint mordicus que l'Universétait statique, en désaccord avecses propres équations et avec cequi allait donner la théorie du BigBang, l'histoire des sciences four-mille d'exemples de scientifiquesqui se sont royalement plantés. Lapalme du début du siècle revientpeut-être à Perclval Lowell, précur-seur de la découverte de Pluton,l'erreur de f ront ...

7

2tE

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7

Super. Étape suivante à ne pasnégliger dans la joie du succès :

nous assurer que notre solutionest la bonne. Comment faie ?

Malheureusement, il est rare dedisposer d'une méthode permet-tant de s'assurer à cent pour centque la réponse proposée est juste.

Mais, bien souvent, on dispose debeaucoup de critères pour serendre compte que l'on s'est trom-pé. En d'autres termes : le cheminvers la résolution d'un problèmeest semé d'embûches. On ne peutpas garantir que la voie choisiearrive à bon port, mais on a quandmême les moyens de se rendrecompte si on est tombé dans cechausse-trappe-ci ou dans ce tra-quenard-là.

Décevant, de ne pouvoir confirmerqu'on a cheminé entièrementconvenablement ? Non, inévitable.En fait, une telle vérification équi-vaudrait pratiquement à la résolu-tion complète de notre problème.Pas vraiment raisonnable, donc, àmoins qu'il ne s'agisse en faitd'une autre méthode de résolution,auquel cas l'identité entre les solu-tions trouvées est un atout enbéton !

A la fin du siècle dernier, le faitque plusieurs expériences indé-pendantes aient toutes donné unemême évaluation de ce que l'onappelle aujourd'hui le nombred'Avogadro (6,023.1023 mol 1) aainsi été l'une des victoires déci-sives pour la théorie atomique.

t Le truc des unités

Revenons à nos moutons : nôustenons une solution, commentsavoir si elle est bonne ? Voiciquelques moyens généraux et effi-caces pour y parvenir.

D'abord, les unités. En Mathéma-tiques, comme en Physique ou enChimie, la réponse à un problèmeest rarement "15,23" tout court,mais bien plutôt "15,23 unités."Typiquement, si on vous demandede calculer la consommation surautoroute de la dernière 807Pigeot, ne faites PAS intervenir lamasse des pneus, ou alors «com-

pêosêz» par autre chose : uneautre masse, ou quelque chosequi s'exprime dans une unité qui

contient une masse (une Pression,par exemple).

N'oubliez pas qu'on n'a JAMAISle droit d'ajouter ou de retrancherdes unités diférentes.

Et attention : deux quantités,même exprimées dans la mêmeunité, ne peuvent pas toujours êtreadditionnées. Un litre d'eau à 40"plus un autre litre d'eau à 40', çafait bien 2 litres, mais Pas à 80"(ou alors, mon chauffe-eau vam'entendre).

Par contre, on peut en généralmultiplier (ou diviser) : mais enmultipliantl'unité Truc par I'unitéMuche, on obtient desTruc.Muche, et pas autre chose.

Soyons concrets : la 807 Pigeotconsomme 0,1 litre au kilomètre à

90 km/h. Elle consomme 0,012litres de plus chaque fois que llavitesse augmente de 10 km/h.Question : combien la 807consomme-t-elle à 130 km/h ?Toto propose le calcul suivant :

0,1 + 0,012.(130 - 90) = 0,1+0,48= 0,58,

Toto suggère donc 0,58 litres aukilomètre.C'est faux. Et heureusement Pourla firme Pigeot, d'ailleurs, Parceque des voitures à 58 litres auxcent, elle n'en vendrait Pas beau-coup.Pour voir où s'est tromPé Toto,

écrivons son calcul uniquement entermes d'unités :

l/km + l/km.(km/h - km/h)= l/km + l/km.km/h= l/km + l/h.

Aïe ! Toto n'a pas le droit d'ajouter0,'l à 0,48 dans son calcul !

Comment corriger le tir ?

Le raisonnement est le suivant :

puisque l'énoncé demande uneréponse qui s'exprime en l/km,c'est le deuxième terme de laréponse de Toto qu'il faut modifier.Par quel tour de magie transforme-t-on des l/h en des llkm ? En lesmultipliant par des h/km, tout bête-ment. Autrement dit, en les divi-sant par des km/h !

On peut donc soupçonner queToto a simplement oublié de divi-ser le second membre par unevitesse. ll s'agit, bien sûr, des '10

km/h de I'énoncé.

Refaisons le calcul en tenantcompte de cette correction :

0,1 + (1/10).0,01 2.(130 - 90)

= 0,1 + 0,012.40= 0,'148.

Nouvelle réponse proposée :

0,148 l/km. Notons au passageque c'est déjà plus raisonnable.

Vérifions les unités :

l/km+1 /(km/h).|/km.(km/h + km/h)

= l/km + h/km.l/km.km/h= l/km+l/km = l./km.

C'est bon (au moins pour les uni-tés).

tàÀÀÀ (æ«.r< !

? ^^^a ll-1ôOOo: ,

7

Finissons-en avec les unités enénonçant deux règles qui permet-tent de bien appliquer la recetteprécédente :

- Exprimez de préférence calculssous forme littérale, et ne passezau calcul numérique que tout à lafin. Comme ça, il est plus facile desavoir dans quelle unité s'exprimetel ou tel terme.

- Choisissez une fois pour toutesvos unités de masse, de lon-gueur... Ne mélangez pas lesAngstrôm (1Â = 1O-10 m) avec lesmégaparsecs (un mégaparsec =3,08.10re km) ou les centimètres.

t Symétries

Une autre recette très efficacepour repérer un bug (ou bogue,c'est selon) : les symétries.Si on vous demande par exemplede déterminer les plus petits car-rés inscrits dans un carré C donnéet que vous répondez ceci :

où x a été trouvé par une savanteméthode, dites-vous qu'il n'est pasencore temps de vous écrier"M'sieu lJ'ai trouvé l"

Voilà le malaise : l'énoncé présen-le un caractère symétrique (lasymétrie du carré), donc la solu-tion doit I'avoir aussi (rappelez-vous du principe de Curie,Tangente n'36). En conséquence,si le dessin ci-dessus est uneréponse au problème, alors le des-sin symétrique en est automati-quement une autre :

Si vous avez des raisons de pen-ser que le problème posé n'aqu'une solution, alors le premierdessin n'est pas une réponseincomplète, mais une réponsefausse. Plus fort : si vous savez àl'avance que le problème n'aqu'une solution, alors les considé-rations de symétrie vous imposentautomatiquement l'une des deuxformes suivantes :

Nous laissons le lecteur démontrerque la solution est en fait donnéepar le dernier dessin ...

Plus généralement, lorsque I'onest aux prises avec un problème,un bon réflexe est de regarder ceque l'on appelle ses invariants. EnMécanique classique, par exem-ple, la masse totale d'un systèmeest conservée, ainsi que l'énergietotale.

L'idée d'invariant s'exprime de lamanière suivante : une bonnefonction envoie le truc d'un machinsur le truc de I'image du machin.Pas très clair, dit comme ça ...Mais remplacez donc "bonnefonction" par «translaligp», «l;gç»par «barycentre" et "machin" par

"triangle" et vous obtenez le théo-rème suivant :

" si f est une translation et ABCun triangle dont le barycentre estG, alors f(G) est le barycentre dutriangle f(A)f(B)f(C) ".

Ba,------r$C ftB

rotation milieuréflexion centre

descendant roi

bonnefonction

f (x)=17x

truc

opposé

machin

nombrenon nul

segmentcerclepeuple

On dit que le barycentre d'un tri-angle est invariant par translation,ou que "l'image du barycentre estle barycentre des images."

Transcrivez vous-même le petittableau suivant :

La nature des invariants mis en jeudépend du problème à traiter. Parexemple, s'il s'agit de déterminer(l'équation de) la droite D' imagede D par la rotation de centre O etd'angle a :

alors I'invariant que l'on peut utili-ser est la valeur de la distance deD à O, qui doit être la même quecelle de D' à O. Un bon petitmoyen pour repérer une faute decalcul éventuelle.

Un autre principe utile : le passageà la limite. Penchons-nous encoresur la consommatlon de la 807.Si on remplace la valeur 130 km/hpar une valeur de plus en plusgrande, alors, selon notre formule,la consommation augmente. C'estplutôt bon signe. Si on remplace lavaleur 10 km/h par une valeurbeaucoup plus petite ou beaucoupplus grande, I'écart de vitesse dela voiture devient négligeabledevant la consommation initiale,ou au contraire prépondérant.C'est encore de bon augure. Etl'on peut continuer ...Enfin, si, le jour d'un examen, vousarrivez comme Toto à la solutiondéraisonnable de 58 litres aux centsans parvenir à trouver l'erreur,n'hésitez pas à faire ce que tousles professeurs recommandent :

signalez que vous vous êtes sûre-ment trompé !

C'est faire preuve d'intelligenceque d'avoir l'esprit critique I

Benoît Rittaud