PDM_Partie1_Chapitre5

CHAPITRE

5 Sollicitation lmentaire :la flexion

Comme pour les deux tudes des sollicitations prcdentes, on sappuie sur un constat go-mtrique. On se consacrera dans un premier temps ltude des contraintes normales, puis celles de cisaillement en prsentant les deux approximations classiques faites pour leur calcul.Le bilan tant de dire quon ngligera dans la majorit des cas les contraintes tangentielles deflexion devant les contraintes normales de flexion.

Sommaire1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2 Relation effort tranchant/moment flchissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3 Relation contrainte normale/moment flchissant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4 quation de la dforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Contraintes tangentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Ordre de grandeur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Critre de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8 Ce quil faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Pratiques du Dimensionnement en Mcanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf 65

5 Sollicitation lmentaire : la flexion

Ce premier chapitre est consacr la mise en place des hypothses fondamentales de laRdM . En partant de dfinitions gnrales, on restreindra peu peu le cadre ltude despoutres droites charges dans leur plan de symtrie.

1 Dfinition

Une poutre, ou un tronon de poutre, est sollicite en flexion simple ds que le torseurdes efforts intrieurs se prsente sous la forme suivante :

{Ti nt

} = { TyyM f z

z}

G

Si de plus, Ty = 0, alors on parle de flexion pure.Avant dtablir les relations entre les composantes du torseur des efforts intrieurs et les

contraintes, nous allons tablir une relation entre leffort tranchant et le moment flchissant.

2 Relation effort tranchant/moment flchissant

zx

y

x+dxxG G'

charge linique : p

Figure I.40: Tronon de poutre isol

On considre un petit tronon de poutre compris entre les abscisses x et x+d x tel quilest reprsent sur la Figure I.40. On suppose que les efforts extrieurs qui sexercent sur cetronon sont une charge linique uniforme sur toute la longueur d x. On notera que cette hy-pothse permet de simplifier la dmonstration qui reste valable dans le cas gnral. On sup-pose de plus que les torseurs des efforts intrieurs qui sexercent en G et G correspondent de la flexion simple.

Isolons alors le tronon de poutre de longueur d x. Le bilan des actions mcaniques ex-trieurs sur le tronon donne :

En G :

{ Ti nt } = { TyyM f zz}

G

En G : {Ti nt

} = { (Ty +dTy )y(M f z +d M f z)z

}G

La charge linique : py

66 Pratiques du Dimensionnement en Mcanique - P.-A. Boucard, P.-A. Guidault, F. Louf

2 Relation effort tranchant/moment flchissant

Appliquons alors le Principe Fondamental de la Statique au tronon de poutre. Lqua-tion en rsultante, projete sur y scrit :

Ty +Ty +dTy pd x = 0Lquation de moment crite au milieu de GG , projete sur z scrit (la charge linique negnre pas de moment au milieu de GG ) :

M f z +M f z +d M f z +Tyd x

2+ (Ty +dTy )d x

2= 0

En ngligeant les termes du second ordre dans lquation de moment, on en dduit :

dTyd x

= p et d M f zd x

=TyCette deuxime relation est un outil utile pour vrifier la cohrence du torseur des efforts

intrieurs calculs. De plus, on en dduit quen flexion pure, puisque Ty = 0, on a ncessai-rement M f z constant (indpendant de labscisse x).

Pour aller plus loin, il faut connatre la rpartition des contraintes dans la section. Pourdterminer cette rpartition, nous allons nous baser sur un constat gomtrique.

tude dun tronon se dformant

On considre un tronon de poutre soumis de la flexion. La Figure I.41 reprsente cetronon avant et aprs dformation. Le problme est alors dvaluer la variation de longueur

zx

y

x+dxx

d

d

a a1

a'1

y

R

Figure I.41: Tronon de poutre avant et aprs dformation

dune fibre aa1 dordonne y par rapport la ligne moyenne. Cette fibre aprs dformationse transforme en aa1. On constate exprimentalement que les fibres situes au dessus dela fibre moyenne se raccourcissent, tandis que les fibres situes sous la fibre moyenne sal-longent. La fibre moyenne ne change pas de longueur : on lappelle aussi fibre neutre.

Les constats prcdents amnent deux consquences. Les fibres sallongent ou se raccourcissent et sont donc soumises des contraintes

normales. Entre chaque fibre, on a des variations de longueur qui induisent des contraintes tan-

gentielles. On a donc la fois des contraintes tangentielles dites longitudinales (dansle plan (z ,x )), et par rciprocit, des contraintes tangentielles transversales (dans leplan (x ,y )) comme cel est reprsent sur la Figure I.43 et la Figure I.45.



Nous allons dans un premier temps nous intresser uniquement aux contraintes nor-males. Pour cel revenons sur lallongement subit par la fibre aa1. La dformation de cettefibre scrit :

= aa1aa1aa1

avec :aa1 = (R y)d et aa1 = d x

Dont on peut dduire que :

= (R y)dd xd x

= (R y)dd x

1

Or par dfinition la courbure, inverse du rayon de courbure R, est :

1

R= d

d x

Ainsi :

= 1 y dd x

1=y dd x

= yR

Cette dformation engendre alors une contrainte que lon peut dterminer partir de la loide Hooke :

= E=E yR

Avec cette dernire quation, on connait la rpartition des contraintes dans une sectiondroite. Nous allons pouvoir donc intgrer cette contrainte sur la section.

3 Relation contrainte normale/moment flchissant

Pour dterminer cette relation, il suffit dcrire la relation intgrale suivante :

{Ti nt

} = { TyyM f z

z}

G

={

ST (M ,x )dS

SGM T (M ,x )dS

}G

Avec : T (M ,x ).x =E yR

La projection de lquation en rsultante sur laxe x est vrifie et traduit le fait que la lignene moyenne ne sallonge pas ce qui valide lhypothse de dpart.

Intressons nous maintenant uniquement aux contraintes normales, alors on ne prenden compte que la projection du vecteur contrainte sur laxe x .

Pour dterminer la relation cherche, il suffit alors de projeter le moment de lquationprcdente sur laxe z :

M f z =

S

GM x dS .z avec GM = yy + zz

On en dduit :

M f z =

SydS avec =E y

R

Dou :

M f z =E

R

S

y2dS


3 Relation contrainte normale/moment flchissant

La quantit

S y2dS est appele moment quadratique de la section S par rapport laxe

(G ,z ). En effet cette quantit est lintgrale de la distance au carr dun point de la sectiondroite par rapport laxe (G ,z ). Cette grandeur ne dpend que de la section S, et est noteIGz . On pose donc :

IGz =

Sy2dS

On a en particulier pour une section circulaire, et pour une section rectangulaire :

section circulaire : IGz = pir4

4= pid

4

64et section rectangulaire : IGz = bh

3

12

z

y

xG z

y

xG

b

h

diamtre d = 2 rrayon r

Figure I.42: Paramtrage des sections

On crit alors :

M f z =E

RIGz avec E

R=

y

On peut en dduire finalement la relation recherche :

=M f zIGz

y

G

z

x

y

G

z x

y

max max

-max-max

G

Figure I.43: Rpartition linaire des contraintes normales dans lpaisseur

Cette relation permet de dterminer les contraintes normales en fonction du momentflchissant. Les contraintes ont une rpartition qui est linaire dans lpaisseur de la poutre



de par la dpendance la distance la fibre neutre y . A la fibre neutre, les contraintes nor-males sont nulles, et leur valeur maximale est obtenue au plus loin de la fibre neutre : poury = d/2 dans le cas dune section circulaire, et pour y = h/2 pour une section rectangulaire.

Cette rpartition est reprsente sur la Figure I.43 dans le cas dun moment flchissantngatif.

4 quation de la dforme

Sous les actions de flexion, la ligne moyenne de la poutre va se dformer. On caractrisepar v(x), lquation de la courbe caractristique de la ligne moyenne aprs dformation (cfFigure I.44). La ligne moyenne aprs dformation est aussi appele dforme et la valeur dela dforme en un point est appele flche.

z x

y

O

v(x)

Figure I.44: Dforme de la ligne moyenne

Comme lquation de la ligne moyenne est dfinie en coordonnes cartsiennes, on peuten dduire lexpression du rayon de courbure R :

R = (1+ v2)

32

v

De plus, le fait que lon se place dans lhypothse des petites perturbations permet de ngli-ger dans lexpression prcdente le terme v 2 devant 1, soit 1+ v 2 1. En remplaant alorsR = 1v dans lexpression M f z = ER IGz , on en dduit immdiatement lquation diffrentiellevrifie par la dforme v(x), relation de comportement globale entre la flche et le momentflchissant :

E IGz v =M f z

Lintgration de lquation prcdente et la prise en compte des conditions aux limites (liai-sons de la poutre avec lextrieur) permettra de dterminer la forme de v(x) (on trouve g-nralement pour v(x) une expression polynomiale par morceau).

5 Contraintes tangentielles

Comme nous lavons dit prcdemment, les contraintes tangentielles sont la fois lon-gitudinales et transversales comme cel est reprsent sur la Figure I.45. De plus, comptetenu que les contraintes normales ne varient quen fonction de la distance la fibre neutre(elles sont donc constantes dans la largeur), on peut en dduire que les contraintes tangen-tielles sont elles aussi constantes dans la largeur. Il ne reste donc plus qu dterminer leurrpartition dans la hauteur de la section (dpendance en fonction de y). Pour commencer,


5 Contraintes tangentielles

z

x

y

x z

y

G

G

Figure I.45: Rpartition des contraintes tangentielles dans la largeur

supposons que les contraintes tangentielles ne dpendent pas de y . Elles sont donc uni-formes sur toute la section droite. Lcriture de lquation de rsultante en projection sur ytire de la relation intgrale sur le torseur des efforts intrieurs scrit dans ce cas :

Ty =

SdS

Et comme est uniforme sur S, on en dduit :

= TyS

On a donc avec cette premire expression un moyen de calculer les contraintes tangentiellessous lhypothse quelles sont uniformes sur la section. Cette expression est souvent utilise,car elle donne un majorant de la valeur de la contrainte tangentielle. Malheureusement, ellenest pas exacte, car les contraintes tangentielles ne sont pas uniforme sur la section : ellesdpendent de y .

Pour trouver une expression plus gnrale, isolons un bout de poutre limit par les sur-faces S1, S3, S2 et la surface extrieure de la poutre, comme cel est reprsent sur la Fi-gure I.46.

zx

y

x+dxx

S2

y

S1

S3

G'Gx z

y

b(y)

S3

Figure I.46: Isolement dun petit bout de poutre

Comme prcdemment, le bilan des actions mcaniques extrieures fait apparatre :



En G : {Ti nt

} = { TyyM f zz}

G

En G : {Ti nt

} = { (Ty +dTy )y(M f z +d M f z)z

}G

On peut alors, section par section, lister les contraintes qui sexercent :sur S1 :

1 =M f zIGz

y et 1(y)

sur S2 :

2 =M f z +d M f z

IGzy et 2(y)

sur S3 :(y)

partir de ce bilan, crivons alors lquilibre statique de ce tronon, en se concentrantuniquement sur lquation de rsultante en projection sur laxe x :

S11dS+

S22dS+

S3dS = 0

Soit : S1

M f zIGz

ydS

S2

M f z +d M f zIGz

ydS+(y)b(y)d x = 0

En simplifiant, puisque S1 = S2, on en dduit :

S1

d M f zIGz

ydS+(y)b(y)d x = 0

Et en divisant par d x :

1IGz

d M f zd x

S1

ydS+(y)b(y)= 0

En utilisant le fait que Ty = d M f zd x , il vient finalement :

|(y)| = Ty A(y)b(y) IGz

avec A(y)=

S1ydS

Cette expression permet davoir une meilleure approximation de la contrainte tangentielledans la section droite. Elle fait en particulier intervenir A(y) qui est le moment statique de lasection S1 par rapport laxe

z .On peut remarquer sur cette expression que lorsquon sloigne au maximum de la ligne

moyenne (soit en y = d/2 o y = h/2 selon la de section), lintgrale qui permet de calculerA(y) est nulle puisque la section sur laquelle on intgre est nulle.

Ainsi la contrainte tangentielle est nulle sur les deux surfaces suprieures et infrieuresde la poutre.Aprs avoir valu les contraintes normales et tangentielles, nous allons tenter de les com-parer, ou au moins davoir une ide de leur ordre de grandeur.


6 Ordre de grandeur des contraintes

6 Ordre de grandeur des contraintes

Nous allons noter od g (), lordre de grandeur de la quantit . Par exemple, pour le pre-mier calcul de la contrainte tangentielle :

= TyS

On peut crire :

od g ()=Tya2

o a est une dimension caractristique de la section

On peut aussi valuer lordre de grandeur de la contrainte tangentielle obtenue avec la se-conde formule :

od g (A(y))= a3 od g (IGz)= a4 od g (b(y))= aDonc :

od g ()=Tya2

On retrouve bien videmment le mme rsultat puisque la contrainte tangentielle, quelleque soit la mthode de calcul utilise, est du mme ordre de grandeur. Intressons nous lacontrainte normale :

=M f zIGz

y avec d M f z =Ty d x

Ainsi :od g (M f z)= Ty l o l est la longueur la poutre

Et on en dduit :

od g ()=Ty l

a3

On peut donc en dduire le rapport des ordres de grandeur de la contrainte tangentielle etde la contrainte normale :

od g ()

od g ()= a

l

Or le rapport a/l est llancement de la poutre (rapport entre la plus grande dimension trans-versale et la longueur). Pour que le solide tudi puisse tre considr comme une poutre(cf. les hypothses), le rapport a/l est infrieur 1/5 et est bien souvent plus faible. On peutdonc considrer que dans le cas de la flexion, les contraintes tangentielles sont ngligeablesdevant les contraintes normales. Ainsi, les seules contraintes rellement dimensionnantessont :

les contraintes normales en traction/compression les contraintes tangentielles en torsion les contraintes normales en flexion

7 Critre de dimensionnement

Pour dimensionner la poutre on utilise donc uniquement le critre sur la contrainte nor-male, qui est le mme que celui dj voqu en traction/compression.



On peut aussi prendre en compte un critre sur la flche maximale, qui traduit, moyen-nant un coefficient de scurit s, que la flche maximale v(N ) en un point N doit resterinfrieure une valeur donne dpendante des conditions dutilisation :

s v(N ) vl i mOn pourrait aussi imaginer un critre de rotation maximale de la section droite associ lagrandeur , cest dire d vd x = v (x).


8 Ce quil faut retenir

8 Ce quil faut retenir

Une poutre, ou un tronon de poutre, est sollicite en flexion simple ds que le torseurdes efforts intrieurs se prsente sous la forme suivante :

{Ti nt

} = { TyyM f z

z}

G

Si de plus, Ty = 0, on parle alors de flexion pure. Le moment flchissant et leffort tran-chant sont lis par la relation :

d M f zd x =Ty .

Les contraintes normales se calculent

G

z

x

y

G

z x

y

max max

-max-max

G

laide de :

=M f zIGz

y

o y est la distance la

fibre neutre et

IGz =

Sy2dS section circulaire : IGz = pir

4

4= pid

4

64et rectangulaire : IGz = bh

3

12

Lquation de la flche est :E IGz v

=M f z laquelle sajoutent les conditions de liaisons.

Les contraintes tangentielles sont

z

x

y

x z

y

G

G

ngligeables devant les contraintesnormales. On peut nanmoins lescalculer avec :

= TyS

ou

|(y)| = Ty A(y)b(y) IGz

avec A(y)=

S1ydS

et b(y) est la largeur de la poutre la distance y de la fibre neutre.

Pour dimensionner la poutre on utilise un critre en contrainte (comme celui vu en trac-tion/compression) ou en flche maximale :

s v(N ) vl i m , s est un coefficient de scurit suprieur 1.


Documents

PDM_Partie1_Chapitre5