Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°3 Dérivation et solutions des équations des vibrations

Physique 3Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°3

Dérivation et solutions des équations des vibrations

Je vous souhaite la bienvenue à cette troisième leçon du cours de vibrations linéaires et ondes mécaniques . Cette leçon intitulée «Dérivation et solution des équations des vibrations ».

Pour exprimer les lois de la mécanique, il y’a plusieurs formalismes tels que les formalismes de Newton, de d’Alembert, d’Hamilton et le formalisme de Lagrange. Ce dernier formalisme est un outil particulièrement adapté et très puissant pour mettre sous équations les systèmes vibratoires les plus complexes.

Ce formalisme est basé sur le principe d’Hamilton ou principe de moindre action.

Si on prend une particule allant entre les temps t1 et t2 d’un point A à un point B. Cette particule a une trajectoire. Nous avons besoin d’une équation différentielle qui nous donne la position de la particule en fonction du temps entre les points A et B. Hamilton a défini un scalaire S appelé action qui est l’intégrale entre les instants initiaux et finaux de déplacement de la particule, cette intégrale est prise sur une quantité L qu’on appelle le Lagrangien et qui n’est autre que la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle pour une masse et un ressort par exemple : 2

1

t

t

22 dttx,txLSdonckx2

1Vetxm

2

1T

où (L=T-V) dépend de la trajectoire x(t) et de la vitesse . Le principe de moindre action dit que la différentielle de l’action S c’est-à-dire S est égale à zéro. Dans ce cours, nous allons d’une manière très simple dériver les équations de Lagrange à partir du principe de moindre action. De manière à ce que vous ne sentiez pas que ces équations de Lagrange sont parachutées.

Il existe des démonstrations laborieuses et rigoureuses de ces équations de Lagrange, mais ce n’est pas le but de ce cous.

Une fois ces équations de Lagrange démontrées, nous les avons d’abords appliqués, pour retrouver la deuxième loi de Newton, nous les avons ensuite appliquées à des systèmes mécaniques simples et libres a un degrés de liberté, libres, amortis et forcé, puis à un système à deux degrés de liberté, juste pour trouver les équations différentielles du mouvement.

Ces exemples montrent que toutes les équations différentielles des vibrations linéaires sont de la forme :

tx

Fkxxxm

qui sont des équation linéaires du deuxième degré à coefficients constants où m est une masse équivalente du système, est un coefficient d’amortissement équivalent et k est une constante de rappel équivalente. F dans le deuxième membre est une force extérieure appliquée au système.

Vous avez appris en première année comment résoudre ce genre d’équation différentielle. Nous allons reprendre cela pour trouver les solutions par ce qu’on appelle la formation caractéristique. Ces solutions nous serviront, devront être trouvées dans ce cours pour tous les cas qui peuvent se poser c’est-à-dire :

- Les systèmes libres non amortis- Les systèmes libres amortis- Les systèmes forcés non amortis et amortis

avec des forces extérieurs qui peuvent être sinusoïdales, périodiques non sinusoïdales, des forces quelconques qui en pratique sont des impulsions ou des chocs ayant une forme quelconque.

Ce genre d’analyse est important pour résoudre des problèmes pratiques tels que la protection contre les vibrations dans les appareils et machines, la résistance des bâtis aux tremblements de terre et bien d’autres applications que nous verrons dans les prochains cours.

Deuxième loi de newton

Pour les forces dérivant d’un potentiel :

z

VF;

y

VF;

x

VF

VdgraF0FRot

zyx

Exemple : Poids d’un corps :

Force de rappel d’un ressort :

zemgFetmgzV

xkFetkx2

1V 2

Temps final

Temps initial

2

2

dt

xdm

dx

dVmF

Le principe de moindre action

tx,tx

0S,dttx,txLS2

1

t

t

VTL,tx,txL

Temps final

Temps initial

2

1

t

t

0Ldt0S

2

1

2

1

t

t

t

t

0dtxx

Lx

x

L0Ldt

Equation de Lagrange (1)

2

1

t

t

0dtxdt

d

x

Lx

x

Lx

dt

dx

2

1

t

t

0dtxx

L

dt

d

x

Lx

x

L

dt

dx

dt

d

x

L

0x

L

dt

d

x

L0xdt

x

L

dt

d

x

L2

1

t

t

VTLavec0x

L

x

L

dt

d

Equations de Lagrange (2)

xVxm2

1L 2 Mettre :

Dans :

On obtient :

0x

L

dt

d

x

L

0dt

xdm

x

V2

2

Deuxième loi de Newton à partir de l’équation de Lagrange

xdt

dxx

ta

a

x

t

aat

xa

ta

x

adt

xd

adt

dxx

22

Démonstration de xdt

dx

b

a

b

a

b

a

vduvuudv

dtx

L

dt

dduxvdtx

dt

ddv,

x

Lu

2

1

2

1

1

2

t

t

t

t

t

t

xdtx

L

dt

dx

x

Ldtx

dt

d

x

L

2

1

2

1

t

t

t

t

xdtx

L

dt

ddtx

dt

d

x

Loù'd

Démonstration de :

2

1

2

1

t

t

t

t

xdtx

L

dt

ddtx

dt

d

x

L

N21N21 q,....q,q,q,......,q,qLL En général :

Dans le cas d’un système forcé et amorti

où

FM(t)= Forces motrices, FR(t)=forces résistantes

En général,

N,...,2,1ipour0q

L

q

L

dt

d

ii

iii

Fq

L

q

L

dt

d

tFtFtF iRiMi

Ecriture pour N degrés de liberté

2ii

i

iiiR q

2

1Doù

q

DqtF

Liaisons, degrés de liberté et coordonnées généralisées

• On appelle liaisons, les contraintes imposées au mouvement d’un système• Le nombre de degrés de liberté est le nombre total de coordonnées

diminué du nombre de liaisons.• Les coordonnées généralisées sont les coordonnées nécessaires pour

décrire le système.

Exemple : pour un pendule simple en mouvement dans un plan :- z = constante, x²+y²=ℓ² donc deux contraintes.

- nombre de degrés total (x, y, z)=3, nombre de degrés de liberté =3-2=1

- Coordonnée généralisée

Exemple 1 : Liaisons et degrés de liberté

Donner dans chacun des cas suivants, les liaisons, le nombre de degrés de liberté et les coordonnées que et les coordonnées que l’on peut utiliser pour définir le système.

Deux particules séparées par une distance d constante Particule se déplaçant sur un

cercle

Exemple 1 : Liaisons et degrés de liberté (2)

Liaisons Degrés de liberté Coordonnées généralisées

(a)(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)² = d²

N=6-1=5 xB, xA, yB, yA, zB, zA

(b)z=cste(x-a)²+(y-b)²=R² N=3-2=1

x=a + R cos y=b + R sin

Exemple 2 : Équation de Lagrange de Systèmes Simples à un Degré de Liberté

Énoncé : On considère les quatre systèmes à un degré de liberté représentés sur les figures ci après. On se propose d’étudier les mouvements de faible amplitude. Déterminer pour chaque système : l’énergie cinétique, l’énergie potentielle, le Lagrangien, l’équation différentielle du mouvement, la période T des petits oscillations.

Système n°1 Système n°2 Système n°3 Système n°4

Exemple 2 : Solution (1)

Système n°1 :

•

•

•

•

•

22 xk2

1V,xm

2

1T

22 kx2

1xm

2

1L

0kxxm0x

L

x

L

dt

d

0xx 2

k

m2T

T

2

m

k2

2

Système n°1


Système n° 2 :

•

•

•

•

•

cos1mgV,m2

1xm

2

1T 222

cosmgm2

1L 22

0sing

0sinmgm 2

0g

g2

2T

Système n° 2


Système n° 3 :

•

•

•

•

2t

2 K2

1V,J

2

1T

2t

2 K2

1J

2

1L

0KJ

k

J2

2T

Système n° 3


Système n°4 :

•

•

•

20

2220

2 J2

1mr

2

1J

2

1mx

2

1T

2220

2 kr2

1Jmr

2

1L

0Jmr

kr,0krJmr

02

22

02

k

Jmr2

2T 0

2

222 kr2

1kx

2

1V

Système n° 4

Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre

Définir pour chacun des systèmes des quatre figures :

1- Les énergies cinétiques, potentielle et le Lagrangien

2- L’équation du mouvement linéarisée au voisinage de la position d’équilibre stable (c’est-à-dire l’équation des petites oscillations).

Figure 4 : Système de bras rigides tournent autour du point fixe O. A l’équilibre =0

Figure 3 : Fléau portant les masses M et m oscillant autour du point fixe O A l’équilibre, =0

Figure 2 :cylindre M oscillant autour de O fixe, attaché à un ressort k. le fil s’enroule sans glisser

Figure 1 : bras de longueur ℓ d’un cylindre qui roule sans glisser

Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite)

•

•

Energie potentielle : Epm=mgl (1-cos)

Lagrangien :

222222CM MR

4

3MR

2

1MR

2

1

2

1E

22222CM

22Cm RcosR2m

2

1EcosyetRsinxavecyx

2

mE

22222cmCMc .cosmRmRmMR

2

3

2

1EEE

cos1mgl.cosmRmRmMR2

3

2

1EEL 22222

pC


Equation du mouvement :

cos1, sin, on néglige les termes de puissance supérieure ou égale à 2.

0gRsinmsincosmR2mRmMR2

3

0LL

dt

d

22222

0formelade,0mgRmMR2

3 20

22


Position d’équilibre (=0), m1m2 le ressort est soit comprimé, soit allongé.Energie cinétique :

Energie potentielle :

; x0 = allongement à l’équilibre

La condition d’équilibre (=0) impose que

222

21

2c RmRmMR

2

1

2

1E

cstesinaxk2

1gymgymE

EEEEE

2021p

pppmpmp élastiqueM21

sinakxsinka2

1kx

2

1RgmgmERy 0

222021p

cstecosakxRgmgm0E

021

0

p


Le Lagrangien :

Pour sin et cos =1

Equation du mouvement :

avec

22222

21

2

22

équilibre'dcondition0

02122

22

12

ka2

1RmRmMR

2

1

2

1t,,L

ka2

1akxgRmmRmRmMR

2

1

2

1L

00LL

t

d 20

221

220

RmmM21

ka

220

2122

22

12

pc

sinka2

1sinakx

gRmmRmRmMR2

1

2

1EEL

Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite), exercice 4

-Energie potentielle :

222

21c

221

2Mcccc

mM2

1E

m2

1J

2

1E;mEMEE

rotrot

22221p

2221ppp

kk2

1E

xkk2

1EEE

)2k()1k(

- Le Lagrangien :

0

mM

kk0

LL

dt

d

kk2

1mM

2

1t,,L

222

122

21

22221

221

22

En posant 0et

m9M

kk;

4;

4

3 2022

2212

021

• Position d’équilibre stable (=0)• Energie cinétique :

• Energie potentielle :

• Condition d’équilibre

Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à degré de liberté libres (Suite), exercice 4

233

222

211c

cccc

mmm2

1E

EEEE3m2m1m

0ctekx2

100Echoisiton

ctexsink2

11cosgmsingmgmEE

équilibre'làtallongemenxsinxk2

1E

singmEet1cosgmE;singmE

EEEEE

20p

203221133pp

02

30p

33p22p11p

ppppp

k

3m2m1m

k3m2m1m

22322p

301133

0

p

sink2

1cosgmEalors

0kxgmgm0E

• Lagrangien :

• Equation du mouvement :

• Cas des faibles oscillations sin et cos 1.

avec

Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libres (Suite), exercice 4

22322

2233

222

211 sink

2

1cos1gmmmm

2

1t,,L

0cossinksingmmmm 2322

233

222

211

0LL

dt

d

00gmkmmm 2022

23

233

222

211

233

222

211

22232

0 mmm

gmk

Pour les deux systèmes montrés dans les figues ci-dessus, écrire les équations différentielles du mouvement dans le cas de petites oscillations. La force appliquée est de la forme :

Exemple 4 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté amortis et forcés

tcosFtF 0

Exercice 1

de la forme :

tcosFLL

dt

d

kk2

1m

2

1L

kk2

1V

0

2222

211

22

2222

211

tcosm

F

m

kk

m

tcosFkkm

20

2

221

211

022

22211

22

tcosm

F

m 202

0

Exercice 2

pour les petits angles

L’équation de Lagrange :

avec

cos1mg

2Rk

2

1R2k

2

1U 2

22

22

2222

22222

mg2

RkkR42

1Rm

2

1MR

2

3

2

1L

Rm2

1MR

2

1I

2

1T

22

020

0

22

222

22

0

RmMR23

cosF2

tcosFmg2

RkkR42

RRmMR2

3

2R

2

1D

tcosFDLL

dt

d

2cos1

2

22

22

2022

2

RmMR23

mgc

RkkR4et

Rm2MR32

R

Exemple d’un système à deux degrés de liberté

223

2122

211

22

2211 xk

2

1xxk

2

1xk

2

1xm

2

1xm

2

1

VTL

•

•

kkkketmmm

0kx2kxxm

0kxkx2xm

0x

L

x

L

dt

d

32121

212

211

ii

•

• m et = masse et amortissements équivalents

• F(t) périodique ou quelconque

•Equation du deuxième degré à coefficients constants

• Solution par formation de l’équation caractéristique

Solution des équations différentielles des vibrations, généralités

tFqqqm 20

Solution des équations différentielles de vibration par formation de l’équation caractéristique

Les équations homogènes

• Équation homogène

• Solution de la forme

• L’équation caractéristique

• Les racines de l’équation caractéristique

0 =by + 'ay + "y

e =y x

0 = b + a + 2

4b-a-a-2

1 = , 4b-a+a-

2

1 = 2

22

1

Solution des Équations Différentielles de Vibration (Suite)

Solution Générale :

( )i 1 et 2 sont réels et différents

(ii) 1=2 réels

( )iii 1,2= i avec 0

21

1)( CtC ety t

tsinAetsinCtcosCe)t(y t

21

t

t

2

t

1

21 eCeCty

cosACetsinACavec 21

Exemple 5Trouver les solutions des systèmes •

(a) L’équation caractéristique : 2+ -2=0 qui a pour racines 1=1 et 2=-2

• La solution générale

• La dérivée s’écrit

• Les conditions initiales donnent

• La réponse

x2

2

x

1 eC2eCxy

x2

2

x

1 eC2eCx'y

1Cet2C0C2C

3CC

21

21

21

x2x ee2y

1 = (0)y , 3 = y(0) ; 0 =4y + y4- y" c)

1 = (0)y , 4 = y(0) ; 0 =10y + y2 y"- b)

0 = (0)y , 3 = y(0) ; 0 =2y - y + y" a)

Exemple 5 : (Suite1)

(b) • L’équation caractéristique : 2 - 2+10=0

• Les racines 1= -1+3i , 2=-1-3i • La solution générale • Sa dérivée • Les conditions initiales donnent • La réponse est :

10'y,40y;0y10'y2"y

x3sinBx3CosAey x

x3sinA3BxcosB3Ae'y x

1B1B3Aet4A

x3sinx3cos4ey x

Exemple 5 : (Suite2)(c)

• L’équation caractéristique : 2 - 4+4=(-2) 2

• La solution générale

• Sa dérivée

• Les conditions initiales donnent

• La réponse est :

10'y,30y;0y4'y4"y

x2

21 exCCxy

x2

21

x2

2 exCC2eC'y

5Cet3C1C2C0'y;3C0y 21121

x2ex53y

Les Équations Non Homogènes

La solution générale y(t)

On utilise la méthode des coefficients indéterminés pour trouver la solution particulière. Les choix pour yp sont résumés dans le tableau suivant, mais peuvent être l’objet d’une règle de modification.

tFby'ay"y

tytyty ph

Les Équations Non-Homogènes

Termes dans F(t) Choix pour yp

0

p

iq

iq

...,.........1,0nkxn 01

1n

1n

n

n KxK.........xKxK

pxke pxCe

qxcosk qxsinMqxcosK

qxsink qxsinMqxcosK

Règle de modification : Si les valeurs listées dans la dernière colonne sont des racines de l’équation caractéristique de l’équation homogène, la fonction de la seconde colonne du tableau doit être multipliée par xm où m est la multiplicité de la racine de cette équation. M est donc égal à 1 ou à 2 pour une équation du second degré.

Exemple 6 Résoudre les équations différentielles: a) y" + 4y'= 8 x²

b) y" - y' - 2y = 10 cosx c) y" - 2 y'+ y = ex + x

(a)

Par substitution :

2x8y4"y

2p01

2

2p K2"y,KxKxKy

1x2y

1K,0K,2K

0K4K2,0K4,8K4

2

p

012

0212

1x2x2sinBx2cosAxyxyxy 2

ph

i204x2sinBx2cosAy 212

b

Exemple 6 : (Suite 1)

(b) car 2--2=0 =-1 et =2

Par substitution dans l’équation différentielle :

En égalant les coefficients des deux cotés :

xcos10y2'y"y

xsinMxcosK"y;xcosMxsinK'y

xsinMxcosKxy

pp

p

xcos10xsinM3KxcosMK3

xsinxcos3eCeCyyy x2

2

x

1ph

x2

2

x

1h eCeCxy

1M,3K0M3K,0MK3

Exemple 6 : (Suite 2)

(c) L’équation caractéristique et la solution de l’équation homogène :

La fonction x dans le membre de droite indique une solution de la forme

1 est une racine double de l’équation caractéristique, la fonction ex doit avoir comme solution particulière :

La solution générale de l’équation est :

xey'y2"y x

01 KxK

2K,1K,21CxeKK2xKeC2y'y2"y 01

x

011

x

ppp

x21h

2 eCxCy,012

2xex21eCxCyyy x2x

21ph

x2exC

Equations des vibrations

1. Systèmes libres non amortis

2. Systèmes libres amortis

3. Systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale

4. Systèmes amortis soumis à une force sinusoïdale

5. Système amorti soumis à une force périodique quelconque

6. Système amorti soumis à une force quelconque non périodique

kxxm

0kxxxm

tcosFkxxm 0

tcosFkxxxm 0

tFkxxxm p

tFkxxxm NP

Equations des vibrations (2)

Système libre non amortis • Equation

• Equation caractéristique et racines :

• Solution

C1 et C2 dépendent des conditions initiales du système.

0kxxm

02 i

m

ki;0km

1

221

00201

C

CArtgetCCCavec

tcosCtx;tsinCtcosCtx


Systèmes libres amortis • Equation

• Equation caractéristique et racines :

• Solution

C1 et C2 sont des constantes arbitraires à déterminer à partir des conditions initiales du système.

Pour qu’il y ait des vibrations, le radical sous la racine doit être négatif

0xm

kx

mx0kxxxm

m

k

m2m2m2

mk4;0km

22

2,12

t

m

k

m2m2

2

tm

k

m2m2

1t

2t

1

22

21 eCeCeCeCtx

m

k

m2

2


Systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale• Equation

• Solution de l’équation homogène et forme de la solution particulière. On pose

• solution Générale

C1 et C2 sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales du système.

tcosFkxxm 0

tcosXtx;tCtcosCtxm

k

p0201h

20

tcosmk

FtsinCtcosCtx

20

0201


Systèmes amortis soumis à une force sinusoïdale• Equation

• Solution particulière • Calcul intermédiaires :

– On substitut – relations trigonométriques

–On remplace ou on égale les coefficients de cos t et sint :

- Solution

tcosFkxxxm 0

tcosXtxp

tcosFtsintcosmkX 02

sintcoscostsintsin

sintsincostcostcos

0cossinmkX;FsincosmkX 20

2

2

21

2222

0ph mk

Arctg;mk

FXavectxtxtx


Systèmes amortis soumis à une force périodique quelconque• Equation

• Développement en série de Fourier :

• Ce qui revient à résoudre les équations suivantes et utiliser le principe de superposition :

• Solution :

tFkxxxm p

1j

j1j

j0

p tjsinbtjcosa2

atF

tjsinakxxxm;tjcosakxxxm;2

akxxxm jj

0

220

20

0

1 22221 2222

0

1

2;

2;;

sin21

cos212

rj

jrArctg

mm

kroù

tjjrrj

kbtj

jrrj

ka

k

ax

j

jj

j

jj

jtp

Equations des vibrations (7)Systèmes amortis soumis à une force quelconque non périodique

Equation

• La réponse à une impulsion dans le sens de la fonction de Dirac est :

• La réponse à la force F(t) est :

• Ce cas est beaucoup plus réel que les forces périodiques et nous permet d’anticiper sur les conséquences d’évènements tels que les tremblements de terre ou les explosions.

tFkxxxm Np

m

k;

m2m

k;

m2oùtsin

m

etg 2

0

2

d0

dd

t0

t

0 dt

d

t

0p dtsineFm

1dtgFtx 0

Conclusion (1)

Dans cette troisième leçon intitulé «Dérivation et solution des équations des vibrations», nous avons démontré l’équation de Lagrange à partir du principe de moindre action. Nous avons utilisé cette équation pour trouver les équations différentielles du mouvement de plusieurs systèmes vibratoires partant des plus simples à des systèmes à un degré de liberté plus complexes, nous avons utilisé l’équation de Lagrange pour trouver aussi les équations du mouvement de systèmes amortis et forcés et de systèmes à deux degrés de liberté. Nous avons montré que les équations des vibrations linéaires étaient des équations différentielles du deuxièmes degré à coefficients constants. Des solutions ont été proposées utilisant la méthode de la formation de l’équation caractéristique.

Conclusion (2)

Différentes solutions ont été proposées suivant que le système est : - Libre non amorti- Libre amorti- Non amorti soumis à une force sinusoïdale- Amorti soumis à une force périodique quelconque - Amorti soumis à une force quelconque non périodique tel qu’une impulsion ou un

choc.

C’est la solution de ces équations dans les différents cas qui nous permettra de

-Contrôler les fréquences naturelles d’un système en évitant les résonnances sous des excitations extérieures,-En prévenir les réponses excessives d’un système même à la résonance en introduisant un amortissement ou un mécanisme de dissipation d’énergie.-Réduire la transmission des forces d’excitation d’une partie de la machine à l’autre en utilisant des isolateurs de vibration,-Réduire la réponse du système par l’addition d’une masse auxiliaire pour neutraliser ou absorber les vibrations.

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Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°3 Dérivation et solutions des équations des vibrations