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EFFORTS HYDRODYNAMIQUES
SUR LES PIEUX
Auteur: P. Aristaghes
...� Lib"" • t,u/l'I • F,tl'",,/,.
lU'UBLlQJJE fRANÇAISE
STCPMVN - STC PM N° 86-3� ministère del'~cologle CETMEF Juillet 1986 du D6veloppement et de l'Aménagement durable.
S.T.C.P.H.V.N.
NOTICE STe PH N°B6-3 JUILLET 1986
EFFORTS HYDRODYNAMIQUES
SUR LES PIEUX
SERVICE.AUTEUR P. ARISTAGHES
Di ffusion N
S 0 H HAl R E
PAGES
INTRODUCTION 1
1 - FORMULE DE MORISON 2
1.1 - Forces de trainée 2 1.2 - Forces d'inertie 4 1.3 - Intérêt de la formule de Morison 5
2 - PIEU FIXE DANS UN COURANT 6
2.1 - Courant permanent 6 a) Coefficient de trainée du pieu 1 isse 6 b) Tourbillons engendrés par l'écoulement 8 ~) Effets de la rugosité 10
2.2 - Ecoulement alterné 11 a) Analyse dimensionnelle 11 b) Valeurs moyennes de Co et de C" 12 c) Résultats expérimentaux 13 d) Conclusion 13
3 - PIEUX SOUMIS A LA HOULE 16
3.1 - Général ités 16
3.2 - Piles de grand diam~tre 19 a) Nature des forces de houle 19 b) Analogie avec la formule de Horison 21 c) Efforts de houle sur une pile circulaire 23
3.3 - Houle non déferlante sur des pieux de petit 26 diamètre
a) Théorie linéaire de la houle 26 b) Effets non linéaires 31 c) Valeurs des coefficients Cp et C" 38 d) Groupes de pieux 39 e) Tableau récapitulatif 42
3.4 - Pieux en houle déferlante 43 a) Efforts de trainée et d'inertie 43 b) Effet de gifle 44
BIBLIOGRAPHIE 46
'• .4
EFFORTS HYDRODYNAMIQUES SUR LES PIEUX
En travaux maritimes, l'Ingénieur est parfois confronté au problème de l'évaluation des efforts dus au courant ou à la houle sur des pieux, Qu'il s'agisse d'estacades, d'appontements, ou de brise-lames spéciaux. Depuis l'énoncé de la formule classique de Morison (1950), de nombreuses recherches ont porté sur ce sujet, mais le plus souvent dans le but de dimensionner les plate-formes pétrolières, pour lesquelles les problèmes ne sont pas for-Cément les m~mes, puisqu'il s'agit alors de piles dont le diamètre peut ~tre important et parce Qu'elles se situent par grande profondeur.
La présente notice commencera par une justification de la formule de Morison à l'aide de considérations faisant appel à l'analyse dimensionnelle, ce Qui nous permettra de définir les forces de tralnée et d'inertie. Nous étudierons ensuite le cas, en apparence simple, du pieu placé dans un courant permanent, en mettant en évidence les différents régimes d'écoulement Qui peuvent exister, puis l'influence de la rugositÉ' sur les efforts. Nous donnerons également un aperçu sur les effets des courants alternés, dans la mesure où ils constituent une bonne introduction au cas de la houle.
En ce QU i concerne les efforts de houle, nous traiterons successivement le cas des pieux de grand diamètre (diamètrel longueur d'onde supérieur à liS), pour lesquels les effets de viscosité sont négl igeables, puis ceux de petit diamètre et nous terminerons par le cas des pieux de petit diamètre en houle déferlante.
-------------------------- ------- --------
-------- -------- ------- ------- --------
- 2
1 - FORHULE DE HORISON
1.1 - FORCES DE TRAINEE
Lorsqu'un corps est immergé dans un l i QU i de en mouvement, on conçoit aisément Que les efforts hydrodynamiques doivent étre fonction du champ des vitesses des particules fluides à chaque instant. Or, si l'on en reste à la théorie du fluide parfait (c'est-à-dire incompressible et non visqueux) et si l'on suppose le régime permanent, la résultante des efforts hydrodynamiques doit étre nulle: c'est le paradoxe de d'Alembert.
Par conséquent, pour rendre compte des phénom~nes observés, il est nécessaire de supposer le fluide visqueux: le liquide est alors complètement défini par sa masse volumique ~ et sa viscosité dynamiQuey.
Considérons, pour fixer les idées, un cyl indre indéfini de diamètre 0 placé dans un courant uniforme de vitesse égale à V lorsque l'on se place suffisamment loin, et cherchons l'expression de la force hydrodynamique f par unité de longueur, c'est-à-dire la fonction:
f = f (V, D, r' fJ ) Les 5 grandeurs précédentes faisant intervenir les 3 dimensions
fondamentales (Masse, Longueur et Temps), les principes de l'analyse dimensionnelle montrent Que la relation précédente peut s'écrire sous la forme d'une relation entre 2 nombres sans dimensions obtenus par combinaison des 5 grandeurs de départ.
Pour obtenir ces nombres, il suffit de considérer le tableau des dimensions de ces 5 grandeurs, à savoir :
f V 0 ~ f H 1 0 0 1 1
L 0 1 1 - 3 - 1
T - 2 - 1 0 0 - 1
et de chercher les exposants Xl (15iSS) permettant d'obtenir des nombres sans dimension, ce Qui conduit au système suivant
= 0[X, +X. +X,
X2 + X;J" + 3X4 - x, = 0
- 2xt - X2 - x, = 0
pour lequel il faut se donner deux variables a priori.
- 3
Sil' on impolie au prellier de ces deux nombres de contenir le rapport fI~ ce Qui revient à se fixer Xl = 1 et X4 = - 1, ce systèlle con du i t à :
X2 = - 2
X3 = - 1
X5 = 0
c'est-à-dire au nombre adimensionnel f/~ Dy2
Si de m~me on impose au second de contenir le rapport,u/~ , Que l'on désit;jne également sous le nom de viscosité cinélaatiQUeV( pour de l'eau pure à 20oC,~vaut environ 10- 6 Ql2 S -1). on obtient le nombre sans dimension suivant :
Il s'agit du nombre de Reynolds, Qui caractérise le deqré de turbulence de l'écoulement en ce sens Que, pour des valeurs assez grandes del, les contraintes dues à la viscosité (à savoir)- ~~/ÔxJ) deviennent négligeables devant celles liées à la turbulence (à savoir
fU' 1 u' J ) •
Ces deux nombres étant définis, l'expression de f peut se mettre sous la forme suivante (force p~r unité de longueur) :
Cette force de tralnée (drag 'orce) est due aux contraintes de cisaillement Qui agissent da~s la couche limite entourant le cylindre, ainsi Qu'aux décollelllents et aux tourbillons QUI font dimtnuer la pression derrière le cylindre et Qui résultent des pertes d'énergie <lue subit une particule d'eau de la couche limite en se déplaçant vers la face aval, Comme le montre la figure suivante (r.f [3]) :
A. Point dt ~nt
- 4
Il est tentant de généraliser la formule précédente à une port ion de cyl indre de hauteur dz située à un niveau où la vitesse instantanée est V. On obtient ainsi la formule de Horison pour la force de traînée dFT
dFT = f ~ CD Dv2 dz.
où le coefficient de tralnée CD dépend du type d'écoulement et de certains paramètres comme le nombre de Reynolds.
1.2 - FORCES D'INERTIE
Nous avons jusqu'ici raisonné sur des écoulements permanents. Or on peut se demander Quel est l'effet d'une accélération a des particules d'eau sur la force hydrodynamique. Reprenons les notations précédentes et intéressons nous cette fois à la force due à cette accé Uration:
Si l'on reprend le raisonnement du paragraphe précédent en ajoutant aux cinq paramètres déjà défin is l' accé 1ération a de dimension Lr 2
, on montre Que la relation précédente peut se mettre sous la forme :
.2 f = ~ Da. If' (3., 3')
oùiJ'est le nombre de Froude, défini par
Remarquons Que cette expression englobe la précédente puisque, dans le cas où a n'intervient pas, on retrouve :
Si l'on considère Que D2 est proportionnel à la section du cylindre, f/D 2 peut ftre assimilée, à un facteur près, à une force par unité de volume, dite force d'inertie. Celle-ci peut se mettre sous la forme suivante:
dFl =~ Cft a dv
où C" est le coefficient d'inertie ou coefficient de ~
ajoutée, fonction, dans le cas présent, des seuls nombres de Reynolds et de Froude.
- 5
1.3 - INTERET DE LA FORHULE DE HORISON
Les deux expressions précédentes peuvent ~tre regroupées dans la formule de Horison Qui, pour un pieu cir~ulaire, s'écrit
l" d.~ -! \ ~ += ~=Z~CJ>DVIV + ~CMTQ.
En toute rigueur, chacun de ces deux termes n'a été défini Que pour un cas bien précis. En particulier, on a postulé Que les gradients de vitesse suivant la verticale ou Que les dérivées de l'accélération par rapport au t.emps n'avaient pas d'influence sur les efforts appliqués localement par le fluide. De plus. rien ne prouve Que l'on puisse effectivement cumuler l'effet de tralnée, Qui ne dépend Que de l a vitesse instantanée. avec l'effet d'inertie, QU i dépend à la fois de cette vitesse et de l'accélération. Halgrè ces réserves, cette formule est couramment utilisée pour évaluer les efforts hydrodynamiques sur les corps fixes de "faible dimension", c'est-à-dire ceux Qui ne modifient le champ de vitesses Que très localement. Cette dernière hypothèse entraîne une simpl ification très importante pour l'application de la formule de Horison les valeurs de V et de a à introduire sont celles correspondant à l'écoulement en l'absence d'obstacle.
Si le corps n'avait pu être considéré comme ""petit", il aurait fallu. dans les raisonnements précédents, prendre en compte la "largeur" E de l'écoulement, ce Qui aurait eu pour effet de faire apparaltre la variable DIE dans les expressions de Co et de C", ce Qui peut ~tre parfois gênant lorsque l'on cherche à évaluer les efforts sur modèle réduit.
Dans tout ce Qui suit, nous supposerons Que la formule de Horison s' appl iQue, et nous chercherons à évaluer les coefficients CD et C" pour un pieu vertical dans les cas suivants:
- courant permanent - courant alterné - houle non déferlante - houle déferlante.
- 6
2 - PIEU FIXE DANS UN COURANT
ExamInons tout d'abord ce qui se passe lorsque le pieu est placé dans un écoulement dont les vitesses sont horizontales en chaque point et â chaque .instant. Oans ces conditIons, on peut raisonner localement en considerant une tranche de pieu d'épaisseur dz, et dÉ:-finir les coefficients de traînée et d'inertie â partir de la formule de Morison:
où V et a s'expriment à chaque Instant en fonction du champ de vitesses u(x, U â la cote z considérée Dar:
u (od)
dV du --(t)+V(t).--(o,t) dt dx
2.1 - COURANT PERMANENT
Oans ce cas. la vitesse V est par definltion indépendante du temps t. De plus, puisque l'on suppose le diamètre du pieu petit par rapport aux dimensions de l'écoulement, on peut admettre Que l'effet des éventuelles variatIons de géométrie du canal selon l'axe des x est négligeable â l'échelle du pieu et. par conséquent, considérer l'accélération comme nulle. Les efforts llnéiQues se réduisent alors aux seuls efforts de traînée, â savoir:
a - Coefficient de traînée du .Dieu lisse
Ce cas a déjà été traité par analyse dimensIonnelle, et nous avons alors montré Que le coefficient de traînée était uniquement fonction du nombre de Reynolds:
- 7
Le prob 1ème est donc résolu dés Que l'on Conna î t 1a fonct ion Co (!X). Celle-ci peut être déterminée à l'aide d'essais en mod~les réduIts. ce Qui conduit à la courbe suivante (réf [1]) :
CD 100
10
~ r-
lU-10.1
1i j
Il
Avant de commenter cette courbe, il est intéressant d'avoir une idée de l'or dre de grandeur des nombres de Reynolds Que l'on peut rencontrer en nature. Une borne inférieure peut être obtenue en considérant un diamètre de 10 cm et un courant de 10 cmls, ce qui donne ~. i n = 104
• Oe même, on obt ient une borne supér ieure en considérant un pieu de 2 m de diamèt.re soumis à un courant de 5 mis (va 1eur 1égèrement in fér ieure aux ~ourants de marée extrêmes dans 1e Fromveur à OUESSANT), d'où un nombre~ •• = 107
• En modèle rkduit, ces valeurs peuvent être divisées par 1000 (ce Qui correspond à un essai au 1/100 en similitude de Froude), ce Qui peut conduire à des valeurs du nombre de Reynolds comprises entre 10 et IG4 dans les cas extrêmes.
Ces remarques étant faites, la courbe précédente fait apparaître différents régimes d' écou 1ement au fur et à mesure Que le nombre de Reynolds augmente (cf (1) pour une description précise de ces régimes).
- régime tourbillonnaire régulier (.1< 300)
Pour les très faibles valeurs de Reynolds (~<5), le pieu est entièrement entouré par une couche l imite laminaire au sein de laquelle les pertes d'énergie sont dues à la seule viscosité.
L Pour rx. compr i s entre 5 et 40, on vo i t appara î tre ~ deux touebillo"s sym.teieues do"t la taille 'eolt
~&'~~avec~, et Qui résultent du décollement de la
~~:u~~:u~ Imite laminaire au point L de la surface
--:='---------- --
L A partir de 40, ces tourbillons vont se détacher alternativement et former les "allées de BénardKarman", plus ou moins régulières jusqu'à 300.
_~~~~;;:;~~~=;;~L'~coulementreste en tout point laminaire.
- 8
- régime subcritique (300 (~(~c. avec~3.10!l)
Les tourbilons Quittent alternativement le pieu d~s Qu'ils sont formés et perdent très rapidement leur individualité pour constituer un sillage turbulent à une certaine distance du pieu (la couche limite étant laminaire). A partir de ~= 1000, le coefficient CD est à peu près constant et égal à 1,2.
- régime critique (1c<Sl\<11~) avec Œ~3.101»
A partir du ReynoldscritiQue,$,le sillagee.
diminue très vite, ce Qui entraine une chute du coefficient CD aux alentours de 0,3. On observe un premier décollement laminaire (point L) puis, l'écoulement étant passé au stade turbulent, un recollement de la couche limite suivi d'un nouveau décollement, cette fois turbulent (point T).Ces deux décollements successifs d'él imitent une bulle caractéristique du régime critique.
1 - régime supercritique (1.>~)
La bulle décrite précédemment disparatt au-delà d'une seconde valeur critiQue~~. La couche limite devient instantanément turbulente dès son décollement au point T Quandj\augmente, ce point T se rapproche de la position limite T•• Quand il l'a atteinte, la force de tratnée est enti~rement due à la turbulence (les pertes visqueuses étant négl igeables) : on en déduit QueYne doit plus apparaître dans l'expression des efforts, ce Qui ne peut se faire Que si CD ne varie plus. On observe effectivement Que CD tend vers une l imite égale à 0,6.
b - Tourbillons engendrés par l'écoulement
Nous avons vu, dans ce Qui précède, Qu'il y avait décollement de la couche limite (laminaire ou turbulente) et formation de tourbillons plus ou moins nets. Ceux-ci se détachent du pieu à une fréquence n qui peut Hre rendue adimensionnelle en introduisant le nombre de Strouhal. à savoir:
n D s=
v
----
- 9
Notons Que lorsQue les tourbillons ne sont plus réguliers (~ 300), n correspond au pic du spectre des fluctuations et Qu'à partir du régime critiQue (R>~), le spectre est assez étalé et cette notion ne peut plus être définie de manière plus précise.
Les théorèmes de l'analyse dimensionnelle montrent Que, Comme le coefficient de tralnée, le nombre S est uniQuement fonction du nombre de Reynolds (pour un pieu lisse). L'expérience montre Que la variation du nombre de Strouhal avec!Â, a l'allure suivante (d'après [3]) :
CD 115
1.4 8
1.2 7
\.0 6
~-- 50.8
0.& --===-::-:--1 4
,'----~----- 3 ..>-( 115
DA ,_",,,' CD 2
0.2
a 10' la'
La superpos i t i on des deux courbes donnant respect i vement S et Co en fonction de ~ montre Que les différents régimes définis précédemment à part ir des effets hydrodynamiQues, se dist inguent aussi l es uns des autres par la structure des tourbillons à l'arrière du pieu.
L'existence de tourbillons dissym~triQues par rapport à l'axe parallèle à la vitesse à l'infini passant par le centre du pieu est à l'origine d'une force de portance perpendiculaire à cet axe, dirigée alternativement dans un sens puis dans l'autre, et dont la valeur maximale reste en général inférieure au cinQuième de la force de tratnée. Ce phénomène crée de plus une tralnée fluctuante Qui s'ajoute à la tratnée proprement dite, les efforts correspondants étant dans la plupart des cas négl igeab1es devant ceux déjà définis. Notons QUe ces phénomènes, en général passés sous silence, pourraient revêtir une certaine importance si la fréQuence était voisine de la période propre d'oscillation du pieu.
De plus, le caractère fluctuant du sillage fait Que Co est en fait une grandeur aléatoire dont on ne fait Que mesurer la valeur moyenne.
Enfin, nous avons jusQu'ici raisonné sur un modèle bidimensionnel. Or les tourbillons ont une hauteur (mesurée suivant l'axe du pieu) finie, dont la moyenne temporelle, appelée longueur de corrélation l peut se mettre sous la forme:
- 10
Sauf pour les trés faibles valeurs de!Â.(~< 40) où 1/0 peut atteindre 20, le rapport 1/0 reste compris aux alentours de 0,5 à 5. Si la hauteur sur laquelle on intégre les efforts est supérieure à cette longueur l, on enregistrera un effort linéique f inférieur à celui Que l'on obtiendrait si cette hauteur était inférieure à l, car le détachement des tourbillons ne se fera pas simultanément en tout point de la zone de mesure.
Toutes ces remarQues ont surtout pour but. avant de passer à des cas plus compliqués, de mettre en évidence la complexité des phénomènes mis en jeu dans le cas, pourtant en apparence très simple, du pieu lisse placé dans un courant permanent.
c - Effets de la rugosité
Si l'on reprend le raisonnement qui nous a permis d'exprimer la force 1 inéique de tralnée en fonction du nombre de Reynolds, en faisant cette fois intervenir l'épaisseurodes aspérités de surface, on obtient l'express i on :
Ce qui se traduit par la relation suivante
CD = CD ($ I)'.3)
En fait, une telle formulation suppose implicitement que l'aspect des rugosités est fixé une fois pour toutes, et il y a en réal ité autant de fonctions de ce type qu'il y a de types de rugosités.
En pratique, cette rugosité correspond soit à l'état de corrosion de la surface (~:l: 0,1 mm), soit au fait que cette surface est recouverte d'algues ou de coquillages, auquel cas la surépaisseur (qui peut atteindre couramment 5 cm) modifie à la fois la rugosité et le diamètre du pieu.
Le principal effet de la rugosité relative d/O consiste en un décalage vers les faibles valeurs du Reynolds des transitions entre les différents régimes définis précédemment, ce qui s'explique aisément si l'on considére que la rugosité entraîne une augmentation du caractère turbulent de la couche limite. Ceci est illustré par les courbes suivantes (d'après [3]) :
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
O~ ~__L..-""""'......L...........~...t,..I.~_""""_...J..."""'_"""
105 10'
- 11
2.2 - ECOULEMENT ALTERNE
Avant d'aborder l'étude des efforts engendrés par la houle, il est intéressant de considérer le cas d'un pieu immobile dans un courant alterné, et de voir comment les principes exposés précédemment peuvent étre transposés.
a - Analyse dimensionnelle
Plus précisément, considérons un écoulement dont la vitesse au niveau où l'on mesure les efforts varie sinusoïdalement avec le temps:
. tV :: V. sln2tr
T
La force l inéiQue instantanée est alors fonction a priori des variables suivantes:
f = f (V., D, ~ • fJ' T, t)
Cette forme de relation ne diffère de celle Qui nous a permis de trouver l'expression de la force de tralnée que par les termes T et t. En reprenant le raisonnement que nous avions alors fait, on arrive au résultat suivant
f = ~ 0 V. 2 • 'fi (1., K, .! )
T
où i. est le nombre de Reynolds défini à partir de la vitesse maximale V., et où K est le nombre de Keulegan - Carpenter, défini par:
V", T K = - ])
Si ce nombre est "grand", l'écoulement pourra étre à chaque instant (sauf aux instants où la vitesse devient très faible. Qui contribuent peu a pr i or i à la valeur de f) considéré comme uniforme dans l'espace au voisinage du pieu.
De plus, si l'on cherche à exprimer le nombre de Froude en fonction de l'accélération maximale Qm. on constate Que
Vrn
Par conséquent, si l'on suppose que les efforts instantanés peuvent enCore être évalués à l'aide de la formule de Morison, à savoir:
.Ç~):= i~ C; DV; htf\~ l~@l + Z'e~CMJ)2- ~m cce&
avec e = e.TtjT
6
- 12
et si l'on s' int~resse à un pieu dont la surface pr~sente une certaine rugosité 6, les coefficients Co et Cil peuvent théor iquement se mettre sous la forme:
) Co = C;(~I \(, 1Sp» i-/ï]
) Cil = CM (~,\-(b/D, t/T)
b - Valeurs moyenneS de Co et de Cil
L'~cou1ement altern~ a ét~ étudié expérimentalement par SARPKAYA (r~f
[4]) en faisant osciller de l'eau dans un tube en U dans la branche horizontale duquel se trouvait un cylindre horizontal fixe d'un diamètre de l'ordre de 10 cm pour une section d'é~ou1ement carrée et de 1 m2. La mesure consistait à mesurer les efforts 1inéiqes instantanés f(t) sur une portion de cylindre ~lojgnée des bords afin que l'écoulement puisse être consid~ré
Comme bidimensionnel, puis à chercher les valeurs de Co et de CI'I qui rendaient le mieux compte de la courbe expérimentale ainsi obtenue.
La difficulté d'une telle approche réside dans le fait que Cl> et CI1 dépendent a priori du temps t et qu'il est pratiquement impossible de trouver, pour un essa i donné, 1a courbe Co (t) ou Cil (t) 'lu i permet de retrouver 1a fonct ion f. (e) mesurée. Par conséquent, on cherche à retrouver la courbe exp~rimenta1e à partir de valeurs constantes (pour des conditions d'essai données) des coefficients Co et Cil. Ces valeurs peuvent être obtenues en considérant les intégrales suivantes calculées à partir d'un signal f<e). obéissant à la loi de Morison
Il est donc naturel de définir CD et CI1 par
- 13
L'hypothèse faite sur la validité de la loi de Horison est vérifiée a postér i or i en comparant 1a courbe f( e) ai ns i obtenue avec 1a courbe fil (e)
mesurée.
c - Résultats expérimentaux (réf [4])
Les courbes Co (jl) et Cn ( ~) obtenues par Sar.pkaya sont reprodu i tes sur la page suivante pour différentes valeurs du nombre de Keu1eganCarpenter K allant de 20 à 100, et pour différentes rugosités relatives ô/D allant. de 0 (courbes en pointillé correspondant au pieu lisse) à 1/50, le revêtement de surface étant composé de grains de sable de diamètre donné
collés sur le cylindre. Avant d'étudier les variations de Co et de CM' il est important de noter l es écarts 'lU i séparent l es courbes pour un pieu lisse des autres courbes on ne passe apparemment pas continlÎment d'un pieu parfaitement lisse à un pieu très peu rugueux.
- Coefficient de tratnée Cp
Notons tout d'abord Qu'il ne sert à rien d'essayer de comparer les diverses courbes Co (~) avec celles obtenues précédemment puisQue ni Co (Qui est ici défini comme une "moyenne") ni!R. (Qui est défini à partir de la vitesse maximale) n'ont la même signification Que dans le cas de l'é~oulement permanent.
On remarque Que l'a 11 ure générale de chacune de ces courbes est la m~me Q~e celle correspondant à un écoulement permanent: en particulier, on observe encore un régime critique pour une valeur~ Qui décroit avec la rugosité relative (à K fixé) et Qui croit, avec K (à ô/D fixé).
La valeur limite de Co pour les grands nombres de Reynolds augmente avec la rugosité relative et diminue avec K. De plus, cette valeur limite est très supérieure, sauf pour le cyl indre i déa l par fa itement lisse, à cell es observées en écoul ement permanent, 'lU i s'échelonnent entre 0,6 et 101.
Quand ~/t< devient très grand, Co tend versla valeur correspondant à l'écoulement permanent, à savoir 0,6 pour un pieu lisse.
Remarquons enfin la très faible dispersion des points de mesure autour de chaque courbe, ce QU i est d'autant plus surprenant Que plusieurs cyl indres di fférents de rugosité donnée ont été réalisés.
- Coefficient d'inertie CM
Pour le nombre de Reynolds critique défini précédemment, on constate Que CI1 passe par un pic puis tend vers une constante pourj(. suffisamment grand. Contrairement à ce Qui se passe pour Co, cette valeur limite augmente de façon continue Quand la rugosité relative tend vers 0, tout au moins Quand K est assez élevé.
Quand j{/t< devient très grand, Cn tend vers 2.
CD '.' 14 -
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- 15
d - Conclusion
L'apparente cohérence de ces différentes courbes ne doit pas cacher la complexité des phénomènes mis en jeu. En particulier, nous avons supposé le pieu rigide et fixe alors qu'il peut arriver qu'il Y ait couplage entre le régime tourbillonnaire et les vibrations propres de la structure.
De plus, contra i rement à ce qu i se passa i t en rég i me permanent où l'on pouvait effectivement parler sans ambiguité du régime de l'écoulement. il n'en va pas de même dans le cas de l'é·coulement alterné puisque la vitesse varie à chaque instant et que les tourbillons qui quittent le pieu à un instant donné sont susceptibles d'y revenir à un instant ultérieur et de modifier le régime d'écoulement à ce moment.
Si l'on compare les courbes expérimentales f.<t) et les courbes f(t) calculées à l'aide de la formule de Horison et des valeurs CD et Cil obtenues par l'approche décrite ci-dessus, on constate un bon accord sauf pour K compris entre 10 et 20. Ces écarts seraient imputables selon Sarkpaya au fait que la fonction mesurée ne vérifierait alors pas l'identité:
Ce qui est en contradiction avec la formule de Horison.
Physiquement, cette perturbation peut s' expl iquer par le fait que pour des écoulements subcritiques, le nombre de Strouhal est proche de 0,2. ce QU i fa it Que les tourb i 11 ons se détachent tous les tl t avec :
valeur Qui, lorsque K est compris entre 10 et 20, est telle que
Par conséquent, seu l un tourb i 11 on au plus peut se former au Cours d'un cycle avant la renverse de courant. Aucun régime tourbillonnaire n'a donc le temps de s'établir ni dans un sens ni dans un autre.
- 16
3 - PIEUX SOUMIS A LA HOULE
3.1 - GENERALITES
Considérons un obstacle cylindriQue vertical posé ou fiché au fond de l'eau et soumis à l'action simultanée d'une houle non déferlante et d'un courant.
MeME (H L)
J41
Si l'on cherche à exprimer la force linéiQue dans la direction x par unité de longueur du pieu à la cote z et à l'instant t, cette force fx(z,t) doit ~tre fonction des paramitres Qui permettent de décrire complètement le phénomène.
Or, le fluide est entiirement défini par sa masse volumiQue ~ et sa viscosité dynamiQue r' Le courant estcaracUrisé par sa direction e par rapport à l'axe de propagation de la houle et, pour un profil vertical de vitesses de forme donnée, par sa vitesse moyenne V. Enfin, la houle peut ~tre définie par sa hauteur H crUe à Creux et sa longueur d'onde L à partir desQuelles on peut, si l'on se donne l'accélération de la pesanteur g et la profondeur d, déduire la période T en tenant éventuellement compte de l'interaction houle-courant. Enfin, l'obstacle est décrit par son diamètre 0 et sa rugosité 0- .
Les paramètres de base Hant ainsi déf'inis, un simple .calcul sur leurs dimensions respectives conduit à l'expression suivante
- 17
où les nombres adimensionnels introduits sont les suivants:
- nombre de Reynolds associé à la houle: R = ~~ ~ )1 L
Cette expressi ~'1 est obtenue en considérant la vitesse maximale en surt'ace <UllA' =1fHfr~~cf) et en écrivant que, en l'absence de courant, Test proportionnelle à ,,[g/L, mais on peut concevoir d'autres dét'initions de~ (par exemple à partir de la célérité de l'onde).
- nombre de Keulegan-Carpenter K = UI1\Il.XT = H ..::D .D
Comme pour le nombre précédent, il existe dit'Hrentes possibilités pour choisir le nombre K. Celle que nous avons choisie revient à choisir la vitesse UllA' et non la célérité de l'onde (Qui aurait conduit à K = L/D),
- cambrure de la houle l:' = li L
- prot'ondeur relative .si L
b- rugosité relative D
- nombre de Froude associé au courant
- angle entre le courant et la houle 8
Remarquons Que le Reynolds associé au courant s'exprime à l'aide des variables précédentes puisque
VD 'RB[R,' -V=~~
La force résultante F. (U et sa hauteur d'application h. (t) par rapport au t'ond de l'eau s'obtiennent par intégration entre le t'ond et la surt'ace libre (de cote 7(t» :
t Q{n/J. l. p
F,;(F) == ~d:DJ J o/io ~zJJ)= ~dJ) J. o/~(RI ~ ~JJL) ô/l1~ ~ "lit) -~
-i tJc!~~)JJ.: h,,[ll=Fxr~) y~:D L é+l)tr" J(~J)= d'V3{R,K,li',J/L,I/D)Vf,'f)I~WL)
- 18
L'ingénieur cherche surtout à connaltre les valeurs maximales de F. ou du moment de renversement Hx=Fx.hx, ainsi que leurs variations extrêmes
~F. et ~F•• h. au ~ours d'un ~ycle lorsqu'il cherche à faire un calcul vis à vis de la fatigue. Par contre, la valeur de ces fonctions à chaque instant ne l'intéresse pas (sauf dans le cas d'un calcul dynamique, ce qui n'est pas très courant dans le domaine des travaux portuaires), mais elle intéresse le chercheur, Qui essaie de reconstituer les courbes f.(t), F.(t) ou H.(t) au Cours d'un cycle complet afin de tester son modèle.
Dans ce QU i su it, nous nous l imiterons au cas du cyl indre de forme Quelconque soumis à la houle, l'interaction houle-courant ne pouvant pas, dans l'état actuel de nos connaissances. être traitée de manière simple. Le raisonnement précédent présente cependant l'intérêt de mettre en évidence un ensemble de paramètres de base (parmi d'autres ensembles Que l'on aurait pu choisir) grâce auquel on peut interpréter des essais en modèle ou en nature et éventuellement les transposer à d'autres conditions.
Nous étudierons successivement le cas des ~yl indres de grand diamètre pour lequel les efforts de tralnée sont négligeables, puis le ~as des pieux de petit diamètre Que l'on peut aborder à l'aide de la formule de Horison.
Nous donnerons enfin un aperçu sur le calcul des effets de gifle dus aux lames déferlantes.
- 19
3.2 - PILES DE GRAND DIA~ETRE
Si l'on reprend les expressions adimensionnelles précédentes en supposant que la section du cylindre <de forme quelconque a priori> est assez grande pour que l'on puisse négliger les efforts de trafnée, on peut supprimer de la liste des paramètres de base le nombre de Reynolds et la rugosité relative. Les efforts par unité de hauteur du cyl indre peuvent alors se mettre sous la forme:
t (L \-t d ~ l\t'l. \ f. <zd) =\9D_l)I:t. :D'LJL' d..'t ) Pratiquement, on admet que la section peut effectivement être
considérée Comme "grande" lorsque la condition suivante est respectée
fQ>Tl ~
Nous supposerons que <:ette inégal ité est vérifiée tout au long de ce paragraphe, au cours duquel nous traiterons successivement de l'origine des forces et du principe de la diffraction de la houle par un obstacle cylindrique, de l'analogie avec la formule de Horison, et enfin du cas particulier du cylindre de révolution d'axe vertical.
a - Nature des forces de houle
Les forces de houle résultent du champ de pressions associé à l'écoulement qui, si celui-ci est supposé irrotationnel, est rel i é au potentiel des vitesses f<x, y, z, t> par l a rel ation de Bernoull i
P = Po - ~ g z - ~ ~ - i 1grâ d 112 = Po - ~ 9 z +:E ~ où <Pa - ~ g z) représente la pression hydrostatique, dont le seul
effet est la poussée d'Archimède, et où P* désigne la pression dynamique, qui seule contribue aux forces de houle.
Il suffit donc de connaftre le potentiel de l'écoulement au voisinage du cylindre pour connaltre les pressions dynamiques qui lui sont appliquées et. puisque les Contraintes visqueuses sont ici négl igées, les efforts qui en résultent.
Or ce potentiel vérifie à chaque instant les équations suivantes
tout <x, y, z)
"'rfOj"~ft'< ~;!'" 'X-?J'x) J pour
pour z =? <t)ôffèll-+t Wd~\~ Jry = 0
Ô<J(r~ = pour z = - d0
't>~rn = 0 pour <x, y, z) E <D
- 20
Les deux dernières conditions traduisent respectivement l'imperméabilité du fond et celle de la surface latérale (n du cylindre.
A ces équations s'ajoute une condition, dite de radiation, selon laquelle l'influence du cyl indre s'annule à l'infini, le potent i el se réduisant alors à celui de la houle non perturbée.
Si l'on linéarise le problème, on peut dé<:omposer le potentiel en un potentiel ~ i correspondant à la houle incidente et un potentiel ~d
représentan~ l'onde diffractée:
11De plus, puisque le problème est supposé linéaire, on peut se ramener
au cas d'une houle monochromatique dirigée suivant l'axe des x. auquel cas et par suite ~Jpeuvent se mettre sous la forme suivante
- ~tot ~HT ~4J \k _;c.ut e = c" e. .e
4'ïl"" h
La fonct ion inconnue ~\(x y. z) est alors solution du système suivant: Cl
pour tout (x, y, z)llWà =()
pour z = 0~fd)d0= ~fJ pour :z = - dôIJro0~ () pour (x. y. z) f (2:)'dfJJè-r. =-?>fJd'n
Soit (d~l, un tronçon de cyl indre de hauteur dz situé à l a cote z. Les efforts Qui lui sont appl iQués sont égaux (en négl igeant le terme non linéaire de la pression dynamique) à l'intégrale de surface suivante
T(~ 0:: -() \ ~;) #:: ~çwe-~~ l (f~ + IJ) ~J~ 1 \J~~ ~ \ ~~
où (C) est la courbe obtenue en coupant (l) par le plan horizontal de cote z.
L'intégrale de~. représente la force due à la houle non perturbée_l
par l'obstacle, appelée parfois force de Froude-Krylov. Celle de 'gTJ donne ac~ès aux efforts liés à la diffraction de l'onde incidente, c'est-à-dire à la modification de l'écoulement par le cylindre.
- 21
b - Analo~ie avec la formule de Horison
Si maintenant on ne s' intéresse QU' à 1a composante f u de 1a force 1 inéiQue
~
f suivant une direction arbit~aire u, on peut introduire un "potentiel" fictif ~u.(x, y, z) vérifiant les mêmes équations Que le potent iel di ffracté sau fla Con d i ti on sur 1a sur face 1atéra 1e (L), QU i est remplacée par :
d~1l _ 'Tl pour (x, y, z)€ e':D d'h - u...
où nu est la composante selon u du vecteur unitaire normal à (2J.
Avec ces notations. la force totale selon la direction u s'écrit:
Considérons maintenant le volume <V) compris entre l'obstacle et un cyl indre centré sur la pi le et de rayon R assez grand pour Que rd et ses dérivées puissent y ~tre négligées <condition de radiation).
1
1
1
1~?1
1
L'identité de Green appl iQuée à ce volume s'écrit :
l [fJ ~ - ~ ~2J l dS- ( f!} l:\~LL - Yu Ô~) ALlJ(~)U(I:I)lJ(~)U(SL) dn U dn - )(V) \.1..<:
La seconde intégrale est nulle puisque les potentiels Pd et o/Ilont leur 1ap 1ac i en nu 1 •
De plus, la première intégrale se réduit à une sommation sur <[) puisqu'elle est nulle:
- 22
- sur (1.:') en vertu de la condition de radiation -sur (SF) car les dérivées normales (parrapportàz) y sont nulles. - sur (SL) car 21~/dn= k!à et dl)l/d n = k ~lL.
Par suite, on al' égal ité :
ou enCore, en tenant compte de la condition que doit vérifierPJsur la surface (l:) : q
Si l'on revient à l'expression de la force totale Fu (th on obtient la formule suivante, connue sous le nom de théorème de Haskind-Hanaoka
Cet te forme présente l' i ntérH de permettre 1e cal cu 1 de 1a force totale (le moment de renversement s'obtiendrait d'ailleurs par une expression similaire) à partir uniquement du potentiel incident cpt et du potentiel tpu... lequel ne dépend que de la géométrie de l'obstacle et de la période de la houle (qui intervient indire-ctem-ent dans la condition sur la surfa<:e 1 ibre).
Supposons maintenant l'obstacle assez petit devant la longueur d'onde pour que l'accélération correspondant à l'onde incidente puisse ftre assimih~e à la dérivée de la vitesse par rapport à t, ce qui revient à négliger les termes convectifs. Si l'on note a (z, t) cette accélération au droit de l'axe de l'obstacle (x = 0), on peut écrire:
\r ["'1'51<) = t~ "{~I~Î e;h 1 ~ . ~ 1ixl ~G'~tr)= -( Q(~ll) e ~x ù w
Dans ces conditions, on peut écrire:
avec: fu(z, t> =~c(~sa (z,t)
S étant la section du cylindre et C un coefficient défini par l'intégrale curviligne suivante (en coordonnées polaires d'axe OK) :
- 23
On retrouve ainsi le terme d'inertie de la formule de Horison. Le coefficient C" et le déphasage ~ relatifs aux directions x (houle incidente) et u (efforts recherchés) peuvent théoriquement ~tre obtenus par un -calcul de l'onde diffractée. Dans le cas général, ce type de calcul est assez complexe et il n'existe pas de solution analytique. Il en existe cependant dans le cas où le cylindre a une section circulaire, pour lequel nous allons maintenant exposer les principaux résultats, dus à HAC-CAHY et FUCHS (1954).
c - Efforts de houle sur une pile circulaire
0(- Efforts linéiques
Par la méthode exposée aux paragraphes précédents, Mac CAMY et FUCHS sont arrivés à l'expression suivante pour la force 1 inéiQue dans la direction de propagation de la houle:
.r(~It-)~ ~ ~d A~L [ch~t)+d)JchtàJ ~~t-o!.) où A et~ sont des fonctions de D/L données par les courbes suivantes
(réf [3) :
...100""""
~ -l/~
0' - ,", -- 1 ,V
1 --.- "" .. 11
" "-
"'"... o "/ Jt
L o-o CU DA U .. UI 1.1 lA 1-' T
La formule précédente peut se mettre sous une forme faisant apparaltre les nombres adimensionnels mis en évidence au paragraphe 3.1, soi t :
où
ce Qui conduit à l'expression suivante
- 24
La fonction ~ pouvant être évaluée à l'aide de la figure ci-dessous
/, 1 lO
1 ...... 1 /' !'
/' ......... J .1 f ........
"""0.5 1 ...........
.. ~
1j 11
1 1
Il 1
1 10.1 o
0.05 0.1 02 cu OA cu 2 3 • L
L'expression pré<:édent.e peut être approchée lorsque le rapport D/L est suffisamment petit, de celle de Horison, à savoir:
On en Ure le coefficient d'inertie:
et on constate qu' il tend. lorsque D/L se rapproche de 0, vers la valeur:
Toutefois, dans ce cas limite, on n'est plus en droit de négliger les effets de la viscosité et les termes quadratiques en u2
•
~ - Efforts d'ensemble
Quant à l'effort total engendré par la houle à l'instant t, il s'obtient par intégration de l'expression prkcédente pour z variant de - d à 0 :
Enfin, le bras de levier de ~ette force par rapport au fond de l'eau s'obtient aussi par intégration, ce qui donne
- 25
h ch tl_-i= 1
d kd.sh kd
On peut ~galement utiliser la courbe suivante
- L..
~~""" 1
1 1 '/ 1
l,;~ '1
I/~ 1 '1
'V -j
1 Q1 V
V 1
V 1 1 ~ ..!.
1.5 ~ 7 • , tG2 :5 • 5 LlU
't- Domaine de validiH
Les méthodes exposées précédemment reposent sur la th~orie 1 inéaire
semble Qu'une telle approche est justifiée à Condition Quede la houle. Illa Condition suivante soit vérifiée (réf [3]) :
H H- < 0.05
L D
laDe plus, lorSQue le diamètre D du cyl indre devient petit devant
la diffraction deviennent négligeableslongueur d'onde, les efforts dus à
les efforts de tralnée doiventdevant ceux de Froude-Krylov, et, surtout.
être pris en considération ~omme nous allons le voir au paragraphe suivant.
- 26
3.3 - HOULE NON DEFERLANTE SUR DES PIEUX DE PETIT DIAHETRE
Lorsque le diamètre du pieu est inf~rieur au cinquiéme de la longueur d'onde de la houle incidente, c'est-à-dire lorsque
D 1 - < L 5
on ne peut plus nég1 iger les efforts de traînée devant l a force de Froude-Kry10v (celle due à la diffraction de la houle étant alors négligeable devant cette dernière>'
On a alors recours à la formule de Horison, qui donne les efforts par un i té de longueur de cyl i ndre sous 1a forme
nD2 du f (z, t) = ~ DCo u 1u 1 + ~ - C
4 "ëlf
et l'on suppose que le champ de vitesses n'est pas perturbé par l'obstacle.
Une telle formulation peut s' app1 iquer telle quelle à des pieux légèrement inclinés sur la verticale.
a - Théorie linéaire de la houle
~- Efforts linéigues
Dans le cadre de la théorie de la houle linéaire, la vitesse et l'açcélération au droit de l'axe du pieu ont pour expressions:
nH ch k(z+d) u (z, t> =- Cos wt
T sh kd
du Ôu 2n 2 H ch k(z+d) ~- (z.t) =--- sin wt
dt ôt T2 sh kd
- 27
Par suite, la force théorique totale peut se mettre, sur une demipér iode ( \lJJt\ ~1r/~ ) sous l a forme
2fez, U = fo (z) cos wt + fI (z) sin wt = fI (z)E<!',(zlcos 2 wt-sin wtl
2n OH 2 ch 2 k(z+d) fo(z) =- Co
2 T2 sh 2 kd
-n 3 02H ch k(z+d) fI (z) =- C"
2 sh kd
1 CD H ch idz+d) (z) =
n sil kd
Le coefficient ol,(z) traduit l'import.ance des forces de trainée par rapport aux forces d'inertie. Ce coefficient décroît lorsque l'on va de la surface vers le fond, où il s'annule pratiquement lorsque l'on se trouve par grande profondeur <kd» 1).
~ - Forces résultantes
En fait, c'est le plus souvent à la résultante F(U de ces efforts Que l'on s'intéresse. Si l'on fai t l' hypothèse Que CD et C" sont à peu près constants sur toute la hauteur du pieu (nous reviendrons sur ce point ultér ieurement), 1es expressions précédentes peuvent être intégrées par rapport à la cote z entre le fond et le niveau de repos. On obtient ainsi:
F(t l = Fo cos2 wt + FI sin wt = FI [A cos2 wt ... sin wt l
Fo = ~ CD ~ g OH2 Ko
n02
FI = H KIC" ~ g 4
où 1<'0 et KI sont des coeff ic ient.s ne dépendant Que de la profondeur rel aU ve kd
1 2 kd Ko = ( 1 + )
8 sh kd
1 thUKT = 2
- 28
Si l'on s'intéresse aux extréma de cette force au Cours du temps, on est amené à étudier les variations de la fonction suivante:
F(t) 11
= A cos2 wt + sin wt (O~ wt ~ -) FI 2
où A désigne le rapport entre FD et FI' à savoir
FD 2 KD A =- = - Id-
FI 11 KI
CD H Id =-
C" 0
Deux cas sont alors à considérer
- 1er cas : A < ~
Dans ce cas, la force F(t) fluctue entre + FI et - FI' valeurs Qui sont atteintes lors du passage par le niveau moyen.
- 2ème cas : A < ~
La courbe passe cet t e fo i s par un max i mum aprè s 1e passage de 1a crfte et par un mInImum après le passage du creux, les valeurs extrêmes étant opposées et égales, en valeur absolue, à :
1 FI (A + -)
4A
En résumé :
F•• M = - F. i n = FI si A < ~
1 F... = - F. i n = FI (A + -) si A ~ ~
4A
t - Moments résultants
Le moment des efforts définis précédemment par rapport au fond de l'eau est donné par
f)
2M(t) =\ (z+d)f(z.t) dz =I1Dcos2 wt + MIsin wt = MdB cos wt+sin wt]
-4
- 29
OÙ Ho et Hl s'expriment de la manière suivante
Ho = d Fo So
les coefficients Soet SI représentant le bras de levier des forces correspon dantes par rapport au fon d, rapportés à la profon deur d. 1l sont pour expression :
sh2kd 1-{ -+ + <l-ch 2kd)L 2kd 4k 2 d2
So = sh 2 kd
1 + ------2kd
1 ch kd - 1 SI = 1
kd sh kd
Si B désigne le rapport entre Ho et Hl' à savoir
Ho 2 Ko So B = =
Les extrema du moment résultant sont donnés par
H••• = - H. i Il = Hl si B < ~
1 H••• = - Hin = Hl <B + -) si B > ~
4B
~-d Calculs pratiques
Ces quatre fonct ions Ko, KI' So et SI sont représentées graphiquement en fonction de d/gT2 • Sur chacun des quatre abaques. la courbe correspondante est cell e noUe 0 <hauteur très infér ieure à cell e provoquant le déferlement) •
- 30
0.2 1
0' opr~ :
~~*-ri;..,j...,.f+:+'.;J.;+..t+1"'SHORE PROTECTION MANUAL'
- 31
b - Effets non 1 in~aires
~- Efforts maximaux de tralnée et d'inertie
Les expressions précédentes des coefficients Kn 1 KI' Sn et SI reposent sur la théorie linéaire de la houle, donc sur un profi,l i nstantan~
de vitesses donné Que l'on intègre entre le tond (z = - d) et 1e niveau de l'eau au repos (z = 0).
Or on sait Que la th~orie linéaire n'est valable Que lorsque l'on se p1ace.assez loin du déferlement, ce Qui s'écrit
De plus, les efforts 1inéiQues étant maximaux au voisinage de la surface 1 ibre, le fait de tronquer les intégrations à la cote de repos tend à sous-estimer les efforts d'ensemble.
D'où l'idée d'utiliser la théorie de la fonction de courant de Dean (cf réf [5]) Qui d'une part restitue plus fidèlement les profils de vitesses et Qui d'autre part permet de modéliser la totalité du domaine liquide, y compris ce Qui se passe dans la crête.
Les courbes des pages précé dentes donnent 1es Quatre coef fic i ente définis précédemment pour différ·entes valeurs du rapport H/Hb. La signification de ces coefficients est toutefois Hgèrement différente de celle Que nous avons donnée dans le cas linéaire. En effet, les coefficients Kn et KI sont définis par rapport aux valeurs maximales de FD(t> et Fx<t>, la dépendance en temps étant plus complexe Que dans le cas précédent. Quant aux bras de levier Sn et SI' ils ne sont plus nécessairement constants tout au long d'un cycle, et les valeurs données par les courbes correspondent aux maxima de ces grandeurs.
Quant à la hauteur Hb' elle peut être obtenue simplement à l'aide de l'un ou l'autre des abaques des pages suivantes.
~ - Efforts résultants maximaux
Si l'on s'intéresse maintenant aux valeurs extrêmes des forces ou des moments résultants, on ne peut plus app1 iQuer les formules du paragr'aphe précédent car les efforts de tralnée et d'inertie ne varient plus Comme cos2 wt et sinwt respectivement.
- 32
Ces valeurs maximales sont obtenues sous la forme suivante d H
F••• :: Çl 9 Co H2 D f. (W, --, --) \ 9T 2 9T 2
d H•• x :: () 9 CD H2 0d.o(. ( W, -,
\ 9T 2
où West un nombre Qui a déjà été défini et Qui vaut
W:: CD H
Les fonct ions \Il. et 01.... peuvent être éva1 uées par interpolation à l'aide des deux sériek d'abaQues des pages suivantes.
A titre d'exemple, considérons le cas suivant:
D :: 1 m d :: 9,81 m T :: 10 s H :: 3,80 m
Cil :: 2,0 CD :: 0.7 (voir plus loin pour 1e choix de CD et Cil )
caractéristiQues de la houle incidente
d:: 9,81 met T:: 10 s~d/g T2 :: 0,01
~Hb :: 7,85 m (abaQue p.34)
paramétres adimensionnels
2,0 1,00 W:: x = 0,75
0,7 3,80
d :: 0,01
H :: 0,004
- évaluation de~. eto{. (interpolation entre W:: 0,5 et W = 1,0)
~ (0,26 + 0,36) = 0,31) ~. = ,~. = !2 (0,20 + 0,26) = 0,23
- 33
- valeurs déduites de la théorie linéaire:
Ko = 0,2189 So :: 0,5365
KI = 0,2935 SI = 0,5181
2 Ko So A :: - W :: 0,356 < 'S B :: A = 0,369 < "'.1
JI KI SI
F••• = FI H•• • = HI
~D. :: F••• =_ 0,09 " WKI =0, 117
1 gCO DH2 4
t~_=J~ :: 45 X -------- :: 60 X
t· On remarque sur cet exemple que la théorie linéaire peut conduire à
une sous-estimation t~ès importante des efforts.
- 34
0'03~_.
0.01_
0.001l Et;ttt.~[$~~
0.003i-'f.tA~
0.002 PJijiyp:j'tf+L
0.00 1 ~+tH,*m,.;tH-,-L+.!ii
O.OOOlll."'±-f!'\-,-i-.c;+;~~,"",
0.2 0.3 0.4
d/gT2
- 35
0.0004 0.0006 0.001 0.002 0.004 0.00' 0.01 0.02 0.03 0.04 O.OS 0.08 0.1 0.2 0.3 O.'
d/gT2
- 36
0.0004 0.0006 0.001 0.002 0.004 0.006 0.01 0.02 0.03 0.04 0.06 0.08 0.1 0.2 0.3 O.'
d/gT2
d/gT2
- 37
0.001 hffiliml-trHti#
0.04 "f""I;"',;"'t"";"'";,l''l.,..,;"','T,'Irn'_"'" d: j :~i~ ; ~~.
0.03
0.002 HH+!+ttt+
- 38
c - Valeurs des coefficients Cp ~
L'exemple numériQue précédent montre l'ampleur des écarts entre les efforts calculés à l'aide du modèle linéaire et ceux évalués par une autre méthode, celle de la fonction de courant de Dean en l'occurence. Ceci expliQue en partie la dispersion des valeurs de C" et de CD Que l'on trouve dans la littérature: il faut d'abord bien s'entendre sur le profil de vitesses Que l'on adopte.
A cette raison s'ajoute l'imprécision des mesures d'efforts et, dans le cas des expérimentations en mer, la difficulté de représenter un état de mer réel par une houle régul ière. Cette difficulté est parfois contournée en enregistrant la cote de la surface 1 ibre ry <0 et en déduisant les profils des vitesses instantanés correspondants par une fonction de transfert adéQuate. La théorie de la fonction de courant de Dean se prête assez bien à cette démarche.
Enfin les divergences peuvent également provenir de l a méthode utilisée pour déterminer les C" et CD Qui rendent le mieux compte des efforts mesurés. On peut par exemple:
- se contenter de retrouver les efforts maximaux
- ne chercher à retrouver Que les efforts au droit des crêtes et des creux
- rechercher le meilleur ajustement entre courbe calculée et courbe mesurée.
Etant donné la grande dispersion des résultats, il est difficile de donner des valeurs précises pour CD et C". Les valeurs indiQuées ci-dessous sont des valeurs conservatives, mais il ne faut pas pour autant oublier Que les efforts varient de manière aléatoire pour des caractéristiQues de vagues données, et Que les maxima de ces variables aléatoires peuvent dépasser de près de 50 X les forces calculées avec ces valeurs de Cp et C" à l'aide de la théorie de la fonction de courant de Dean.
Ceci étant dit, compte-tenu de ce Que la vitesse horizontale maximale en surface vaut à peu près
n H u•• M =
th kd r
les nombres de Reynolds et de Keulegan-Carpenter peuvent être définis par
n HD
thkd Vr
- 39
'lYHK =
thkd D
On peut alors adopter les valeurs de Co et C" suivantes. proposées par le C.E.R.C. (réf [6] :
- coefficient de tralnée
~:!: 2 x 10' ~ Co = 1.2 J?- 2xl0'
2xl0' <~5 x 10' ~ Co = 1,2
1 6xlo'
St ~ 5 x 10' CD = 0.7
Notons que l'influence du nombre de Keu1egan-Carpenter semble être négligeable dès que le Reynolds dépasse 4 x 104 ,<:e Qui est pratiquement toujours le cas en nature. Par contre. lorsque cette condition n'est pas vérifiée <ie si ~ < 4 x 104
) et si K est inférieur à 50. alors le coefficient CD peut être supérieur à 1,2. Cette dernière remarque peut avoir son importance dans le cas d'une étude sur modèle réduit.
- toefficient d'inertie
g ~ 2.5 x 10'
5xl0'
.1\ ~ 5 x 10'
d - Groupes de pieux
Si les pieux sont "suffisamment éloignés" les uns des autres, chaque pieu peut être considéré Comme isolé des autres du point de vue hydrodynamique, c'est-à-dire qu'il faudra seulement prendre garde au fait Qu'il n'y a priori auCune raison pour Que les efforts atteignent simultanément leurs valeurs maximales sur tous les pieux, sauf dans le cas où ceux-ci sont alignés parallèlement aux crêtes de houle.
Cependant, il arrive que les pieux soient peu distants les uns des autres et Que, par suite, ils interférent entre eux, modifiant ainsi les efforts de traînée et d'inertie.
~ - Efforts de tralnée
Il est di'ffici1e de quantifier l'effet de proximité des pieux sur la tralnée dans la mesure où le problème ne peut être approché QU' expér imenta1 ement et où 1e nombre de paramètres est très grand. Des différents essais effectués. on peut cependant dégager les points suivants (rH [3]).
- 40 -
LorsQue les cyl indres sont al ignés par rapport à la direction de l'écoulement, les efforts de tralnée sur le premier d'entre eux sont à peu pr~s identiQues à ceux Que l'on obtiendrait s'il était isolé. Par contre, le deuxième est soumis à des efforts moins importants, cette réduction étant d'autant plus prononcée que les cylindres sont plus rapprochés. Il semble de plus Que ces phénomènes de masQue soient indépendants du nombre de Reynolds, ce Qui permet de transposer des résultats d'essais en modèle réduit à des situations réelles.
~ - Efforts d'inertie (d'après (3])
LorsQue le cylindre n'est plus isolé, la diffraction de la houle peut être pertubée par les cylindres voisins.
Dans le cas d'une rangée de pieux identiQues de diamètre 0 assez petit devant la longueur d'onde, espacés les uns des autres d'une distance l (d'axe en axe), on montre Que le coefficient d'inertie d'un des pieux pris isolément est fonction de l'angle d'incidence 01 de la houle et de l'écartement relatif 1/0.
Si -; représente l' accé l érat ion des particules d'eau au droit de l'axe du pieuJi considéré, on définit en fait deux coef/ ficients Ch et C", relatifs è chacune
/ des deux directions.
La force résultante-F fait alors un angle e avec la rangée de pieux, défini par :
tge =
.....,. Si on rapporte le module de F à celui
de -a, on peut définir un coefficient d' in er t i e 91 ob a l par :
C" = VC 2h cos2c:1. + C2
"r sin2~
Hassel a montré analytiQuement Que l'on avait la relation
1 1 cos(nkl sinoO( L oQ 2 - = 2 = ---------------
2t\f):;,C"x C", n
- 41
SUI" les figures su i vantes, on constate Que chaque pieu p·eut ~tre
considéré Comme isolé à condition Que l'on ait:
\) .-i -< f 5
12 CM,.
10 œ.ltA;
8 ka :0.2
6
4
2.~-~~-~-==-----------
o 0,4
3
Notons Que, lorsque cet espacement est inférieur à 1.5 D, la formule précédente n'est plus valable et on peut considérer la file de pieux Comme un obstacle à peu prés imperméable.
- 42
PIEUX DE PETIT DIAHETRE
HOULE NON DEFERLANTE
EFFORTS RESUL TANU HAXIHAUX
1 - DONNEES
HAUTEUR = H - HOULE [ PERIODE = T
PROFONDEUR = d
- PIEU --~ [ DIAHETRE = D
2 - CALCULS
• Longueur d'onde : L = ~T~ ~h~1T"A. ~1r l
• Nombre de Reynol da : 9t = -! ~TH'D ë.. »L
• Coefficients Co et c" (IL = interpolation linéaire)
R 0 2xl0' 2,5xl0' 5xl0' .00
· Coefficient W =
- 43
3.4 - PIEUX EN HOULE DEFERLANTE
Lorsqu'un pieu vertical est exposé à une houle déferlante, les efforts auxquels il est soumis résultent de deux phénomènes bien distincts. Tout d'abord, le passage de la vague au droit du pieu engendre un profil de vitesses qui varie au Cours d'une période et par conséquent des efforts que l'on peut espérer approcher par la formule de Horison avec des coefficients de tralnée et d'inertie appropriés. A cette variation lente des efforts appliqués s'ajoute l'effet brutal de gifle qui accompagne le passage de la crête, effet qu i se tradu i t par une press i on d' impact trés bréve (1 a durée de l' impact étant de l'or dre du 1/100 de secon de) app l i quée sur une certaine hauteur au-dessus du niveau de repos. Dans ce paragraphe, nous examinerons successivement les méthodes d'évaluation de ces deux types d'efforts.
a - Efforts de tralnée et d'inertie (d'aprés [6])
0( - Grande profondeur
Dans le cas où le pieu est implanté en grande profondeur, c'est-àdire par des fonds supérieurs à la demi-longueur d'onde, on peut utiliser les méthodes précédentes en considérant que l'on se place au déferlement, c'est-à-dire que H = Hb.
~- Faible profondeur
Par faible profondeur, les efforts de tralnée sont prépondérants, de telle sorte que la force et le moment maximaux, compte-tenu de ce que Ko et So valent respectivement 0,96 et 1,11 pour H = Hb' peuvent s'écrire:
F••• ::: ~ ~ g Co DH2 Ko ::: ~ ~ g Co
H••• ::: fo db So :::: 1.11 db F. aM
Des essais en modèle ont confirmé ces résultats avec toutefois un coefficient CD de l'ordre de 2,5 fois celui correspondant aux houles non déferlantes. Par conséquent, la procédure décrite précédemment peut être appliquée dans ce cas en considérant que:
~ C'" __= 0
1 C'D 2,5 Co
- 44
b - Effet de ~if1e (d'après [7])
A la force précédent.e, dont la variation est à l'échelle de la période de la houle, se superpose l'effet de gifle correspondant à l' impact de la crête de la vague déferlante sur le pieu. Ce phénomène est représenté par le schéma ci-dessous.
Pour étudier le déferlement. on se réfère souvent à la hauteur au large H. ou, plus exactement, à la hauteur H'. Que devrait avoir la houle au large pour obtenir la hauteur réelle au point considéré s'il n'y avait pas de réfraction. Si KR désigne le coefficient de réfraction (non compris les phénomènes de shoa1 ing), cette hauteur fictive est donnée par:
H'. = KR Ho
Si l'on désigne de plus par L. la longueur d'onde au large. la hauteur Hb peut être obtenue par la relation suivante (valable pour H'./L. compris entre 2 et 6,5 ", et pour tg~ compris entre 1140 et 1/5) :
0,254
= 0,575 (tgQU
H'.
Oe plus, la surélévation de la crête par rapport au niveau moyen est en général de l'ordre de :
? b ~ 0,8 Hb
On montre Que les efforts 1 iné iQues maximaux dus à l'impact peuvent être évalués par la relation:
- 45
OÙ Cb désigne la célérité de l'onde, pour laquelle on peut adopter
Cette force l inéique s'appl ique sur une hauteur hb' comptée à partir de la crête, qui peut s'exprimer sous la forme
hb =Àry b
où À est au plus égal à {l,1 si le déferlement est du type déversant et à 0,5 pour un déferlement plongeant.
Rappelons que le type de déferlement peut être déterminé grâce au nombre d'Irribarren, à savoir
tg ~
1
~~ V~
et que l'on a schématiquement
1 < 0, 4 ~ déversant
i 0,4 < 1 < 2, 0 ~ plongeant
1 >2,0 ===;;> gon fl ant
Ces formules, totalement empiriques, ne conduisent qu'à des ordres de grandeur. Elles conduisent à des valeurs maximales des efforts de gifle correspondant au cas où le pieu est implanté exactement à la profondeur db provoquant le déferlement.
Celle-ci peut être estimée par la formule suivante, due Comme la précédente à Singamsetti et Wind (1980)
H o,i.SS 1 -0 :f.Jo
~-o,m(~i) (Jt-r
- 46
B 1 B LlO G R A PHI E
(1) COMOLET Mécanique Expérimentale (Masson - 1982)
des Fluides (tome 2)
(2) DAUBERT Efforts sur les structures en mer (tiré du Cours de Mécanique des Fluides EYROLLES, 1975)
de l'ENPC
(3)� SUSBIELlES-BRATU Vagues et Ouvrages Pétroliers en Mer <Technip - 1981>
(4)� SARPKAYA Forces on Rough - Wa11ed Circu1ar Cy1inders in Harmonic Flow <Coasta1 Eng. Proc., 1976. Vol 3)
[5) ARISTAGHES <C et P)� Théories de la houle - Houle réelle Propagation <Notice STC PM - 85.19)
(6) C.E.R.t.� Shore Protection Manual <édition 84)
[7J WIEGEL� For~es Induced by Breakers on Piles <Coasta1 Eng .Proc., 1982. Vo1.3)
