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POLY-PREPAS Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

- Sections : L1 Santé -

Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr

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Sommaire

1. Vocabulaire

2. Hydrostatique a) Lois de Pascal b) Machines hydrauliques c) Pression atmosphérique d) Circulation sanguine e) Effets de l’accélération f) Unités de pression

3. Dynamique des Fluides Parfaits

a) Définitions b) Equation de Bernoulli c) Conséquences de l’ Equation de Bernoulli : effet-Venturi, artériosclérose, Théorème de

Torricelli, tube de Pitot,

4. Dynamique des Fluides Réels a) Force de viscosité, fluide newtonien b) Ecoulements laminaire/turbulent c) Nombre de Reynolds d) Vitesse critique e) Loi de Poiseuille f) Fluides réels en écoulement turbulent : caractéristiques, les souffles, mesure de la tension

artérielle

5. Hémodynamique a) Viscosité du sang b) Le sang n’est pas newtonien c) Effet Fahreus-Lindquist

6. Forces de cohésion dans les liquides

a) Tension superficielle b) Angles de contact / capillarité c) Loi de Jurin d) Loi de Laplace

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I. Vocabulaire ; définitions :

Mobilité : Un fluide peut être considéré comme composé d'un grand nombre de particules matérielles, très petites et libres de se déplacer les unes par rapport aux autres ; contrairement à un solide, un fluide n’a pas donc pas de forme propre : il se répand et épouse la forme du récipient qui le contient. Isotropie : un fluide est un milieu isotrope, c-à-d que les propriétés du fluide sont les mêmes dans toutes les directions de l’espace qu’il occupe. Compressibilité : il existe deux grandes classes de fluides, différenciés par leur compressibilité :

• Les fluides compressibles : les gaz, qui occupent tout l’espace qui leur est offert (fluide expansible � � varie selon la variation de volume)

• Les fluides incompressibles ou quasi-incompressibles : les liquides, qui occupent un volume déterminé (fluide inexpansible ou isovolume � � � ���) � la compressibilité traduit la diminution de volume en réponse à un accroissement de pression.

Viscosité : caractérise l’aptitude d’un fluide à s’écouler

� fluide parfait : cas idéal où l’on considère qu’il n’y a pas de frottements entre les molécules ; le mouvement du fluide s’effectue « d’un bloc », l’énergie est conservée : pas de viscosité

� fluide réel : les molécules interagissent entre elles lors d’un écoulement : frottements internes sources de déperdition énergétique ; si l’on met en mouvement une partie du fluide, ce mouvement se communique de proche en proche aux régions voisines, mais en s’affaiblissant progressivement (gradient de vitesses). Chaque couche « résiste » au mouvement d’entraînement : viscosité

Ecoulement stationnaire : un régime d’écoulement est dit stationnaire lorsque les paramètres qui le caractérisent : pression, température, vitesse, masse volumique…, ont une valeur constante au cours du temps

Pression (statique) : dans un liquide au repos, la pression en un point M représente la force exercée perpendiculairement par le liquide sur une surface S -réelle ou imaginaire- entourant le point M :

� �

� en �� ; en � ; en ²

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La pression est une grandeur macroscopique, elle représente la résultante des chocs microscopiques continuels qui ont lieu entre les molécules entre elles et contre les parois d’un volume V (cf

Thermodynamique : � � �� ���� � ). Elle est toujours normale à la surface.

Pression dynamique (ou cinétique) : un fluide en écoulement crée une pression supplémentaire

���� � �� ����

II. Statique des Fluides : HYDROSTATIQUE

a) Dans un liquide incompressible et isotherme au repos, la différence de pression mesurée entre

deux points peut être reliée au poids de la colonne de liquide ayant comme base l’unité de surface, et comme hauteur la différence de niveau entre les deux points.

� 1ère Loi de Pascal : « la pression est la même en tout point de même altitude » ; en particulier, elle ne dépend pas de la forme du récipient, ni du volume autour (la pression à 10 m sous l’eau est la même que l’on soit dans un puits ou sous la mer) � Paradoxe de Stévin sur l’Hydrostatique : ce n'est pas le volume qui compte mais la hauteur h du fluide

La pression au fond de chacun de ces verres est la même, puisque que chaque verre contient la même « hauteur » de fluide (la surface du fond étant la même dans les 3 verres) ; pourtant la pression exercée

sur le sol par chacun de ces verres n’est pas la même � !"#$$%&' ( �)*+%,#- � paradoxe

Application : les vases communicants, la hauteur d’eau (� � ��� dans les deux récipients) doit être la même dans chacune des récipients

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� 2ème Loi de Pascal : « la différence de pression entre deux points est proportionnelle à la différence de hauteur H entre ces deux points »

∆� � �/0

ou : �� 1 �/2� � �� 1 �/2�

Remarque : la pression étant proportionnelle à la profondeur, il s'ensuit qu'un corps immergé subira une force plus grande sur sa face inférieure que sur sa face supérieure, d'où résulte le principe d'Archimède

b) Théorème de Pascal : « une variation de pression se transmet intégralement dans un liquide incompressible en équilibre » (ce théorème est valable pour les gaz).

� application : la presse hydraulique

Soient deux cylindres A et B de sections 34 et 35 communicant entre eux, avec 34 6 35:

On exerce une force 4 sur la surface 34 ; la pression est alors �4 � 4 347

D’après le Théorème de Pascal, la pression est transmise intégralement, on a donc : �5 � �4 Or, �5 � 5 357 , on a donc : 5 357 � 4 347 � 8 � 9 : 89

Comme 35 ; 34, on a donc : 5 ; 4 : on peut démultiplier les forces de manière considérable (soulever un avion avec un vérin pneumatique)

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c) Pression atmosphérique : (Torricelli ~ 1643)

L’air est le fluide responsable de la pression atmosphérique ; celle-ci correspond donc au poids de la colonne d’air (8 à 15 km pour la troposphère) s’exerçant sur une unité de surface ; au niveau de la mer, le corps humain supporte une pression de 1 kg/cm², ce qui signifie que l’être humain supporte près d’une tonne d’air.

Pression absolue : en toute rigueur, il faudrait toujours tenir compte de la pression atmosphérique quand on mesure une pression à une certaine profondeur (par ex sur un sous-marin en mer), et noter la pression absolue à la profondeur z :

��=>?2@ � ��A 1 �/2

Cependant, les objets pour lesquels on mesure une pression ont déjà une pression interne égale à la �BCD, et donc ces deux pressions s’annulent � on préférera parler uniquement de la pression exercée par le fluide seul : � � �/2

On la nomme : pression manométrique, ou pression piézométrique, ou pression transmurale, ou pression de jauge

E Pression artérielle : Correspond au ∆� entre l'intérieur et l'extérieur du vaisseau

Variations de la pression atmosphérique selon l’altitude z (sur une grande hauteur) :

�?2@ � �F. HIJ/KL 2 (formule du nivellement barométrique)

Application : altimètre

d) Circulation sanguine :

• Variations des pressions circulatoires selon la posture :

COUCHE

(différences minimes dues à la viscosité du sang)

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DEBOUT

M �N�HO> � ��PHQR 1 �/S� ��HR�H�Q � ��PHQR T �/S��U

e) Effets de l’accélération :

Une personne peut subir une accélération VW (pilotes de chasse, F1, ascenseur, manèges, etc…) ; la

personne ressent alors non son poids réel : �XW � �YW , mais son poids effectif : �XW � �?VW 1 YW@

� si l’accélération est vers le haut : �XXW � 1� et � � ?/ 1 �@ : on ressent davantage son « poids » (ex : ascenseur au démarrage en montant, on se sent « tassé » au sol) La pression dans le cerveau devient : �Z#"[#B+ � �Z&#+" T �?Y 1 V@\Z[ et donc, diminue ; ] à partir de V � 2 _` 3Y, �Z#"[#B+ b 0 � voile gris ?2Y@: l’œil n’est plus correctement irrigué, vision floue, les couleurs s’estompent, puis : voile noir : cécité temporaire, jusqu’au blackout (évanouissement à 6Y)

� si l’accélération est vers le bas : �XXW � T� et � � ?/ T �@ : on ressent davantage son « poids » (ex : ascenseur au démarrage en descendant, on se sent comme « soulevé » du sol, ou : chasseur en piqué) La pression dans le cerveau devient donc : �Z#"[#B+ � �Z&#+" T �?Y T V@\Z[ � �Z&#+" 1 �?V T Y@\Z[ et donc, augmente par rapport à son état normal (�Z[?e�f_`�@~9,3i�V@ ] si V � T2 _` T 3Y, � voile rouge (le sang monte dans les yeux, le pilote voit dans un flou rose) ] si V j T5Y � rupture d’anévrisme

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f) Unités de pression :

Dans le Système International, l’unité de la pression est le Pascal �� ; il correspond à l’application d’une force de 1 � sur une surface de 1 �² (un confetti sur la main)

On utilise fréquemment l’hectoPascal : 1 \�V � 100 �V

Correspondances avec d’autres unités :

� �� � � �. I� � �A � � F�m S�� � �F� mFF �� ~ �Fn �� � =�R � � �A ~ �Fn �� � 0/ � �mm �� � � 0�o � �FF ��

g) Poussée d’Archimède :

« Tout corps immergé dans un fluide (liquide ou gaz) est soumis à une force verticale ascendante p4XXXXW , de valeur égale au poids du volume V du fluide déplacé par le corps immergé » : p4XXXXW � T �XW)*+%,# ,é!*BZé

r9XXXXXW � T �stQ�OH. u�PRN> � HR/é. /XXW

*v wV�_xy z {_|`�� e}`~� f_`|� e� yV�_~ y z {�&+*# � �� p. y�

Forces de frottement fluide :

• Pour des vitesses relativement faibles (régime laminaire) : sXW � T �. �XXW

* A savoir : Le coefficient k dépend de la forme, de la surface, de la nature de l’objet. Pour une bille de rayon R plongée dans un fluide de viscosité ηηηη : sXW � T�r�R�XXW PR QtH OH AP�H> ?��AH>>H s��=tH@

• Pour des vitesses plus élevées (régime turbulent) : sXW � T �. �XXW²

• Généralisation, selon la vitesse de l’écoulement, les forces de frottement fluide sont de la forme : sXW � T �. �XXW�

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Vitesse de sédimentation : Le sang est constitué d’une suspension cellulaire (globules rouges, globules blancs, ) dans le plasma, de viscosité �, de masse volumique �Nt�> Si on laisse au repos dans un tube à essai du sang non coagulable, on constate que les éléments les plus denses se déplacent vers le fond et atteignent une vitesse-limite : la vitesse de sédimentation.

Démonstration non-indispensable :

Système : {le Globule Rouge} Référentiel : terrestre considéré comme galiléen Bilan des forces : �XW, � XXXW, p4XXXXW 2ème Loi de Newton : ∑ W#�C � �. VW

�XXW 1 sXW 1 r9XXXXXW � . �XXW On projette sur un axe [Oz) vertical descendant : � T p4 T � � � V

d’où, avec : V � ,[,C et � � 6p���

�Y T �)*+%,#{Y T 6p��� � � e�e� � e�e� � Y �1 T �!*B${� � T 6p��� �

Avec : � � ���{ e�e� � Y �1 T �!*B${���{ � T 6p�����{ �

Avec : {�� � �� p��

e�e� � Y �1 T �)*+%,#��� � T 6p����� 43 p�� � � Y �1 T �)*+%,#��� � T 9�2����� �

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Lorsque la vitesse-limite est atteinte : � � �t� � � � O�OA � F L’équation différentielle devient :

0 � Y �1 T �!*B$��� � T 9�2����� � � � � Y �1 T �!*B$��� �9�2�����

� � 2����2Y ���� T ��|Vw��� �9�

� � �K�/�� ���K T �Nt�>�

Cette vitesse de sédimentation � est très faible du fait de la petite valeur de R et de la faible différence des masses volumiques. La vitesse de sédimentation est un élément d'orientation diagnostique, permettant d’obtenir des informations sur le nombre de ��, leur volume, la viscosité du plasma, le taux de certaines protéines (qui augmente lors d’une inflammation : fibrinogène �), etc… La mesure de la � peut s'effectuer après une heure et deux heures de sédimentation, où l’on note en millimètres, la hauteur du plasma surnageant, à partir de la graduation zéro. Normes après la 1ère heure :

→ chez l'homme : 1 à 10 mm (< 16)

→ chez la femme: 3 à 14 mm (< 25).

La vitesse de sédimentation est un processus très lent, sauf en cas d’inflammation ou d’infection. Ainsi lors d’un examen, une augmentation de la � fait suspecter en premier lieu un syndrome inflammatoire, les infections bactériennes ayant les plus forts taux d’augmentation (tuberculose, méningite bactérienne, septicémie > 400 mg/L) Centrifugation et ultracentrifugation: Afin d’augmenter la sédimentation, il suffit de substituer à l’accélération de pesanteur /XXW une accélération centrifuge �XXWR . Ainsi une centrifugeuse est constituée par un système en rotation, qui soumet l’échantillon à étudier à une très forte accélération radiale

� �R ] �F FFF / �H�AR�sQ/�A�P� �R ] nFF FFF / QtAR��H�AR�sQ/�A�P� T �HO=HR/ ���� T�

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• les particules de masse volumique plus élevée que celle du liquide s’éloignent de l’axe de rotation du rotor avec des vitesses croissantes

• les particules de masse volumique moins élevée que celle du liquide se rapprochent de l’axe de rotation du rotor avec des vitesses décroissantes

Ces techniques permettent de séparer les éléments d'un mélange en le faisant tourner à grande vitesse ; ex : séparer les éléments figurés du sang (globules rouges, globules blancs, plaquettes en suspension dans le plasma sanguin).

L’ultracentrifugation est également utilisée pour l’enrichissement de l’uranium � développement des armes nucléaires.

III. Dynamique des Fluides Parfaits : a) Définitions : valables pour tout fluide incompressible (parfaits et réels) :

Débit Q : volume de fluide qui traverse une section s par unité de temps

� � uPtQ H∆A � �~ ��. wI�

Relation débit – vitesse :

� � . ��

Equation de continuité, ou conservation du débit : le volume s’écoulant par seconde à travers n’importe quelle section, est constant (pas de perte de masse : tout le fluide doit s’écouler)

débit entrant = débit sortant � �4 � �5

9. ��9 � 8. ��8

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b) Equation de Bernoulli

Un fluide parfait, c-à-d de viscosité nulle, est un cas théorique idéal et n’a aucune réalité physique ; en revanche –et l’intérêt de l’Equation de Bernoulli est là-, beaucoup de fluides, sous certaines conditions, peuvent être étudiés sous l’approche du modèle du fluide parfait (ce qui peut être le cas lorsque la viscosité est faible, ou l’écoulement est lent, ou l’écoulement se fait dans un vaisseau de grande section, etc …).

La démonstration se fait grâce au Théorème de l’Energie Cinétique, et l’on obtient :

� 1 �/2 1 �� ��� � �AH

�� 1 �/2� 1 �� ���� � �� 1 �/2� 1 �� ����

• le terme « � 1 �Y� 1 �� ��� » est appelé « charge » est reste donc constant lors d’un

écoulement pour un fluide parfait � il n’y a pas de perte de charge dans l’écoulement d’un fluide parfait

• � 1 �Y� 1 �� ��� est aussi appelée « pression totale » ou « pression de stagnation » ou

« pression d’arrêt », et est composé de 3 pressions : � Pression statique (ou « locale ») : � � Pression gravitique (ou « hydrostatique ») : �Y�

� Pression dynamique (ou cinétique) : �� ���

c) Conséquences de l’équation de Bernoulli :

� Cas de la statique :

si � � 0, l’équation de Bernoulli devient : �� 1 �Y�� � �� 1 �Y��, que l’on peut écrire également : ∆� � �Y∆� � on retrouve le Théorème de Pascal ; « l’équation de Bernoulli généralise le Théorème de Pascal »

� Effet-Venturi : pour une canalisation horizontale, c-à-d pour 2� � 2�

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Conservation du débit entre (1) et (2) : �. ��� � �. ��� � ��� � �� . ���

en posant � � ��, on a : ��� � �. ���

� est le degré de sténose, « pourcentage » de rétrécissement artériel : �   1 � ��� j ��� : été��A�P� OH t� ��AH>>H O��> tH RéARé��>>H H�A Conservation de l’énergie entre (1) et (2) : pour �� � ��, l’équation de Bernoulli devient :

�� 1 12 ���� � �� 1 12 ����

� 12 ���� T 12 ���� � 12 �?��� T ���@

_y ��� j ��� , e_~� �22 T �12 j 0 �� �1 T �2 j 0

� ��   �� z �SQAH OH NRH>>�P� O��> tH RéARé��>>H H�A

Effet-Venturi : « £¤¥¦ §’©ª ¥é«¥é¬­¦¦®¯®ª«, ­£ ° ± ©ª® ¬²©«® §® ³¥®¦¦­¤ª, ±© ´éªéµ­¬® §’©ª® é£é¶±«­¤ª §® £± ¶­«®¦¦® »

� Application : deux camions ou deux bateaux côte à côte qui se rapprochent trop près, ont tendance à se happer

� Débit-mètre de Venturi : la mesure de �4 T �5 et la connaissance de SA, SB, et de la masse volumique permettent de déterminer le débit.

� Cavitation : parfois la pression �5 est tellement faible au niveau de la contraction que la pression du fluide devient inférieure à sa pression de vapeur saturante, il se met à bouillir ! � bulles de cavitation (dégagement de vapeur au sein du liquide).

Application à l’artériosclérose (ou athérosclérose)

L’athérosclérose est une maladie (cause dominante de la majorité des affections cardiovasculaires) où le diamètre des artères diminue localement et progressivement par la formation d’une plaque d’athérome : accumulation de lipides et de tissu fibreux, pouvant conduire à une sténose artérielle, voire une thrombose (obstruction totale du flux sanguin � embolie, AVC, infarctus…)

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Mécanisme : • sans plaque d’athérome, la couche musculaire enrobant l’artère (la média) est

suffisamment tonique pour réguler la pression et le débit sanguin (sans cela l’artère serait molle, flasque, et le sang ne serait pas « conduit » tout le long de l’artère)

• lorsque la plaque d’athérome se forme, le flux sanguin est peu à peu obstrué : sténose artérielle � chute de tension par effet-Venturi à l’intérieur de la sténose

• la couche musculaire exerce toujours la même pression qu’à l’état normal, alors qu’à l’intérieur la pression a diminué � sous la pression externe, l’artère se ferme, le sang s’accumule

• sous la poussée du sang accumulé, l’artère s’ouvre à nouveau, libérant violemment le sang : régime turbulent, le sang va dans tous les sens, « cognant » les parois de l’artère et engendrant un bruit audible à l’auscultation

• de nouveau, l’artère se ferme progressivement, puis s’ouvre, puis se referme… � on entend un souffle à l’auscultation

� Théorème de Torricelli : on vide un réservoir assez large à travers un orifice ; l’écoulement se faisant très lentement, on peut négliger son caractère instationnaire et considérer la vitesse nulle à la surface du fluide (tout comme à l’œil nu on ne voit pas une poche de perfusion se vider) � �� � F

de plus, �� � �BCD et �� � �BCD

L’équation de Bernoulli : �� 1 �Y�� 1 �� ���� � �� 1 �Y�� 1 �

� ���� devient :

�BCD 1 �Y�� � �BCD 1 �Y�� 1 �� ����, soit : �Y�� � Y�� 1 �

� ����

� �� � ¸�/?2� T 2�@ �n notant H : profondeur par rapport à la surface, c-à-d ¹ � �� T ��, on obtient :

� �� � ¸�/0

Théorème de Torricelli : « la vitesse d’écoulement d’un fluide dans un réservoir

ouvert à travers un orifice situé à la profondeur H est : et : �� � ¸�/0 »

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� Tube de Pitot : permet de mesurer la vitesse d’un écoulement

On considère un liquide en écoulement permanent dans une canalisation et deux tubes plongeant dans le liquide, l'un débouchant en A face au courant, et l'autre en B est le long des lignes de courant, les deux extrémités étant à la même hauteur.

� Au point C, le liquide a la même vitesse �� que dans la canalisation et la pression est la même que celle du liquide �º � �

� En B, point d'arrêt, la vitesse est nulle ?��5 � 0@ et la pression est �5.

D'après le Théorème de Bernoulli,

�8 � �» 1 �� ��»� � �� ���� � �8 T �»

PR, �8 T �» � �/S O}Pù z �� ���� � �/S � �� � ¸�/S

En mesurant la dénivellation �� du liquide dans les deux tubes, on peut en déduire la vitesse �� d'écoulement du fluide.

Remarque : la pression statique est indépendante de l’orientation du capteur qui la mesure, alors que lors d’un écoulement (dynamique), la pression dépend de l’orientation du capteur (latéralement, à la fin, ou en aval)