Rapports et proportions

Une proportion est l’égalité entre deux fractions ou deux rapports.

Exemple : 2

4

3

6=

2,5

7,5

12,5

37,5=

Ces deux fractions sont égales;

en effet, si on les simplifie, on constate qu’elles sont équivalentes.

1

2

1

2=

Deux fractions équivalentes unies par le signe = forment une proportion.

Exemple : Ces deux rapports sont égaux;

en effet, si on les simplifie, on constate qu’ils sont équivalents.

1

3

1

3=

Deux rapports équivalents unis par le signe = forment une proportion.

Remarque : Il existe une légère différence entre un rapport et une fraction.

2

4

2,5

7,5

Dans une fraction, le numérateur et le dénominateur sont des nombres entiers.

C’est un nombre entier.

C’est un nombre entier.

Dans un rapport, le numérateur et le dénominateur ne sont pas nécessairement des nombres entiers.

2

4,1

Exemple : C’est un rapport, mais pas une fraction.

3,5

7

Exemple :

Une fraction est donc un rapport, mais composée uniquement de nombres entiers.

C’est un rapport, mais pas une fraction.

C’est un rapport, mais pas une fraction.

A

B

C

D=

On généralise une proportion comme suit :

Remarque

Le premier et le dernier termes

s’appellent les

Le deuxième et le troisième termes

s’appellent lesextrêmes. moyens.

On peut prouver que deux rapports forment une proportion de plusieurs façons.

1) Simplifier les rapports :8

10

16

20=

4

5

4

5=

2) Écrire les deux rapports de manière à ce que les numérateurs = 1.

8

10

16

20=

1

1,25

8

10

8

8

÷

÷=

1

1,25

16

20

÷

÷

16

16=et

1

1,25

1

1,25=

3) Écrire les deux rapports de manière à ce que les dénominateurs = 1.

8

10

16

20=

0,8

1

8

10

10

10

÷

÷=

0,8

1

16

20

÷

÷

20

20=et 0,8 = 0,8

4) Multiplier les extrêmes entre eux et les moyens entre eux; s’il y a égalité alors les rapports sont proportionnels.

8

10

16

20= 8 X 20 = 16 X 10 Donc, 8

10

16

20= forment une proportion.

160 160=

Les proportions ont plusieurs propriétés :

1) Inverser les rapports donne une nouvelle proportion : 2

4=

2) Intervertir les extrêmes donne une nouvelle proportion : 2

4

3

6=

3

6

3) Intervertir les moyens donne une nouvelle proportion : 2

4

3

6=

4) Le produit des extrêmes égale le produit des moyens : 2

4

3

6=

2 X 6 = 3 X 4

Remarque : Cette dernière propriété sera très utile pour déterminer une mesure manquante.

Le produit des extrêmes égale le produit des moyens.

Trouver une mesure manquante dans une proportion

Une proportion est un outil très utilisé en mathématiques, en sciences et dans la vie de tous les jours.

Exemple : À ton dernier examen, tu as reçu une note de 35 sur 40. Quel est ton résultat sur 100 ?

Voici la proportion à utiliser :

Ton résultat :

Le total de l’examen :

35

40=

100

? Quand on cherche une inconnue, on

utilise souvent la lettre x.

Remarque : Dans un problème, lorsque l’on donne 3 informations et qu’il faut en trouver une quatrième, c’est souvent la proportion qu’il faut utiliser.

Ton résultat :

Le total de l’examen : 100

35

40=

x

Écris toujours ton rapport en français pour bien placer tes nombres.

xDémarche :

Ton résultat :

Le total de l’examen : 100

35

40=

1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. »

100

35

40=

x35 X 100 = 40 X x

2) Isoler x : 3 500 = 40 x4040

87,5 = x

Ta note est donc de

100

87,5ou 87,5 %

3 500 = 40 x

87,5

Problème

Une recette de gâteaux pouvant servir 5 personnes demande 400 g de beurre. Tu voudrais faire le même gâteau pour 8 personnes.

Quelle quantité de beurre auras-tu besoin ?

=x8

400 quantité de beurre (g) :

nombre de personnes : 5

Écris toujours ton rapport en français pour bien placer tes nombres.

1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. »

8 X 400 = 5 X x

2) Isoler x : 3 200 = 5 x55

640 = x

3 200 = 5 x400

5=

x8

Réponse : 640 g

3 x = 157,50

Problème

Dans une vente de liquidation, un disquaire offre tous les CD de musique au même prix. Un client paie 22,50 $ pour trois CD.

Combien paiera-t-il pour 7 CD ?

=7

x22,50

3 Nombre de CD :

Prix ($) :

Écris toujours ton rapport en français pour bien placer tes nombres.

1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. »

3 X x = 7 X 22,50

2) Isoler x :

33

52,50 = x

3 x = 157,50

Réponse : 52,50 $

Problème

Sur une carte dont l’échelle est 1 : 29 000, on a mesuré la distance entre deux villes. Cette mesure est de 22,5 cm.

Quelle est la distance réelle entre les deux villes ?

distance sur la carte (cm) :

distance réelle (cm) :

1

29 000=

22,5

x

1 x = 652 500

1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. »

1 X x = 22,5 X 29 000

2) Isoler x :

11

x = 652 500

1x = 652 500

Réponse : 652 500 cm ou mieux : 6,525 km

Ici, ce n’est pas nécessaire de diviser par 1 pour isoler x,

lorsque que le coefficient de x est 1, x est isolé.car

Problème

Au super marché, tu as acheté 3,6 Kg de viande pour 16,20 $. Combien coûte 1 kg ?

Quantité de viande (kg) :

Prix ($) :

3,6

16,20=

1

x

3,6 x = 16,20

1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. »

3,6 X x = 1 X 16,20

2) Isoler x :

3,63,6

3,6x = 16,20

x = 4,5 Réponse : 4,50 $

Avec de l’argent, toujours 2 chiffres après la virgule !

Remarque : Dans cette situation, on aurait pu aussi faire simplement :

16,20 ÷ 3,6 = 4,5 On cherchait le prix à l’unité, donc pour 1 kg.

tempsVitesse =

Problème

Une auto roule à vitesse constante (toujours à la même vitesse). Après 3 heures, la distance franchie est 285 km; quelle distance sera franchie après 7 heures ?

=Temps (h) :

Distance (km) : 285

3

x7

1 995 = 3 x

1) Utiliser la propriété : « Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. »

285 x 7 = 3 X x

2) Isoler x :

33

1 995 = 3 x

x = 665 Réponse : 665 km Si le conducteur ne s’arrête pas pour

manger, se reposer ou faire le plein…

Remarque : Savais-tu qu’il existe une formule pour calculer la vitesse ?

distance:

285 km

3 hres

665 km

7 hres= 95 km/h = 95 km/h

C’est ce qu’on appelle la vitesse moyenne.

Conclusion

Lorsqu’on se retrouve dans une situation de proportionnalité, il faut toujours prendre le temps de comprendre correctement le rapport à poser.

On prend le temps d’écrire le rapport en français,

=x8

400 quantité de beurre (g) :

nombre de personnes : 5

=7

x22,50

3 Nombre de CD :

Prix ($) :

distance sur la carte (cm) :

distance réelle (cm) :

1

29 000=

22,5

x

Quantité de viande (kg) :

Prix ($) :

3,6

16,20=

1

x=

Temps (h) :

Distance (km) : 285

3

x7

Ton résultat :

Le total de l’examen : 100

35

40=

x

pour placer les nombresaux bons endroits.