Rayonnement dipolaire (PC*)

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Rayonnement dipolaire

(PC*)

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I) Cadre de l’étude :

On considère un ensemble de charges qi, telles que 0i

i

q =∑ , mobiles au voisinage

de l’origine O d’un système de coordonnées. On pose :

O

x

y

z

Ai (qi)

M

r = OM

On souhaite déterminer les champs Er et B

r à grande distance r de O et montrer

que ce système rayonne de l’énergie (contrairement au dipôle statique).

i i

i

p q OA=∑uuurr

Le moment dipolaire de la distribution de charges est :

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Hypothèses simplificatrices :

• r >> a : a est de l’ordre de grandeur de l’extension spatiale de la distribution de charges

• vi << c : la particule qi a une vitesse vi non relativiste

zz a cos( t) ; p qa cos( t) u

dza sin( t)

dt

dzc donne a

dt

= ω = ω

= − ω ω

<< << λ

r r

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Zone de rayonnement :

L’étude du champ rayonné par ce dipôle à une distance r >> a de celui-ci conduit à distinguer trois zones dans l’espace :

• La zone statique : a << r << λ

(on ne tient pas compte de la durée de propagation)

• La zone intermédiaire : r λ≈

• La zone de rayonnement : r >> λ

On s’intéresse aux champs EM dans la zone de rayonnement, ce qui correspond aux situations les plus répandues.

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Rappels sur le potentiel vecteur :

Le potentiel d’une distribution volumique de courants est :

τπ

µd

MA

c

MAtAj

tMAAi

i

i

D

),(

4),(

)(

0

−== ∫∫∫

r

rr

Pour une distribution filiforme, on utilise la correspondance lrr

iddj =τ :

lrrr

dMA

c

MAtAi

tMAAi

i

i

D

),(

4),(

)(

0

−== ∫∫∫π

µ

Pour une répartition discrète :

0( , )4

ii i

i i

A Mq v t

cA M t

A M

µ

π

−

= ∑

r

r

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II) Détermination des champs :

1) Expression générale :

On utilise :

( )rot U a grad U a U rot a= ∧ +uuur uuuuuur uuurr r r

On travaille en coordonnées sphériques.

On suppose :

zp pu=r r

On écrit :

0 0

EB rotA et rotB

tε µ

∂= =

∂

ruuur uuurrr r

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2) Expression des champs EM à grande distance de l’origine :

Dans la zone de rayonnement (r >> λ)

L’expression du champ magnétique se simplifie en :

0( , ) sin4

rp t

cB M t u

rcϕ

µθ

π

−

=

&&r r

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Pour calculer le champ électrique, on utilise :

0 0 2

1∂ ∂= =

∂ ∂

r ruuur r E ErotB

t c tε µ

En utilisant un formulaire mathématique :

Ainsi :

( ) ( )2

1 1sin sin

sin sin

∂ ∂= −

∂ ∂

uuur r r rrrotB r B u r B u

r r rθθ θ

θ θ θ

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0: ( , ) sin4

−

=

&&r

p tc

Avec B M trc

µθ

π :

0 0

2 2

cos 12 sin

4 4

= − + −

uuur r r r&& &&&

r

r rrotB p t u p t u

c c r c r cθ

µ µθθ

π π

Par intégration temporelle :

0 0

2

cos 1sin

2 4

= − + −

r r r& &&

r

c r rE p t u p t u

r c r cθ

µ µθθ

π π

En faisant à nouveau la même approximation que pour le champ magnétique, on trouve pour le champ électrique dans la zone de rayonnement :

0

2

0

1( , ) sin sin

4 4

− −

= =

&& &&r r r

r rp t p t

c cE M t u u

r rcθ θ

µθ θ

π πε

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3) Approximation locale par une onde plane :

Dans la zone de rayonnement, on constate que les champs Er

et Br

sont

perpendiculaires au vecteur rur

et que :

ru

B Ec

= ∧

rr r

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III) Aspect énergétique :

1) Puissance rayonnée par un dipôle :

On calcule le vecteur de Poynting dans la zone de rayonnement :

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Puissance rayonnée :

On calcule le flux du vecteur de Poynting à travers la sphère de centre O et de rayon r :

Cette puissance rayonnée ne dépend pas de r (le milieu est non absorbant)

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2) Cas d’un mouvement sinusoïdal :

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IV) Exemple d’application ; rayonnement d’une particule chargée :

Voir feuille de TD

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Complément ; polarisation par diffusion :

A partir de la lumière non polarisée du Soleil, la lumière diffusée dans des directions orthogonales à la direction du Soleil est polarisée rectilignement.

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Complément ; grille polarisante :

Les polariseurs du laboratoire d’optique sont des « Polaroïds », constitués de feuilles de plastique transparent fortement étiré dans une direction et rendu

conducteur.

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