La résistance au cisaillement des sols

I. Introduction :

L’interaction sol-structure se vérifie généralement par:

• Une vérification vis-à-vis la ruine, assurée par un coefficient de sécurité : la théorie de la plasticité est adoptée.

• Une vérification des déformations admissibles pour la bonne tenue de l’ouvrage: on utilise la théorie de l’élasticité.

En géotechnique , on s’intéresse plutôt à la résistance au cisaillement car la rupture se produit sous des contrainte de cisaillement excessive

Surface de rupture

II. Répartition des contraintes: 1) Rappel de la MMC: Tenseur des contraintes: Il existe trois plans orthogonaux privilégiés appelés plans principaux

sur lesquels les contraintes sont normales au plan principal considéré Ces contraintes sont les contraintes principales: σ1 pour la plus grande contrainte principale σ2 pour la plus petite σ3 pour la contrainte intermédiaire En mécanique des sols les problèmes peuvent être ramené à deux

dimensions

Rhéologie des corps

2) Convention de signe :

Si σ est une compression, σ est positif

Si τ engendre des couples qui s’exercent dans le sens des aiguilles d’une montre par rapport à un point situé en dehors de l’élément , τ est alors positif.

3) Contraintes en un point , cercle de Mohr:

On suppose un volume de sol sur lequel est appliqué un ensemble de force Fi (i=1..n)

pour un certain point O du domaine l’ensemble des forces peut être décomposé en petit élément

On cherche les contraintes tangentielles et normales par rapport à un plan passant par O et faisant un angle α avec l’horizontale

Soit le petit élément suivant : AC a une longueur unitaire; L’épaisseur normale par rapport au plan est unitaire 𝐵𝐶 = 1 ∗ sin 𝛼 𝐴𝐵 = 1 ∗ cos 𝛼

À l’équilibre : ∑𝐹ℎ = 𝐻 − 𝑇 cos𝛼 − 𝑁 sin𝛼 = 0

: ∑𝐹𝑣 = 𝑉 + 𝑇 sin𝛼 − 𝑁 cos𝛼 = 0

En terme de contrainte : 𝜎𝑥 sin 𝛼 − 𝜏𝛼 cos 𝛼 − 𝜎𝛼 sin 𝛼 = 0 𝜎𝑦 cos 𝛼 + 𝜏𝛼 sin 𝛼 − 𝜎𝛼 cos 𝛼 = 0

On résout le système

𝜎𝛼 = 𝜎𝑥 sin2 𝛼 + 𝜎𝑦 cos

2 𝛼 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2 −

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2cos 2𝛼

𝜏𝛼 = 𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 sin 𝛼 cos 𝛼 =𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2sin 2𝛼

𝜎𝛼 −𝜎𝑥+𝜎𝑦

2= −

𝜎𝑥−𝜎𝑦

2cos 2𝛼

𝜏𝛼 =𝜎𝑥−𝜎𝑦

2sin 2𝛼

(𝜎𝛼 −𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2)² = (

𝜎𝑥 − 𝜎𝑦

2)² cos² 2𝛼

(𝜏𝛼)² = (𝜎𝑥−𝜎𝑦

2)² sin² 2𝛼

L’équation d’un cercle de rayon (𝜎𝑥−𝜎𝑦)

2 et de centre situé en [𝜎𝑥+𝜎𝑦

2 ; 0]

Les contraintes 𝜎𝛼 et 𝜏𝛼 d’un point sur le cercle sont les contraintes normale, σN , et de cisaillement τ, agissant sur un plan incliné d’un angle α avec le plan principale majeur ;

Lorsque ce cercle est porté sur un graphique τ-σ , on l’appelle cercle de contrainte de Mohr

Ce cercle intersecte l’axe de σ en σ1 et σ3

Remarque : La même échelle doit être utilisée pour τ et σ afin d’obtenir un cercle Vu la symétrie on ne trace que la partie supérieure du cercle de Mohr

Exemple : 1) Tracer le cercle de Mohr de l’élément suivant 2) Déterminer la contrainte normale et la contrainte de cisaillement pour un

angle α=35° 3) Déterminer la contrainte de cisaillement maximale τmax

Solution :

2) 𝜏 = 𝑠𝑖𝑛2𝛼𝜎1−𝜎3

2= sin 70° ∗

52−12

2= 18,8 𝑘𝑃𝑎

𝜎 =𝜎1 + 𝜎3

2+ 𝑐𝑜𝑠2𝛼

𝜎1 − 𝜎32

= 38,8 𝑘𝑃𝑎

3) 𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝜎1−𝜎3

2= 20kPa

1)

III. Critère de rupture de mohr coulomb:

résistance : la contrainte maximale ou la contrainte correspondant à une déformation préalablement définie comme le point de rupture.

Le critère le mieux adapté pour l’étude des sols est celui de Mohr-Coulomb

1)Critère de rupture selon Mohr :

à la rupture la contrainte de cisaillement sur un plan de rupture est fonction unique de la contrainte normale sur ce plan

𝜏𝑟 = 𝑓(𝜎𝑟)

Critère de rupture de Mohr

Cercles de Mohr à la rupture servant à définir l’enveloppe de rupture de Mohr

La courbe précédente peut être obtenue en amenant plusieurs échantillons à la rupture, puis en traçant les cercles de Mohr correspondant.

Il est évident que tous les cercles doivent être en dessous de la courbe courbe enveloppe

Les cercle se trouvant en dessous de l’enveloppe sont dans des conditions stables ( cercle A) .

Les cercles qui ont atteint la rupture sont tangent à la courbe enveloppe ( cercle C)

Le cercle B n’a pas de signification, car le matériau se rompt avant d’atteindre cet état de contrainte .

2) Équation de résistance de Coulomb :

Coulomb a établit une relation linéaire entre la résistance au cisaillement et la contrainte normale.

L’équation de Coulomb est la suivante : 𝜏 = 𝜎 tan 𝜑 + 𝑐

𝜏 résistance au cisaillement du sol

𝜎 contrainte normale

C cohésion intrinsèque

𝜑 angle de frottement interne

Remarques: 𝜑 et c ne sont pas des caractéristiques intrinsèques du sol , mais dépendent des condition de l’essai. Si les axes du diagramme de Mohr représentent les contraintes effectives l’équation devient : 𝜏 = (𝜎 − 𝑢) tan 𝜑′ + 𝑐’

3) Critère de Mohr Coulomb

Linéarisation de l’enveloppe de Mohr, à l’aide de l’équation de Coulomb

𝜏𝑟 = 𝜎𝑟 tan 𝜑 + 𝑐

4) Relation entre contraintes principales , et contrainte à la rupture:

Soit un sol d’angle de frottement φ , en utilisant l’hypothèse de Mohr

Coulomb on peut déduire l’angle α qui définit le plan de rupture est donné par la relation:

𝛼 = 45° +𝜑

2

Soit le cercle de ci-dessous :

Le sol est soumis à des contraintes inférieures aux contraintes nécessaires pour la rupture

τ appliqué est la résistance au cisaillement mobilisée sur le plan de rupture potentiel

τ disponible est la contrainte de cisaillement à la rupture, sur le plan de rupture.

On définit le coefficient de sécurité :

𝐹. 𝑆 =𝜏𝑑𝑖𝑠𝑝𝑜𝑛𝑖𝑏𝑙𝑒𝜏𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢é

Remarque :

• Le coefficient de sécurité F.S définit la réserve de résistance « non atteinte »

• Si on augmente le chargement , le cercle de Mohr se développe pour atteindre finalement la courbe de rupture

• La rupture ne se développe pas forcément sur le plan correspondant à 𝜏𝑚𝑎𝑥

Pour c=0 on démontre qu’à la rupture les relations suivantes sont vérifiées :

𝜎1𝑟𝜎3𝑟

= tan2(45° +𝜑

2)

𝜎3𝑟𝜎1𝑟

= tan2(45° −𝜑

2)

Démonstration :

On a sin𝜑 =𝑅

𝐷=

𝜎1𝑟−𝜎3𝑟2

𝜎1𝑟+𝜎3𝑟2

+𝑐 cot 𝜑

𝜎1𝑟 − 𝜎3𝑟 = 𝜎1𝑟 + 𝜎3𝑟 sin𝜑 + 2𝑐 cos 𝜑

si 𝑐 = 0 𝜎1𝑟 − 𝜎3𝑟 = 𝜎1𝑟 + 𝜎3𝑟 sin𝜑

sin𝜑 =𝜎1𝑟−𝜎3𝑟𝜎1𝑟+𝜎3𝑟

on obtient 𝜎1𝑟

𝜎3𝑟=

1+sin 𝜑

1−sin 𝜑 ou bien

𝜎3𝑟

𝜎1𝑟=

1−sin 𝜑

1+sin 𝜑

Les relations trigonométriques donnent:

𝜎1𝑟

𝜎3𝑟= tan2(45° +

𝜑

2)

Et 𝜎3𝑟

𝜎1𝑟= tan2(45° −

𝜑

2)

relations d’obliquité

IV. Essais de résistance au cisaillement des sols , mesure de C et φ :

• Essai au laboratoire :

1) Essai de cisaillement rectiligne

2) Essai triaxial

3) Essai de compression simple

• Essai in situ :

1) Essai au phicomètre : sols grossiers hétérogènes , non testable au laboratoire

2) Essai au scissomètre : adapté aux sols argileux de consistance molle

1) Essai de cisaillement direct

• L’essai consiste à soumettre le sol à un cisaillement direct,

• La boite de cisaillement est composée d’une fixe et d’une autre partie mobile les deux séparées par un plan horizontal.

• L’éprouvette de sol (section circulaire ou carrée de 10cm de coté, épaisseur = 3 à 4cm) est placée à l’intérieur de la boite

Étapes à suivre: 1. On confine l’échantillon à l’intérieur de la boite; 2. On applique une charge normale constante; 3. On cisaille le sol à vitesse constante tout en mesurant la force

de cisaillement appliquée ainsi que les déplacements horizontaux et verticaux ( tassement ou gonflement)

En notant A la section de l’échantillon : 𝜎 = 𝑃

𝐴 contrainte normale appliquée à l’échantillon 𝜏 = 𝑇

𝐴 contrainte de cisaillement à la rupture L’essai peut être réalisé sur plusieurs éprouvettes avec différentes valeurs de σ , les contraintes maximales (σ,φ) peuvent être portées sur le diagramme de Coulomb . Les valeurs de c et φ peuvent ainsi être déduites

Avantages :

• Simple;

• Rapide ;

• économique

Inconvénients :

• Conditions de drainage non maitrisés

• La surface de l’échantillon , soumise aux efforts de cisaillement varie au cours de l’essai;

• La répartition des contraintes sur le plan de cisaillement n’est pas uniforme;

Exemple :

Soit les conditions de contraintes initiales et à la rupture de la figure suivante , en supposant que φ est connu et c=0 ,

trouver les contraintes principales à la rupture.

Solution : Aux conditions initiales : À la rupture : La contrainte σr sur le plan de rupture est égale à la contrainte

initiale σn

C=0 donc en traçant la droite de pente φ on détermine la contrainte de cisaillement à la rupture τr

On trouve le centre du cercle en traçant la perpendiculaire à l’enveloppe de rupture au point ( σr ; φr )

On trace le cercle et ainsi on retrouve σ1r et σ3r

2) Essai triaxial l’éprouvette de forme cylindrique est placé dans une chambre appelée cellule

triaxial. une membrane élastique étanche et déformable recouvre l’échantillon. Des parois poreuses permettent le drainage des faces inférieures et

supérieures On applique une pression isotrope σ3 ( pression de confinement) , en

remplissant la cellule d’eau. Un robinet permet de réaliser un essai drainé ( s’il est ouvert), ou bien un

essai non drainé ( s’il est fermé) Si le robinet est fermé , le sol est saturé , il est possible de mesurer les

pressions interstitielles Si le robinet est ouvert un dispositif permet de mesurer la quantité d’eau

expulsée ou absorbée par l’échantillon On applique une charge axiale on mesure les changements de volume de

l’échantillon si l’essai est drainé, ou bien les pressions interstitielles si l’essai est non drainé

État de contrainte dans l’essai triaxial

En répétant l’essai pour différentes valeurs de σ3 , plusieurs cercle de Mohr peuvent être déterminés. On trace alors la courbe intrinsèques

Conditions particulières de l’essai triaxial :

La consolidation : • Elle consiste à appliquer , préalablement à l’essai , une contrainte isotrope à

l’échantillon saturé , l’échantillon se consolide sous cette contrainte . • Durant cette étape le piston est toujours libre. • Un essai peut être de type consolidé ou non consolidé selon que la

consolidation a été réalisé ou non Le drainage : • l’essai est drainé si le robinet est ouvert pendant le chargement • Outre la possibilité du sol de se drainer , la vitesse de l’essai doit être telle que

les pressions interstitielles restent nulles ( la notion de rapidité de l’essai dépend de la perméabilité du sol )

Conditions de drainage

Avant le cisaillement Pendant le cisaillement symbole

Non consolidé Non drainé UU

Consolidé Non drainé CU

consolidé Drainé CD

Caractéristiques non consolidées non drainées ( apparentes) : Sols non saturés : angle de frottement apparent φuu

Cohésion apparente Cuu ( kPa) Sols saturés Cohésion non drainée Cu ( kPa) avec 𝜑𝑢 = 0

Remarques:

Ces caractéristiques décrivent le comportement du sol lorsque les sollicitations son telles qu’aucune consolidation n’a le temps de se produire.

Pour un sol saturé chaque augmentation de σ se traduit par une augmentation de la pression interstitielle ( pas de consolidation) la contraintes effective 𝜎′ = 𝜎 − 𝑢 et la valeur de τ ne sont pas donc influencés , la rupture se fait donc pour la même valeur de τ

Caractéristiques consolidées drainées ( effectives):

Angle de frottement effectif φ’ (degrés)

Cohésion effective c’ ( Kpa)

Remarques :

Ces caractéristiques représentent le comportement du sol lorsque les pression

interstitielles sont connues ou bien nulles;

φ’ et c’ sont déterminés à l’aide de :

=> Un essai triaxial CD

=> Un essai triaxial consolidé non drainé avec mesure de u

=> Un essai de cisaillement direct lent

Caractéristiques consolidées non drainées: Facteur d’augmentation de la λcu ( ou angle de frottement consolidé non

drainé) Cohésion consolidée non drainée 𝑐𝑢0 ( ou 𝑐𝑐𝑢) Remarques : Ces caractéristiques représentent: => L’augmentation de résistance lorsque le sol est soumis à des pressions de consolidation de plus en plus élevées; => La cohésion apparente minimale

λcu et 𝑐𝑢0 sont mesurés par: => Un essai de cisaillement consolidé rapide => Un essai triaxial consolidé non drainé

Essai A :consolidation sous 𝜎′𝐴 ; comportement sans drainage => CuA

Essai B :consolidation sous 𝜎′𝐵 ; comportement sans drainage => CuB

Variation de la cohésion non drainé Cu en fonction de la contrainte effective de

consolidation : tan λ =∆𝑐𝑢

∆𝜎′

Donc 𝑐𝑢 = 𝑐𝑢0 + 𝜎0 tan λ

essai Consolidation Drainage Mesure de u

résultat Type d’essai

triaxial Non Non Non φuu ; cuu

Ou

Cu ( φ=0)

Non consolidé non drainé

Oui Non Non λcu ; 𝑐𝑢0 Consolidé non drainé

Oui Non Oui φ’ ; c’

λcu ; 𝑐𝑢0 Consolidé non drainé avec mesure de u

oui oui Oui: u=0 φ’ ; c’ Consolidé drainé

Essai consolidation Vitesse U non mesuré

résultat Type d’essai

Cisaillement Non rapide φuu ; cuu

Ou

Cu ( φ=0)

Non consolidé rapide

Oui rapide λcu ; 𝑐𝑢0 Consolidé rapide

oui lente φ’ ; c’ Consolidé lent

V. Rhéologie des sols: 1.Comportement des sables Un sol est pulvérulent si sa cohésion est nulle : c=0 Conséquence: la courbe intrinsèque passe par l’origine O Angle de repos du sable : C’est l’angle de frottement interne du matériau granulaire dans son état le plus lâche. Exemple : Dune de sable

Démonstration : Soit un sable sec formant un talus d’angle α

Montrons que l’angle d’équilibre limite correspondant à φ’

À la profondeur h , sur la facette parallèle au talus nous avons : 𝜎′𝑛 = γ. ℎ. cos2 𝛼 Et 𝜏𝑛𝑡 = 𝛾. ℎ. sin 𝛼 . cos 𝛼 À la limite de rupture 𝜏𝑛𝑡 = 𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝜎′ tan𝜑′ 𝜏𝑛𝑡 ≤ 𝜏𝑚𝑎𝑥 𝛾. ℎ. sin 𝛼 . cos 𝛼 ≤ γ. ℎ. cos2 𝛼 tan𝜑′ tan𝛼 ≤ tan𝜑′ 𝛼 ≤ 𝜑′

Allure des courbes de cisaillement:

Les courbes effort déformation ont généralement l’une des allures de la figure suivante .

On distingue deux comportement différents selon l’état de densité du sable

État de densité du sable Lâche dense

Comportement • Rupture plastique • L’indice des vide el diminue

jusqu’à ecl

• ecl≈ecrit

• Rupture fragile • L’indice des vide ed diminue

puis augmente jusqu’à ecd

• ecd≈ecrit

Remarque ecrit : indice des vides pour lequel la courbe contrainte déviatorique-déformation serait une droite horizontale. σ’3crit la contrainte de confinement correspondant à ecrit

Les mot « lâche » et « dense » sont relatifs à la pression de confinement

Essais triaxiaux avec mesure des variations de volume

2. Comportement des sols cohérents:

Soit deux échantillons d’une même argile l’un surconsolidé et l’autre normalement consolidé.

si l’on cisaille les deux échantillons à la même contrainte de confinement, on remarque que :

L’échantillon surconsolidé présente une résistance plus grande

La rupture pour l’échantillon surconsolidé se produit à une déformation plus faible

Remarques:

Le comportement des argiles est voisin de celui des sables , ( argile surconsolidé ≡ sable

dense ; argile normalement consolidé ≡ sable lâche ).

3-3 Essai de compression simple L’essai de compression simple est un cas particulier de l’essai triaxial: la contrainte 𝜎3 est nulle . La contrainte de rupture à la compression 𝜎1𝑟𝑢𝑝est liée à

Cuu et à 𝜑𝑢𝑢 par la formule suivante :

𝜎1𝑟𝑢𝑝 = 2𝑐𝑢𝑢 tan(𝜋

4+𝜑𝑢𝑢2)

Si le le sol est purement cohérent ( 𝜑𝑢 = 0) ∶ 𝜎1𝑟𝑢𝑝 = 2𝑐𝑢

Remarques : Cette dernière formule permet d’évaluer la cohésion apparente des argiles saturées à partir d’un essai simple et peu couteux .

V. Importance de la résistance au cisaillement des sols :

Évaluation de la capacité portante des sols

Calcul des fondations superficielles et profonde

Calcul de la stabilité des pente et glissement de terrain

Calcul des poussés et butés

Exemple d’application des caractéristiques apparentes 𝜑𝑢𝑢 , 𝑐𝑢𝑢 et effectives 𝜑′, 𝑐′ Soit un terrain argileux peu perméable sur lequel est fondé une construction appliquant la charge Q sur ce sol

Justification de la stabilité des fondations

En fin de construction caractéristiques non consolidées non drainées 𝜑𝑢𝑢 et 𝑐𝑢𝑢 ou bien 𝜑𝑢 , 𝑐𝑢 ( caractéristiques à court terme )

à la fin de la consolidation primaire Caractéristiques consolidées drainées 𝜑′et 𝑐′ ( caractéristiques à long terme )

Exemple d’application du facteur d’augmentation

Soit un sol argileux saturé sur lequel est prévu un préchargement puis la construction d’un réservoir

À l’état initial le sol a les caractéristiques apparentes 𝜑𝑢1 = 0 , 𝑐𝑢1 ≠ 0

Apres le préchargement : le sol se consolide sous 𝜎𝑐 , sa cohésion non drainé s’améliore .

À ce stade , si l’on réalise un essai CU sur un échantillon on aura les caractéristiques 𝑐𝑢2 𝑒𝑡 𝜑𝑢 = 0 ,

L’essai consolidé non drainé permet de mesurer l’augmentation de résistance du sol sous l’effet de la consolidation

Supposons qu’un réservoir doit va être construit après enlèvement de la surcharge , la stabilité à court terme du sol sera vérifié à l’aide de 𝑐𝑢2

V.I la liquéfaction des sols

1) Description du phénomène :

La vibration des sols ( comme après un séisme ) provoque dans ces derniers des contraintes de cisaillement Lorsque les sollicitations sont brèves les sols saturés ( même les sables ) se trouvent en conditions non drainés . Les pressions interstitielles augmentent rapidement et les contraintes effectives chutent . Ces modifications conduisent dans certains cas à une perte totales de résistance , le sol devient comme un liquide

Photo d'un immeuble sur radier ayant basculé sous l’effet du tassement de sol consécutif à un phénomène de liquéfaction. Dans ce cas, les fondations ne descendaient pas au delà de la zone liquéfiable. Une couche supérieure d’argile de résistance mécanique apparemment suffisante pour un radier peut dissimuler une couche liquéfiable plus profonde. Séisme de Taiwan

Tassement du sol sous l’effet d’un phénomène de liquéfaction. La présence de fondations descendues au bon sol a permis d’éviter à la citerne de basculer. Séisme de Kobé, 1995

2)Quelques procédés d’amélioration des sols liquéfiables :

Consolidation statique : injection :

utilisée dans les terrains sableux, limoneux, ou argileux, humides ou saturés . La technique consiste à introduire, sous pression dans le sol un « mortier » visqueux à base de ciment.

But :augmenter le niveau de contrainte entre les grains du sol

Foreuse pour injections

Consolidation dynamique :

Méthode applicable à une grande variété de sols, mais pas pour tous les sites. La technique consiste à laisser tomber des pilons de plusieurs dizaines de tonnes, en chute libre sur une hauteur de plusieurs dizaines de mètres. Le choc engendre des trains d'ondes qui améliorent le sol.

But : provoquer le tassement sans attendre le séisme.

L’inconvénient de cette technique est que les trains d’ondes peuvent agir sur plusieurs centaines de mètres à la ronde..

Les colonnes ballastées :

La technique consiste à descendre dans le sol un vibrateur manipulé par une grue, qui sous son propre poids, et sous l'influence du lançage d'eau et des vibrations, atteint les profondeurs souhaitées. On élimine au fur et à mesure les boues qui remontent en surface pour la substitution du sol. Puis, le vibrateur retiré, il y a mise en place de matériau d'apport à gros grains et compactage à nouveau avec le vibrateur.

Substitution en surface : Lorsque la profondeur de terrain à traiter est faible, inférieure à 3 ou 4 mètres, on peut envisager de réaliser la substitution par un autre matériau.

Préchargement : Si les délais le permettent, pour limiter le coût des interventions précédentes les terrains à traiter peuvent être au préalable préchargés.