Risque de longévité et détermination du besoin en capital ......1.2. Risque systématique pour un régime de rentes l appréciation lon Le partage du capital alloué entre provision

Risque de longévité et détermination du besoin en capital : travaux en coursbesoin en capital : travaux en cours

Soutenance pour l’habilitation à diriger des recherches (HDR)19 mars 2009

Frédéric PLANCHEThttp://www.ressources-actuarielles.net

19/03/2009www.winter-associes.fr

Préambule

Le pilotage technique d’une activité d’assurance a connu ces dernièresannées deux évolutions majeures :années deux évolutions majeures :

- la prise en compte d’une analyse plus fine des risques, quiconduit notamment à modifier le cadre de calcul des provisions ; d’uneapproche « prudente », on est ainsi passé à une approche « best estimate+ marge pour risque ».

- la référence à un critère de probabilité de ruine pour déterminerle niveau de fonds propres dans le futur référentiel prudentiel Solvabilité 2.p p p

19/03/2009 Page 2

Préambule

La modification de l’approche pour le calcul des provision a desconséquences théoriques et pratiques importantes :conséquences théoriques et pratiques importantes :

- nécessité d’intégrer l’expérience de manière plus systématiquedans la détermination des hypothèses du calcul ;

- approches « couverture » pour les engagements financiers ;

- plus généralement identification et quantification des risques- plus généralement, identification et quantification des risquessystématiques associés au passif.

Dans le cas particulier des contrats de retraite, cela se traduit par uneattention particulière portée aux tables de mortalités prospectives et auxrisques associés.

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Préambule

L’introduction d’un critère de probabilité de ruine pour le calcul du montantglobal de capital alloué conduit également à une refonte profonde desglobal de capital alloué conduit également à une refonte profonde desmodèles :

- d’un point de vue théorique en imposant de prendre enconsidération les risques extrêmes de manière explicites, tant à l’actifqu’au passif ;

- d’un point de vue pratique, du fait du niveau très global de cettecontrainte (qui porte sur le surplus) et des contraintes sur la capacité à(q p p ) pproduire des réalisation de la loi empirique du surplus.

19/03/2009 Page 4

Sommaire

1. Risque de longévité

2 Besoin en capital2. Besoin en capital

3. Perspectives

19/03/2009 Page 5

1- Risque de longévité

PLANCHET F. [2007] « Prospective models of mortality with forced drift – Application to the longevity risk

Publications récentes

PLANCHET F. [2007] « Prospective models of mortality with forced drift Application to the longevity riskfor life annuities », Proceedings of the 11th IME Congress

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PLANCHET F.; JUILLARD M.; THEROND P. [2008] « Perturbations extrêmes sur la dérive de mortalitéanticipée », Assurances et gestion des risques, Vol. 76 (3).p g q ( )

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19/03/2009 Page 6


BONGAARTS J. [2004] « Long-Range Trends in Adult Mortality : Models and Projection Methods »,Population Council n°194

Références

Population Council, n 194.

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d E i l 27 285 312

19/03/2009

and Economics, vol. 27, 285–312.

Page 7


La modélisation de la dérive temporelle de la mortalité s’accompagne d’unrisque systématique associé aux déviations de la mortalité future par rapport à

1.1. Contexte

Modèle n°1

risque systématique associé aux déviations de la mortalité future par rapport àla tendance anticipée initialement. Ce risque apparaît même si le modèle estcorrectement spécifié. Par exemple avec Lee-Carter :

ln kμ α β ε+ +*t tk at b γ= + +

( )20,t N γγ σ≈

ln xt x x t xtkμ α β ε= + +

( ),t Mk t t≥

Modèle n°2

( )γ

* ˆˆtk at b= +

Modèle n°3

Déviations

19/03/2009

« Pareto »

Page 8


Les fluctuations de la tendance peuvent être mises en évidence simplementsur la population française :

1.1. Contexte

sur la population française :

19/03/2009 Page 9


On s’intéresse à la valeur actuelle des flux futurs d’un régime de rentes :

1.2. Risque systématique pour un régime de rentes

2 000 k€

2 500 k€

374 rentiers en cours deservice, d’âge moyen 64 ansavec une rente moyenne de

1 000 k€

1 500 k€

y5,5 K€

k€

500 k€

2005 2015 2025 2035 2045 2055 2065 2075

( )( ) ] [ ( )

1 1

111

( );J

*1tt j x jtt

t t j

F i r Ti

∞ ∞−

∞∈

Λ = + =+

∑ ∑ ∑ ( ) ( )01

1 tt

t

L E F i∞

−= Λ = +∑

2005 2015 2025 2035 2045 2055 2065 2075

19/03/2009 Page 10

( )1 1 1 Jt t ji= = ∈+ 1t=


L’ajustement de ce modèle sur des données INED (1946-1996) conduit à :


i id l i i id lNegative Residuals Positive Residuals

p- 42.9 % p+ 42.9 %

M- 1.4385 M+ 1.3878

α- 1.13 α+ 1.1105

( ){ }ˆ min ;im i n pγ+ += ≥ ×

ˆn p

α +×⎡ ⎤⎣ ⎦=

1ln

ˆ

ni

i m

αγ+

+

+=

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

19/03/2009 Page 11


Les conséquences pour le régime sont non négligeables :


1,80%

1,20%

1,40%

1,60% StochastiqueDéterministe

0,60%

0,80%

1,00%

Fréq

uenc

e

0,00%

0,20%

0,40%

Deterministic Stochastic

MillionsExpectation 37 937 707 37 380 862

Standard Deviation 626 918 2 418 408

Lower Bound of Confidence Interval 36 625 000 34 295 073

U B d f C fid I t l 39 075 000 38 945 073

19/03/2009 Page 12

Upper Bound of Confidence Interval 39 075 000 38 945 073

Coefficient of variation 1.65 % 6.47 %


Avec un régime plus gros (x30), les fluctuations d’échantillonnagedisparaissent :


Deterministic Stochasticdisparaissent : Deterministic Stochastic

Expectation 1 138 008 113 1 121 529 390

Standard deviation 5 592 212 69 931 571

Lower bound of confidence interval 1 131 130 658 1 032 811 610

Upper bound of confidence interval 1 144 480 658 1 141 811 610

2,2%

2,4%

2,6%

StochastiqueDéterministe

Upper bound of confidence interval 1 144 480 658 1 141 811 610

Coefficient of variation 0,30 % 6,24 %

1 0%

1,2%

1,4%

1,6%

1,8%

2,0%

réqu

ence

0 0%

0,2%

0,4%

0,6%

0,8%

1,0%Fr

19/03/2009 Page 13

0,0%

Millions


Ainsi des ajustements relativement mineurs sur le modèle peuvent modifiersensiblement l’appréciation que l’on a du niveau du risque systématique.


sensiblement l appréciation que l on a du niveau du risque systématique.

Le partage du capital alloué entre provision « best estimate » et marge pourrisque s’en trouve modifié, même si le niveau global reste du même ordre.

Le risque d’estimation et le risque de modèle sont importantsLe risque d estimation et le risque de modèle sont importants.

19/03/2009 Page 14


Risque d’estimation et risque de modèle


50

1,60%

25

1,00%

1,20%

1,40%e

-25

0 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995

0,40%

0,60%

0,80%

Fréq

uenc

-50

[1950-1996] [1960-1996] [1970-1996] [1980-1996]

0,00%

0,20%

3400

0000

3450

0000

3500

0000

3550

0000

3600

0000

3650

0000

3700

0000

3750

0000

3800

0000

3850

0000

3900

0000

3950

0000

4000

0000

4050

0000

4100

0000

4150

0000

4200

0000

4250

0000

4300

0000

4350

0000

4400

0000

19/03/2009 Page 15

34 34 35 35 36 36 37 37 38 38 39 39 40 40 41 41 42 42 43 43 44

Montant

[1960 - 1996] [1970 - 1996] [1980 - 1996]


La prise en compte d’avis d’expert dans les modèles et plus généralementd’informations exogènes constitue un moyen de justifier le niveau de

1.3. Conclusion

d informations exogènes constitue un moyen de justifier le niveau del’anticipation retenue.

L’étude du passé montre que l’évolution de la mortalité a subi desaccélérations ou décélérations à des moments clés : 1950-1960 diffusion desaccélérations ou décélérations à des moments clés : 1950 1960 diffusion desantibiotiques, 1960-1970 ralentissement de l’impact des antibiotiques, 1970-2000 évolution des soins cardio-vasculaires.

Les modifications exogènes (médecine comme mode de vie) ont impacté laLes modifications exogènes (médecine comme mode de vie) ont impacté ladérive des taux de mortalité sur une période précise. Ainsi, il est nécessaire deprédire et de quantifier l’impact des variables exogènes futures afin d’évaluercorrectement la dérive de la mortalité.

Des phénomènes comme l’obésité, la pollution, le stress ou le traitement de lamaladie d’Alzheimer impacteront dans les prochaines années la dérive de lamortalité.

19/03/2009 Page 16


Le modèle de Lee-Carter permet d’intégrer un avis d’expert en imposantl’espérance de vie à un âge donné sur un horizon donné. On impose :

1.3. Conclusion

l espérance de vie à un âge donné sur un horizon donné. On impose :

( )0xe t a t b= × +

1h−

( ) 2 30 1 2 3 , Mk t a a t a t a t t t= + + + ≥

alors la relation conduit à :( )1

,0 0

1h

xt x k t kh k

e q + +> =

= −∑∏

( )2Mt h+

( )( )( )0

0 1 2 3

2

0 1 2 3, , ,, , ,

M

M

x ta a a a t t

Min a bt a a a aϕ=

+ −∑

( )a a a aϕ =( )

( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( )( )

0 1 2 3

2 31 0 1 2 3

2 30 0

11

, , ,

exp

exp

xt

h x k x k

h k

a a a a

a a t k a t k a t k

a a t k a t k a t k

ϕ

α β

α β

− + +

> =

=

⎛ ⎞+ + + + + + +⎜ ⎟−⎜ ⎟+ + + + + + + +⎜ ⎟

∑∏

19/03/2009 Page 17

( ) ( ) ( )( )( )0 00 1 2 31 exph k

x k x k a a t k a t k a t kα β> =+ ++ + + + + + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠


Des modèles présentant une plus grande souplesse dans la prise en comptede lé dérive temporelle peuvent être étudiés, comme le modèle logistique

1.3. Conclusion

de lé dérive temporelle peuvent être étudiés, comme le modèle logistiquedécalé (Bongaart [2004]) :

( ) ( )( ) ( ) ( )exp

t

t xt

α βμ γ= +

( ) ( ) ( )1 expxt t

t xμ γ

α β+

+

19/03/2009 Page 18

Sommaire



3. Perspectives

19/03/2009 Page 19

2- Besoin en capital

PLANCHET F., THEROND P.E. [2007] « Provisions techniques et capital de solvabilité d'une compagnie

Publications récentes

[ ] q p p gd'assurance : méthodologie d'utilisation de la Value-at-Risk », Assurances et gestion des risques, Vol. 74(4).

PLANCHET F THÉROND P E [2007] « Model risk and determination of economic capital in the Solvency 2PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007] « Model risk and determination of economic capital in the Solvency 2project »,, Proceedings of the 16th AFIR Colloquium.

PLANCHET F., THÉROND P.E. [2007] Mesure et gestion des risques d’assurance, Paris : Economica.

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19/03/2009 Page 20


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Références

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19/03/2009 Page 21


Le SCR dans un modèle un interne c’est :

l til à 99 5 %

2.1. Contexte

- le quantile à 99,5 % ;

- d’une distribution non directement observable (montant du capitalnécessaire pour équilibrer le bilan en fin d’exercice).

Recours à un modèle interne interne partiel , ie à la modélisation :

- de l’actif ;

- du passif ;

des interactions actif / passif- des interactions actif / passif.

Il est donc nécessaire de modéliser la loi du « surplus ».

19/03/2009

p

Page 22


La modélisation des événements « rares » est déterminante pour ladétermination du SCR :

2.1. Contexte

19/03/2009 Page 23


Supposons qu’au bout d’une année, la société doive avoir un actif assezimportant pour venir en contrepartie d’un passif qui vaudra de manière

2.1. Contexte

important pour venir en contrepartie d un passif qui vaudra, de manièrecertaine, 100. L’assureur dispose en 0 de ce même montant en provisions,il s’agit donc de déterminer le montant du capital cible tel que :

2 ⎤⎡ ⎫⎧ N( ) 010100σ

2σ

μγ1001

11

2,expPr ≤

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡≤

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

++−+ ∑=

N

kkUB

λσU22 σλσ

λσα

U

U

+=

19/03/2009 Page 24


La robustesse est la propriété d’un estimateur de rester convergent même si le modèle est mal spécifié

2.2. Robustesse

si le modèle est mal spécifié.

Exemple : estimation de l’espérance dans un modèle log-normal

On a : ce qui conduit à proposer2

2exp m

σμ

⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

2ˆ

ˆ êxp mσ

μ⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎝ ⎠

Avec ( )1

1ˆ lnn

ii

m Xn =

= ∑ ( )( )22

1

1ˆ ˆlnn

ii

X mn

σ=

= −∑

Mais si la vraie loi est exponentielle de paramètre 1 :

2 20 577 1 28

**

σ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

19/03/2009 Page 25

0 577 1 282 12

exp * exp , ,m⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ = − + ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


On fait l’hypothèse que la loi du phénomène sous-jacent appartient à unef ill ét i ( l l l P t B kt d t )

2.3. Approche paramétrique

famille paramétrique (normale, log-normale, Pareto, Benktander, etc.).

L’estimation d’un quantile d’ordre quelconque peut alors être envisagée de laL estimation d un quantile d ordre quelconque peut alors être envisagée de lamanière suivante :

- estimation des paramètres (par maximum de vraisemblance ouautre méthode) ;

- inversion de la fonction de répartition ;

- Estimation de la VaR par ;

- recherche d’un intervalle de confiance.

( ) ( )1ˆˆVaR p F pθ−=

19/03/2009 Page 26


Par exemple pour une loi log-normale on dispose d’une expression


Par exemple pour une loi log normale on dispose d une expressionexplicite de la fonction quantile :

( ) ( ) ( )( )1 1exppVaR X F p m pσφ− −= = +

Et on peut proposer comme estimateur naturel de la VaR :

( ) ( ) ( )( )pp p pφ

( ) ( )( )1ˆ ˆ êxppVaR X m pσφ−= +

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La sensibilité de l’estimation aux paramètres peut être approchée par :


( ) ( )11p

pVaR X

VaR X m∂

=∂ ( ) ( ) ( )11

pp

VaR X pVaR X

φσ

−∂=

∂

On en déduit qu’une erreur de mesure de 1% sur l’espérance conduit à uneerreur de mesure de 1% sur la valeur à risque ; mais parallèlement uneerreur de mesure de 1% sur la volatilité induit une erreur de sur la( )1 pφ−erreur de mesure de 1% sur la volatilité induit une erreur de sur lavaleur à risque. Au seuil p=99,5% , on a

( )pφ

( )1 99 5 2 58, % ,φ− =

et donc une erreur de 1% sur la volatilité conduit à une erreur 2,6 fois plusgrande sur la VaR. Le biais est ici déterminé avec Jensen :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1ˆ ˆ êxpEVaR X E m E p VaR Xσ φ−≥ + ≈

19/03/2009 Page 28

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )expp pEVaR X E m E p VaR Xσ φ≥ + ≈


Que se passe-t-il si le modèle sous-jacent est en fait :


( )( )

( )

0

0X

S x x mS x x S m x m

α−

⎧ ≤⎪= ⎨⎛ ⎞ >⎪⎜ ⎟⎝ ⎠

c’est à dire un modèle « presque » log-normal avec une queue Pareto :

( )0S m x mm⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠⎩

( ) ( )( )

( )( )

PrPr

PrX

X

X x S x xX x X mX m S m m

α−> ⎛ ⎞> > = = =⎜ ⎟> ⎝ ⎠

La fonction quantile est ici :

( ) ( )X ⎝ ⎠

( )1

1 1 pF p x mα−

− ⎛ ⎞−= = ×⎜ ⎟⎜ ⎟

19/03/2009 Page 29

La fonction quantile est ici : ( ) ( )0pF p x m

S m= = ×⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠


Avec un modèle de référence log-normal on est amené à comparer lesSCR suivants:


( )( )1

10

11

MELp

px p

αμ σφ

−− ⎛ ⎞−

= + ×⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

exp ( )( )1LNpx pμ σφ−= +exp( )( )0

01p p⎜ ⎟−⎝ ⎠( )( )p μ φ

On sera confronté à une situation de risque de modèle dans le cas oùmalgré une valeur du rapport entre les 2 quantiles sensiblement différentede 1, un échantillon issu du modèle mélangé serait difficilementdiscernable d’un échantillon log normaldiscernable d un échantillon log-normal.

19/03/2009 Page 30


Estimation des paramètres par maximum de vraisemblance :

( ) 2⎛ ⎞


( ) ( ) ( ) ( )( )1

11

112

k in

i

n

xl x x m cste k

μμ σ α σ

σ

−

=

⎛ ⎞−⎜ ⎟= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ln

, .., ; , , , ln

avec

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )01 1 1n

ii k

n k n k m x n k S mα α α=

+ − + + − + − + − +∑ln ln ln

( ){ }ik i x m= ≥min ; ( ){ }

( )( )

( )( )1 1n nm m

l x x m l x x mμ σ α μ σ α

μ σ α μ σ α=, , , , ,

max , .., ; , , , max max , .., ; , , ,

( )

1

1

11

k

ii

xk

μ−

=

=− ∑ˆ ln ( )( )

1

1

11

k

ii

xk

σ μ−

=

= −− ∑ˆ ˆln

( )

1n i

n kx

α− +

=⎛ ⎞⎜ ⎟∑

ˆ

ln

19/03/2009 Page 31

( )

i k m=

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ln


On remarque que si on fixe une probabilité p, alors la probabilité que lequantile d’ordre p de la distribution log-normale soit dépassé dans la


q p g pdistribution mélangée est :

( )( )( ) ( )

1

01exp p

p S mm

αμ σφ

π

−−⎛ ⎞+

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

en conséquence, sur un échantillon log-normal de 1 000 valeurs, ontrouvera en moyenne deux valeurs qui dépassent le quantile de niveau 99,8

m⎜ ⎟⎝ ⎠

% , alors que ce seront 5 valeurs qui dépasseront ce seuil si la distributionsous-jacente est la distribution mélangée. Comme le nombre de valeursdépassant un seuil u est approximativement normal on dispose d’un moyende tester la cohérence du nombre de « grandes valeurs » :de tester la cohérence du nombre de « grandes valeurs » :

( ) ( )( ) ( )( )

11

Pr u

k nS uN k

S Sφ⎛ ⎞−⎜ ⎟≥ ≈ −⎜ ⎟

19/03/2009 Page 32

( ) ( )( )1nS u S u⎜ ⎟−⎝ ⎠


Illustration :


19/03/2009 Page 33


On a donc estimé la VaR par et on s’intéresse à la précisionde l’estimateur ainsi obtenu

( ) ( )1ˆˆVaR Fθ

α α−=


de l estimateur ainsi obtenu.

On se place dans le cas particulier où le paramètre est estimé par l’estimateurdu maximum de vraisemblance ; on déduit des propriétés générales del’estimateur du maximum de vraisemblance que est alors l’estimateurdu maximum de vraisemblance de la VaR. Il est donc asymptotiquement sansbiais et gaussien En obtenant une estimation de sa variance asymptotique on

( )ˆVaR α

biais et gaussien. En obtenant une estimation de sa variance asymptotique onpourra donc construire un intervalle de confiance.

La loi de la statistique est toutefois difficile à déterminer, et on estd it à t d t h i d i l ti t t t ti liè t

( )ˆVaR αconduit à se tourner vers des techniques de simulation, et tout particulièrementla méthode « Bootstrap ».

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Le principe de la méthode consiste à remarquer que pour un échantillon detaille suffisante la fonction de répartition de la loi sous-jacente peut être


taille suffisante, la fonction de répartition de la loi sous jacente peut êtreapprochée par la fonction de répartition empirique. Evaluer des statistiquespar simulation se ramène alors à générer des échantillons à l’aide de ladistribution empirique. Hors un tirage dans la distribution empirique s’obtientsimplement par un tirage avec remise des n valeurs dans l’échantilloninitial. On obtient ainsi au plus échantillons « boostrapés » à partirdesquels on va calculer les estimateurs empiriques des statistiquesd’intérêt

nn

d intérêt.

Dans le cas de l’estimation d’une VaR, l’échantillon initial est constitué para s e cas de est at o d u e a , éc a t o t a est co st tué pales n observations de X utilisées pour estimer les paramètres du modèle. Lastatistique d’intérêt est :

( ) ( )1ˆˆVaR Fθ

α α−=

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( ) ( )θ


On peut procéder de deux manières (au moins) pour construire l’intervalle de


p p ( ) pconfiance recherché :

ti ti d l i b t é d l’ tili( )ˆVaR α- estimation de la variance boostrapée de , que l’on utiliseensuite avec l’hypothèse de normalité asymptotique ;

- estimation directe d’un intervalle de confiance boostrapé via la

( )VaR α

méthode BCa (« Bias corrected and accelerated »).

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Mais attention, les méthodes « bootstrap » sont mal adaptées à l’analysed’un quantile élevé :


450,00

455,00

460,00

435,00

440,00

445,00

415 00

420,00

425,00

430,00

405,00

410,00

415,00

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000

Classiq e (borne inf) Percentile (borne inf) BCa (borne inf) Classiq e (borne s p)

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Classique (borne inf) Percentile (borne inf) BCa (borne inf) Classique (borne sup)Percentile (borne sup) BCa (borne sup) EMV Théorique


On ne suppose plus ici d’hypothèse sur la forme a priori de la loi sous

2.4. Approche non paramétrique

On ne suppose plus ici d hypothèse sur la forme a priori de la loi sous-jacente ; on dispose dans ce contexte de la fonction de répartitionempirique :

( ) ∑n1

Une approche naturelle consiste à utiliser directement cette approximation

( ) { }∑=

≤=i

uXn inuF111

U e app oc e atu e e co s ste à ut se d ecte e t cette app o at ode la vraie loi pour proposer des estimateurs, par exemple :

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1

11ˆpn pnF p pn pn X pn pn X−

+= − + + −

Cependant, pour un quantile d’ordre élevé cette approche est inefficacecar les données sont insuffisantes.

( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1pn pnp p p p p +

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En l’absence de données suffisantes il faut imaginer un moyen d’intégrer au


En l absence de données suffisantes il faut imaginer un moyen d intégrer aumodèle des contraintes structurantes. La théorie des valeurs extrêmesfournit ces contraintes en indiquant que la forme de la queue de distributionest déterminée par une même forme paramétrique, quelle que soit ladistribution d’origine.

On est donc ramené d’une certaine manière à un cadre paramétriqueOn est donc ramené d une certaine manière à un cadre paramétrique« classique », qui va permettre de calculer des VaR et des TVaR pour desquantiles d’ordre élevé.

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Dans le cas du domaine de Fréchet, on remarque que :


( ) ( ) ( )1

1S x F x x L xξ−= − =

On en déduit que ( )( )( )

( )( )( ) ( )

1

n kn k n k

S x L x xXS X L X

ξ−

−− −

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

En considérant alors le rapport des fonctions à variation lente proche de 1ton trouve que :

( ) ( )( )( )

1

n kn k

xS x S XX

ξ−

−−

⎛ ⎞⎜ ⎟≈⎜ ⎟⎝ ⎠

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⎝ ⎠


Cela conduit à proposer comme estimateur de la fonction de répartition,X


pour ( )n kx X −>

( )1

1,

ˆˆ

Hk nk x

F xX

ξ−

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟

Par inversion on propose l’estimateur suivant de la VaR :

( )( )n kn X −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( ) ( )1,

ˆHk n

p n kn

x X pk

ξ−

−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

avec , qui est EMV pour∑−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=ξ1

111 k

j nk

njHnk X

Xk ,

,, lnˆ ( ) ( )

11S x F x Cx ξ−

= − =

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On peut également utiliser l’estimateur suivant :


On peut également utiliser l estimateur suivant :

ˆˆ ξβ −⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞( ) ( )

( ) ( )

1 1 si 0

1 si 0

ˆˆ

ˆ ˆln

n k

p

k

nX pk

xnX p

ξβ ξξ

β ξ

−

⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎢ ⎥+ − − ≠⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦= ⎨⎪ ⎛ ⎞− − =⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠( ) ( ) s 0n k pk

β ξ−⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩

Il trouve sa justification dans l’étude de la loi des « excès au delà d’unseuil », dont on peut montrer qu’il s’agit d’une loi universelle, la loi dePareto généralisé.

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Estimer un SCR est délicat, du fait du niveau « élevé » du quantile :

2.5. Conclusion

- nécessité d’une approche paramétrique (directe ou via la théoriedes valeurs extrêmes) ;

- difficulté à proposer un estimateur robuste ;

- contraintes sur la représentation des extrêmes dans le modèleinterne ;interne ;

- pas facile de proposer des intervalles de confiance ;

- autre point à examiner : dépendance non linéaire.

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Sommaire



3. Perspectives

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3- Perspectives

Les travaux présentés ici se poursuivent sur les sujets suivants :

- Mortalité : tables prospectives sur de « petits » groupes : choix dela référence, méthode d’ajustement et mesure de l’incertitude.

- Solvabilité : modèle d’actifs pour un assureur, détermination del’allocation stratégique d’actifs, prise en compte des décisions de l’assureuret de l’assuré La notion de robustesse et la capacité à intégrer deset de l assuré. La notion de robustesse et la capacité à intégrer descontraintes macro-économiques de long terme (informations exogènes aumodèle, avis d’experts) sont déterminantes.

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3- Perspectives

Thèses encadrées

FARJALLAH Mariem (en cours depuis 2007) : Impact des stress sur lavaleur des produits structurés dans une perspective Solvabilité 2valeur des produits structurés dans une perspective Solvabilité 2.

KAMEGA Aymric (début en septembre 2008) : Outils théoriques etopérationnels adaptés au contexte de l'assurance vie en Afrique

b h i f hsubsaharienne francophone.

MANDHOUJ Khouloud (début en octobre 2008) : Etude de la structure dedépendance multidimensionnelle et Application en assurance.

MERHI Nisrine (début en octobre 2008) : Modélisation des décisions del'assureur dans la gestion de la participation aux bénéfices - conséquencesde ces décisions sur l'évaluation des options et garanties d'un contratd'assurance vie.

KALAMOUN Mehdi (début dès que possible) : Conception d’un modèled’actifs intégré pour la détermination du SCR.

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g p

Documents

Risque de longévité et détermination du besoin en capital ......1.2. Risque systématique pour un régime de rentes l appréciation lon Le partage du capital alloué entre provision