Scénario Mathématiques –

Technologie

autour de la démarche d’investigation

Abdelkébir AssrirFrancis Bernard

Académie de RouenUniversité d’été de mathématiques « Mathématiques et technologies »

25 août 2011

abdelkebir.assrir@ac-rouen.fr / francis.bernard@univ-rouen.fr

Découverte de différentes structures dont la structure en treillis.

Technologie

Observation d’un objet technique construit en structure treillis.

Technologie

Mathématiques

Étude d’une famille de cadres ayant une forme quadrilatère.

Mathématiques

Modélisation mathématique de la situation.

Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?

Technologie

Mathématiques

Quel est le parallélogramme qui présente une aire maximale ?

Programme

Étude d’une famille de cadres ayant une forme quadrilatère.

Modélisation mathématique de la situation.

Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?

Quel est le parallélogramme qui présente une aire maximale ?

T

M

M

M

Découverte de différentes structures dont la structure en treillis.

Observation d’un objet technique construit en structure treillis.

T

T

Découverte de différentes structures dont la structure en treillis.

Technologie

Observation d’un objet technique construit en structure treillis.

Technologie

Mathématiques

Étude d’une famille de cadres ayant une forme quadrilatère.

Définition du parallélogramme:

quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Pré-requis

Modélisation mathématique de la situation

OBJECTIFS Auto évaluation

Socle commun

Construire un tel parallélogramme à l’aide de Géogébra. - Les longueurs ne changent pas lorsque l’on déplace certains points. - On obtient toujours un parallélogramme.

- Le logiciel est bien utilisé.

III-2

III-3IV-3

III-4

Réaliser un compte rendu. - Dessins représentant les situations. - Explications de la construction. - Codages (ou légendes).

Comment obtenir plusieurs parallélogrammes dont les côtés gardent toujours les mêmes longueurs ?

● Définition du parallélogramme: quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

● Utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique.Exemple de construction  préalable: triangle dont les 3 longueurs sont données.

Pré-requis

Modélisation mathématique de la situation

Un exemple de construction.  On construit un parallélogramme ABCD.

On déplace un point (par exemple le point C) …

Modélisation mathématique de la situation

Modélisation mathématique de la situation

Le quadrilatère ABCD n’est plus un parallélogramme !

Construction à l’aide du logiciel Géogébra

Quelques représentations de cette famille de parallélogrammes

Aides envisageables

Vérification de la bonne compréhension de la situation et de la consigne:

On pourra encourager les élèves à reformuler la consigne en leur demandant: quel travail doit-on effectuer ?

Aide à la démarche de résolution:• Comment se nomme ce type de quadrilatère ?• Qu’est-ce qui reste inchangé ? Comment réaliser ceci avec le logiciel ?

Apport de connaissances et de savoir-faire:• Définition et propriétés caractéristiques du parallélogramme.• Symétrie centrale.• Cercle.

♦ Un quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés sont de même longueur deux à deux est un parallélogramme.

♦ On ne peut obtenir un losange ou un carré que si toutes les côtés ont la même longueur.

♦ On peut obtenir des parallélogrammes aplatis.

Conclusions

Les élèves pourront rechercher dans leur

environnement proche ou dans différents

supports de documentation des exemples

d’utilisations techniques du principe des

parallélogrammes articulés.

Travail de recherche à la maison

Exercice

Montrer que si l’on déplace les points C, D, E ou F, la position du réflecteur reste inchangée par rapport à la table de travail.

La balance de Roberval

Photo ( Wikipédia - Original uploader was AntonyB at fr.wikipedia )

Certains manèges

La plate-forme élévatrice

Technologie

Problème à résoudre :

Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?

Comment rendre le cadre rectangulaire et indéformable ?

OBJECTIFS Auto évaluation

Socle commun

Décrire les solutions testées pour stabiliser le cadre. - Indication de la résistance à la poussée - Indication de la résistance à la poussée - Caractéristiques précisées : facilité de mise en place, démontage aisé, solidité, etc… III-3

III-4

Réaliser un compte rendu. - Schémas clairs - Trace écrite visible de loin

Les structures en treillis

Les structures en treillis

Mathématiques

Quel est le parallélogramme de cette famille qui présente une aire maximale ?

● Savoir calculer l’aire d’un triangle.

● Résultat admis (constaté auparavant): Dans un triangle rectangle, la longueur du côté opposé à l’angle droit est supérieure à la longueur de chacun des 2 autres côtés.

● Symétrie centrale.

Pré-requis

Construction à l’aide du logiciel Géogébra

Aides envisageables

Vérification de la bonne compréhension de la situation et de la consigne.

Aide à la démarche de résolution:

• Comment calculer l’aire du parallélogramme ABCD ?• Comment décomposer le parallélogramme pour calculer son aire ?• Repérer base et hauteur associée .

Apport de connaissances et de savoir-faire:

• Aire d’un triangle.• Aire d’un parallélogramme (si déjà vu)• Symétrie centrale et aire.

♦ Pour cette famille de parallélogrammes le périmètre reste inchangé, mais l’aire change.

♦ Plus les angles aigus sont petits, plus l’aire est petite.

♦ Dans cette famille de parallélogrammes, c’est le rectangle qui possède l’aire la plus grande.

Conclusions

On considère le cadre rectangulaire ci-dessous.Pour le consolider on a fixé deux tiges :

- la première est représentée par la diagonale [BD],- la seconde est représentée par le segment [MN] où M est un point de [AB] et N un point de [CD].

Que peux-tu dire des aires de MID et NIB ?

Exercice

Proposition pour une évaluation:des tubes qui coulissent.

On considère le dispositif ci-dessous, dans lequel les deux tubes ont la même longueur, et peuvent se déplacer sur deux axes parallèles.On veut étudier ce dispositif pour savoir ce qui change et ce qui reste invariable.

Quels quadrilatères obtient-on ?

Que se passe-t-il si les supports des tubes sont des droites ?

Que peut-on dire du périmètre et de l’aire des quadrilatères de cette famille ?

Énoncé élève

CONNAISSANCES CAPACITÉS

- Notion de droites parallèles, perpendiculaires.

- Constructions géométriques.

- Propriétés des parallélogrammes : parallélogrammes particuliers.

- Symétrie centrale.

- Tracer par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée.

- Construire des figures en respectant des contraintes.

- Reconnaître :

- un parallélogramme

- un parallélogramme particulier :

rectangle, losange, carré.

- Reconnaître un centre de symétrie.

- Reconnaître le parallélogramme comme quadrilatère à centre de symétrie.

Compétences visées

1° Dans le programme de la classe de cinquième

2°Pour l’acquisition des connaissances et des capacités du socle commun

► Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique.

PRATIQUER UNE DÉMARCHE

SCIENTIFIQUE, RÉSOUDRE DES

PROBLÈMES

CAPACITÉS ÉVALUÉESEXEMPLES

D’INDICATEURS DE RÉUSSITE

Rechercher, extraire et organiser l’information utile.

Extraire les informations utiles.

Repérer l’invariance de la base et de la hauteur.

- Réaliser, manipuler, mesurer, calculer, appliquer des consignes.

- Raisonner, argumenter, pratiquer une démarche expérimentale ou technologique, démontrer.

- Mesurer des longueurs.

- Utiliser des instruments de construction.

- Emettre des conjectures.

- Confronter ses conjectures avec les résultats obtenus.

- Construire différents parallélogrammes ayant même hauteur et même base.

- Faire des propositions sur la nature du quadrilatère.

- Interpréter les résultats obtenus en lien avec ses conjectures.

Présenter la démarche suivie, les résultats obtenus, communiquer à l’aide d’un langage adapté.

- Présenter un résultat par une représentation adaptée.

- Illustrer ses propos par des figures (éventuellement à main levée).

- Expliquer la démarche engagée.

2°Pour l’acquisition des connaissances et des capacités du socle commun

► Compétence 3 : Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique.

SAVOIR UTILISER DES CONNAISSANCES ET DES COMPÉTENCES MATHÉMATIQUES

CAPACITÉS ÉVALUÉESEXEMPLES

D’INDICATEURS DE RÉUSSITE

Géométrie. Connaitre et représenter des figures géométriques. Utiliser leurs propriétés.

- Dessiner avec précision des parallélogrammes ayant la même base et la même hauteur.

- Coder correctement la figure.

Grandeurs et mesures. - Réaliser des mesures de longueurs, d’angles, d’aires.

- Calculer des valeurs en utilisant différentes unités.

- Les mesures réalisées sont correctes et correspondent aux situations proposées par l’élève.

- Bon choix de l’unité dans les calculs.

2°Pour l’acquisition des connaissances et des capacités du socle commun

► Compétence 7 : L’autonomie et l’initiative.

ÊTRE CAPABLE DE MOBILISER SES

RESSOURCES INTELLECTUELLES ET

PHYSIQUES DANS DIVERSES SITUATIONS

CAPACITÉS ÉVALUÉESEXEMPLES

D’INDICATEURS DE RÉUSSITE

- Être autonome dans son travail : savoir l’organiser, le planifier, l’anticiper, rechercher et sélectionner des informations utiles.

- Prise d’initiative pour l’utilisation de la démarche.

- Organiser son travail.

- Sélectionner l’information utile.

- Choix d’une démarche appropriée.

- Travail avec méthode.

- Bonne exploitation des données du problème.

FAIRE PREUVE D’INITIATIVE

CAPACITÉS ÉVALUÉESEXEMPLES

D’INDICATEURS DE RÉUSSITE

- S’engager dans un projet individuel.

- S’intégrer et coopérer dans un projet collectif.

- Se mettre au travail de façon autonome.

- Travailler en groupe.

- Etre actif, entreprendre, choisir sa démarche de résolution.

- Coopérer avec ses camarades pour réaliser une partie du travail demandé.

Les élèves sont amenés à constater que :

● Ces quadrilatères ont deux côtés opposés parallèles et de même longueur. Il s’agit d’une famille de parallélogrammes.

● Tous ces parallélogrammes ont : la même base et la même hauteur.

Ce sont des parallélogrammes de même aire.

● Le parallélogramme de cette famille ayant un périmètre minimal est le rectangle.

Les élèves pourraient également observer que cette famille :

● Contient toujours un rectangle.

● Peut éventuellement contenir un losange, un carré.

● Conséquence : le rectangle, le losange et le carré sont des parallélogrammes (particuliers).