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Matière : Physique1 (Année 2020-2021) 1ère Année
Série N°3.
Cinématique non relativiste
Exercice N°1.
Les coordonnées d’une particule sont données en fonction du temps par :
𝒙 = 𝟓𝒕; 𝒚 = 𝟐𝟎𝒕 − 𝟐. 𝟓𝒕𝟐
1. Donner l’équation de la trajectoire.
2. Calculer la vitesse à l’instant 𝒕.
3. Montrer que le mouvement a une accélération constante.
4. Trouver l’angle entre �⃗⃗� (𝒕) et �⃗⃗� (𝒕) à l’instant 𝒕 = 𝟑𝒔.
5. Calculer les composantes tangentielle et normale de l’accélération et
trouver le rayon de courbure 𝝆(𝟑𝒔).
Exercice N°2.
Une particule se déplace sur l’axe des 𝑿 suivant la loi 𝒙(𝒕) = 𝒕𝟑 − 𝟑𝒕𝟐 − 𝟗𝒕 + 𝟓.
1. Pendant quel intervalle de temps la particule se déplace-t-elle dans le
sens positif ? Dans le sens négatif ?
2. Dans quel intervalle de temps le mouvement est-il accéléré ?
Retardé ?
3. Représenter les diagrammes représentant 𝒗(𝒕) et 𝒂(𝒕).
Exercice N°3.
Un mobile se déplace suivant une trajectoire parabolique d’équation :
𝒚 = 𝒙𝟐 avec 𝒗𝒙 = 𝑪𝒕𝒆 = 𝟑𝒎/𝒔.
Trouver le module et la direction de la vitesse et de l’accélération de la
particule à 𝒙 = 𝟐/𝟑𝒎.
Ministère de l’Enseignement Supérieur
et de la Recherche Scientifique
Ecole Nationale Polytechnique
Classes Préparatoires
République Algérienne Démocratique et Populaire
الــجـمـهـــوريــة الــجـزائــريـة الــديـمـقـراطـيــة الــشـعـبـيــة
يــــــالـعــم الــــيـلـعـتـــال وزارة
يــــــمـلــعـث الــحــبــو ال
المدرسة الوطنية المتعددة التقنيات
الأقسام التحضيرية
Exercice N°4.
Les coordonnées cartésiennes d’un mobile M sont données par les fonctions
paramétriques suivantes :
𝒙(𝒕) = 𝒆𝒕 𝐜𝐨𝐬(𝒕) , 𝒚(𝒕) = 𝒆𝒕 𝐬𝐢𝐧(𝒕) , 𝒛(𝒕) = 𝒆𝒕
1. Rechercher dans le repère cartésien les vecteurs vitesse et accélération.
2. Calculer les accélérations tangentielle et normale et en déduire le rayon
de courbure 𝝆(𝒕).
Exercice N°5.
Le diagramme des accélérations en fonction du temps est donné par la fig.1
suivante :
1. Tracer le graphe 𝒗(𝒕) entre 𝒕 = 𝟎𝒔 et 𝒕 = 𝟑𝟓𝒔. On donne : 𝒗(𝟎) =
𝟏𝟎𝒎/𝒔.
2. Donner les différentes phases du mouvement.
3. En déduire le graphe 𝒙(𝒕) sachant que 𝒙(𝟎) = −𝟐𝟓𝒎. Tracer sur la
trajectoire du mouvement les vecteur vitesse et accélération à 𝒕 = 𝟓𝒔
et 𝒕 = 𝟏𝟓𝒔.
Exercice N°6.
Les coordonnées cartésiennes d’une particule sont données en fonction du
temps par :
𝒙(𝒕) = 𝒕𝟐, 𝒚(𝒕) = (𝒕 − 𝟏)𝟐
𝒂(𝒕)(𝒎/𝒔𝟐)
𝒕(𝒔)
𝟐𝟎
−𝟐
𝟑𝟓 𝟏𝟎
𝟑
𝟎
𝒇𝒊𝒈. 𝟏
a. Trouver l’équation de la trajectoire et tracer la dans le plan XOY.
b. Trouver la vitesse moyenne et l’accélération moyenne dans l’intervalle
de temps 𝒕 = 𝟐𝒔 et 𝟑𝒔.Comparer avec les valeurs de la vitesse et
l’accélération à 𝒕 = 𝟐. 𝟓𝒔.
c. A quel instant la vitesse est-elle minimale ?
d. Trouver les coordonnées de la particule quand la vitesse 𝒗 a la valeur
𝟏𝟎𝒎/𝒔.
e. Calculer les accélération normale et tangentielle à 𝒕 = 𝟐𝒔.
f. Représenter la vecteur accélération à cet instant.
Exercice N°7.
On tire une balle 𝑨 verticalement vers le haut avec une vitesse de 𝟓𝟖. 𝟖𝒎/𝒔
depuis le toit d’un bâtiment de 𝟏𝟎𝟎𝒎 de haut. Après 𝟏𝟎𝒔, on lâche une
deuxième balle 𝑩 de la même hauteur. Après quel temps et à quelle distance
du sol les deux balles se rattrapent-elles ?
Exercice N°8.
La vitesse d’un mobile décrivant une trajectoire circulaire de rayon 𝑹 a pour
expression :
𝒗(𝒕) =𝒗𝟎𝑹
(𝑹 − 𝒗𝟎𝒕),
On suppose 𝒕 <𝑹
𝒗𝟎.
1. Sachant que 𝒔 = 𝟎 à l’instant 𝒕 = 𝟎, quelle est l’expression de l’abscisse
curviligne 𝒔(𝒕) en fonction du temps ?
2. Montrer que le vecteur accélération �⃗⃗� fait un angle de 𝟒𝟓° avec le
vecteur vitesse �⃗⃗� .
Exercice N°9.
L’accélération d’un mobile se déplaçant le long de l’axe des X’OX est donnée
par : 𝒂 = (𝟒𝒙 − 𝟐) 𝒎/𝒔𝟐 ou 𝒙 est en mètre.
Sachant qu’à l’instant 𝒕 = 𝟎, 𝒙𝟎 = 𝟎 et 𝒗𝟎 = 𝟏𝟎𝒎/𝒔. Calculer la vitesse en
n’importe quel autre point.
Exercice N°10.
Une particule se déplace avec une vitesse constante de 𝟑𝒎/𝒔 ; la direction
de la vitesse fait un angle : 𝜽 = (𝝅
𝟐) . 𝒕 [𝒓𝒅] avec l’axe des x. à l’instant 𝒕 = 𝟎,
la particule se trouve alors à l’origine O du système de coordonnées.
Trouver l’équation de la trajectoire de la particule.
Exercice N°11.
Une particule M se déplace sur une droite X’OX de vecteur unitaire 𝒊 . A
partir de l’instant 𝟎, ou elle passe en 𝑶(𝒙 = 𝟎) avec une vitesse 𝒗𝟎 = 𝟐𝟎𝒎/𝒔
on soumet la particule à une accélération négative proportionnelle à la
puissance 𝒏𝒊è𝒎𝒆 de la vitesse à chaque instant 𝒕 : �⃗⃗� = −𝒌𝒗𝒏𝒊 ou (𝒌 𝒆𝒕 𝒏) sont
des constantes positives.
a. Ecrire en fonction de 𝒗𝟎 et 𝒌 les expressions de la vitesse 𝒗(𝒕), de
l’abscisse 𝒙(𝒕) et de 𝒗(𝒙) la vitesse en fonction de la position. [On
traitera les questions a et b pour les valeurs 𝒏 = 𝟏, 𝟐 et 𝟑]
b. A quelle vitesse et à quel instant la particule passera-t-elle à 𝟏𝟓𝟎𝒎
de O, si le module de l’accélération à 𝒕 = 𝟎 vaut 𝟐𝒎/𝒔𝟐.
c. Une particule M se déplace maintenant sur la droite x’ox avec une
accélération : �⃗⃗� = −𝒌𝒙𝒏𝒊 .
A l’instant 𝒕 = 𝟎, elle est au repos à l’abscisse 𝒙𝟎. Déterminer la loi 𝒗(𝒙)
dans les cas : 𝒏 = 𝟏. 𝟐 et 𝟒.
d. Donner des exemples physiques de telles accélérations.
Correction Exercice N°03,Série N03.
Un mobile se déplace suivant une trajectoire parabolique d’équation :
𝒚 = 𝒙𝟐 avec 𝒗𝒙 = 𝑪𝒕𝒆 = 𝟑𝒎/𝒔.
1) Calculer les composantes du vecteur vitesse et de l’accélération. Trouver
le module et la direction de la vitesse et de l’accélération de la particule
à 𝒙 quelconque et à 𝒙 =𝟐
𝟑𝒎.
Calcul des composantes de la vitesse et de l’accélération :
�⃗⃗� {𝒗𝒙 = 𝟑,
𝒗𝒚 =𝒅𝒚
𝒅𝒕=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕= 𝟐𝒙𝒗𝒙 = 𝟔𝒙,
�⃗⃗� {𝒂𝒙 =
𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒕= 𝟎,
𝒂𝒚 =𝒅𝒗𝒚
𝒅𝒕=
𝒅(𝟔𝒙)
𝒅𝒕= 𝟔
𝒅𝒙
𝒅𝒕= 𝟔𝒗𝒙 = 𝟏𝟖
Les modules de la vitesse et de l’accélération :
- A 𝒙 quelconque :
‖�⃗⃗� ‖ = √𝒗𝒙𝟐+𝒗𝒚
𝟐 = √𝟗 + 𝟑𝟔𝒙𝟐, ‖�⃗⃗� ‖ = √𝒂𝒙𝟐+𝒂𝒚
𝟐 = 𝟏𝟖,
- A 𝒙 =𝟐
𝟑𝒎 :
‖�⃗⃗� ‖ = √𝒗𝒙𝟐+𝒗𝒚
𝟐 = 𝟓𝒎/𝒔, ‖�⃗⃗� ‖ = 𝟏𝟖 𝒎/𝒔𝟐,
Les directions de la vitesse et de l’accélération :-
- A 𝒙 quelconque et 𝒙 =𝟐
𝟑𝒎 :
On calcul l’angle 𝜽 que fait la vitesse avec l’axe Ox :
𝐭𝐚𝐧 𝜽 =𝒗𝒚
𝒗𝒙= 𝟐𝒙 → 𝜽 = 𝐭𝐚𝐧−𝟏(𝟐𝒙) = 𝟓𝟑. 𝟏𝟑°
La direction de l’accélération est selon Oy si 𝒙 > 𝟎 :
�⃗⃗� = 𝟏𝟖𝒋 .
𝑦
𝑥
𝑣 𝑥
�⃗⃗� 𝑣 𝑦
𝜃
𝑂
�⃗⃗�
2) En déduire l’accélération normale 𝒂𝑵 et l’accélération tangentielle 𝒂𝒕 à
𝒙 quelconque et à 𝒙 =𝟐
𝟑 𝒎.
Pour l’accélération tangentielle :
𝒂𝒕 =𝒅𝒗
𝒅𝒕=
𝒅 (√𝒗𝒙𝟐+𝒗𝒚
𝟐)
𝒅𝒕=
𝟐𝒗𝒙𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒕 + 𝟐𝒗𝒚
𝒅𝒗𝒚
𝒅𝒕
𝟐√𝒗𝒙𝟐+𝒗𝒚
𝟐
=𝒗𝒚𝒂𝒚
√𝒗𝒙𝟐+𝒗𝒚
𝟐
=𝟏𝟎𝟖𝒙
√𝟗 + 𝟑𝟔𝒙𝟐=
𝟕𝟐
𝟓 𝒎/𝒔𝟐,
L’accélération normale :
𝒂𝑵 = √𝒂𝟐 − 𝒂𝒕𝟐 = √𝟑𝟐𝟒 −
𝟏𝟏𝟔𝟔𝟒𝒙𝟐
𝟗 + 𝟑𝟔𝒙𝟐= √
𝟐𝟗𝟏𝟔 + 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟒𝒙𝟐
𝟗 + 𝟑𝟔𝒙𝟐=
𝟓𝟒
√𝟗 + 𝟑𝟔𝒙𝟐
=𝟓𝟒
𝟓 𝒎/𝒔𝟐.
3) En déduire le rayon de courbure ρ à 𝒙 quelconque et à 𝒙 = 𝟏 𝒎.
𝝆 =𝒗𝟐
𝒂𝑵=
𝟗 + 𝟑𝟔𝒙𝟐
𝟓𝟒
√𝟗 + 𝟑𝟔𝒙𝟐
=(𝟗 + 𝟑𝟔𝒙𝟐)
𝟑𝟐
𝟓𝟒=
𝟏𝟐𝟓
𝟓𝟒 𝒎.
4) Représenter les vecteurs position, vitesse et accélération à 𝒙 =𝟐
𝟑𝒎 sur
la trajectoire.
Dans le repère cartésien, 1cm représente la norme (longueur) des vecteurs 𝒊 et
𝒋 et on a alors : (par mesure de clarté, les longueurs des vecteurs sont exagérées dans
le schéma)
La position : 𝑶𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗(𝟏 𝒎𝟏 𝒎
), La vitesse : �⃗⃗� (𝟑 𝒎/𝒔𝟒 𝒎/𝒔
), l’accélération : �⃗⃗� ( 𝟎 𝒎/𝒔𝟐
𝟏𝟖 𝒎/𝒔𝟐)
Echelle des positions : 1cm→0.25m donc, 𝑶𝑴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗(𝟒𝒄𝒎𝟒𝒄𝒎
). Echelles des vitesses :
1cm→1.25m/s donc, �⃗⃗� (𝟐.𝟒𝒄𝒎𝟑.𝟐𝒄𝒎
). Echelles des accélérations : 1cm→2m/𝒔𝟐 donc,
�⃗⃗� (𝟎𝒄𝒎𝟗𝒄𝒎
)
𝒊
�⃗⃗� 𝑵
�⃗⃗� 𝒕
�⃗� 𝑡
�⃗� 𝑁
�⃗⃗�
𝑦
𝑥
𝑣 𝑥
�⃗⃗�
𝑣 𝑦
𝜃
𝑴
𝑶
𝒋
Correction de l’exercice N°5.
1- Traçage du graphe de la vitesse 𝑣(𝑡) à partir du graphe de l’accélération 𝑎(𝑡) et méthode de
calcul par la loi des aires.
On a :
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡→ 𝑑𝑣 = 𝑎𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
= 𝒜𝑣2
𝑣1
(𝑡1, 𝑡2, 𝑎)
= 𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑢𝑟𝑏𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑡1 𝑒𝑡 𝑡2𝑑𝑢 𝑔𝑟𝑎𝑝ℎ𝑒 𝑑𝑒 𝑎(𝑡)
Donc :
𝑣2 − 𝑣1 = 𝓐(𝑡1, 𝑡2, 𝑎) → 𝑣2 = 𝑣1 + 𝓐(𝑡1, 𝑡2, 𝑎)
𝐏𝐚𝐫 𝐥𝐞 𝐜𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥 𝐝𝐞𝐬 𝐚𝐢𝐫𝐞𝐬 𝐬𝐨𝐮𝐬 𝐥𝐚 𝐜𝐨𝐮𝐫𝐛𝐞 𝐝𝐞𝐬 𝐚𝐜𝐜é𝐥é𝐫𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧𝐬 , on obtient :
𝒗(𝟏𝟎) = 𝒗(𝟎) + 𝓐(0,10, 𝑎) = 10 + ((−2) × 10) = −10
𝒗(𝟐𝟎) = 𝒗(𝟏𝟎) + 𝓐(10,20, 𝑎) = −10 + (3 × 10) = 20
𝒗(𝟑𝟓) = 𝒗(𝟐𝟎) + 𝓐(20,35, 𝑎) = 20 + ((−1) × 15) = 5
D’où le tableau suivant :
𝑡(𝑠) 0 10 20 35
𝑣(𝑚/𝑠) 10 −10 20 5
D’où le graphe de la vitesse 𝑣(𝑡) :
𝑡2 𝑡1
−10
0
𝑣(𝑡)(𝑚/𝑠)
𝑡(𝑠)
20
10
5
10
0
20 35
Pour les points d’intersections 𝑡1 et 𝑡2 , on procède comme suit :
a- On trace les axes 𝑡1 et 𝑡2 sur le graphe de 𝑎(𝑡)(voir fig.1).
b- On évalue les aires 𝑆1 et 𝑆2 hachurées. Et alors :
𝑣(𝑡1) = 𝑣(0) + 𝑆1 = 𝑣(0) + 𝓐(𝟎, 𝒕𝟏, 𝒂) = 𝟏𝟎 + (−𝟐)𝒕𝟏 = 𝟎 → 𝒕𝟏 = 𝟓𝒔
𝑣(𝑡2) = 𝑣(10) + 𝑆2 = 𝑣(10) + 𝓐(𝟏𝟎, 𝒕𝟐, 𝒂) = −𝟏𝟎 + 𝟑(𝒕𝟐 − 𝟏𝟎) = 𝟎 → 𝟑(𝒕𝟐 − 𝟏𝟎) = 𝟏𝟎 → 𝒕𝟐
= 𝟏𝟎 +𝟏𝟎
𝟑=
𝟒𝟎
𝟑≅ 𝟏𝟑. 𝟑𝟑𝒔.
2- Nature du mouvement :
𝑡(𝑠) 0 5 10 13.33 20 35
𝑎(𝑚/𝑠2) − − + + −
𝑣(𝑚/𝑠) + − − + +
�⃗�. �⃗� = 𝑎. 𝑣 − + − + −
𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑚𝑜𝑢𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑é 𝐴𝑐𝑐é𝑙é𝑟é 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑é 𝐴𝑐𝑐é𝑙é𝑟é 𝑅𝑒𝑡𝑎𝑟𝑑é
𝒕𝟏
𝒕𝟐 𝟑𝟓 𝟐𝟎 𝟏𝟎
𝑺𝟐
𝑺𝟏
𝒂(𝒕)(𝒎/𝒔𝟐)
𝒕(𝒔)
−𝟐
𝟑
𝟎
𝒇𝒊𝒈. 𝟏
2- Graphe 𝑥(𝑡).
On procède de la même manière comme pour 𝑣(𝑡) sachant que : 𝑥(0) = −25𝑚.
En utilisant la loi des aires :
𝑣 =𝑑𝑥
𝑑𝑡→ 𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 → ∫ 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
= ∫ 𝑣𝑑𝑡𝑡2
𝑡1
= 𝓐(𝒕𝟏, 𝒕𝟐, 𝒗) → 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 = 𝓐(𝒕𝟏, 𝒕𝟐, 𝒗) → 𝒙𝟐
= 𝒙𝟏 + 𝓐(𝒕𝟏, 𝒕𝟐, 𝒗)
Le détail des calculs pour les différentes abscisses :
𝑥(0) = −25𝑚.
𝑥(𝑡1) = 𝑥(0) + 𝓐(𝟎, 𝒕𝟏, 𝒗) = −𝟐𝟓 +𝟓𝟎
𝟐= 𝟎𝒎
𝑥(10) = 𝑥(𝑡1) + 𝓐(𝒕𝟏, 𝟏𝟎, 𝒗) = 𝟎 + (−𝟐𝟓) = −𝟐𝟓𝒎
𝑥(𝑡2) = 𝑥(10) + 𝓐(𝟏𝟎, 𝒕𝟐, 𝒗) = −𝟐𝟓 + (𝟒𝟎
𝟑− 𝟏𝟎) × (−
𝟏𝟎
𝟐) = −𝟐𝟓 −
𝟓𝟎
𝟑= −𝟒𝟏. 𝟔𝟕𝒎.
𝑥(20) = 𝑥(𝑡2) + 𝓐(𝒕𝟐, 𝟐𝟎, 𝒗) = −𝟒𝟏. 𝟔𝟕 + (𝟐𝟎 −𝟒𝟎
𝟑) × (
𝟐𝟎
𝟐) = −𝟒𝟏. 𝟔𝟕 + 𝟔𝟔. 𝟔𝟕 = 𝟐𝟒. 𝟗𝟗𝟕𝒎
𝑥(35) = 𝑥(20) + 𝓐(𝟐𝟎, 𝟑𝟓, 𝒗) = 𝟐𝟒. 𝟗𝟗𝟕 + 𝟕𝟓 + 𝟏𝟏𝟐. 𝟓 = 𝟐𝟏𝟐. 𝟓𝒎
D’où le tableau suivant :
𝑡(𝑠) 0 𝑡1 = 5𝑠 10 𝑡2 =
40
3≅ 13.33𝑠
20 35
𝑥(𝑚) −25 0 −25 −41.67 24.997 212.5
-Diagramme des espaces 𝑥(𝑡) :
212.5
𝑡2 𝑡1 0
𝑥(𝑡)(𝑚)
25
𝑡(𝑠)
10
0 20 35
−25
−41.67
𝑡3
Pour le point d’intersection 𝑡3 du diagramme des espace avec l’axe des temps, on procède comme
suit :
c- On trace l’axe 𝑡3 sur le graphe de 𝑣(𝑡)(voir fig.2).
d- On évalue l’aire 𝑆3 hachurée en rouge. Et alors :
𝑥(𝑡3) = 𝑥(𝑡2) + 𝑆3 = 𝑥(𝑡2) + 𝓐(𝒕𝟑, 𝒕𝟐, 𝒗)
-Diagramme de la vitesse 𝑣(𝑡) :
Et alors :
𝑥(𝑡3) = 𝑥(𝑡2) + 𝑆3 = 𝑥(𝑡2) + 𝓐(𝒕𝟑, 𝒕𝟐, 𝒗) = −𝟒𝟏. 𝟔𝟕 +𝒗𝟑(𝒕𝟑 − 𝒕𝟐)
𝟐
Or, on sait que :
𝑝𝑒𝑛𝑡𝑒 =𝑣3
(𝑡3 − 𝑡2)=
20
(20 − 𝑡2)→ 𝑣3 =
20(𝑡3 − 𝑡2)
(20 − 𝑡2)
En remplaçant 𝑣3 dans l’équation précédente :
𝑥(𝑡3) = 𝑥(𝑡2) + 𝑆3 = 𝑥(𝑡2) + 𝓐(𝒕𝟑, 𝒕𝟐, 𝒗) = −𝟒𝟏. 𝟔𝟕 +𝒗𝟑(𝒕𝟑 − 𝒕𝟐)
𝟐= −𝟒𝟏. 𝟔𝟕 +
20(𝑡3 − 𝑡2)2
2(20 − 𝑡2)
= 0 → 10(𝑡3 − 𝑡2)2 = 41.67(20 − 𝑡2) → 𝑡3 − 𝑡2 = √4.167(20 − 𝑡2) → 𝑡3
= 𝑡2 + √4.167(20 − 𝑡2) → 𝑡3 = 18.604 𝑠.
𝑺𝟑
𝑡2
𝑡1
−10
0
𝑣(𝑡)(𝑚/𝑠)
𝑡(𝑠)
20
10
5
10
0
20 35
𝑣3
𝑡3
𝒇𝒊𝒈. 𝟐
Ecole Nationale Polytechnique Année 2020/2021
Classes Préparatoires Intégrées 1èreannée
Correction Exercice N°11, Série N°03.
Une particule M se déplace sur une droite X’OX de vecteur unitaire
𝒊. A partir de l’instant 𝟎, ou elle passe en 𝑶(𝒙 = 𝟎) avec une vitesse
𝒗𝟎 = 𝟐𝟎𝒎/𝒔 on soumet la particule à une accélération négative
proportionnelle à la puissance 𝒏𝒊è𝒎𝒆 de la vitesse à chaque
instant 𝒕 : �⃗⃗⃗� = −𝒌𝒗𝒏𝒊 ou (𝒌 𝒆𝒕 𝒏) sont des constantes positives.
a. Ecrire en fonction de 𝒗𝟎 et 𝒌 les expressions de la vitesse
𝒗(𝒕), de l’abscisse 𝒙(𝒕) et de 𝒗(𝒙) la vitesse en fonction de la
position. [On traitera les questions a et b pour les valeurs
𝒏 = 𝟏, 𝟐 et 𝟑]
A) 𝒏 = 𝟏.
- Calcul de la vitesse 𝒗(𝒕) et de l’abscisse 𝒙(𝒕).
On a:
𝒂 = −𝒌𝒗 →𝒅𝒗
𝒅𝒕= −𝒌𝒗 →
𝒅𝒗
𝒗= −𝒌𝒅𝒕 → 𝐥𝐧𝒗 = −𝒌𝒕 + 𝒄𝟏 → 𝒗(𝒕) = 𝒆−𝒌𝒕+𝒄𝟏
= 𝒌𝟏𝒆−𝒌𝒕,
Ou 𝒄𝟏 et 𝒌𝟏 = 𝒆𝒄𝟏 sont des constantes à déterminer. On a :
à 𝒕 = 𝟎, 𝒗(𝟎) = 𝒗𝟎 → 𝒗(𝟎) = 𝒌𝟏𝒆𝟎 = 𝒌𝟏 = 𝒗𝟎.
Finalement :
𝒗(𝒕) = 𝒗𝟎𝒆−𝒌𝒕, ①
Et donc,
𝒗(𝒕) =𝒅𝒙
𝒅𝒕→ 𝒅𝒙 = 𝒗𝒅𝒕 = 𝒗𝟎𝒆
−𝒌𝒕𝒅𝒕 → 𝒙(𝒕) = −𝒗𝟎𝒌𝒆−𝒌𝒕 + 𝒌𝟐,
Ou 𝒌𝟐 est une constante à déterminer :
à 𝒕 = 𝟎, 𝒙(𝟎) = 𝟎 → 𝒙(𝟎) = −𝒗𝟎𝒌+ 𝒌𝟐 → 𝒌𝟐 =
𝒗𝟎𝒌.
Finalement :
𝒙(𝒕) = (𝒗𝟎𝒌) (𝟏 − 𝒆−𝒌𝒕). ②
- Calcul de 𝒗(𝒙).
On a :
𝒂 = −𝒌𝒗 →𝒅𝒗
𝒅𝒕= −𝒌𝒗 →
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕=𝒅𝒗
𝒅𝒙𝒗 = −𝒌𝒗 →
𝒅𝒗
𝒅𝒙− 𝒌 → 𝒅𝒗 = −𝒌𝒅𝒙
→ 𝒗(𝒙) = −𝒌𝒙 + 𝒌𝟑 ,
Ou 𝒗(𝟎) = 𝒗𝟎 = 𝒌𝟑. Finalement :
𝒗(𝒙) = −𝒌𝒙 + 𝒗𝟎. ②′
B) 𝒏 = 𝟐.
- Calcul de la vitesse 𝒗(𝒕) et de l’abscisse 𝒙(𝒕).
On a :
𝒂 = −𝒌𝒗𝟐 →𝒅𝒗
𝒅𝒕= −𝒌𝒗𝟐 →
𝒅𝒗
𝒗𝟐= −𝒌𝒅𝒕 → −
𝟏
𝒗= −𝒌𝒕 + 𝒌𝟒 ③,
Ou 𝒌𝟒 est une constante à déterminer. On a :
à 𝒕 = 𝟎, 𝒗(𝟎) = 𝒗𝟎 → −𝟏
𝒗𝟎= 𝟎 + 𝒌𝟒 → 𝒌𝟒 = −
𝟏
𝒗𝟎.
Et alors en remplaçant 𝒌𝟒 dans l’équation ③, il vient :
−𝟏
𝒗= −𝒌𝒕 −
𝟏
𝒗𝟎→𝟏
𝒗= 𝒌𝒕 +
𝟏
𝒗𝟎=𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏
𝒗𝟎→→ 𝒗(𝒕) =
𝒗𝟎𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏
→ 𝒗(𝒕)
=𝟏
(𝒌𝒕 +𝟏𝒗𝟎). ④
Pour l’abscisse :
𝒅𝒙
𝒅𝒕= 𝒗 → 𝒅𝒙 = 𝒗𝒅𝒕 =
𝒗𝟎𝒅𝒕
𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏→ 𝒅𝒙 = (
𝟏
𝒌)(𝒌𝒗𝟎)𝒅𝒕
(𝒌𝒗𝟎)𝒕 + 𝟏→ 𝒅𝒙 = 𝒗𝒅𝒕
= (𝟏
𝒌)𝒅(𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏)
(𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏)→ 𝒙(𝒕) = (
𝟏
𝒌) 𝐥𝐧(𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏) + 𝒌𝟓,
Ou 𝒌𝟓 est une constante à déterminer de la manière suivante :
à 𝒕 = 𝟎, 𝒙(𝟎) = 𝟎 = (𝟏
𝒌) 𝐥𝐧(𝟎 + 𝟏) + 𝒌𝟓 → 𝒌𝟓 = 𝟎.
Finalement :
𝒙(𝒕) = (𝟏
𝒌) 𝐥𝐧(𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏) . ⑤
- Calcul de 𝒗(𝒙).
On a le système suivant :
{
𝒗
𝒗𝟎=
𝟏
𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏,
𝒙(𝒕) = (𝟏
𝒌) 𝐥𝐧(𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏) ,
→ {
𝒗𝟎𝒗= 𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏,
𝒌𝒙(𝒕) = 𝐥𝐧(𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏)→ {
𝒗𝟎𝒗= 𝒌𝒗𝟎𝒕 + 𝟏,
𝒌𝒙(𝒕) = 𝐥𝐧 (𝒗𝟎𝒗) ,
→𝒗𝟎𝒗= 𝒆𝒌𝒙 → 𝒗(𝒙) = 𝒗𝟎𝒆
−𝒌𝒙. ⑥
C) 𝒏 = 𝟑.
- Calcul de la vitesse 𝒗(𝒕) et de l’abscisse 𝒙(𝒕).
On a :
𝒂 = −𝒌𝒗𝟑 →𝒅𝒗
𝒅𝒕= −𝒌𝒗𝟑 →
𝒅𝒗
𝒗𝟑= −𝒌𝒅𝒕 → (−
𝟏
𝟐) (
𝟏
𝒗𝟐) = −𝒌𝒕 + 𝒌𝟔, ⑦
𝒌𝟔 Constante à déterminer par la condition initiale de la vitesse :
𝒗(𝟎) = 𝒗𝟎 → 𝒌𝟔 = −𝟏
𝟐𝒗𝟎𝟐.
En remplaçant la dernière constante dans l’équation ⑦, il vient :
(−𝟏
𝟐) (
𝟏
𝒗𝟐) = −𝒌𝒕 − (
𝟏
𝟐)(
𝟏
𝒗𝟎𝟐) →
𝟏
𝟐(𝟏
𝒗𝟎𝟐 −
𝟏
𝒗𝟐) = −𝒌𝒕 → (
𝟏
𝒗𝟐−𝟏
𝒗𝟎𝟐) = 𝟐𝒌𝒕
→𝟏
𝒗𝟐=𝟏
𝒗𝟎𝟐 + 𝟐𝒌𝒕 → 𝒗𝟐(𝒕) =
𝒗𝟎𝟐
𝟏 + 𝟐𝒗𝟎𝟐𝒌𝒕
→ 𝒗𝟐(𝒕) =𝟏
𝟐𝒌𝒕 +𝟏
𝒗𝟎𝟐
→ 𝒗(𝒕) =𝟏
(𝟐𝒌𝒕 +𝟏
𝒗𝟎𝟐)
𝟏𝟐
.
Pour l’abscisse :
𝒗 =𝒅𝒙
𝒅𝒕→ 𝒅𝒙 = 𝒗𝒅𝒕 =
𝒅𝒕
(𝟐𝒌𝒕 +𝟏
𝒗𝟎𝟐)
𝟏𝟐
=𝒗𝟎𝒅𝒕
(𝟏 + 𝟐𝒌𝒗𝟎𝟐𝒕)
𝟏𝟐
.
On pose : 𝑿 = 𝟏 + 𝟐𝒌𝒗𝟎𝟐𝒕, et alors, 𝒅𝑿 = 𝟐𝒌𝒗𝟎
𝟐𝒅𝒕 et l’équation
précédente devient :
𝒅𝒙 =
𝒗𝟎 × (𝒅𝑿
𝟐𝒌𝒗𝟎𝟐)
𝑿𝟏𝟐
= (𝟏
𝟐𝒌𝒗𝟎)𝒅𝑿
𝑿𝟏𝟐
→ 𝒙(𝒕) = (𝟏
𝟐𝒌𝒗𝟎) × 𝟐√𝑿 + 𝒌𝟕
= (𝟏
𝒌𝒗𝟎) (𝟏 + 𝟐𝒌𝒗𝟎
𝟐𝒕)𝟏𝟐 + 𝒌𝟕, ⑧
𝒌𝟕 Constante à déterminer par la condition initiale de l’abscisse :
à 𝒕 = 𝟎, 𝒙(𝟎) = 𝟎 → (𝟏
𝒌𝒗𝟎) + 𝒌𝟕 = 𝟎 → 𝒌𝟕 = −
𝟏
𝒌𝒗𝟎.
Finalement, en remplaçant dans l’équation ⑧, l’expression de
l’abscisse en fonction du temps sera :
𝒙(𝒕) = (𝟏
𝒌𝒗𝟎) {(𝟏 + 𝟐𝒌𝒗𝟎
𝟐𝒕)𝟏𝟐 − 𝟏}
- Calcul de 𝒗(𝒙).
On a :
{
𝒗(𝒕) =
𝒗𝟎
(𝟏 + 𝟐𝒌𝒗𝟎𝟐𝒕)
𝟏𝟐
𝒙(𝒕) = (𝟏
𝒌𝒗𝟎) {(𝟏 + 𝟐𝒌𝒗𝟎
𝟐𝒕)𝟏𝟐 − 𝟏}
→
{
𝒗𝟎𝒗= (𝟏 + 𝟐𝒌𝒗𝟎
𝟐𝒕)𝟏𝟐, ⑨
𝒙(𝒕) = (𝟏
𝒌𝒗𝟎) {(
𝒗𝟎𝒗) − 𝟏} , ⑩
L’équation ⑩ permet d’écrire :
𝒙(𝒕) = (𝟏
𝒌𝒗𝟎) {(
𝒗𝟎𝒗) − 𝟏} = (
𝟏
𝒌) {𝟏
𝒗−𝟏
𝒗𝟎} → 𝒌𝒙 =
𝟏
𝒗−𝟏
𝒗𝟎→𝟏
𝒗= 𝒌𝒙 +
𝟏
𝒗𝟎
→ 𝒗(𝒙) =𝒗𝟎
𝟏 + 𝒌𝒗𝟎𝒙. ⑪
b- A quelle vitesse et à quel instant 𝒕𝟏 pour 𝒏 = 𝟏 (𝒕𝟐 pour
𝒏 = 𝟐, 𝒕𝟑 pour 𝒏 = 𝟑) la particule passera-t-elle à l’abscisse
𝒙𝟏 = 𝒙(𝒕𝟏) = 𝟏𝟓𝟎𝒎 de O pour 𝒏 = 𝟏 (𝒙𝟐 = 𝒙(𝒕𝟐) = 𝟏𝟓𝟎𝒎 pour
𝒏 = 𝟐,𝒙𝟑 = 𝒙(𝒕𝟑) = 𝟏𝟓𝟎𝒎 pour 𝒏 = 𝟑) si le module de
l’accélération à 𝒕 = 𝟎 vaut 𝟐𝒎/𝒔𝟐.
A) 𝒏 = 𝟏. Calcul de la constante 𝒌.
A 𝒕 = 𝟎 ∶
{‖�⃗⃗⃗�‖ = ‖�⃗⃗⃗�(𝟎)‖ = 𝟐𝒎/𝒔𝟐,
‖�⃗⃗⃗�(𝟎)‖ = 𝒗𝟎 = 𝟐𝟎𝒎/𝒔.
Alors,
𝒂 = −𝒌𝒗 → ‖�⃗⃗⃗�(𝟎)‖ = 𝒌‖�⃗⃗⃗�(𝟎)‖ → 𝟐 = 𝒌 × 𝟐𝟎 → 𝒌 = 𝟎. 𝟏𝒔−𝟏.
A 𝒕 = 𝒕𝟏, 𝒙𝟏 = 𝒙(𝒕𝟏) = 𝟏𝟓𝟎𝒎 et en utilisant l’équation ②’, il vient :
𝒗(𝒙) = −𝒌𝒙 + 𝒗𝟎 → 𝒗(𝟏𝟓𝟎) = −𝒌 × 𝟏𝟓𝟎 + 𝟐𝟎 = −𝟎. 𝟏 × 𝟏𝟓𝟎 + 𝟐𝟎
= 𝟐𝟎 − 𝟏𝟓 = 𝟓𝒎/𝒔.
Donc, 𝒗(𝒕𝟏) = 𝒗(𝟏𝟓𝟎) = 𝟓𝒎/𝒔. En remplaçant l’instant 𝒕𝟏 dans
l’équation ①, il vient :
𝒗(𝒕𝟏) = 𝒗(𝟏𝟓𝟎) = 𝟓 = 𝒗𝟎𝒆−𝒌𝒕𝟏 → 𝟓 = 𝟐𝟎𝒆−𝟎.𝟏𝒕𝟏 →
𝟓
𝟐𝟎= 𝒆−
𝒕𝟏𝟏𝟎 →
𝟏
𝟒= 𝒆−
𝒕𝟏𝟏𝟎
→ −𝐥𝐧𝟒 = −𝒕𝟏𝟏𝟎
→ 𝒕𝟏 = 𝟏𝟎 𝐥𝐧 𝟒 = 𝟐𝟎 𝐥𝐧 𝟐~𝟏𝟑. 𝟖𝟔𝒔.
B) 𝒏 = 𝟐. Calcul de la constante 𝒌.
On a :
𝒂 = −𝒌𝒗𝟐 → ‖�⃗⃗⃗�(𝟎)‖ = 𝒌‖�⃗⃗⃗�𝟐(𝟎)‖ → 𝒂(𝟎) = 𝒌 × 𝒗𝟎𝟐 → 𝟐 = 𝒌 × 𝟒𝟎𝟎 → 𝒌
=𝟐
𝟒𝟎𝟎= 𝟓. 𝟏𝟎−𝟑𝒎−𝟏.
A 𝒕 = 𝒕𝟐, 𝒙𝟐 = 𝒙(𝒕𝟐) = 𝟏𝟓𝟎𝒎. Alors, l’équation ⑥ donne:
𝒗(𝒙𝟐) = 𝒗𝟎𝒆−𝒌𝒙𝟐 → 𝒗(𝟏𝟓𝟎) = 𝟐𝟎𝒆−𝟓.𝟏𝟎
−𝟑××𝟏𝟓𝟎 → 𝒗(𝟏𝟓𝟎) = 𝟗. 𝟒𝟓𝒎/𝒔.
Or, l’équation ④ donne:
𝒗(𝒕𝟐) =𝒗𝟎
𝒌𝒗𝟎𝒕𝟐 + 𝟏→ 𝒌𝒗𝟎𝒕𝟐 + 𝟏 =
𝒗𝟎𝒗(𝒕𝟐)
→ 𝒕𝟐 = (𝟏
𝒌𝒗𝟎) {
𝒗𝟎𝒗(𝒕𝟐)
− 𝟏}
= (𝟏
𝟓. 𝟏𝟎−𝟑 × 𝟐𝟎) {
𝟐𝟎
𝟗. 𝟒𝟓− 𝟏} = 𝟏𝟏. 𝟏𝟔𝟒𝒔.
C) 𝒏 = 𝟑. Calcul de la constante 𝒌.
On a :
𝒂 = −𝒌𝒗𝟑 → ‖�⃗⃗⃗�(𝟎)‖ = 𝒌‖�⃗⃗⃗�𝟑(𝟎)‖ → 𝒂(𝟎) = 𝒌 × 𝒗𝟎𝟑 → 𝒌 =
𝒂(𝟎)
𝒗𝟎𝟑
=𝟐
𝟖𝟎𝟎𝟎= 𝟐. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒𝒎−𝟐. 𝒔.
Alors, l’équation ⑪ donne :
𝒗(𝒙𝟑) =𝒗𝟎
𝟏 + 𝒌𝒗𝟎𝒙𝟑=
𝟐𝟎
𝟏 + 𝟐. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 × 𝟐𝟎 × 𝟏𝟓𝟎= 𝟏𝟏. 𝟒𝟐𝟗 𝒎/𝒔.
Pour l’instant 𝒕𝟑, on utilise l’équation ⑨ :
𝒗𝟐(𝒙𝟑) = 𝒗𝟐(𝒕𝟑) =
𝒗𝟎𝟐
𝟏 + 𝟐𝒌𝒗𝟎𝟐𝒕𝟑
=𝟒𝟎𝟎
𝟏 + 𝟐 × 𝟐. 𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 × 𝟒𝟎𝟎 × 𝒕𝟑= (𝟏𝟏. 𝟒𝟐𝟗)𝟐 → 𝒕𝟑 = 𝟏𝟎. 𝟑𝟏𝟏𝒔.
c- Une particule M se déplace maintenant sur la droite x’ox
avec une accélération : �⃗⃗⃗� = −𝒌𝒙𝒏𝒊.
A l’instant 𝒕 = 𝟎, elle est au repos à l’abscisse 𝒙𝟎. Déterminer la
loi 𝒗(𝒙) dans les cas : 𝒏 = 𝟏. 𝟐 et 𝟒.
A) 𝒏 = 𝟏.
On a :
𝒂 = −𝒌𝒙 →𝒅𝒗
𝒅𝒕= −𝒌𝒙 →
𝒅𝒗
𝒅𝒙.𝒅𝒙
𝒅𝒕= −𝒌𝒙 →
𝒅𝒗
𝒅𝒙. 𝒗 = −𝒌𝒙 → 𝒗𝒅𝒗 = −𝒌𝒙𝒅𝒙
→𝟏
𝟐𝒗𝟐 = −
𝟏
𝟐𝒌𝒙𝟐 + 𝒌𝟏 → 𝒗𝟐 = −𝒌𝒙𝟐 + 𝟐𝒌𝟏
= −𝒌𝒙𝟐 + 𝒌𝟐 (𝒌𝟐 = 𝟐𝒌𝟏 = 𝑪𝒕𝒆).
On cherche 𝒌𝟐 par les conditions initiales de la vitesse et de
l’abscisse :
𝒗𝟐(𝟎) = −𝒌𝒙𝟐(𝟎) + 𝒌𝟐 → 𝟎 = −𝒌𝒙𝟎𝟐 + 𝒌𝟐 → 𝒌𝟐 = 𝒌𝒙𝟎
𝟐,
Par conséquent, la vitesse s’’écrira :
𝒗𝟐(𝒙) = −𝒌𝒙𝟐 + 𝒌𝒙𝟎𝟐 = 𝒌(𝒙𝟎
𝟐 − 𝒙𝟐) → 𝒗(𝒙) = 𝒌𝟏𝟐(𝒙𝟎
𝟐 − 𝒙𝟐)𝟏𝟐,
Avec |𝒙| < |𝒙𝟎|.
B) 𝒏 = 𝟐.
On a :
𝒂 = −𝒌𝒙𝟐 →𝒅𝒗
𝒅𝒕= −𝒌𝒙𝟐 →
𝒅𝒗
𝒅𝒙.𝒅𝒙
𝒅𝒕= −𝒌𝒙𝟐 →
𝒅𝒗
𝒅𝒙. 𝒗 = −𝒌𝒙𝟐 → 𝒗𝒅𝒗
= −𝒌𝒙𝟐𝒅𝒙 →𝟏
𝟐𝒗𝟐 = −
𝟏
𝟑𝒌𝒙𝟑 + 𝒌𝟑.
On cherche 𝒌𝟑 par les conditions initiales de la vitesse et de
l’abscisse :
𝟏
𝟐𝒗𝟐(𝟎) = −
𝟏
𝟑𝒌𝒙𝟑(𝟎) + 𝒌𝟑 =→ 𝟎 = −
𝟏
𝟑𝒌𝒙𝟎
𝟑 + 𝒌𝟑 → 𝒌𝟑 =𝟏
𝟑𝒌𝒙𝟎
𝟑,
Par conséquent, la vitesse s’’écrira :
𝒗𝟐(𝒙) = −𝟐
𝟑𝒌𝒙𝟑 +
𝟐
𝟑𝒌𝒙𝟎
𝟑 = (𝟐
𝟑𝒌) (𝒙𝟎
𝟑 − 𝒙𝟑) → 𝒗(𝒙) = (𝟐
𝟑𝒌)
𝟏𝟐(𝒙𝟎
𝟑 − 𝒙𝟑)𝟏𝟐,
Avec 𝒙 < 𝒙𝟎.
C) 𝒏 = 𝟒.
On pourra écrire la relation :
𝒂 = −𝒌𝒙𝟒 →𝒅𝒗
𝒅𝒕= −𝒌𝒙𝟒 →
𝒅𝒗
𝒅𝒙.𝒅𝒙
𝒅𝒕= −𝒌𝒙𝟒 →
𝒅𝒗
𝒅𝒙. 𝒗 = −𝒌𝒙𝟒 → 𝒗𝒅𝒗
= −𝒌𝒙𝟒𝒅𝒙 →𝟏
𝟐𝒗𝟐 = −
𝟏
𝟓𝒌𝒙𝟓 + 𝒌𝟒.
On cherche 𝒌𝟒 par les conditions initiales de la vitesse et de
l’abscisse :
𝟏
𝟐𝒗𝟐(𝟎) = −
𝟏
𝟓𝒌𝒙𝟓(𝟎) + 𝒌𝟒 =→ 𝟎 = −
𝟏
𝟓𝒌𝒙𝟎
𝟓 + 𝒌𝟒 → 𝒌𝟒 =𝟏
𝟓𝒌𝒙𝟎
𝟓,
Par conséquent, la vitesse s’’écrira :
𝒗𝟐(𝒙) = −𝟐
𝟓𝒌𝒙𝟓 +
𝟐
𝟓𝒌𝒙𝟎
𝟓 = (𝟐
𝟓𝒌) (𝒙𝟎
𝟓 − 𝒙𝟓) → 𝒗(𝒙) = (𝟐
𝟓𝒌)
𝟏𝟐(𝒙𝟎
𝟓 − 𝒙𝟓)𝟏𝟐,
Avec 𝒙 < 𝒙𝟎.
d- Trouver des exemples physiques de telles accélérations.
Pour le 1er cas, un exemple physique sont les accélérations liées aux
forces de frottement (visqueuses) d’un corps en mouvement dans un
fluide donné ou celles liées aux forces de frottement dans l’air. Pour
le deuxième cas, ce sont les accélérations liées aux forces de tensions
d’un ressort sur une masse en mouvement.
