TerminalesS Jeudi23février2017−4heuresCORRIGÉDUBACBLANCDEMATHÉMATIQUES

EXERCICE1

1. 0(0) 1f e= = et02(0) 2 1 2 1 1 1g e= − = × − = donclescourbes fC et gC ont

unpointcommunAdecoordonnées ( )1;0 .Lesfonctionsfetgsontdéfinies

etdérivablessurR,etpourtoutxréel, '( ) xf x e= et 2 21'( ) 22

x x

g x e e= × × = .

0'(0) 1f e= = et02'(0) 1g e= = donclestangentesaupointAd’abscisse0des

courbes fC et gC ontlemêmecoefficientdirecteuretsontdoncconfondues.LatangentecommuneTapouréquation

( )( ) ( )' 0 0 0y f x f= − + i.e. 1y x= +

2.a. lim2x

x→−∞

= −∞ et lim 0X

Xe

→−∞= doncpar

composition 2lim 0x

xe

→−∞= etdonc

2lim 2 2 0 0x

xe

→−∞

⎛ ⎞= × =⎜ ⎟

⎝ ⎠.Deplus,

( )

22

lim 2 0 lim 2 2

lim 2

xx

xx

x

epar somme e x

x

→−∞

→−∞

→−∞

⎫⎛ ⎞= ⎪⎜ ⎟ ⎛ ⎞

− − = +∞⎝ ⎠ ⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪− − = +∞

⎭

( )limx

h x→−∞

= +∞ .

b.Pourtoutréelxnonnul,

( )2 2

2 22 2 21 1 2 2 2

2 2

x xx xe ex x x x x e x e x h xx xx x x

⎛ ⎞⎜ ⎟

− − = × − × − × = × − − = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Onpose2xX = ,lorsque x tendvers+∞ ,Xtendaussivers+∞ etdonc

2lim lim

2

xX

x X

e ex X→+∞ →+∞

⎛ ⎞⎜ ⎟

= = +∞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

.

( )

2

2

lim

22 lim 1lim 1 1

22lim 0

x

x x

x

x

x

ex

epar somme x x

x

→+∞

→−∞

→+∞

→+∞

⎫⎛ ⎞⎪⎜ ⎟

= +∞⎪⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ − − = +∞⎬ ⎜ ⎟− = − ⎪ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪⎛ ⎞ ⎪− =⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭

.

Or limx

x→+∞

= +∞doncparproduit2 2lim 1

2

x

x

ex x x→+∞

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟

− − = +∞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

( )limx

h x→+∞

= +∞

c.LafonctionhdéfinieetdérivablesurRet 2 21'( ) 2 1 12

x x

h x e e= × − = − .

Étudionslesignede '( )h x : 2 21 0 1 0 02

x x xe e x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ > .

( )'h x estdoncstrictementpositivesur ] [0;+∞ ,strictementnégativesur

] [;0−∞ ets’annuleen0.Onendéduitquehestdécroissantesur ] ];0−∞ et

croissantesur[ [0;+∞ .02(0) 2 0 2 2 1 0 2 0h e= − − = × − − = .

x −∞ 0 +∞

h

+∞ +∞

0

d.Pourtoutréelx, ( )2 22 1 1 2 2 0 0x x

e x e x h x− ≥ + ⇔ − − ≥ ⇔ ≥ .

Or,d’aprèsletableaudevariationsprécédent,pourtoutréelx, ( ) 0h x ≥ et

donc,pourtoutréelx, 22 1 1x

e x− ≥ + .e.Pourétudierlapositionrelativedelacourbe gC etdeladroiteT,oncompare

( )g x et 1x + .Ord’aprèslesquestionsprécédentes,pourtoutréelxnonnul,

22 1 1x

e x− > + etpour 0x = ,ona: 22 1 1x

e x− = + .Pourxnonnul, gC estau-dessusdelatangenteTetpour 0x = ,lescourbes fC

et gC ontunpointcommunA.

3.Pourétudierlapositionrelativedescourbes fC et gC ,oncompare

( ) xf x e= et 12)( 2 −=x

exg .Pourcela,onpeutétudierlesignede

( ) ( ) ( ) 2 22 1 2 1x x

x xl x f x g x e e e e⎛ ⎞

= − = − − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Méthode1:Onpose 2x

X e= , ( ) ( )22 2 1 1l x X X X= − + = − .

Pour ∈X R\{1},i.e.xnonnul, ( )21 0X − > etdonc fC estau-dessusde gC .

Pour 1X = ,i.e. 0x = , ( )21 0X − = etdonc fC et gC secoupent.Méthode2:OnétudiesurRlesvariationdelafonctionltelleque

( ) ( ) ( ) 22 1x

xl x f x g x e e= − = − + .

lestdéfinieetdérivablesurRet ( ) 2 2 2 21' 2 12

x x x xx xl x e e e e e e

⎛ ⎞= − × = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Or,pourtoutx, 2 0x

e > ,lesignede ( )'l x estceluide 2 1x

e − déjàétudiéquestion1.c.

Onendéduitlesignede ( )l x etlapositionrelativede fC et gC .

Pour ∈x R*, ( ) 0l x > etdonc fC estau-dessusde gC .

Pour 0x = , ( ) 0l x = etdonc fC et gC secoupent.

EXERCICE2

2.Montronsparrécurrenceque,pourtoutentiernatureln, 0>nu .

10 =u donclapropriétéestvérifiéepourn=0.Supposonsque,pouruncertainentiernatureln, 0>nu .Montronsque 1 0nu + > .

Onsaitque ( )1nu

n n nu f u u e−+ = = × avec 0>nu et 0nue− > donc 1 0nu + > .Conclusion:Pourtoutentiernatureln, 0>nu .

3.Pourtoutentiernatureln, ( )1 1n nu un n n n nu u u e u u e− −+ − = − = − .

D’aprèsle2), 0>nu donc 0nu− < et 1nue− < ,onendéduitque 1 0n nu u+ − < etquelasuite ( )nu estdécroissante.

4.a.Lasuite ( )nu estdécroissanteetminoréepar0,elleestdoncconvergente.b.Onadmetquelalimitedelasuite ( )nu estsolutiondel’équation xxf =)( .

( )( )

1 0

0 10ou

x

x

x

f x x xe x

x e

x ex

−

−

−

= ⇔ =

⇔ − =

⇔ = =

⇔ =

Lalimitedelasuite ( )nu estdonc0.

PartieBDéclarationdesvariables:SetusontdesnombresréelskestunnombreentierInitialisation:uprendlavaleur.1Sprendlavaleur1Traitement:Pourkvariantde1à100uprendlavaleuru×e−uSprendlavaleurS+uFinPourAfficherS

EXERCICE3a1.a.Lapersonneestchoisieauhasard,ilyadoncéquiprobabilitéetd’aprèsl’énoncé:

P(V)=0,02; ( ) 0,99VP T = ;( ) 0,97VP T =

Onendéduitque( ) 0,98P V = , ( ) 0,01VP T = et( ) 0,03VP T =

b. ( ) ( ) ( ) 0,02 0,99 0,0198VP V T P V P T∩ = × = × = .2.VetV réalisentunepartitiondel’univers,doncd’aprèslaloidesprobabilitéstotales,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0198 0,98 0,03 0,0492V VP T P V T P V T P V P T P V P T= ∩ + ∩ = × + × = + × =

3.a. ( ) 0,0198( ) 0,4024( ) 0,0492T

P V TP VP T∩

= = ≈ quijustifiebien«Siletestestpositif,

iln’yaqu’environ40%derisquesquelapersonnesoitcontaminée».

b. ( ) ( )( )

( ) ( )( )

9998,00492,0187,098,0

1≈

−

×=

−

×=

∩=

TPTPVP

TPTVPVP V

T .

Sachantquesontestestnégatif,laprobabilitéqu’unepersonnenesoitpascontaminéeparlevirusestdoncd’environ0,9998.

PARTIEB1.Choisirsuccessivementdixpersonnesdelapopulation,c’estrépéterdefaçonidentiqueetindépendantelamêmeépreuvedeBernoullideprobabilitédesuccèségaleàp(V)=0,02.LenombreXdepersonnescontaminéesparlevirussuitdonclaloibinomialedeparamètresn=10etp=0,02.

2.Avoirseptpersonnesnoncontaminées,c’estavoirtroispersonnes

contaminéeset 3 710( 3) 0,02 0,98

3P X ⎛ ⎞

= = × ×⎜ ⎟⎝ ⎠

c’est-à-dire ( 3) 0,0008P X = ≈

à10–4près.Laprobabilitéqu’ilyaitexactementseptpersonnesnoncontaminéesparmilesdixestdoncenviron0,00080.

3.«Aumoinsdeuxpersonnescontaminéesparmilesdix»estl’événementcontrairede«Auplusunpersonnecontaminée»

donc ( )( 2) 1 1P X P X≥ = − ≤ à10–4près.

Lacalculatricedonne ( 2) 0,0162P X ≥ ≈

Laprobabilitéqu’ilyaitaumoinsdeuxpersonnescontaminéesparmilesdixestdoncenviron0,0162.

EXERCICE4

Proposition1:Ladroite(AB)apourvecteurdirecteur ( )5;2;7−AB .

Unereprésentationparamétriquede(AB)estdonc⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=

∈+=

−=

uzuuy

ux

54,22

73R.

Cherchonssilesdeuxdroitescitéessontsécantes.Pourcela,résolvonsle

système⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=+

+=+

−=−−

ututut

54511222873411,i.e.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−

−=−

=+−

15556221474

ututut

.Onremarquequelesdeux

dernièreslignessontéquivalentesà 3−=− ut ,onadonclesystème

⎩⎨⎧

−=−

=+−

31474

utut

,i.e.( )⎩

⎨⎧

=+−−

−=

147343

uuut

,i.e.⎩⎨⎧

=++−

−=

1471243

uuut

,

i.e.⎩⎨⎧

−=

=

323ut

u,i.e.

⎩⎨⎧

−=

=

3/73/2

tu

.

Lesdeuxdroitessontsécantes,donccoplanaires.L’affirmationestFAUSSE.

Proposition2:Onpeutparexemplemunirl’espacedurepèreorthonormé( )AEADABA ,,; .Lespointsnécessairesàladémonstrationsont ( )0;0;0A , ( )5,0;5,0;0I ,( )0;5,0;5,0J , ( )25,0;5,0;25,0K et ( )1;1;1G .

Lesvecteurs ( )25,0;5,0;25,0AK et ( )1;1;1AG nesontpascolinéaires(leurscoordonnéesnesontpasproportionnelles),donclestroispointsA,KetGnesontpasalignés.L’affirmationestdoncVRAIE.

Proposition3:Posons iyxz += ,avecxetyréels.

L’équations’écritalors ( ) ( )( ) 012 =−−+−+ iyxiyxiyx ,

i.e. ( ) 012 2222 =−+−−+ yxyixyx ,i.e. 0212 2 =+−− ixyy .

Parunicitédel’écriturealgébrique,onadonc⎩⎨⎧

=

=−−

02012 2

xyy

.

Oryétantréel,lapremièreéquationdecesystèmen’apasdesolution,doncl’équationinitialen’apasdesolutiondansC.L’affirmationestdoncFAUSSE.

Proposition4:Posons iyxz += ,avecxetyréels.

Onaalors( )( )

( )( )iyxiyxiyxiyx

iyxiyxz

−+++

−++=

++

+=

111

1' =

( ) 22

22

1 yxyiyixyixyxx

++

+++−+

=( ) ( ) 2222

22

11 yxiy

yxyxx

+++

++

++.

Cenombreestimaginairepursietseulementsi

022 =++ yxx et ( ) ( )0;1; −≠yx .

Or 022 =++ yxx peuts’écrire41

21 2

2

=+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ + yx ,quiestl’équationducercle

decentrelepointdecoordonnées ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 0;21

etderayon21.L’ensemble

cherchéestcecerclemoinslepointdecoordonnées ( )0;1− .L’ensembleestdoncbieninclusdansuncercle.L’affirmationestdoncVRAIE.

EXERCICE5Posons ( )22017)( +−= xexf x .Laquestionposéerevientàchercherlenombredevaleursquiannulentlafonctionf.

Étudionslesvariationsdef:lafonctionestcontinueetdérivablecommedifférencedefonctionscontinuesetdérivableset,pourtoutréelx,

2017)(' −= xexf .

Ona: ( )2017ln20170)(' =⇔=⇔= xexf x et( )2017ln0170)(' >⇔=>⇔> xexf x carlafonctionexpeststrictement

croissantesurR.Lafonctionfestdoncstrictementdécroissantesur ( )] ]2017ln;∞− etstrictementcroissantesur ( )[ [∞+;2017ln .

Déterminonsleslimitesdefauxbornes:

En ∞− :Ona 0lim =−∞→

x

xe et −∞=+

−∞→22017lim x

x(car2017>0)donc,parlimite

dedifférence, ( ) +∞=−∞→

xfxlim .

En ∞+ :Onpeutécrire,pourtoutx>0, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=xx

exxfx 22017)( .

Oronsaitque +∞=+∞→ xex

xlim et 02lim =

+∞→ xxdonc,paropérationssurles

limites, ( ) +∞=+∞→

xfxlim .

Parailleurs, ( )( ) ( ) ( )( )22017ln20172017ln 2017ln +−= ef = ( ) ( ) 0333132017ln21017201522017ln20172017 <−≈−=−−

Larestrictiondefsurl’intervalle ( )] ]2017ln;∞− estcontinuestrictementdécroissanteetsonensemble-imageest ( )( )[ [∞+;2017lnf ,quicontient0,donc,d’aprèsle«corollaireduthéorèmedesvariationsintermédiairesappliquéauxfonctionsstrictementmonotonesetgénéraliséauxlimitesinfinies»,l’équation ( ) 0=xf admetuneuniquesolutionsurcetintervalle.

Parlamêmeméthode,onmontrequel’équation ( ) 0=xf admetaussiuneuniquesolutionsur ( )[ [∞+;2017ln .

Conclusion:Lesdeuxcourbesontdoncexactementdeuxpointsd’intersection.Remarque:Lesdeuxvaleursα etβ quiannulentlafonctionfvérifient:

00049,00005,0 −<α<− et 90223,990222,9 <β< .

T-S CorrigéduBaccalauréatblanc 8mars2018 4heures

EXERCICE1AFFIRMATION1:VRAI:Soit z a ib= + avecaetbréels.Onaalors:

1 12 2z a ibz i a ib i− − −

= ⇔ =+ + +

i.e. 1 2 2( 1) 1 ( 3 2) 0a ib a b i a i b− − = + + ⇔− − + − − = .

Parunicitédelaformealgébrique,ona:.a=−1et 23

b = − .

AFFIRMATION2:VRAI:Sestlasommedes2019premierstermesdelasuite

géométriquederaisoni(≠1)etde1erterme1.201911

1iSi

−= ×

−.

Or ( )5092019 4 3 1 ( )i i i i i= × = × − = − .

1 ( ) 1 (1 )(1 ) 1 2 11 1 1 1 2i i i i iS ii i

− − + + + + −= = = = =

− − +quiestbienimaginairepur.

AFFIRMATION3:FAUX:Posons z x iy= + avecxetyréels.

( ) ( )2 2 2

2 2

' 2 9 2 2 2 9

' 2 9 2 ( )

z x iy x iy x ixy y x iy

z x y x i xy y

= + + + + = + − + + +

= − + + + +

Or 'z estréel⇔ Im ( )' 0z = 2( ) 0 2 ( 1) 0xy y y x⇔ + = ⇔ + = i.e.2( ) 0 2 ( 1) 0 0 1xy y y x y ou x+ = ⇔ + = ⇔ = = − .Doncl’ensemblecherchéestlaréuniondesdroitesd’équations 1 et 0x y= − = .

AFFIRMATION4:VRAI:Zestunimaginairepur Z Z⇔ = − .Onadonc:

( ) ( )2 22 2 2 22 2 2 2 est réel

iz iz i z izZ Z i z z iz zz z z zi z z i z i z z i z i z i z z z z

−⎛ ⎞= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ − = −⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔

EXERCICE2

A:1.Levecteur IJ apourcoordonnées ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 1;31;1 .LepointM,decoordonnées

(x ; y ; z),estsurladroite(IJ)sietseulementsi IM et IJ sontcolinéaires,i.e.,puisque IJ n’estpaslevecteurnul,sietseulements’ilexisteunréelttel

que IJtIM = .D’oùlesystème: R∈

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

+=

−=

t

tz

ty

tx

;31

311

2.Onrésoutlesystème

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

=+

−=−

ut

ut

ut

131

31

21

431

.Ilestéquivalentà

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−+

−=+−

−=

uu

uu

ut

31

31

31

21

4311

1

,

i.e.1

3 / 2 3 / 42 / 3 4 / 3

t uu

u

= −⎧⎪

=⎨⎪ =⎩

,i.e.1/ 21 / 21 / 2

uut

=⎧⎪

=⎨⎪ =⎩

.Ontrouvealorsununiquecouple-solution

pour(t;u),donclesdeuxdroitessontsécantes.

B:1.Lescoordonnéesde IJuuret IKuursontrespectivement

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 1;31;1 et ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− 1;31;

41

.

Lescoordonnéesnesontpasproportionnellesdonclesvecteursnesontpascolinéaires,lespointsI,JetKdéfinissentdoncunplan.

2.Lescoordonnéesde IJuur, IKuuret IR

uursontrespectivement ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛− 1;31;1 ,

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− 1;31;

41

et ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −56;

32;0 .Pourmontrerquecestroisvecteurssont

coplanaires,ilfautetilsuffitdeprouverquel’und’eux,parexemple IJuur,est

unecombinaisonlinéairedesdeuxautres,c’est-à-diremontrerqu’ilexistedeuxréelsaetbtelsque IRbIKaIJ += .Celasetraduitparlesystème:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=

+−=

−=−

561

32

33/1

41

ba

ba

a

,i.e.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=

=

VRAI

b

a

341254

.

Lesystèmeestcohérent.Lesréelsaetbexistentbien,donclestroisvecteurssontcoplanaires.OnpeutendéduirequelesquatrepointsI,J,KetRsontcoplanaires,etquedonclepointRestdansleplan(IJK).

C:1.a.LescoordonnéesdeCL etdeCDsontrespectivement ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 0;0;43 et

( )0;0;1− .Donc CDCL43

= .Cesdeuxvecteursétantcolinéaires,lestrois

pointsC,DetLsontalignés,doncLestsurladroite(CD).

b.Lescoordonnéesde IK sont ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −− 1;31;

41 etcellesde LJ aussi.

Donc IK = LJ ,donc(IKJL)estunparallélogramme.2.LepointLestdoncsurlaparallèleà(JK)passantparI.Orladroite(JK)estinclusedansleplan(IJK)etIestaussidansceplan,doncladroite(IL)estaussiinclusedansceplan.Ainsi,leplan(IJK),quin’estpasconfonduavecleplan(ABC),lecoupeselonunedroite.LespointsIetLappartiennentauxdeuxplans,donccettedroiteest(IL).

Ontrace(JK)et(FG),quinesontpasparallèlesetquisontdansleplan(EFGH).EllessecoupentenM.Ladroite(MI)estdansleplan(BCGF)carMestsur(FG)etladroite(FG)estdans(BCGF).Ladroite(IM)coupe(BF)enP.Lesegment[IP]estl’intersectionduplan(IJK)avecleplan(BCGF).MêmeméthodepourlespointsNetQ.OnpeutaussiremarquerquelepointQestl’intersectionde(DH)aveclaparallèleà(IP)passantparJ.Eneffet,lesdeuxplans(BCGF)et(ADHE)étantparallèles,toutplansécantaveccesdeuxplanslescoupeselondeuxdroitesparallèles.

EXERCICE3

1.a. lim lnx

x→+∞

= +∞ et lim 1x

xn→+∞− = +∞ donc(limitedesomme) lim ( )nx

f x→+∞

= +∞

0limlnx

x→

= −∞ et0

lim 1 1x

xn→− = − donc(limitedesomme)

0lim ( )nx

f x→

= −∞ .

Sommedefonctionsdérivablessur ] [0 ; +∞ ,lafonction nf estdérivablesur

] [0 ; +∞ etpourtoutréelx>0, 1 1'( )nf xx n

= + donc '( ) 0nf x > .

Lafonction nf estalorsstrictementcroissantesur ] [0 ; +∞ b.Lafonction nf eststrictementcroissanteetcontinue(cardérivable)sur

] [0 ; +∞ ; lim ( )nxf x

→+∞= +∞ et

0lim ( )nx

f x→

= −∞donc,d’aprèslecorollairedu

théorèmegénéralisédesvaleursintermédiaires,l’équation ( ) 0nf x = admetuneuniquesolution nα dans ] [0 ; +∞ .

1 1(1) ln1 1 1nf n n= + − = − donc (1) 0nf ≤ ; ( ) ln 1n

e ef e en n

= + − = donc ( ) 0nf e > ,on

endéduitque nα appartientà [ ]1; e .c. nf étantalorsstrictementcroissantesur ] [0 ; +∞ ,lesignede ( )nf x estalorsdonnéparletableau:

x 0 nα +∞ ( )nf x –0+

2.a.Lecoefficientdirecteurdeladroite nD passantparlepointAdecoordonnées ( )0 ;1 etlepoint nB decoordonnées ( ); 0n est

1n

n

B A

B A

y ym

x x n− −

= =−

etsonordonnéeàl’origine1.

Uneéquationdecettedroiteestdonc 1 1y xn

= − + .

b.Lesabscissesdespointsd’intersectionde ( )Γ avec nD sontalorslessolutions

del’équation 1ln 1x xn

= − + ,c’est-à-diredel’équation 1ln 1 0x xn

+ − = soit

( ) 0nf x = .Ilexistedoncunpointd’intersectionde ( )Γ avec nD :lepointd’abscisse nα .

c.

d.Graphiquement,onconjectureque 1α =1,cequisevérifiecar

11(1) ln 1 1 01

f = + − = .Onconjectureaussiquelasuite ( )nα estcroissante.

3.a.Pourtoutréelxde ] [0 ; +∞ ,

1( ) ( ) ln 1 ln 11 1 ( 1)n nx x x x xf x f x x xn n n n n n+

−⎛ ⎞− = + − − + − = − =⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠

b.Onendéduitque ( ) ( )1 1 1 ( 1)n

n n n nf fn nα

α α+ + +

−− =

+.

Or,pardéfinitionde 1n+α , ( )1 1 0n nf α+ + = .Onaalors ( )1 ( 1)n

n nfn nα

α + =+

.

Deplus,d’aprèsle1.b. nα >1donc ( )1 0n nf α + > c.Onadonc ( ) ( )1n n n nf fα α+ > ,lafonction nf étantalorsstrictementcroissantesur ] [0 ; +∞ ,onendéduitalorsque 1n nα α+ > .Eneffet,enraisonnantparcontraposée,onpeutdire:sionavait 1n nα α+ ≤ ,onaurait ( ) ( )1n n n nf fα α+ ≤ ,cequin’estpaspossible.Lasuite ( )nα estdoncstrictementcroissante.

d.lasuite ( )nα étantcroissanteetmajorée(parleréele,d’aprèsle1.b.),elleconvergeversunréelL.

4.a.Onsait(d’aprèsle1.b.),que1< 2α .Deplus 22(2) ln 2 1 ln 22

f = + − = donc

2 (2) 0f > etdonc 2α <2.

b.i. Étape1 Étape2 Étape3m 1,5 1,25 1,375a 1 1 1,25 1,25b 2 1,5 1,5 1,375

b–a 1 0.5 0,25 0,1251,5ln1,5 1 0,1552

+ − ≈ doncb m← 1,25ln1,25 1 0,1522

+ − ≈ − donc a m←

1,375ln1,375 1 0,0052

+ − ≈ doncb m←

0,125<0,2doncl’algorithmes’arrêteaprèsl’étape3.

ii.Àlafindel’exécutiondecetalgorithme,onadonca=1,25etb=1,375.Cetalgorithmeestceluideladichotomie:onadonc1,25< 2α <1,375

EXERCICE4Étudionslesvariationsdelafonction af surR.Pourtoutréela, af estdérivablesurRentantquesommed’unefonctionexponentielleetd’unefonctionaffinedérivablessurR.Pourtoutxréel, ' ( ) 2x a

af x e −= − .Onaalors:

' ( ) 0 2 0 2 ln2 ln2x a x aaf x e e x a x a− −= ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = +

' ( ) 0 2 0 2 car est strictement croissante surln2 ln

R2

x a x aaf x e e exp

x a x a

− −> ⇔ − > ⇔ >

⇔ − > ⇔ > +

Onendéduitque af estdécroissantesur ] ]; ln2a−∞ + etcroissante

sur[ [ln2 ;a + +∞ .Donc,pourtourréela,lafonction af possèdeunminimumen ln 2a + .

2.Leminimumde af vaut:ln 2( ) ( ln 2) 2( ln 2)a a a

ag a f a e a e+ −= + = − + + =2 2 2ln2 .aa e− − + VoyonssilafonctiongdéfiniesurRadmetunminimum: g estdérivablesurRentantquesommed’unefonctionexponentielleetd’unefonctionaffinedérivablessur ° .Pourtoutréela, '( ) 2 .ag a e= − +

'( ) 0 2 0 ln2'( ) 0 2 0 ln2 car est strictement croissante sur R

a

a

g a e ag a e a exp

= ⇔− + = ⇔ =

> ⇔− + > ⇔ >

Onendéduitquegestcroissantesur ] ]; ln2−∞ etdécroissantesur[ [ln2 ; +∞ .Donclafonctiongpossèdeunminimumen ln 2 .