8/14/2019 TF Triangles Semblables

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9 VSB Triangles isomtriques et triangles semblables Test formatif

GEOMETRIE

Problme 1:

Soit un triangle ABC rectangle en A. Par un point E du ct AC, on mne une perpendiculaire p BC. p coupe

BC au point D et le prolongement de BA en F.1) Dmontrer que les triangles AEF et ABC sont semblables.

2) Comment faut-il choisir le point E pour que [EF] soit gal la moiti de [bc] ?

Problme 2:

On donne [ MN] = 12, [NP] = 15, [RS] = 6, [RM] = 9,et [SN] = 13. Calculer [TP]

indice : Mener par M une parallle RT

Problme 3:

Enoncer et dmontrer le thorme dEuclide

Problme 4:

Quelle est l'aire et le primtre d'un trapze rectangle

ABCD dont les diagonales mesurent BD =26 cm et

AC = 51 cm, et qui a une hauteur de 24 cm ?

Problme 5:

Toutes les artes d'une pyramide base carre ont

mme longueur : 50 cm.

a) Calculer l'aire latrale et le volume de cette pyramide.

b) On entoure la pyramide dune ficelle situe au tiers de

la hauteur de la pyramide. Quelle est la longueur de

cette ficelle ?

Problme 6:

Soit un cerccle de centre O.

Sachant que = 20 et = 50, calculer la valeur des autres angles marqussur le croquis, en justifiant chaque fois votre rponse.

R

S

T

M

N

P

RM // SN // TP

S

A B

CD

EF

GH

MO

O

E

A

B

C

D

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CorrigProblme 1:

a) AFE EDC, car ils ont un angle oppos par le sommet en E et tous les deux un angle droit.

EDC ABC, car ils ont un angle commun en C et tous les deux un angle droit. On en dduit que

AFE ABC

b) Thales => [AE]/[EF] = [AB]/[BC] ou encore [AE] = [AB] . [EF]/[BC] = [AB] . 1/2 . Ainsi pour placer le

point E, il faut reporter sur AC et depuis A un segment de longueur moiti de celle du segment [AB].

Problme 2:

Mener par M une // RT. Soit X et Y les points dintersection avec

SN et TP. Comme RSXM est un paralllogramme, il vient que SX

vaut 9 et par soustraction,XN vaut 13 - 9 = 4

Les triangles MXN et MYP sont semblables. Par Thales:

YP

MP=XN

MNDonc

YP

27=

4

12=> YP = 9

TP = TY + YP = 9 + 9 = 18

Problme 3:

Th. dEuclide: Dans tout triangle ABC rectangle en A, les cathtes sont

moyennes gomtriques de lhypothnuse et de leur projection sur lhypothnuse.

Autrement dit, [AB]2 = [BH].[BC] et [AC]2 = [CH].[BC]

Preuve: Considrons c, le cercle de Thales du segment [AB]. Comme, il y a un angledroit en H, H appartient c.Comme il y a un angle droit en A, AC est tangent c. En appliquant le thorme du produit constant appliqu au

point C et au cercle c, il vient que [CA]2 = [CH].[CB].

En choisissant le cercle de Thales du segment [AC], on montrerait de mme que [AB]2 = [BH].[BC]

Problme 4:

On a [AB] = 24, [AC] = 51 et [BD] = 26.

Par Pythagore appliqu au ABC, il vient que [BC]2 = [AC]2 - [AB]2 = 512 - 242 = 2025=> [BC] = 45

Par Pythagore appliqu au ABD, il vient que [AD]2 = [BD]2 - [AB]2 = 262 - 242 = 100=> [AD] = 10 et par consquent, [BE] = 10 et [EC] = 35

Par Pythagore appliqu au DEC, il vient que [DC]2 = [EC]2 + [DE]2 = 352 + 242 = 1801 => [DC] = 42,44

Aire de ABCD =

(AD+ BC).AB

2 =

(10+ 45).24

2 = 660 et Primtre de ABCD = 24 + 45 + 42,44 + 10 = 121,44

Problme 5:

a) [SM] = [BS]2 [BM]

2= 2500 625 = 43,30 cm Aire lat. = 4 .

[BC].[SM]

2= 4330 cm2

Hauteur pyramide = [SO] = [SM]2 [OM]

2= 1875 625 = 35,36

Volume = Base . hauteur /3 = 2500 . 35,36 /3 = 29462,8 cm3

b) [SE] = 2/3 de [SA], Par Thales, [EF] = 2/3 de [AB] => Primtre EFGH = 4.2/3 . 50 = 133,33 cm

Problme 6

Par le th. angle inscrit,= = 50 = + = 90 => = 90 - 50 = 40 = 180 - = 180 - 110 = 70

X

Y

A

B H C

A

B C

D

E