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Propagation du son dans lair et dans la mer

Frdric Elie, novembre 2007

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clairement lauteur et la rfrence de larticle.

Dans cet article, voici une tude succincte de la propagation du son dans le milieu arien et dans le milieu sous-marin. Nous verrons que cette propagation nest pas souvent rectiligne : elle suit une courbe qui dpend des proprits dispersives du milieu. Lorsque lindice de rfraction, ou, si lon prfre, la vitesse du son, varie avec laltitude ou la profondeur suite notamment la prsence de gradients de temprature, et secondairement celle des gradients dautres grandeurs (par exemple la salinit pour la mer), le trajet des rayons acoustiques sincurve selon la loi de rfraction exprime en chaque point par la loi de Descartes.Une tude similaire a t prsente dans ce site pour lincurvation des rayons lumineux (voir article rfraction ). Bien que leurs formulations soient assez proches, les techniques pour obtenir les trajets sonores sont prsentes sparment pour le cas arien et le cas sous-marin.

Propagation du son dans lair Commenons par une observation simple... Vous avez probablement remarqu que, sur une surface chaude, en t, comme une plage ou un dsert de sable, le son se propage en suivant une succession de rfractions. On sen aperoit, par exemple, lorsquon parle dassez loin une personne allonge sur le sol : selon sa distance et notre hauteur, cette personne ne nous entend presque pas, voire pas du tout, mme si on hurle ! Pourquoi ?Lorsque notre bouche met un son dirig vers notre interlocuteur (ou interlocutrice) couch(e) sur le sol plusieurs mtres de nous, il suit un faisceau de trajectoires courbes : si la temprature varie de la surface du sol, o elle est maximale, en diminuant avec laltitude, on dmontre (voir plus loin) que les diffrents trajets sont des courbes dont la concavit est tourne vers le sol. Parmi les angles initiaux dmission du son, il en existe un qui est tel que le trajet est tangent au sol en un seul point. Au-del de cet angle, lorsque le son est un peu plus dirig vers le sol, celui-ci fait obstacle et arrte la propagation : il sensuit que tout rcepteur situ dans la zone situe au-dessous de cette courbe limite nentend pas le son mis ; il est dans la zone dombre acoustique.

Frdric lie, novembre 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 1/23

figure 1 trajet du son au-dessus dune surface chaude (les chelles de distance sont volontairement dformes):

Du fait de la variation de la vitesse du son avec laltitude, due lexistence dun gradient ngatif de temprature (le sol est plus chaud que lair), un son mis par une personne debout (altitude 1,70 m

environ) est en principe inaudible par une personne au sol place dans la zone dombre acoustique (au-del dune distance de 30 mtres, dans le cas de la figure, et une altitude infrieure celle de la courbe la

plus basse qui matrialise le son mis avec langle limite, 97 en loccurrence ici) Equation des rayons rfracts dans lair Lois de rfraction acoustique Lorsquun rayon acoustique incident atteint une surface o la vitesse du son change, il subit une rfraction dans le nouveau milieu : le rayon transmis fait avec la normale la surface un angle diffrent de celui de langle dincidence. Si lon choisit les axes de coordonnes comme sur la figure 2, et si la vitesse du son c(y) varie uniquement selon la verticale Oy, langle de rfraction et la vitesse sont relies par la loi de Descartes :

(1)

La constante est appele paramtre du rayon : il dpend de langle dincidence 0 qui, pour une vitesse initiale c0, dtermine un faisceau de rayons lorsque langle dincidence varie.


figure 2 rfraction un interface o la vitesse du son change, et choix des axes

Avec les axes et les angles compts comme sur la figure 2, langle dincidence varie dans le domaine : 0 pi. Si ds est llment de longueur lmentaire du rayon acoustique, on a :

(2)

Or daprs (1) :

nous obtenons donc lquation diffrentielle de la trajectoire :

qui permet, en principe de calculer la trajectoire y = y(x) si lon connat la loi de variation de la vitesse du son avec laltitude c(y). En levant au carr cette quation diffrentielle et en drivant de nouveau par rapport x, on obtient encore :


o lon a introduit lindice de rfraction du milieu : n(y) = c0/c(y), et le gradient dindice dn/dy. Remplaant le paramtre de rayon par sa valeur, lquation prcdente scrit aussi :

(3)

Cette expression (3) se simplifie si lon considre, en premire approximation, que lindice reste peu diffrent de lunit, et pour des rayons mis verticalement (0 = pi/2) :

Introduisant le gradient de vitesse g(y) = dc/dy, le calcul du gradient dindice dn = -c0/c(y).dc/dy permet de rcrire lquation (3) sous la forme :

(4)

La vitesse du son peut varier avec laltitude parce quelle est lie la temprature de lair, donc la densit de celui-ci, qui varient avec laltitude. En effet on sait que la vitesse du son est relie la masse volumique du gaz par :

o c0 et 0 sont la vitesse du son et la masse volumique de lair aux conditions standard : c0 = 331 m/s, et 0 = 1,29 kg/m

3 pour T0 = 273 K (0C), pression P0 = 1013 hPa. Sous pression constante, la masse volumique et la temprature sont relies par :

o la temprature T(y) varie avec laltitude selon les conditions atmosphriques. Par consquent :

(5)


Ainsi, le son se propage plus rapidement quand il fait chaud que quand il fait froid. De (5) il rsulte que le gradient de vitesse du son est directement reli au gradient de temprature dT/dy :

Pour de faibles gradients de temprature, ce qui est souvent le cas prs du sol, le produit T0T(y) reste de lordre de T0, et lexpression prcdente se simplifie en :

(6a)

Pour les mmes raisons, dans lquation des rayons (4) la vitesse du son peut tre maintenue du mme ordre que c0, ce qui donne :

(6b)

Les quations (6) montrent que, dans le cas dun gradient de temprature constant (la temprature varie linairement avec laltitude, augmentant ou diminuant avec elle), les trajectoires acoustiques sont des arcs de paraboles dont la concavit dpend du signe du gradient, et qui sont paramtres par langle initial 0 que fait le rayon avec la verticale.Pour une atmosphre isotherme (temprature constante quelle que soit laltitude), g = 0 : les rayons acoustiques sont des droites partant de la mme source et dinclinaisons 0. Dans ce cas, il nexiste pas de zone dombre car tout point du sol est atteint par lune des droites issues de lorigine. Calcul des rayons acoustiques en gradient constant Calculons les trajets acoustiques dans le cas simple dun gradient de temprature constant :

le gradient a = dT/dy pouvant tre positif ou bien ngatif. Les quations (6) scrivent alors :

(7)

Lintgration de (7) aboutit un arc de parabole :


Les coefficients A et B sont dtermins par les deux conditions initiales :

- la parabole passe par le point de coordonnes (0, y0) : x = 0 y = y0 donc B = y0 ;

- la tangente en ce point de la courbe est celle de langle initial 0 :

Lquation cartsienne du rayon acoustique est, en dfinitive :

(8)

La concavit de la parabole dpend du signe du gradient thermique a : si a > 0 la parabole est tourne vers le haut, si a < 0 elle est tourne vers le bas. En langage plus mathmatique, cela revient dire que pour a > 0 lannulation de la drive de (8) correspond un maximum, tandis que pour a < 0 elle correspond un minimum de y(x) :La drive sannule en un point de coordonnes (xm, ym) o

(9) Pour a > 0, on a ym > 0 quel que soit langle initial 0 0 pi et ym est suprieur y0 : cest un maximum.Pour a < 0, par contre, on a ym > 0 si langle initial vrifie la condition

au-del, ym est situ au-dessous de lhorizontale Ox. Pour a < 0, ym est infrieur y0 : cest un minimum. A la limite, pour un angle initial 0m tel que lon ait cos 0m = -a y0 / T0, la parabole tangente laxe Ox en xm. Nous avons dj vu, la figure 1 le cas dune trajectoire sonore pour un gradient thermique ngatif a < 0. Dans la figure 3 ci-aprs, un cas de gradient positif est donn :


figure 3 faisceau de rayons acoustiques en configuration gradient thermique positif (cas qui se rencontre parfois en moyenne altitude)

pour des angles initiaux la source compris entre 5 et 7 Cas dun changement du gradient thermique (existence dun coude ) Il peut arriver que le gradient de temprature change en signe et en valeur une certaine altitude : on a affaire un coude dans la variation de la temprature en fonction de laltitude parce que, cette altitude, le nouveau profil linaire de temprature fait un angle avec le profil prcdent. A partir dun point K de la courbe situ laltitude du coude , le rayon change de courbure. Soit yK laltitude du coude. Pour les altitudes y < yK le gradient de vitesse du son est g1 (a1 = (dT/dy)1 pour la temprature) et pour y > yK les gradients sont g2 et a2 = (dT/dy)2. Ils peuvent tre positifs ou ngatifs. Pour y < yK lquation des rayons est donne par (8) et donne une parabole (P1):

(9)

Pour y > yK elle est donne par (8) mais avec lorigine prise au coude K, donc partir de son abscisse xK ; en outre langle initial cette nouvelle origine nest plus 0 mais est langle K que fait la tangente de la courbe (P1) en K avec la verticale Oy. La temprature correspondant la nouvelle origine K est TK. On a donc pour le nouvel arc parabolique (P2) :


(10)

Il nous faut donc dterminer TK, K et xK : - La temprature au coude K est tout simplement dduite de celle lorigine, T0, par le gradient a1 :

(11)

- Labscisse de la nouvelle origine K est dtermine en crivant que le point K appartient aux deux paraboles, donc pour x = xK on galit de (9) et (10) :

cest une quation du second degr dinconnue xK dont les racines sont :

(12)

On ne retiendra que la racine positive, laquelle dpend du signe du gradient, de la diffrence daltitude (y0 yK) entre lorigine (lmetteur du son) et le coude K, et du signe de sin 20. En pratique cela revient choisir le max des deux racines. - langle K est calcul par la tangente en K de la courbe (9) :

(13)

o xK est donne par (12). En figure 4 est donn un exemple de trajets acoustiques mis dune hauteur y0 = 70 m, avec changement dun gradient positif (dT/dy)1 = 1C/m un gradient ngatif (dT/dy)2 = -1C/m au coude daltitude 50 m :


figure 4 trajets acoustiques avec changement de gradient positif en ngatifLa droite bleue reprsente le profil de temprature pour (dT/dy)1, la droite blanche pour (dT/dy)2.

La droite horizontale blanche permet de reprer laltitude du coude K Calculez vous-mmes !... En cliquant sur le lien ci-aprs vous pourrez obtenir des tracs du mme type en entrant les grandeurs suivantes : altitude y0 de la source sonore, altitude yK du coude, la vitesse du son c0 et la temprature T0 laltitude de la source, les gradients thermiques a1 = (dT/dy)1 et a2 = (dT/dy)2 pour les couches de latmosphre de part et dautre du coude, et diffrents angles dmission 0 qui vont dterminer les sries de rayons acoustiques (il y a cinq sries).Ce petit fichier excel calcule alors, selon les quations ci-dessus, les abscisses xK du coude, les angles K des rayons au coude et les tracs des rayons acoustiques pour chaque valeur de 0.En labsence de changement de gradient (pas de coude) entrer yK = y0 et a1 = a2.

tracs des rayons acoustiques dans lair

Propagation du son dans leau Gnralits La temprature de leau de mer nest pas toujours uniforme : elle change avec la profondeur. On dit que la bathy est iso lorsque la temprature est uniforme sur une plage de profondeurs. On dmontre dans ce cas que la vitesse du son dans leau varie de manire linaire avec la profondeur (gradient de vitesse constant). Dautres facteurs que la temprature influencent directement la vitesse du son : la salinit et limmersion. La salinit, comme la


temprature, modifie la masse volumique de leau ; or celle-ci intervient directement dans la dfinition de la vitesse du son dans leau. Limmersion (ou la profondeur), quant elle, dtermine la pression hydrostatique, laquelle intervient aussi dans la vitesse du son.On montre que la vitesse du son dans un milieu fluide (liquide ou gaz) de masse volumique et soumis une pression P est toujours dfinie par :

Mais sa dpendance vis--vis des grandeurs caractristiques du milieu (masse volumique, pression, temprature...) nest pas la mme selon quil sagisse de liquide ou de gaz. Plus prcisment on montre que, dans un liquide, la vitesse du son ne vrifie pas la relation (5) applicable un gaz parfait, mais est dfinie par :

o B est le module dlasticit ( bulk modulus ) du liquide, dfini comme tant linverse du coefficient de compressibilit adiabatique :

Lorsque c varie dun point lautre du milieu, on dit que le milieu est dispersif : les rayons sonores ne suivent alors pas une ligne droite mais sincurvent, comme on la vu dans le cas arien.Lautre point commun avec le milieu arien est que la loi de rfraction (1) est aussi valable en milieu liquide. Cest dailleurs partir delle que lon peut tablir les rayons acoustiques sous-marins, la mer tant un milieu dispersif. Mais lanalogie sarrte l car, comme je viens de le dire, la relation entre la vitesse du son c et les proprits et points du milieu est trs diffrente de celle du cas arien. En fait, nous allons dmontrer que, dans la mer, en premire approximation, les rayons suivent des arcs de cercle (et non de parabole comme dans lair). Il existe de nombreuses relations donnant la vitesse du son en fonction des grandeurs du milieu (temprature T en C, salinit S en ppm (partie par millier), lesquelles leur tour varient aussi avec la profondeur y (en mtres, compte ngativement). Citons les principaux : - formule dite classique (celle que jadopterai par la suite) :

(14) - formule de Claude Leroy (minent spcialiste que jai eu lhonneur de connatre chez Thomson-Sintra, Aubagne) :


- formule de H. Medwin :

- formule de K. V. Mackenzie :

A cause de la courbure des rayons acoustiques sous-marins, dans certaines conditions des zones dombre acoustique existent rendant impossible la dtection par sonar de surface dune source acoustique tapie dans ces zones. Cest une des raisons pour laquelle, pour saffranchir des zones dombre, on emploie des sonars installs dans des corps remorqus une profondeur suffisante depuis les bateaux de surface. Dans tout ce qui suit, je me limiterai au cas dune mer stratifie verticalement selon des couches paisses o le gradient de vitesse du son est linaire ; et je ne tiendrai pas compte, dans le calcul des rayons acoustiques, des effets dabsorption et de diffusion des ondes sonores, ces aspects ncessitant des dveloppements assez complexes. Equation des rayons acoustiques dans leau Avec la mme orientation gomtrique adopte pour le cas de lair, les rayons acoustiques sous-marins suivent la mme loi de Descartes (1) :


langle tant compt entre la verticale Oy et la tangente au rayon, dans le sens des aiguilles dune montre : gal 0 quand la tangente est sur laxe Oy dirige vers le haut, gal 90 si elle est horizontale dirige dans le sens Ox positif, gal 180 si elle est sur laxe Oy dirige vers le bas (figure 5).

figure 5 gomtrie du problme A partir des relations :

on obtient :

compte tenu de la valeur de = sin 0 /c0 qui introduit une dpendance paramtrique en 0 pour une immersion donne de la source sonore, lexpression prcdente aboutit lintgration :

(15)


qui est gnralement difficile calculer. Avec exactement le mme raisonnement que celui employ dans le cas arien, nous arrivons la mme quation diffrentielle (4) qui fait intervenir le gradient de vitesse g(y) :

(4) mais elle nest pas plus facilement calculable que (15) dans le cas gnral. Si lon se souvient, en mathmatiques, que toute courbe diffrentiable est localement tangente un cercle, dit cercle osculateur, dont le rayon est, par dfinition, le rayon de courbure de la courbe au point de tangence, alors une faon de sen sortir consiste dterminer le rayon de courbure des tracs acoustiques en chacun de leurs points et de reconstruire ces tracs comme une succession darcs de cercle ayant pour rayons ces rayons de courbure. Les points de raccordement de ces arcs seront, comme on va le voir, les points o le gradient de vitesse change, cest--dire les coudes .Dans la suite, je vais dabord calculer le rayon de courbure en chaque point dune trajectoire acoustique : nous verrons quil est simplement li au gradient de vitesse du son ; puis je considrerai les cas trs simples, mais trs pratiques, o les gradients restent constants sur des plages dimmersion importantes, et nous verrons comment se raccordent deux arcs de cercle pour reconstituer le trac acoustique.La mthode, bien qutant une simplification abusive de la propagation acoustique sous-marine, est instructive dans le principe car elle indique ce qui se passe entre deux coudes conscutifs du profil de vitesse. Or dans la ralit, le profil de vitesse est une succession de coudes trs rapprochs, voire infinitsimalement rapprochs ; de sorte que lapplication de ce principe chaque coude du profil obtenu par discrtisation de celui-ci, fournit une mthode de calcul des tracs. Rayons de courbure des tracs acoustiques Reportons-nous la figure 5.Par dfinition le rayon de courbure en un point de coordonnes (x, y) de la courbe de longueur lmentaire ds est :

Or : ds = dy/cos , et la diffrentiation de la loi de Descartes (1) donne : cos d = dc(y). Comme le gradient de vitesse est g = dc/dy, le rayon de courbure scrit simplement :

ainsi, le rayon de courbure dpend de limmersion y, par lintermdiaire du gradient de vitesse du son g(y), et est paramtr par langle dmission du son :


(16) On a donc le rsultat important suivant :En acoustique sous-marine, si le gradient de vitesse du son est constant (g = constante), autrement dit, si la vitesse du son varie linairement avec la profondeur, les rayons acoustiques sont des arcs de cercle dont le rayon R dpend de langle initial 0 sous lequel le son a t mis depuis la source (R est grand si cet angle est proche de 0 ou de 180, et est petit sil est proche de 90). Comme jai adopt les immersions correspondant y < 0, lorsque la vitesse du son augmente avec la profondeur, jai un g < 0 (et vice versa quand c diminue avec la profondeur). En fait, dans la littrature, il est convenu dorienter laxe Oy vers le bas de sorte que lon a y > 0 pour les immersions, et lon a par consquent un gradient positif lorsque c augmente avec la profondeur. Je nai pas suivi cette convention ici : il suffira alors, lorsque jemploie g < 0, de dire quil sagit dun gradient positif de vitesse, et lorsque g > 0, quil sagit dun gradient ngatif ! Cette remarque faite, la relation (16) montre que pour g < 0 (gradient positif ), le rayon de courbure est ngatif, donc la courbe de concavit tourne vers le bas dans mon orientation daxe Oy (orientation somme toute celle dun repre direct) ; et inversement, pour g > 0 (gradient ngatif ), R est est positif, donc la courbe de concavit tourne vers le haut (figure 6).

figure 6 rayons de courbure des tracs acoustiques selon le gradient de vitesse du son Tracs acoustiques sous-marins avec changement de gradients de vitesse linaires ( coude ) Dans ce qui suit, le cas de deux profils linaires de vitesse du son changeant au niveau du coude K dimmersion yK est prsent.Je prsente, pour chaque angle initial 0, lquation du premier arc circulaire correspondant


un gradient g1, la position du point K de coordonnes (xK, yK), le calcul de son abscisse xK ncessitant quelque prcaution, ainsi que lquation du second arc de cercle correspondant au gradient g2, qui se raccorde au premier en K.Jexaminerai ensuite les deux cas suivants :

- celui o g1< 0 (gradient positif ) est suivi de g2 > 0 (gradient ngatif ) : il existe dans ce cas une zone dombre acoustique qui limite la porte de dtection des sonars (porte limite) que je calculerai ;

- celui o g1 > 0 (gradient ngatif ) est suivi de g2 < 0 (gradient positif ) : lorsque, aprs avoir parcouru larc de cercle (C2), le rayon acoustique atteint limmersion yK du coude, il remonte et se rapproche de la surface ; on parle alors de rsurgence du rayon sonore mis par la source dimmersion y0. La distance de rsurgence peut tre calcule aisment ; un rcepteur prs de la surface plac cette distance de la source immerge mme profondment peut dtecter le son mis par celle-ci. Cette possibilit est exploite en dtection sous-marine.

Trac des rayons acoustiques depuis la source dans un gradient de vitesse du son g1 Reportons-nous la figure 7 qui illustre la gomtrie du problme.

figure 7 cas dun seul changement de gradient en KLe rayon acoustique parcourt le trajet AKB

Soit R1 le rayon du cercle, passant par la source de coordonnes (0, y0), correspondant au premier gradient de vitesse g1. Le centre de ce cercle a pour coordonnes C1 (x1, y1). Un calcul lmentaire de trigonomtrie montre que celles-ci sont :


(17) o R1 est calcul par (16) pour ce gradient et cet angle initial :

(18) Lquation du cercle est :

ce qui conduit exprimer y en fonction de x avec une ambigut sur le signe :

Cette ambigut est leve en crivant que le cercle passe par la source de coordonnes (0, y 0). La figure 7 montre en effet quen x = 0 :

Lquation de la trajectoire sonore est en dfinitive, pour cette partie :

(19) Il faut dterminer labscisse xK du point K o seffectue le changement de courbure du rayon acoustique. Abscisse du point K o seffectue le changement de courbure du rayon acoustique Le point K appartient au cercle de centre C1 et de rayon R1. Son ordonne yK tant donne, on serait tent dinverser (19) pour exprimer xK en fonction de yK sans plus de prcaution. En fait on a cette inversion avec une ambigut de signe :


La leve de cette ambigut doit tenir compte de limmersion relative de la source et du coude K. En effet :

- si lon choisit :

alors xK < x1 si R1 < 0 auquel cas K est au-dessous de A (source), donc : yK y0 < 0 ;ou xK > x1 si R1 > 0 auquel cas K est au-dessus de A, donc : yK y0 > 0

- si lon choisit :

alors xK > x1 si R1 < 0 auquel cas K est au-dessus de A, donc : yK y0 > 0 ;ou xK < x1 si R1 > 0 auquel cas K est au-dessous de A, donc : yK y0 < 0 Conclusion : quel que soit le signe de R1, on a :

(20) Ainsi, il faut dabord regarder les immersions relatives de la source A et du coude avant de calculer la position de K. Nous avons besoin maintenant de dterminer langle du rayon acoustique au point K qui servira de nouvel angle initial pour calculer le rayon du deuxime arc de cercle qui correspond au nouveau gradient de vitesse. Angle K de la tangente au point K du trajet acoustique correspondant au premier gradient g1 La tangente de cet angle est immdiatement donne par la drive en K de la courbe y = y(x) exprime par (19) :


(21) Remarquons que : tan K > 0 si 0 K pi/2 et tan K < 0 si pi/2 K pi.Langle K intervient dans le rayon de courbure R2 du deuxime arc de cercle qui suit le point K :

(22) Les nouvelles conditions initiales pour le deuxime cercle tant prises en K, la vitesse du son considrer est cK = c(yK). Celle-ci est dduite de la vitesse du son la source grce au premier gradient :

soit :

(23) Le sinus intervenant dans lexpression (22) se calcule aisment partir de (21) :

(24) qui est toujours positif puisque 0 K pi. Trac des rayons acoustiques depuis le coude (K) dans un gradient de vitesse du son g2 A partir du point K les rayons acoustiques, qui arrivent avec un angle dincidence K, suivent un deuxime arc de cercle de rayon R2 et de centre C2 (x2, y2). Se reporter la figure 7 pour les conventions gomtriques.Les coordonnes du centre C2 sont :


(25) o sin K est donn par (24) et cos K sobtient partir de (24) et (21) par :

(26) Tout comme pour le premier arc de cercle, lquation du deuxime cercle est affecte dune ambigut de signe :

Le signe est dtermin en crivant que le deuxime cercle passe par K : x = xK y = yKEn utilisant (20), tout comme prcdemment on trouve comme quation du deuxime cercle :

(27) Cne dombre et porte limite Dans le cas o un gradient ngatif succde un gradient positif (cest--dire lorsque g2 > 0 succde g1 < 0, selon la convention adopte dans cet article), et pour un angle initial 0m (dit angle limite ) tel que lon ait au coude K = pi/2 (tangente horizontale en K), il apparat une zone dombre partir de K (voir figure 8).En effet lorsque le rayon acoustique arrive en K, il sinflchit vers le bas, par consquent toute cible ou source sonore place au-del de K, mais situe au-dessus du deuxime arc de cercle de rayon R2 > 0 (toujours selon lorientation adopte ici) ne pourra pas tre dtecte ou insonifie par lmetteur (ou rcepteur) A situe limmersion y0.Il sensuit que la distance entre K et A est une distance limite de dtection (ou porte limite) : elle est donne par labscisse xK du point K.Dans cette configuration les deux cercles, tangents en K, sont le premier au-dessus du second, leurs centres et K sont aligns sur la mme verticale dabscisse xK.


figure 8 cne dombre acoustique La porte limite est donc :

et daprs la valeur de R1 :

(28) La valeur de la porte limite est bien positive puisque g1 < 0 et 0m > 90 (donc tan 0m < 0).Calcul de langle limite : De K = 90 on tire 1/tan K = 0 donc x1 = x2, donc daprs (20), ((yK y1)/R1) = 1.Or yK - y1 = (yK - y0) + (y0 - y1) = (yK - y0) + R1 sin 0m = R1 = c0 /(g1 sin 0m), do :


(29) Rsurgence Cette fois, lorsque g2 < 0 succde g1 > 0, le trajet acoustique peut passer au moins deux fois limmersion du coude yK et donc changer de courbure (figure 9). Aprs avoir parcouru les deux premiers arcs de cercle de rayons respectifs R1 et R2, il aborde le troisime arc de cercle en K, de mme immersion que yK, sous un angle K que je vais calculer, et dont le rayon R3 dpend de ce dernier. En un point B distant de R3, situ au-dessus de C3 sur la mme verticale, donc de mme abscisse x3 que C3, il est donc possible de dtecter le son mis depuis la source initiale A. Il y a rsurgence en B du rayon sonore mis par A, et x3 est la distance de rsurgence.Je propose ici de calculer cette distance de rsurgence ainsi que la profondeur maximale du point F par lequel passe le rayon acoustique que lon peut dtecter depuis B.

figure 9 principe de la rsurgence dun rayon acoustique Calcul de x3 : on est dans le cas yK - y0 < 0, donc


Des relations (25), (17) et de : il vient pour xK :

Par ailleurs, lapplication de (21) en K donne :

qui, compte tenu de (25), devient :

(30) ce qui montre que, puisque K > pi/2, on a : K = pi - K < pi/2.De (21) et de (23) on tire aussi :

Comme tan K < 0, cest le signe - qui est retenu, donc :

On a aussi :

Finalement, la distance de rsurgence est :


(31) Calculez vous-mmes !... En cliquant sur le lien ci-aprs vous pourrez obtenir des tracs du mme type en entrant les grandeurs suivantes : immersion y0 de la source sonore, immersion yK du coude, la vitesse du son c0 limmersion de la source, les gradients de vitesse du son g1 = (dc/dy)1 et g2 = (dc/dy)2 pour les couches de locan ou de la mer de part et dautre du coude, et diffrents angles dmission 0 qui vont dterminer les sries de rayons acoustiques (il y a cinq sries).Ce petit fichier excel calcule alors, selon les quations ci-dessus, les abscisses xK du coude, les angles K des rayons au coude et les tracs des rayons acoustiques pour chaque valeur de 0.En labsence de changement de gradient (pas de coude) entrer yK = y0 et g1 = g2.

tracs des rayons acoustiques dans leau

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