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Chapitre 2 TRANSFERTS EN COUCHES LIMITES TURBULENTES AVEC EFFUSION DE GAZ

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  • Chapitre 2

    TRANSFERTS ENCOUCHES LIMITES TURBULENTES

    AVEC EFFUSION DE GAZ

  • 57

    Les transferts de masse, de quantit de mouvement et de chaleur dans une couche

    limite turbulente soumise de l'effusion de gaz sont d'une grande importance pour le contrle

    des coulements paritaux et la protection thermique des parois. Les possibilits de rduction

    du frottement et de l'change convectif entre le fluide et le milieu poreux en font un sujet trs

    tudi. Aussi dispose-t-on d'un important nombre de travaux, tant exprimentaux que

    numriques, sur ce sujet.

    Dans un premier temps, sont prsents les principaux rsultats de la littrature

    concernant les couches limites dynamique et thermique avec effusion. Aprs avoir effectu

    une synthse historique des recherches menes sur ce thme, nous dtaillons quelques

    rsultats. L'volution des coefficients de frottement et d'change convectif en fonction du taux

    d'injection retient particulirement notre attention. Cependant, les modlisations disponibles

    dans la littrature ont souvent recours des corrections empiriques pour tenir compte de l'effet

    de l'injection. De plus, toutes les configurations n'ont pas t examines. Nous avons donc

    men notre propre exprimentation et modlisation.

    Les rsultats des ces tudes exprimentale et numrique, menes en parallle, sont

    ensuite prsentes. L'tude numrique, dcrite au paragraphe 1.3, est tendue aux couches

    limites soumises de l'effusion. La comparaison avec nos rsultats exprimentaux, obtenus

    sur le banc d'essais dcrit au paragraphe 1.2, ou issus de la littrature est ensuite effectue.

    Pour diffrents taux d'injection, des profils de vitesses et de temprature au-dessus de la

    plaque poreuse, mesurs ou calculs, sont fournis. L'effet de l'injection de gaz frais y est

    notable tant d'un point de vue dynamique que thermique. De plus, la modlisation des couches

    limites permet de prdire l'volution des transferts de quantit de mouvement et de chaleur en

    fonction notamment du dbit de gaz inject.

    2.1. Bibliographie des transferts en couche limite avec effusion

    2.1.1. HistoriqueL'intrt pour les couches limites turbulentes avec effusion remonte aux annes 1950.

    Les tudes "pionnires" de Rubesin (1954) et de Dorrance et Dore (1954) ont trait aux aspects

    thoriques alors que les tudes exprimentales ont commenc avec les travaux de Mickley et

    al. (1954) et Leadon et Scott (1956). Les annes 1960, ont donn lieu des contributions

  • 58

    britanniques (Stevenson 1964, Bradshaw 1967) et sovitiques (Romanenko et Karchenko

    1963, Kutateladze et Leontiev 1964).

    En 1965, Kays et ses collaborateurs du dpartement de gnie mcanique de l'universit

    de Stanford ont dbut une tude exprimentale complte des couches limites turbulentes

    incompressibles et bidimensionnelles avec effusion d'air. Les carts de temprature entre

    l'coulement potentiel et le gaz inject tant faibles, l'hypothses de proprits constantes a pu

    tre retenue. Les diffrents thmes tudis sont les suivants (dans l'ordre chronologique) :

    - transferts de chaleur pour un taux d'injection constant (Moffat et Kays 1968),

    - coefficient de frottement pour un taux d'injection constant ou variant faiblement (Simpson et

    Whitten 1968 et Simpson et al. 1969),

    - nombre de Prandtl turbulent avec effusion ou succion - aspiration de la couche limite -

    (Simpson et al. 1970),

    - caractrisation thorique des couches limites en prsence d'effusion (Simpson 1970),

    - transferts thermiques pour un coulement fortement acclr (Kays et al. 1970),

    - transferts de chaleur pour un taux d'injection discontinu (Whitten et al. 1970),

    - transferts de quantit de mouvement pour un coulement acclr (Julien et al. 1971),

    - coefficient de frottement pour un taux d'injection discontinu (Simpson 1971),

    - transferts de quantit de mouvement pour un coulement soumis un gradient dfavorable

    de pression (Andersen et al. 1975),

    - transferts thermiques sur parois rugueuses (Moffat et al. 1978).

    Enfin, Kays (1972) et Moffat et Kays (1984) ont synthtis une partie de ces travaux.

    Paralllement, l'effusion de gaz chimiquement diffrents du fluide de l'coulement

    principal a t tudie exprimentalement par Romanenko et Kharchenko (1963) d'une part,

    Baker et Launder (1974a, 1974b) d'autre part, et numriquement par Landis et Mills (1972).

    Par ailleurs, notons l'importante synthse de Jeromin (1970) qui a rpertori un grand nombre

    d'tudes exprimentales. Ce panorama a t complt par Campolina Frana (1996). On

    constate que les carts de temprature entre l'coulement principal et le gaz inject sont

    relativement faibles (10 20 K) dans ces tudes exprimentales l'exception de celle de

    Romanenko et Kharchenko (1963) (cart de 100 K).

    Les couches limites turbulentes pour un coulement compressible avec effusion ont,

    quant elle, fait l'objet de nombreuses tudes l'universit de Cambridge. Ces tudes ont

    port essentiellement sur la dtermination de lois de paroi (Jeromin 1968, Squire 1969) et de

    coefficients de frottement (Silva Freire 1988). Plus rcemment, Silva Freire et al. (1995) ont

  • 59

    approfondi l'tude thorique des lois de paroi et de sillage pour des coulements

    compressibles en utilisant une mthode de dveloppements asymptotiques.

    Outre les lois de paroi couramment utilises (Stevenson 1968, Simpson 1970, Squire

    1969, Silva Freire et al. 1995), des modlisations l'aide de longueur de mlange ont t

    mises en oeuvre (Kays 1972, Landis et Mills 1972). D'autre part, la modlisation " bas

    nombre de Reynolds" des coulements turbulents avec transfert de masse parital a t

    conduite par So et Yoo (1987), Shima (1993) (modle RSM avec injection ou aspiration) et

    par Campolina Frana et al. (1998) (modle de Lam-Bremhorst avec correction de Yap).

    Les rsultats exprimentaux et numriques concernant les coulements paritaux avec

    effusion de gaz sont donc nombreux et il n'est pas envisageable d'en dresser une liste

    exhaustive dans le cadre du prsent mmoire. Cependant, le calcul des coefficients de

    frottement et d'change thermique entre l'air en coulement et la paroi poreuse revt un intrt

    particulier pour notre tude. Les principaux rsultats concernant leur dtermination sont donc

    examins de faon dtaille, ainsi que ceux concernant les modifications dues l'effusion des

    profils de vitesses proximit des parois.

    2.1.2. Dtermination des coefficients de frottement et d'change thermiqueLes tudes exprimentales sur les coulements turbulents avec injection ont permis

    d'obtenir de nombreux rsultats que l'on peut exprimer sous forme de corrlations.

    L'analyse la plus simple consiste ngliger, dans la couche limite avec effusion, les

    variations longitudinales de la vitesse longitudinale. En adoptant cette hypothse et en

    considrant les proprits du fluide comme constantes, on montre que les quations de

    continuit et de quantit de mouvement prennent la forme suivante dans le cas d'un

    coulement bidimensionnel :

    dU

    dx2

    20= (2.1)

    ( )U dUdx

    d

    dx

    dU

    dxt21

    2 2

    1

    2= +

    (2.2)

    Rsolues simultanment avec une condition de vitesse de l'coulement secondaire

    uniforme le long de la paroi, ces deux quations aboutissent l'expression suivante du

    coefficient de frottement :

  • 60

    C B

    B U

    dxf f

    f e t2

    1 1

    1

    2

    0

    1

    = ++

    ln( )

    (2.3)

    o BF

    Cf f= 2 et est l'paisseur de la couche limite.

    Mickley et al. (1954) ont estim, en premire approximation, que les volutions de la

    viscosit turbulente et de l'paisseur de couche limite se compensent si l'injection varie de

    sorte que la valeur de l'intgrale dans l'quation (2.3) est indpendante du taux d'injection.

    Cette hypothse permet l'obtention dune corrlation simple reproduisant correctement des

    rsultats exprimentaux :

    C

    C

    B

    Bf

    f

    f

    fx

    01

    1

    Re

    ln( )= + (2.4)

    Les mmes hypothses sont applicables dans le bilan d'nergie et une expression

    similaire du nombre de Stanton est obtenue (Rubesin et al. 1985) :

    St

    St

    B

    Bx

    01

    1

    Re

    ln( )= + (2.5)

    B est un paramtre thermique dinjection dfini par BF

    St= .

    Dans les relations (2.4) et (2.5) St0 et Cf0 / 2 sont, respectivement, le nombre de

    Stanton et le coefficient de frottement pour lcoulement sans injection. Ils sont donns par les

    relations (1.44) et (1.45) dfinie au chapitre 1 (pour mmoire : Cf

    x0 0,2

    20 0295

    1= , Re et

    St x00,2 0,40 0295

    1= , Re Pr ).

    Dans le cas des coulements sur plaque plane poreuse avec temprature de paroi et

    vitesse dinjection uniformes, Moffat et Kays (1968) obtiennent des nombres de Stanton

    exprimentaux partir dun bilan thermique effectu sur la plaque poreuse. Notons que le

    banc d'essais utilis dans cette tude prsente une injection secondaire ds l'entre de la veine

    d'essais o se dveloppe la couche limite. Moffat et Kays (1968) observent que la corrlation

  • (2.5) est en trs bon accord avec les rsultats exprimentaux obtenus dans un domaine de

    variation du nombre de Reynolds de 1 O5 2 1 O6 et pour un taux dinjection infrieur 1 %

    (figure 2.1, o F > 0 correspond de linjection et F < 0 de laspiration). Dans cette tude, les

    auteurs montrent que pour un taux dinjection proche de 1 % et un nombre de Reynolds

    denviron 106, le dcollement de la couche limite thermique se produit. Ce dcollement est

    caractris par une annulation des changes convectifs entre la paroi poreuse et lcoulement

    parital (figure 2.1). Constatons dores et dj lefficacit de ce procd de protection

    thermique puisque le taux dinjection requis pour atteindre une protection optimale est trs

    faible.

    oi4

    OI2St

    1 w 10-:Oi8

    Oj6

    oi

    _--Of0024

    l5 2 4 6 loD 2 4- - --_Req . 0) ou aspiration (F < 0);

    A et Sse rfrent des exprimentateurs diffrents (Moffat et Kays 1984).

    Stevenson a analys des rsultats exprimentaux, compris dans le domaine 1000 < Ree

    < 6000, de cinq auteurs et a aboutit la corrlation (2.11) pour la loi de paroi avec injection

    (White 199 1).

    ) -I] = $n(y+)+A (2.11)

    V

    o les constantes K et A sont respectivement gales 0,4 et 5,5, y+ = -X2Ur et v+ - fV

    w-u lz

    65

  • Constatant des carts entre la loi de Stevenson et ses propres resultats exprimentaux,

    Simpson (1970) a corrig cette premire loi et a propos lquation (2.12) valable pour

    30 < y+ < 100. Il insiste sur la difficult obtenir des mesures prcises de coefficients de

    frottement, ce qui rend dlicate lobtention des lois de parois.

    2-[(l+vGU+)+-(I+lIv$]=+i[$Jv;

    (2.12)

    Par ailleurs, Simpson et al. (1970) tudient lvolution du nombre de Prandtl turbulent

    dans la couche limite en fonction du taux dinjection. Leurs rsultats sont obtenus laide de la

    mesure des champs moyens de vitesse et temprature, puis en comparant localement le

    gradient de temprature moyenne au flux thermique diffusif obtenu grce aux quations de

    bilan moyennes. Simpson et al. (1970) montrent que le nombre de Prandtl turbulent nest pas

    modifi par linjection de gaz frais dans la majeure partie de la couche limite (figure 2.5).

    ah A8

    x 0 00

    *+ = 0*= 0 Oj? 3

    * \ e 973

    A Mton value * %3rB Jenkins mode1 , 8 ~0 tt

    d : f : ::- i : ;LtHt: : : :f:--:- - - Uncefiainty envelope d y- : 3+-J10 10 102 103 104

    Y+

    [email protected] 2 3 83177 . .4 1 4 14 2 8 65 4 0 0 I

    Fig. 2.5 Nombre de Prandtl turbulent pour diffrents taux dinjection,

    Br = 2 F/Cf (Simpson et al. 1970)

    Ainsi, le comportement des coulements turbulents avec injection paritale a fait

    lobjet de nombreux travaux. On peut particulirement retenir les rsultats suivants :

    - le frottement fluide - paroi ainsi que les changes convectifs diminuent fortement avec le

    taux dinjection,

    66

  • 67

    - le coefficient de frottement et le nombre de Stanton peuvent s'exprimer en fonction de

    caractristiques locales de l'coulement (taux d'injection, paisseurs de quantit de

    mouvement et d'enthalpie),

    - le profil des vitesses adimensionnelles est considrablement modifi par l'effusion et peut

    tre dcrit par des lois de parois corriges.

    Les diffrentes caractristiques dcrites dans la littrature sur les coulements

    paritaux avec injection pourront tre utilises, par la suite, comme lments de comparaison

    et de validation de nos travaux.

    2.2. Modlisation des couches limites turbulentes avec effusion de gaz etvalidation par l'exprience

    Dans la littrature sur les couches limites turbulentes avec effusion, la description de

    l'interaction entre les coulements principal et secondaire n'a pas t faite dans toutes les

    situations. Par exemple, Moffat et Kays (1968) ont montr que le dcollement de la couche

    limite thermique se produit pour un taux d'injection de 1 % pour un nombre de Reynolds (bas

    sur x1) de 106 dans le cas d'une effusion sur toute la longueur du plancher o se dveloppe la

    couche limite. Mais qu'en est-il dans une configuration diffrente ? Nous nous sommes donc

    fixs comme objectif de dcrire de faon plus gnrale les interactions couche limite -

    effusion. Pour cela l'tude numrique prsente au paragraphe 1.3 est tendue aux cas des

    coulements sur parois poreuses avec injection. Par ailleurs, les rsultats exprimentaux,

    obtenus sur le banc d'essais dcrit au paragraphe 1.2, seront utiles pour confronter notre

    modlisation l'exprience.

    Afin de prendre en compte l'effet de l'effusion, des auteurs modifient les quations

    gouvernant l'coulement parital. On peut citer, par exemple, les lois de paroi modifies par

    Stevenson (1968) ou Simpson (1970), l'introduction de constantes empiriques dans des

    modles de turbulence bas nombre de Reynolds (Campolina Frana et al. 1998) ou bien des

    longueurs de mlange modifies (Kays 1972 ou Landis et Mills 1972). Dans le cadre de cette

    tude, nous avons choisi de porter particulirement notre attention sur la modlisation des

    phnomnes physiques qui rgissent les interactions entre l'coulement et la paroi poreuse en prsence

    deffusion. Cette mthode a pour avantage de ne pas ncessiter de relations supplmentaires, issues

    de l'exprience, pour prendre en compte l'injection et donc de limiter l'empirisme.

  • 68

    La plaque poreuse est reprsente, dans notre modlisation, comme une succession

    bidimensionnelle de deux types d'lments (figure 2.6). Le premier est un lment solide sur

    lequel se produit le frottement solide - fluide. Le second est une source par laquelle arrive une

    quantit de fluide. Ce second lment reprsente un pore. Ainsi, la couche limite soumise

    l'effusion est le rsultat du mlange de deux coulements (coulement parital et injection).

    L'injection modifie l'coulement principal en apportant une masse et une quantit d'nergie.

    Simultanment, ce mlange est soumis au frottement sur les lments solides.

    Fig. 2.6 Modlisation discrte de la surface de la plaque poreuse.

    Les conditions aux limites correspondantes aux lments solides et aux pores sont de

    deux types. Au-dessus d'un lment solide (premire cellule du maillage), l'coulement est

    rgi par la loi de paroi classique (relation 1.16) et les changes convectifs entre l'coulement

    parital et les lments solides sont dtermins par loi (1.39). A la sortie d'un pore, la

    temprature est fixe, la vitesse longitudinale, l'nergie cintique turbulente et le taux de

    dissipation de k sont nuls. Dans un pore, la vitesse verticale, U2w, est impose de faon ce

    que le dbit inject corresponde au taux d'injection dsir qui peut tre, par exemple, le taux

    d'injection de l'tude exprimentale. Ainsi, la vitesse verticale est donne par la relation

    (2.13).

    UF U

    we

    w2

    1= ( )

    (2.13)

    tant la porosit de la paroi.

    Diffrentes proportions entre les pores et lments solides seront testes, mais la

    premire configuration est une succession de deux lments solides pour un pore (figure 2.6).

    2 p p

    Ecoulement potentiel

    Soufflagepore

    frottement surlment solide

  • 69

    Cette proportion a t retenue pour s'approcher au mieux de la porosit de la paroi utilise

    pour les expriences (environ 30 % de porosit). Dans cette configuration, la vitesse moyenne

    de l'air dans un pore est le triple de la vitesse de filtration, dfinie comme le dbit volumique

    de l'coulement secondaire rapport la surface totale de la paroi poreuse. On discutera

    ultrieurement de l'influence de la porosit sur les couches limites soumises de l'effusion.

    Afin d'illustrer les effets du frottement sur les lments solides et de l'injection

    travers les pores, sont compars, sur la figure 2.7, trois profils de vitesses longitudinales. Le

    profil exprimental est une mesure effectue au milieu de la plaque poreuse pour un taux

    d'injection de 1 % et un coulement principal 10 m/s. Les deux profils numriques sont

    obtenus avec le modle de turbulence retenu au premier chapitre (RNG k-) et avec, comme

    condition aux limites sur la paroi, soit un soufflage uniforme (pas de frottement, porosit de

    100 %), soit uniquement du frottement (pas de soufflage, porosit nulle). Il apparat

    clairement que ces deux phnomnes influencent fortement le comportement de la couche

    limite dynamique et qu'il faut en tenir compte dans la modlisation.

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    0 10 20 30 40 50 60 70 80

    X2 (mm)

    U1 (m/s)

    mesures

    RNG k- (soufflage pur)

    RNG k- (frottement pur)

    Fig. 2.7 Influence du frottement et du soufflage sur le profil de vitesse longitudinale

    (pour une abscisse x1 de 1,55 m correspondant l'endroit de la mesure).

    La reprsentation discrte de la paroi poreuse, dfinie sur la figure 2.6, est ajoute dans

    le prolongement du plancher impermable (cf. figure 1.6). D'un point de vue numrique, un

    pore est reprsent par un volume de contrle alors qu'un lment solide l'est par deux. La

    densit des cellules du maillage est plus importante au niveau de la paroi poreuse qu'au niveau

  • du plancher impermable qui se situe en amont de la zone de soufflage (figure 2.8). Au total,

    le maillage utilis est compos de 17000 volumes de contrle.

    La dimension p dun pore, est fixe dans un premier temps 2,5 mm sachant quen

    ralit notre plaque a des pores dun diamtre moyen de 30 pm. Notre modle est donc une

    reprsentation gomtrique simplifie de la ralit. Entre la surface de la matrice poreuse et le

    premier point de maillage (situ 1,5 mm au dessus de la paroi ce qui correspond une valeur

    de y+ comprise entre 41 et 11,2 selon le taux dinjection) a lieu la jonction entre les

    coulements principal et secondaire. Lcoulement est rapidement homognis lorsque la

    distance la paroi augmente. Ainsi, au premier noeud du maillage, il ny a plus de

    discontinuit entre une grandeur calcule au-dessus dun lment solide (o interviennent les

    lois de paroi) et celle calcule au-dessus dun pore (sans loi de paroi). Leffet de linjection de

    fluide sur la couche limite turbulente est donc homogne au-del du voisinage immdiat de la

    paroi. Enfin, signalons que le couplage entre le modle discret de paroi et une modlisation

    bas nombre de Reynolds aurait ncessit une discrtisation beaucoup plus fine de la paroi

    (une discrtisation dix fois plus fine (pas de 0,25 mm) tait prohibitive en temps et moyens de

    calculs).

    A-

    I I

    IIIIIIIJlIIIIlIIIIIIIIIIIlIIIlllJ1ll_I~III

    II

    PLANCHER IMPERMEABLE PAROI POREUSE

    Fig. 2.8 Maillage.

    70

  • 71

    Par ailleurs, des profils de vitesse longitudinale sont calculs pour des dimensions de

    pore p variants faiblement, la porosit de la plaque restant fixe 33 % et le taux d'injection

    1 % (figure 2.9). On ne constate pas d'influence significative de ce paramtre dans la plage de

    variation tudie (1,5 5 mm). Les effets du soufflage et du frottement sont donc

    indpendants de la taille d'un pore condition de conserver une porosit et un dbit de gaz

    inject constants. Par la suite, les rsultats des simulations seront prsents avec une largeur

    de pore de 2,5 mm, prsentant le meilleur compromis entre le temps de calcul et la finesse de

    la reprsentation de la paroi.

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    0 10 20 30 40 50 60 70 80

    x2 (mm)

    U1 (m/s)

    p = 2,5 mm

    p = 5 mm

    p = 1,5 mm

    Fig. 2.9 Influence de la taille des pores sur le profil de vitesse longitudinale.

    2.2.1. Effusion sans gradient de tempratureDans cette premire tude, l'coulement parital et l'injection sont temprature

    ambiante, le taux d'injection tant gal 1 %. Le champ de vitesse est calcul en utilisant le

    modle RNG k- et notre modlisation de l'injection travers la paroi poreuse. Les rsultats

    de la simulation et ceux de l'exprience sont compars avant la plaque poreuse (sans injection)

    et au milieu de la zone d'injection. On peut observer, sur la figure 2.10, un trs bon accord

    entre les mesures obtenues par anmomtrie Laser-Doppler et les rsultats numriques.

    L'paississement de la couche limite est notamment trs bien reproduit par notre modle.

    Notons galement l'importante dcroissance de la vitesse longitudinale proximit de la paroi

  • 72

    du fait de l'injection. Cette dcroissance de la vitesse se traduit par une diminution des forces

    de frottements fluide-solide (quantifiables par le calcul du coefficient de frottement).

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    0 10 20 30 40 50 60 70 80

    X2 (mm)

    U1 (m/s)

    exp. dans la region d'injectionexp. avant l'injectionsimulations numriques

    Fig 2.10 Couches limites avant et dans la rgion d'effusion (F = 1 %).

    Le profil exprimental de vitesse verticale au milieu de la plaque poreuse et pour un

    taux d'injection de 1 % (figure 2.11), montre une croissance importante de celle-ci dans la

    couche limite (jusqu' environ 40 mm de la paroi), puis une dcroissance faible au-del. La

    direction de l'coulement secondaire est modifie, par change de quantit de mouvement

    avec l'coulement principal, en de d'une ordonne, x2, de 1 mm. L'volution du profil de

    vitesse verticale est similaire celle que l'on observe dans une couche limite sans effusion

    mais, dans ce cas, le maximum est dplac vers les ordonnes plus leves. Compar la

    vitesse de l'coulement secondaire, le maximum obtenu est nettement suprieur (environ

    0,35 m/s au lieu de 0,1 m/s). Mme 50 mm au-dessus de la paroi, la vitesse verticale reste

    relativement importante. Ce phnomne traduit une dviation verticale de l'coulement

    principal par l'coulement secondaire. Par ailleurs, l'injection paritale ayant pour effet de

    diminuer sensiblement la vitesse longitudinale proximit de la paroi, la dviation due

    l'injection engendre une composante de vitesse verticale faible dans les premiers millimtres

    au-dessus de la paroi.

    Du fait de la parfaite planit du plancher que nous avons retenue dans notre

    configuration thorique, alors que des imperfections ou obstacles existent sur le banc d'essais

  • 73

    (cf. paragraphe 1.2), les vitesses verticales mesures et calcules ne peuvent pas tre

    directement compares. Cependant, nous avons trac, sur la figure 2.12, les vitesses verticales

    adimensionnelles mesures et calcules pour une mme abscisse. On peut observer que le

    dplacement du maximum en prsence de l'effusion est bien reproduit par la simulation. De

    mme la lgre augmentation de ce maximum (environ + 10 %), quand il y a injection

    secondaire, est bien simule.

    0

    0,05

    0,1

    0,15

    0,2

    0,25

    0,3

    0,35

    0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

    X2 (mm)

    U2 (m/s)

    mesures dans la zone d'injection

    mesures avant la zone d'injection

    Fig. 2.11 Profils exprimentaux de vitesse verticale avant

    et dans la rgion d'injection (F = 1 %).

    0

    0,1

    0,2

    0,3

    0,4

    0,5

    0,6

    0,7

    0,8

    0,9

    1

    0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

    X2 (mm)

    U2 / U2max

    mesures avant l'injection

    mesures au milieu de la rgion d'injection

    simulation avant l'injection

    simulation au milieu de la rgion d'injection

    Fig. 2.12 Profils adimensionnels exprimentaux et numriques de vitesse verticale.

  • 74

    Le coefficient de frottement peut tre calcul avant et dans la rgion d'injection.

    Simpson et al. (1969) ont montr que le frottement ne dpend que du taux d'injection et de

    l'paisseur de quantit de mouvement. L'paisseur de quantit de mouvement peut tre

    dtermine par intgration discrte du profil de vitesse longitudinale. Le coefficient de

    frottement est donc calculable par la corrlation (2.9) qui, pour mmoire, s'crit :

    C B

    Bf f

    f20 012

    10,250,7

    = +

    , Reln( )

    . Dans le cas d'un taux d'injection de 1 %, la concordance

    entre les coefficients de frottement calculs partir des rsultats exprimentaux et ceux

    obtenus par intgration des rsultats numriques est trs bonne, tant avant l'injection qu'au

    milieu de la plaque poreuse (Bellettre et al. 1998a). L'effet du taux d'injection sur le

    coefficient frottement sera discut ultrieurement. Par ailleurs, l'utilisation de corrlations

    intgrales permet de mener le calcul en prenant en compte l'ensemble des valeurs des vitesses

    dans la couche limite ce qui minimise l'erreur par rapport un calcul de gradient de vitesse

    la paroi.

    Cette dtermination du calcul du coefficient de frottement permet de calculer une

    vitesse de frottement U et de prsenter les profils de vitesse longitudinale sous forme

    adimensionnelle. Sur la figure 2.13 sont reprsents les profils adimensionnels de vitesses, en

    milieu de plaque poreuse, pour un taux d'injection de 1 %.

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    40

    45

    50

    10 100 1000

    Y+

    U+

    mesures

    Loi de paroi (Simpson 1970)

    simulation numrique

    Loi standard (1.16)

    Fig. 2.13 Profils adimensionnels de vitesses en milieu de plaque poreuse (F = 1 %).

  • 75

    Les profils numriques et exprimentaux sont en bon accord avec la loi de paroi semi-

    empirique de Simpson (1970) : ( ) ( )2 1 1 11 111

    12

    12

    vv U v

    y

    ww w++ + +

    ++ +

    =

    ln dans

    l'ensemble de son domaine d'application (30 < y+ < 100). En comparant la loi de Simpson et

    la loi standard, on constate que le profil de vitesse est d'autant plus affect par l'effusion que

    y+ est grand.

    2.2.2. Effusion avec gradients de tempratureAprs avoir tudi exprimentalement et modlis les couches limites dynamiques

    avec effusion en situation isothermique, il convient de s'intresser au comportement d'un

    coulement turbulent chaud en prsence d'injection de gaz frais. Dans un premier temps,

    l'coulement potentiel est port 45 puis 100 C, temprature maximale admissible par

    l'ensemencement ncessaire aux mesures par anmomtrie Laser-Doppler. Le dbit massique

    de gaz inject travers la plaque poreuse est identique celui du cas ambiant. Les

    tempratures du gaz inject et des lments solides de la plaque poreuse sont imposes et

    identiques. Les tempratures de surface de paroi sont donnes par l'exprience : 31 C et

    43 C pour une temprature dcoulement potentiel respectivement de 45 C et 100 C. Les

    rsultats prsents sur la figure 2.14 montrent la concordance entre le modle et l'exprience

    pour les couches limites thermiques tant avant la plaque poreuse que dans la rgion

    d'injection. Remarquons que l'paisseur des couches limites thermiques est accrue par

    l'effusion et, par consquent, que les tempratures de l'coulement parital proximit de la

    plaque sont diminues. Ce phnomne se traduit par une diminution des changes convectifs

    fluide chaud-paroi qui peut tre quantifie par le calcul du nombre de Stanton.

    La dtermination du nombre de Stanton est similaire celle du coefficient de frottement. Il est

    possible de calculer les nombres de Stanton, avant et dans la zone d'effusion, partir de l'intgration

    des vitesses longitudinales ou des tempratures. La corrlation intgrale (2.10) est alors utilise dans

    la rgion d'injection : ( )St BB

    B= +

    + 0 01281

    10,25 0,51

    0,25, Re Prln( ) ,25

    . La concordance

    entre les nombres de Stanton calculs partir de rsultats numriques ou exprimentaux est,

    nouveau, trs bonne (Bellettre et al. 1998a) : l'cart est de l'ordre de 5 %. La rduction du

    nombre de Stanton avec le taux d'injection sera chiffre au paragraphe 2.2.4.

  • 76

    Par ailleurs la concordance modle-exprience des profils de vitesses dans le cas d'un

    coulement parital chaud est aussi satisfaisante que celle observe dans le cas d'un

    coulement temprature ambiante. La dviation de lcoulement parital est notamment bien

    reproduite par la simulation (cf. annexe IV)

    300

    310

    320

    330

    340

    350

    360

    370

    380

    0 10 20 30 40 50 60 70 80

    X2 (mm)

    T (K)

    mesures au thermocouple dans lazone d'injection

    mesures au thermocoupleavant l'injection

    simulations numriques

    Te = 45 C

    Te = 100 C

    Fig. 2.14 Couches limites thermiques pour un coulement 45 C et 100 C.

    2.2.3 Influence de la porositDans ce paragraphe, nous tudions l'influence de la proportion entre les lments

    solides et les pores. Tous les rsultats prcdents ont t obtenus avec une proportion

    surfacique de 1/3 de pores pour 2/3 d'lments solides. Toutefois, il apparat intressant

    d'tudier comment peuvent tre affects, par cette proportion, les rsultats dj obtenus.

    De nouveaux rapports entre les surfaces des pores et du solide sont tests : 1/4, 1/2 et

    2/3. Dans chaque cas, le dbit de gaz inject est maintenu constant (0,12 kg/ms). Sur la figure

    2.15 sont reprsents les profils de vitesse longitudinale au milieu de la zone d'injection

    (x1 = 1,55 m). On constate que la couche limite dynamique est trs peu modifie pour des

    porosits comprises entre 1/4 et 1/2. En revanche, dans le cas d'une proportion de 2/3, le profil

    de vitesse est sensiblement affect. Leffet de la porosit est bien pris en compte par le prsent

    modle mais une variation importante est ncessaire pour que son influence soit significative.

    En consquence, la proportion entre la surface des pores et celle du solide n'a pas besoin d'tre

  • 77

    connue trs prcisment pour le prsent taux d'injection puisque celle-ci n'a une influence que

    si elle est trs loigne de celle de notre lment poreux. On peut en effet noter que, pour le

    dbit de gaz inject qui a t retenu exprimentalement et qui a permis la validation de notre

    modlisation, l'influence de la porosit est faible car le frottement fluide-solide est fortement

    rduit par l'injection. Pour des taux d'injection plus faibles, ce frottement est beaucoup plus

    important et les profils pourraient tre plus modifis par une variation de la porosit.

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    0 10 20 30 40 50 60 70 80

    X2 (mm)

    U1(m/s)

    porosit = 1/4

    porosit = 1/3

    porosit = 1/2

    porosit = 2/3

    2.15 Influence de la porosit sur le profil de vitesse longitudinale.

    2.2.4 Influence du taux d'injection

    Mise en vidence du dcollement des couches limites dynamiques et thermiques

    L'influence du taux d'injection sur le profil de vitesse longitudinale est donne sur la

    figure 2.16. La vitesse passe progressivement du profil de type logarithmique caractristique

    d'une couche limite turbulente dveloppe pour un taux d'injection de 0 %, un profil linaire

    pour F = 2,6 %. Pour ce dernier taux d'injection, la linarit du profil est retrouve

    exprimentalement. Par ailleurs, pour F = 2,6 %, le point de mesure par anmomtrie Laser-

    Doppler le plus proche de la paroi est 2 mm de celle-ci alors qu'il est 0,4 et 0,8 mm sans

    effusion ou pour un taux d'injection plus faible. Ceci met en vidence, par l'absence

    d'ensemencement dans cette zone, le fait que la couche limite dynamique soit dcolle pour ce

    taux d'injection.

  • 78

    0

    4

    8

    12

    0 10 20 30 40 50 60 70 80

    X2 (mm)

    U1 (m/s)

    F = 0 %

    F = 0,35 %

    F = 0,95 %

    F = 1,9 %

    F = 2,6 %

    mesures F = 2,6 %

    Fig. 2.16 Profils de vitesse longitudinale (Te = 100 C, x1 =1,55m).

    Les profils de tempratures, prsents sur les figures 2.17, sont obtenus dans le cas

    d'un coulement potentiel port une temprature de 200 C. On peut remarquer : un

    paississement important de la couche limite thermique avec une augmentation du taux

    d'injection, une dformation des profils similaire celle observe pour ceux de la couche

    limite dynamique et une linarit du profil pour F = 3,2 % conforme l'exprience.

    Par ailleurs, on a not l'existence d'une zone isotherme au-dessus de la fin de la plaque

    poreuse pour un taux d'injection de 3,2 %. Ce phnomne est d, au dcollement de la couche

    limite thermique crant un film froid au-dessus de la plaque poreuse.

    0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1

    0 10 20 30 40 50X2 (mm)

    T - Te

    F = 0%

    F = 0,5 %

    F = 0,8 %

    F = 1,4 %

    F = 3,2 %

    mesures F = 3,2 %

    Tw - Te

    Fig. 2.17. Profils de temprature adimensionnelle longitudinale (Te = 200 C).

  • 79

    Calculs des coefficients de frottement et nombres de Stanton

    La validation de notre modle est galement effectue par comparaison des rsultats

    numriques, obtenus en faisant varier le taux d'injection, avec des rsultats issus de la

    littrature. Les profils simuls de vitesse longitudinale sont intgrs pour calculer l'paisseur

    de quantit de mouvement. A l'aide de la corrlation intgrale (2.9), ces rsultats permettent

    de calculer, pour diffrents taux d'injection, des valeurs de coefficients de frottement. La

    concordance avec les mesures de nombreux auteurs est satisfaisante (figure 2.18). La

    comparaison entre les diffrents rsultats est effectue pour des nombres de Reynolds Re

    compris entre 2000 et 3000 (Re augmente avec le taux d'injection). Par ailleurs, on peut

    constater l'importante dcroissance du frottement avec l'effusion : pour un taux d'injection de

    1 %, le coefficient de frottement est rduit d'environ 80 % par rapport au cas sans effusion.

    0

    0,0005

    0,001

    0,0015

    0,002

    0 0,4 0,8 1,2F (%)

    Cf / 2

    Prsente tude

    Andersen et al. (1975)

    McLean and Mellor (1972)

    Baker et Launder (1974)

    Rubesin et al. (1985)

    Fig. 2.18 Coefficient de frottement en fonction du taux d'injection

    (x1 = 1,55 m, Re = 2000 3000).

    L'volution du nombre de Stanton est tudie en fonction du taux d'injection, pour un

    coulement principal 45 C. La temprature de paroi est maintenue constante 31 C quel que soit

    le taux d'injection, ce qui correspond aux conditions exprimentales de Whitten et al. (1970) dont la

    temprature de plaque tait rgule. Sur la figure 2.19 sont prsents les rsultats de cette tude

    paramtrique. Les nombres de Stanton sont calculs aprs intgration des profils de vitesse et de

    temprature obtenus par la simulation et l'aide de la corrlation (2.10). On constate un bon accord

    entre nos rsultats et les rsultats d'exprimentateurs qui ont

  • 80

    travaill pour des nombres de Reynolds (fonds sur l'paisseur d'enthalpie) quivalents aux

    ntres (Re = 1300 pour F = 0 % Re = 2000 pour F = 1,1 %).

    0

    0,0005

    0,001

    0,0015

    0,002

    0,0025

    0,003

    0 0,4 0,8 1,2

    F (%)

    St

    Prsente tude

    Whitten et al. (1970)

    Rubesin et al. (1985)

    Moffat et Kays (1984)

    Fig. 2.19 Nombre de Stanton en fonction du taux d'injection (x1 = 1,55 m).

    L'tude de l'volution des coefficients de frottement et nombres de Stanton est

    poursuivie pour un coulement potentiel port 100 C et 200 C. Les nombres de Stanton

    rapports au nombre de Stanton sans injection sont prsents sur la figures 2.20. Ces rsultats

    sont obtenus en tenant compte de l'volution des proprits de l'air avec la temprature dans le

    calcul des nombres de Reynolds bass sur les paisseurs de quantit de mouvement et

    d'nergie. On constate une influence sensible de la temprature de l'coulement potentiel sur

    les rsultats. Les nombres de Stanton sont en effet plus levs pour Te = 200 C que pour Te =

    100 C (la temprature de l'coulement secondaire tant gale 40 10 C). Le gaz effus est,

    relativement l'coulement potentiel, plus lourd pour Te = 200 C que pour Te = 100 C. Or,

    toutes les tudes portant sur l'injection de diffrentes espces montrent que la protection

    thermique par effusion est d'autant moins efficace que l'espce est lourde (Romanenko et

    Kharchenko (1963), Baker et Launder (1974a, 1974b) et Landis et Mills (1972)). La

    diffrence obtenue entre les rsultats 100 C et 200 C peut donc s'expliquer par analogie

    avec ces rsultats concernant le soufflage de diffrentes espces chimiques.

    Comme le suggrent Landis et Mills (1972), les taux d'injection sont normaliss par le

    nombre de Stanton sans injection (sensiblement plus lev pour Te = 200 C que pour

  • 81

    Te = 100 C) afin de compenser l'effet de la variation de densit. Pour les niveaux de

    temprature tudis, les courbes de la figure 2.21 se superposent correctement.

    Les rsultats de Landis et Mills (1972), concernant la faible influence de la

    temprature de l'coulement potentiel sur l'volution du nombre de Stanton normalis en

    fonction du taux d'injection normalis sont donc en bon accord avec les ntres. Le mme

    rsultat concernant le coefficient de frottement est obtenu (figure 2.22). Nous considrerons

    donc que les calculs de coefficients de frottement et nombres de Stanton sont applicables pour

    des coulements paritaux sensiblement plus chauds que ceux pour lesquels ils ont t valids.

    0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1

    0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

    F (%)

    St / St0

    Te = 100 C

    Te = 200 C

    Fig. 2.20 Nombre de Stanton normalis en fonction du taux d'injection pour diffrentes

    tempratures d'coulement potentiel (x1 = 1,55 m).

    0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1

    0 1 2 3 4 5

    F / St0

    St / St0

    Te = 100 C

    Te = 200 C

    Fig 2.21 Nombre de Stanton normalis en fonction du taux d'injection normalis pour

    diffrentes temprature d'coulement potentiel (x1 = 1,55 m).

  • 82

    0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7

    2 F / Cf0

    Cf / Cf0

    Te = 100 C

    Te = 200C

    Fig. 2.22 Coefficient de frottement normalis en fonction du taux d'injection normalis pour

    diffrentes temprature d'coulement potentiel (x1 = 1,55 m).

    Le coefficient d'change convectif entre l'coulement chaud et la paroi poreuse est

    dduit du calcul du nombre de Stanton. Son volution avec le taux d'injection est prsente sur

    la figure 2.23. Ce rsultat souligne l'efficacit du procd de protection thermique par

    effusion. En effet, on constate une diminution de 85 % de l'change convectif pour un taux

    d'injection de 1 % par rapport au cas sans effusion.

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4F (%)

    h (W/mK)

    Fig 2.23 Coefficient d'change convectif en fonction du taux d'injection

    (x1 = 1,55 m, Te = 100 C).

  • 83

    Conclusion

    En utilisant un modle classique de turbulence (modle RNG k- "haut nombre de

    Reynolds") et en modlisant les phnomnes physiques lis l'effusion travers une paroi

    poreuse, des simulations numriques de couches limites turbulentes soumises de l'injection

    de gaz ont t effectues. Pour des coulements potentiels diffrentes tempratures, les

    rsultats obtenus ont t compars nos propres rsultats exprimentaux ainsi qu' ceux issus

    de la littrature et un bon accord a t trouv. L'paississement des couches limites

    dynamiques et thermiques du fait de l'injection est, notamment, trs bien reproduit par notre

    modlisation. Le calcul des coefficients de frottement et du nombre de Stanton, pour

    diffrents taux d'injection, ont pu tre mens bien par l'emploi de corrlations semi-

    empiriques. Il nous appartient maintenant d'utiliser les rsultats de nos travaux pour l'tude du

    refroidissement des parois poreuses en couplant le modle de couche limite avec une

    modlisation des transferts internes une matrice poreuse.

    Pont d'embarquementTitre et sommaireNomenclatureIntroduction gnraleChapitre 1 : Ecoulements parietaux turbulentsChapitre 2 : Transferts en couches limites turbulentes avec effusion de gaz2.1. Bibliographie des transferts en couche limite avec effusion2.2. Modlisation des couches limites turbulentes avec effusion de gaz et validation par l'exprienceConclusion

    Chapitre 3 : Couplage coulement parital - plaque poreuseChapitre 4 : Protection thermique des parois poreuses par transpiration d'un liquideConclusion gnraleRfrences bibliographiquesAnnexes