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7/25/2019 transitoires.pdf

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On entend par phnomne transitoire une phase de dure limite dans le temps.On peut opposer ainsi phnomne transitoire et phnomne permanent : Par exemple, on parlera de la phase de

dmarrage dun moteur comme dune phase transitoire o sa vitesse volue suite un ordre de mise en

rotation ; linverse, on qualifiera de rgime permanent ou tabli la phase ultrieure o la vitesse de rotation est

stable.

De faon plus gnrale, nous dirons quun rgime transitoire est la phase qui spare (dans le temps) deux

rgimes permanents distincts dun systme physique.

Ces phnomnes transitoires sont ainsi trs gnraux et surviennent dans bon nombre de domaines.

En voici quelques exemples :

- Electricit : Mise sous tension ou hors tension dun circuit, tablissement dun rgime lectrique priodique(oscillateurs, hacheur)

- Mcanique : Variation de la vitesse dun moteur (pas ncessairement lectrique) suite une variation de

leffort demand ; volution du dbit dun fluide dans une canalisation aprs manuvre dune vanne

- Thermique : Modification de lallure de chauffe dans un chauffage domestique ; monte en temprature de

semi-conducteurs de puissance

Cadre de ltude aborde ici : Nous raisonnons sur des circuits lectriques linaires modles ; ces circuits sont

compltement dcrits par une ou plusieurs quations diffrentielles linaires faisant intervenir des variables

lectriques.

Nous distinguerons essentiellement les phnomnes transitoires du premier et du second ordre, cest dire

correspondant une description du circuit concern par une quation diffrentielle du 1er

ou du 2me

ordre.

(Nous verrons par la suite que lordre des quations diffrentielles dcrivant un systme augmente avec la

prcision de description)

6.1 Modle du premier ordre.

Le circuit du premier ordre le plus simple comprend une rsistance et un lment ractif (capacit ou

inductance) ; intressons nous la rponse indicielledun circuit de type RC , cest dire sa rponse une

sollicitation de type chelon de tension

6.1.1 Equations diffrentielles.

Pour le circuit ci-contre, nous pouvons crire :e = Ri + uC, en valeurs instantanes.

i(t) et uC(t) sont lis par la relation :dt

duCi c=

On peut alors crire : cc u

dtdu

RCe += , qui constitue une quation

diffrentielle du 1erordre vis vis de uc.

En drivant par rapport au temps lquation e = Ri + uCil vient, compte tenu dedt

duCi c= :

Ci

dtdiR

dtde += , soit , aprs multiplication par C : i

dtdiRC

dtdeC += autre quation du 1

erordre, en i.

On peut remarquer la prsence du terme RC dans ces 2 quations ; son importance va apparatre dans leur

rsolution.

C

R

e uC

i


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6.1.2 Mise sous tension

La tension e(t) est un chelon de hauteur E, apparaissant une date origine.

La tension uCaux bornes du condensateur va crotre jusqu E

Lquation diffrentielle en i(t) scrit :

idtdiRC0 += , dans la mesure o e est une constante pour t > 0 .

Supposons le condensateur initialement dcharg.

Cette quation se rsout en RCt

0 eI)0t(i

=>

On pose =RC, constante de temps du phnomne.

Au bout dune dure , le courant I0a t divis par

e 2,718.

A la date origine, uC= 0, donc RI0= E ;

il vient ainsiREI0 =

Compte tenu de la relation dt

du

Ci

c

= , nous dduisons

uC(t) par intgration :

=>

RC

t

C e1E)0t(u

uCvolue entre 0V et E, exponentiellement, avec la

constante de temps galement.

Ce phnomne transitoire est accompli 63% au bout dune dure , 95% au bout de 3, et plus de 99% au

bout dune dure 5.

Voir en annexe 1les principales caractristiques de la rponse indicielle du 1erordre.

Remarquer la continuit de la tension uC(t) et la discontinuit de i(t) : La charge q porte par un condensateur

(et donc lnergieC

q

21W

2= ) ne peuvent varier instantanment dune valeur finie. Par contre, la variationde

la charge q (donc le courant i(t)) peut tre discontinue.

6.1.3 Autres cas

Magntisation dun bobinage :

Pour le circuit ci-contre, linterrupteur est ferm une date origine.

Pour t 0,

dt

diLRiE LL += , soit

dt

di

R

Li

R

E LL += .

Si nous posons maintenantRL=

La solution de lquation diffrentielle scrit :

)e1(RE)t(i

t

L

=

aux bornes de linductance, la tension uL(t) scrit :

==t

LL e.E

dtdi

Lu

Nous obtenons une rponse semblable la mise sous tension dun rseau RC, en associant iL uCet iC uL.

Cette fois, cest iLqui ne subit pas de discontinuit. (iLest lie lnergie stocke 2Li2

1W = )

E

e

t0

t (s)0 1 2 3 4 5 6 7

i (mA)

20

40

60

80

u(V)

1

2

3

4

L

R iL

Eu

L


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Magntisation tension constante :

Quadvient-il si la rsistance R de lexemple prcdent tend vers 0 ?

Linductance est soumise la tension constante E : Edt

diLu LL == ; cette quation se rsout en :

tLE)0(i)t(i LL += : Le courant crot constamment , de faon linaire avec le temps.

Cette rampe de courant ne peut pas se poursuivre indfiniment ; il faudra ncessairement ouvrir le circuit ,afin

de limiter lnergie stocke. (Dans ce cas, on doit prvoir une dissipation progressive de lnergie stocke, parexemple en cblant une diode de roue libreaux bornes de linductance.

Charge courant constant :

Chargeons maintenant un condensateur laide dun gnrateur de courant :

Nous pouvons crire :dt

duCIi C0C == .

Cette quation se rsout en : tCI

)0(u)t(u 0CC +=

On obtient ici une rampe de tension aux bornes du condensateur.

L non plus, ce rgime ne peut perdurer : Il faudra ouvrir le circuit au bout dun certain temps.

6.2 Modle du second ordre.

Le modle lectrique fondamental comprend une inductance, une capacit, et invitablement une

rsistance ; cest le circuit RLC bien connu.

6.2.1 Equations diffrentielles.

Considrons le circuit RLC srie ci-contre :

La loi des mailles scrit :

e(t) = Ri(t) + uL(t) + uC(t)

En outre,dtdiLuL = et

dtduCi C=

Drivons lexpression de la loi des mailles par rapport

au temps et exprimons les diffrentes grandeurs en

fonction de i ; il vient ainsi :

iC1

dtidL

dtdiR

dtde

2

2++= qui est bien une quation du second ordre (en i)

Nous pouvons exprimer galement i(t) et uL(t) en fonction de uC(t) dans la loi des mailles :

C2C

2C u

dt

udLC

dt

duRC)t(e ++= qui est cette fois une quation du second ordre en uC.

6.2.2 Rponse indicielle.

Le circuit est initialement au repos : e(t) et i(t) sont nulles, le condensateur est dcharg.

A une date prise comme origine des temps, e(t) subit un chelon de hauteur E.

Le phnomne transitoire correspond cette fois la charge du condensateur

travers la rsistance R etlinductance L.

Ce rgime se termine quand uCatteint la valeur E ; le courant i dans la maille

sannule alors.

Lvolution de ces grandeurs peut se faire de 2 manires : On parle de

rgime apriodiqueou dergime priodique amorti.Voir le complment mathmatique en annexe 2, concernant les solutions dune quation diffrentielle du

second ordre, ainsi qu les principales caractristiques de la rponse indicielle du second ordre en annexe 3.

uC

iC=I0

C

L

C

R

e

i

uC

uL

E

e

t0


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Lvolution selon lun ou lautre de ces rgimes dpend de la valeur de la rsistance R :

Lquation caractristique associe lquation en uC(par exemple) est (LC).r2+(RC).r + 1 = 0

son discriminant est = (RC)2 4LC ; le rgime transitoire change selon le signe de :

sannule pourCL2R = (cette valeur de R se nomme rsistance critique)

Si > 0 , soitCL2R > , alors le rgime est apriodique.

Si < 0 , soitCL2R < , alors le rgime est priodique amorti. ( la limite, si on pouvait rendre R nulle,

lamortissement du phnomne serait inexistant ; on aurait ainsi ralis un systme oscillant perptuellement ;

lapproche des oscillateurs fera lobjet dune tude ultrieure)

Raisonnons sur un exemple numrique : Prenons L = 25mH, et C = 2,5F. (E =4V)

La rsistance critique est R = 200

Rsultats de simulation pour R = 400, R = 100et R = 50:Courant

Tension uC

La rponse est apriodique pour R = 400; elle est priodique amortie pour les 2 autres valeurs.

Time

0s 2.0ms 4.0ms 6.0ms

-I(C1)

-16mA

0A

16mA

30mA

400

100

50

Time

0s 2.0ms 4.0ms 6.0ms

V(uc)

0V

2.0V

4.0V

6.0V

100

50

400


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6.3 Gnralisation.

En premire approximation, la plupart des rgimes transitoires observables peuvent tre assimils des

phnomnes du 1erou du 2

meordre.

Exemple : Enregistrement du courant appel et de la vitesse de rotation dun moteur lors de sa mise sous

tension :

Lexamen de cette rponse met en vidence un processus du second ordre (tangente lorigine horizontale

pour la courbe de vitesse) .

Par rapport un circuit RLC rponse indicielle apriodique, la monte en vitesse du moteur est analogue

la tension aux bornes du condensateur, alors que le courant appel par la machine est comparable au courant

appel par le circuit RLC.

Les mesures ralisables sont :

- Vitesse permanente : 862 tr/min

- Courant permanent : 1,6A

- Pointe de courant de 40,8A 0,12s

- Temps de monte de la vitesse (10 90% de 862tr/min) : 0,62s

- Temps de rponse 5% (mesur sur la courbe de vitesse) : 0,88s

Dautre part, la connaissance des rgimes transitoires lectriques est ncessaire pour analyser le

fonctionnement de dispositifs varis tels que les circuits monostables ou astables (en lectronique), ou bien

les alimentations dcoupage non isoles ou hacheurs (en lectrotechnique)


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6.4.2 Hacheur parallle.

La manuvre de K est identique

au cas du hacheur srie.

Le choix de C est tel quon puisse

admettre uSCTE

.

Schmas quivalents selon ltat de K.

Pendant tON(K ferm), la source E fournit de lnergie la bobine (uL= E) : Le courant iE= iLcrot ; dans le

mme temps, la capacit de filtrage fournit de lnergie la charge.

Pendant tOFF(K ouvert), uLsinverse, la bobine se retrouve en srie avec la source E et impose uSplus grande

que E !

Transfert en tension

A tout instant : E = uS uD+ uL

En rgime priodique, 0=LU ; la relation

prcdente devient ainsi DS UUE = en valeurs

moyennes ; avec teSS CUU =

Il vient aisment SD UU =

Do finalement

=1

EUS

USest suprieure E comme prvu ; attention toutefois,

il faudra limiter le rapport cyclique une valeur maximale

pour que la valeur de USreste supportable par les lments constitutifs.

L

C RuK

D

EuS

iSILiDiE= iL

uL uD

iC

(fH, )

E

iE L

C

iL

K

uS

iS

uL>0

iC


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Quelques grandeurs caractristiques :

Temps de monte : tR= 2Ln3 2,2

Temps de rponse 5% : tR5%= 3

Dure approximative du rgime transitoire : 5

La tangente lorigine coupe la valeur permanente (S) la date

Equation la plus gnrale : s(t) = (S- S0)(1 - e-t/

) + S0

Avec : S0 : Valeur initiale

S: Valeur permanente

: Constante de temps

Expression de la dure t correspondant lvolution entre S0et une valeur SF :

0

t

0FF S)e1()SS(S)t(sF

+==

do :0

0Ft

SSSS

e1F

=

et finalement :

=

F

0

SSSS

Lnt

S

0,95S0,90S

0,10S

3

tR5%

tR

5

0,993S

0,63S

0

S0

S

0

SF

t

tF


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!! " # $ %

Soit la fonction du temps y, vrifiant lquation diffrentielle : ay + by + cy = f(t) , dans laquelle a,

b, c sont des constantes et f(t) une fonction du temps connue.

La solution y peut se mettre sous la forme y(t) = y0+ y1avec

- y0: Solution gnrale de ay + by + cy = 0 (quation diffrentielle sans second membre, ou

homogne)

- y1 : Solution particulire de lquation avec second membre. (souvent y1est de la mme forme que le

second membre f(t))

Pour trouver y0, on considre lquation caractristique ar2+ br + c = 0, de la variable complexe r.

Le discriminant de lquation caractristique est = b2 4ac.

Si > 0 , il existe 2 racines relles r1et r2, et on montre que trtr0 21 e.Be.Ay += , A et B sont 2 constantes

dterminer en fonction des conditions initiales.

La rponse y(t) est ici apriodique.

Si = 0 , il existe une racine doublea2

br = et y0=(At +B).e-bt/2a

la rponse est dite apriodique

critique.

Si < 0 , il existe 2 racines complexes conjugues r1et r2qui sonta2

ja2

b

en posant =a2

1 , nous aurons =+= ja2bretj

a2br 21

La solution y0scrit )e.Be.A.(eBeAey tjtja2bt

trtr0 21

+=+=

Ce quon met sous la forme )tsin(.e.Cy kt0 +=

Cette solution correspond une oscillation sinusodale, de pulsation , et amortie exponentiellement.

Exemple de solution sinusodale amortie :

t (s)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

-0.5

0

0.5

1


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&

rponse pseudo-priodique

- Priode des oscillations : T;

- 1er

dpassement :D1; - Dpassement relatif : D1 / S

- Instant du 1erpassage par la valeur permanente : tM - Date du 1

erdpassement : tPIC

- Temps de rponse 5% : Date au del de laquelle s(t) rentre dfinitivement dans le couloir des

5% autour de la valeur permanente (soit entre 1,05 et 0,95 fois la valeur de rgime permanent)

rponse apriodique

La seule grandeur caractristique reste le temps de rponse 5%

On diffrencie cette rponse dun 1erordre par lexamen de la tangente lorigine qui est ici horizontale.

T

D1

tm

tpic tR5%

1,05 S

0,95 S

S

0,95.SS

tR5%

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