TRIANGLE & PARALLELES

4° Avon 2010Bernard Izard

Chapitre

08-TH

I - DROITES DES MILIEUXII- LE PETIT THALES III – APPLICATIONS / EXEMPLE

TRIANGLE & PARALLELES

I-DROITE DES MILIEUX

1) Expérience et conjecture

Construire 5 triangles ABC différents dont un rectangle, un isocèle, un équilatéral, un avec un angle obtus et un quelconque.

Placer les point I milieu de [AB] et J milieu de [AC)

Tracer les droites (IJ).

Que remarque-t-on ?

Donner une conjecture.

Sur chaque figure la droite (IJ)semble parallèle à (BC)

2) Théorème de la droite des milieux

Dans un triangle la droite qui joint les milieux des 2 côtés d’un triangle est parallèle au 3° côté.Hypothèses:

ABC triangle

I milieu de [AB] J milieu de [AC]

Conclusion:

(IJ) // (BC)A

B C

I Jx

x

//

//

Démonstration:

BCI J

2

(IJ) //(BC)

Cahier d’élève

3) Propriété du Segment

Le segment qui joint les milieux des 2 côtés d’un triangle mesure la moitié du 3° côté.

De plus la démonstration ci-dessus montre que IJ = BC/2 donc on peut affirmer :

A

B C

I Jx

x

//

//

EX: IJKL est un rectangle de centre O tel que IJ=KL=10cm et JK=LI=6cm. A est el milieu de [IL]. Calculer OA

I J

KL

OA x

x

10 cm

6 cm

O milieu de [LJ] car dans un rectangle les diagonales……… A milieu de [IJ] par énoncé.

Le segment [AO] joint les milieux des 2 côtés d’un triangle…..

Donc AO = IJ/2 = 10/2 = 5 cm

4) Théorème réciproque

Démonstration: admise

Dans un triangle la droite parallèle à un coté passant par le milieu du 2° côté coupe le 3° en son milieu

A

B C

I J

Hypothèses:

ABC triangle

I milieu de [AB] (d) //(BC] (d) coupe [AC] en J x

x

(d)

Conclusion:

J milieu de [AC]

Ex: DEF triangle équilatéral de côté 6 cm. M est le milieu de [EF]. On trace la parallèle à (DE) passant par M. Elle coupe [DF] en en N. Démontrer que N est le milieu de [DF). Calculer MN

D

F E

N6 cm

x xM

M milieu de [FE] et (MN)//(DE) donc d’après la réciproque de la droite des milieux…………….. N milieu de [FD] Donc [MN] joint les milieux……… et…….. MN=6/2 = 3 cm

II-LE PETIT THEOREME DE THALES

Triangle AMN AM 5

Triangle ABC AB 9 AC 11 BC 8

Calculs AM/AB

AN/AC

MN/BC

0,56 0,56 0,56

C’est un tableau de proportionnalité.

Construire un triangle ABC tel que AB=9cm; AC=11cm et BC=8cm. M est un point de [AB] tel que AM=5cm. (d) est une droite parallèle à (BC) passant par M. Elle coupe (AC) en N

Mesure et calculer

Conjecture: Il y a proportionnalité entre le petit triangle AMN et le grand ABC

AN 6,1 MN 4,4

Énoncé du théorème

ABC un triangle. M un point de [AB] N un point de [AC]

Si (MN) est parallèle à (BC) alors:

AM AN MNAB AC BC

A

M

B

N

C

III-APPLICATIONS / EXEMPLES

Ex1: R est un point du côté [OM] d’un triangle MON. OR = 2cm ; OM = 7cm ; ON = 10,5cm; MN =12 cm. La parallèle à (MN) passant par R coupe [ON] en S. Calculer OS.

Ex2: Soit un triangle EGF avec H [EF] et K [EG]. EH = 3cm ; EF = 5cm ; KH = 4,5cm. Sachant que (KH) est parallèle à (GF), calculer GF.

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FIN