UE433 Communications numériques Chapitre 1 - Introduction

UE433 Communications numériques

Chapitre 1 - Introduction

Jean-Pierre Barbot

Université Paris Sud 11 / ENS CachanM1-IST

Vendredi 13 mars 2015

1 Chapitre 1 : Introduction et dé�nitions de baseIntroductionHistoriquePrincipe d'une chaîne de transmission numérique

J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST)) UE433 (Ch 1) Vendredi 13 mars 2015 2 / 31

Chapitre 1 : Introduction et dé�nitions de base Introduction

Excepté la radio, toutes les communications actuelles sont numériques(TNT, DVB-S, GSM, UMTS, ADSL, ...)

Canaux de transmission : paire torsadée (téléphone), ligne �laire,propagation sans �l, �bre optique, ...

Type de source : analogique (voix) ou numérique (données)

Objectifs

Transmettre le maximum de donnée (débit ↗) avec une �abilité maximale(probabilité d'erreur ↘)avec :

1 des limites théoriques (Shannon),2 des contraintes physiques (propagation),3 des contraintes économiques (énergie, complexité)


Chapitre 1 : Introduction et dé�nitions de base Historique

Historique

XVe siècle

1464 : Création de la Poste Royale par Louis XI



XVIIIe siècle

1792 : Début du télégraphe optique de Claude Chappe



XIXe siècle

1832 : Invention du télégraphe électrique par Samuel Morse

1854 : Projet de téléphone de F. Bourseul

1860 : Lois de l'électromagnétisme par Maxwell

1865 : Création de l'Union internationale du télégraphe (UIT)

1866 : Premier câble télégraphique transatlantique

1876 : Téléphone de Graham Bell & Elisha Gray

1876 : Premiers enregistrements de Thomas Edison

1887 : Ondes radioélectriques de H. Hertz

1892 : Téléphone automatique de d'A. Strowger

1892 : Radiodi�usion par W. Crookes

1896 : Première liaison de "TSF" par G. Marconi

1897 : Émission radio au Panthéon de Paris par Eugène Ducretet

1898 : Camille Tissot établit la première liaison radio opérationnelleFrançaise en mer.



Télégraphe de Morse (1837)

Téléphone...



XXe siècle

1901 : Première liaison radio transatlantique1902 : Découverte de l'ionosphère par O. Heaviside1915 : Téléphone automatique Rotary1921 : Premiers "courants porteurs" d'E. Colpits et O. Blackwell1922 : Premières émissions régulières de radiodi�usion de la tour Ei�el1926 : Premier câble à grande distance électronisé1932 : Création de l'Union internationale des télécommunications, UIT1935 : Émissions régulières de télévision depuis la tour Ei�el1936 : Premier télex Creed1938 : Principes de la numérisation par A. Reeves1940 : Création du CCTI, Comité de coordination destélécommunications1941 : Mise au point du radar1943 : Premier calculateur électronique ENIAC de J. Mauchly et J.-P.Eckert1947 : Invention du transistor par J. Bardeen, W. Shockley, W.Brattain



1948 : Shannon fonde la �théorie de l'information�1951 : Premiers faisceaux hertziens1954 : Premiers postes radio à transistor1956 : Câble sous-marin transistorisé1960 : Codes correcteur d'erreur Reed-Solomon (article "PolynomialCodes over Certain Finite Fields." Reed & Solomon, 1960)1960 : Invention des codes correcteur d'erreur BCH (1959 parHocquenghem et 1960 par Bose and Ray-Chaudhuri)1962 : Première liaison Télévision par satellite Amérique-France depuisPleumeur-Bodou1966 : Première liaison numérique MIC1969 E. Berlekamp and J. Massey découvre un algorithme e�cace dedécodage des codes Reed-Solomon.1970 : Fibres optiques de Corning Glass1971 : Premiers microprocesseurs1971 : En France, mise en service du premier autocommutateurélectronique



(1G) : Téléphone �Radiocom-2000�

(2G) Premier téléphone GSM Français (Alcaltel, 1992)

(2G) Téléphone �portable� GSM Français (Alcaltel, 1993) ; 151 x 68 x 40 mm



1973 : Premier appel depuis un téléphone cellulaire (attribué à MartinCooper, direct. R&D motorola)1977 : Lodes RS implémentés dans le programme �Voyager�1982 : Norme �compact disc� audio déposée par Philips, utilisant lescodes RS1982 : Groupe de travail chargé par la CEPT pour la dé�nition de lanorme Européenne GSM1983 : O�cialisation de TCP-IP comme protocole de l'Internet1987 : Ampli�cation optique par dopage à l'Erbium1988 : Mise en service de TAT8, 1er câble transatlantique à �bresoptiques1991 : Première communication expérimentale faite par le groupe GSM1992 : Choix bandes hertziennes 3G IMT-2000 (UMTS)1993 : Découverte des �Turbo-Codes� par C. Berrou et A. Glavieux1995 : Mise en service des câbles transatlantiques TAT12, TAT13 etTPC5 à ampli�cation optique (répéteurs par �bres dopées à l'erbium,EDFA).1999 : ADSL chez les particuliers (France)



XXIe siècle

2000 : Crise boursière a�ectant les valeurs Télécom : éclatement de laBulle Internet

2001 : Accord de l'Union Européenne pour lancer le projet Galileo

2004 : Première o�re commerciale 3G en France

2008 : L'UIT-R établi les spéci�cations � IMT-Advanced (en) �(International Mobile Telecommunications Advanced) pour les normes4G.

2011 : Généralisation de la TNT sur le territoire français (DVB-T).

2013 : Début des émissions de la Radio Numérique Terrestre (DAB+).

2013 : Début de la 4G LTE.

....


Chapitre 1 : Introduction et dé�nitions de base Principe d'une chaîne de transmission numérique

Principe d'une chaîne de transmission numérique

Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)

Canal de transmission recepteur

Source

(S)

emetteur

x y

Principe d'une chaîne de transmission numérique



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


(S)

emetteur

x ySource

Source d'information ⇔ signal aléatoire

communications num. ⇒informations discrètes.

Informations obtenues :1 échantillonnage + CAN,2 symboles d'une source discrète (les 26 lettres de l'alphabet

alphanumérique).

Etape suivante : le codage source



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


Source

(S)

emetteur

x y

Codage source ⇔ associe à l'information (discrète) de façon bijective unesuite de k éléments binairesCette suite :

doit être décodable !

prend ses valeurs dans l'alphabet binaire {0b, 1b} pour former unsymbole du code {ck},éventuellement de longueur variable,

en moyenne la plus courte possible (pas de redondance)

Mesure de la redondance :

la fonction d'entropie (Shannon 1948),

Réalisations : Code Morse, Alg. d'Hu�man,Etape suivante : le codage canal



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


Source

(S)

emetteur

x y

Codage canal ⇔ lutte contre les e�ets du canal,Pour cela, le codage canal :

introduit de bonnes redondances,

ajoute des bits de redondance à {ck} pour former {dn},n > k donc le rendement du code , k

n< 1

permet éventuellement la correction d'erreur (Codes Reed-Solomon,BCH, ...),

=⇒ résulte d'un compromis {rendement (débit)/pourvoir de correction}Réalisations : Bit de parité, Code de Reed-Solomon (CD, ADSL), BCH,Turbo-codes (1993),...Etape suivante : Codage bande de base + modulation



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


Source

(S)

emetteur

x y

Codage Bande de Base : n'est pas un code au sens mot binaire,Le codage en bande de base :

donne une réalité physique au message (tension, énergie),

utilise des formes d'impulsion (rectangulaire, impulsion de Nyquist, ...),

donne au spectre du signal des propriétés �utiles� (bande occupée,présence de raie à la fréquence d'horloge)

Réalisations : RZ, NRZ, Manchester, code de Miller, code HDB3, ...Etape suivante : modulation



Formes d'impulsion g(t) :1 Impulsion rectangulaire (exemple : sortie de portes logiques, ...),2 Impulsion de Nyquist (exemple : téléphones numériques 3G (UMTS))

g(t)

t0

V

Tb

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tb

Impulsion de Nyquist(alpha = 0.22)



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


Source

(S)

emetteur

x y

transmission en Bande de Base : le signal bande de base est transmissans décalage fréquentiel (ADSL, signal téléphonique RTC)Modulation numérique :

modulation analogique ayant pour modulant un code bande de base,

réalise une transposition fréquentielle du signal B de B,

Réalisations : ASK, OOK, BPSK, QPSK, QAM, FSK, ...Etape suivante : Canal de propagation.



Modulation numérique :comme pour une modulation analogique

e(t) = A(t)× cos (Φi (t))

avec : A(t) l'amplitude instantanée, Φi (t) la phase instantanée.



Exemple : cas d'une modulation QPSK (QAM-4)

Possible avec :

A(t) = A = constante

Φi (t) = 2πfpt + φ(t) et φ(t) ∈{0,+π

2 ,−π2 , π

}

où fp est la fréquence de la porteuse, φ(t) peut prendre 4 états de phases.



O.L

e(t)

A× cos(2πfpt)

dephas. π2

∑

A× sin(2πfpt)

ak = ±1

bk = ±1

Principe d'un modulateur QPSK



Exemple 2 : QAM-16



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


Source

(S)

emetteur

x y

Canal de transmission : canal hertzien, lignes �laires, câble coax., �breoptique, CD,...Caractérisé : par sa réponse impulsionnelle complexe, par sa bandepassante B,Limitations : Capacité (Shannon) C = B. log2

(1 + S

N

)[Bits/seconde]



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


Source

(S)

emetteur

x y

Bruit : présent pendant la transmission (propagation, bruit équipements,brouilleurs)Caractérisé : par sa densité de probabilité, généralement supposé BruitAdditif Blanc Gaussien (BABG)

p(b) =1√2πσ2

b

exp

(−(b − µb)2

2σ2b

)

avec µb la moyenne du bruit et µb = 0 et σ2b la variance du bruit.Limitations dues au bruit : Capacité (Shannon) C = B. log2

(1 + S

N

)

[Bits/seconde]Etape suivante : Démodulation.



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


Source

(S)

emetteur

x y

Démodulation : opération inverse à celle de la modulationDémodulation numérique : c'est une démodulation analogique

passage ou non en FI (récepteur super-hétérodyne),

démodulation complexe (passage en voie I et Q),

Etape suivante : Egaliseur-régénérateur



t0 + kT

t0 + kT

A× sin(2πfpt)

A× cos(2πfpt)

r(t)

ak

�ltre adapté à g(t)

�ltre adapté à g(t)

bk

Principe d'un démodulateur QPSK



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


Source

(S)

emetteur

x y

Egaliseur régénérateur : présent pendant la transmission (propagation,bruit équipements, brouilleurs)Utilité : lutte contre les e�ets du canal de transmission pour augmenter ledébit

Capacité (Shannon) C = B. log2(1 + S

N

)[Bits/seconde], C ↗ si B ↗

⇒ �ltrage inverse,

transmission analogique, il s'agit d'un �ltrage inverse (cas deségaliseurs analogiques) D(f ) = H−1(f ),

Attention : transmissions numériques ⇒�ltrage inverse + contraintesliées à la forme d'impulsion du signal numérique (pour éviter l'IES).

Etape suivante : Décodage.



Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)

Codage B de BCodage

canal

Codage

source Modulation

(M)(Cc)(Cs)

Codage Bruit

Canal

(H)

Demod

(D)


Source

(S)

emetteur

x y

Décodeur : Passage analogique-numérique + décodage canal (correctiond'erreur) + décodage sourceRéalisations :

échantillonnage (càd prise de décision) : �ltrage adapté(Matched-�lter) + sortie dure (hard decision) ou sortie souple (Softdecision),

décodage canal (correction d'erreur), exemple : turbo-décodeurs,déécodeur de Reed-Solomon, ...

décodage source

Fin de la chaîne de réception



Harry Nyquist (1889-1976)

Claude Shannon (1916-2001)



Irvin Stoy Reed (1923-2012)

Gustave Solomon (1930-1996)


UE433 Communications numériquesChapitre 2 - La source de l’information

Jean-Pierre BarbotUniversité Paris Sud 11 / ENS Cachan

M1-IST


1 Chapitre 2 : La source de l’informationCodage de données discrètesCodage d’une information analogique MIC (ou PCM)Modulation différentielles DPCM


Chapitre 2 : La source de l’information Codage de données discrètes

Messages représentés par des symboles en nombres bornés (m symbolesdistincts).Exemple :

les alphabets (26 lettres ou 26 symboles),les systèmes de numérotation (décimal, octal, . . . ).

On dit qu’on a une représentation m-aires ou à m moments.Ces symboles peuvent être codés par des symboles m-aires inférieur, parexemple codés en binaire :

Sources Symb. Dimensions Codage bin.alpha. simplifié lettres 27-aires 5 éb

alphabet Lettres 128-aires 7 ébNombres Chiffres Déc. : 0-9 10-aires 4 éb (DCB)Nombres Chiffres Hex. : 0-F 16-aires 4 éb (. . .)HNombres Chiffres Ternaire : a,b,c 2 ébNombres Digits Binaire : 0-1 1 éb



Symboles binaires ⇐⇒ digits ou éléments binaires (notés éb) : bits.Coder un alphabet à m = 2n symboles avec des mots binaires à ndigits⇒ il y a m! possibilités.

Exemple : mots de 2 éb (m = 4, n = 2) ⇒ 4! = 24 possibilités.

1 “étiquetage” des symboles en code binaire naturel ou en code Gray .2 signe ⇒ utiliser des codes binaires décalés ou symétriques ou encore

complément à 2 .



Symb. nat. Compl Gray Compl.à2 sym. autre etc

0 A +1 00 11 00 01 11 01 xx1 B +0 01 10 01 00 10 10 xx2 C -0 10 01 11 10 00 01 xx3 D -1 11 00 10 11 01 11 xx

Remarque 1 :5 premiers codes signe,existe des codages plus complexes, exemple mieux adaptés auxordinateurs (EBDIC, ASCII, différents DCB,...),



Remarque 2 :si le nombre de mots binaires possibles est plus grand que le nombrede symboles codés (alphabet simplifiés, DCB. . .)⇒ on dit que lecodage est redondant par rapport aux codages optimaux (Hexa,alphabet 128 signes).Cas redondants ⇒ envisager des codages non-uniformes (mots delongueur différente pour les différents symboles),

diminue la redondance,et augmente le débit binaire (codages sources ou compressions),exemple de mise en oeuvre : algorithme d’Huffman.


Chapitre 2 : La source de l’information Codage d’une information analogique MIC (ou PCM)

Codage d’une information analogique

Opérations effectuéesOpérations effectuées :

1 échantillonnage temporel du signal analogique (tension),2 quantification sur N niveaux, (pas de quantification uniforme ou non

uniforme),3 codage de chacun des niveaux.

En somme, c’est une conversion Analogique/Numérique classique{échatillonnage+blocage ; CAN}nomée curieusement Modulation par Impulsion et Codage (MIC) ou PulseCoded Modulation en anglais (PCM).



Première étape : échantillonnage temporelle

t

Te

x(t)

t

x (t)e

L’outil mathématique privilégié pour exploiter l’échantillonnage est ladistribution (impulsion) de Dirac qu’on notera δ(t).



Distribution de Dirac

Quelques rappels sur δ(t) :

x(t).δ(t) = x(0)x(t) ∗ δ(t) = x(t)

δTe (t) =+∞∑

k=−∞δ(t − k.Te)

F7−→ 1Teδ1/Te (f )

cos(2πf0t))F7−→ 1

2 (δ(f − f0) + δ(f + f0))

où :“∗” est le produit de convolution,δTe (t) est appelé “peigne de Dirac”,



L’échantillonnage idéal d’un signal x(t) à la période période Te :

xei (t) = x(t).δTe (t) (1)

la transformée de Fourier Xei (f ) = F(xei (t)) s’écrit :

Xei (f ) = X (f ) ∗ 1Teδ1/Te (f )

= 1Te

+∞∑

k=−∞X (f − k

Te)

(2)

conséquences de l’échantillonnageLe spectre du signal échantillonné est :

la somme de versions décallées de X (f ),atténuées d’un facteur 1/Te .



δTe

(t)

x(t)x(t)

t

tTe 2Te−Te

fFe−Fe 2Fe0

0 f

δ1/Te

(f)

x(f)Φ

eiΦ(f)

f

.Te

2

−Fe

Fmax

FeFe/2



La densité spectrale de X (f ) 7→ Φxei (f ) :

Φxei (f ) =

( 1Te

)2 +∞∑

k=−∞Φx (f − k

Te).

D’où le théorème d’échantillonnage de Shannon-Nyquist :

Théorème de Shannon-NyquistSoi un signal à spectre de type passe-bas strictement borné par Fmax ,échantillonné à la fréquence Fe .La condition de réversibilité impose :

Fe ≥ 2.Fmax . (3)

Remarque : le signal réel x(t) a forcément un contenu spectral dépassantFmax (Bruits de mesure), ⇒ l’échantilonneur bloqueur doit être précédépar un filtre anti-repliement (ou anti-aliasing en anglais).



Mise en oeuvre de l’échantillonnagedurée de conversion des CAN ⇒ échantillonneur bloqueur.Modèle de l’échantillonneur bloqueur : rectτ (t) (brève impulsionrectangulaire de largeur τ)

x(t)

t

xei(t)

τ

Xei (f ) s’obtient par :xei (t) = [x(t).δTe (t)] ∗ rectτ (t − τ

2 )

Xei (f ) =[

1Teδ1/Te (f ) ∗ X (f )

].τ sin(πτ f )

πτ f exp (−jπf τ)

=

1

Te

+∞∑

k=−∞X (f − k

Te)

.τ sin(πτ f )

πτ f exp (−jπf τ)



Remarque : Le spectre d’origine , en plus de la périodisation en fréquence,affecté d’une atténuation complexe en sin(x)/x



Conversion analogique numérique

1 phase d’échantillonnage temporel2 coder numériquement l’échantillon analogique. plage de conversion d’amplitude crête-crête V (écrêtage de l’amplitudedu signal) le codage numérique par appartenance à une “plage de tension”.plages de tensions ⇔ plage de conversion V en N plages de

niveaux d’amplitudes ∆i = Vi+1 − Vi

Attention : non nécessairement de taille égale.A chaque plage correspond une tension de seuil de V0 à VN−1généralement au milieu de la plage de conversion.La conversion s’opérera par détection de franchissement de ces seuils.



Les niveaux quantifiés sont alors :1 numérotés,2 puis codés en binaire (binaire naturel, code de gray, ou autres).

Remarque :conversion simple si N = 2n,composants : Converstisseurs Analogiques-Numérique (CAN ou ADCen anglais pour Analog to Digital Convertors).



Bruit de quantificationBruit additif de quantification ⇔ erreur de quantification :

eq(t) = x(t)− xq (4)

0110

0101

0100

0011

0010

0001

0000

N

v(t)

x(t)

x (t)q

e (t)

v(t)

q

∆ 2∆ 3∆ 4∆ 5∆ 6∆

−∆/2

∆/2



1 x(t) est équiréparti dans la plage V ⇒ le signal d’erreur eq(t) est àmoyenne nulle.

2 les ∆i ne sont pas nécessairement équidistants.Si (〈eq〉 = 0), alors la puissance moyenne de buit est égale à sa variance :

σ2q = E[e2q]

(5)

Si le signal a la densité de probabilité p(x) de prendre la valeur x , ilaura la probabilité p(xi ) d’être quantifié en xi .

Rappel :

+∞∫

−∞p(x)dx = 1

N−1∑

i=1p(xi )∆i = 1

(6)



On peut donc, d’après 5 et 6, exprimer σ2q sous la forme :

σ2q =N−1∑

i=0

[∫

∆i

(x − xi )2 p(x)dx

](7)

S’il est possible d’assimiler p(x) et p(xi ), (N grand) :

σ2q =N−1∑

i=0p(xi )

[∫

∆i

(x − xi )2 dx

](8)

Si xi est la médianne de l’intervalle, (7) s’écrit :

σ2q =N−1∑

i=0p(xi )

xi +∆i /2∫

xi −∆i /2

(x − xi )2 dx

=N−1∑

i=0p(xi ).

∆3i

12

(9)

⇒ connaître p(xi ) permet de minimiser la puissance du bruit dequantification σ2q.J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST)) UE433 (Ch 2) Vendredi 13 mars 2015 19 / 32


Quantification uniforme

∆i = ∆ = D

D = 2N

α

−1 +1

+1

−1

2

Quantification uniforme

y

x



Si p(xi ) = cste (Loi uniforme) alors ∆i = ∆ et (9) devient :

σ2q =∆2

12 (10)

Pour une conversion sur n bits et une plage de conversion V∆ = V

2n−1 approximé par ∆ = V2n ( 2n grand)

pas de quantification ∆ “quantum”.

Second critère de choix d’un CAN : le RSBDans la pratique, on le choix d’un CAN s’effectue généralement à partir deconsidérations sur le RSB (Rapport Signal à Bruit). Le RSB est définitpar :

RSB =Pxσ2q

(11)

Px : puissance du signal analogique à quantifierσ2q puissance du bruit de quantification.



En décibel (dB), l’équation (11) donne :

RSBdB = 10.log10(

Pxσ2q

)

= 6.n + 10.77− 10.log10(

PxV 2

)− [FdB]

(12)

F : facteur de crêteEmpiriquement F est de l’ordre de 12 à 15 dB pour la quantificationdes signaux sonores.

Remarque 1 : Ce rapport signal sur bruit dépend beaucoup de l’amplitudedu signal par rapport à la plage V , ce qui défavorise les petits signaux.Remarque 2 : Ce rapport augmente de 6dB quand on double le nombre deniveaux c’est à dire quand on ajoute un digit de codage.Remarque 3 : si x(t) signal sinusoïdal d’amplitude crête-crête V(Amplitude Max. = V /2), (12) devient :

RSBdB = 6× n + 1.8− [FdB] (13)



Quantification non-uniforme

+1

−1

2

D=2/N

+1−1

x i

α

∆ i

N niveaux Codage non−uniforme

∆ i+1

y

x

Signal codé y normalisé et signal converti (entre −1 et +1),N niveaux, y divisé en N intervalles équidistants : D = 2/N.



1 Loi uniforme ⇒ intervalles sur x équidistants : ∆i = ∆ = D ettan (α) = 1.

2 Loi non uniforme, toujours D = 2/N=constante, mais ∆i différents.On a :

tan (α) =

(dydx

)

x=xi

∆i =D

tan (α)=

2N

(dxdy

)

x=xi

Remarque : ∆iest divisé par 2 pour un digit de codage suplémentaire (carN = 2n).



Loi A et loi µLoi A et loi µ : conversion non-uniformeobjectifRendre le rapport signal sur bruit de quantification indépendant du niveaudu signal,c’est-à-dire imposer Px

σ2Q= cste.

Puissance du signal :

Px =

∫ 1

−1x2p(x)dx

Puissance de bruit donné par (9) avec ∆i dépendant de x , à la limiteet en remplaçant ∆i par son expression :

σ2q =

+1∫

−1p(x).

∆2i

12 dx =

+1∫

−1p(x).

[2N

dxdy

]2

12 dx



Le RSB s’écrit alors :

Pxσq

=

+1∫

−1x2p(x)dx

13N2

+1∫

−1

[dxdy

]2p(x).dx

= cste

possible avec dxdy = kx

D’oùPxσq

= 3N2

k2

en dB :(

Pxσq

)dB

= 6n + 4.7− 20.log10 (k)

(car N = 2n avec n le nombre de bit)



Si dxdy = kx alors :

y =1k Ln |x |+ 1

Irréalisable au voisinage de “0”, les approximations pratiques sont lessuivantes :

Loi µ : (Etats Unis)y = ln(1+µ|x |)

ln(1+µ)µ = 255Loi A : (Europe){ y = Ax

1+ln(A) si |x | < 1A

y = 1+ln(A|x |)1+ln(A) si |x | ≥ 1

AA = 87, 6

[1] ITU -R Recommendation G.711, Pulse Code Modulation of voicefrequencies



0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Valeurs de x

Lo

i A

et

loi

mu

Loi A

Loi mu



Mise en oeuvre pratique

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

� � � �

��

��

��

��

��

��

��

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��

��

� � � �

!�!!�!!�!!�!

"�""�""�""�"

#�##�##�##�#

$�$$�$$�$$�$

%�%%�%%�%%�%

&�&&�&&�&&�&

'�''�''�''�'

(�((�((�((�(

)�))�))�))�)

*�**�**�**�*

A B C D0001A B C D001 1A B C D001 1A B C D01 1 1A B C D001 1A B C D01 1 1A B C D01 1 1A B C D1 1 1 17

A B C D00 1A B C D00 1

A B C D0 1 1A B C D0

A B C D01 1A B C D1

A B C D1 10 10

0 11 01 001 0 0 01 0 0 0 0

A B C D0001 0 0 0 0

y

23456

1x

Pente

1684211/21/4

bit de signe n◦ du segment

n◦ segment CAN : 12 bitsCompression 13 segmentscodé sur 8 bits

Son 8 bits Loi A

1 Europe : compression et codage à 13 segments,2 Etats Unis : compression similaire à 15 segments



MIC 30 voies[2] Norme CEPT Commission Européenne des Postes etTélécommunications.

Te = 125 µs => Fe = 8 kHz

MVT 1

IT : 0 1

2

2 16

16

17

17

18

3031

MVT

1 D=2Mbits/s : 30 voies,2 D=8Mbits/s : 120 voies,3 D=34Mbits/s : 480 voies,4 D=140Mbits/s : 1920 voies.


Chapitre 2 : La source de l’information Modulation différentielles DPCM

AN

extrapolateur extrapolateur

s(t)

e(n)

s(n) s(n)-e(n) m bits

AN

s*(n)-e*(n) s*(n)

e*(n)+-

∑ ∑++

MIC Différentielle (DPCM) : on ne transmet que la différence.

Filtre passe−basde lissage

s*(n)e*(n)

AN

extrapolateur

AN

NA

extrapolateur

s(t) s*(n)∑+

+e*(n)

m bits

+

+

s(n)-e*(n)

s*(n)-e*(n)-+

s(n)s*(n)-e*(n)

∑

∑

Modulateur différentiel

Remarque 1 : choix de l’interpolateur fonction de la statistique du signals(t).Remarque 2 : l’interpolation la plus courante consiste à prendresimplement l’échantillon précédent e*(n)=s*(n-1).Remarque 3 : on peut parfois améliorer l’interpolation en intégrant lesignal avant codage (exemple : modulation delta-sigma (Σ∆)).J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST)) UE433 (Ch 2) Vendredi 13 mars 2015 31 / 32

Chapitre 2 : La source de l’information Modulation différentielles DPCM

Modulation ∆

Cas particulier : modulation ∆ :

tt

∆

Phénomène de traînage1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1


UE433 Communications numériquesChapitre 3 - Choix d’un code en bande de base (BdeB)


M1-IST


1 Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de BaseMise en équationClassificationCodes BdeB usuelsEmbrouillage et étalement de spectre


Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base

Signal en Bande de Base (BdeB) ⇔ signal n’ayant pas subit detransposition en fréquence

un code en bande de base 6= codage source ou canal, n’est pas uncryptage,consiste à :

choisir une forme d’impulsion de tension,des niveaux de tension

ceci afin de transmettre un débit D dans un canal de bande passanteB.

Le codage en BdeB assure une DSP compatible avec la fonction detransfert du canal, + transmission fréquence horloge.



Source

(S)

Bruit

CanalCodage

(C)

Modulation Demodulation

(M) (H) (D)

Egaliseur

Regenrateur

(E)

Decodeur

(Decod)






Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base Mise en équation

3.1 Mise en équation



Objectif : transmettre dn, mot de code constitué d’une suite d’élémentsbinaires {βn},⇒on émet e(t) (Pulse Amplitude Modulation : PAM)

e(t) =∑

kak .g(t − kT ) (1)

ak pris dans un alphabet de tension {A0,A1, · · · ,AM−1} à M niveauxde tension possibles (cas d’un codage de tension M-aire),g(t) une forme d’impulsion (ex : rectangulaire de durée T ,triangulaire de durée T , impulsion de Nyquist de durée T ).T est la durée du symbole transmis avec T = n.Tb, (transmissiond’un n-uplet d’éléments binaires choisi parmi M = 2n élémentspossibles).



Exemples de forme d’impulsiong(t)

t0

V

Tb

Impulsion rectangulaire

−6 −4 −2 0 2 4 6−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tb

Impulsion de Nyquist(alpha = 0.22)

Impulsion de NyquistJ.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST)) UE433 (Ch 3) Vendredi 13 mars 2015 9 / 42


Exemple : Cas binaireM = 21,1 seul élément élément binaire transmis pendant T = 1.Tb,ak peut prendre les amplitudes A0 = 0 et A1 = +1.

Exemple : Cas quaternairen = 2,2 éléments binaires transmis simultanément,M = 22 = 4,T = 2.Tb,ak peut prendre par exemple les amplitudes A0 = 0, A1 = +1 ,A2 = +2, A1 = +3 (cas d’un format unipolaire).





La rapidité de modulation en sortie du codeur ligne est donc :

R = 1T

= 1nTb

= Dlog2(M)

(2)

Le débit binaire D = 1/Tb (en bits/s),la rapidité de modulation R = D/log2(M) (en Bauds).



e(t) sous forme d’un produit de convolution :

e(t) = g(t) ∗ a(t) (3)

a(t) =∑

kak .δ (t − kT ).

La DSP du signal émis s’écrit (formule des interférences) :

φee(f ) = |G(f )|2 × φaa(f ) (4)

φee(f ) est le V 2/Hz,G(f ) = T .F .(g(t)),φaa(f ) D.S.P. de a(t).



Or a(t) est aléatoire ⇒ impossible de calculer A(f ).La DSP φaa(f ) s’obtient par :

φaa(f ) = T .F . (Raa(τ))

avec Raa(τ) définie par :

Raa(τ) = E [a∗(t).a(t + τ)]

= limT 7→+∞

1T

∫ +T/2

−T/2a∗(t).a(t + τ).dt (5)

(unité de Raa(τ) est le V 2).On obtient φaa(f ) à partir des propriétés statistiques de ce signal (codesavec ou sans mémoire, moyenne statistique nulle, stationnarité, ...).



Remarque 1 La densité spectrale de puissance φee(f ) d’un signalnumérique e(t) est constituée d’éventuelles raies et dumodule au carré de la transformée de Fourier G(f ) au carréde l’impulsion g(t). Parmi les propriétés recherchées danscertains codes en bande de base, celle de la présence deraies à la fréquence d’horloge du code (fhorl−code = 1/T )est très importante. Cette propriété permet lasynchronisation du récepteur à l’aide par exemple d’une PLL,boucle de Costas, ....

Remarque 2 La fonction d’autocorrelation de e(t), Ree(τ) est périodique.Cette propriété s’appele la cyclostationarité. Elle est utiliséedans certaines applications pour la récupération du rythme Tet la synchronisation.


Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base Classification

3.2 Classification



Les codes en BdeB peuvent être classés suivant les arguments :1 Codes (ou formats) NRZ et RZ,2 Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires,3 Codes avec ou sans mémoires



Codes RZ et NRZ

RZ = Return to Zerol’impulsion utilisée repasse par zéro pendant T

g(t) =

6= 0 ∀t ∈ [0, λT [

0 ∀t ∈ ]λT ,T ]

NRZ = Non Return to Zerol’impulsion utilisée ne repasse pas par zéro pendant T

g(t) 6= 0 ∀t ∈ [0,T [



Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires

M-Aires : information codée sur plusieurs niveaux de tension(Bin-aires = 2 niveaux de tension)Les codes unipolaires ⇔ un seul signe,càd ttes les différentes amplitudes possibles de ak(ak ∈ {0, 1, 2, · · · ,m − 1}) pour un codes m-aire sont toutes positives(ou toutes négatives. ⇒ leurs moyennes ne sont pas nulles.



Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires(suite)



Codes (ou formats) M-aires unipolaires ou antipolaires(suite)

Les codes antipolaires sont symétriques par rapport à 0, on distingue :les cas pairs : ak ∈

{± 1

2 ,± 32 ,± 5

2 , · · · ,±m2}

les cas impairs : ak ∈{0,± 1

2 ,± 32 ,± 5

2 , · · · ,±m2}

Les codes antipolaires peuvent être à moyenne statistique nulle.

Exemple :pour une transmission binaire ak = ±1

2 peut convenir,Le cas impair ne peut convenir au binaire (exemple du cas ternaireak ∈

{0,±1

2

}à trois niveaux), mais peut être utilisé pour un système

binaire pseudo-ternaire.



Codes avec ou sans mémoire

Codes BdeB sans mémoire : transcodage systématique.exemple : dans le cas binaire, on aura toujours :ak = +1 si βk = 1ak = 0 si βk = 0Codes avec mémoire utilise les valeurs des bits précédemmenttransmis (βk−1, βk−2, ... etc) pour déterminer la valeur de ak .exemple : codes AMI (Alterned Marked Impulsion) où le bit βk = 1est codé altenativement par ak = +1 et ak = −1.


Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base Codes BdeB usuels

3.3 Codes BdeB usuels



Rappel :

φee(f ) = |G(f )|2 × φaa(f ) (6)

Dans le cas d’un code BdeB :1 à symboles indépendants (sans mémoire),2 à symboles identiquement distribués (même Prob. d’apparition pour

chaque symbole)alors :

φaa(f ) =σ2aT +

m2a

T 2

+∞∑

k=−∞δ

(f − k

T

)(7)

ma la moyenne statisque de ak (ma = E [ak ] ∀k),et σ2a la variance du signal (σ2a = E

[|ak −ma|2

]∀k).



Codes NRZ binaires

NRZ binaire antipolaire

Tb

1 l 0 l 1 l 0 l 0 l 1 l

+V

−V

t

g(t)

b2T 3T 4T 6T

b b5T

b b

on a :ak = +1 si βk = 1ak = −1 si βk = 0alors ma = 0, σ2a = V 2.Pour la forme d’impulsion rectangulaire (généralement le cas) :

φee(f ) = V 2Tb.(sinπfTb

πfTb

)2(8)



Code NRZ binaire unipolaire on a :ak = +1 si βk = 1ak = 0 si βk = 0⇒ ma = +V /2 et σ2a = V 2/4, d’où :

φee(f ) =V 2Tb4 .

(sinπfTbπfTb

)2+

V 2

4 δ(f ) (9)



Code NRZ M-AireGénéralisation du code NRZ binaire.Soit ak ∈ {±1,±2, · · · ,±(M − 1)},

ma = 0

σ2a = 2M

(M/2)−1∑

p=0(2p + 1)2

Si impulsion rectangulaire de durée T = nT b

φee(f ) =(M − 1)2

3 .V 2T .(sinπfT

πfT

)2(10)



Codes RZ binairesPour un RZλ et une impulsion rectangulaire, on a :

g(t) =

+V ∀t ∈ [0, λTb]

0 ∀t ∈ ]λTb,Tb]

φee(f ) = V 2λ2Tb4 .

(sinπf λTbπf λTb

)2

+V 2λ2Tb4

+∞∑

k=−∞

(sin (kπλ)kπλ

)2δ

(f − k

Tb

) (11)

Le plus classique : code RZ1/2.Pour RZ1/2 :Avantage : Raie à 1/Tb,Incovéniant : longue suite de 0l ⇒ D.S.P. s’annule.



Code Manchester :ak = +1 si βk = 1ak = −1 si βk = 0Pour une impulsion rectangulaire :

g(t) =

+V ∀t ∈[0, Tb

2

]

−V ∀t ∈]

Tb2 ,Tb

]

0 ∀t /∈ [0,Tb]

alors :

φee(f ) = V 2Tb.

(sinπf Tb

2πf Tb

2

)2

.

(sinπf Tb

2

)2(12)



remarque 1 : Codage Manchester est un transcodage 1B2B(le 1l est codé par 10 alors qu’un 0l est codé par 01. Lesdeux mots 11 et 00 ne sont jamais utilisés.

remarque 2 : La DSP d’un code Manchester a une raie à la fréquencef = 1/Tb (synchronisation possible).Sa densité spectrale de puissance est nulle à f = 0.Une longue suite de 0l⇒ D.S.P. 7→ 0.



Codes en Bande de Base à symboles dépendants

Code Bipolaire RZ1/2 : (également appelé code AMI-RZ1/2)ak = ±1 si βk = 1ak = 0 si βk = 0donc ma =0 et σ2a = 1/2.Impulsion de type RZ1/2, ici de forme rectangulaire :

g(t) =

+V ∀t ∈[0, 12Tb

]

0 ∀t ∈]12Tb,Tb

]

φee(f ) =V 2Tb4 sin2 (πfTb) .sinc2

(πfTb2

)(13)

Remarque : le code bipolaire RZ1/2 est un code à symboles dépendants(ou code avec mémoire)J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST)) UE433 (Ch 3) Vendredi 13 mars 2015 31 / 42


Cas d’un code avec mémoirePour un code avec “mémoire” :

φaa(f ) =σ2aT +

2σ2aT

∞∑

k=1Raa (k) cos (2πkfT ) +

m2a

T 2

+∞∑

k=−∞δ

(f − k

T

)(14)

avec : ma la moyenne statisque de ak (ma = E [ak ] ∀k),σ2a la variance dusignal (σ2a = E

[|ak −ma|2

]∀k), Raa (k) fonction d’aucorrélation

normalisée des symboles ak

Raa (k) =E [(an −ma) (an−k −ma)]

σ2a

Remarque : e(t) prend 3 niveaux de tension : {+V ,−V , 0}, (1l codéalternativement par {+V ,−V }, 0l par 0 Volts : code pseudo-ternaire.Si{βk} est une longue succession de 0l ⇒ D.S.P. → 0.



Code Bipolaire NRZ (AMI NRZ)Comme pour le code bipolaire :ak = ±1 si βk = 1ak = 0 si βk = 0Avec g(t) NRZ de forme rectangulaire

g(t) =

+V ∀t ∈ [0,Tb]

0 ∀t /∈ [0,Tb]

Longue suite de 0l , D.S.P 7→ 0.



Codes HDBn

But : éviter DSP 7→ 0 pour une longue suite de 0l ,⇒ code HDBn interdisent la transmission de plus de n “0l” successifs.Le plus utilisé, le code HDB3 :Exemple :





Code de Miller :Ce code contient une transistion au moins toutes les deux durées Tb,⇒ récupération possible de l’horloge.

φee(f ) = V 2Tb [1− cos (2πfTb)][1− cos (πfTb)]

(πfTb)2 (15)







Autres codes en BdeB :Buts :s’affranchir d’une suite de digits identiques,éventuellement de détecter des erreurs, ...Moyen : transcodage de x éléments binaires en mots de y symbolesM-aires.Nom : transcodage xByM (bien sur My > 2x ).Exemple :le transcodage 5B6B (32 mots binaires de 5 digits en 64 mots binaires de6 digits) un mot sur deux n’est pas utilisé ce qui permet de détecter desanomalies de transmission.Le transcodage 4B3T qui transforme 16 mots binaires en 27 motsternaires, très utilisé car bien adapté aux câbles coaxiaux.



Cas particulier :code CMI (Coded Mark Inversion)

Il s’agit d’un code établi à partir d’un transcodage 1B2B. Le bit βk = 0 estcodé par la suite binaire 10 et le bit βk = 1 est codé alternativment par 11et 00. Ce transcodage est bien adapté à la transmission sur fibre optique.

code ManchesterIl s’agit à nouveau d’un code établi à partir d’un transcodage 1B2B.


Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base Embrouillage et étalement de spectre

3.4 Embrouillage et étalement de spectre


Chapitre 3 : Choix d’un code en Bande de Base Embrouillage et étalement de spectre

Afin d’assurer dans une suite d’éléments binaires une succession detransistion suffisante, on utilise parfois un embrouilleur-désembrouilleur :

Autres applications :pour le cryptage d’informations numériques,pour l’étalement de spectre (exemple : communications par satellitesen large bande),pour permettre l’accès multiple en CDMA (exemple de système : lanorme Européenne 3G UMTS).


UE433 Communications numériquesChapitre 4 - Transmission dans un canal en bande de

base (non bruité)


M1-IST


1 Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité)Définitions (et rappels)Carractéristiques du canalPremier critère de NyquistImpulsions de NyquistCapacité du canal


Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité) Définitions (et rappels)

4.1 Définitions (et rappels)



Objectif : transmettre dn, mot de code constitué d’une suite d’élémentsbinaires {βn},⇒on émet e(t) (Pulse Amplitude Modulation : PAM)

e(t) =∑

kak .g(t − kT ) = a(t)⊗ g(t) (1)

ak pris dans un alphabet de tension {A0,A1, · · · ,AM−1} à M niveauxde tension possibles (cas d’un codage de tension M-aire),⊗ est le produit de convolution, a(t) =

∑

kak .δ(t − kT ),

g(t) une forme d’impulsion (ex : rectangulaire de durée T ,triangulaire de durée T , impulsion de Nyquist de durée T ).T est la durée du symbole transmis avec T = n.Tb, (transmissiond’un n-uplet d’éléments binaires).



Définitions à connaître :1 La rapidité de modulation : R = 1/T (ou rapidité de modulation), R

s’exprime en Bauds.2 Le débit binaire D = 1/Tb (en bit/s),avec Tb la durée d’un bit (ou

digit) .Comme T = log2(M).Tb, on a :

R =D

log2(M)(2)

D’où, pour M (ou moments) fixé :

M D2 D = R3 D = 1.538R4 D = 2R


Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité) Carractéristiques du canal

4.2 Caractéristiques du canal



Source

+codage

(S+C)

Bruit

Canal

(H)

Fitre de

e(t) n(t)

Gr(f)

reception

t=t0+nT

Detecteur

a seuil

Filtre

d’emission

G(f)

d(t)r(t)

Canal supposé :1 linéaire et invariant ⇒ entièrement caractérisé par sa réponse

fréquentielle H(f ),2 bruité par un bruit n(t) additif.3 de type passe-bas et de bande B (transmission en bande de base).



Source

+codage

(S+C)

Bruit

Canal

(H)

Fitre de

e(t) n(t)

Gr(f)

reception

t=t0+nT

Detecteur

a seuil

Filtre

d’emission

G(f)

d(t)r(t)

Le signal reçu et filtré r(t), s’écrit :

r(t) = gr (t)⊗ h(t)⊗ e(t) + gr (t)⊗ n(t)= gr (t)⊗ h(t)⊗

∑

kak .g(t − kT ) + b(t)

=∑

kak .y(t − kT ) + b(t)

(3)

g(t) la forme d’impulsion (filtre d’émission G(f )),gr (t) la réponse impulsionnelle du filtre de réception (de fonction detransfert Gr (f )),b(t) la contribution du Bruit



Précisons :b(t) est supposé Additif Blanc Gaussien (BABG), à moyenne nulle etde variance σ2 :

p(b) = 1√2πσ2

exp(− b2

2σ2

)(4)

Le filtre de réception peut être optimisé afin de maximiser le rapportsignal sur bruit après réception.Dans ce cas :

Goptr (f ) = (G(f ).H(f ))∗ (5)

Nous supposerons maintenant que Gr (f ) = Goptr (f ).



Ainsi, après échantillonnage à l’instant de prise de décision, nous auronsdonc :

r(t0 + nT ) =∑

kak .y(t0 + nT − kT ) + b(t0 + nT ) = d(t0 + nT )

r(t0 + nT ) = any(t0) +∑

k 6=nak .y(t0 + (n − k)T ) + b(t0 + nT ) (6)

Dans cette espression :any(t0) représente l’information voulue,∑

k 6=nak .y(t0 + (n − k)T ) terme due à l’Interférences Entre Symboles

transmis (IES),et b(t0 + nT ) contribution du bruit BABG.



Pour un récepteur est parfaitement synchronisé, on souhaite qu’à l’instantde prise de décision :

r(t0 + nT ) = any(t0) + b(t0 + nT ) (7)

donc il faut :∑

k 6=nak .y(t0 + (n − k)T ) = 0 (8)

Le terme d’interférence entre symboles s’écrivant :

IES =∑

k 6=nak .y(t0 + (n − k)T )

=∑

kak .gr (t0 + nT )⊗ h(t0 + nT )⊗ g(t0 + (n − k)T )



L’IES dépend ainsi de h(.) et du choix de g(.) et de gr (.).Dans le cas d’un filtre de réception optimal Gopt

r (f ) = (G(f ).H(f ))∗et pour une synchronisation parfaite, l’annulation de l’IES consiste àchoisir une forme d’impulsion compatible avec le canal et telle quel’IES soit nulle (équation (8)).



En résumé :

Le canal de transmission engendre plusieurs effets :1 De possibles interférences entre symboles (IES) ⇒ forme de

l’impulsion et filtre de réception en fonction de critères liés à laréponse impulsionnelle du canal.Le canal sera supposé, pour une transmission en bande de base, detype passe-bande de bande passante B,⇒ choix de choix : le “premier critère de Nyquist”.

2 La bande passante limitée B et la présence de bruit conduisent àlimiter le débit maximal de la transmission D : Dmax < C , C la“capacité de Shannon”.

3 A cause de ce buit additif, il y a des risques d’erreurs de décision ensortie du détecteur à seuil⇒ calcul de la“probabilité d’erreur”.


Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité) Premier critère de Nyquist

4.3 Premier critère de Nyquist



En l’absence de bruit, on a :

r(t0 + nT ) = any(t0) +∑

k 6=nak .y(t0 + (n − k)T ) (9)

Si on souhaite que :

r(t0 + nT ) = any(t0)

il faut que :

y(t0 + nT ) =

y(t0) pour n = 0

0 ∀n 6= 0(10)



Exprimons cette condition en sortie de l’échantillonneur de prise dedécision d(t) :

d(t) = y(t)∑

nδ (t − t0 − nT ) (11)

dont la transformée de Fourier s’écrit :

D(f ) = 1T∑

nY(

f − nT

)e−j2πn t0

T (12)

Or, comme (11) s’écrit également :

d(t) =∑

ny(t0 + nT )δ (t − t0 − nT ) (13)

expression dont la transformée de Fourier est :

D(f ) =∑

ny(t0 + nT ).e−j2πf (t0+nT ) (14)



Sachant que (12) et (14) sont égales (unicité de la transformée deFourier), il vient :

∑

nY(

f − nT

)e−j2π(f− n

T )t0 = T .y(t0) (15)

En posant :

Y (t0)(f ) = Y (f )y(t0)

.ej2πft0 (16)

le premier critère de Nyquist s’énonce donc ainsi :∑

nY (t0)

(f − n

T

)= T (17)



A SAVOIR

1 On ne peut pas transmettre sans Interférence Entre Symboles (IES)un signal de rapidité de modulation R = 1/T dans une bandeinférieure à 1/2T .

2 un canal respectant le premier critère de Nyquist est tel queB ≥ 1/2T .

3 On appelle bande de Nyquist :BNyquist = 1/2T (18)


Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité) Impulsions de Nyquist

4.4 Impulsion de Nyquist



Toutes les fonctions qui satisfont l’équation (17) :∑

nY (t0)

(f − n

T

)= T

vérifient le critère de Nyquist.

L’impulsion du filtre rectangulaire :

G1(f ) = T ∀f ∈[− 1

2T ,12T

]

G1(f ) = 0 ailleurs

vérifie l’équation (17),d’où à g1(t) = sinc

(πtT).



Problème : lobes secondaires élevés (dramatique en cas d’une mauvaisesynchronisation)Il faut chercher un filtre ayant des lobes secondaires moins élevés....Donc 2 critères :

1 Vérifier le 1er critère de Nyquist,2 avoir une impulsion ayant de faibles lobes secondaires.



Impulsion de Nyquist

Le filtre en cosinus surélevé vérifie ces 2 critères :

G2(f ) =

T ∀f ∈[−1−α

2T , 1−α2T

]

T2

[1+ sin

(πTα

(12T − |f |

))]1−α2T ≤ |f | ≤ 1−α

2TG1(f ) = 0 ailleurs

et donc g2(t) =sin(πt

T ) cos(παtT )

πtT .

(1−4α2 t2

T2

) .

avec α,le Roll Off, tel que 0 ≤ α ≤ 1.Pour α = 0, on reconnait l’impulsion g1(t), pour α = 1 on reconnaitl’impulson du filtre de Hanning.

Exemple : pour le système de téléphonie radio-mobile 3G UMTS,l’impulsion a un Roll Off α = 0.22.






Chapitre 4 : Transmission dans un canal BdeB (non bruité) Capacité du canal

4.5 Capacité du canal



Hartley, Tuller et Shannon (HTS) ont établi une formule universellementreconnue comme critère bien qu’en grande partie empirique :

m ≤ mmax =

√

1+ SN (19)

où S/N est le rapport signal sur bruit, S étant la puissance du signal, N lapuissance du bruit.

rappel Comme S et N sont des puissances, le rapport signal sur bruitexprimé en dB s’obtient par (S/N)dB = 10.log10 (S/N).

C’est une limite supérieure qu’on ne peut “a priori” jamais atteindre, maisqui permet de caractériser les performances maximales d’un canal detransmission.



C , la capacité du canal, est le nombre maximal de bits qu’il est susceptiblede transmettre par seconde :D’après les relations (2 et 18) il vient :

C = Dmax = R.log2 (mmax ) = B.log2(1+ S

N

)(20)

L’unité de C est bien sur le bit/s. C est la capacité de Shannon.



A savoir :Pour un canal de transmission de type passe-bas (en bande de base), debande passante B et bruité par un BABG (Bruit Additif Blanc Gaussien),le débit doit toujours être inférieur à :

C = Dmax = B.log2(1+ S

N

)(21)

C s’appelle capacité de Shannon, exprimée en bits/s, S est la puissance dusignal transmis et N est la puissance du bruit.


UE433 Communications numériquesChapitre 5 - Egalisation


M1-IST


1 Chapitre 5 : EgalisationEgaliseur numériqueRèglage de l’égaliseur


Chapitre 5 : Egalisation Egaliseur numérique

Egaliseur numérique

Source

+codage

(S+C)

Bruit

t=t0+nT

Detecteur

a seuil

d(t)r(t)Canal

(H)

Fitre de

e(t) n(t)

Gr(f)

reception

Filtre

d’emission

G(f)

Egaliseur

(E)

Figure: Chaîne de transmission numérique avec égaliseur

Un canal de transmission idéal :

h(t) = K .δ(t − τ) (1)

(càd H(f ) = TF (h(t)) = K .e−2iπf τ )



Si le canal était idéal :signal en sortie du canal sans déformation,si de plus l’impulsion émise vérifiait le critère de Nyquist, il suffiraitalors dans ce cas de se placer au rythme d’échantillonnage T etd’isoler, en comparant l’amplitude du signal reçu à des seuils, lesdifférents niveaux correspondants au code m-aire (voir figure 1).



Pour un canal H(f ) quelconque, les effets :du bruit (N élevée),des atténuations (S faible),de la bande limitée B (IES), · · ·

⇒les échantillons prélevés conduisent à des erreurs d’interprétation.

Afin de limiter les effets du canal on place toujours un égaliseur (E) dansla chaîne de réception du signal.



Remarque :(Attention) Le rôle de l’égaliseur n’est pas le même en transmissionanalogique et en transmission numérique.

En transmission analogique, l’idéal consiste à réaliserH(f ).E (f ) = exp (−2πf τ), ce qui correspond à un simple retard τ , etrevient donc à éliminer les effets du canal pour se ramener, vu durécepteur, à un canal idéal.Théoriquement il faudrait donc réaliser |E (f )| = |H(f )|−1, c’est àdire, dans le cas d’un canal analogique, l’égaliseur idéal est un filtreinverse.Pour une transmission numérique : il faut que l’impulsion reçue et vueaprès l’égaliseur respecte le premier critère de Nyquist.



Ainsi, il faut que :∑

nG(

f − nT

).H(

f − nT

).Gr

(f − n

T

).E(

f − nT

)= T (2)

Une réalisation possible est alors :

G(

f − nT

).H(

f − nT

).Gr

(f − n

T

).E(

f − nT

)= T .rect1/T (f ) (3)

pour une impulsion issue d’un filtre rectangulaire.Comme nous l’avons vu au chapitre précédent, on choisit plutôt unimpulsion de Nyquist.L’égaliseur est implémenté numériquement et s’apparente à un filtrenumérique.Différentes stratégies d’optimisations sont possibles (Moindres carrés,adaptatifs, etc...).



Figure: Egaliseur DFE (Decision Feedback Equalizer)


Chapitre 5 : Egalisation Règlage de l’égaliseur

Réglage de l’égaliseur

Figure: Diagramme de l’oeil

Dans cet exemple , on voit superposées plusieurs réalisations du signalreçu, c’est à dire plusieurs impulsions successives.



Les indications fournies par le diagramme de l’oeil sont :1 L’épaisseur de la paupiére (a) qui est un indicateur de la présence et

de l’écart type du bruit additif,2 L’ouverture de l’oeil permet de savoir si la détection sera aisée ou non

(immunité au bruit),3 la commisure de l’oeil, (c), permet de savoir si le signal présente de la

“gigue”, c’est à dire si l’on est ou non parfaitement synchronisé.



Ce diagramme permet également de détecter la présence d’interférencesentre symboles (IES), et donc savoir si l’égaliseur remplie son rôle et s’il acompensé les effets des éléments de la chaîne de transmission.

Figure: Diagramme de l’oeil en présence d’IES


UE433 Communications numériquesChapitre 6 - Erreurs de décision (influence du bruit)


M1-IST


1 Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit)HypothèsesTaux d’erreur binaire (BER)Introduction du rapport signal sur bruit (S/N)Filtre adapté (optimisation du RSB)


Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit) Hypothèses

Hypothèses

1 Synchronisation parfaite,2 égalisation parfaite de la chaîne de transmission⇒les erreurs de décision sont uniquement dues au bruit.


Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit) Taux d’erreur binaire (BER)

Taux d’erreursLe signal reçu r(t) peut se mettre sous la forme :

r(t) = u(t) + b(t) (1)

u(t) la partie utile du signal, que l’on échantillonne à l’instant de prisede décision,b(t) le bruit, que l’on suppose BABG, c’est à dire tel que :

p(b) =1√2πσ2

exp(− b2

2σ2

)(2)

DéfinitionLe Taux d’Erreur Binaire (TEB) ou Bit Error Rate (BER) est défini par :

BER =nbre bits faux

nbre total de bits transmisJ.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST)) UE433 (Ch 6) Vendredi 13 mars 2015 4 / 24


Taux d’erreurOn appelle taux d’erreur, ε, la probabilité de prendre une mauvaisedécision sur l’information transmise→ sachant les conditions de bruit (càd pour une variance de bruit σ2donnée)→ en connaissant l’emplacement des seuils de décision,→ en connaissant la probabilité d’apparition des symboles.

Utilité : permet de connaitre a priori la qualité de la transmission.Remarque : dans le cas binaire, ε = εb s’appelle Taux d’Erreur Binaire(BER en anglais pour Bit Error Rate)Exemple : dans le cahier des charges de l’ADSL, le BER maximal est fixé àεb ≤ 1.10−7



ExempleSoit une transmission binaire, où :

u(t0) = +1V si le bit transmis est un 1l ,u(t0) = −1V si le bit transmis est un 0l ,p(1l ) = p(0l ) = 0.5la variance du bruit est σ2

En conséquenceLe seuil est placé à : 0 Volt,on a un écart de ∆ = 2V entre les niveaux de tension.

Erreur de décision ⇔ décider qu’un 1l avait été transmis alors que c’étaitun 0l (et inversement).Ecrivons ce qu’est ε dans ce cas concret :

ε = prob (de transmettre un 0l ) .prob (choisir un 1l )+prob (de transmettre un 1l ) .prob (choisir un 0l )



Ce qui peut se ré-écrire sous la forme :

ε = p (0l ) .prob (r(t0) > 0) + p (1l ) .prob (r(t0) < 0)

où r(t0) est la tension mesurée à l’instant de prise de décision.Représentons à quoi cela correspond :

Figure: Probabilité d’erreur d’estimation



On peut donc maintenant calculer la probabilité d’erreur :

ε = p (0l ) .prob (r(t0) > 0) + p (1l ) .prob (r(t0) < 0)

Si p (0l ) = p (1l ) = 1/2, et p(x) donné par (2) :

ε = 12 ×

∫ +∞

0

1√2πσ2

exp(−(x + ∆/2)2

2σ2

)dx

+12 ×

∫ 0

−∞

1√2πσ2

exp(−(x −∆/2)2

2σ2

)dx

changement de variable x ′ = x −∆/2 :

ε =12 ×

∫ +∞

∆/2σ

1√2π

exp(−(x)2

2

)dx +

12 ×

∫ −∆/2σ

−∞

1√2π

exp(−x2

2

)dx



Comme la loi de distribution Gaussienne est paire, on obtient :

ε =12

∫ +∞

∆/2σ

1√2π

exp(−x2

2

)dx +

12

∫ +∞

∆/2σ

1√2π

exp(−x2

2

)dx

=

∫ +∞

∆/2σ

1√2π

exp(−x2

2

)

⇒ fct de répartition complémentée de la loi Gaussienne normalisée(σ = 1) :

Gc(

∆2σ

)=

∫ +∞

∆/2σ

1√2π

exp(−x2

2

)dx

= 1−∫ ∆/2σ

−∞

1√2π

exp(−(x)2

2

)dx

= 1− F ( ∆2σ )





L’usage, dans le domaine des télécommunications numériques, estd’utiliser la fonction erfc(.) (pour complementary error function) :

erfc(x) =2√π

+∞∫

xexp

(−r2

)dr = 1− erf (x)

la relation entre la fonction Gc(.) et erfc(.) est donc :

Gc (x) =12 .erfc

( x√2

)

Remarque : MatLab possède les fonctions erfc(.) et erf (.).



Code m-aire unipolaire

Soit un code m-aire unipolaire tel que :écart entre niveaux uniforme vallant ∆,seuils de décision situés à ∆/2,

le taux d’erreur moyen ε est donné par l’expression :

ε = p (0) .prob(u > ∆

2

)+ p (m − 1) .prob

(u < −∆

2

)

+m−2∑

k=1p(k).prob

(|u| ≥ ∆

2

)

avec : p(k) la probabilité pour que l’on transmette un niveau kSi les niveaux sont équiprobables, p(k) = 1

m on a :

ε =2 (m − 1)

m .Gc

(∆

2σ

)=

(m − 1)

m .erfc(

∆

2√2σ

)


Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit) Introduction du rapport signal sur bruit (S/N)

Expression du taux d’erreur en fonction du rapport signal àbruit

Signal en bande de base est un signal aléatoire, la puissance du signals’exprime sous la forme :

S =m−1∑

k=0p(k).a2k

Si tous les niveaux sont équiprobables et pour un écart constants entreniveaux ∆, on obtient :

pour les codes m−aires unipolaire S = (m−1)(2m−1)6 ∆2

pour les cas antipolaires S = m2−112 ∆2

La puissance du bruit est σ2.



On obtient avec les formules précédantes :pour les cas unipolaire ε = 2(m−1)

m .Gc(√

32(m−1)(2m−1) .

SN

)

pour les cas antipolaires ε = 2(m−1)m .Gc

(√3

m2−1 .SN

)

et pour les cas binaires, on a respectivement εb = Gc

(√S2N

);

εb = Gc

(√SN

).



Cas d’un mot à “n” digits

Soit un sytème de transmission dont le taux moyen d’erreur par élémentbinaire εb, avec lequel on transmet une information à l’aide de mots delongueur n (n digits), on peut dire :

que la probabilité pour qu’un élément binaire soit juste est (1− εb),que la probabilité que tous les éb du mot, qui sont indépendants,soient justes, donc que le mot n’ait pas d’erreur, estM(0) = (1− εb)n,que la probabilité pour qu’il n’y ait qu’une erreur (un seul élémentbinaire faux dans le mot) est M(1) = n.εb. (1− εb)n−1,



que la probabilité pour qu’il y ait k erreurs dans le mot (k<n) estM(k) = Ck

n εkb (1− εb)n−k avec Ck

n = n!(n−k)!k! ,

que la probabilité pour qu’il y ait au moins une erreur dans le mot estM(> 0) = 1− (1− εb)n qui est souvent approximée par (∼= nεb),que la probabilité pour qu’il y ait plus d’une erreur dans le mot estM(> 1) = 1− (1− εb)n − n.εb. (1− εb)n−1 càd tous les cas possiblesauf ceux où il n’y a pas d’erreur et ceux où il n’y a qu’une erreur.


Chapitre 6 : Erreurs de décision (influence du bruit) Filtre adapté (optimisation du RSB)

Le filtre adapté

(H)

Filtre deréception

gr(t)

Filtre adapté

t = t0 + nTd(t)

Détecteurà seuil

r(t)CanalFiltred’émission

g(t)a(t)

Bruit

Egaliseur(E)

e(t) s(t)

Chaîne de transmission

Le BER est directement lié au RSB :

par exemple εb = Gc

√

SN

dans le cas binaire antipolaire

⇒ le filtre de réception doit maximiser le RSB à l’instant de prise dedécision, le filtre de réception s’appelle dans ce cas Filtre Adapté



A l’instant de prise de décision t = t0 + nT , le RSB doit être maximal :

S/N =r2 (t0 + nT )

E [b2 (t0 + nT )]

avec :r(t) = gr (t) ∗ s(t) =

∫ +∞

−∞gr (t − τ) s (τ) dτ

b(t) = gr (t) ∗ n(t)

n(t) un BABG de moyenne nulle et de variance σ2n

p(n) =1√2πσ2n

exp(− n22σ2n

)

De plus, on a φbb (f ) = |Gr (f )|2 φnn (f ) (formule des interférences)



Puissance de bruit :

N =

+∞∫

−∞φbb(f )df

=

+∞∫

−∞|Gr (f )|2 φnn (f ) df

= σ2n2

+∞∫

−∞|gr (τ)|2 df

Hypothèses- l’égaliseur a parfaitement compensé l’effet du canal- le système est parfaitement synchronisé⇒ s(t0 + nT ) ≈ ge (t0 + nT )



Puissance du signal :

r (t0 + nT ) =

+∞∫

−∞ge (t0 + nT − τ) gr (τ) dτ (3)

S (t0 + nT ) = |r (t0 + nT )|2

=

∣∣∣∣∣∣

+∞∫

−∞ge (t0 + nT − τ) gr (τ) dτ

∣∣∣∣∣∣

2

≤+∞∫

−∞|ge (t0 + nT − τ)|2 dτ ×

+∞∫

−∞|gr (τ)|2 dτ

(inégalité de Schwarz)



S (t0 + nT ) sera donc maximale si :

gr (t) = C × g∗e (t0 + nT − t) avec C une constante

(condition pour laquelle l’inégalité de Schwarz devient une égalité)Le filtre adapté a donc pour réponse impulsionnelle :

gr (t) = C × g∗e (TD − t)

Dans ce cas, le RSB s’exprime sous la forme :

S/N =

+∞∫

−∞|ge (t0 + nT − τ)|2 dτ

σ2n2



Réalisation du filtre adapté

(H)

Filtre deréception

gr(t)

Filtre adapté

t = t0 + nTd(t)

Détecteurà seuil

r(t)CanalFiltred’émission

g(t)a(t)

Bruit

Egaliseur(E)

e(t) s(t)

Chaîne de transmission

Réalisation du filtre adaptéPeut être réalisé :- soit directement par une réalisation électronique,- ou numériquement en exploitant les propriétés de la “corrélation”.



Rappel : corrélationLa corrélation de 2 fonctions, ge (.) et s (.), peut s’écrire :

Rges(t) =

∞∫

−∞g∗e (τ)s(t + τ)dτ (4)

Par changement de variable, on obtient la “classique” relation entreproduit de convolution et corrélation :

Rges(t) =

∞∫

−∞g∗e (τ)s(t + τ)dτ

=

∞∫

−∞g∗e (−τ ′)s(t − τ ′)dτ ′

= g∗e (−t) ∗ s(t)

(5)



On remarquera que :

Rges (t) = g∗e (−t)︸︷︷︸gr (t)

∗ s(t)

la corrélation de s(.) par ge(.) est donc bien une mise en oeuvre possibledu filtre adapté.


UE433 Communications numériquesChapitre 7 - Modulations numériques.

Jean-Pierre Barbot

Université Paris Sud 11 / ENS CachanM1-IST

Vendredi 10 avril 2015

Chapitre 7 : Modulations Numériques

1 RappelsModulation d’AmplitudeModulations Angulaires

2 Modulations numériquesModulation d’amplitudeModulations angulairesFSK cohérenteFSK incohérenteDémodulation

3 Modulations dérivéesMAQExemples d’application

J.-P. Barbot (U-PSud (M1-IST)) UE433 (Ch 7) Vendredi 10 avril 2015 2 / 30

Modulation analogique : le modulant contient l’information, laporteuse est un signal (sinusoïde) modulé en amplitude (AM) ouangulairement (FM, PM),Modulation numérique : le modulant contient l’information (souventcode en B de B), la porteuse est un signal (sinusoïde) modulé enamplitude (ASK) ou angulairement (FSK, PSK, DPSK, MSK ) ou enamplitude et en phase (QAM).

⇒ Il n’y a pas de différence entre une modulation analogique et unemodulation numérique.


Rappels

Rappels

s(t) signal modulé :

s(t) = u(t). cos (2πf0t + φ(t)) = Re [u(t). exp (j (2πf0t + φ(t)))]

f0 7→ fréquence porteuse,u(t) 7→amplitude instantannée, (AM)φ(t) 7→ phase de la porteuse. (FM, PM)


Rappels Modulation d’Amplitude

AM : u(t) modulée par m(t) et φ(t) = φ0

modulation d’amplitude avec porteuse :u(t) = A (1 + e.m(t))

où e taux de modulation (en %), avec e ≤ 1.

s(t) = A (1 + e.m(t)) cos (2πf0t + φ0)

= A cos (2πf0t + φ0) + A.m.e(t) cos (2πf0t + φ0)

modulation d’amplitude à porteuse supprimée :s(t) = A.m(t) cos (2πf0t + φ0)


Rappels Modulation d’Amplitude

S(f ) = U(f )⊗ 12 (δ(f − f0) + δ(f + f0))

= 12U(f − f0) + 1

2U(f + f0)

Si U(f ) occupe la bande B, le signal modulé S(f ) occupe la bande :

BAM = 2× B. (1)

bande latérale supérieure U(f + f0) =⇒ BBLU−Sup = Bbande latérale inférieure U(f − f0) =⇒ BBLU−Inf = B


Rappels Modulations Angulaires

Modulations angulaires : φ(t) modulée par m(t) et u(t) = Aφi (t) la phase instantanée du signal s(t), définie ainsi :

φi (t) = 2πf0t + φ(t)

fi (t) la fréquence instantanée de s(t) :

fi (t) =12π

dφi (t)

dt = f0 +12π

dφ(t)

dtEn exprimant la fréquence instantanée fi (t) sous la forme :

fi (t) = f0 + ∆.mf (t)

∆ : excursion en fréquence maximale (|mf (t)| ≤ 1).


Rappels Modulations Angulaires

fi (t) ∈ [f0 −∆ ; f 0 + ∆].Bande de Carson Bc :

Bc = 2× (B + ∆) = 2B × (1 + β) (2)

β est l’indice de modulation,B est la bande occupée, en bande de base par mf (t).

Modulation FM

mf (t) = α.m(t)

avec α permettant de réaliser la contrainte |mf (t)| ≤ 1Modulation PM

φ(t) = αm(t)

mf (t) =12π

d (α.m(t))

dt =α

2πd (m(t))

dt


Modulations numériques


Modulations numériquesModulation numérique ≡ modulation analogique dont le modulant est unsignal “type” code en bande de base

Indicateurs suplémentaires :l’efficacité spectrale

η =DB (en bit/s/Hz) (3)

D le débit (en bit/s), avec D = R × log2(M),B bande occupée.



l’énergie bit sur la puissance de bruit :

EbN0

=Energie bit (Joule/bit)

Densité spectrale de bruit unilaterale (W /Hz)(4)

le Rapport Signal à Bruit (RSB) :

PsPb

=D × EbB × N0

= η × EbN0

(5)


Modulations numériques Modulation d’amplitude

Modulations ASK (Amplitude Shift Keying)

u(t) prend M valeurs discrètes pour une transmission M-aire.Exemple de réalisation :

u(t) s(t)

p(t) = cos(2πf0t)

1 u(t) de type NRZ unipolaire à M niveaux et impulsion rectangulaire :R = 1

T (1er lobe),BASK−Rect = 2R =

2T



2 u(t) de type NRZ unipolaire, à M niveaux et dont l’impulsionrespecte le 1er critère de Nyquist :

BASK−Nyquist = R = 2× 12T

Avantages :variations de f0 et de la phase de φ(t) sans influence,

Inconvéniants :très sensible au bruit additif (fading), agissant donc sur l’amplitudedu signal.



⇒ Cas particulier : OOK (On Off Keying)

Efficacité spectrale :OOK avec impulsion rectangulaire :

ηOOK−rect , DB = 1/T

2×1/T = 0, 5(bit/s)/Hz

OOK respectant le 1er critère de NyquistηOOK−Nyquist , D

B = 1/T2×1/2T = 1 (bit/s)/Hz



Représentation polaire de u(t):

s(t) = Re [u(t). exp (j (2πf0t + φ(t)))]

= Re [u(t). exp (jφ(t)) exp (j2πf0t)]

= Re [u(t) exp (j2πf0t)]

0 A0l

Im(u(t))

Re(u(t))

1l

Q

I


Modulations numériques Modulations angulaires

Modulation numérique de phase (PSK)

Modulations numériques PSKDans le cas des modulations PSK :

l’amplitude est constante,seule φ(t) code l’info. numérique (u est constante)

s(t) = Re [u. exp (j (2πf0t + φ(t)))]

= Re [u. exp (jφ(t)) exp (j2πf0t)]




PSK-2 (BPSK)

Pour une modulation BPSK u(t) = A, φ(t) = {0, π}

s(t) = A cos (ω0t + φ(t) + ϕ)

φ(t) = 0 ou π,à la fréquence R = 1

Tb(on suppose

une BPSK est une modulation d’amplitude

s(t) = ±A. cos (ω0t + ϕ)

⇒ modulation d’amplitude d’un signal sinusoïdal par un signal modulantnumérique au format NRZ antipolaire(±1).⇒ BBPSK−rect = 2R



Efficacité spectrale :ηBPSK−rect = D

B = R2R = 0.5 (bit/s)/Hz

ηBPSK−Nyquist = DB =

1Tb

2× 12Tb

= 1 (bit/s)/Hz

0

Im(u(t))

Re(u(t))

1l

Q

I0l

A−A



Démodulation





PSK-4 (QPSK)

Pour une modulation QPSK u(t) = A, φ(t) ={0, π

2 , π,−π2}

s(t) = A cos (ω0t + φ(t) + ϕ)

φ(t) ∈ {0, π2 , π,−π

2}

à la fréquence rythme R = 1T = 1

2Tb

s(t) = A cos (ω0t + φ(t) + ϕ) =A cos (φ(t))× cos (ω0t + ϕ)− A sin (φ(t))× sin (ω0t + ϕ)

Efficacité spectrale :ηQPSK−rect = D

B = 2R2R = 1 (bit/s)/Hz

ηQPSK−Nyquist = DB = 2 (bit/s)/Hz



0

Im(u(t))

Re(u(t))

Q

IA−A

00

01

10

11

i × A

−i × A

O.L

e(t)

A× cos(2πfpt)

dephas. π2

∑

A× sin(2πfpt)

ak = ±1

bk = ±1



Comme il y a 4 points dans une constellation QPSK, la durée T = 2×Tb.Pour un même débit binaire D = 1/Tb que pour une BPSK,l’encombrement en fréquences sera de 4f = 2. 1

2T = R : (0,7-0,8 R enpratique). L’encombrement est ainsi divisé par deux, ce qui est un grandavantage. Une autre possibilité consiste à doubler le rythme detransmission, en conservant l’encombrement d’une modulation 2 états.


Modulations numériques FSK cohérente

Modulation FSK (Frequency Shift Keying)

La fréquence de la porteuse ∈ {f0, f1, f2, · · · , fM−1}.Modulation par sauts de fréquence : FSK (Frequency Shift Keying).

FSK cohérenteA et 0 au rythme (cas unipolaire) R = 1

T ,ou +A et −A, toujours au rythme R = 1

T , (cas antipolaire).

A la sortie du VCO on a la fréquence instantanée :fi (t) = f0 + αA = f0 ±∆

VCOx(t)FSK

Bc(FSK ) = 2.R (β + 1) = 2 (∆ + R)


Modulations numériques FSK cohérente

f

β = 14 très utilisé (GSM)

β = 1π

intéressant (spectre carré)

β = 12 début d’élargissement


Modulations numériques FSK incohérente

Deux oscillateurs de fréquences f1 et f2 différentes, commutés au rythmeR = 1

T suivant un format NRZ.

On a donc :

∆ =|f2 − f1|

2

f0 =f1 + f2

2


Modulations numériques Démodulation

systèmes classiques de démodulation de fréquence,(PLLs,discriminateurs de phase)un démodulateurs par comptage,quand β est grand et que les deux fréquences sont éloignées : 2 filtressélectifs .


Modulations dérivées

Modulations derivees


Modulations dérivées MAQ

MAQ

Modulations MAQC’est à la fois une modulation de phase et d’amplitude :

s(t) = Re [u(t). exp (jφ(t))× exp (j2πf0t)]

u(t) varie, u(t) = {+A,+2A,+3A, · · · },φ(t) varie, φ(t) = {φ1, φ2, φ3, · · · }

Représentation polaire de u(t):

s(t) = Re [u(t). exp (j (2πf0t + φ(t)))]

= Re [u(t). exp (jφ(t)) exp (j2πf0t)]




La modulation BPSK (PSK-2) est aussi une MAQ-2 (QAM-2 enanglais)

La modulation QPSK (PSK-4) est aussi une MAQ-4 (QAM-4 inenglish)



MAQ-16 (ou QAM-16)


Modulations dérivées Exemples d’application

Exemples d’application

Modulation SystèmesMSK, GMSK GSM, CDPD

BPSK telemetrie spatiale, cable.QPSK DQPSK CDMA, DVB-S, cable, cable modems

OQPSK CDMA, satellite, DECT8PSK Satellite, avionique

16 QAM DVB-C, DVB-T (TNT)32 QAM DVB-T64 QAM DVB-C256 QAM DVB-C (Europe), Video numérique(US)4096 QAM ADSL, VDSL2


Documents

UE433 Communications numériques Chapitre 1 - Introduction