Un parcours détude et de recherche sur les nombres relatifs en 5 e Des pistes pour un atelier de travail et de débat Groupe didactique de lIREM dAix-Marseille

Un parcours d’étude et de recherche sur les nombres relatifs

en 5e

Des pistes pour un atelier de travail et de débat

Groupe didactique de l’IREM d’Aix-Marseille

Journées AMPERES des 19 & 20 mai 2009

Notre choix didactique

• On se place dans un cadre interne aux mathématiques, ce qui évite de devoir immédiatement traiter de la modélisation

• Les relatifs sont des programmes de calcul• P1 : « à un nombre on ajoute un deuxième et

on soustrait un troisième ». Le relatif est le programme P2, simplifié à partir de P1 tout en lui étant équivalent : « à un nombre on ajoute ou soustrait un deuxième »

Notre choix didactique

• Avant d’aborder ce PER, les élèves ont travaillé la définition de la différence (dans N ou dans D ) ; c’est une connaissance disponible, non problématique. La différence des nombres a et b est d tel que a + d = b et on note d = b – a

• Le début de l’enseignement s’appuie sur des moments courts de calcul mental et réfléchi (10 min en début d’heure) étalés dans la durée

Temps 1 : élaboration d’un stratégie pour calculer mentalement a + b - c

• Etape 1 : cas b > cConsigne 1 : Effectue mentalement les calculs suivants : 17 + 21 - 1 ; 148 + 199 - 99 ; 17 + 35 - 15 ; 131 + 256 - 56 ; 39 + 58 – 8 ; 185 + 2017 - 17.• P : Faisant de la sorte, est-on sûr d’avoir obtenu

les résultats exacts ? • Institutionnalisation de cette nouvelle technique• Exercice :15 + 37 – 7 ; 121 + 229 – 29 ; 58 + 1024

– 24 ; 104 + 72 – 12.


• Etape 2 : b > c ou b < cConsigne 2 : Effectue mentalement les calculs suivants :14 + 17 - 15 ; 114 + 17 - 15 ; 1802 + 319 - 315 ;4374 + 62 - 61 ; 4374 + 61 – 62 ; 7081 + 61 – 62 .• P : A quoi équivaut le programme de calcul

« ajouter 61 puis soustraire 62 » ?• Nouvelle institutionnalisation : « Ajouter 61 et

soustraire 62 à un nombre revient à soustraire 1 à ce nombre »


• Etape 3 : c > bConsigne 3 :Effectue mentalement les calculs suivants :458 + 45 - 46 ; 3469 + 45 – 46 ; 3469 + 124 - 125 ;

15627 + 124 – 125 ; 15627 + 313 - 314 ; 823 + 313 – 314 ; 823 + 32 - 33 ; 4586 + 32 – 33 ; 4586 + 7538 – 7539 ; 3,5 + 32 – 31 ; 823 + 7,2 – 8,2.

• P : « Qu’avons-nous appris de ces calculs ? » L’attention des élèves est attirée par ce qui se fait avec + b – c.


• Institutionnalisation :3. Une nouvelle notation pour simplifier l’écriture Pour simplifier l’écriture du programme de calcul,

« à un nombre, on ajoute 45 et on soustrait 46 », on aurait pu écrire : … + 45 – 46 = … - 1. On a préféré écrire : +45 – 46 = -1 qui signifie que si à un nombre, on ajoute 45 puis on soustrait 46, alors on lui soustrait 1.

• Exercice : Trouver d’autres écritures qui donnent –1.

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs

• Etape 4 : mise en évidence de nombres négatifs• 1re voie : Trouvez des programmes de calculs

revenant à soustraire 2, 3, 4, 5 ou 6 au premier nombre, donc à écrire –2, -3, -4, -5 ou –6

• 2de voie : liste de calculs en travail à la maisonEcris sous forme simplifiée à quoi équivaut

l’application au premier nombre de l’addition suivie de la soustraction, dans ces calculs : 15627 + 314 - 316 ; 823 + 31- 34 ; 4586 + 44 – 48 ; 26 + 52 – 55 ; 364,5 + 524,1 – 524,6 ; 1010 + 0,21 – 0,31 ; 23,6 + 2,2 – 2,9.


• Exercice : pour chaque programme de calcul ci-dessous, donnez le programme de calcul équivalent le plus simple : +4 – 5 ; +3,7 – 4,7 ; +6,34 – 9,34 ; +503,9 – 510,9 ; +54 – 70 ; +768,3 – 769, 5 ; +72,165 – 74,166 +0,8 – 0,9 ; +1,7 – 1,79 ; +2,85 – 22,85.

• Question par P ou les élèves : « On a vu qu’on pouvait écrire de manière simplifiée un programme de calcul qui aboutit à soustraire, peut-on faire de même pour ajouter ? »


• + 21 – 1 = + 20 (ajouter 21 puis soustraire 1 équivaut à ajouter 20)

• On décide, par commodité, de ne pas écrire le premier nombre

• Institutionnalisation : Si à un nombre on ajoute 2017 puis on soustrait 17, alors on ajoute 2000 à ce nombre : on le note : + 2017 – 17 = + 2000 . Remarque, pour gagner du temps, cette phrase peut être remplacée par: … + 2017 – 17 = … + 2000

• Exercice : + 7 – 11 = ; + 5 – 2 = ; + 8 – 13 = ; - 12 + 10 = ; + 8 – 3 = ; - 7 + 4 = ; - 11 + 7 = ; - 2 + 5 =;

- 13 + 8 = ; + 10 – 12 = ; - 3 + 8 = ; + 4 – 7 =


• Cours II. Un nouveau type de calculs1. Exemples+7 – 11 = -4 - 3 + 8 = + 5 2. Propriété de ce nouveau type de calculsSi on change l’ordre des opérations dans un

programme de calcul contenant des additions et des soustractions, on obtient un programme de calcul équivalent :

+7 – 11 = - 11 + 7 = - 4 - 3 + 8 = + 8 – 3 = + 5• Type d’exercices : - 8 + 5 = ; - 8 – 8 = ; + 4 + 5 = ; - 10

– 20 = ; -8 + 8 = ; - 5 + 5 – 1= ; + 7 – 4 – 3 = ;+ 4 – 4 + 2 =


III. De nouveaux nombres : les nombres négatifs1. Les nombres négatifs, les nombres relatifsDéfinition : On décide de considérer -1, -2, -3 … comme

de nouveaux nombres. Ils sont précédés d’un signe « - » et on les appelle « nombres négatifs ». On les écrit : -1, -2, -3,…

Remarques : a) - 5 + 5 – 1= - 1 Donc : 0 – 1= -1 b) + 4– 4 + 2 = + 2 Or 0 + 2 = 2 Donc +2 = 2


Définitions : a) Les nombres (arithmétiques), utilisés jusqu’à présent,

peuvent donc être notés avec un signe + ; on les appelle des nombres positifs.

b) Nombres positifs et négatifs sont appelés « nombres relatifs »

Remarque : Le nombre 0 est un nombre à la fois positif et négatif (un programme de calcul ne change pas s’il est équivalent à ajouter ou soustraire 0)


• Etape 5 : addition des relatifs• P : Comment savoir si ces nombres nouveaux, que

l’on appelle nombres relatifs, se comportent comme les nombres que l’on connaissait auparavant ? Pour cela, recherchons ce qui se fait avec des nombres.

• En principe, les élèves répondent qu’on calcule avec les nombres

• P : par exemple peut-on calculer la somme et la différence de +7 et +2, de +7 et -2, de -7 et -2, de -5 et +3 ?

• AU TRAVAIL !!!


• Consigne 5 : Calculer les sommes suivantes de nombres relatifs : +7 + (-2) ; -7 + (-2)

• Une difficulté : le raisonnement utilisé, basé sur les programmes de calcul, s’applique à 7 - 2 mais son extension à +7 + (-2) mérite d’être interrogée, de même que pour la transformation de -7 + (-2) en –7 – 2.

• ATTENTION !!! CHANGEMENT PAR RAPPORT AU FICHIER EN LIGNE…

Une 1re voie : P reprend la main : une idée difficile à trouver, est « d’emprunter 2 à 7 » dans le calcul de +7 + (-2)

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 1re voie (non testée)

• +7 + (-2) = 7 + (-2) = 5 + 2 + (-2) On admet l’associativité de + dans ZNouvelle question : à quoi peut être égal 2 + (-2) ?• P : 2 + (-2) est-il ou non égal à 0, comme certains le

disent ? Qu’est-ce qui nous le prouve ?• On transforme ainsi la question « 2 + (-2) = 0 ? » en

résoudre : « l’équation 2 + x = 0 », donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0.

• 2 + … = 0, c’est la définition de la différence de 0 et 2, notée 0 – 2 = -2


• On vient donc de démontrer que 2 + (-2) = 0. Il en est de même pour 3 + (-3), etc. -2 + (+2) = -2 + 2 = 0 (puisque +2 = 2),

• On dit que - 8 est l’opposé de + 8 et que + 8 est l’opposé de - 8, ou encore que + 8 et – 8 sont opposés.

• On a établi la commutativité pour l’addition des opposés.

• Terminez le calcul


• En utilisant le résultat présupposé par les élèves, « ce calcul donne -9 ». On sait déjà que -7 - 2 = -9, donc :

-7 + (-2) = -7 - 2 + 2 + (-2) = -7 - 2 + 0 = -9

• Exercices d’entraînement du type : Calculer 10 + (-15) = ; -3 + (-9) = ; -4 + (+9) = ; -9 + (-3) = ; 8 + (-5) = ; 5,3 + (-5,12) = ; -5 + (+ 8)= ; -15 + (+ 10) = ; 9 + (-4) =

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 2e voie (testée)



• RETOUR AU FICHIER MIS EN LIGNE• P reprend la main : une idée difficile à trouver,

introduire 0 dans le calcul de +7 + (-2)


• +7 + (-2) = 7 + (-2) = 7 + 0 + (-2)• S’entraîner à écrire 0 : – 8 + 8 = 0, – 5 + 5 = 0 et

+ 4 – 4 = 0 avec des programmes de calcul• P : Quelle écriture pourrait nous servir pour

remplacer 0 dans le calcul de 7 + 0 + (-2) ?• Quatre possibilités…• AU TRAVAIL !!!


• P : Ne peut-on examiner les quatre calculs précédents de manière à faire apparaître la somme de deux opposés et la remplacer par 0 ?

• P : 2 + (-2) est-il ou non égal à 0 ? Qu’est-ce qui nous le prouve ? Peut-on démontrer qu’ajouter à un nombre son opposé donne une somme nulle ?

• On transforme ainsi la question « 2 + (-2) = 0 ? » en résoudre : « l’équation 2 + x = 0 », donc trouver x qui, ajouté à 2, donne 0.

• On vient donc de démontrer que 2 + (-2) = 0. Il en est de même pour 3 + (-3), etc. -2 + (+2) = -2 + 2 = 0 (puisque +2 = 2), ce qui établit la commutativité pour l’addition des opposés.


• P : -7 + (-2) = -7 + 0 + (-2) = -7 – 2 + 2 + (-2)= -9 + 0= -9

• Exercice : Calculer 10 + (-15) = ; -3 + (-9) = ; -4 + (+9) = ; -9 + (-3) = ; 8 + (-5) = ; 5,3 + (-5,12) = ; -5 + (+ 8)= ; -15 + (+ 10) = ; 9 + (-4) =

• AU TRAVAIL !!!

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 3e voie (non testée)



• P reprend la main : une idée difficile à trouver, « et si on revenait à la définition des programmes de calcul ? »


• Par exemple que 7 est une simplification pour un programme de calcul, comme « à un nombre on ajoute 9 et on soustrait 2 » et -2 « à un nombre on ajoute 3 et on soustrait 5 »

• Ainsi le calcul 7 + (-2) revient à dire « qu’à un nombre on ajoute 9, on soustrait 2, puis on ajoute 3 et on soustrait 5 », donc à ce nombre on ajoute 9 – 2 + 3 – 5 qui font 5.

• Donc 7 + (-2) = 5 = +5


• On continue avec les autres calculs : -7 + (-2)• -7 signifie qu’à un nombre on a soustrait 7, ce qu’on

peut par exemple écrire qu’on lui ajoute 2 et soustrait 9 peut-être

• -2 s’est par exemple encore qu’on ajoute 3 et soustrait 5

• Donc : -7 + (-2) signifie qu’à un nombre on ajoute 2, soustrait 9, ajoute 3 et soustrait 5, donc qu’on fait 2 – 9 + 3 – 5, donc qu’on a soustrait 9.

• Conclusion : -7 + (-2) = -9


• Remarque : en suivant la 3e voie, on n’a pas eu besoin de rencontrer les nombres opposés

• On consigne ce que l’on vient de trouver dans le cahier de cours qui porte sur le calcul de la somme de deux relatifs.

• La commutativité de + est rencontrée en remarquant l’égalité des résultats obtenus en commutant les termes (admise), mais il est possible d’en faire une démonstration orale

• Exercices : On peut désormais donner aux élèves les exercices classiques d’entraînement au calcul de la somme de deux relatifs.

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 1re voie non testée

• Etape 6 • P : Après l’addition, la soustraction est-elle une

autre opération possible avec les relatifs ? On se souvient que l’on avait buté sur les calculs +7 – (-2) et -7 – (-2) …

• Les élèves se lancent dans diverses tentatives ; certains essaient de faire intervenir la technique de l’emprunt donc faire intervenir l’opposé de -2 mais sans succès car 5 + 2 – (-2) 1re voie non testée

• P : Peut-on utiliser le technique de l’emprunt en utilisant -2 ? A quoi faut-il « emprunter » ?

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 1re voie non testée

• Si on écrit : +7 – (-2) = 9 -2 – (-2) = 9 + (-2) – (-2) = 9 + 0 On admet + a –

b = + (a – b ) = 9

• Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans l’aide du professeur, le cas du calcul de -7 – (-2) « par emprunt » -7 = -5 – 2 = -5 + (-2)

Temps 2 : définition et opérations sur les nombres relatifs 2e voie testée

• Si on écrit : +7 – (-2) = +7 -2 + (+2) – (-2) ousi on choisit d’écrire : +7 – (-2) = 7 +2 + (-2) – (-2)

• Que se passe-t-il ???• Puis les élèves résolvent par eux-mêmes, sans

l’aide du professeur, le cas du calcul de -7 – (-2)


• Les élèves continuent à utiliser cette technique dans d’autres calculs, le plus judicieusement possible : 10 - (-15) = ; -3 - (-9) = ; -4 - (+9) = ; -9 - (-3) = ; 8 - (-5) = ; 5,3 - (-5,12) = ; -5 - (+ 8)= : -15 - (+ 10) = ; 9 - (-4) =

• On consigne dans le cahier de cours la technique la plus économique

• Exercice : Déterminer les valeurs de d dans les différents cas suivants : 6,3 + d = 2,9 ;d + (-1,7) = -2,4 ; -5,3 = d +(-2,8) ;

L’ordre et les inéquationsLe début d’un long parcours de la 5e (et

même avant) à la 3e (et même après)Ebauche pour le PER sur les relatifs

Question génératrice de l’étude : comment faire pour comparer ?

En 5e : l’ordre dans Z et dans D

• Les élèves ont étudié la nécessité des nombres relatifs, leur addition et leur soustraction (l’exposé de ce PER sera fait le 16 avril)

• On se pose la question Q : « Comment faire pour comparer deux relatifs ? »

• Si l’on a appris à comparer deux positifs, la chose est moins probante lorsqu’il s’agit de comparer un négatif et un positif, ou deux négatifs.

• Les élèves recourent à la connaissance « sociale » de telles comparaisons ; le professeur explique que l’on va en rechercher une validation mathématique


• On a déjà remarqué que lorsqu’on soustrait un positif à un nombre qui lui est plus grand, on obtient un positif ; on obtient un négatif dans le cas contraire : 9 – 3 = et 3 – 9 = ; 5,7 – 2,3 = et 2,3 – 5,7 = ; etc.

• On a ainsi travaillé : a et b étant deux nombres positifssi a < b, alors a – b est négatifsi a > b, alors a – b est positif• Question : Peut-on se servir de cette remarque

pour répondre à la question Q : « Comment faire pour comparer deux relatifs ? » ?


• Question : La réciproque étant vraie pour les positifs, pourrait-on l’étendre aux autres nombres que l’on souhaite comparer ?

• On la teste sur des exemples : -7 – (-9) = -7 + 9 = +2 ; ce qui voudrait donc direque -7 > -9-1,5 – (+1,2) = -1,5 – 1,2 = -2,7 ; ce qui voudraitdonc dire que -1,5 < +1,2-0,43 - (-0,58) = -0,43 + 0,58 = +0,15 ; ce quivoudrait donc dire que -0,43 > -0,58

En 5e : l’ordre dans Z et dans D• La question demeure : comment établir

mathématiquement ces résultats ?• Le professeur fait remarquer que pour comparer deux

nombres, il suffit de les ajouter à un même nombre et de comparer les résultats, si on sait le faire. On postule l’extension à Z et D de la compatibilité de l’ordre avec l’addition dans N ; on se sert de :« Si a + c < b + c alors a < b » Remarque : c’est le programme qui l’impose puisqu’on n’a pas la définition a < b a – b < 0 qui permet d’établir ensuite la compatibilité.

• Question : qu’ajouter à -7 et -9 pour pouvoir ainsi les comparer ? A -1,5 et +1,2 ? A -0,43 et -0,58 ?


• Nouvelles questions : Quelle est la règle générale de comparaison ? Peut-on ordonner ainsi les entiers relatifs ?

• Commençons par comparer les négatifs autour de -7 et -9, puis tous les négatifs.

• On sait que 0 < 1 < 2 < 3 <… Quel lien entre les suites ordonnées des négatifs et des positifs ? Des élèves savent que -1 < 0 : le démontrer !

• On étend l’ordre sur Z à D et on s’exerce.• On établit ainsi les règles de comparaison des

relatifs.

En 4e : ordre et multiplication (ébauche)

• Sans calcul, dire quel est le signe de 7,352 – 2,302 ? -8,4 – 2,4 ? -0,025 - 0,25 ?

• On reprend ce qui a été étudié en 5e et qui n’a pas été institutionnalisé, propre à l’ordre et au signe de la différence. On avait vu pour les positifs que si a < b alors a – b négatif. Cette propriété s’étend-elle à tous les relatifs ?

• Cette propriété a-t-elle une réciproque vraie ?La réponse à cette question passe par l’examen des quatre cas pour les signes de a et b.

En 4e : ordre et multiplication (ébauche)• On établit ainsi : a < b a – b < 0

et a > b a – b > 0 Remarques : *comme un relatif est soit positif, soit négatif, soit

nul, alors étant donnés deux relatifs a et b, on a soit a < b, soit a > b, soit a = b ( Q est totalement ordonné)

*a – 0 = a, {a positif} {a > 0} et {a négatif} {a < 0}

• Question : Sachant que n < -1, peut-on établir une inégalité pour n + 1 ? n – 1 ? 5 × n ? -5 × n ? n/5 ? n/(-5) ? Vérifier les affirmations sur des valeurs numériques.

En 4e : ordre et multiplication (ébauche)• Question : comment se fait-il que si on ajoute ou

retranche un même nombre, l’inégalité ne semble pas changer, mais que c’est faux si on multiplie ? Quelles propriétés expliquent et justifient que partant de n < a, on ait : n ± 1 < a ± 1, 5n < 5a et -5n > -5a ? Pourquoi cela ?

• On établit ainsi :• Si a < b alors a – b < 0

alors (a ± c) – (b ± c) < 0 alors a ± c < b ± c

• Avec c > 0, si a < b alors (a – b)c < 0 donc ac < bc Avec c < 0, si a < b alors (a – b)c > 0 donc ac > bc

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