Les vecteurs

A - Vecteurs gaux

1- Dfinition

Deux vecteurs sont gaux lorsqu'ils ont mme longueur, mme direction et mme sens. C'est pour cette raison qu'on reprsente les vecteurs par des flches.

Les vecteurs AB et CD sont gaux, en effet ils ont : mme longueur : AB = CD mme direction : (AB) // (CD) mme sens : le sens de A vers B est le mme que le sens de C vers D.

AttentionL'galit AB=CD regroupe trois informations ; il faut donc que les trois proprits soient vrifies pour qu'elle ait lieu.

2- Vecteurs et milieu d'un segment

Considrons trois points A, I et B.

Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si AI=IB

La proprit gomtrique I est le milieu du segment [AB] et l'galit vectorielle AI=IB sont donc quivalentes.

3- Vecteurs et paralllogrammes

Considrons quatre points A, B, C et D.

Le quadrilatre ABCD est un paralllogrammesi et seulement si AB=DC

La proprit gomtrique ABCD est un paralllogramme et l'galit vectorielle AB=DC sont donc quivalentes.

AttentionIl ne faut pas oublier de tenir compte du sens des vecteurs : pour le paralllogramme ABCD, l'galit de vecteurs est AB=DC et non AB=CD .

RemarqueLe paralllogramme ABCD peut aussi tre nomm BCDA, CDAB, DABC, ADCB, DCBA, CBAD ou BACD. Chaque faon de le nommer fournit une nouvelle galit vectorielle; on a finalement les 4 galits suivantes :AB=DC,BA=CD ,AD=BC ,DA=CB

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A D

B

C

AI

B

A

B

C

D

Si l'une de ces 4 galits est vrifie, les 3 autres le sont aussi.

B - Somme de vecteurs

On peut dfinir une addition des vecteurs qui a des proprits semblables celles de l'addition des nombres.

1- Relation de Chasles

Quels que soient les points A, B et C : AC=ABBCLe vecteur AC est la somme des vecteurs AB et BC .

RemarqueOn peut interprter la relation de Chasles de la faon suivante : le vecteur AB reprsente un dplacement de A vers B et le vecteur BC reprsente un dplacement de B vers C ; la somme de ces deux dplacements est un dplacement de A vers C qu'on reprsente par le vecteur AC .

AttentionLa relation de Chasles ABBC=AC (qui concerne des vecteurs) est vraie quels que soient les points A, B et C.La relation AB + BC = AC (qui concerne des distances) n'est vrifie que si le point B est sur le segment [AC]; de manire gnrale on ne peut affirmer que AB + BC AC.

2- Rgle du paralllogramme

Quels que soient les points A, B, C et D :On a l'galit ABAD=ACsi et seulement siABCD est un paralllogramme.

3- Proprits de l'addition des vecteurs

L'addition des vecteurs a des proprits semblables celles de l'addition des nombres rels.

a) Suite d'additions de vecteursLorsqu'on effectue une somme de plusieurs vecteurs, on peut modifier l'ordre des termes ou regrouper plusieurs termes sans modifier le rsultat.

b) Vecteur nul

Pour tout point A, le vecteur AA est appel vecteur nul; on le note 0 . On ne modifie pas un vecteur en lui ajoutant le vecteur nul.

c) Vecteurs oppossDeux vecteurs sont opposs lorsque leur somme est gale au vecteur nul, ils ont alors mme longueur et mme direction mais des sens diffrents.

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A

B

C

A

B

C

D

Ainsi, quels que soient les points A et B, les vecteurs AB et BA sont opposs. On crit :BA=AB .

d) Soustraction des vecteursPour soustraire un vecteur il suffit d'ajouter son oppos. Quels que soient les points A, B et C, ABAC=ABCA=CAAB=CB

C - Multiplication d'un vecteur par un rel

1- Dfinition

Pour multiplier un vecteur par un nombre rel k: on conserve la direction du vecteur on multiplie la longueur du vecteur par |k| si k est positif, on conserve le sens du vecteur, mais si k est ngatif on le change.

ExemplesSur la figure on peut constater :

CD=3 AB car (CD) // (AB), CD = 3AB et le sens de C vers D est le mme que le sens de A vers B.

EF=2 AB car (EF) // (AB), EF = 2AB et le sens de E vers F est le sens inverse de celui allant de A vers B.

Les deux galits prcdentes sont quivalentes AB=1 3 CD et

AB=1

2 EF

2- Proprits

Considrons deux vecteurs AB et CD , ainsi que deux nombres rels x et y. Les galits suivantes sont vrifies :

x yAB= xyAB xAB yAB= x yAB x ABCD=xAB xCD

Ces proprits montrent que le calcul vectoriel est trs voisin du calcul sur les nombres.

3- Applications

On dit que deux vecteurs sont colinaires lorsqu'on peut passer de l'un l'autre en effectuant une multiplication par un rel. Ainsi deux vecteurs colinaires ont mme direction, le sens et la longueur pouvant tre diffrents.

a) Droites parallles

Soient A, B, C et D quatre points. Si les vecteurs AB et CD sont colinaires, alors les droites (AB) et (CD) sont parallles.Ainsi, il suffit de trouver un nombre rel k tel que CD=kAB pour dmontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallles.

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A B

C D

EF

b) Points aligns

Soient A, B et C trois points. Si les vecteurs AB et AC sont colinaires, alors les points A, B et C sont aligns.Ainsi, il suffit de trouver un nombre rel k tel que AC=kAB pour dmontrer que les points A, B et C sont aligns.

Exemple d'applicationOn considre un triangle ABC, ainsi que les points E et F dfinis par

AE=3 5 AB et AF=

3 5 AC .

Dmontrons que les droites (BC) et (EF) sont parallles.

Pour dmontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallles, nous allons montrer que les vecteurs BC et EF sont colinaires.EF=EAAF (relation de Chasles)

EF=3 5 BA

3 5 AC (utilisation de l'nonc)

EF=3 5 BAAC (proprit de la multiplication)

EF=3 5 BC (relation de Chasles)

L'galit EF=3 5 BC montre que les vecteurs BC et EF sont colinaires, donc que les droites

(BC) et (EF) sont parallles.

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A

B C

E F

A - Vecteurs gaux1- Dfinition2- Vecteurs et milieu d'un segment3- Vecteurs et paralllogrammes

B - Somme de vecteurs1- Relation de Chasles2- Rgle du paralllogramme3- Proprits de l'addition des vecteursa) Suite d'additions de vecteursb) Vecteur nulc) Vecteurs oppossd) Soustraction des vecteurs

C - Multiplication d'un vecteur par un rel1- Dfinition2- Proprits3- Applicationsa) Droites paralllesb) Points aligns