Systmes et Asservissements temps continu
Bernard BAYLE
ENSPS, 1re anne
20102011
Cours Systmes et asservissements temps continu
Enseignant responsable
Bernard Bayle : MCF ENSPS/quipe AVR LSIIThttp://eavr.u-strasbg.fr/~bernard
Organisation
CM : 13 1h45, B. BayleTD : 10 1h45, B. Bayle, J. Carvalho, L. Cuvillon, F. RenardTP : 4 4h, S. Abdelaziz, B. Bayle, L. Cuvillon, L. Rubbert, M. Neumann
Cours Systmes et Asservissements Temps Continu
Enseignant responsable
Bernard Bayle : MCF ENSPS/quipe AVR LSIITContact : [email protected]
Evaluation (documents autoriss)CCF : 1h45
Notion de systme
SystmeEtymologiquement : ensemble organis
Systme et AutomatiqueProcd de nature quelconque : lectrique, mcanique,chimique, conomique, . . . dentre u et de sortie y .
Systme dynamiqueProcd voluant au cours du temps sous laction de sonentre u.
Notion de systme
SystmeEtymologiquement : ensemble organis
Systme et AutomatiqueProcd de nature quelconque : lectrique, mcanique,chimique, conomique, . . . dentre u et de sortie y .
Systme dynamiqueProcd voluant au cours du temps sous laction de sonentre u.
Notion de systme
SystmeEtymologiquement : ensemble organis
Systme et AutomatiqueProcd de nature quelconque : lectrique, mcanique,chimique, conomique, . . . dentre u et de sortie y .
Systme dynamiqueProcd voluant au cours du temps sous laction de sonentre u.
Notion de systme asservi
Systme asserviContre-raction : entre du systme ajuste en raction auxinformations de sortie.
A la douche . . .
Douche un bouton. . .. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .. . . un thermostat et cest rgl !
A quoi a sert ?
Avoir la temprature dsire. . .. . . le dbit deau chaude baisse ?
Notion de systme asservi
Systme asserviContre-raction : entre du systme ajuste en raction auxinformations de sortie.
A la douche . . .Douche un bouton. . .
. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .
. . . un thermostat et cest rgl !
A quoi a sert ?
Avoir la temprature dsire. . .. . . le dbit deau chaude baisse ?
Notion de systme asservi
Systme asserviContre-raction : entre du systme ajuste en raction auxinformations de sortie.
A la douche . . .Douche un bouton. . .. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .
. . . un thermostat et cest rgl !
A quoi a sert ?
Avoir la temprature dsire. . .. . . le dbit deau chaude baisse ?
Notion de systme asservi
Systme asserviContre-raction : entre du systme ajuste en raction auxinformations de sortie.
A la douche . . .Douche un bouton. . .. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .. . . un thermostat et cest rgl !
A quoi a sert ?
Avoir la temprature dsire. . .. . . le dbit deau chaude baisse ?
Notion de systme asservi
Systme asserviContre-raction : entre du systme ajuste en raction auxinformations de sortie.
A la douche . . .Douche un bouton. . .. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .. . . un thermostat et cest rgl !
A quoi a sert ?
Avoir la temprature dsire. . .
. . . le dbit deau chaude baisse ?
Notion de systme asservi
Systme asserviContre-raction : entre du systme ajuste en raction auxinformations de sortie.
A la douche . . .Douche un bouton. . .. . . aprs la douche brlante, la douche deux robinets. . .. . . un thermostat et cest rgl !
A quoi a sert ?
Avoir la temprature dsire. . .. . . le dbit deau chaude baisse ?
Systmes asservis au cours du temps (1)
Clepsydre - Ktesibios dAlexandrie (270 avant JC) - . . .Antique horloge eau
Systmes asservis au cours du temps (2)
Machine de Watt 1769Rgulation de vitesse dune machine vapeur
Systmes asservis au cours du temps (3)
Thories classiquesStabilit - Maxwell, Routh, Lyapunov, 1868-1893Servomcanismes - Nyquist, Bode, Evans, 1932-1947
Thories modernesReprsentation dtat, Bellman, Kalman, Pontryagin, 1950
Ce que vous allez apprendre. . .
ModlisationEcriture des lois de la physique, lorsque les paramtres dusystme sont relativement bien connus.
Identification dun modle dans le cas contraire.
AnalyseCaractrisation des diffrentes proprits du systme.
CommandeModification de lentre du systme par un correcteur. Mise enuvre de ce correcteur.
Ce que vous allez apprendre. . .
ModlisationEcriture des lois de la physique, lorsque les paramtres dusystme sont relativement bien connus.Identification dun modle dans le cas contraire.
AnalyseCaractrisation des diffrentes proprits du systme.
CommandeModification de lentre du systme par un correcteur. Mise enuvre de ce correcteur.
Ce que vous allez apprendre. . .
ModlisationEcriture des lois de la physique, lorsque les paramtres dusystme sont relativement bien connus.Identification dun modle dans le cas contraire.
AnalyseCaractrisation des diffrentes proprits du systme.
CommandeModification de lentre du systme par un correcteur. Mise enuvre de ce correcteur.
Ce que vous allez apprendre. . .
ModlisationEcriture des lois de la physique, lorsque les paramtres dusystme sont relativement bien connus.Identification dun modle dans le cas contraire.
AnalyseCaractrisation des diffrentes proprits du systme.
CommandeModification de lentre du systme par un correcteur. Mise enuvre de ce correcteur.
Objectifs et cadre de ltude
Systmes tudisCas des systmes monovariables : cest--dire possdant uneseule entre u et une seule sortie y .
Analogique ou numrique ?
Cas des systmes temps continu : u(t) et y(t) fonctions dunevariable continue.
Linaire ou non ?Etude des systmes au comportement linaire : soit linaires,soit linariss autour dun point de fonctionnement.
Objectifs et cadre de ltude
Systmes tudisCas des systmes monovariables : cest--dire possdant uneseule entre u et une seule sortie y .
Analogique ou numrique ?
Cas des systmes temps continu : u(t) et y(t) fonctions dunevariable continue.
Linaire ou non ?Etude des systmes au comportement linaire : soit linaires,soit linariss autour dun point de fonctionnement.
Objectifs et cadre de ltude
Systmes tudisCas des systmes monovariables : cest--dire possdant uneseule entre u et une seule sortie y .
Analogique ou numrique ?
Cas des systmes temps continu : u(t) et y(t) fonctions dunevariable continue.
Linaire ou non ?Etude des systmes au comportement linaire : soit linaires,soit linariss autour dun point de fonctionnement.
Premire partie I
Systmes temps continu
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Premier exemple : moteur courant continu (1)
Descriptionnergie lectrique : alimentation de linduit mobile (rotor)champ magntique de linducteur (spar et constant)forces lectriques (addition=balais+collecteur) : rotationsystme : entre=alimentation induit, sortie=rotation rotor
Premier exemple : moteur courant continu (2)
Modlisationmcanique : principe fondamental de la dynamiquelectrique : loi des maillesentre=tension dinduit, sortie=vitesse de rotation du rotor
e(t)
R Li(t)
u(t)f(t)
(t)
i(t)
u(t)
Premier exemple : moteur courant continu (3)
Modlisation
modlisation mcanique : f = J ddtmodlisation lectrique : Ri + L didt + e = uloi couple (par construction) : = Kmiloi vitesse (par construction) : e = Ke
e(t)
R Li(t)
u(t)f(t)
(t)
i(t)
u(t)
Premier exemple : moteur courant continu (4)
Equations mcaniques : f = J ddt et = KmiEquations lectriques : Ri + L didt + e = u et e = Ke
Relation entre u - sortie avec (Ke = Km = K ) :
Ki = f + J ddtK didt = f
ddt + J
d2dt2
RK
(f + J ddt
)+ LK
(f ddt + J
d2dt2
)+ K = u
d2dt2 +
RJ+LfLJ
ddt +
Rf +K 2LJ =
KLJ u
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 2, linaire coef. constants
Premier exemple : moteur courant continu (4)
Equations mcaniques : f = J ddt et = KmiEquations lectriques : Ri + L didt + e = u et e = Ke
Relation entre u - sortie avec (Ke = Km = K ) :Ki = f + J ddt
K didt = fddt + J
d2dt2
RK
(f + J ddt
)+ LK
(f ddt + J
d2dt2
)+ K = u
d2dt2 +
RJ+LfLJ
ddt +
Rf +K 2LJ =
KLJ u
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 2, linaire coef. constants
Premier exemple : moteur courant continu (4)
Equations mcaniques : f = J ddt et = KmiEquations lectriques : Ri + L didt + e = u et e = Ke
Relation entre u - sortie avec (Ke = Km = K ) :Ki = f + J ddtK didt = f
ddt + J
d2dt2
RK
(f + J ddt
)+ LK
(f ddt + J
d2dt2
)+ K = u
d2dt2 +
RJ+LfLJ
ddt +
Rf +K 2LJ =
KLJ u
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 2, linaire coef. constants
Premier exemple : moteur courant continu (4)
Equations mcaniques : f = J ddt et = KmiEquations lectriques : Ri + L didt + e = u et e = Ke
Relation entre u - sortie avec (Ke = Km = K ) :Ki = f + J ddtK didt = f
ddt + J
d2dt2
RK
(f + J ddt
)+ LK
(f ddt + J
d2dt2
)+ K = u
d2dt2 +
RJ+LfLJ
ddt +
Rf +K 2LJ =
KLJ u
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 2, linaire coef. constants
Premier exemple : moteur courant continu (4)
Equations mcaniques : f = J ddt et = KmiEquations lectriques : Ri + L didt + e = u et e = Ke
Relation entre u - sortie avec (Ke = Km = K ) :Ki = f + J ddtK didt = f
ddt + J
d2dt2
RK
(f + J ddt
)+ LK
(f ddt + J
d2dt2
)+ K = u
d2dt2 +
RJ+LfLJ
ddt +
Rf +K 2LJ =
KLJ u
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 2, linaire coef. constants
Premier exemple : moteur courant continu (4)
Equations mcaniques : f = J ddt et = KmiEquations lectriques : Ri + L didt + e = u et e = Ke
Relation entre u - sortie avec (Ke = Km = K ) :Ki = f + J ddtK didt = f
ddt + J
d2dt2
RK
(f + J ddt
)+ LK
(f ddt + J
d2dt2
)+ K = u
d2dt2 +
RJ+LfLJ
ddt +
Rf +K 2LJ =
KLJ u
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 2, linaire coef. constants
Deuxime exemple : suspension (1)
Descriptionvhicule : masse mvmodle suspension : ressort amorti (ks, fs)roue : masse mr , modle roue + pneu : ressort idal (kr )systme : entre=profil route, sortie=altitude vhicule
caillou !kr
systme lquilibre
mv4
mr
fsks
~z
~x
zc
zr
zv
Deuxime exemple : suspension (2)
Modlisationdeux solides lquilibremcanique : principe fondamental de la statique
fsks
mv4
fs
mr
kr
ks
mv4 g
mr g
ksls
kr lrksls
vhiculeroue
Equilibre
Deuxime exemple : suspension (3)
Modlisationdeux solides en mouvementmcanique : principe fondamental de la dynamique
fsks
mv4
fs
mr
kr
ks
fs ddt (zv zr )
ks(zv zr ) fs ddt (zv zr )
ks(zv zr )
kr (zr zc)
zv
zc
vhiculeroue
Variations
zr
Deuxime exemple : suspension (4)
Modlisation
vhicule : mv4d2zvdt2 = ks(zv zr ) fs
(dzvdt dzrdt
)roue : mr d
2zrdt2 = kr (zr zc) + ks(zv zr ) + fs
(dzvdt dzrdt
)
mv4
mr
fs ddt (zv zr )
ks(zv zr ) fs ddt (zv zr )
ks(zv zr )
kr (zr zc)
zvvhicule
rouezr
Relation entre-sortieRelation entre zc - sortie zv ?
Troisime exemple : rgulateur de niveau (1)
Descriptionrservoir aliment en liquideniveau rgl par une vanne dentresystme : entre=dbit vanne, sortie=niveau liquide
Rq0 + qs
q0 + qe
vanne entre
vanne sortie
h0 + h
Troisime exemple : rgulateur de niveau (2)
Modlisationpoint de fonctionnement nominal (q0, h0)rsistance du tuyau de sortie : variations hauteur deliquide/dbit de sortie (variations notes h et qs)hauteur de liquide : fonction de la section C et de ladiffrence de dbit entre - sortie
Rq0 + qs
q0 + qe
vanne entre
vanne sortie
h0 + h
Troisime exemple : rgulateur de niveau (3)
Modlisationrsistance (selon nature de lcoulement)
hauteur de liquide
h0 + h
h0
dbit de sortieq0 q0 + qs
R = tan(q0) = hqssection : Cdh = (qe qs)dt
Troisime exemple : rgulateur de niveau (4)
Equation rsistance : R = hqsEquation coulement : Cdh = (qe qs)dt
Relation entre qe - sortie h :
C dhdt = qe hRRC dhdt + h = Rqe
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 1, linaire coef. constants
Troisime exemple : rgulateur de niveau (4)
Equation rsistance : R = hqsEquation coulement : Cdh = (qe qs)dt
Relation entre qe - sortie h :C dhdt = qe hR
RC dhdt + h = Rqe
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 1, linaire coef. constants
Troisime exemple : rgulateur de niveau (4)
Equation rsistance : R = hqsEquation coulement : Cdh = (qe qs)dt
Relation entre qe - sortie h :C dhdt = qe hRRC dhdt + h = Rqe
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 1, linaire coef. constants
Troisime exemple : rgulateur de niveau (4)
Equation rsistance : R = hqsEquation coulement : Cdh = (qe qs)dt
Relation entre qe - sortie h :C dhdt = qe hRRC dhdt + h = Rqe
Relation entre-sortieEquation diffrentielle dordre 1, linaire coef. constants
Quatrime exemple : changeur thermique (1)
Descriptionchange thermique entre circuit de vapeur et circuit deaudbit de vapeur rgl par une vanne dentresystme : entre=dbit vapeur, sortie=temprature eau
ve
e m
v
ee
wv
Quatrime exemple : changeur thermique (2)
Modlisationchaleur amene par la vapeur : qv = wv cv (ve v )(wv : dbit massique et cv : chaleur massique de la vapeur)bilan de chaleur : qe = veR(R : rsistance thermique moyenne de lchangeur)flux de chaleur net : Cv dvdt = qv qe(Cv : capacit thermique de la vapeur)
ve
e m
v
ee
wv
Quatrime exemple : changeur thermique (3)
Chaleur amene : qv = wv cv (ve v )Bilan de chaleur : qe = veRFlux de chaleur net : Cv dvdt = qv qe
Equations du systme :
Flux de chaleur net, vapeur :Cv dvdt = wv cv (ve v ) veRFlux de chaleur net, eau : Ce dedt = wece(ee e) + veRMesure : m(t) = e(t )
Relation entre-sortieSystme non linaire avec retard
Quatrime exemple : changeur thermique (3)
Chaleur amene : qv = wv cv (ve v )Bilan de chaleur : qe = veRFlux de chaleur net : Cv dvdt = qv qe
Equations du systme :Flux de chaleur net, vapeur :Cv dvdt = wv cv (ve v ) veR
Flux de chaleur net, eau : Ce dedt = wece(ee e) + veRMesure : m(t) = e(t )
Relation entre-sortieSystme non linaire avec retard
Quatrime exemple : changeur thermique (3)
Chaleur amene : qv = wv cv (ve v )Bilan de chaleur : qe = veRFlux de chaleur net : Cv dvdt = qv qe
Equations du systme :Flux de chaleur net, vapeur :Cv dvdt = wv cv (ve v ) veRFlux de chaleur net, eau : Ce dedt = wece(ee e) + veR
Mesure : m(t) = e(t )
Relation entre-sortieSystme non linaire avec retard
Quatrime exemple : changeur thermique (3)
Chaleur amene : qv = wv cv (ve v )Bilan de chaleur : qe = veRFlux de chaleur net : Cv dvdt = qv qe
Equations du systme :Flux de chaleur net, vapeur :Cv dvdt = wv cv (ve v ) veRFlux de chaleur net, eau : Ce dedt = wece(ee e) + veRMesure : m(t) = e(t )
Relation entre-sortieSystme non linaire avec retard
Quatrime exemple : changeur thermique (3)
Chaleur amene : qv = wv cv (ve v )Bilan de chaleur : qe = veRFlux de chaleur net : Cv dvdt = qv qe
Equations du systme :Flux de chaleur net, vapeur :Cv dvdt = wv cv (ve v ) veRFlux de chaleur net, eau : Ce dedt = wece(ee e) + veRMesure : m(t) = e(t )
Relation entre-sortieSystme non linaire avec retard
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Linarit
DefinitionSoit y1(t) et y2(t) les rponses dun systme excitsparment par les entres u1(t) et u2(t) et R. Le systme
est linaire si sa sortie vaut y1(t) + y2(t) en rponse lentreu1(t) + u2(t).
y1(t)
y2(t)u2(t)
u1(t)
u1(t) + u2(t) y1(t) + y2(t)
linarit
Principe de superposition.
Invariance
DefinitionSoit y(t) la rponse dun systme dentre u(t). Le systme
est invariant si une mme commande, applique deuxinstants diffrents produit la mme sortie aux instantsconsidrs.
u(t) y(t)
u(t + )invariance y(t + )
Principe de causalit
DefinitionUn signal f (t) temps continu est causal si f (t) = 0, t < 0.
DefinitionSoit y(t) la rponse dun systme dentre u(t). Le systme est
causal si, t < 0, u(t) = 0 y(t) = 0.La rponse du systme ne prcde pas son excitation.
Tout systme physiquement ralisable est causal.
HypothseTous les signaux et systmes tudis sont causaux.
Linarit et invariance des systmes tudis
InvarianceCommande applique linstant t + : mme sortie quenappliquant cette commande linstant t , dcale de .
MCC : chauffement du circuit = variation de la rsistance
LinaritLinarit : hypothses de modlisation.
suspension : pas de frottement secniveau de liquide : tude en un point de fonctionnementchangeur thermique : non linaire ?
RetardSans influence sur la linarit et linvariance
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Reprsentation externe par une quation diffrentielle
PropritUn systme temps continu linaire et invariant sans retard estdcrit par une quation diffrentielle linaire coefficientsconstants.
Notationsn
i=c
aid iy(t)
dt i=
mi=0
bid iu(t)
dt i
ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m N tel que m 6 n pour un systme causaln : ordre du systme, c 6 n : classe du systmey(t) : n CI pour y et m CI pour u
Reprsentation externe par une quation diffrentielle
PropritUn systme temps continu linaire et invariant sans retard estdcrit par une quation diffrentielle linaire coefficientsconstants.
Notationsn
i=c
aid iy(t)
dt i=
mi=0
bid iu(t)
dt i
ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0
n, m N tel que m 6 n pour un systme causaln : ordre du systme, c 6 n : classe du systmey(t) : n CI pour y et m CI pour u
Reprsentation externe par une quation diffrentielle
PropritUn systme temps continu linaire et invariant sans retard estdcrit par une quation diffrentielle linaire coefficientsconstants.
Notationsn
i=c
aid iy(t)
dt i=
mi=0
bid iu(t)
dt i
ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m N tel que m 6 n pour un systme causal
n : ordre du systme, c 6 n : classe du systmey(t) : n CI pour y et m CI pour u
Reprsentation externe par une quation diffrentielle
PropritUn systme temps continu linaire et invariant sans retard estdcrit par une quation diffrentielle linaire coefficientsconstants.
Notationsn
i=c
aid iy(t)
dt i=
mi=0
bid iu(t)
dt i
ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m N tel que m 6 n pour un systme causaln : ordre du systme, c 6 n : classe du systme
y(t) : n CI pour y et m CI pour u
Reprsentation externe par une quation diffrentielle
PropritUn systme temps continu linaire et invariant sans retard estdcrit par une quation diffrentielle linaire coefficientsconstants.
Notationsn
i=c
aid iy(t)
dt i=
mi=0
bid iu(t)
dt i
ai et bi R tel que ac , an, b0 et bm 6= 0n, m N tel que m 6 n pour un systme causaln : ordre du systme, c 6 n : classe du systmey(t) : n CI pour y et m CI pour u
Relation entre-sortie du MCCEntre : tension dinduit uSortie : vitesse de rotation du rotor
d2dt2
+RJ + Lf
LJddt
+Rf + K 2
LJ =
KLJ
u
n = 2 : systme dordre 2c = 0 6 n : systme de classe 0(t) : 2 CI pour , ddt (0) et (0)
Relation entre-sortie du MCCEntre : tension dinduit uSortie : vitesse de rotation du rotor
d2dt2
+RJ + Lf
LJddt
+Rf + K 2
LJ =
KLJ
u
n = 2 : systme dordre 2
c = 0 6 n : systme de classe 0(t) : 2 CI pour , ddt (0) et (0)
Relation entre-sortie du MCCEntre : tension dinduit uSortie : vitesse de rotation du rotor
d2dt2
+RJ + Lf
LJddt
+Rf + K 2
LJ =
KLJ
u
n = 2 : systme dordre 2c = 0 6 n : systme de classe 0
(t) : 2 CI pour , ddt (0) et (0)
Relation entre-sortie du MCCEntre : tension dinduit uSortie : vitesse de rotation du rotor
d2dt2
+RJ + Lf
LJddt
+Rf + K 2
LJ =
KLJ
u
n = 2 : systme dordre 2c = 0 6 n : systme de classe 0(t) : 2 CI pour , ddt (0) et (0)
Reprsentation dtat du systme (1)
PropritUn systme temps continu linaire et invariant sans retard estdcrit par une infinit de reprsentations sous forme desystmes diffrentiels dordre un, coefficients constants.
Reprsentation dtatdxdt = Ax + Buy = Cx + Du
Reprsentation dtat du systme (2)
Notationsdxdt = Ax + Bu, quation dvolution, dtaty = Cx + Du, quation de sortie, de mesure
x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)
Reprsentation dtat du systme (2)
Notationsdxdt = Ax + Bu, quation dvolution, dtaty = Cx + Du, quation de sortie, de mesure
x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systme
A, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)
Reprsentation dtat du systme (2)
Notationsdxdt = Ax + Bu, quation dvolution, dtaty = Cx + Du, quation de sortie, de mesure
x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantes
A de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)
Reprsentation dtat du systme (2)
Notationsdxdt = Ax + Bu, quation dvolution, dtaty = Cx + Du, quation de sortie, de mesure
x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)
B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)
Reprsentation dtat du systme (2)
Notationsdxdt = Ax + Bu, quation dvolution, dtaty = Cx + Du, quation de sortie, de mesure
x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)
C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)
Reprsentation dtat du systme (2)
Notationsdxdt = Ax + Bu, quation dvolution, dtaty = Cx + Du, quation de sortie, de mesure
x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservation
D scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)
Reprsentation dtat du systme (2)
Notationsdxdt = Ax + Bu, quation dvolution, dtaty = Cx + Du, quation de sortie, de mesure
x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directe
x(t) et y(t) : CI x(t0)
Reprsentation dtat du systme (2)
Notationsdxdt = Ax + Bu, quation dvolution, dtaty = Cx + Du, quation de sortie, de mesure
x de dimension n 1 : vecteur dtat, reprsentationinterne du systmeA, B, C et D : matrices constantesA de dimension n n : matrice dvolution (ou dtat)B de dimension n 1 : matrice de commande (ou dentre)C de dimension 1 n : matrice dobservationD scalaire : coefficient de transmission directex(t) et y(t) : CI x(t0)
Modle dtat du MCCEntre u, sortie
Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = i
Modle dtat du MCCEntre u, sortie
Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = i
Rcriture des quations :
Ri + Ldidt
+ K = u
Ki f = J ddt
Modle dtat du MCCEntre u, sortie
Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = i
Rcriture des quations :
Rx2 + Ldx2dt
+ Kx1 = u
Kx2 fx1 = J dx1dt
Modle dtat du MCCEntre u, sortie
Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = i
Rcriture des quations :
Rx2 + Ldx2dt
+ Kx1 = u
Kx2 fx1 = J dx1dt
Reprsentation dtat
ddt
(x1x2
)=
( fJ KJKL RL
)(x1x2
)+
(01L
)u,
y =(1 0
)(x1x2
)
Modle dtat du MCCEntre u, sortie
Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = ddt
Modle dtat du MCCEntre u, sortie
Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = ddt
Rcriture des quations :
d2dt2
+RJ + Lf
LJddt
+Rf + K 2
LJ =
KLJ
u
Modle dtat du MCCEntre u, sortie
Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = ddt
Rcriture des quations :
dx2dt
+RJ + Lf
LJx2 +
Rf + K 2
LJx1 =
KLJ
u
x2 =dx1dt
Modle dtat du MCCEntre u, sortie
Variables dtat indpendantes x1 = et x2 = ddt
Rcriture des quations :
dx2dt
+RJ + Lf
LJx2 +
Rf + K 2
LJx1 =
KLJ
u
x2 =dx1dt
Reprsentation dtat
ddt
(x1x2
)=
(0 1
Rf +K 2LJ RJ+LfLJ
)(x1x2
)+
(0KLJ
)u,
y =(1 0
)(x1x2
)
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Transforme de Laplace : dfinition
DfinitionSoit f (t) un signal temps continu, prenant la valeur f (t) linstant t . La transforme de Laplace de f (t) est dfinie par :
F (s) = L{f (t)} = +
0f (t)estdt .
PropritSoit s = + j. La transforme de Laplace est gnralementdfinie sur un demi-plan complexe pour lequel ]0, +[.La valeur 0 dfinissant la limite de convergence est appeleabscisse de convergence de la transforme.
Transforme de Laplace : calcul
Tables de transformesAutant que possible, on utilise des tables de transformespr-calcules :
(t) 1U(t) 1s
. . .
CalculCalcul direct de lintgrale
Exemple de calcul
Calcul de la transforme de Laplace de f (t) = eat U(t).
Exemple de calcul
Calcul de la transforme de Laplace de f (t) = eat U(t).
Dfinition (s = + j) :
F (s) = +
0eatestdt ,
=
+0
eate(+j)tdt ,
=
+0
e(+a)tejtdt .
Exemple de calcul
Calcul de la transforme de Laplace de f (t) = eat U(t).
Convergence en valeur absolue de lintgrale : +0
|e(+a)tejt |dt = +
0|e(+a)t ||ejt |dt ,
=
+0
|e(+a)t |dt ,
=
+0
e(+a)tdt ,
=
[e(+a)t
+ a
]t+t=0
.
Converge en valeur absolue ssi + a > 0, donc > 0 = a.
Exemple de calcul
Calcul de la transforme de Laplace de f (t) = eat U(t).
Calcul :
F (s) = +
0e(s+a)tdt ,
=
[e(s+a)t
s + a
]t+t=0
=1
s + a
Exemple de calcul
Calcul de la transforme de Laplace de f (t) = eat U(t).
Transforme de eat U(t)Finalement :
F (s) = L{eat U(t)} = 1s + a
pour tout s = + j si et seulement si > a.
Transforme de Laplace : proprits principales
linarit L{f (t) + g(t)} = F (s) + G(s), R
retard L{f (t )} = esF (s), R
intgration L{ t
0 f ()d}
= F (s)s
drivation en t L{
df (t)dt
}= sF (s) f (0)
valeur finale limt f (t) = lims0 sF (s)
convolution L{f (t) g(t)} = L{ + f ()g(t )d
}= F (s)G(s)
Transforme de Laplace : inversion
DfinitionSoit F (s) la transforme de Laplace de f (t). La transforme deLaplace inverse de F (s) scrit :
f (t) = L1{F (s)} = 12pij
F (s)estds.
Tables de transformesDcomposition en lments simples pour utiliser les tables detransformes.
. . .sinon formule dinversion et calcul des rsidus.
Transforme de Laplace : intrt
Rcriture du modle du systmePour les systmes linaires temps continu : possibilit detransformer les quations diffrentielles dcrivant lvolutiondynamique du systme en quations algbriques en s.
Conditions initiales
Drivation en t : L{
df (t)dt
}= sF (s) f (0)
Termes lis aux CI6= 0
Relation entre-sortie du MCC en tVariable t :
(t) +RJ + LfRf + K 2
d(t)dt
+LJ
Rf + K 2d2(t)
dt2=
KRf + K 2
u(t),
Transforme de Laplace CI nulles :
(s) +RJ + LfRf + K 2
s(s) +LJ
Rf + K 2s2(s) =
KRf + K 2
U(s),
Relation entre-sortie du MCC en s
(1 +
RJ + LfRf + K 2
s +LJ
Rf + K 2s2)
(s) =K
Rf + K 2U(s),
Relation entre-sortie du MCC en tVariable t :
(t) +RJ + LfRf + K 2
d(t)dt
+LJ
Rf + K 2d2(t)
dt2=
KRf + K 2
u(t),
Transforme de Laplace CI nulles :
(s) +RJ + LfRf + K 2
s(s) +LJ
Rf + K 2s2(s) =
KRf + K 2
U(s),
Relation entre-sortie du MCC en s
(1 +
RJ + LfRf + K 2
s +LJ
Rf + K 2s2)
(s) =K
Rf + K 2U(s),
Relation entre-sortie du MCC en tVariable t :
(t) +RJ + LfRf + K 2
d(t)dt
+LJ
Rf + K 2d2(t)
dt2=
KRf + K 2
u(t),
Transforme de Laplace CI nulles :
(s) +RJ + LfRf + K 2
s(s) +LJ
Rf + K 2s2(s) =
KRf + K 2
U(s),
Relation entre-sortie du MCC en s
(1 +
RJ + LfRf + K 2
s +LJ
Rf + K 2s2)
(s) =K
Rf + K 2U(s),
Fonction de transfert : dfinition
Soit un systme linaire invariant sans retard dentre u(t) etde sortie y(t).
Relation entre-sortie :
ni=c
aid iy(t)
dt i=
mi=0
bid iu(t)
dt i.
Fonction de transfert : dfinition
Soit un systme linaire invariant sans retard dentre u(t) etde sortie y(t).
En appliquant la transforme de Laplace CI nulles :
ni=c
aisiY (s) =m
i=0
bisiU(s),
soit :Y (s) = G(s)U(s).
Fonction de transfert : dfinition
Soit un systme linaire invariant sans retard dentre u(t) etde sortie y(t).
DfinitionOn appelle fonction de transfert (FT) du systme la fractionrationnelle :
G(s) =Y (s)U(s)
.
Le terme synonyme transmittance est souvent utilis.
Fonction de transfert : proprits
Forme de la fonction de transfertDans le cas des systmes linaires invariants sans retard la FTprend la forme dune fraction rationnelle :
G(s) =N(s)D(s)
=
mi=0 bis
ini=c aisi
Caractristiques :racines de N(s) : m zrosracines de D(s) : n pleszros et les ples C
Fonction de transfert : proprits
Forme de la fonction de transfertDans le cas des systmes linaires invariants sans retard la FTprend la forme dune fraction rationnelle :
G(s) =b0 + b1s + . . . bmsm
acsc + ac+1sc+1 + . . . + ansn
Caractristiques :racines de N(s) : m zrosracines de D(s) : n pleszros et les ples CK = b0ac : gain statique
Fonction de transfert : proprits
Forme de la fonction de transfertDans le cas des systmes linaires invariants sans retard la FTprend la forme dune fraction rationnelle :
G(s) =bman
mi=1 (s zi)ni=1 (s pi)
Caractristiques :racines de N(s) : m zrosracines de D(s) : n pleszros et les ples Cbman : coefficient de gain
Relation entre-sortie du MCC en s :(1 +
RJ + LfRf + K 2
s +LJ
Rf + K 2s2)
(s) =K
Rf + K 2U(s),
Fonction de transfert du MCC
G(s) =(s)U(s)
=KLJ
s2 + RJ+LfLJ s +Rf +K 2
LJ
.
donc :
N(s) =KLJ
et D(s) = s2 +RJ + Lf
LJs +
Rf + K 2
LJ.
Fonction de transfert du MCCCaractristiques :
pas de zroples (tels que D(s) = 0) ?
On montre (. . .) :
G(s) =(s)U(s)
=
KGelem(
s + 1el
)(s + 1em
) ,el =
LR,
em =RJ
Rf + K 2,
et KG =K
Rf + K 2.
Fonction de transfert du MCCCaractristiques :
pas de zroples (tels que D(s) = 0) ?
On montre (. . .) :
G(s) =(s)U(s)
=
KGelem(
s + 1el
)(s + 1em
) ,donc deux ples :
p1 = 1el
et p2 = 1em
.
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Passage reprsentation dtat/fonction de transfert
Transforme de Laplace de la reprsentation dtat :
dxdt = Ax + Bu sX (s) = AX (s) + BU(s)y = Cx + Du Y (s) = CX (s) + DU(s)
soit :
X (s) = (sI A)1BU(s)Y (s) = CX (s) + DU(s)
Passage reprsentation dtat/fonction de transfert
Y (s) =(
C(sI A)1B + D)
U(s)
Passage reprsentation dtat/fonction de transfert
Transforme de Laplace de la reprsentation dtat :
dxdt = Ax + Bu sX (s) = AX (s) + BU(s)y = Cx + Du Y (s) = CX (s) + DU(s)
soit :
X (s) = (sI A)1BU(s)Y (s) = CX (s) + DU(s)
Passage reprsentation dtat/fonction de transfert
Y (s) =(
C(sI A)1B + D)
U(s)
Passage reprsentation dtat/fonction de transfert
Transforme de Laplace de la reprsentation dtat :
dxdt = Ax + Bu sX (s) = AX (s) + BU(s)y = Cx + Du Y (s) = CX (s) + DU(s)
soit :
X (s) = (sI A)1BU(s)Y (s) = CX (s) + DU(s)
Passage reprsentation dtat/fonction de transfert
Y (s) =(
C(sI A)1B + D)
U(s)
Calcul des ples
Fonction de transfert :
Y (s)U(s)
= C(sI A)1B + D,
= CcoT (sI A)det(sI A) B + D,
=C(coT (sI A))Bdet(sI A) + D.
Equation caractristique du systme = quation des ples :
det(sI A) = 0.
Ples et valeurs propresPles du systme = valeurs propres de A
Calcul des ples
Fonction de transfert :
Y (s)U(s)
= C(sI A)1B + D,
= CcoT (sI A)det(sI A) B + D,
=C(coT (sI A))Bdet(sI A) + D.
Equation caractristique du systme = quation des ples :
det(sI A) = 0.
Ples et valeurs propresPles du systme = valeurs propres de A
Calcul des ples
Fonction de transfert :
Y (s)U(s)
= C(sI A)1B + D,
= CcoT (sI A)det(sI A) B + D,
=C(coT (sI A))Bdet(sI A) + D.
Equation caractristique du systme = quation des ples :
det(sI A) = 0.
Ples et valeurs propresPles du systme = valeurs propres de A
Calcul des ples
Fonction de transfert :
Y (s)U(s)
= C(sI A)1B + D,
= CcoT (sI A)det(sI A) B + D,
=C(coT (sI A))Bdet(sI A) + D.
Equation caractristique du systme = quation des ples :
det(sI A) = 0.
Ples et valeurs propresPles du systme = valeurs propres de A
Calcul des ples
Fonction de transfert :
Y (s)U(s)
= C(sI A)1B + D,
= CcoT (sI A)det(sI A) B + D,
=C(coT (sI A))Bdet(sI A) + D.
Equation caractristique du systme = quation des ples :
det(sI A) = 0.
Ples et valeurs propresPles du systme = valeurs propres de A
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (1)
Non-unicit de la reprsentation dtat une infinit de reprsentations quivalentes.
Changement de variable rgulier z = P1x :
ddt
(Pz) = Pdzdt
= APz + Bu,
y = CPz + Du,
soit :
dzdt
= P1APz + P1Bu,
y = CPz + Du.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (1)
Non-unicit de la reprsentation dtat une infinit de reprsentations quivalentes.
Changement de variable rgulier z = P1x :
ddt
(Pz) = Pdzdt
= APz + Bu,
y = CPz + Du,
soit :
dzdt
= P1APz + P1Bu,
y = CPz + Du.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (1)
Non-unicit de la reprsentation dtat une infinit de reprsentations quivalentes.
Changement de variable rgulier z = P1x :
ddt
(Pz) = Pdzdt
= APz + Bu,
y = CPz + Du,
soit :
dzdt
= P1APz + P1Bu,
y = CPz + Du.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (2)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A diagonale, ples distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=n
i=1
is i + D.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (2)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A diagonale, ples distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=n
i=1
is i + D.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (2)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A diagonale, ples distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=n
i=1
is i + D.
Choix des variables dtat telles que :
Xi(s) =1
s i U(s),
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (2)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A diagonale, ples distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=n
i=1
is i + D.
Choix des variables dtat telles que :
sXi(s) = iXi(s) + U(s),
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (2)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A diagonale, ples distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=n
i=1
is i + D.
Choix des variables dtat telles que :
dxidt
= ixi + u.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (3)
Obtention dun modle dtat avec A diagonale
Ples distincts : dxidt = i xi + u, Xi (s) =1
si U(s) et Y (s) =n
i=1 i Xi (s) + DU(s)
dxdt
=
1 0 . . . . . . . . . 00 2 0 . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . 0 n1 00 . . . . . . . . . 0 n
x +
11. . .. . .11
u,
y =(1 2 . . . . . . . . . n
)x + Du.
Reprsentation dtat sous forme modale
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (3)
Obtention dun modle dtat avec A diagonale
Ples distincts : dxidt = i xi + u, Xi (s) =1
si U(s) et Y (s) =n
i=1 i Xi (s) + DU(s)
dxdt
=
1 0 . . . . . . . . . 00 2 0 . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . 0 n1 00 . . . . . . . . . 0 n
x +
11. . .. . .11
u,
y =(1 2 . . . . . . . . . n
)x + Du.
Reprsentation dtat sous forme modale
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (4)
Type de reprsentation dtatModle dtat avec A diagonale, ples pas tous distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=1
s 1+
2
(s 1)2+ . . . +
p
(s 1)p+
ni=p+1
i
s i+ D
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (4)
Type de reprsentation dtatModle dtat avec A diagonale, ples pas tous distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=1
s 1+
2
(s 1)2+ . . . +
p
(s 1)p+
ni=p+1
i
s i+ D
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (4)
Type de reprsentation dtatModle dtat avec A diagonale, ples pas tous distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=1
s 1+
2
(s 1)2+ . . . +
p
(s 1)p+
ni=p+1
i
s i+ D
Variables dtat telles que :
X1(s) =1
s 1U(s),
. . .
Xp(s) =1
(s 1)pU(s),
Xi (s) =1
s iU(s), pour i = p + 1, . . . , n.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (4)
Type de reprsentation dtatModle dtat avec A diagonale, ples pas tous distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=1
s 1+
2
(s 1)2+ . . . +
p
(s 1)p+
ni=p+1
i
s i+ D
Variables dtat telles que :
X1(s) =1
s 1U(s),
. . .
Xp(s) =1
(s 1)Xp1(s),
Xi (s) =1
s iU(s), pour i = p + 1, . . . , n.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (4)
Type de reprsentation dtatModle dtat avec A diagonale, ples pas tous distincts
Dcomposition en lments simples :
Y (s)U(s)
=1
s 1+
2
(s 1)2+ . . . +
p
(s 1)p+
ni=p+1
i
s i+ D
Variables dtat telles que :
sX1(s) = 1X1(s) + U(s),
sX2(s) = 1X2(s) + X1(s),
. . .
sXp(s) = 1Xp(s) + Xp1(s),sXi (s) = i Xi (s) + U(s), pour i = p + 1, . . . , n.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (5)
Obtention dun modle dtat avec A diagonalePles pas tous distincts : sX1(s) = 1X1(s) + U(s), sX2(s) = 1X2(s) + X1(s), . . .
sXp(s) = 1Xp(s) + Xp1(s) et sXi (s) = i Xi (s) + U(s), i = p + 1, . . . , n
dxdt
=
1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 00 1 1 0 . . . . . . . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 0 1 1 0 . . . . . . 00 . . . . . . . . . 0 p+1 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 n1 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 n
x1x2x3. . .xp
xp+1. . .
xn1xn
+
100. . .01. . .11
u,
y =(1 2 . . . . . . n
)x + Du.
Matrice dvolution sous forme rduite de Jordan
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (5)
Obtention dun modle dtat avec A diagonalePles pas tous distincts : sX1(s) = 1X1(s) + U(s), sX2(s) = 1X2(s) + X1(s), . . .
sXp(s) = 1Xp(s) + Xp1(s) et sXi (s) = i Xi (s) + U(s), i = p + 1, . . . , n
dxdt
=
1 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 01 1 0 . . . . . . . . . . . . . . . 00 1 1 0 . . . . . . . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 0 1 1 0 . . . . . . 00 . . . . . . . . . 0 p+1 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 n1 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 n
x1x2x3. . .xp
xp+1. . .
xn1xn
+
100. . .01. . .11
u,
y =(1 2 . . . . . . n
)x + Du.
Matrice dvolution sous forme rduite de Jordan
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (6)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A compagne
Fonction de transfert (an = 1) :
G(s) =Y (s)U(s)
=N(s)D(s)
=b0 + b1s + . . . bmsm
a0 + a1s + . . . + sn,
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (6)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A compagne
Fonction de transfert (an = 1) :
G(s) =Y (s)U(s)
=N(s)D(s)
=b0 + b1s + . . . bmsm
a0 + a1s + . . . + sn,
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (6)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A compagne
Fonction de transfert (an = 1) :
G(s) =Y (s)U(s)
=N(s)D(s)
=b0 + b1s + . . . bmsm
a0 + a1s + . . . + sn,
Variable dtat x1 telle que :
U(s) = D(s)X1(s),Y (s) = N(s)X1(s),
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (6)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A compagne
Fonction de transfert (an = 1) :
G(s) =Y (s)U(s)
=N(s)D(s)
=b0 + b1s + . . . bmsm
a0 + a1s + . . . + sn,
Variable dtat x1 telle que :
U(s) = (sn + an1sn1 + . . . + a0)X1(s),Y (s) = (bmsm + bm1sm1 + . . . + b0)X1(s).
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (6)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A compagne
Fonction de transfert (an = 1) :
G(s) =Y (s)U(s)
=N(s)D(s)
=b0 + b1s + . . . bmsm
a0 + a1s + . . . + sn,
Variables dtat x2, . . . , xn telles que :
dx1dt
= x2,. . . . . .
dxn1dt
= xn.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (6)
Type de reprsentation dtatObtention dun modle dtat avec A compagne
Fonction de transfert (an = 1) :
G(s) =Y (s)U(s)
=N(s)D(s)
=b0 + b1s + . . . bmsm
a0 + a1s + . . . + sn,
Finalement, variables dtat x1, x2, . . . , xn telles que :
dxidt
=d ix1dt i
.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (7)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
U(s) = (sn + an1sn1 + . . . + a0)X1(s),dxidt =
d i x1dt i
et dxi1dt = xi .
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (7)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
U(s) = (sn + an1sn1 + . . . + a0)X1(s),dxidt =
d i x1dt i
et dxi1dt = xi .
Il vient :
dnx1dtn
= an1 dn1x1
dtn1 . . . a0x1 + u,
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (7)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
U(s) = (sn + an1sn1 + . . . + a0)X1(s),dxidt =
d i x1dt i
et dxi1dt = xi .
Il vient :dxndt
= an1 dxn1dt . . . a0x1 + u,
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (7)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
U(s) = (sn + an1sn1 + . . . + a0)X1(s),dxidt =
d i x1dt i
et dxi1dt = xi .
Il vient :dxndt
= an1xn . . . a0x1 + u.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (7)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
U(s) = (sn + an1sn1 + . . . + a0)X1(s),dxidt =
d i x1dt i
et dxi1dt = xi .
soit :
dxdt
=
0 1 0 . . . . . . . . . 00 0 1 0 . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . 0 1a0 a1 . . . . . . . . . . . . an1
x +
00. . .. . .1
u.Matrice dvolution sous forme compagne horizontale.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (8)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
Il reste alors dterminer la sortie.
Sortie :
Y (s) = bmsmX1(s) + (bm1sm1 + . . . + b0)X1(s).
Fonction de transfert strictement propre (m < n) :
y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0
)x .
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (8)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
Il reste alors dterminer la sortie.
Sortie :
Y (s) = bmsmX1(s) + (bm1sm1 + . . . + b0)X1(s).
Fonction de transfert strictement propre (m < n) :
y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0
)x .
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (8)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
Il reste alors dterminer la sortie.
Sortie :
Y (s) = bmsmX1(s) + (bm1sm1 + . . . + b0)X1(s).
Fonction de transfert strictement propre (m < n) :
y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0
)x .
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (8)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
Il reste alors dterminer la sortie.
Sortie :
Y (s) = bmsmX1(s) + (bm1sm1 + . . . + b0)X1(s).
Fonction de transfert strictement propre (m < n) :
y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0
)x .
Fonction de transfert non strictement propre (n = m) :
Y (s) = bnsnX1(s) + (bn1sn1 + . . . + b0)X1(s),
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (8)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
Il reste alors dterminer la sortie.
Sortie :
Y (s) = bmsmX1(s) + (bm1sm1 + . . . + b0)X1(s).
Fonction de transfert strictement propre (m < n) :
y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0
)x .
Fonction de transfert non strictement propre (n = m) :
Y (s) = bn(
(an1sn1 . . . a0)X1(s) + U(s))
+ (bn1sn1 . . . + b0)X1(s).
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (8)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
Il reste alors dterminer la sortie.
Sortie :
Y (s) = bmsmX1(s) + (bm1sm1 + . . . + b0)X1(s).
Fonction de transfert strictement propre (m < n) :
y =(b0 b1 . . . bm 0 . . . 0
)x .
Fonction de transfert non strictement propre (n = m) :
y =(b0 a0bn b1 a1bn . . . bn1 an1bn
)x + bnu.
Passage fonction de transfert/reprsentation dtat (9)
Obtention dun modle dtat avec A compagne
Rcapitulatif
dxdt
=
0 1 0 . . . . . . . . . 00 0 1 0 . . . . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . . . . 0 1a0 a1 . . . . . . . . . . . . an1
x +
00. . .. . .1
uy =
(b0 a0bn b1 a1bn . . . bn1 an1bn
)x + bnu.
Forme canonique commandable.
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (1)
Problme1 Rsolution de lquation dtat :
dxdt
= Ax + Bu.
2 Obtention de la rponse du systme :
y = Cx + Du.
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (2)
Rponse libre de ltatRponse libre : solution de lquation dtat homogne :
dxdt
= Ax .
Matrice de transitionOn montre :
x(t) = (t , t0)x(t0).
avec (t , t0) matrice de transition , dordre n tq :
d(t , t0)dt
= A(t , t0), t > t0.
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (3)
Rponse force de ltatRponse force : rponse au seul signal dentre, CI nulles :
dxdt
= Ax + Bu.
On montre :
x(t) = t
t0(t , )Bu()d.
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (4)
Rponse complteRponse complte du systme, par superposition :
x(t) = (t , t0)x(t0) + t
t0(t , )Bu()d,
y(t) = Cx(t) + Du(t),
y(t) = C(
(t , t0)x(t0) + t
t0(t , )Bu()d
)+ Du(t).
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (4)
Rponse complteRponse complte du systme, par superposition :
x(t) = (t , t0)x(t0) + t
t0(t , )Bu()d,
y(t) = Cx(t) + Du(t),
y(t) = C(
(t , t0)x(t0) + t
t0(t , )Bu()d
)+ Du(t).
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (4)
Rponse complteRponse complte du systme, par superposition :
x(t) = (t , t0)x(t0) + t
t0(t , )Bu()d,
y(t) = Cx(t) + Du(t),
y(t) = C(
(t , t0)x(t0) + t
t0(t , )Bu()d
)+ Du(t).
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (5)
Matrice de transitionPour un systme linaire invariant :
(t , t0) = eA(tt0)
o :
eAt = 1 + At +A2t2
2!+ . . . +
Antn
n!+ . . .
Rponse complteRponse complte du systme, par superposition :
y(t) = C(
eA(tt0)x(t0) + t
t0eA(t)Bu()d
)+ Du(t).
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (6)
Calcul de la matrice de transitionDans le cas o A est diagonale, chacun des termes de ladiagonale de eAt est lexponentielle du terme correspondant deA. En effet, ai , i = 1, 2, . . . ,n :
eai t = 1 + ai t +a2i t
2
2!+ . . . +
ani tn
n!+ . . .
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (6)
Calcul de la matrice de transitionDans le cas o A est diagonale, chacun des termes de ladiagonale de eAt est lexponentielle du terme correspondant deA. En effet, ai , i = 1, 2, . . . ,n :
eai t = 1 + ai t +a2i t
2
2!+ . . . +
ani tn
n!+ . . .
Mthode gnrale
Dans le cas o A est non diagonale : diagonalisation pralableAd = P1AP, puis changement de variable dtat ou :
eAt = PeAd tP1.
Reprsentation dtat : calcul de la rponse (6)
Calcul de la matrice de transitionDans le cas o A est diagonale, chacun des termes de ladiagonale de eAt est lexponentielle du terme correspondant deA. En effet, ai , i = 1, 2, . . . ,n :
eai t = 1 + ai t +a2i t
2
2!+ . . . +
ani tn
n!+ . . .
Autres mthodesTransforme de Laplace, thorme de Sylvester.
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Problme : calculer la sortie y(t) = (t) en rponse unetension constante de 12 V pour les CI en t = 0 :
= 2230 tours/min = 233,5 rad/s,i = 0,168 A,
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Reprsentation dtat :
ddt
(x1x2
)=
( fJ KJKL RL
)(x1x2
)+
(01L
)u,
y =(1 0
)(x1x2
)avec x1 = et x2 = i .Valeur numrique du modle :
R = 1,44 L = 5,6 104 HJ = 1,29 104 kg.m2
f = 7,19 105 N.s.m1
K = 0,10 N.m.A1
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Expression numrique de la reprsentation dtat :
ddt
(x1x2
)=
(0,55768 775,19178,57 2571,4
)(x1x2
)+
(0
1785,7
)u,
y =(1 0
)(x1x2
)
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Diagonalisation de la reprsentation dtat :
Ad =(55,58 0
0 2516,4)
P =(
0,9975 0,29450,07080 0,9557
)Changement de variable rgulier z = P1x :
dzdt
= P1APz + P1Bu,
y = CPz + Du.
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Diagonalisation de la reprsentation dtat :
z(0) =(
239,374517,9099
)dzdt
=
(55,58 00 2516,4
)z +
(563,9
1910,3
)u,
y =(0,9975 0,2945) z
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Rponse :
y(t) = CP(
(t , 0)z(0) + t
0(t , )P1Bu()d
),
avec :
(t , ) =(
e55,58(t) 00 e2516,4(t)
)soit :
y(t) = 238, 77 e55,58t5, 2738 e2516,4t +121, 45(1e55,58t )2, 6825(1e2516,4t )
ou :
y(t) =(
118,77 + 117,32 e55,58t 2,5913 e2516,4t)U(t).
Reprsentation externe : calcul de la rponse (1)
Mthode directeRsolution de lquation diffrentielle entre-sortie :
ni=c
aid iy(t)
dt i=
mi=0
bid iu(t)
dt i
Problmatique au del de n = 2.
Transforme de LaplaceOn utilise la transforme de Laplace et donc la FT du systme,si les CI sont nulles.
Reprsentation externe : calcul de la rponse (2)
Daprs la dfinition de la FT, avec des CI sont nulles :
Y (s) = G(s)U(s).
Proprit de la transforme de Laplace vis--vis de laconvolution :
L{f (t) g(t)} = L{ +
f ()g(t )d}
= F (s)G(s)
ThormeLa rponse dun systme linaire invariant dentre u(t) et desortie y(t) peut scrire sous la forme :
y(t) = g(t) u(t).
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Valeur numrique du modle :
R = 1,44 L = 5,6 104 HJ = 1,29 104 kg.m2
f = 7,19 105 N.s.m1
K = 0,10 N.m.A1
Problme : calculer la sortie y(t) = (t) en rponse unetension constante de 12 V pour des CI nulles.
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Fonction de transfert :
G(s) =9,8975
(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s),
do :
Y (s) =9,8975
(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s)U(s),
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Fonction de transfert :
G(s) =9,8975
(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s),
do :
Y (s) =9,8975
(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s)12s,
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Fonction de transfert :
G(s) =9,8975
(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s),
do :
Y (s) =118,77
s(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s).
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Dcomposition en lments simples :
Y (s) =118,77
s(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s),
devient :
Y (s) =118,77
s 2,2308
1 + 0,0184s+
9,9808 104
1 + 0,0004s,
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
On connait :L{eat U(t)} = 1
s + adonc :
L{e t U(t)} = 1 + s
.
La transforme inverse de Laplace de :
Y (s) =118,77
s 2,2308
1 + 0,0184s+
9,9808 104
1 + 0,0004s,
donne :
y(t) =(
118,77 121,45 e55,58t + 2,6825 e2516,4t)U(t).
Rponse impulsionnelle (1)
Definition (Impulsion de Dirac)
Soit f (t) une fonction continue en 0. Alors limpulsion de Diracest la distribution (t) telle que : +
f ()()d = f (0).
Rponse impulsionnelleRponse impulsionnelle : rponse une impulsion de Dirac.
Rponse impulsionnelle (2)
Rponse impulsionnelle du systme :
y(t) = g(t) (t)
soit, par dfinition de limpulsion de Dirac :
y(t) = t
0g()(t )d = g(t).
Rponse impulsionnelle
g(t) = L1{G(s)} : rponse impulsionnelle du systme.
RemarqueFaible intrt pratique.
Rponse impulsionnelle (2)
Rponse impulsionnelle du systme :
y(t) = g(t) (t)
soit, par dfinition de limpulsion de Dirac :
y(t) = t
0g()(t )d = g(t).
Rponse impulsionnelle
g(t) = L1{G(s)} : rponse impulsionnelle du systme.
RemarqueFaible intrt pratique.
Rponse impulsionnelle (2)
Rponse impulsionnelle du systme :
y(t) = g(t) (t)
soit, par dfinition de limpulsion de Dirac :
y(t) = t
0g()(t )d = g(t).
Rponse impulsionnelle
g(t) = L1{G(s)} : rponse impulsionnelle du systme.
RemarqueFaible intrt pratique.
Approximation de limpulsion de Dirac +
f ()()d = f (0).
1a
t0
(t)
a
(t) = lima0 (t)
Rponse indicielle
DfinitionOn appelle rponse indicielle dun systme sa rponse unchelon unit :
U(t) =
{0, si t < 0,1, si t > 0.
Cette rponse vaut :
y(t) = g(t) U(t) = t
0g() U(t )d =
t0
g()d.
RemarqueIntrt pratique : caractrisation (identification) du systme.
Temps
Am
plitu
de
Rponse indicielle
100 % 95 %
105 %
90 %
10 %
t5% tm
t1
D1
Systmes du 1er ordre : rponse temporelle (1)
DfinitionUn systme linaire invariant temps continu dordre un estdcrit par une quation diffrentielle dordre un coefficientsconstants reliant son entre u(t) et sa sortie y(t) :
y(t) + dy(t)
dt= Ku(t)
o et K sont des constantes relles non nulles ; est laconstante de temps du systme et K son gain statique.
La rponse indicielle est y(t) = + et avec et deux
constantes relles dpendant des CI.
Systmes du 1er ordre : rponse temporelle (2)
Dtermination des paramtres de :
y(t) = + et .
terme constant : rgime permanent de la sortieune partie variable : rgime transitoirecas > 0 : stable
Systmes du 1er ordre : rponse temporelle (2)
Dtermination des paramtres de :
y(t) = + et .
terme constant : rgime permanent de la sortieune partie variable : rgime transitoirecas > 0 : stable
A linstant t = 0 :y(0) = + .
Systmes du 1er ordre : rponse temporelle (2)
Dtermination des paramtres de :
y(t) = + et .
terme constant : rgime permanent de la sortieune partie variable : rgime transitoirecas > 0 : stable
Quand t , dy(t)dt = 0 :
limt
y(t) = K ,
et limt
y(t) = ,
Systmes du 1er ordre : rponse temporelle (2)
Dtermination des paramtres de :
y(t) = + et .
terme constant : rgime permanent de la sortieune partie variable : rgime transitoirecas > 0 : stable
soit les paramtres :
= K , = y(0) K .
Systmes du 1er ordre : rponse temporelle (2)
Dtermination des paramtres de :
y(t) = + et .
terme constant : rgime permanent de la sortieune partie variable : rgime transitoirecas > 0 : stable
Finalement :
y(t) = K (1 e t ) + y(0)e t .
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060
2
4
6
8
10
12
14
16
Temps (s)
Am
plitu
de
Rponse indicielle
Rponse indicielle dun systme du premier ordre de constante detemps = 0,01 s et de gain statique K = 10 pour diffrentes CI
Temps
Am
plitu
de
Rponse indicielle100 %
63 %
95 %
3
Caractristiques de la rponse indicielle dun systme dordre 1
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (1)
Dfinition
Un systme linaire invariant temps continu dordre deux estdcrit par une quation diffrentielle dordre deux coefficientsconstants reliant son entre u(t) et sa sortie y(t).
: coefficient damortissementn : pulsation propre non amortie ou pulsation naturelleK : gain statique
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (1)
Dfinition
On considre des systmes dont lquation diffrentielle se metsous la forme canonique :
2n y(t) + 2ndy(t)
dt+
d2y(t)dt2
= K2n u(t),
o , n et K sont des constantes relles strictement positives
: coefficient damortissementn : pulsation propre non amortie ou pulsation naturelleK : gain statique
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (1)
Dfinition
On considre des systmes dont lquation diffrentielle se metsous la forme canonique :
2n y(t) + 2ndy(t)
dt+
d2y(t)dt2
= K2n u(t),
o , n et K sont des constantes relles strictement positives
: coefficient damortissementn : pulsation propre non amortie ou pulsation naturelleK : gain statique
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (2)
Rponse indicielle fonction de la valeur de : + ent sin(
1 2 nt + ), si 0 < < 1,
+ ( + t)ent , si = 1,
+ e(+21)nt + e(
21)nt , si > 1,
avec , , R dpendant des CI.
> 1 : aucune oscillation < 1 : pseudo-oscillations i. e. oscillations de pulsationfixe p =
1 2 n, dont lamplitude dcrot
exponentiellement vers zro. On appelle ppseudo-pulsation ou pulsation amortie.
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (2)
Rponse indicielle fonction de la valeur de : + ent sin(
1 2 nt + ), si 0 < < 1,
+ ( + t)ent , si = 1,
+ e(+21)nt + e(
21)nt , si > 1,
avec , , R dpendant des CI.
> 1 : aucune oscillation
< 1 : pseudo-oscillations i. e. oscillations de pulsationfixe p =
1 2 n, dont lamplitude dcrot
exponentiellement vers zro. On appelle ppseudo-pulsation ou pulsation amortie.
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (2)
Rponse indicielle fonction de la valeur de : + ent sin(
1 2 nt + ), si 0 < < 1,
+ ( + t)ent , si = 1,
+ e(+21)nt + e(
21)nt , si > 1,
avec , , R dpendant des CI.
> 1 : aucune oscillation < 1 : pseudo-oscillations i. e. oscillations de pulsationfixe p =
1 2 n, dont lamplitude dcrot
exponentiellement vers zro. On appelle ppseudo-pulsation ou pulsation amortie.
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
2
4
6
8
10
12
14
16
Temps (s)
Am
plitu
de
Rponse indicielle
=1,5
=3,48
=1
=0,71
=0,42
=0,2
Rponses indicielles dun systme du second ordre pour diffrentesvaleurs du coefficient damortissement
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (3)
Temps de rponsePas de loi simple : abaques ou simulation.
Courbe nt5% fonction de
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (4)
Temps de rponsePas de loi simple : approximation.
Approximation :deux ples rels, associs deux constantes de temps(1 >> 2)
+ et1 + e
t2 t5% ' 31
deux ples complexes : la rponse indicielle est comprise lintrieur dune enveloppe exponentielle connue :
+ ent sin(
1 2 nt + ) t5 % '3n
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.250
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Temps (s)
Am
plitu
de
Rponse indicielle
Rponse indicielle dun systme du second ordre pseudo-oscillant etenveloppe des pseudo-oscillations
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
2
4
6
8
10
12Rponse indicielle
Temps (sec)
Am
plitu
de
Temps de rponse 5 % dun systme du second ordre de coefficientdamortissement 0,6 et dun premier ordre de constante de temps 1n
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (5)
Premier dpassement (cas pseudo-oscillant)Formes analytiques :
t1 =pi
1 2 n, D1 = e
pi12 .
Compromis optimal amortissement-rapidit ?
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Amortissement
Am
plitu
de d
u pr
emie
r dp
asse
men
t (%)
Correspondance entre premier dpassement (D1%) et coefficientdamortissement, pour un systme du second ordre
Systmes du 2nd ordre : rponse temporelle (6)
Premier dpassement (cas pseudo-oscillant)Compromis optimal amortissement-rapidit est obtenu pour :
=
2
2' 0,7
Temps de rponse : D1% = 5 % de la valeur finale : t1 = t5 %.
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Analyse harmonique
DfinitionOn considre le cas dun systme linaire invariant de FT G(s),en rgime permanent sinusodal de pulsation . On appelleG(s = j) rponse harmonique.
PropritLa rponse du systme une entre sinusodale A sint est :
y(t) = A |G(j)| sin (t + Arg{G(j)}) .
Analyse harmonique
DfinitionOn considre le cas dun systme linaire invariant de FT G(s),en rgime permanent sinusodal de pulsation . On appelleG(s = j) rponse harmonique.
Analyse harmonique
Analyse harmonique : tude de la fonction G(j) :comportement frquentiel du systme (signal priodique)diagrammes mettant en correspondance module etargument
Diagrammes harmoniques (1)
Diagramme de Bode
Le diagramme de Bode est constitu de deux courbes :module en dcibels (dB) : GdB() = 20 log10 |G(j)|argument en degrs (deg) : () = Arg{G(j)}
VocabulaireOn utilise traditionnellement les termes de gain et de phase,plutt que les termes modules et argument.
Diagrammes harmoniques (2)
Intrt du diagramme de BodeModule dun produit de nombres complexes = produit deleurs modules. Module en dB dun produit de nombres
complexes = somme de leurs modules en dB :
20 log10 |G1(j)G2(j)| = 20 log10 |G1(j)|+ 20 log10 |G2(j)|,= G1dB (j) + G2dB (j).
Argument dun produit de nombres complexes = sommedes arguments :
Arg{G1(j)G2(j)} = ArgG1(j) + ArgG2(j).
Diagrammes harmoniques (3)
Diagramme de Nyquist
Le diagramme de Nyquist est le lieu de G(j) dans le plancomplexe, lorsque varie de +.
RemarqueCe diagramme est orient selon les croissants. En gnralon choisi lchelle du diagramme de Nyquist de sorte que lepoint complexe dabscisse 1, dit point critique apparaisse etpuisse tre situ par rapport au lieu de G(j).
Diagrammes harmoniques (4)
Lieu de Black-NicholsLe lieu de Black-Nichols est le lieu orient des points decoordonnes ((),GdB()) lorsque varie de +. Ontache aussi de faire apparatre le point critique de coordonnes(180,0) sur ce lieu.
RemarqueCe diagramme est orient selon les croissants. En gnralon choisi lchelle du diagramme de Nyquist de sorte que lepoint complexe dabscisse 1, dit point critique apparaisse etpuisse tre situ par rapport au lieu de G(j).
Moteur courant continu Maxon F2260, bobinage 885
Valeur numrique des paramtres du modle :
G(s) =(s)U(s)
=
KGelem(
s + 1el
)(s + 1em
) ,el =
LR,
em =RJ
Rf + K 2,
et KG =K
Rf + K 2.
G(s) =9,8975
(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s).
100 101 102 103 104 10580
60
40
20
0
20A
mpl
itude
(dB)
Diagramme de Bode
100 101 102 103 104 105
160140120100
80604020
Pulsation (rad/s)
Phas
e (de
g)
2 0 2 4 6 8 106
5
4
3
2
1
0
1
Axe rel
Axe
imag
inai
re
Diagramme de Nyquist
180 160 140 120 100 80 60 40 20
70
60
50
40
30
20
10
0
10
20
Phase (deg)
Gai
n (dB
)
Lieu de BlackNichols
Systmes du 1er ordre : rponse harmonique (1)
Fonction de transfertLa FT dun systme du premier ordre est donc :
G(s) =Y (s)U(s)
=K
1 + s.
Systmes du 1er ordre : rponse harmonique (1)
Rponse harmoniqueLa rponse harmonique associe est :
G(j) =K
1 + j.
Description de la rponse harmonique :tude du comportement asymptotique du rgimepermanent sinusodalextrapolation par des valeurs choisies
Systmes du 1er ordre : rponse harmonique (2)
Description de la rponse harmonique : G(j) = K1+j .
G(j) gain gain phase
quivalent (dB) (deg)
1
K K KdB = 20 log10 K 0
1
K1 + j
K2
KdB 3 45
1
jK
K
KdB 20 log10 20 log10 90
100 101 102 103 104
20
10
0
10
20
Am
plitu
de(dB
)
Diagramme de Bode
100 101 102 103 104
8070605040302010
Pulsation (rad/s)
Phas
e (de
g)
c
KdB3 dB
45
90
20 dB/dcade
Diagramme de Bode dun systme du premier ordre de constante detemps = 0,01 s et de gain statique K = 10
180 160 140 120 100 80 60 40 2020
15
10
5
0
5
10
15
20
Phase (deg)
Gai
n (dB
)
Lieu de BlackNichols
90
KdB
Lieu de Black-Nichols dun systme du premier ordre de constante detemps = 0,01 s et de gain statique K = 10
2 0 2 4 6 8 10
5
4
3
2
1
0
1
Axe rel
Axe
imag
inai
re
Diagramme de Nyquist
K
K/2 = 5 1
Diagramme de Nyquist dun systme du premier ordre de constantede temps = 0,01 s et de gain statique K = 10
Systmes du 2nd ordre : rponse harmonique (1)
Fonction de transfertLa FT du systme du second ordre est :
G(s) =Y (s)U(s)
=K2n
2n + 2ns + s2.
Systmes du 2nd ordre : rponse harmonique (1)
Fonction de transfertLa FT du systme du second ordre est :
G(s) =Y (s)U(s)
=K2n
2n + 2ns + s2.
Ples = solutions de 2n + 2ns + s2 = 0 :
p1,2 = ( j
1 2)n si 0 < 6 1et p1,2 = (
2 1)n si > 1.
Systmes du 2nd ordre : rponse harmonique (1)
Fonction de transfertLa FT du systme du second ordre est :
G(s) =Y (s)U(s)
=K2n
2n + 2ns + s2.
0
n
1 2
-n
1 2
Axe rel
Axe imaginaire
p2
p1
n
cos() =
n
Systmes du 2nd ordre : rponse harmonique (2)
Description de la rponse harmonique : G(j) = K2n
2n2+2jn .
G(j) gain gain phase
quivalent (dB) (deg)
n K K KdB = 20 log10 K 0
nK
2jK2 KdB 6 20 log10 90
n K2n
2K2n2
KdB + 40 log10 n 40 log10 180
Systmes du 2nd ordre : rponse harmonique (3)
Rsonance
Si 6
22 , il peut y avoir un phnomne de rsonance,
cest--dire que le gain passe par un maximum en :
r =
1 22 n.
Le dpassement en gain correspondant vaut :
Gr =1
2
1 2
100 101 102 103 10460
40
20
0
20
Am
plitu
de(dB
)
Diagramme de Bode
100 101 102 103 104
160140120100
80604020
Pulsation (rad/s)
Phas
e (de
g)
= 0,20,42
0,711
1,53,48
c
90
180
KdB
40 dB/dcade
Diagramme de Bode dun systme du second ordre K = 10,n = 100, variable
180 160 140 120 100 80 60 40 20
50
40
30
20
10
0
10
20
30
Phase (deg)
Gai
n (dB
)
Lieu de BlackNichols
3,48
1
0,42
0,71
= 0,2
1,5
KdB
Lieu de Black-Nichols dun systme du second ordre K = 10,n = 100, variable
10 5 0 5 10 15
25
20
15
10
5
0
Axe rel
Axe
imag
inai
re
Diagramme de Nyquist
3,481,510,710,42
= 0,2
K=
Diagramme de Nyquist dun systme du second ordre K = 10,n = 100, variable
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Simplification de modles (1)
Forme gnrique dune FT :
G(s) =Ksc
pi=1(1 + is)
qi=p+1(1 + 2
ini
s + 1n2i
s2)pj=1(1 + js)
qj=p+1(1 + 2
jnj
s + 1n2j
s2).
Termes du premier ordre : ples et zros relsTermes du second ordre : ples et zros complexesconjugus
Simplification de modles (1)
Forme gnrique dune FT :
G(s) =Ksc
pi=1(1 + is)
qi=p+1(1 + 2
ini
s + 1n2i
s2)pj=1(1 + js)
qj=p+1(1 + 2
jnj
s + 1n2j
s2).
Termes du premier ordre : ples et zros rels
Termes du second ordre : ples et zros complexesconjugus
Simplification de modles (1)
Forme gnrique dune FT :
G(s) =Ksc
pi=1(1 + is)
qi=p+1(1 + 2
ini
s + 1n2i
s2)pj=1(1 + js)
qj=p+1(1 + 2
jnj
s + 1n2j
s2).
Termes du premier ordre : ples et zros relsTermes du second ordre : ples et zros complexesconjugus
Simplification du modle du MCCModle du second ordre :
G(s) =9,8975
(1 + 0,0184s)(1 + 0,0004s).
Modle du premier ordre :
G(s) =9,8975
1 + 0,0184s.
Rponse harmonique relative au ple dominant ?
G1(j) =1
1 + 0,0184j,
Rponse harmonique relative au ple secondaire ?
G2(j) =1
1 + 0,0004j
0KdB = 20
0
180
90
(KG1)dB(1)
(1)
Arg{KG1}
1em
0KdB = 20
0
180
90
(G2)dB(KG1)dB
(1)(1)
Arg{G2}
(1)
Arg{KG1}
1el
1em
0KdB = 20
0
180
90
GdB
(G2)dB(KG1)dB
(1)(1)
(2)
Arg{G2}
Arg{G}
(1)
Arg{KG1}
1el
1em
0KdB = 20
0
180
90
GdB
(KG1)dB(1)
(2)
Arg{G}
(1)
Arg{KG1}
1em
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120.2
0.18
0.16
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
Temps (s)
Am
plitu
de
Erreur de modlisation dans lhypothse dun modle dordre un duMCC : erreur sur la rponse indicielle pour un moteur Maxon F2260
Simplification de modles (2)
Rgles gnrales : ples rels
Lorsque deux ples sont suffisamment distincts le ple le plusprs de laxe des imaginaires, cest--dire le plus petit en valeurabsolue, associ la constante de temps la plus lente, estprpondrant.
Si lon doit faire une approximation pour simplifier ltude dunsystme, dont le modle est dordre lev, on ngligera doncles ples les plus rapides.
Si les ples sont proches, il peut devenir plus hasardeuxdeffectuer une telle simplification.
Simplification de modles (2)
Rgles gnrales : ples complexes conjugus
On pourra, de mme considrer que la dynamique lie unepaire de ples complexes conjugus est ngligeable devantcelle lie un ple simple ou une autre paire de plescomplexes conjugus si la pulsation naturelle associe cettepaire est grande devant la pulsation naturelle de lautre paire,ou devant la pulsation associe au ple simple.
Simplification de modles (2)
Rgles gnrales : zros
Cas similaire : on simplifiera les zros entre eux de la mmemanire.
En revanche, on procdera avec prudence pour ce qui est dengliger un zro prpondrant au vu de la valeur des ples.
Exemple 1
G(s) =K (1 + 2s)
(1 + 1s)(1 + 3s)avec 1 > 2 > 3.
A. N. :
1 = 1 s2 = 0,1 s3 = 0,01 s
CaractristiquesTrac du diagramme de BodeTrac du lieu des ples et zros
Exemple 2
G(s) =K (1 + 1s)(
1 + s2 +s222
)(1 + 3s)
avec 1 > 12 > 3.
A. N. :
1 = 1 s2 = 10 rad/s3 = 0,01 s
CaractristiquesTrac du diagramme de BodeTrac du lieu des ples et zros
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Plan
1 ModlisationMise en quation dun systme physiqueProprits des systmes temps continuReprsentations temporelles des systmesReprsentation par fonction de transfertCorrespondances entre reprsentations
2 Rponses des systmes temps continuRponse temporelleRponse temporelle des systmes lmentairesRponse harmoniqueRponse harmonique des systmes lmentairesSimplification de la reprsentation dun systme
3 Analyse des systmes temps continuCommandabilit et observabilitStabilit
Commandabilit et observabilit : gnralits
ContexteNotions fondamentales pour ltude des systmes en vue deleur commande, dfinies partir du modle dtat du systmeconsidr
ObjectifCaractrisation daprs les critres de Kalman.
Commandabilit (1)
DfinitionCommandabilit dun systme = capacit voir soncomportement voluer sous laction de sa commande (sonentre).
Commandabilit dun systmeUne variable dtat xi est commandable sil est possible dedterminer une commande u(t) sur un intervalle [t0, tf ]conduisant tout tat initial xi(t0) en 0 en un temps t1 avect0 6 t1 6 tf .Si cette proprit est vraie pour tout t0 et pour toute variable duvecteur dtat, alors le systme est dit compltementcommandable.
Commandabilit (2)
Critre de commandabilit (de Kalman)Un systme linaire invariant dquation dynamique dtat :
dxdt
= Ax + Bu
est commandable si et seulement si la matrice decommandabilit :
C =(B AB . . . An1B
)est de rang n.
On parle couramment de commandabilit de la paire (A, B).
Systme de niveau de liquideSystme de niveau de liquide rgi par la loi dvolution :
RCdhdt
+ h = Rqe.
Rq0 + qs
q0 + qe
vanne entre
vanne sortie
h0 + h
Modle dtatModle physique :
RCdhdt
+ h = Rqe.
Systme dordre 1 : variable dtat = variation h de la hauteurde liquide, entre (commande) = variations u = qe du dbitdentre autour du dbit nominal q0.
Equation dtat :
dxdt
= 1RC
x +1C
u
Commandabilit
Systme commandable car B = 1C 6= 0
Rq0 + qs
q0 + qe
vanne entre
vanne sortie
qr
h0 + h
hr
Systme de niveau de liquide modifiSystme de niveau de liquide rgi par les lois dvolution :
Cdh = (qe + qr qs)dt Cr dhr = qr dt ,qs = hR qr =
hrRr .
Modle dtatSystme dordre 2 : variables dtat = h et hr , commande = u.
Equation dtat :
ddt
(x1x2
)=
( 1RC 1Rr C
0 1Rr Cr
)(x1x2
)+
(1C
0
)u.
Commandabilit
C = (B AB) =( 1
C 1RC20 0
).
Systme non compltement commandable, car C de rangn 1 = 1.x2 = hr non commandable par la vanne dentre. . .
Observabilit (1)
DfinitionObservabilit dun systme = possibilit de dterminer son tat partir des mesures de sa sortie.
Observabilit dun systmeUne variable dtat xi est observable sil est possible dedterminer xi(t0) partir de la connaissance de la sortie y(t)sur un intervalle [t0, tf ].
Si cette proprit est vraie pour tout t0 et pour toute variable duvecteur dtat, alors le systme est dit compltementobservable.
Observabilit (2)
Critre dobservabilit (de Kalman)Un systme linaire invariant de reprsentation dtat :
dxdt
= Ax + Bu,
y = Cx + Du
est observable si et seulement si la matrice dobservabilit :
O =
C
CA. . .
CAn1
est de rang n.
On parle couramment dobservabilit de la paire (A, C).
Rq0 + qs
q0 + qe
vanne entre
vanne sortie
h0 + h
Systme de niveau de liquideReprsentation dtat du systme :
dxdt
= 1RC
x +1C
u,y = x ,
ObservabilitSystme observable car C = 1.
Rq0 + qs
q0 + qe
vanne entre
vanne sortie
qr
h0 + h
hr
Systme de niveau de liquide avec rservoir auxiliaireReprsentation dtat du systme :
dxdt
=
( 1RC 1Rr C
0 1Rr Cr
)(x1x2
)+
( 1C0
)u,
y =(1 0
)(x1x2
)
Systme de niveau de liquide avec rservoir auxiliaireReprsentation dtat du systme :
dxdt
=
( 1RC 1Rr C
0 1Rr Cr
)(x1x2
)+
( 1C0
)u,
y