Expo DESA

Département de physiqueDiplôme des Études Supérieures Approfondies (DESA)

Modélisation, Simulation et Caractérisation en physique (MSCP)

22

Sous la direction du: Pr. F. LAHNA

Préparé par :

M. Mohamed REFFADI

Comité de jury : M. Mohamed ABID Faculté des Sciences Ain Chok M. Abdelkader BOULZHAR Faculté des Sciences Ain Chok M. Rachid SEHAQUI Faculté des Sciences Ain Chok M. EL hassan SAYOUTY Faculté des Sciences Ain Chok

M. Fouzi LAHNA Faculté des Sciences Ain Chok

Soutenu le : Jeudi 07 Février 2008 à 14h30.

Plan

Introduction

Généralités sur l’élasticité

Généralités sur la mécanique de la rupture

Méthodes de calcul du facteur d’intensité de

33

Méthodes de calcul du facteur d’intensité de

contraintes

Résultats et interprétations

Conclusion

Perspectives

44

Introduction

Dans le milieu industriel, de nombreuses applications sont

concernées par la mécanique de la rupture.

La volonté de concevoir des structures de plus en plus légères

et à la durée de vie de plus en plus longue nécessite de prendre

en compte les fissures dans les calculs de structure.

55

en compte les fissures dans les calculs de structure.

� Définir les facteurs d’élasticité,

� Déterminer les critères de la rupture,

� Décrire les méthodes analytiques et numériques de calculs du

facteur d’intensité des contraintes,

� Analyser et discuter les résultats obtenus, analytiquement et

numériquement

66

L’élasticité est la propriété physique d'un corps dereprendre sa forme initiale après suppression de lasollicitation.

� Le corps est parfaitement élastique s'il retrouvecomplètementsa forme originale après suppressionde la


77

complètementsa forme originale après suppressionde lacharge.

� Il est partiellement élastique si la déformation produite parles forces externes ne disparaît pas complètement lorsquecelles-ci sont annulées.

Tenseur des contraintes-I

Quand un corps est soumis à l'action de forces extérieures des contraintes s'établissent, par réaction, à l'intérieur de ce corps.


88

Aux contraintes sont associées des déformations.


déformationdesTenseur-II

Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3 servant à décrire l'état de déformation local résultant de contraintes (efforts internes).

= εεεεεε

εxzxyxx

99

=

εεεεεεε

zzzyzx

yzyyyx

Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur dérivé du champ de déplacement.

Avec : i, j = (x, y, z)


III- Élasticité tridimensionnelle

Pour bien définir le comportement entre le système et lescontraintes extérieures, on doit donc écrire les différentesrelations entre contraintes (σij), déformations (εij) etdéplacements(U ).

1010

déplacements(Ui).

On a besoin de définir 15 équations pour résoudre unproblème d’élasticité en 3 dimensions.


- Dans le cas d'un matériau isotrope :

1i j i j k k i j

E E

ν νε σ σ δ+= − [6 équations]


A- Loi de Hooke

1111

Avec: E : Module de Youngν : Coefficient de poisson

E E

{ 1 p o u r i = j0 p o u r i ji jδ =

= ≠


En appliquant la sommation sur les indices k et l.

Le comportement élastique est modélisé par un tenseur d'ordre 4 [Cijkl ] contenant 81 coefficients élastiques.

- Dans le cas d'un matériau anisotrope :

1212

En appliquant la sommation sur les indices k et l.

Remarque :

Avec [C] Tenseur des rigidités

Avec [S ] Tenseur des complaisances élastiques.

[ ] [ ][ ]εσ C=

[ ] [ ][ ]σε S=

Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21 en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la stabilité énergétique du tenseur.


−−

−−

−−

GGGEEE

GGGEEE

GGGEEE

12,313,323,32313

12

12,2

13

13,2

23

23,2

3

32

21

12

12

12,1

13

13,1

23

23,1

3

31

2

21

1

1

1

1

ηηηνν

ηηηνν

ηηηνν

En introduisant les coefficients d’élasticité pour un matériau anisotrope [S ] s’écrit sous les formes.

1313

=

GGGEEE

GGGEEE

GGGEEE

GGGEEES

1213

13,12

23

23,12

3

3,12

2

2,12

1

1,12

12

12,13

1323

23,13

3

3,13

2

2,13

1

1,13

12

12,23

13

13,23

233

3,23

2

2,23

1

1,23

121323321

1

1

1

ηηηηη

ηηηηη

ηηηηη

Ainsi, pour définir complètement un matériau dans le cas le plus générald'anisotropie, il faut trois modules d'Young, trois modules de cisaillement, troiscoefficients de poisson, trois coefficients de CHENTSOV etneuf coefficients deLEKHNITSKII.


Définition : Un matériau est dit orthotrope, s'il a deux plans de symétries de comportement mécanique, il y a donc trois axes d'orthotropies, d'où :

- Dans le cas d'un matériau orthotrope :

L'existence de deux plans de symétrie annule douze constantes élastiques.

−− νν1

1414

−−

−−

−−

=

τττσσσ

νν

νν

νν

γγγεεε

12

13

23

33

22

11

12

13

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

13

23

33

22

11

100000

01

0000

001

000

0001

000

0001

1

G

G

G

EEE

EEE

EEE

Dans ce cas on a neuf constantes élastiques indépendantes


Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :

0i ji

X

Xσ∂

+ =∂


B- Les équations d’équilibre

[3 équations différentielles scalaires]

1515

jX∂

+=

∂∂

∂∂

xU

xU

i

j

j

iij 2

1ε [6 équations différentielles scalaires]

Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :

Les Xi sont les composantes des forces volumiques.

C- Les équations géométriques


1( )ij ij ij ijtrace

E E

ν νε σ σ δ+= − [3 équations]

Avec : i, j=1 ,2

III- Élasticité bidimensionnelleA- Loi de Hooke

- Dans le cas d'un matériau isotrope :

1616

Avec: i, j=1 ,2

- Dans le cas d'un matériau anisotrope :

σασασαγσασασαεσασασαε

12662226111612

12262222111222

12162212111111

++=++=++=

Où

=;.

.

PDen

PCen

CS

ij

ijijα Avec : .6,2,1,;

33

33 =−= jiSSS

SCji

ijij


Il est désormais plus simple d’exprimer les équations constitutivesd’un matériau orthotrope dans un état de contraintes planes par unematricedescomplaisancespluscompacte.

- Dans le cas d'un matériau orthotrope :

III- Élasticité bidimensionnelleA- Loi de Hooke

1717

matricedescomplaisancespluscompacte.

−

−

=

τσσν

ν

γεε

12

22

11

12

21

21

2

12

1

12

22

11

100

01

01

G

EE

EE

νν 21

2

12

1 EE =Avec :


III- Élasticité bidimensionnelle

Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :

0i ji

X

Xσ∂

+ =∂

B- Les équations d’équilibre

[2 équations différentielles scalaires]

1818

jX∂

+=

∂∂

∂∂

xU

xU

i

j

j

iij 2

1ε [3 équations différentielles scalaires]

Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :

Les Xi sont les composantes des forces volumiques.

C- Les équations géométriques

1919


La mécanique de la rupture est une philosophie de conceptionvisant à développer uncritère de ruine prenant en comptel’existence de fissuresdans le matériau.

La mécanique de la rupture a pour objet l’étude le

2020

comportement mécanique d’un matériau en présence de fissuresmacroscopiques.

Le but de la mécanique de la rupture est de formuler des critères,c'est-à-dire de définir les conditions pour les quelles un défautidentifié (ou non) peut se propager sous une sollicitation donné.


I- Mode de rupture

2121

Traction(Mode I)

Cisaillement simple(Mode II)

cisaillement anti-plan(Mode III)


I- Essai et courbe de traction

2222


I- Essai et courbe de traction

2323


II- Les facteurs de la ruptureA- Facteur d’intensité de contraintes

i. Cas d’une géométrie infinie :

1/2I ( )K aσ π∞= En mode I

2424

1/2( )IIK aτ π∞= En mode II

ii. Cas d’une géométrie finie :Pour des éprouvettes de dimensions finies, plus intéressantes en pratique,

les facteurs d’intensité de contraintes K (m= I, II) sont de la forme :

1/ 2( )m mK aασ π= ou mσ σ τ∞ ∞=


II- Les facteurs de la ruptureB- Le taux de restitution d’énergie

Noté G, le taux de restitution d’énergie représente l’énergienécessaire pour faire progresser la fissure d’une longueurunité.

2525

Où E est le module d’Young et ν le coefficient de poisson.

2626

Calcule du facteur d’intensité de contrainte KI

I- La méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis est une méthode de résolution approchée d'équations aux dérivées partielles.

1- Définition

2- Importance de la méthode

De très nombreux problèmes physiques s'expriment sous forme

2727

De très nombreux problèmes physiques s'expriment sous forme d'équations aux dérivées partielles soumises à des conditions aux limites particulières.

� Mécanique de la rupture� Mécanique des solides déformables� Conduction thermique� Electromanitisme…

II- Le maillage

1- Les types de maillage

Dans la méthode des éléments finis, l’étape du maillage est primordiale.


2828

Maillage triangulaire (3 et 6 nœuds). Maillage quadrangle (4, 8 et 9 nœuds).


III- Méthodes de calcul de KI

1- Méthodes directes

i. Méthode avec champ de déplacement

2

2

(3 )(1 ) 1 2sin ( /2)

2 2 (3 )(1 ) 1 2cos ( /2)I

u K r

v

ν ν θµ π ν ν θ

− + − + =

− + + −

2929

ii. Méthode avec champ de déplacement

3( ) cos (1 sin sin )

2 2 22I

xx

K

r

θ θ θσ θπ

= −

3( ) cos (1 sin sin )

2 2 22I

yy

K

r

θ θ θσ θπ

= +

3( ) cos (sin sin )

2 2 22I

xy

K

r

θ θ θσ θπ

=


III- Méthodes de calcul de KI

1- Méthodes indirectes

² ( ). ; ,

2m m

m

P C aG m I II

a

∂= =∂

i. Méthode de complaisance

3030

2 a∂ii. Méthode de déplacement virtuel

² ( ). ; ,

2m m

m

P C aG m I II

a

∆= =∆

3131


L = a + c

bP

2h

I- Description de l’essai

3232

ca

PÉprouvette DCB

P : Charge appliquée = 10 daN

a : Longueur de fissure

c : Ligament

2h : Hauteur de l’éprouvette

L : Longueur de l’éprouvette (320mm)

b : Épaisseur de l’éprouvette = 1 mm


II- Maillage utilisé

..

...........

1 4 6 9

En raison de symétrie, le maillage est effectué sur demi éprouvette

3333

h

20mm

320mm

..

...........2

3 5

7

8 10

III- Matériaux isotropes

Les matériaux isotropes utilisés dans notre travail sont représentés dans le tableau suivant :

MatériauxMatériaux AcierAcier CuivreCuivre AluminiumAluminium PlexiglasPlexiglas

Module de Young E en Module de Young E en 20 00020 000 12 50012 500 7 4007 400 290290


3434

Module de Young E en Module de Young E en [daN/mm[daN/mm22]]

20 00020 000 12 50012 500 7 4007 400 290290

Coefficient de poisson Coefficient de poisson νν 00,,33 00,,3535 00,,3434 00,,3636

- Méthodes utilisées

1- Méthode complaisance ( numérique)

� Nous tournons le programme pour avoir le déplacement virtuel Uy

complaisance C (a) pour chaque matériaux, avec C (a) =2Uy/P,

� Trace de la courbe de C (a)


3535

� Lissage de C (a), afin de trouver le polynôme correspondante,

� Calcule de

� Calcule de

� Calcule de KI

� En fin, on trace la courbe de KI (a).

a

aC

∂∂ )(

a

aaG CP I

I ∂= ∂ )(

2)(

2

)(1

)(2

2

aE

aG K IIν−

=


2- Formule de KANNINEN ( Analytique)

[ ]1 3 / 2

2 3 1 0.64( / )( )

P a h aK a

b h

× × × × +=

×


3636

P P : : Charge appliquéeCharge appliquéea a : : Longueur de fissureLongueur de fissureh h : : Demi hauteur de l’éprouvetteDemi hauteur de l’éprouvette

bb : : Épaisseur de l’éprouvette Épaisseur de l’éprouvette

La formule analytique de KANNINEN du facteur d’intensité de contrainte ne dépend pas de la nature du matériau ( ν,E)

a [mm] 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240

K I [daN.mm-3/2] 21,06 26,60 32,15 37,69 43,23 48,77 54,32 59,86 65,40 70,94

- RésultatsLes résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme

le suivant :- Cas de l’acier avec (2h= 50mm).

Longueur de

fissure"a"

Déplacement Uy

ComplaisanceTaux de

restitution d'énergie

FIC KI Numérique

FIC KI "KANNINEN

Ecart en %

60 0,05191000 0,01038200 4,22E-04 0,02107722 21,52 21,06 2,19%a

aC

∂∂ )(


3737

N.B : Pour le lissage, on a trouvé que le polynôme en 3èmedegré donne des bons résultas.

60 0,05191000 0,01038200 4,22E-04 0,02107722 21,52 21,06 2,19%80 0,10640000 0,02128000 6,79E-04 0,03394985 27,32 26,60 2,67%100 0,18970000 0,03794000 9,98E-04 0,04991838 33,12 32,15 3,04%120 0,30810000 0,06162000 1,38E-03 0,06898281 38,94 37,69 3,31%140 0,46780000 0,09356000 1,82E-03 0,09114314 44,76 43,23 3,53%160 0,67480000 0,13496000 2,33E-03 0,11639938 50,58 48,77 3,70%180 0,93540000 0,18708000 2,90E-03 0,14475153 56,40 54,32 3,84%200 1,25600000 0,25120000 3,52E-03 0,17619958 62,23 59,86 3,96%220 1,64200000 0,32840000 4,21E-03 0,21074353 68,06 65,40 4,06%240 2,10100000 0,42020000 4,97E-03 0,24838338 73,88 70,94 4,14%

- Résultats

Courbe de complaisance en fonction de "a" -Acier-

4,50E-01

Complaisance en [mm/daN]

Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Acier 2h = 50 mm-

80,00

FIC [daN.mm-3/2]

- Cas d’Acier


3838

0,00E+00

5,00E-02

1,00E-01

1,50E-01

2,00E-01

2,50E-01

3,00E-01

3,50E-01

4,00E-01

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de la fissure

"a" en [mm]

Complaisance

Lissage 3ème degré

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

60 80 100 120 140 160 180 200 220 240Longueur de fissure

"a"[mm]

Complaisance

KANNINEN

- Résultats

- Cas du cuivre

Courbe de complaisance en fonction de "a" -Cuivre-

7,00E-01

8,00E-01


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Cuivre-

7,00E+01

8,00E+01

FIC [daN.mm-3/2]


3939

0,00E+00

1,00E-01

2,00E-01

3,00E-01

4,00E-01

5,00E-01

6,00E-01

7,00E-01


"a" en [mm]

Complaisance


0,00E+00

1,00E+01

2,00E+01

3,00E+01

4,00E+01

5,00E+01

6,00E+01

7,00E+01


"a"[mm]

Complaisance

KANINNEN

- Résultats

- Cas d’Aluminium

Courbe de complaisance en fonction de "a" -Aluminium-

1,20E+00


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Alimunium-

7,00E+01

8,00E+01

FIC [daN.mm-3/2]


4040

0,00E+00

2,00E-01

4,00E-01

6,00E-01

8,00E-01

1,00E+00


"a" en [mm]

Complaisance


0,00E+00

1,00E+01

2,00E+01

3,00E+01

4,00E+01

5,00E+01

6,00E+01

7,00E+01


"a"[mm]

Méthode de complaisance

Méthode de KANNINEN

- Résultats

- Cas du Plexiglas

Courbe de complaisance en fonction de "a" -Plexiglas-

35


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Plexiglas-

FIC [daN.mm-3/2]


4141

0

5

10

15

20

25

30

35


"a" en [mm]

Données réelles


0,00E+00

1,00E+01

2,00E+01

3,00E+01

4,00E+01

5,00E+01

6,00E+01

7,00E+01

8,00E+01


"a"[mm]

Complaisance

KANNINEN

- Résultats

La limite de fiabilité de la formule de KANNINEN

Courbe de complaisance en fonction de "a" -Acier 2h = 20 mm-



FIC [daN.mm-3/2]


4242

0,00E+00

1,00E+00

2,00E+00

3,00E+00

4,00E+00

5,00E+00

6,00E+00

7,00E+00

8,00E+00


"a" en [mm]

Complaisance


0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00

300,00

350,00


"a"[mm]

FIC [daN.mm-3/2]

Complaisance

KANNINEN

- Résultats



3,50E+00



250,00

FIC [daN.mm-3/2]


4343

0,00E+00

5,00E-01

1,00E+00

1,50E+00

2,00E+00

2,50E+00

3,00E+00


"a" en [mm]

Complaisance


0,00

50,00

100,00

150,00

200,00

250,00


"a"[mm]

Complaisance

KANNINEN

- Résultats






4444

0,00E+00

5,00E-03

1,00E-02

1,50E-02

2,00E-02

2,50E-02

3,00E-02

3,50E-02


"a" en [mm]

[mm/daN]

Complaisance


0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

25,00


"a"[mm]

FIC [daN.mm-3/2]

Complaisance

KANNINEN

- Résultats



Complaisance en



4545

0,00E+00

5,00E-03

1,00E-02

1,50E-02

2,00E-02

2,50E-02

3,00E-02

3,50E-02


"a" en [mm]


Complaisance


0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

20,00


"a"[mm]

FIC [daN.mm-3/2]

Complaisance

KANNINEN

IV- Matériaux orthotropes

Les matériaux orthotropes utilisés dans notre travail sont représentés dans le tableau suivant :

Matériaux Pin sylvestre Eucalyptus Douglas

E1 (daN/mm2) 1 700 1 924 1 669

E (daN/mm2) 108 96,1 132


4646

E2 (daN/mm2) 108 96,1 132

E3 (daN/mm2) 108 _ 92

G12 (daN/mm2) 141 101,4 120

ν12 0,22 0,5 0,367

ν21 0,0139 2,497E-02 0,029

ν13 0,22 _ 0,384

ν31 0,0139 _ 0,021

ν23 0,62 _ 0,594

ν32 0,62 _ 0,414


1- Méthode complaisance ( numérique)

Nous suivons les même étapes que pour les matériauxisotrope, sauf que pour le calcul de KI nous utiliserons laformule suivante :

21

21

21

2 + ααααα


4747

2

11

66122

1

11

222

1

22112

22

2

++

=

ααα

ααααKG II

Avec :

S ijij=α En contraintes planes


2- Formule du Pr. LAHNA ( Analytique)

41

21

2

12

2222

22

33

2

sincossin

sinsin 312

)(

+

+

−

−+

−

+

=

αααα

λ λλλλλλ

λλλλ

λh

r

cc

cccc

cc

cca

b shchsh

shsh

hP

K

I

I


4848

11

66122

11

22

11

22

22

2

++

ααα

αα

αα

Oùαα

11

66=r4

1

22

1161

=

ααλ

h

Avec : S ijij=α En contraintes planes

et

Longueur de

fissure"a"Déplacement Uy Complaisance

Taux de restitution d'énergie

FIC KI Numérique a

aC

∂∂ )(

- Résultats

Les résultats obtenus sont présentés dans des tableaux comme le suivant :- Cas de Pin Sylvester avec (2h= 50mm).


4949

fissure"a" d'énergieNumérique

60 1,17E+00 2,35E-01 7,75E-03 3,88E-01 8,6780 2,12E+00 4,24E-01 1,14E-02 5,71E-01 10,46100 3,47E+00 6,94E-01 1,58E-02 7,90E-01 12,31120 5,30E+00 1,06E+00 2,09E-02 1,05E+00 14,16140 7,68E+00 1,54E+00 2,68E-02 1,34E+00 16,02160 1,07E+01 2,14E+00 3,34E-02 1,67E+00 17,89180 1,44E+01 2,87E+00 4,07E-02 2,03E+00 19,75200 1,88E+01 3,77E+00 4,87E-02 2,44E+00 21,62220 2,41E+01 4,83E+00 5,75E-02 2,88E+00 23,48

a∂

- Résultats

- Cas du Pin Sylvester

Courbe de complaisance en fonction de "a" -Pin sylvestere -

6,00E+00


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Pin sylvestere -

20,00

25,00

FIC [daN.mm-3/2]


5050

0,00E+00

1,00E+00

2,00E+00

3,00E+00

4,00E+00

5,00E+00

60 80 100 120 140 160 180 200 220

Longueur de la fissure "a" en [mm]

Complaisance


0,00

5,00

10,00

15,00

20,00

60 80 100 120 140 160 180 200 220

Longueur de fissure "a"[mm]

Complaisance-CP-

- Résultats

- Cas du Douglas

Courbe de complaisance en fonction de "a" -Douglas-

6,000


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Douglas-

30,000FIC [daN.mm-3/2]


5151

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220


Complaisance


0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220Longueur de fissure

"a"[mm]

Complaisance

- Résultats

- Cas d’Eucalyptus

Courbe de complaisance en fonction de "a" - Eucalyptus -

4,500

5,000


Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus -

25,000

FIC [daN.mm-3/2]


5252

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

60 80 100 120 140 160 180 200 220


Complaisance


0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220

Longueur de fissure "a"[mm]

Complaisance

La limite de fiabilité de la formule du Pr. LAHNA

- Résultats

Courbe de complaisance en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=35mm-

14,000

Complaisance [mm/daN]

Courbe de FIC en mode I en fonction de "a" -Eucalyptus 2h=35mm-

40,000

FIC [daN.mm-3/2]


5353

0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance


0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

30,000

35,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]

Complaisance

Pr. LAHNA

- Résultats



9,000



30,000

FIC [daN.mm-3/2]


5454

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

6,000

7,000

8,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance


0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]

Complaisance

Pr. LAHNA

- Résultats



5,000



25,000

FIC [daN.mm-3/2]


5555

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance


0,000

5,000

10,000

15,000

20,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]

Complaisance

Pr. LAHNA

- Résultats





20,000

FIC [daN.mm-3/2]


5656

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance


0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

20,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]

Complaisance

Pr. LAHNA

- Résultats


3,000



20,000

FIC [daN.mm-3/2]



5757

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220 a [mm]

Complaisance


0,000

2,000

4,000

6,000

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

60 80 100 120 140 160 180 200 220a [mm]

Complaisance

Pr. LAHNA

5858

Conclusion

� Le KI en fonction de la longueur de la fissure a est linéaire, pour les matériaux isotropes et orthotropes � Une concordance entre les valeurs de KI obtenus à partir les formules analytiques (KANNINEN et Pr. LAHNA) et ceux obtenus par la méthode numérique (méthode de complaisance),� Le KI ne dépend pas de la nature du matériau mais seulement de sa géométrie dans le cas des isotropes.

5959

de sa géométrie dans le cas des isotropes.� Le KI dépend de la nature du matériau dans le cas des orthotrope� La formule de KANNINEN est valable dans l'intervalle :

25 mm ( %4=l

h ) < 2h < 135 mm ( %21=l

h ).� La formule du Pr. LAHNA est valable dans l'intervalle :

40 mm ( ) < 2h < 65 mm ( ).%2,10=l

h%2,6=

l

h

6060

Perspectives

Dans cette étude on a cherché à étudier la propagation de la fissure en supposant que cette dernière se propage d'une manière linéaire, ce qui n'est pas toujours vrai dans la réalité.

Cette étude reste encore un sujet très vaste de recherche que nous proposons de poursuivre afin de la cerner, et pour

6161

que nous proposons de poursuivre afin de la cerner, et pour cela on prévoit dans des études à venir de :

� Prendre en considération le changement de la direction de la fissure (critère de bifurcation).

� Étudier une géométrie d'éprouvette afin de trouver la formule analytique de calcul de KI.

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