ELE2611 Classe 4 - Filtres analogiques linéaires II

Introduction

ELE2611 - Circuits Actifs

3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Cours 4 - Filtres analogiques lineaires IISynthese en cascade de filtres actifs

Instructeur: Jerome Le [email protected]

Version du 3 decembre 2015 ELE2611 - Circuits Actifs - c©Le Ny, J. 1/1

https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756

Introduction

Motivation pour ce cours

I Au cours precedent, nous avons discute certaines methodes pour :I etablir une specification de filtre (choix de gabarit),I et obtenir une fonction de transfert satisfaisant ces specifications.

I Il reste maintenant a concevoir des circuits permettant de realiser cesfonctions de transfert. Nous verrons deux approches classiques :

I Synthese en cascade (ce cours) : on factorise H(s) en produit de fonctionsde transfert d’ordre 2, plus un terme d’ordre 1 si l’ordre de H est impair :

H(s) = H1(s)H2(s) . . .Hdn/2e(s)

On cascade alors des quadripoles de topologies standard synthetisantchaque facteur d’ordre 1 ou 2. Des composants actifs permettent d’eviterles couplages entre etages (Zout = 0 ou Zin =∞). Avantages : modularite,relative simplicite, possibilite de regler chaque etage independamment, etc.

I Methodes de “synthese globale” (prochain cours) : reposent souvent sur lesmethodes classiques de synthese de circuits passifs (R,L,C). Pour desfrequences moderees, on peut remplacer les bobines par des composantsactifs.

I Il existe d’autres approches standard pour la conception de filtres actifsanalogiques, en particulier pour realiser des filtres en circuits integres(CMOS), aux basses et hautes frequences : filtres a capacites commutees,filtres gm-C. Vous trouverez de nombreux livres sur le sujet.


Introduction

Approches pour la conception de filtres

Choix du gabarit du

filtre

Normalisation en fréquence du gabarit (vers le passe-bas

normalisé)

Détermination d'une fonction de transfert satisfaisant le gabarit

normalisé

Dénormalisation en fréquence de

la fonction de transfert

Réalisation par un circuit de la fonction de

transfert dénormalisée

Filtre standards tabulés(Butterworth, Tchebyshev, etc.)Forme dévelopée et factorisée

Dénormalisation en impédance

Réalisation par un circuit de la fonction de

transfert normalisée

Tables de circuitsprototypes

disponibles (passifs, à simuler si besoin)

Dénormalisation en fréquence du circuit (transformation de

composants)

Plutôtsynthèse en cascade

d'un circuit actif

approche desynthèse globale

circuit final à vérifier et tester

ce cours


Introduction

Plan pour ce cours


Introduction

Filtres actifs d’ordre 1 et 2

Filtres actifs d’ordre 1

Filtres actifs d’ordre 1

I Pour la synthese en cascade, on a besoin d’au plus un filtre d’ordre 1 (sil’ordre de H est impair), qui termine generalement le circuit.

I Au cours 2, nous avons rencontre les filtres RC passifs d’ordre 1passe-haut et passe-bas, ainsi que l’integrateur et le derivateur.

I Realisations de filtres (RC) actifs d’ordre 1 (Exercice : fns de tx + Bode) :

Passe-bas :(integrateur modifie)

-+

=+Vi Vo

R1

R2

C

H(s) =H0

1 + s/ω0

H0 = −R2

R1, ω0 =

1

R2C

Passe-haut :(derivateur modifie)

-+

=+Vi Vo

R1 R2C

H(s) =H0 s/ω0

1 + s/ω0

H0 = −R2

R1, ω0 =

1

R1C

Passe-tout :

-+

=+Vi

Vo

R1 R2= R1

C

R

H(s) =1− RCs

1 + RCs

Dephasage

asymptotique : − 180◦


Introduction


Filtres actifs d’ordre 2 de Sallen-Key

Plan pour ce cours


Introduction



Cellules de Sallen-Key (ou KRC) : passe-bas

I Nous introduisons quelques architectures possibles pour realiser des filtresactifs d’ordre 2 ou biquadratiques (specifies par leur Q et ω0)

I Un filtre passe-bas de Sallen-Key (ou KRC) peut etre vu comme 2 etagesRC avec une boucle de retroaction pour booster le gain autour de lafrequence de coupure :

=+

KR1 R2

C1 C2Vi

Vo

=+

R1 R2

C1

C2Vi

Vo+-

Vo/K

V1

RB

RA

(Exercice :) H(s) = K1(

sω0

)2

+ 1Q

sω0

+ 1

K = 1 +RB

RA, ω0 =

1√R1C1R2C2

,1

Q= (1− K)

√R1C1

R2C2+

√R1C2

R2C1+

√R2C2

R1C1.

I 2 choix typiques : composants egaux (R1 = R2 = R,C1 = C2 = C) ; ougain unitaire (RB = 0,RA =∞).


Introduction



Passe-bas de Sallen-Key : configuration composants egaux

I On prend R1 = R2 = R, C1 = C2 = C (simplification de l’inventaire)

ω0 =1

RC,Q =

1

3− K,

et RB = RA(K − 1).

I On peut regler ω0 et Q independemment.

I Pour realiser Q eleve, il faut K proche de 3, i.e. RB/RA proche de 2. MaisQ devient alors tres sensible a toute variation de ce rapport

I Pour RBRA

= 1.9, on a Q = 10.

I Pour RBRA

> 2, on a Q < 0, et le circuit devient instable !I En pratique, on se limite donc a Q ' 10.

I On a la contrainte K = 3− 1/Q, mais on peut en partie remedier a cela(voir diapositive suivante).


Introduction



Modification du gain statique

I Pour la configuration de Sallen-Key composants egaux, la specification dufacteur de qualite fixe la valeur du gain statique K = 3− 1/Q.

I La modification suivante permet d’obtenir un gain statique |K0| < |K |sans rajouter d’AO : remplacer R a l’entree par R ′,R ′′

=+

R' R

C

C

Vo+-

RA (K-1)

RA

R''Vi=+ViR'' / (R'+R'')

R' // R''11

Equivalent Thévenin

I On prend R′ ‖ R′′ = R → meme ω0,QI Le gain statique de vi a vo devient K0 = R′′

R′+R′′KI Solution (exercice) :

R′ = RK

K0,R′′ =

R

1− K0K


Introduction



Exemple

I Concevoir un filtre passe-bas du second ordre avec f0 = 1 kHz, Q = 5, etgain statique 0 dB. On dispose de condensateurs de 10 nF.

I N.B. : Typiquement dans la conception des circuits RC, on commence parfixer les condensateurs, pour lesquels on a generalement moins de choixcomparativement aux resistances.


Introduction



Passe-bas de Sallen-Key : configuration gain unitaire

I Avec K = 1 (AO suiveur de tension)

ω0 =1√

R1C1R2C2

,1

Q=

√R1C2

R2C1+

√R2C2

R1C1.

I Posons R2 = R, C2 = C , R1 = mR, C1 = nC

ω0 =1√

mnRC,

1

Q=

√m

n+

1√mn⇒ Q =

√mn

m + 1

I On a necessairement Q ≤ 12

√n (atteint pour m = 1), i.e., 4Q2 ≤ n.

I Approche pour la conception :I Choisir d’abord 2 condensateurs disponibles C ,C1 tels que n = C1/C verifie

l’inegalite n ≥ 4Q2.I Resoudre l’equation quadratique pour

√m etant donnes n et Q :

m −√n

Q

√m + 1 = 0.

On trouve 2 solutions possibles pour√m, puis pour m (en remplacant dans

l’equation quadratique)

m = α±√α2 − 1, avec α =

n

2Q2− 1.

I Finalement, choisir R pour ajuster ω0.


Introduction



Avantages et inconvenients de cette configuration

I Agantages de la configuration gain unitaire : reduction du nombre decomposants (pas de RA,RB), maximisation de la bande passante de l’AOen configuration suiveur, pas de perte de stabilite . . .

I Desavantages : reglage moins facile (ω0 et Q couples), augmentationrapide du rapport de capacitances n avec Q (et donc de la surface pour lescircuits integres)→ En pratique utilise aussi pour Q ≤ 10 (c.-a-d. n ≤ 400).

Exemple

I Concevoir un filtre de Butterworth du 2nd ordre avec une frequence decoupure a −3 dB de 10 kHz. Pour cela, utiliser un filtre de Sallen-Key enconfiguration gain unitaire.

I A 20 kHz en RPS, si Vi = 10∠− 90◦, calculer Vo .


Introduction



Filtres de Sallen-Key : passe-haut

=+

R1

R2

C1 C2

Vi

Vo+-

Vo/K

V1

RB

RA

I Echanger les composants R1 et C1, R2 et C2 donne un passe-haut.Exercice : echanger Gi et sCi dans la fonction de tx precedente donne :

H(s) = K

(sω0

)2

(sω0

)2

+ 1Q

sω0

+ 1, K = 1 +

RB

RA,

ω0 =1√

R1C1R2C2

,1

Q= (1− K)

√R2C2

R1C1+

√R1C2

R2C1+

√R1C1

R2C2.

I Configurations composants egaux et gain unitaire possibles.


Introduction



Filtres de Sallen-Key : passe-bande

=+

R3

R2C1

C2

Vi

Vo+-

Vo/K

RB

RA

R1

I Etages RC + CR pour passe-bande, et retroaction positive comme avant.

(Exercice :) H(s) = H0

1Q

sω0(

sω0

)2

+ 1Q

sω0

+ 1

I Parmi les configurations typiques, on peut prendre R1 = R3 = R, R2 = 2R,C1 = C2 = C , et dans ce cas

ω0 =1

RC, Q =

1

3− K, H0 = KQ,

avec K = 1 + RBRA

.


Introduction



Filtres de Sallen-Key : coupe-bande (symmetrique)

=+

R

Vi

Vo+-

Vo/K

RB

RA

R

R/2C C

2C

I Deux chemins pour atteindre l’entree de l’AO, RR a basses frequences,CC a hautes frequences.

I A frequences intermediaires, les phases sur ces deux chemins sontopposees et les signaux tendent donc a s’annuler.

(Exercice :) H(s) = K1 +

(sω0

)2

(sω0

)2

+ 1Q

sω0

+ 1

ω0 =1

RC, Q =

1

4− 2KI Ce coupe-bande est symmetrique, son gain s’annule a ω = ω0


Introduction


Filtres actifs d’ordre 2 a variable d’etat

Plan pour ce cours


Introduction



Filtres (universels) a variable d’etat

I A cause des inconvenients mentionnes ci-dessus, les filtres de Sallen-Keysont typiquement utilises pour Q ≤ 10.

I Ces filtres KRC utilisent 1 seul AO. Mais ajouter des AO a un faible coutet peut offrir une flexibilite interessante.

I Le circuit suivant realise les 3 fonctions passe-bas (LP), passe-bande (BP)et passe-haut (HP) directement a l’aide de 3 AO (filtre universel)

-+=+Vi

R3

R3

VHP

R3

-+

-+

R C CR

R1 R2

VBP VLP

I On verra qu’un quatrieme AO permet de realiser aussi un coupe-bande.Implementation possible avec modules de 4 AO sur un seul circuit integre.

I Nous allons decomposer ce circuit dans les diapositives suivantes.


Introduction



Filtres a variable d’etat

I Representation du circuit precedent sous forme de schema bloc

1/Q

- ++

� s

!0Vo

s2

!20

VoVo

Vi �!0

s�!0

s

I Passe-bas d’ordre 2 :

Vo(s)

Vi (s)=

1(sω0

)2

+ 1Q

sω0

+ 1⇔(

s

ω0

)2

Vo = Vi − Vo −(

1

Q

)(s

ω0

)Vo

I On peut lire le schema bloc ci-contre a reculons, a partir de Vo . L’egaliteci-dessus est realisee a la sortie du bloc sommateur.

I On utilisera 2 A.O. pour les integrateurs inverseurs, 1 A.O. pour lacombinaison lineaire a l’entree.


Introduction



Variation sur le sommateur inverseur

-+

=+

=+

=+v1

v2

v3

R1

R2

RF

vo(v3)

i1

i2

iF

I A l’entree, on n’utilise pas exactement le sommateur inverseur standard acause des signes differents. Considerons a la place le circuit ci-dessus. Onmontre en exercice (immediat par le principe de superposition) :

vo = −RF

R1v1 −

RF

R2v2 +

(1 +

RF

R1||R2

)v3.


Introduction



Filtres a variable d’etat : implementation

-+=+Vi

R3

R3

VHP

R3

-+

-+

R C CR

R1 R2

VBP VLP

2 integrateurs : ω0 =1

RC→VBP = − s

ω0VLP ,VHP =

s2

ω20

VLP

AO d’entree : VHP = −Vi − VLP +

(1 +

R3

R3/2

)R1

R1 + R2VBP

Q =1

3

(1 +

R2

R1

)→ s2

ω20

VLP = −Vi − VLP −1

Q

s

ω0VLP

I VLPVi

passe-bas (inverseur), VBPVi

passe-bande (avec facteur de gain Q), VHPVi

passe-haut (inverseur).


Introduction



Avantages des filtres a variable d’etat

I Q ne depend que de R2/R1 → sensibilite faible aux variations en circuitintegre.

I ω0 et Q reglables independamment.

I Pas de probleme de stabilite.

I Pas de probleme de composants de taille tres differente (cf. Sallen-Keygain unitaire).

I Les filtres d’ordre 2 utilisant cette d’architecture peuvent etre utilises pourobtenir Q de plusieurs centaines.


Introduction



Variables d’etat

I Il nous reste a expliquer le nom de ce filtre. L’architecture precedente a enfait une signification theorique importante et permet de realiser unefonction de transfert d’ordre quelconque (cf. prochain cours).

I La fonction de transert VoVi

= 1(s

ω0

)2+ 1

Qs

ω0+1

correspond a l’EDO du second

degre et au systeme d’EDO (avec x1 = vo , x2 = vo ⇒ x2 = vo)

1

ω20

vo +1

Qω0vo + vo = vi ↔

{x1 = x2

1ω2

0x2 = − 1

Qω0x2 − x1 + vi

I Les variables x1 = vo et x2 = vo sont dites variables d’etat du systeme :connaitre x1(τ), x2(τ) et vi (t) pour t ≥ τ est suffisant pour connaıtrel’evolution du systeme pour t ≥ τ (par integration du systeme d’EDO)

1/Q

- ++

� s

!0x1 = � 1

!0x2

s2

!20

Vo

x1 = vo

Vi �!0

s�!0

s

� s

!0vo

� 1

!0x2 = � 1

!0vo

� s

!0

�x2

!0=

s

!20

x2 =s2

!20

vo


Introduction



Exemple

I Choisir des valeurs de composants pour que le filtre passe-bande du filtre avariable d’etat precedent soit centre a 1 kHz et ait une bande passante (a−3 dB) de 10 Hz. Quel est le gain de ce filtre a la frequence de resonance ?


Introduction


Autres realisations de biquads

Plan pour ce cours


Introduction




I Les filtres de Sallen-Key ou a variable d’etat ne sont que deux exemples detopologies possibles pour la realisation de filtres actifs d’ordre 2.

I Parmis les autres filtres du second-ordre, citons les filtres deAckerbeg-Mossberg, de Delyiannis-Friend, de Rauch, a convertisseurd’impedance generalise, etc. (consulter les references pour plusd’informations).

I On utilisera generalement des circuits de topologie standard, car ceux-cisont ete retenus avec le temps pour leurs bonnes proprietes, par exempleleur faible sensibilite aux variations de composants.

I Les circuits avec un seul AO peuvent couter moins cher et sont valablestant que le Q demande est faible. Ceux avec plus d’AO ont des avantagesen general en termes de plus faible sensibilite, plus grand robustesse etplage de stabilite, facilite de reglage, etc. Ils sont preferable ou memenecessaires pour des Q plus eleves.


Introduction



Exemple : biquad passe-bande de Delyiannis-Friend

-+

C

CR1R2

=+ViVoV1

Vo = −sR2C V1 (derivateur)

LKC a V1 →Vo

Vi= − sR2C

s2R1R2C 2 + 2sR1C + 1

ω0 =1

C√R1R2

, Q =1

2

√R2

R1, gain central − 2Q2.

Pour des Q eleves, il faut des resistances tres differentes. On peut diminuer legain de resonnance par la methode de la diapositive 9.


Introduction



Exemple : filtre biquadratique de Tow-Thomas

-+

-+

-+

=+

R1

R2

R4

R5

R3 R3C1 C2

VBP VLP -VLP

Vi

LKC au premier noeud :Vi

R1=

VLP

R5− VBP

R2− sC1VBP

VLP = − 1

R4C2sVBP (integrateur)

⇒ VLP

Vi=

R5

R1HLP(s),

VBP

Vi= −R2

R1HBP(s)

ou HLP ,HBP sont les fonctions de transfert normalisees du passe-bas etpasse-bande du 2nd ordre, avec (generalement R4 = R5 = R, C1 = C2 = C)

ω0 =1√

R4R5C1C2

, Q =R2

√C1√

R4R5C2

.


Introduction



Exemple

I Concevoir un biquad de Tow-Thomas pour obtenir un filtre passe-bande defrequence de resonnance f0 = 8 kHz, de largeur de bande B = 200 Hz, etde gain a la resonnace de 20 dB.


Introduction


Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2

Plan pour ce cours


Introduction




I Les filtres coupe-bande d’ordre 2 ont une pulsation ωz ou le gain s’annuledans leur bande d’arret (zeros a s = ±jωz sur l’axe des imaginaires).Appeles aussi filtre notch (a encoche).

I Ces filtres (denotes ici HN(s)) peuvent etre obtenus par combinaisonlineaire d’un passe-bande HBP(s) et d’un passe-bas HLP(s).

I Supposant HBP =1Q

sω0

s2

ω20

+ 1Q

sω0

+1et HLP = 1

s2

ω20

+ 1Q

sω0

+1normalises, avec les

memes ω0 et Q

HN(s) = α(1− HBP(s)) + βHLP(s) =α s2

ω20

+ α + β

s2

ω20

+ 1Q

sω0

+ 1

HN(s) = (α + β)

s2

ω2z

+ 1

s2

ω20

+ 1Q

sω0

+ 1, ω2

z = ω20(1 + β/α)

I Ces filtres peuvent donc etre realises par exemple a l’aide d’un 4eme AOimplementant une combinaison lineaire des sorties BP et LP d’un filtreuniversel


Introduction



Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 : classification

HN(s) = (α + β)

s2

ω2z

+ 1

s2

ω20

+ 1Q

sω0

+ 1, ω2

z = ω20(1 + β/α)

I β = 0 : coupe-bande symmetrique, notch a ωz = ω0

I β > 0 : coupe-bande “passe-bas”, notch a ωz > ω0

I β < 0 : coupe-bande “passe-haut”, notch a ωz < ω0

I Coupe-bande non-symmetriques utiles par ex. pour la realisation des filtreselliptiques, qui ont des zeros dans leur bande d’arret.


Introduction



Filtres coupe-bande (notch) d’ordre 2 : exemple de realisation

I Le circuit suivant realise un filtre notch par combinaison lineaire d’un filtrebiquadratique de Tow-Thomas


Introduction

Synthese en cascade

Plan pour ce cours


Introduction

Synthese en cascade

Synthese en cascade

I On factorise la fonction de transfert du filtre H a realiser (cf. cours 3)

H(s) = H1(s)H2(s) . . .Hdn/2e(s),

ou chaque Hi est d’ordre 2 (sauf peut-etre l’un deux d’ordre 1). On realisecette multiplication par une cascade de filtres

H1 H2 Hk+

-

+

-vi vo

en utilisant comme cellules elementaires les montages precedents parexemple.

I Pour que la cascade realise exactement le produit des fonctions detransfert (rapports de tensions), il faut qu’a chaque connection, laresistance de sortie de l’etage precedent soit tres petite (idealement 0) parrapport a la resistance d’entree de l’etage suivant (idealement ∞).


Introduction

Synthese en cascade

Exemple : Impedance de sortie des cellules de Sallen-Key

I Exercice : les cellules de Sallen-Key ont une impedance de sortie nulle (ensupposant l’AO ideal) et peuvent donc etre mises en cascade sansattenuation de gain.

R3

R2C1

C2Vo+

-

Vo/K

RB

RA

R1

Rg

Io


Introduction

Synthese en cascade

Considerations pour l’agencement des blocs

Choix de conception pour l’agencement des blocs

I En ignorant l’etage d’ordre 1 eventuel, on a les factorisations

H(s) =b2ns

2n + . . .+ b0

s2n + . . .+ a0=

n∏i=1

kiα2,i s

2 + α1,i s + α0,i

s2 +sω0,i

Qi+ ω2

0,i

I Choix de conceptionI associations poles-zeros pour chaque etage (jusqu’a n! possibilites).

I ordre des etages (n! possibilites).

I repartition des gains ki entre les etages (avec contrainte sur∏n

i=1 ki ).

I Ces choix n’ont pas d’importance du point de vue mathematique avec lesmodeles ideaux utilises jusqu’ici. Mais en pratique peuvent avoir uneinfluence critique sur la performance.


Introduction

Synthese en cascade


Influence de l’agencement des blocs

I Impact des choix precedents sur la performance :I La sortie |Vo(jω)|, pour tout j et tout ω, doit etre inferieure a un maximum

tolere pour maintenir la linearite du circuit (par ex., en raison de lasaturation des AO). Sinon on introduit de la distorsion. Cela peut-etre unprobleme en particulier a la sortie des etages a Q eleve.

I Dans la bande passante du circuit, |Vo(jω)| a toute sortie d’etage j ne doitpas etre trop attenue par rapport au niveau de bruit, c’est-a-dire que lerapport signal-sur-bruit doit rester suffisamment eleve. Sinon, le signal peutdevenir irrecuperable, les etages suivant reamplifiant le bruit de la memefacon que le signal utile.

I Les choix de conception precedents permettent d’optimiser la plagedynamique du circuit, i.e., le rapport entre plus grand et plus petit signalqui peut etre traite avec un niveau de distorsion acceptable.

I Pour minimiser la distortion, maintenir un equilibre entre les etages.I Exemple trivial : realiser un gain statique de 1 avec deux etages de gain

1000 et 1/1000 est clairement une mauvaise idee. L’amplitude des signauxd’entree devra etre beaucoup plus petite pour maintenir les AO horssaturation que si on avait seulement des etages de gain egal a 1.


Introduction

Synthese en cascade


Considerations pour l’agencement des blocs (suite)

I Optimiser au mieux les choix de conceptions precedents donne lieu a desproblemes de calcul difficiles.

I En l’absence d’outils specialises, on utilisera des heuristiques comme :I Associer chaque pole au zero le plus proche (approximativement, sinon

“Euclidean matching”). But : avoir une reponse frequentielle d’amplitude laplus plate possible pour chaque etage.

I Ordonner les etages du Q le plus petit a celui le plus grand. But : avoir lareponse la plus plate possible le plus longtemps possible entre l’entree et lasortie de chaque etage.

I Repartition des gains : on desire que les amplitudes max a la sortie dechaque etage soient egales :

Avec H(s) =n∏

i=1

ki

n∏i=1

ti (s), definissons Ml := maxω

l∏i=1

|ti (jω)|, K :=n∏

i=1

ki .

Alors k1M1 = KMn ⇒ k1 = KMn/M1

k1 . . . klMl = k1 . . . kl−1Ml−1 ⇒ kl = Ml−1/Ml , l = 2, . . . , n.

I Autres condiderations possibles. Par exemple, on desire souventcommencer par un passe-bas (pour le filtrage du bruit haute frequence) etfinir par un passe-haut (pour diminuer un offset indesirable eventuel).


Introduction

Synthese en cascade

Denormalisation en impedance

Plan pour ce cours


Introduction

Synthese en cascade



Theorem

Multiplier toutes les impedances des composants d’un circuit lineaire par unmeme facteur ne change pas une fonction de transfert qui est un rapport detensions ou un rapport de courants (c’est-a-dire, sans dimension).

I Une denormalisation en impedance par un facteur α veut dire :I Multiplier toutes les resistances par α.I Multiplier toutes les inductances par α.I Diviser toutes les capacites par α (afin de multiplier 1

Cspar α).

I La denormalisation en impedance est utile pour passer de circuitsprototypes avec des valeurs de composants (R, C, L) donnes, a des circuitspour lesquels ces valeurs sont plus commodes pour une applicationdonnee. On l’utilisera surtout pour les prototypes de circuits passifs(prochain cours).

I N.B. : pour les circuits RC actifs, les frequences critiques sont controleespar des produits RC , qui restent bien inchanges par cette denormalisationen impedance. Celle-ci permet certains ajustements, mais pour desfrequences faibles, i.e., RC grands, on doit avoir soit R soit C grand, et lesdeux cas sont indesirables pour les circuits integres en particulier.


Introduction

Synthese en cascade

Exemple

Plan pour ce cours


Introduction

Synthese en cascade

Exemple

Exemple : filtre de lissage

DACComputerk

Smoothing filter

t t

40 kHz fa=20 kHzI Concevoir un filtre passe-bas de Tchebychev pour lisser la sortie d’un

convertisseur analogique digital travaillant a 40 kHz.I On veut une attenuation de 40 dB a la frequence de Nyquist (20 kHz).I Bande passante : fp = 13 kHz, attenuation maximale de 1 dB.I Table (avec fp = 1 Hz au lieu de ωp = 1 rad/s) :


Introduction

Synthese en cascade

Exemple

Exemple : fonction de transfertI fa = 20 kHz. Facteur de transition k = .I Ordre du filtre de Tchebychev :

I D’apres la table, et apres denormalisation

H(s) =

I Realisation possible : cellules de Sallen-Key en

configuration gain unitaire, ordonnees selon les Q croissants

ω3 = 2π × 13× 103 × 0.353 = 28.8× 103 rad/s, Q3 = 0.753

ω2 = 2π × 13× 103 × 0.747 = 61× 103 rad/s, Q2 = 2.198

ω1 = 2π × 13× 103 × 0.995 = 81.3× 103 rad/s, Q1 = 8

I On pourrait aussi tenter d’utiliser la configuration composants egaux a laplace, et essayer de repartir les gains ki differemment.


Introduction

Synthese en cascade

Exemple

Exemple : circuit

AC 1

V1

R1

10.69k

R2

10.02k

C1

2.2nF

C2

5.1nF U1 R3

8.191k

R4

6.434k

C3

510pF

C4

10nF U2 R5

4.554k

R6

2.438k

C5

220pF

C6

62nF U3VoutniV

.ac dec 100 1kHz 100kHz

.lib opamp.sub


Introduction

Synthese en cascade

Exemple

Conclusion

I Nous avons discutes quelques exemples d’architectures realisant lesfonctions de transfert d’ordre 1 et 2. Il existe bien sur beaucoup d’autresprototypes de circuits permettant de realiser ces fonctions de transfertelementaires.

I Le choix de cellules elementaires pour realiser une synthese en cascaderepose sur diverses consideration pratiques deja evoquees, par exemple desensibilite, cout, etc.

I Avec plus de temps pour resoudre un probleme de conception, vous pourrezvous reporter a la litterature pour obtenir plus de details et faire ce choix.

I Ces cellules elementaires peuvent ensuite etre mises en cascades pourrealiser des filtres d’ordre plus eleves tels que ceux decrits au cours 3.

I Ici on utilise les caracteristiques des cellules actives qui presentent uneimpedance de sortie tres petite et une impedance d’entree tres grande → lesphenomenes de charge entre etages peuvent etre negliges pour laconception (il faut quand meme verifier le design par simulation etexperimentalement . . . ).


Introduction

Synthese en cascade

Exemple

References

Les references suivantes peuvent etre utilisees pour approfondir.

I S. Franco, “Design with Operational Amplifiers and Analog IntegratedCircuits”, 3eme edition, chapitre 3.

I J. A. Svoboda and R. C. Dorf, “Introduction to Electric Circuits”, 9emeedition, chapitre 16.

I R. Schaumann, H. Xiao, M. Van Valkenburg, “Design of Analog Filters”,2eme edition.

I Wikipedia, “Sallen-Key Topology”http://en.wikipedia.org/wiki/Sallen%E2%80%93Key_topology


http://en.wikipedia.org/wiki/Sallen%E2%80%93Key_topology

Engineering

ELE2611 Classe 4 - Filtres analogiques linéaires II