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MACHINE ASYNCHRONEAlain CUNIERELycée Pierre de CoubertinChaussée de Paris77100 Meaux

Gilles FELDENS de CACHAN

61 av. du Président Wilson94235 Cachan

Ce document est constitué de deux parties.• La première permet la modélisation d’une machine asynchrone en utilisant la notion de vecteur

complexe ou phaseur spatial et conduira d’une part à un modèle implanté sous Simulink etd’autre part à l’établissement de différents schémas équivalents en régime permanent.

• La deuxième étudie les commandes en couple de type scalaire ou les stratégies permettant decontrôler le couple en régime permanent.

1) MODELISATION D’UNE MACHINE ASYNCHRONE

1.1) GénéralitésLa représentation schématique de la MAS dans l'espace électrique est donnée sur la figure 1.

iasvas

as

θe

var

ia r

ar

vbs

bs

ibs

ics

vcs

cs

ibr

vbr

ic r

vcr

br

cr

Figure 1. Représentation schématique d’une MASNotations :x : Grandeur instantanéex : Vecteur complexex* : Vecteur complexe conjuguéX : Amplitude complexe[x] :Vecteur colonne de dimension 3[x]t :Vecteur ligne transposé du vecteur précédentΩ :Vitesse angulaire de rotationp : Nombre de paires de pôlesRs :Résistance d’un enroulement statoriqueRr :Résistance d’un enroulement rotoriqueLps :Inductance propre d’un enroulement statoriqueMs :Mutuelle inductance des enroulements statoriquesLpr :Inductance propre d’un enroulement rotoriqueMr :Mutuelle inductance des enroulements rotoriquesMo :Maximum de la mutuelle inductance rotor statorσ : Coefficient de dispersion de Blondel

2

HypothèsesLe modèle de la machine que nous adopterons repose sur les hypothèses suivantes :

Proportionnalité des flux aux courants.Symétrie ternaire de la machine.Entrefer constant.(pas d’effet d’encoches)Forces magnétomotrices à répartition spatiale sinusoïdale.Courants autres que dans les bobinages négligés.

1.2) Modélisation dans le plan « a b c »En partant des tensions imposées sur les enroulements statoriques et rotoriques, on cherche àdéterminer l’expression du couple électromagnétique puis de la vitesse.

Equations électrocinétiquesLa loi de Faraday et la loi d’ohm permettent de relier les tensions sur les enroulements aux fluxtotalisés et aux courants dans ces bobinages.Avec les conventions utilisées, les deux équations matricielles suivantes expriment les tensions sur lesdifférents enroulements.

[ ] [ ] [ ]dt

di.Rv s

sss

φ+= et [ ] [ ] [ ]

dt

di.Rv r

rrr

φ+=

Expression des flux totalisés en fonction des courantsConvention.

Le flux dans un bobinage est calculé à partir de la relation : ∫∫obinagesurfacedub

dS.N.Bρρ

. Le sens du vecteur

unitaire Nρ

normal à la surface étant définie par le sens conventionnel du courant dans le bobinage.

Avec les hypothèses précédentes, la relation entre les flux totalisés sur les enroulements et les courantspeut être décrite par l’équation matricielle suivante :

[ ][ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]

θ

θ=

θ

θ=

φφ

=

φφφφφφ

r

s

rrers

esrss

cr

br

ar

cs

bs

as

rrers

esrss

r

s

cr

br

ar

cs

bs

as

i

i.

M)(M

)(MM

i

i

i

i

i

i

.M)(M

)(MM

où [Mss], [Mrr], [Msr(θe)] et [Mrs(θe)] sont des sous-matrices de dimension 3∗ 3 et [φs], [φr], [is] et [ir]des vecteurs colonnes de dimension 3.

Avec [ ]

=

psss

spss

ssps

ss

LMM

MLM

MML

M [ ]

=

prrr

rprr

rrpr

rr

LMM

MLM

MML

M

[ ]

θπ−θπ+θ

π+θθπ−θ

π−θπ+θθ

=θ

)cos()3

2cos()

3

2cos(

)3

2cos()cos()

3

2cos(

)3

2cos()

3

2cos()cos(

M)(M

eee

eee

eee

oesr [Mrs(θe)] = [Msr(θe)]t

3

Energie magnétiqueElle peut être calculée à partir de l’expression suivante :

[ ] [ ] [ ] [ ] ).i.i.(21W r

trs

tsmag φ+φ=

L’expression de Wmag en fonction des courants et des inductances ne comportent que 36 termes !Couple électromagnétiqueIl est donné par la dérivée partielle de la coénergie (ici égale à l’énergie) par rapport à l’anglemécanique entre le rotor et le stator.

e

mag

m

mage

W.pWC θ∂∂=θ∂

∂=

VitesseElle est solution de l’équation fondamentale de la dynamique.

re CCdtdJ −=Ω avec J : moment d’inertie et Cr : couple résistant.

ConclusionLes équations précédentes permettent la modélisation de la machine dans le plan « a b c ». Ellespeuvent être implantées dans un calculateur. Par contre, vu la complexité (36 termes pour l’énergiemagnétique) de ces équations non linéaires et multi-variables, il est très difficile d’en tirer desstratégies de commande.

1.3) Modélisation en utilisant les vecteurs complexes (voir annexe)

On définit les vecteurs complexes suivants :-Vecteurs complexes courant

[ ]

=++=

cs

bs

as

2cs

2bsass

i

i

i

.aa132)i.ai.ai(

32i [ ]

=++=

cr

br

ar

2cr

2brarr

i

i

i

.aa132)i.ai.ai(

32i

-Vecteurs complexes tension

[ ]

=++=

cs

bs

as

2cs

2bsass

v

v

v

.aa132)v.av.av(

32v [ ]

=++=

cr

br

ar

2cr

2brarr

v

v

v

.aa132)v.av.av(

32v

-Vecteurs complexes flux

[ ]

φφφ

=φ+φ+φ=φcs

bs

as

2cs

2bsas

s.aa1

32).a.a(

32 [ ]

φφφ

=φ+φ+φ=φcr

br

ar

2cr

2brar

r.aa1

32).a.a(

32

Equations électrocinétiquesLes deux équations matricielles suivantes exprimant les tensions sur les différents enroulements

[ ] [ ] [ ]dt

di.Rv s

sss

φ+= et [ ] [ ] [ ]

dt

di.Rv r

rrr

φ+=

peuvent être ramenées à deux équations complexes

dt

di.Rv

s

sss

φ+= et

dt

di.Rv

r

rrr

φ+=

Expression des flux totalisés en fonction des courantsAprès quelques calculs, les vecteurs φs et φr peuvent s’écrire :

φs = Ls . is + M . ej.θe ir et φr = Lr . ir + M . e-j.θe is

4

ce qui donne sous forme matricielle :

=

φφ

θ−

θ

r

s

rj

js

r

s

i

i.

Le.M

e.MLe

e

où Ls , Lr et M représentent les inductances cycliques définies par les expressions suivantes :

Ls = Lps – Ms Lr = Lpr – Mr M = oM.23

Expression de l’énergie magnétiqueEn utilisant les matrices de passage définies en annexe, on montre que cette énergie peut s’écrire :

)i.i.(éel4

3)i.i.i.i.(

8

3W *

rr*

ssr*

r*

rrs*

s*

ssmag φ+φℜ=φ+φ+φ+φ=

Couple électromagnétiqueEn remplaçant dans l’équation précédente les vecteurs complexes flux par leurs expressions enfonction des courants, des inductances et de la position angulaire θe, on aboutit à l’expression suivantedu couple.

)e.i.ie.i.i.(j.M.p4

3Ce ej

s*

rej*

srθ−θ −=

qui peut encore s’écrire :

)ii..(j.p43Ce s

*

s

*s

sφ−φ= ou )i..(p

43Ce s

s∧φ=

VitesseElle est solution de l’équation fondamentale de la dynamique.

re CCdtdJ −=Ω avec J : moment d’inertie et Cr : couple résistant.

ModèleLes équations de ce paragraphe conduisent au modèle donné par la figure 2.

Le coefficient de dispersion de Blondel σ est défini par la relation :sr

2

L.LM1−=σ

Intégrateur

Vs

φr.ejθe

MLr

φS -

σ.Ls

Rs

φs.e-jθeM

Ls

φr -

σ.Lr

Vr

Rr

φr

φs

φs is

ir

p.j(φs.is -φs.is)* *34

1J

p

Ce

Cr

ΩIntégrateur

θe

is

Intégrateur

θm

Intégrateur

Figure 2. Modèle de la machine asynchrone utilisant les phaseurs spatiaux

C’est ce modèle qui sera implanté sous SIMULINK et qui permettra d’effectuer les différentessimulations.On passera des grandeurs réelles aux vecteurs complexes et inversement en utilisant les relations depassage.Il sera aussi possible de visualiser les différents vecteurs spatiaux dans le plan complexe de façon àcomparer des stratégies de commande, entre autre, comparer une commande scalaire et une commandevectorielle.

5

1.4) Modélisation en régime permanent sinusoïdalDans cette partie, on suppose que :• Les courants statoriques s’écrivent :

)t.cos(.2.Ii sssas ϕ+ω= )3.2t.cos(.2.Ii sssbsπ−ϕ+ω= )3

.4t.cos(.2.Ii ssscsπ−ϕ+ω=

• Les courants rotoriques s’écrivent :

)t.cos(.2.Ii rrrar ϕ+ω= )3.2t.cos(.2.Ii rrrbrπ−ϕ+ω= )3

.4t.cos(.2.Ii rrrcrπ−ϕ+ω=

• La vitesse Ω est constante.

On définit le glissement g comme le rapport des pulsations rotoriques et statoriques. s

rgωω

=

Les pulsations ωs, ωr et la vitesse angulaire de rotation Ω sont reliées par la relation :rs .p ω+Ω=ω

En choisissant une origine des temps telle qu’à l’ instant t = 0 les axes du rotor et de la phase « a » dustator soient confondus, la relation précédente peut encore s’écrire :

t.t. rse ω−ω=θPhaseurs spatiaux courants en régime permanent sinusoïdalEn utilisant les définitions des vecteurs complexes, les grandeurs is et ir peuvent se mettre sous laforme :

t..jss

se.Ii ω= et t..jrr

re.Ii ω=

ou Is et Ir représentent les amplitudes complexes données par les relations :sj

ss e.2.II ϕ= et rjrr e.2.II ϕ=

Phaseurs spatiaux flux en régime permanent sinusoïdalLes relations suivantes

=

φφ

θ−

θ

r

s

rj

js

r

s

i

i.

Le.M

e.MLe

e

et t.t. rse ω−ω=θ

permettent d’exprimer les vecteurs φs et φr sous la forme :t..j

ssse. ωΦ=φ et t..j

rrre. ωΦ=φ

ou Φs ,et Φr représentent les amplitudes complexes données par les relations :rsss I.MI.L +=Φ et srrr I.MI.L +=Φ

Phaseurs spatiaux tensions en régime permanent sinusoïdalLe rotor étant en court circuit, les équations électrocinétiques permettent d’écrire en amplitudecomplexe :

rsssssss I..M.jI..L.jI.RV ω+ω+= et ssrsrrr

sr I..M.jI..L.jI..R0 ω+ω+ωω=

Il est à noter que vu du stator, la rotation du rotor fait apparaître le courant ir de pulsation ωr comme uncourant de pulsation ωs.Schéma équivalentLe schéma équivalent donné sur la figure 3 traduit les équations précédentes

Vs

IsRs

Ls

Ir

Lr

M

Rrg

A

B

C

D

E

F

Figure 3. Schéma équivalent avec circuits couplés

6

Bien que les fuites magnétiques soient prises en compte dans l’étude précédente, le schéma aveccircuits couplés est peu utilisé ; on lui préfère des schémas faisant intervenir les inductances de fuites.

Représentation d’un couplage non parfait à l’aide d’inductances de fuitesLe couplage des circuits précédents n’étant pas parfait ( M2 < Ls.Lr ), il est possible de représenter lequadripôle CDEF par le schéma donné sur la figure 4 où :• Le quadripôle GHIJ est à couplage parfait défini par les éléments :

Inductance propre primaire :Y1

Inductance propre secondaire :Y2

Mutuelle inductance : 2112 Y.YY =• Les dipôles CG d’inductance y1 et IE d’inductance y2 caractérisent les imperfections du couplage.

Is

Y1

Ir

Y2

Y12C

D H J

G I E

F

y1 y2

Figure 4. Représentation d’un couplage non parfait à l’aide d’inductances de fuites.

Pour que les deux représentations soient équivalentes, les éléments (Y1, Y2, y1, y2) et (Ls, Lr et M)doivent vérifier les relations suivantes :

11s yYL +=22r yYL +=

2.1 YYM =Il existe une infinité de possibilités. En pratique, trois solutions sont utilisées.

• Les deux premières permettent d’éliminer un paramètre, ce qui conduit à un schémaéquivalent élémentaire. Les déterminations expérimentales des éléments sont plus faciles àréaliser. Les lois de commande sont plus simples à élaborer, il s’agit des schémas avec :a) Fuites localisées au secondaire ou rotor : y1 = 0.b) Fuites localisées au primaire ou stator : y2 = 0.

• La troisième est essentiellement utilisée par les constructeurs pour dimensionner en partiela machine car il existe des relations entre la forme des encoches, la nature du bobinage etles éléments intervenant dans cette dernière solution. Il s’agit d’attribuer les fuites auxdeux enroulements ce qui conduit au schéma avec :c) Fuites partielles. On impose au quadripôle GHIJ d’avoir un rapport de transformation

égal au rapport du nombre de spires affecté des coefficients de bobinage.

Schéma ramené au stator avec inductance de fuites localisées au rotorDans le cas d’une inductance de fuites localisées au rotor, le schéma de la figure 5 est équivalent auschéma de la figure 3.

Vs

IsRs

Ls LsM

2

Rrg

LsM

2

σ LrI''r

Ve

A

B

Figure 5. Schéma équivalent ramené au stator avec inductance de fuites localisées au rotor.

7

Schéma ramené au stator avec inductance de fuites localisées au statorDans le cas d’une inductance de fuites localisées au stator, le schéma de la figure 6 est équivalent auschéma de la figure 3.

Vs

IsRs I'''r

V'e

σ Ls

(1−σ). Ls RrgLr

M2

B

A

Figure 6. Schéma équivalent ramené au stator avec inductance de fuites localisées au stator.

Couple en régime permanent

L’expression du couple en régime permanent peut se déterminer :

• soit à partir de l’expression générale établie précédemment )ii..(j.p43Ce s

*

s

*s

sφ−φ=

• soit à partir d’un bilan de puissance effectué sur l’un où l’autre des modèles.

Ce qui conduit aux deux relations suivantes :• En fonction du flux statorique :

( ) ( ) ( )2r

2

r

r

r

r2

s

2

se

L.R

R.

LM.p.3C

σ+ω

ωΦ=

• En fonction du flux rotorique :

r

r2re

R..p.3C ωΦ=

RemarquePour des fonctionnements au voisinage du synchronisme, on peut en général considérer :

( ) ( )2r

2

r

r L.R σ>>ω et la première relation peut donc s’écrire ( )r

r2s

2

se

R..

LM.p.3C ωΦ≈

Dans l’hypothèse où ( ) rss

.LM Φ≈Φ ce qui suppose un bon couplage, les deux fonctions permettant de

calculer le couple sont pratiquement identiques dans la partie utile.

2) COMMANDE SCALAIRE EN COUPLE

Pourquoi une commande en couple ?Le modèle inverse d’une machine tournante nous conduit à contrôler le couple pour imposer la vitessede rotation ou la position de l’arbre.

Les différentes commandes en couple..• Une commande scalaire permet de contrôler le couple en régime permanent

(aussi il ne faudra pas prétendre à de grandes performances dynamiques)• Une commande vectorielle permet de contrôler le couple en régime dynamique.

2.1) Grandeurs de réglage du couple en régime permanent

En régime permanent le couple est donné par les relations suivantes :

8

( ) ( ) ( )2r

2

r

r

r

r2

s

2

se

L.R

R.

LM.p.3C

σ+ω

ωΦ=r

r2re

R..p.3C ωΦ=

Des deux expressions précédentes, il en résulte que les grandeurs de réglages du couple sont :• La pulsation rotorique ωr.• Le flux totalisé Φs ou Φr.

Il reste à résoudre les deux problèmes suivants :• Comment imposer la pulsation rotorique ωr sachant qu’en règle générale, le rotor est inaccessible ?

Pour cela, on utilisera la relation naturelle d’auto-pilotage des machines d’induction à savoir :Ω−ω=ω .psr

avec ωs : grandeur imposable.et Ω : grandeur mesurable.

• Comment imposer les flux totalisés Φs ou Φr. et à quelle valeur ?Les flux seront contrôlés en boucle ouverte à partir des grandeurs électriques statoriquescourants ou tensions.Les stratégies de commande couramment utilisées seront :• D’une vitesse nulle à la vitesse nominale, on maintiendra le flux constant à sa valeur

maximale pour minimiser les pertes.Pour cette plage de fonctionnement, on disposera du couple nominal de la machine.

• Pour des vitesses supérieures à la vitesse nominale, on diminuera le flux dans la machine.Pour cette plage de fonctionnement, on disposera de la puissance apparente nominale de lamachine.

On en déduit le synoptique d’une commande en couple donné sur la figure 7.

+

Loi de commande permettant de contrôler

Φr Φs ou

ω r

ω

+

pΩ

MASω s

Consignetension ou courant

Alimentation permettant d'imposer la tension ou le courant

Capteur de vitesse ou de position

ω sω r

Figure 7 : Schéma de principe du contrôle en couple de la mas.

2.2) Lois de commande permettant de contrôler le flux

2.2.1) Contrôle du flux à partir des courants statoriques

Nous cherchons à établir les relations entre les flux et le module du courant statorique.A partir du schéma équivalent ramené au stator avec inductance de fuites localisées au rotor, onaboutit à la relation suivante :

9

rr

rr

s

ss ...j1

..j1.

LI ωτσ+

ωτ+Φ= soit en module : 2rr

2rr

s

ss

)..(1).(1

.L

Iωτσ+ωτ+Φ= en posant

r

rr

RL=τ

L’utilisation du schéma équivalent ramené au stator avec inductance de fuites localisées au statorconduit à la relation suivante :

)..j1(M

I rrr

s ωτ+Φ= soit en module : 2rr

rs ).(1

MI ωτ+Φ=

Pour des caractéristiques de couple similaires dans la zone utile de fonctionnement, il apparaît plussimple de contrôler le flux rotorique .La figure 8 précise la valeur efficace du courant devant circuler dans les enroulements statoriques pourmaintenir le flux rotorique à sa valeur nominale dans le cas d’une machine de 3 kW.

20 10 0 10 20

5

10

15

Figure 8 : Courant statorique en fonction de la pulsation rotorique à flux rotorique constant

De façon à contrôler ce courant, on utilisera :• Un commutateur de courant à diodes d’isolement.

La commutation naturelle des thyristors est impossible sur une machine asynchrone.• Un onduleur de tension piloté en courant.

C’est ce dernier représenté sur la figure 9 qui sera développé dans la suite.

Ka

K'a

Kb

K'b

Kc

K'c

AB

C

Machineasynchrone

Charge

Capteur de position

ia_mes

ib_mes

ic_mes

θm

ωr

Commande de l'onduleur de tension en courant

Uo

Figure 9 : Schéma de puissance.

Is en A

ωr en rad/s

10

La commande élabore trois courants de consigne :-d’amplitude permettant de maintenir le module du flux constant-de pulsation ωs.

Les fonctions de connexion des interrupteurs constituant l’onduleur de tension sont élaborées à partird’une commande en fourchette de courant selon le schéma de commande donné à la figure 10.

Intégrateur modulo 2pi

ωr

sin(x)

pθm

Capteur de position

++

θe

1+(τr.ωr) 2

sin(x-2 )π3

sin(x-4 )π3

ia_cons

+

∆i

ia_mes

fca

f'ca

ib_cons

ib_mes

fcb

f'cb

ic_cons

ic_mes

fcc

f'cc

Φr

M

+

+1

0

0

0

1

1

Figure 10 : Schéma de commande.

2.2.2) Contrôle du flux à partir des tensions statoriques

La tension statorique s’exprime en fonction du flux statorique par la relation complexe :

sssss ..jI.RV Φω+=En remplaçant le courant complexe statorique par son expression déterminée au chapitre précédent, onobtient :

ssrr

rr

s

ss

s ..j...j1

..j1.

L.R

V Φω+ωτσ+ωτ+Φ=

Soit en module : ( ) ( )

2rr

2

ss

rrs2

rrss

s

sss)..(1

1.L..R..

.LR

.Vωτσ+

+ωωτ+ωτσ−ωωΦ=

On en conclut (Figure 11) que pour imposer le flux statorique à partir de la tension Vs, il est nécessairede connaître les pulsations ωs et ωr ainsi que les éléments de la machine (Rs, Ls, σ et τr )

Loi de commande ω r

ω s

Φs_désiré

Vs

Figure 11 : Synoptique de commande en tension

La figure 12 représente, pour les faibles valeurs de la pulsation statorique, l’évolution de la tensionefficace statorique pour différentes valeurs de ωr.

11

0 10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

Pulsation rotorique = 0 rad/sPulsation rotorique = 15 rad/sPulsation rotorique = -15rad/s

Figure 12 : Tension statorique en fonction de la pulsation statorique à flux statorique constant

En pratique, on se contentera le plus souvent d’une loi de commande simplifiée correspondant à Rs = 0soit : sss .V ωΦ=

Il sera possible pour améliorer les performances, en particulier à basse vitesse, de majorer latension Vs d’une quantité proportionnelle à Is ,le plus souvent en ignorant la phase.

Les schémas de puissance et de commande sont donnés par les figures 13 et 14 dans le cas d’une loisimplifiée.

Ka

K'a

Kb

K'b

Kc

K'c

AB

C

Machineasynchrone

Charge

Capteur de vitesse

ΩωrCommande de l'onduleur de tension

Uo

Figure 13: Schéma de puissance.

ωs en rad/s

Vs en V

12

ωr

sin(x)

pΩ

Capteur de vitesse

++

sin(x-2 )π3

sin(x-4 )π3

vmod_a

+

fca

f'ca

fcb

f'cb

fcc

f'cc

Intégrateur modulo 2piωs

+1

-1

vmod_b

vmod_c

2.Φs.ωs

Uo 1

1

1

0

0

0

Figure 14 : Schéma de commande.

2.3) Conclusion sur le contrôle scalaireLes résultats de simulation qui suivent correspondent à une commande scalaire en couple par contrôledes courants statoriques.On constate que le flux rotorique est bien maintenu constant en régime permanent, par contre il n’estpas contrôlé durant la phase transitoire.Ce transitoire sur le flux se traduit par un temps d’établissement du couple de plusieurs dixièmes desecondes.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

5

10

15Pulsation rotorique = f(t)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4Flux rotorique = f(t)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5

0

5

10

15

20

25Couple = f(t)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-5

0

5

10Courant = f(t)

Figure 15 : Réponse à un échelon de pulsation rotorique dans le cas d’une commande scalaire.

13

C’est ce temps de réponse qui pourrait être minimisé en utilisant une commande vectorielle.

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0

5

10

15Pulsation rotorique = f(t)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20.25

0.3

0.35

0.4

0.45Flux rotorique = f(t)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

5

10

15

20Couple = f(t)

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-5

0

5

10Courant = f(t)

Figure 16 : Réponse à un échelon de pulsation rotorique dans le cas d’une commande vectorielle simplifiée