Analyse de la variance à deux facteurs (données déséquilibrées)

Analyse de la variance à deux facteurs(données déséquilibrées)

Michel Tenenhaus

Exemple 3 (Searle)Première germination de trois variétés de carotte

dans deux types de terre

Nombre de jours pour la première germination de carotte

Variété1 2 3

Terre 1 6, 10, 11 13, 15 14, 22

2 12, 15, 18, 19 31 9, 12, 18

Analyse de la variance à deux facteurs(Données déséquilibrées)

Données :

Si les effectifs nij reflètent les tailles des populationset sont choisis a priori, on peut en tenir compte dansles tests.

B (Variété)1 2 3

A (Terre) 1 11

Modèle additif vs modèle avec interaction

Modèle additif : La différence entre les terres ne dépend pas de la variété.

Modèle avec interaction : La différence entre les terres dépend de la variété.

Ici le modèle avec interaction semble préférable(à cause de la case (2,2)).

VARIETE

Les tests sur les facteurs(Données déséquilibrées)

Test sur A (Type I pour A placé en premier) :

11 12 13 21 22 230

3 2 2 4 3H :

Test sur A (Type III) :

0 1. 2.H :

B (Variété)1 2 3

A (Terre) 1 11

Test sur A (Type I)

Test sur A (Type I) :

11 12 13 21 22 230

3 2 2 4 3H :

111 12 13 11 12 131

221 22 23 21 22 232

3TERRETABLEAU DES MOYENNES TERRE*VARIETEVARIETE

0 1 2 1 2 3

11 12 13 21 22 23

H : 56 56 4 9 5

24 16 16 28 7 21 0

RESULTATS SPSS

Tests of Between-Subjects Effects

Dependent Variable: jour

400.000a 5 80.000 6.000 .010

3375.000 1 3375.000 253.125 .000

52.500 1 52.500 3.938 .079

124.734 2 62.367 4.678 .040

222.766 2 111.383 8.354 .009

120.000 9 13.333

3895.000 15

520.000 14

SourceCorrected Model

Intercept

variete

terre * variete

Corrected Total

Type I Sumof Squares df Mean Square F Sig.

R Squared = .769 (Adjusted R Squared = .641)a.

Parameter Estimates

13.000 2.108 6.166 .000 8.231 17.769

5.000 3.333 1.500 .168 -2.541 12.541

0a . . . . .

3.000 2.789 1.076 .310 -3.309 9.309

18.000 4.216 4.269 .002 8.462 27.538

0a . . . . .

-12.000 4.346 -2.761 .022 -21.832 -2.168

-22.000 5.578 -3.944 .003 -34.618 -9.382

0a . . . . .

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=2.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

B Std. Error t Sig. Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval

This parameter is set to zero because it is redundant.a.

Estimation du modèle de rang plein

1.0000

-1.0000

-.0714

-.0893

-.5000

-.1250

-.3750

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=2.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is thetranspose of the corresponding L matrix.Based on Type I Sums of Squares.

Contraste pour le test sur A (Type I)

UNIANOVA jour BY terre variete /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX "terre type I" terre 56 -56 variete -4 9 -5 terre*variete 24 16 16 -28 -7 -21 /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = terre variete terre*variete .

Contrast Coefficients (L' Matrix)a

56.000

-56.000

-4.000

-5.000

24.000

16.000

-28.000

-7.000

-21.000

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=2.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is the transposeof the corresponding L matrix.

terre type Ia.

Contrast Results (K Matrix)a

-210.000

105.830

-449.404

29.404

Contrast Estimate

Hypothesized Value

Difference (Estimate - Hypothesized)

Std. Error

Lower Bound

Upper Bound

95% Confidence Intervalfor Difference

ContrastL1

Dependent Variable

Based on the user-specified contrast coefficients (L') matrix: terre type Ia.

Test Results

52.500 1 52.500 3.938 .079

120.000 9 13.333

SourceContrast

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

Test sur A (Type III)

Test sur A (Type III, indépendant de l’ordre des facteurs) :

0 1. 2.H :

111 12 13 11 12 131

221 22 23 21 22 232

3TERRETABLEAU DES MOYENNES TERRE*VARIETEVARIETE

0 1 2 11 12 13 21 22 23H : 3 3 0

UNIANOVA jour BY terre variete /METHOD = SSTYPE(3) /INTERCEPT = INCLUDE /CRITERIA = ALPHA(.05) /LMATRIX "terre type 3" terre 3 -3 terre*variete 1 1 1 -1 -1 -1 /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = terre variete terre*variete .

Syntaxe SPSS

Résultats Contrast Coefficients (L' Matrix)a

-3.000

-1.000

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=2.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is thetranspose of the corresponding L matrix.

terre type 3a.

-19.000

-33.107

-4.893

Contrast Estimate

Hypothesized Value

Std. Error

Lower Bound

Upper Bound

ContrastL1

DependentVariable

Based on the user-specified contrast coefficients (L') matrix: terre type 3a.

Test Results

123.771 1 123.771 9.283 .014

120.000 9 13.333

SourceContrast

RESULTATS SPSS pour les tests de type III

400.000a 5 80.000 6.000 .010

3497.486 1 3497.486 262.311 .000

123.771 1 123.771 9.283 .014

192.128 2 96.064 7.205 .014

222.766 2 111.383 8.354 .009

120.000 9 13.333

3895.000 15

520.000 14

Intercept

variete

terre * variete

Corrected Total

Type III Sumof Squares df Mean Square F Sig.

Intercept

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=2.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is thetranspose of the corresponding L matrix.Based on Type III Sums of Squares.

-1.000

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=2.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is the transposeof the corresponding L matrix.Based on Type III Sums of Squares.

variete

.000 .000

1.000 .000

.000 1.000

-1.000 -1.000

.500 .000

.000 .500

-.500 -.500

.500 .000

.000 .500

-.500 -.500

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=2.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is the transpose of thecorresponding L matrix.Based on Type III Sums of Squares.

terre * variete

.000 .000

1.000 .000

.000 1.000

-1.000 -1.000

-1.000 .000

.000 -1.000

1.000 1.000

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=2.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is the transpose of thecorresponding L matrix.Based on Type III Sums of Squares.

Tests sur le facteur B

Test sur B (Type I, B placé en premier) :

13 2311 21 12 220

2 33 4 2H :

Test sur B (Type III) :

0 .1 .2 .3H :

B (Variété)1 2 3

A (Terre) 1 11

Test sur B (Type I) : Résultats

400.000a 5 80.000 6.000 .010

3375.000 1 3375.000 253.125 .000

93.333 2 46.667 3.500 .075

83.901 1 83.901 6.293 .033

222.766 2 111.383 8.354 .009

120.000 9 13.333

3895.000 15

520.000 14

Intercept

variete

variete * terre

Corrected Total

Type I Sumof Squares df Mean Square F Sig.

Tests sur l’interaction A*B

Test sur A*B (A*B placé en dernier pour le Type I ou Type III) :

0 11 21 12 22 13 23H :

B (Variété)1 2 3

A (Terre) 1 11

Les différents types de somme des carrés

Modèle : Y = + 1(A1-A2) + 1(B1-B3) + 2(B2-B3)

+ 11(A1-A2)*(B1-B3) + 12(A1-A2)*(B2-B3) +

Somme des carrés : S(A, B) = Somme des carrés expliquée par A1-A2 et B1-B3, B2-B3

Type I : A : S(A)B : S(A, B) - S(A)A*B : S(A, B, A*B) - S(A, B)

Type II : A : S(A, B) - S(B)B : S(A, B) - S(A)A*B : S(A, B, A*B) - S(A, B)

Type III :

A : S(A, B, A*B) - S(B, A*B)B : S(A, B, A*B) - S(A, A*B)A*B : S(A, B, A*B) - S(A, B)

Estimation et comparaison des moyennesModèle avec interaction :

ijk i j ij ijkY

Estimation des i.:

i1 i2 i3i. i . i.3

Pour des données déséquilibrées : i. i.ˆ y

"Post Hoc multiple comparison" compare les y

ˆ"Estimated marginal means" compare les

Comparaison des moyennes marginalesMéthode de Tukey

Facteur Variété

Tukey HSDa,b,c

7 13.00000

5 15.00000

3 19.66667

variete1.000

Subset

Means for groups in homogeneous subsets are displayed.Based on Type I Sum of SquaresThe error term is Mean Square(Error) = 13.333.

Uses Harmonic Mean Sample Size = 4.437.a.

The group sizes are unequal. The harmonic meanof the group sizes is used. Type I error levels arenot guaranteed.

Alpha = .05.c.

Comparaison des moyennes marginalesMéthode de Sidak (Variante de REGWQ)

Multiple Comparisons

-6.66667 2.519763 .078 -14.03161 .69828

-2.00000 2.138090 .755 -8.24936 4.24936

6.66667 2.519763 .078 -.69828 14.03161

4.66667 2.666667 .305 -3.12766 12.46099

2.00000 2.138090 .755 -4.24936 8.24936

-4.66667 2.666667 .305 -12.46099 3.12766

(J) variete2.000

(I) variete1.000

MeanDifference

(I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound

Based on observed means.

Facteur Variété

Aucune différence significative.

Calcul des moyennes estimées

Estimated Marginal Means

Variete

Contrast Coefficients (L' Matrix)

.500 .500 .500

.500 0 0

0 .500 0

0 0 .500

ParameterIntercept

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000] * [terre=1.000]

[variete=1.000] * [terre=2.000]

[variete=2.000] * [terre=1.000]

[variete=2.000] * [terre=2.000]

[variete=3.000] * [terre=1.000]

[variete=3.000] * [terre=2.000]

1.000 2.000 3.000

variete Estimates

12.500 1.394 9.346 15.654

22.500 2.236 17.442 27.558

15.500 1.667 11.730 19.270

variete1.000

Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound

Comparaison des moyennes estiméesMéthode de Sidak

Facteur Variété

Pairwise Comparisons

-10.000* 2.635 .013 -17.702 -2.298

-3.000 2.173 .489 -9.352 3.352

10.000* 2.635 .013 2.298 17.702

7.000 2.789 .097 -1.152 15.152

3.000 2.173 .489 -3.352 9.352

-7.000 2.789 .097 -15.152 1.152

(J) variete2.000

(I) variete1.000

MeanDifference

(I-J) Std. Error Sig.a

Lower Bound Upper Bound

95% Confidence Interval forDifference

Based on estimated marginal means

The mean difference is significant at the .05 level.*.

Adjustment for multiple comparisons: Sidak.a.

Les variétés 1 et 2 sont différentes (p = .013).

Comparaison des moyennesB (Variété)

1 2 3A (Terre) 1

Modèle avec interaction :

ijk i j ij ijkY

L’interaction est significative. Il faut donc comparer les solsà variété fixée.

Exemple :

H0 : 11 = 21 H0 : 2 - 1 + 21 - 11 = 0

Syntaxe SPSS

UNIANOVA jour BY terre variete /LMATRIX = "terre1 vs terre2 at V1" terre -1 1 terre*variete -1 0 0 1 0 0 /METHOD = SSTYPE(1) /INTERCEPT = INCLUDE /PRINT = PARAMETER TEST(LMATRIX) /CRITERIA = ALPHA(.05) /DESIGN = terre variete terre*variete .

Contrast Coefficients (L' Matrix)a

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=2.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is the transpose of thecorresponding L matrix.

terre1 vs terre2 at V1a.

13.309

Contrast Estimate

Hypothesized Value

Std. Error

Lower Bound

Upper Bound

ContrastL1

Dependent

Variable

Based on the user-specified contrast coefficients (L') matrix: terre1vs terre2 at V1

Test Results

84.000 1 84.000 6.300 .033

120.000 9 13.333

SourceContrast

Estimates

9.000 2.108 4.231 13.769

16.000 1.826 11.870 20.130

14.000 2.582 8.159 19.841

31.000 3.651 22.740 39.260

18.000 2.582 12.159 23.841

13.000 2.108 8.231 17.769

terre1.000

variete1.000

Comparaison des moyennes11 vs 21 (utilisation desmoyennes estimées)

B (Variété)1 2 3

A (Terre) 1 11 12 13

2 21 23

Le cas des cases videsUtilisation des sommes de carrés de type IV

Test sur Terre : 11 13 21 230H :

Test sur Variété : 13 2311 210

H : 2 2

Test sur Terre*Variété : 0 21 11 23 13H :

Dépend ducodage de variété

Vérification

1.000 1.000 6.000

1.000 1.000 10.000

1.000 1.000 11.000

1.000 2.000 13.000

1.000 2.000 15.000

1.000 3.000 14.000

1.000 3.000 22.000

2.000 1.000 12.000

2.000 1.000 15.000

2.000 1.000 18.000

2.000 1.000 19.000

2.000 2.000 .

2.000 3.000 9.000

2.000 3.000 12.000

2.000 3.000 18.000

terre variete jour

Case (2,2) supprimée

Résultats

125.714a 4 31.429 2.357 .131

2556.522 1 2556.522 191.739 .000

2.824b 1 2.824 .212 .656

29.714b 2 14.857 1.114 .370

101.647 1 101.647 7.624 .022

120.000 9 13.333

2934.000 14

245.714 13

Intercept

variete

terre * variete

Corrected Total

Type IV Sumof Squares df Mean Square F Sig.

The Type IV testable hypothesis is not unique.b.

Parameter Estimates

13.000 2.108 6.166 .000 8.231 17.769

5.000 3.333 1.500 .168 -2.541 12.541

0a . . . . .

3.000 2.789 1.076 .310 -3.309 9.309

-4.000 3.651 -1.095 .302 -12.260 4.260

0a . . . . .

-12.000 4.346 -2.761 .022 -21.832 -2.168

0a . . . . .

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

B Std. Error t Sig. Lower Bound Upper Bound

This parameter is set to zero because it is redundant.a.

Modèle estimé

Moyennes des cases estiméesContrast Coefficients (L' Matrix)

1 1 1 1 1

1 1 1 0 0

0 0 0 1 1

1 0 0 1 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

1.000 2.000 3.000

variete

1.000 3.000

variete

1.000 2.000

Unobserved level combinations of factors are not shown.

Estimates

9.000 2.108 4.231 13.769

14.000 2.582 8.159 19.841

18.000 2.582 12.159 23.841

16.000 1.826 11.870 20.130

.a . . .

13.000 2.108 8.231 17.769

variete1.000

terre1.000

This level combination of factors is not observed, thus thecorresponding population marginal mean is not estimable.

Contrastes associés aux tests réalisés par SPSSIntercept

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is thetranspose of the corresponding L matrix.Based on Type IV Sums of Squares.

terrea

-1.000

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The estimable function is not uniquea.

varietea

.000 .000

1.000 .000

.000 1.000

-1.000 -1.000

.500 .000

.000 1.000

-.500 -1.000

.500 .000

-.500 .000

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

The default display of this matrix is the transpose of thecorresponding L matrix.Based on Type IV Sums of Squares.

The estimable function is not uniquea.

terre * variete

ParameterIntercept

[terre=1.000]

[terre=2.000]

[variete=1.000]

[variete=2.000]

[variete=3.000]

[terre=1.000] * [variete=1.000]

[terre=1.000] * [variete=2.000]

[terre=1.000] * [variete=3.000]

[terre=2.000] * [variete=1.000]

[terre=2.000] * [variete=3.000]

Contrast

Test « Intercept »

Pour L1 = 1 :

1 2 1 2 3

11 12 13 21 23

Contraste .6 .4 .4 .2 .4

.2 .2 .2 .2 .2

Test « Terre »

Pour L2 = 1 : 11 13 21 231 2

11 13 21 23

Contraste2 2

Test « Variété »

Pour L4 = 1 et L5 = 0 : 13 2311 211 3

13 2311 21

Contraste2 2

Pour L4 = 0 et L5 = 1 : 2 3 12 13 12 13Contraste

Test « Terre*Variété »

Pour L7 = 1 : 11 13 21 23

11 13 21 23

Contraste ( )

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