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Introduction
Notations tensorielles
Cinématique
Equilibre
Thermodynamique
Lois de bilan
Loi de comportement
Initiation à la MECANIQUE des MILIEUX CONTINUS
Initiation à la MMC, F. Golay 1/27
Notion de milieu continu
Fluide: « qui n’est ni solide, ni épais, qui coule aisément »Solide: « qui a de la consistance, qui n’est pas liquide, tout en pouvant être plus ou moins mou »Liquide: « tout corps qui coule ou tend à couler »
Petit Robert
Milieu continu: « milieu dont le comportement macroscopique peut être schématisé en supposant la matière répartie sur tout le domaine qu’il occupe »
J. Coirier
Initiation à la MMC, F. Golay 2/27
Notations: Notation indicielle
ii332211 eVeVeVeVV =++= Vecteur & convention de sommation
jiij
333231
232221
131211eeT
TTTTTTTTT
T ⊗=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= Tenseur d’ordre 2 & Produit tensoriel
( ) ( ) ijijkkjiij eVTeVeeTVT =⋅⊗=⋅ Produit contracté
( ) ( ) jiijqppqjiij BAeeB:eeABA =⊗⊗=⋅ Produit doublement contracté
ii, x∂
∂= Dérivation
( ) ( ) ii, e**** ⊗=∇ gradient
( ) 1:**(**)div ∇= divergence
Initiation à la MMC, F. Golay 3/27
Notations: Exemple
( )
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=⊗=⊗=∇
3
3
2
3
1
33
2
2
2
1
23
1
2
1
1
1
jij,ijj,ii
xV
xV
xV
xV
xV
xV
xV
xV
xV
eeVeeVV
( ) ( )3
3
2
2
1
1i,ijij,iqppqjij,i x
VxV
xVVVee:eeV1:VVdiv
∂∂
+∂∂
+∂∂
==δ=⊗δ⊗=∇=
( ) ( ) V:AV.AdivVAVAVAVAdiv Ti,kikki,iki,kik ∇+=+==
Initiation à la MMC, F. Golay 4/27
Cinématique:
•Notion de configuration, Euler /Lagrange•Application linéaire tangente•Notion de déformation•Tenseur des déformations•Hypothèse des petites perturbations•Dérivation
Initiation à la MMC, F. Golay 5/27
Cinématique: Notion de configuration
Initiation à la MMC, F. Golay 6/27
O1e
2e3e
Configuration de référenceà l’instant t0
Ω0
M0 X
Configuration actuelleà l’instant t
Ω(t)
M )t,X(x
,t: Variables de Lagrange (en général mécanique du solide)X
,t: Variables d’Euler (en général mécanique des fluides)x dtxd
dtOMdVVitesse ==
)t,X(tA)t,X(
dtdA
∂∂
=
( ) V.AtAA.V
tAV
xA
tA)t,x(
tx
xA)t,x(
tA)t,x(
dtdA
ii
i
i∇+
∂∂
=∇+∂∂
=∂∂
+∂∂
=∂∂
∂∂
+∂∂
= Dérivée particulaire
Application: Accélération ( )V.VtV)t,x(
dtVd
∇+∂∂
==Γ
Cinématique: Application linéaire tangente
Initiation à la MMC, F. Golay 7/27
Transport d’un élément de volume
O1e
2e3e
Ω0Ω(t)
dV0
dV( ) 0dV det F dV=
O1e
2e3e
Configuration de référenceà l’instant t0
Configuration actuelleà l’instant t
Transport d’un élément de surface
O1e
2e3e
Ω0Ω(t)
( ) T 0ndS det F F NdS−=ndSNdS0
Ω0XdΩ(t)
xd
XdFxd =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
3
3
2
3
1
33
2
2
2
1
23
1
2
1
1
1
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
Xx
F
Cinématique: Notion de déformation
Initiation à la MMC, F. Golay 8/27
Cinématique: Tenseur des déformations
O1e
2e3e
Configuration de référenceà l’instant t0
Configuration actuelleà l’instant t
Ω0XdΩ(t)
xd
F
Xd ′xd ′
XdXd2Xd1FFXdXdXdxdxdTTT
′ε=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=′⋅−′⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=ε 1FF
21 T
O1e
2e3e
0dldl 0
01111
20
20
2
10
dldldlsoit dl2dldl
edlXdXd Si−
≈εε=−
=′=
O1e
2e3e
2211121220
2010
11cos2soit dl2cosldld
edlXdet edlXd Si
ε+ε+θ≈εε=θ′
=′=
dl0dl
0dlld ′
Initiation à la MMC, F. Golay 9/27
Cinématique: Hypothèse des petites perturbations
( )u.uuu21
u1F
uXx
TT ∇∇+∇+∇=ε
∇+=
+=
1u
HPP
Cinématique: Dérivées
∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∂∂
=∫∫∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=∫∫∫ ΩΩΩ )t()t()t( dV)vk(divt
kdVvkdivdtdkdV)t,x(k
dtd
∫∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⊗+
∂∂
=∫∫∫ ΩΩ )t()t( dV)vA(divtAdV)t,x(A
dtd
(t) (t)d dAA(x, t).n dS Adivv v.A .n dSdt dtΣ Σ
⎛ ⎞= + −∇⎜ ⎟∫∫ ∫∫ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Application: Conservation de la masse !!
soit 0dV)t,x(dtd donc cste Mor dV)t,x(M )t()t( =∫∫∫ ρ=∫∫∫ ρ= ΩΩ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=ρ+∂ρ∂
=ρ+ρ
0)v(divt
ou
0vdivdtd
∫∫∫ ρ=∫∫∫ ρ ΩΩ )t()t( dVdt(**)ddV(**)
dtd
Initiation à la MMC, F. Golay 11/27
Cinématique: Exemple
Initiation à la MMC, F. Golay 12/27
Équilibre:
•Notion Contrainte•Principe fondamental
Initiation à la MMC, F. Golay 13/27
Équilibre: Notion de contrainte
Photo extraitede Le RugbyP. VILLEPREUXCours de J.SalençonPolytechnique
Efforts extérieurs
Efforts intérieurs
n
M ds
dF
( )( ) ( )
( ) ( )nt,xn,t,xTcontrainteVecteur :T
dsn,t,xTds,n,t,xdF
ds,n,t,xdF cohésion"" deEffort
σ=
=
( )t,xσ Tenseur des contraintes de Cauchy
Initiation à la MMC, F. Golay 14/27
Équilibre: Principe Fondamental
Initiation à la MMC, F. Golay 15/27
O1e
2e3e
F
f
)t(Ω
)t(Σ
n Principe Fondamental de la dynamique
Torseur dynamique=
Torseur des action extérieures
v div( v v) dV fdV ndstΣ Σ ∂Σ
⎛ ⎞∂ρ+ ρ ⊗ = + σ⎜ ⎟∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫⎜ ⎟∂⎝ ⎠
v v.v v div( v) dV fdV div dVt tΣ Σ Σ
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ρ⎛ ⎞⎜ ⎟ρ + ∇ + + ρ = + σ⎜ ⎟∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
( )f div dV 0Σ ργ − − σ =∫∫∫
d vdV fdV Tdsdt
d OM vdV OM fdV OM Tdsdt
Σ Σ ∂Σ
Σ Σ ∂Σ
⎧ρ = +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫⎪⎪
⎨⎪ ρ ∧ = ∧ + ∧∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫⎪⎩
Forme locale de l’équation d’équilibre
div f 0 dans
n F sur
⎧ σ + = Ω⎪⎨σ = ∂Ω⎪⎩
Symétriqueσ
Thermodynamique:
•Premier principe•Équation de la chaleur
Initiation à la MMC, F. Golay 16/27
Thermodynamique: Premier principe
Premier principe: conservation de l’énergie
( ) extd E K P Qdt + = +
Énergie interne
E e dvΩ= ρ∫
Énergie cinétique
1K v.v dv2Ω
= ρ∫
Puissance des efforts extérieurs
extP f .v dv F.v dsΩ ∂Ω= +∫ ∫
Taux de chaleur reçuQ r dv q.n dsΩ ∂Ω= −∫ ∫
Forme locale du premier principe
e : r divqρ = σ ε + −
Initiation à la MMC, F. Golay 17/27
Thermodynamique: Équation de la chaleur
( )
e Ts
Hypothèse énergie libre ( , T)
Second principe = et s=T
sChaleur spécifique C=TT
Loi de Fourier
dTr d
q
iv k T C T :dt T
k T
Premier Principe
t
⎧ = ψ +⎪
ψ = ψ ε⎪⎪
∂σ ∂ε+ ∇ =
∂ψ ∂ψ⎪ σ ρ
ρ −
−∂⎨ ∂ε
⎪ ∂⎪∂⎪
⎪ = − ∇⎩+
⇓
∂ ∂
Initiation à la MMC, F. Golay 18/27
Lois de bilan:
Lois de Bilan en M.M.C.
Conservation de la massed divv 0dtρ+ρ =
Conservation de la quantité de mouvement div fσ + = ργ
Conservation du moment cinétique Tσ = σ
e : r divqρ = σ ε + −Conservation de l’énergie
+Lois de Comportement
T, , , , , .... 0t t
⎛ ⎞∂σ ∂εℜ σ ε =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
Initiation à la MMC, F. Golay 19/27
Élasticité:
•Essai de traction•Expérience•Loi de comportement élastique linéaire•Le problème d’élasticité
Initiation à la MMC, F. Golay 20/27
Élasticité: Essai de traction
Essai de traction
Initiation à la MMC, F. Golay 21/27
Élasticité: Expérience
F
∆L
Plasticitéirréversible
Déformation permanente
11FS
σ =
11L
L∆
ε =
Élasticitéréversible
eσ
SL ∆L
Initiation à la MMC, F. Golay 22/27
Élasticité: Élasticité linéaire
C :σ = εLoi générale
( )tr 1 2σ = λ ε + µεÉlasticité isotrope λ,µ coefficients de Lamé( ) 1tr 1E E
ν + νε = − σ + σ ν coefficients de Poisson, E module d’Young
Initiation à la MMC, F. Golay 23/27
( ) ( )tr 1 2 3 2 T1σ = λ ε + µε − λ + µ αδThermoélasticité isotrope α coefficients de dilatation thermique
Élasticité orthotrope
12 1211 11
1 1 1
21 2322 22
2 2 2
31 3233 33
3 3 3
12 1212
13 1313
23 2323
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
1 0 0 0E E E
10 0 0 0 02G
10 0 0 0 02G
10 0 0 0 02G
ν ν⎡ ⎤− −⎧ ⎫ ⎧ε σ⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥ν ν
− −⎪ ⎪ε σ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥ν ν⎪ ⎪ − −ε σ⎢ ⎥⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥⎪ ⎪ε σ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ε ⎢ ⎥ σ⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎢ ⎥ε σ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎫⎪
⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪
⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Application à l’essai de traction
0 0 F / S 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 0E
0 0E
0 0E
σ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
ν⎢ ⎥ε = − σ⎢ ⎥⎢ ⎥ν⎢ ⎥− σ⎢ ⎥⎣ ⎦
Élasticité: Le problème d’élasticité
O1e2e
3eF
f)t(Ω
i mpU
F∂Ω
U∂Ω
( )
( )
T
imp U
F
U
1 u u2
u U sur Equation de compatibilité
div f dans
F sur n
R sur
tr 1 2
ε = ∇ +∇
= ∂Ω
σ + = ργ Ω
⎧ ∂Ω⎪σ = ⎨∂Ω⎪⎩
σ = λ ε + µε
( ) ( )divu div u f 0λ +µ ∇ +µ ∇ + =Formulation en déplacement: Équation de Navier
( ) ( ) ( ) T11 div tr divf1 f f 01 1ν
+ ν ∇σ + ∇∇ σ + +∇ +∇ =+ ν − ν
Formulation en contrainte: Équation de Michel
Initiation à la MMC, F. Golay 24/27
Élasticité: Exemple
iTiP
eTeP
Initiation à la MMC, F. Golay 25/27
Élasticité: Exemple: résolution
iT
eT
re
eθ
( )
e e
0
i i
T 0dTr div k T C T :dt T t
T T T T(r)(r)avec T(r ) T et
T a lnr( ) T
bT r
∆ =
δ =
∂σ ∂
−
ε+ ∇ = ρ − →
∂ ∂= → =
= =
+
Problème thermique
( )
( )
( ) ( )( )( )( )
rr
rrrr 2
rHypothèseuu 2 u 3 2
u u(r)e
3 2 au(r) rL
T(r)u 0 0r
donc 0 u / r 0 et u u0 0 0 u 2 3 2 T(r)r r
3 2 a1 u udiv f 0 ur r r 2 rr
n(r) Ar2
θθ
θθ
⎛ ⎞′ ′σ = λ + + µ − λ + µ αδ′⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥ε = ⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ′σ = λ + + µ − λ + µ αδ⎣ ⎦ ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
λ + µ α=
λ + µ α′∂σ ′′σ + = ργ → + σ − σ = → + − =∂ λ + µ
+ +λ + µ
rr e e rr i iavec (r ) P et (
Br
r ) Pσ = − σ = −
Problème mécanique
Initiation à la MMC, F. Golay 26/27
Mécanique des fluides: Fluide newtonien
τ
dUdy
Newton
Fluideépaississant
Fluidefluidifiant
Fluide à seuil
Fluide viscoplastique
( )p1 tr 1 2σ = − + λ ε + µεFluide newtonien
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
T
T
div f
dv div p1 tr 1 2dtdv div p1 div divv1 div v
v v.v p divv div vt
vdt
v v.v p divv div v div vt
ργ = σ +
⎛ ⎞ρ = − + λ ε + µε⎜ ⎟⎝ ⎠
ρ = − λ +µ ∇ +∇
⎛ ⎞∂ρ + ∇ = −∇ + λ∇ +µ ∇ +µ ∇⎜ ⎟⎜ ⎟∂
∂ρ +ρ∇ = −∇ + λ +µ ∇ +µ ∇
⎝ ⎠
∂
Si le fluide est incompressible alors divv 0
v 1v.v p vt
∂+ ∇ = − ∇
=
+ ν∆∂ ρ
Initiation à la MMC, F. Golay 27/27
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