Microsoft Powerpoint - Mecanique Des Milieux Continus

7/27/2019 Microsoft Powerpoint - Mecanique Des Milieux Continus

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MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

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OBJECTIFS DU COURS

Pour un ingnieur le problme se prsente par ltude dvolutiondans le temps des caractristiques physiques dun milieu matrieloccupant un volume V dans lespace et limit par une frontireVet soumis des transformations dans lespace et dans le temps.Objectifs:

Le premier objectif de ce cours est dintroduire les conceptsde base de la mcanique des milieux continus tels quils sont

enseigns dans la plupart des coles dingnieurs Fournir les outils physiques et mathmatiques qui vont

permettre de mettre en quation le comportement danslespace et dans le temps des phnomnes physiquesconsidrs.


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DESCRIPTION DU PROGRAMME DE MMC

1. INTRODUCTION2. DESCRIPTION CINEMATIQUE DES MILIEUX CONTINUS3. DEFORMATIONS4. CONTRAINTES5. LOIS DE COMPORTEMENT RHEOLOGIQUE6. ELASTICITE LINEAIRE

4

INTRODUCTION


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5

Toute description de phnomnes physiques fait largement appel au langageet aux concepts des mathmatiques. Se pose alors le problme du choix de laschmatisation. Celle-ci doit permettre, au moyen de calculs mathmatiques,de comprendre les phnomnes observs et de prvoir ceux venir. Lafinesse de la modlisation retenir dpend des moyens que lon est capable,mais aussi dispos, mettre en uvre pour effectuer les mesuresexprimentales qui seront compares aux rsultats thoriques obtenus parles calculs.

La mcanique des milieux dformables utilise un modle continu et ignoredonc, dans la schmatisation employe, la structure microscopique de lamatire. On se place une chelle macroscopique, mais les phnomnesphysiques observs lchelle microscopique servent de guide dans le choix

de la reprsentation macroscopique qui donne, dans une certaine mesure,une image moyenne de ce qui se passe au niveau molculaire ou atomique. La mcanique des milieux dformables, encore appele mcanique des

milieux continus, est la science de base de disciplines aussi nombreuses quevaries que lon a encore trop tendance vouloir sparer en deux groupes :celui de la mcanique des solides dformables et celui de la mcanique desfluides. Cette partition ne peut tre aussi tranche. La connaissance desfondements de la mcanique des milieux continus permet daborder ensuiteles problmes particuliers de calcul des structures, de mcanique des fluideset de rsistance des matriaux.

Introduction

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Mcanique des milieux continus: La mcanique des milieux continus ( ou mcanique des

milieux dformables) tudie lvolution dans le temps etdans lespace des caractristiques physiques dunmilieu matriel ( solide, liquide ou gaz)

Rsolution des quations auxdrives partielles menues desconditions aux limites et desconditions initiales

P0 .

V

V

Densit

Pression

Temprature

Dfinition

8

Hypothse de continuit:Bien que la matire soit discontinue, ce que peut mettre envidence nimporte quelle observation microscopique voiremacroscopique, les mcaniciens ont besoin dunehypothse de continuit permettant de dcrire lesgrandeurs physiques par des champs de fonctionsmathmatiques ayant les bonnes proprits de continuitet de drivabilitLhypothse de continuit nous permettra de dfinir desdensits volumiques de certaines grandeurs physiques,par exemple la masse volumique.


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Rfrentiel et repre :En mcanique on a toujours besoin dun rfrentiel (observateur ) pourdcrire le mouvement des particules , la position dune particule est reprepar ses cordonnes dans ce rfrentiel. Les vitesses et acclrations sonttablies dans ce rfrentiel

La cinmatique a pour but la description des mouvements et fait donc intervenirdeux espaces :

le premier est la reprsentation de lespace physique dans lequel volue le

systme matriel tudi ; cest un espace affine rel euclidien orient de

dimension trois : ; on notera E lespace vectoriel associ ;

le second est la reprsentation de la notion de temps ; cest un espace affine rel

orient de dimension un : ; on notera T lespace vectoriel associ.

modles de description cinmatique

Lensemble de ces deux espaces dfinit, cequon appelle indiffremment, unobservateur ou un systme de rfrenceou encore un rfrentiel et sera not R

10

Description lagrangienne :on considre la transformation dans le repre orthonorm :

321 ,,, eeeOE

332211 , eXeXeXOM

linstant t0 = 0 la position Mdune particule appartenantau solide possde descoordonnes initiales X1, X2,X3. Le vecteur positioninitiale est ainsi

ii

i

ii eXeXOM en notation indicielle on a :

lors de la transformation le point M subit un dplacement

MmMu )(


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11

on introduit les coordonnes x1 , x2, et x3 du point m rsultantdu dplacement de M entre les instants t0 et t , le vecteurposition linstant t scrit:

332211 exexexOm

ii

i

ii exexOm Notation indicielle:

Les coordonnes x1 , x2 et x3 dpendent la fois descoordonnes initiales X1 , X2 et X3 et du temps t :

tXXXOmOm ,,, 321Ou encore :

tXXXxx

tXXXxx

tXXXxx

,,,

,,,

,,,

32133

32122

32111

X1, X2 et X3 sont appel : variables de Lagrange

12

La vitesse dun point m est donne par:

3

3

22

11, e

dt

dxe

dt

dxe

dt

dx

dt

OmdtmV

On peut aussi introduire le vecteur dplacement :

: vecteur dplacement

Lacclration dun point m est donne par:

32

3

2

22

2

2

12

1

2

, edt

xde

dt

xde

dt

xd

dt

Vdtm

tMdt

udtmV ,,

OMOmMmu


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13

Description Eulrienne :Au lieu de suivre chaque particule dans son mouvement,on se fixe un point gomtrique m de lespace et onobserve les particules qui y dfiles au cours du temps.Selon le point de vue de Euler, la grandeur G dpend de laposition dobservation (coordonnes du point m ) et dutemps t :

txxxGtOmGG ,,,, 321

Une grandeur physique G peut donc tre dcrite de deux

faons : Selon le point de vue Lagrange, G dpend des coordonnes

initiales du point M et du temps

x1, x2 et x3 sont appel : variables de Euler

tXXXGtOMGG ,,,, 321 Selon le point de vue Euler, G dpend des coordonnes initiales

du point M et du temps

txxxGtOmGG ,,,, 321

14

La variation de la grandeur G au cours du temps donnegalement deux formulations :

Point de vue Lagrange, puisque les coordonnes initiales sontindpendantes

tXt

GtX

dt

dG

dt

dGii ,,

Point de vue Euler, coordonne du point m dpendent du temps

3

3

2

2

1

1

1, dx

x

Gdx

x

Gdx

x

Gdt

t

G

dt

tx

dt

dG

dt

dGi

dt

dx

x

G

dt

dx

x

G

dt

dx

x

G

t

G

dt

dG3

3

2

2

1

1

: drive particulaire de G

ou encore:

VGgradt

G

dt

dG.


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8

15La drive particulaire sapplique aussi aux grandeursvectorielles et tensorielles

dt

dx

dt

dx

dtdx

V

3

2

1

: champ de vitesse

3

2

1

x

G

xG

x

G

Ggrad : gradient de G

16

Exemple : acclration du point de vu Euler

VVgradt

V

dt

Vd.


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Dformations

Le problme qui se pose lorsquon souhaite tudier lestransformations dun milieux continu est: commentmesurer les dformations?

Ce nest pas une question simple, car les dformationsconcernent aussi bien les changements devolume(dimensions) que de forme. Il faut une mesureefficace, capable de reprsenter des quantits qui ont unesignification gomtrique et physique prcise et sipossible simple.

Comme les dformations peuvent changer avec lendroit,la mesure de la dformation doit tre une mesure locale,ponctuelle.

La dformation nest pas une grandeur physique objective,absolue, comme p. ex. la masse ou la longueur. A laidedun exemple simple nous allons voir la dfinition la plusclassique de la dformation.

Tenseur de la dformation


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10

Considrons donc une barrette de matriau dformable,soumise une traction. La barrette se dforme et on peutmesurer sa dformation par le rapport entre la variation desa longueur et sa longueur initiale:

.o

o

Cette quantit est adimensionnelle. Elle donneune mesure de leffet de dformation de laforce applique.

Si la dformation est une dilatation,

> 0, sielle est une contraction, < 0.

Cette mesure de la dformation est seulementune des mesures possibles; elle est la plusutilise si les dformations en jeu sont petites(hy po thse des petites pertu rbati on s,HPP).

o

LHPP est une hypothse adopte en MMC classique. Ceci estjustifi par le fait que la plupart des matriaux quon tudie sonttellement rigides que les dformations quils permettent sont,normalement, trs petites.

La dfinition vue ci-dessus ne peut pas complter lanalyse dela dformation. En fait elle est macroscopique (la mesure estfaite sur la pice entire, non localement) et unidirectionnelle(on fait implicitement lhypothse que la seule dformation enjeu est la dilatation le long de laxe de la barrette).

Pour tudier la dformation dun milieu continu quelconque, ilfaut gnraliser cette dfinition. Cette gnralisation doitpouvoir dcrire localement et compltement la dformation.

En fait, un corps continu peut subir une dformation qui changeavec la position et la dformation ne concerne pas que lesvariations de longueur, mais aussi les autres caractristiquesgomtriques, comme par exemple les angles, les volumes etc.

La gnralisation de la mesure de la dformation se fait par unegrandeur mathmatique complexe, letenseu r de la dfo rm ati on

hypothse des petites perturbations, HPP


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Tenseur gradient du champ de dplacement

Considrons deux point M et M infiniment voisins ltatde rfrence. Aprs transformation, leurs positions sontsitues respectivement en m et m :

Champ de dformations

notons :

'MMdXdM

:Vecteurs dplacement resp. de M et M 'et MuMu

'mmdxdm

24

Puisquon a:

Ou peut crire:

32133

32122

32111

,,

,,

,,

XXXxx

XXXxx

XXXxx

3

3

32

2

31

1

33

3

3

22

2

21

1

22

3

3

1

2

2

1

1

1

1

1

dXX

xdX

X

xdX

X

xdx

dXX

xdX

X

xdX

X

xdx

dX

X

xdX

X

xdX

X

xdx


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12

25

Quon peut crire sous forme matricielle :

3

2

1

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

3

2

1

dX

dX

dX

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

X

x

dx

dx

dx

: Tenseur gradient de la transformationF

Et donc

dXFdx OMgradxgradF

3

2

1

x

x

x

x

3

2

1

dx

dx

dx

dx

26

Introduisons le champ de dplacement, on :

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

100

010

001

X

u

X

u

X

u

X

u

X

u

X

u

Xu

Xu

Xu

F

: Vecteur dplacementOu bien

ugradIF

ugradD

333

222

111

uXx

uXx

uXx

uOMOm

3

2

1

u

u

u

u

On remplace dans le tenseur gradient de la transformation, on a :

: tenseur gradient de dplacement


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28

Tenseur de dformation de Green Lagrange :

Examinons maintenant la transformation du couple form pardeux vecteurs infinitsimaux dX et dX. Pour tudier latransformation de ce couple, il est plus commode dutiliser leproduit scalaire dX.dX pour voir si ce couple subit ou nonune dformation (variation de longueur ou variation dangle)

dXFdx

Et'' dXFdx

29

Calculons la diffrence :

TTT

FdXdXdX

dX

dX

dX

F

dx

dx

dx

dxdxdx 321

3

2

1

3

2

1

321 ,,,,

3

2

1

321

3

2

1

321

'

'

'

,,

'

'

'

,,'.'.

dX

dX

dX

dXdXdX

dx

dx

dx

dxdxdxdXdXdxdx

On a :

3

2

1

321

3

2

1

321

'

'

'

,,

'

'

'

,,

dX

dX

dX

dXdXdX

dX

dX

dX

FFdXdXdXT

2

1

321

'

'

'

,,

dX

dX

dX

IFFdXdXdXT


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14

30

3

2

1

321

'

'

'

2

1,,2'.'.

dX

dX

dX

IFFdXdXdXdXdXdxdxT

: Tenseur de dformation de Green LagrangeE

E

IugradIugradIIFFETT

.

2

1

2

1

Tenseur Symtrique

ugradugradugradugradETT

.2

1

33

Tenseur de dformation linaris (Hypothse HPP)

Lhypothse des petites perturbations (HPP) permet de simplifierlexpression du tenseur de dformation de Green Lagrange, cettehypothse postule:

Petits dplacements : le dplacement de chacun des points dusolide est petit de sorte que ltat actuel(dform) est confonduavec ltat initial dans le calcul des forces internes

Petites dformations : les termes du tenseur de dformationsont petits devant lunit

Consquences : Les termes de dformation du second ordredeviennent ngligeables, et le tenseur de dformation scrit :

ugradugradET

.2

1

i

j

j

iij

X

u

X

u

2

1

Les composantes ij du tenseur de dformation scrivent :

jiij avec


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15

34

Interprtation du tenseur de dformation:

Partons de lquation:

Le tenseur peut s crire sous la forme de deux tenseurs,un tenseur symtrique et un tenseur antisymtrique :

ugrad

i

j

j

iij

X

u

X

u

2

1

dXugraddXdXugradIdXFdx

dXugradugraddXugradugraddXdxTT

2

1

2

1

Tenseur SymtriqueTenseur Antisymtrique

dXdXdXdx

ugradugradT

2

1

jiij de composantes avec

35

On montre que le tenseur antisymtrique est quivalent unproduit vectoriel :

Termes dj vu en mcaniquedes solides indformables

dXdXuRotdX

dXdXdXdx

dXdXMMmm ''

dXdXMuMudXdx '

dXdXMuMu 'rotationtranslation dformation


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16

36

Elongation suivant une direction

Au cours de la transformation levecteur:

3

2

1

321

'

'

'

,,2'2'.'.

dX

dX

dX

EdXdXdXdXEdXdXdXdxdxT

Le tenseur de dformation de Green Lagrange, traduit ladformation dun couple form par deux vecteurs

infinitsimaux dX et dX de la faon suivante:

dX devient: dx

devient:'dX 'dx

37

eedXdXdXdXdxdXdx e .22. 2

dX

dXdxe

Dans lhypothse des petites perturbation on fait lapproximationsuivante:

: lallongement relatif dans la direction e

Et on note:dXdXdx

2

dXEdXdXdxdXdxdXdx 222

edXdX

Considrons un vecteur de longueur dX dans la configuration

initiale orient par un vecteur unitaire de direction e

On a ainsi:


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38

eee .

est un scalaire sans dimension, il est : positif si la longueur dX augmente pendant la transformationNgatif si la longueur dX diminue pendant la transformation

: lallongement relatif au point M dans la direction eDo :

Dans un repre orthonorm ( e1, e2 , e3 ) on dfinit:

e

1

111

x

u

: lallongement relatif au point M dans la direction e1

2

2

22x

u


3

3

33x

u


Rq : on dit aussi : llongation dans la direction e1, e2 et e3

39

321 ,, eeee

Lallongement relatif au point M dans une direction quelconque e

Dfinie par est:

3

2

1

332313

232212

131211

321.

e

e

e

eeeeee


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18

40

Distorsion angulaire (glissement )

On voit que:

'2'.'. dXEdXdXdXdxdxT

dX devient: dx

devient:'dX 'dx

Considrons maintenant langle droit construit sur deux vecteursunitaires dX et dX de la faon suivante:

41

sin'..',cos'..'. dxdxdxdxdxdxdxdx

'dXdXcar

On obtient :

En considrant :

'2sin'. dXEdXdxdxT

0'. dXdX

2211

21

2121

2

'.

'2sin

EE

eEe

dxdx

dXEdX

Dou :

ICIFFE T

2

1

2

1

On a dj tabli :

IEFFC T 2 : Tenseur de dilatation ( ou deCauchy)


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19

42

La distorsion de langle (glissement) droit bti sur deux vecteurunitaires e1 et e2 est donne par:

2211

2121

21212sin),,(

EEeEeArceeM

2211

21sinCC

eCe

En remplaant, on a:

2211

2121 sin),,(

CC

eCeArceeM

Exemple:

12

28C

42

1sin

122

2sin12

ArcArc

811C 212C 122C

43

21,, eeM

1

2

2

112

2

1

x

u

x

u

est un scalaire sans dimension

Une distorsion positive correspond une rduction dangle droit

est la demi distorsion dangle (e1, e2)

2

3

3

2

23 2

1

x

u

x

u est la demi distorsion dangle (e

2, e

3)

1

3

3

113

2

1

x

u

x

u est la demi distorsion dangle (e1, e3)

On peut donc donner une nouvel dtermination du tenseur dedformation linaris:

332313

2322

12

131211

22

22

22


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20

44

Dilatation volumique

321 .. dXdXdXV : Volume avant transformation

321

321321

..

....v

dXdXdX

dXdXdXdxdxdx

V

V

Soit un petit volume paralllpipdique rectangle bti sur lesvecteurs dX1 , dX2 , dX3 soit:

321 ..v dxdxdx : Volume aprs transformation

La variation relative de volume est dfini par:

321

321333222111

..

..1.1.1

dXdXdX

dXdXdXdXdXdX

En prenant en compte lhypothse HPP:

3

3

2

2

1

1332211

x

u

x

u

x

u

45

Soit en introduisant les operateurstraceetdivergence:

On peut donc exprimer la variation volumique unitaire soit par latrace du tenseur de dformation, soit par la divergence du champde dplacement:

Dfinitions:

Udivtr

Dformations et directions principales

On appelle dformation principale toute valeur propredu tenseur des dformations.On appelle direction principale de dformation toute

direction oriente par un vecteur propre du tenseur desdformations.

Les dformations principales sont solutions de lquation:

0det I


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21

46

Les solutions en sont relles et trois situations peuvent survenir : les trois valeurs propres sont gales : cest que toute directionde lespace autour de M0 est direction principale et les dilatationssont les mmes dans toutes les directions. Il ny a aucunedistorsion dans quelque plan que ce soit. deux valeurs propres sont gales : il y a une troisime valeurpropre associe une direction propre. Toute directionappartenant au plan perpendiculaire cette direction propre estgalement propre. les trois valeurs propres (principales) sont diffrentes alors lestrois directions propres (principales) sont diffrentes etorthogonales entre elles du fait de la symtrie du tenseur desdformations.Dans la base des vecteurs propres, le tenseur de dformationscrit:

IIIIII eeeIII

II

I

,,00

00

00

IIIIII

Par convention :

47

Invariants du tenseur de dformation :

032

2

1

3 KKK

det

2

1

3

22

2

1

K

trtrK

trK

Les invariants du tenseur des dformations sont les coefficients Ki

de lquation caractristique: 0det I

Ces coefficients restent indpendants du choix de la base deprojection du tenseur de dformation


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22

48

En coordonne Lagrangienne, un mouvement est dfini parle vecteur dplacement :

:Tenseur gradient dedplacement

32133

32122

32111

,,

,,

,,

XXXuu

XXXuu

XXXuu

U

Rsum

XxOMomU

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

X

u

X

u

X

u

X

u

X

u

X

u

X

u

X

u

X

u

uGrad

ugradIF :Tenseur gradient de la transformation

49

Dans lhypothse HPP:

FFCT

. :Tenseur des dilatations ou tenseur de Cauchy-Green droit

ugradugradugradugradICETT

.2

1

2

1

:Tenseur des dformation de Green-Lagrange

ugradugradugradugraduGradTT

2

1

2

1

ugradugradT

2

1 :Tenseur des rotations

ugradugradT

2

1 :Tenseur des dformations


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23

50

:Dilatation volumique

eedX

dXdxe .

: lallongement relatif au point M dans ladirection e

Glissement ou distorsion dans les direction desvecteur e1 et e2

2211

2121 sin),,(

CC

eCeArceeM

udivtrV

VV

0

0

51

En coordonne Eulriennes, un mouvement est dfini par levecteur vitesse :

:Tenseur gradient duchamp de vitesse

txxx

txxx

txxx

txxxV

,,,vv

,,,vv

,,,vv

,,,

32133

32122

32111

321

Tenseur de taux de dformation

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

vvv

vvv

vvv

xxx

xxx

xxx

VGrad

dxgradtxVtdxxV .v,,


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24

52

DVgradVgradVgradVgradVGradTT

21

21

VgradVgradT

2

1:Tenseur de taux de rotation

VgradVgradDT

2

1:Tenseur de taux de dformation

dxdx . avec Vrot

dxDdxtxVtdxxV .,,

53

Soit M et M deux point voisins

vecteur transport par la mouvement

x

OMOMx '

M

M

xVgrad

tMVtMVdt

OMd

dt

OMd

dt

xd

.

,,''

:vecteur transport par la mouvementxVgraddtxd .


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25

54

Transport du produit scalaire:

x

'x

On a:

xVgraddt

xd

.

'.'

xVgraddt

xd

'.'

.'.

xdt

xd

dt

xdxdt

xxd

'.

'.''.

xVgradVgradx

xVgradxxVgradxdt

xxd

TT

TTT

Soitx etx deux vecteurs infinitsimaux

55

'..2'. xDxdt

xxd T

VgradVgradDT

2

1avec

Pourx etx vecteurs transports par le mouvement

'..2'.

xDxdt

xxd T


26/48

24/01/2013

26

56

Taux dallongement relatif:

x'x

xDxdt

xdx

dt

xd T

22

2

2

1

x

xDx

dt

xd

x

T

En appliquant x =x , on obtient:

: taux dallongement relatif ( outaux de dilatation linaire )dansla direction dex

1e

3e

2e

Cas particulier:1elx

11112

111 DeDel

leDel

dt

ld

l

D11 : taux dallongement relatif (ou taux de dilatation linaire)dans la direction de e1

57

Taux de glissement

tt

2

'x

Langle de glissement est :

0'. 00 txtx

Considrons maintenant langle droit construit sur deux vecteursx etx de la faon suivante:

Avant dformation : t0

x

'x

x

Apres dformation : t =t0+dt

t

0'. txtx

00 tAvec:


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24/01/2013

27

58

Le produit scalaire entrex etx scrit: ttxtxtxtx sin.'.'.

En drivant par rapport au temps:

dt

ttxtxdtxDtx

dt

txtxd

sin.'.'.2

'.

On obtient au temps t0 :

00

000

'.

'2

txtx

txDtx

dt

tdT

: Taux de glissement dans les

directionsx etx

Si x etx sont tel que : 2010 ''et eltxeltx

1221

210 22'.

'2 DeDe

ll

leDel

dt

td

59

Les composantes du tenseur de taux de dformation sont :

dt

xd

x

D

)1(

)1(11

1

1

)1()1(

exx

dt

xd

x

D

)2(

)2(22

1

2

)2()2(

exx

Avec

Avec

dtxd

x

D

)3(

)3(331

3

)3()3(exx Avec

dt

dD 1212

2

1

dt

dD 1313

2

1

dt

dD 2323

2

1


28/48

24/01/2013

28

60

Taux de dilatation des volumes:

txVdivDtrt

dt

d

t,

1

Si est le volume transport par le mouvement dfini par le

champs de vitesse V(x,t) , alors :

Dmonstration

Soit =x(1) x(2) x(3) llment devolume transport par le mouvement :

dt

xdxxx

dt

xdxxx

dt

xd

xxxdt

dt

dt

d

)3()2()1()3(

)2()1()3()2(

)1(

)3()2()1(

,,,,,,

,,

1e

3e

2e

1

)1()1(

exx 2)2(

)2(

exx 3

)3()3(

exx

61

)3()2()1(

)3()2()1()3()2()1(

.,,

,.,,,.

xKxx

xxKxxxxKtdt

d

On obtient au temps t0 :

332211

3

321321321

3

0 .,,,.,,,.

KKKl

eKeeeeKeeeeKltdt

d

txVdivDtrt

dt

d

t,

1

Do:

VgradKAvec


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24/01/2013

29

62

Drive particulaire dune intgrale de volumeSoit G une grandeur physique tel que :

Si le domaine D ne varie pas au cours du tempson peut crire :

D dtxgG ,

Thormes de transport

D

Si le domaine D dpend du temps. Soit D(t) est transport par lemouvement V(x,t):

D

dtxt

g

dt

dG,

D(t) D(t+dt)

63

La variation par rapport au temps de la grandeur G scrit :

dsnVgdt

g

dVdivgdt

dgdtxg

dt

d

dt

dG

tD

tDtD

..

.,

)(

)()(

)(tDd

t

g

dsnVg ..

: La variation de g(x,t) par unit de temps lintrieur du domaine D(t)

: le flux de g(x,t) sortant (ou entrant) du domaineD(t) par le surface


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24/01/2013

30

64

Dmonstration :

0

0

321

321)(

321

,.,

,.),,(,

D

L

D

E

tD

dXdXdXtXJtXg

dXdXdXtXJttXxgdxdxdxtxgG

tXJVdivtXt

J,.,

J(X,t) : Jacobien de la matrice de passage x X

En plus :

0

0

321

321

,..,

,.,

D

L

D

L

dXdXdXtXJVdivtXg

dXdXdXtXJtXdt

dg

dt

dGOn a :

)(

)( 321

)( 321

.

.,,

tD

tDtD

dVdivgdt

dg

dxdxdxVdivtxgdxdxdxtxdt

dg

dt

dG

65

Conservation da la masse :

0.)(

tD dVdivdt

d

dt

dm

)( ,tD dtxm

Si m est invariante :

Expression locale de la conservation de la masse :

0. Vdivdt

d

:Equation de continuit :

0..

VdivgradV

t

0

Vdiv

t


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24/01/2013

31

66

Contraintes

67

Forces intrieurs et forces extrieurs

En mcanique des milieux continus on distingue deux types deforces : Forces intrieurs : sont les forces de cohsion molculaire,de viscosit et de pression qui forment un torseur nul puisquelocalement le principe de laction et de la raction doit trerespect.Les forces extrieures sont elles-mmes classes en deuxtypes:

des actions distance ou volumiques ou encore forces dechamp : ce sont les forces de gravitation,lectromagntiques, etc. Elles sont exerces par le milieuextrieur sur chacune des particules. Elles forment untorseur non nul dont la rsultante par unit de volume estnote f ;des actions de contact ou surfaciques : ce sont des forcesqui traduisent laction des particules extrieures voisines dela surface sur les particules intrieures appartenant lasurface .


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32

68

-FF-F F

F-F

A B

F(A/B) = -F(B/A) La Rsultante des Forces Internes esttoujours Nulle

Forces internes Action et raction:

A B

FF 0

F

quilibre :

0

M

69

Le Vecteur ContrainteT: est la force rsultante par unit deSurface.( unit :MPa). La rsultante des forces scrit :

F F

S

FT

TF

Vecteur contrainte:

T

S

dSTF


33/48

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33

70 S dSnMTF ),(

FM

F F

M

F

Le Vecteur Contrainte dpend de la position du point M dans la

section S : T = T(M)

T(M)

Le Vecteur Contrainte nest pas toujours colinaire la normale ndpend de la position du point M dans la section S : T = T(M)

En gnrale le vecteurcontrainte est dfini par :

71

Tenseur des contraintes: Formule de Cauchy

Ce qui caractrise ltat de contrainte, cest la relation existanteentre le vecteur contrainte et la direction de normale la facette.Pour obtenir cette relation, il suffit de considrer lquilibre dundomaine matriel infiniment petit de forme ttradrique ayanttrois faces perpendiculaires aux axes x, y et z.Soit n la normale au planABC dirige vers lextrieur duttradre etdSlaire du triangleABC

z

y

x

n

n

n

n

dSndSx

1 :laire du triangle MBC iMTdSnx ,. :la force rsultante sur la surface MBC


34/48

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34

72

Le ttradre est en quilibre sous laction des forces appliquessur ses 4 facettes :

0,.,.,.,. kMTdSnjMTdSniMTdSnnMTdS zyx

En considrant les composantes dans la base (i,j,k) des vecteurs:

kjiiMT

kjijMT

kjiiMT

333231

232221

131211

,

,

,

0,,,, kMTnjMTniMTnnMT zyx

kMTnjMTniMTnnMT zyx ,,,,

On remplace

z

y

x

n

n

n

nMT

333231

232221

131211

,

On a:

73

Le vecteur contrainte scrit finalement sous la forme :

est appel tenseur des contraintesen M , ou tenseur de Cauchy

( tenseur symtrique)

nnMT ,

333231

232221

131211

o:

Reprsentation


35/48

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35

74

: Vecteur contrainte sur lafacette i en M

Contrainte normale et contrainte tangentielle

La Contrainte normale la facette i est :

xxx iiiMTi 11,.Dune faon gnrale, la Contrainte normale la facette n en M est:

nMnnMTn Tn )(,. la Contrainte tangentielle la facette n en M est:

nnMT n ,

75

Comme pour la dformation, la matrice qui reprsente varieavec le repre choisi.

Directions principales et contraintes principales:

On appelle contrainte principale toute valeur propre dutenseur des contraintes.

On appelle direction principale de contraintes toutedirection oriente par un vecteur propre du tenseur descontraintes.

Les contraintes principales sont solutions de lquation:

0det I

0

332313

232212

131211

Dfinitions:


36/48

24/01/2013

36

76

Les solutions en sont relles et trois situations peuvent survenir :

les trois valeurs propres sont gales : cest que toute directionde lespace autour de M est direction principale et les contraintessont les mmes dans toutes les directions. deux valeurs propres sont gales : il y a une troisime valeurpropre associe une direction propre. Toute directionappartenant au plan perpendiculaire cette direction propre estgalement propre. les trois valeurs propres (principales) sont diffrentes alors lestrois directions propres (principales) sont diffrentes etorthogonales entre elles du fait de la symtrie du tenseur decontraintes .

Dans la base des vecteurs propres, le tenseur de contraintes est:

IIIIII eeeIII

II

I

,,00

00

00

IIIIII

Par convention :

Linterprtation physique: selon ces trois directions, la matire estsimplement soumise effort normal, pas leffort tangentiel.

77

MN

T

M

Tenseur des Contraintes dans la base des vecteurs propres

I

II

III

X3

X2

X1

x3

x2

x1

n t

)(M

11 12 13

21 22 23

31 32 33

)(' M

nMT

NT ''

TPT' nP NPP t

N'

TPT'NPn t

PMPM t

)()('

Si P est la matrice de passage , on a: ii Xx


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24/01/2013

37

78

Invariants du tenseur de contraintes :

032

2

1

3 KKK

det

2

1

3

22

2

1

K

trtrK

trK

Les invariants du tenseur des contraintes sont les coefficients Ki

de lquation caractristique: 0det I

K1 , K2 et K3 sont indpendants du choix de la base de projectiondu tenseur de contraintes

Dans le repre principal, les composantes diagonales dedonnent les contraintes normales selon les trois directionsprincipales: ce sont lescontraintes princip ales.

79

lasticit plane :Llasticit plane concerne les corps deux dimensions ( ex:plaques minces soumises des forces extrieurs dans leur plan)On conoit que les contraintes et les dformations en M sontindpendantes de zDans le plan (x,y) considrons un prisme droit infinitsimale ABC:

ye

n

xe

x

nMT ,

y

xeMT ,

yeMT ,

yxxy

sin

cosn

A B

C

t


38/48

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38

80

xxyyyyy eeeMTeMT ,,

Le facettes Sx et Sy respectivement perpendiculaires laxe x etlaxe y sont infiniment petites, et on a:

sinsin

coscos

SBCABS

SBCACS

y

x

S : facettes BC orient par la normale n

Lquilibre du triangle ABC se traduit par:

0,,, yyxx eMTSeMTSnMTS

0 xxyyyyyxyxxxnn eeSeeStnS

:Thorme des actionsrciproques yxyxxxx eeeMTeMT ,,

0sincos xxyyyyxyxxnn eeeetn

81

yx

yx

eet

een

cossin

sincos

En remplaant:

0sincoscossin

0sincossincos

yxynn

xyxnn

On obtient:

Pour dterminer la composante normalen et tangentieln de la

contrainte T(M,n) , on peut rsoudre le systme (1), la solution est:

(1)

2cos2sin2

2sin2cos22

xy

yx

n

xy

yxyx

n

(2)


39/48

24/01/2013

39

82

En effet:

sin0sincoscossin

cos0sincossincos

yxynn

xyxnn

Faisons la somme:

2sin2cos22

xy

yxyx

n

0cossin2sincossincos 2222 xyyxn cossin2sincos 22 xyyxn

2

2cos1sinet

2

2cos1cos

22

Et remplaons:

On obtient:

2cos2sin2

xy

yx

n

Un raisonnement semblable donne:

83

Une contrainte est dite principale lorsque sa direction est normaleau plan de la facette:

0et, nn nnMT

44

2tan1

2tan2sin

42tan112cos

22

2

1

2

1

2

1

2

22

2

1

21

2

xyyx

xy

xyyx

yx

On a aussi:

Cet direction est dtermin par langle1 , en effet:

0nyx

xy

22tan

1

Calcul des contraintes principales :


40/48

24/01/2013

40

84

On remplace dans (2) pour obtenir les contraintes principales

22

22

42

1

2

42

1

2

xyyx

yx

X

xyyx

yx

X

2

22

22

xy

yxyx

X

Cest l quation dun cercle

85

Reprsentation des contraintes: Cercles Mohr

xMP yM Q2

yxMO

2Q

yxOPO

xyPS


41/48

24/01/2013

41

86

On remarque :

12tan

2

2

tan

yx

xy

yx

xySOP

2222

4

2

1

2

xyyxxy

yxR

Le cercle de Mohr de centre O est de rayon:

Donc:1

2SOP

Yxyyx

yx

Xxyyx

yx

RMOMB

RMOMA

22

22

42

1

2

42

1

2

On remarque aussi:

87

Application :

Connaissant les contraintes principalesx ety , dterminer pourune facette oriente par n , les contraintesn etn , on donne:

nX,En utilisant la relation (2), (XY =0) on a:

2sin2

2cos22

YXn

YXYXn

La contrainte tangentielle est maximale lorsque :

2

YXMaxn

412sin


42/48

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42

88

Cercle de Mohr

XMA YMB 2

YXMO

89

Lois de comportement


43/48

24/01/2013

43

90

T

n

V

S

Loi Fondamentale de la Dynamiqueon considre un milieu dformable dans le repre orthonorm :

321 ,,, eeeOR

1e

3e

2e

Ecrivons le bilan des forces:

Forces de contacte extrieuresappliques la surface S:

dsnfs

s . dsndsnMTdf s .., (Sur un lment de surface dS)

(Sur toute la surface S)

Forces distance extrieures: forces volumiques

dVfdF .v (Sur un lment de volume dV)

V

dVfF .v (Sur tous le volume V)

91

Exemple de force volumique : force de pesanteur

gf v

VsV

dVdsndVf .v MF

La force de pesanteur applique un volume V est:

: densit volumique des forces de pesanteur

gMdVgdVgdVfPVVV

vEcrivons le PFD:

Vs

dVdivdsn .On aussi : :Thorme de la divergence

VVV

dVdVdivdVf v

vfdiv


44/48

24/01/2013

44

92

Si la seule force volumique est la force de pesanteur on a:

gdiv

333231

232221

131211

o:

3

33

2

32

1

31

3

23

2

22

1

21

3

13

2

12

1

11

xxx

xxx

xxx

div

93

lasticit linaire - Loi de Hooke

A ltat naturelle dans laquelle le solide dformable nest soumis aucune charge, on admet que les contraintes et les dformationssont nullesPour les matriaux, on admet aussi que les contraintes sontproportionnelles aux dformations condition de rester dans ledomaine lastique.

Observation :Allongement dans ladirection xContraction dans ladirection y

Dformations dues a une contrainte normalexOn considre une plaque rectangulaire homogne de faiblepaisseur soumise une extension selon une direction principalede contrainte


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24/01/2013

45

94

on note:

xy

xx E

.

Avec:x : Contrainte normale principale (en MPa)x : Allongement relatif suivant x (sans unit)E : Module dYoung (en MPa)y : Contraction suivant y (ou raccourcissement sans unit) : Coefficient de Poisson , 5,01,0

Acier Allum. Bois Bton Verre Carbone

E(GPa) 210 73 1525 30 73 190 400

0.3 0.3 0.2 0.4 0.3 0.3 0.20.3

Le module dYoung et le coefficient de poisson sont desconstantes qui dpendent du matriau, quelques valeurs sontdonnes sur le tableaux suivant pour les matriaux courants :

95

Dformations dues deux contraintex ety suivant deuxdirections perpendiculaires:

Si la plaque tudie est soumise la fois une extension selonlaxe x et une compression selon laxe y (voir figure)


46/48

24/01/2013

46

96

Principe de superposition:

E

xx

1

Dformations dues F1 (contraintex ):

Dformation suivant x:

E

xxy

.. 11 Dformation suivant y:

E

y

y

2

Dformations dues F2 (contraintey):

Dformation suivant y:

E

y

yx

.. 22 Dformation suivant x:

EE

yxxxx

21

Appliquons le principe de superposition, la dformation totale due F1 et F2 (contraintey +y) est:

Dformation suivant x:

Dformation suivant y:EE

yxyyy

21

97

Dans une plaque mince la loi de comportement contrainte-dformation ( loi de Hooke), scrit:

EE

EE

yxy

yxx

xyy

yxx

E

E

2

2

1

1


47/48

24/01/2013

47

98

Les quations de Lam: loi de Hooke gnralise Matriau isotrope Un matriau isotrope est un matriau pour lequel la

rponse matrielle est indpendante de la direction. On peut considrer, de faon totalement quivalente,

lisotropie comme lasymtr ie to tal e: un matriau isotropeest un matriau pour lequel toute direction est desymtrie matrielle. Ou encore: il ny a pas de directionsprivilgies. Donc, toute direction est mcaniquementquivalente.

Lam a spcifi la loi de Hooke pour les matriaux

lastiques linaires isotropes:

.tr2 I

et : sont les constantes de Lam, qui dcrivent compltementle comportement lastique dun milieu isotrope.

ij=2 ij + tr()ij

99

12

13

23

33

22

11

12

13

23

33

22

11

2

2

2

00000

00000

00000

0002

0002

0002

Sous forme matricielle :

.)(2

,32

,)1(2

,)2)(11(

E

E

E

Les constantes et peuvent tre remplaces par dautresconstante plus significative:

Eest le module dYoung et le coefficient de poisson.


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100

.tr211

I

E

.tr1

1

I

E

AvecEet les quations de Lame deviennent :

Les quations de Lam inverses sobtiennent facilement

En librairie A. E. H. Love:A treatise on the mathematical theory of elasticity.

Dover, 1927. (La Bible de la thorie llasticit).

C. A. Truesdell:A first course in rational continuum mechanics.

Academic Press, 1977 (2 tomes). Edition franaise: Introduction la

mcanique rationnelle des milieux continus.

M. E. Gurtin:An introduction to continuum mechanics. Academic

Press, 1981.

J. E. Marsden, T. J. R. Hughes: Mathematical foundations of

elasticity. Dover, 1983.

G. Duvaut, Mcanique des milieux continus. Dunod, 1990.

P. Germain, P. Mller: Introduction la mcanique des milieux

continus. Masson, 1993.

J. Coirier: Mcanique des milieux continus. Dunod, 1997.

Documents

Microsoft Powerpoint - Mecanique Des Milieux Continus