Mathématiques SN Les IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Réalisé par : Sébastien Lachance

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Les Les IDENTITÉSIDENTITÉS

TRIGONOMÉTRIQUESTRIGONOMÉTRIQUES

Réalisé par :Réalisé par : Sébastien Lachance Sébastien Lachance

3 3 nouveaux nouveaux rapportsrapports trigonométriquestrigonométriques

Mathématiques Mathématiques SNSN- Les identités - Les identités TRIGONOMÉTRIQUES TRIGONOMÉTRIQUES --

sinsin

11==coseccosec COSÉCANTE :COSÉCANTE :

SÉCANTE :SÉCANTE :

COTANGENTE :COTANGENTE :

coscos

11==secsec

tantan

11==cotancotan

Les 3 Les 3 identitésidentités

trigonométriquestrigonométriques

11-1-1

P(P() = ( , )) = ( , )xx yy

cos cos sin sin

Par Pythagore :Par Pythagore :

xx22 + + yy22 = 1 = 122

Donc :Donc :

coscos22 + + sinsin22 = 1 = 1

IDENTITÉ IDENTITÉ ## 11

À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :

coscos22 coscos22 coscos22

1 + tan1 + tan22 = sec = sec22

RAPPELRAPPELRAPPELRAPPEL

coscos

11== sec sec

sin sin

11== cosec cosec

tan tan

11== cot cot

À partir de l’identité #1 :À partir de l’identité #1 :

sinsin22 sinsin22 sinsin22

cotcot22 + 1 = cosec + 1 = cosec22

Ex. #1 :Ex. #1 : DémontrerDémontrersecsec22

coseccosec22

11== 11

coscos22

sinsin22

++ == 11coscos22 sinsin22

== 1111

Ce symbole signifie que la Ce symbole signifie que la démonstration est terminée !démonstration est terminée !Ce symbole signifie que la Ce symbole signifie que la démonstration est terminée !démonstration est terminée !

On peut aussi écrire On peut aussi écrire CQFDCQFD ((cce e qqu’il u’il ffallait allait ddémontrer).émontrer).On peut aussi écrire On peut aussi écrire CQFDCQFD ((cce e qqu’il u’il ffallait allait ddémontrer).émontrer).

Ex. #2 :Ex. #2 : DémontrerDémontrer cos x cos x tan x = sin x tan x = sin x

== sin xsin xcos x cos x

cos xcos x

sin xsin x

== sin xsin xsin xsin x

Ex. #3 :Ex. #3 : SimplifierSimplifier (1 + tan(1 + tan22x) cosx) cos22xx

(sec(sec22x) cosx) cos22xx

coscos22xx

11 coscos22xx

Ex. #4 :Ex. #4 : DémontrerDémontrer tantan22x – tanx – tan22x sinx sin22x = sinx = sin22xx

tantan22x (1 – sinx (1 – sin22x) = sinx) = sin22xx

tantan22x (cosx (cos22x) = sinx) = sin22xx

(cos(cos22x) = sinx) = sin22xx

coscos22xx

sinsin22 x x

sinsin22x = sinx = sin22xx

Ex. #5 :Ex. #5 : DémontrerDémontrer – – sin x = cot x cos xsin x = cot x cos x

sin xsin x

– – sinsin22x = cot x cos xx = cot x cos x

sin xsin x

1 – sin1 – sin22x = cot x cos xx = cot x cos x

sin xsin x

coscos22x = cot x cos xx = cot x cos x

sin xsin x

coscos x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x

sin xsin x

cotcot x cos x = cot x cos xx cos x = cot x cos x

Résolutions d’équationsRésolutions d’équations à l’aide d’identités à l’aide d’identités trigonométriquestrigonométriques

Exemple : Exemple : Résoudre sin x = 2 cosRésoudre sin x = 2 cos22x – 3x – 3

sin x = 2 (1 – sinsin x = 2 (1 – sin22 x) – 3 x) – 3

sin x = 2 – 2 sinsin x = 2 – 2 sin22 x – 3 x – 3

sin x = 2 sinsin x = 2 sin22 x – 1 x – 1

0 = 2 sin0 = 2 sin22 x + sin x – 1 x + sin x – 1

0 = 2 sin0 = 2 sin22 x + sin x – 1 x + sin x – 1 Posons sin x = Posons sin x = aa . .

Il faut donc résoudre :Il faut donc résoudre :

0 = 20 = 2aa22 + + aa – 1 – 1

aa11 = =

etet aa22 = -1 = -1

sin xsin x11 = = 11

etet sin xsin x22 = -1 = -1

11-1-1

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

0 = 20 = 2aa22 + + aa – 1 – 1

aa11 = =

etet aa22 = -1 = -1

sin xsin x11 = = 11

xx11 = = 5533

xx11 = = etet

11-1-1

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2211--

--P( ) = ( , )P( ) = ( , )

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

11-- --

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

2222--

P( ) = ( , )P( ) = ( , )

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , 1 )P( ) = ( 0 , 1 )

P( ) = ( - 1 , 0 )P( ) = ( - 1 , 0 )

P( ) = ( 0 , - 1 )P( ) = ( 0 , - 1 )

P( ) = ( 1 , 0 )P( ) = ( 1 , 0 )22

0 = 20 = 2aa22 + + aa – 1 – 1

aa11 = =

etet aa22 = -1 = -1

sin xsin x11 = = 11

xx22 = = etet

P = P = 22| | bb | |

22| 1 || 1 |

PériodePériode

= 2= 233

xx11 = = 5533

xx11 = = etet

Réponse :Réponse :

x x + 2 + 2n , + 2n , + 2n , n , + + 22n n où n où n 33

Autres Autres identités identités trigonométriquestrigonométriques

sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))

Somme de Somme de uu et et vv

cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))

tan (tan (uu + + vv) = tan() = tan(uu) + tan() + tan(vv))

1 – tan(1 – tan(uu) tan() tan(vv))

sin (sin (uu + + vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(vv) cos() cos(uu))

Somme de Somme de uu et et vv

cos (cos (uu + + vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(uu) sin() sin(vv))

Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément sin ( = , calculer précisément sin (uu + + vv) .) .44

sin ( + ) = sin ( + ) = 44

sin ( )sin ( )44

cos ( )cos ( )33

++ sin ( )sin ( )33

cos ( )cos ( )44

sin ( ) = sin ( ) = 771212

( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( ) 22

sin ( ) = sin ( ) = 771212

( )( ) ++ ( )( ) 22

sin ( ) = sin ( ) = 771212

+ 2 + 2

tan (tan (uu + + vv) = tan() = tan(uu) + tan() + tan(vv))

1 – tan(1 – tan(uu) tan() tan(vv))

sin (sin (uu – – vv) = sin() = sin(uu) cos() cos(vv) – sin() – sin(vv) cos() cos(uu))

Différence entre Différence entre uu et et vv

cos (cos (uu – – vv) = cos() = cos(uu) cos() cos(vv) + sin() + sin(uu) sin() sin(vv))

Ex. :Ex. : Soit Soit uu = et = et vv = , calculer précisément cos ( = , calculer précisément cos (uu – – vv) .) .3344

cos ( – ) = cos ( – ) = 3344

cos ( )cos ( )3344

cos ( )cos ( )2233

++ sin ( )sin ( )3344

sin ( )sin ( )2233

cos ( ) = cos ( ) = 1212

( )( ) ( )( ) ++ ( )( ) ( )( )- 2- 2

- 1- 1

cos ( ) = cos ( ) = 1212

( )( ) ++ ( )( ) 22

+ 6 + 6

cos ( ) = cos ( ) = 1212

tan (tan (uu – – vv) = tan() = tan(uu) – tan() – tan(vv))

1 + tan(1 + tan(uu) tan() tan(vv))

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