Poutre Efforts intérieurs Contrainte Déformation Traction Torsion Flexion Essais des matériaux Concentration de contrainte

Résistance des matériaux

Résistance des matériaux

A B

(S)

( G

Solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité G décrit une portion de courbe () orientée de A vers B. (S) reste toujours orthogonale à (G).

• A est l’origine de la poutre, B son extrémité ;• () s’appelle la ligne moyenne ;• (S) est la section droite de la poutre en G ;

Poutre

Liaisons

Type de liaison Schéma Torseur statiqueConditions

cinématiques

Encastrement

Liaison pivot ou articulation

Liaison glissière

Liaison ponctuelle

AzN

yYxX

sA

sAsA

Ax

y

Ax

y

xA

y

A x

y

0)A(dx

dy

0)A(y)A(x

A0

yYxX sAsA

0)A(y)A(x

AzN

yY

sA

sA

0)A(dxdy

0)A(y

A0

yY sA

0)A(y

Résistance des matériaux

Etude statique préliminaire

Torseur des efforts intérieurs

(P)

s

G(E1)

(S)

sy

sz

sx

R

)G(Mt

s3s2s1/2Gt

s3s2s1/21E2E1E2Eint

zMfyMfxtMM

zTyTxNR

G

extFext F F F

A B

(S)

(P)

E1

E2

G

n

Mise en place d’une section droite, paramétrage de sa position, définition des tronçons (E1) et (E2)

)z,y,x,G(flexion de moment M

flexion de moment M

torsion de moment M

tranchant effort T

tranchant effort T

normal effort N

MiR

G

F

3f

2f

t

3

2)G(i

1E2E

Elle est destinée à déterminer les actions extérieures agissant sur la poutre étudiée :• modèle isostatique : efforts de liaison déterminés ;

• modèle hyperstatique de degré h : tous les efforts de liaison s’expriment en fonction de h d’entre eux.

Equations de continuité

0)s(fds

)s(Rd

0)s(Rxds

)s(Mds

Traction

Torsion

Flexion simple suivant z

Flexion simple suivant y

s

GAB

(S0) (S1)

sx

sy

)s(f

sz

Résistance des matériaux

Contraintes

(P)

sG

(E1)

(S)M

dS

)M(

)M(

)x,M(C s

sx

sz

sy

0dS avec

dSdF

lim)x,M(C1/2

s

SdSss3s2sG

t

dSss3s2s

1E/2E

)x,M(CGMzfMyfMxtMM

s)x,M(CzTyTxNR

G

F

Relation contraintes – efforts intérieurs

Champ des contraintes

xy

y

x

z

xzyz

yx

zyzx

M

sx

sz

sy

On montre qu’il y a réciprocité des contraintes tangentielles :xy = yx yz = zy zx = xz

Résistance des matériaux

Déformations, lois de Hooke

x

x

xdx

y

-x dx

A’

B

dx

-x

Avant déformationAprès déformation

B’

AEx

x

Relations entre contrainte normale et allongements relatifs :

Ex

xzy

Relations entre contrainte tangentielle et distorsion

x

y

H H’B B’

MA

xy

yx

Avantdéformation

Aprèsdéformation

-xy

-yx

xyxy G

E : module d’Young (MPa) Elasticité longitudinale : coefficient de Poisson (0,3 pour les métaux usuels)

G : module de Coulomb (MPa) Elasticité transversale

Relation entre E et G )1(2E

G

Hypothèse de Bernoulli : toute section plane et perpendiculaire à la ligne moyenne avant déformation, reste plane et perpendiculaire à la ligne moyenne après l'application des charges.

Hypothèses de la RdM

Hypothèse de Barré de Saint Venant : dans les zones éloignées des points d'applications des charges, les contraintes et les déformations sont indépendantes de leur mode d’application.

Hypothèse sur le matériau : le matériau constituant la poutre est supposé continu, homogène et isotrope.

Hypothèse sur les déformations : les déformations sont supposées petites (déplacements des points petits devant les dimensions de la poutre et de la section). Les déplacements d’une section droite peuvent être représentés par un torseur des petits déplacements.

Résistance des matériaux

Sollicitation de traction

L

O

G

B

R

(S)

p0

A

BA

x

sx

sy

szz

y

F

F

Illustrations

teC)x,M(C

Définition

0M

xNR

G

FF1/2G

t

s1/21E/2Eint

Hypothèse

ssxs x

SN

x)x,M(CExpression de la contrainte

ESN

Edxdu x

x

Allongement relatif

Cas particulier : poutre droite soumise à deux forces opposées, de section constante

L BA x

F

F

ESL

FdxESF

)A(u)B(uduLL

0

B

A

A B

(S)

(P)

E1

E2

G

sxn

N

MI

(S) )x,M(C

sx

sy

Résistance des matériaux

Sollicitation de torsion Illustration

Définition

Hypothèse

Expression de la déformation

Poutre droite, de section constante, sollicitée en torsion par deux couples opposés

s1/2Gt

1/21E/2Eint

xtMM

0R

G

FF

z

dxd

Gz)x,M(C zx

A B

(S)

(P)

E1

E2

G

sxn

tM

L Ød

BA

CC

G0 (S0)

(S)

MG

M0 z

x

y

M

G

)x,M(C

z

y

z

IM

zdxd

Gz)x,M(CG

tzx

Répartition de contrainte

Gt

L

0 G

tB

A GIL

MdxGIM

)A()B(d

L BA x

C

C

Cas particulier

Résistance des matériaux

Sollicitation de Flexion simple

Définition

Hypothèse

Expression de la déformation

Répartition de contrainte

Cas particulier

AB

(S)

(P)

E1E2

G

T

fM

sxn

sz

sy

'R1

R1

yx

ssxs x

'R1

R1

Eyx)x,M(C

MI

(S) y

)x,M(C

sx

sy

s

Gz

zssxs xy

IfM

x'R

1R1

Eyx)x,M(CGz

z

EIfM

'R1

R1

64D

4R

I44

Gz

Moment quadratique Section circulaire ØD:

Section rectangulaire b x h :12bh

I3

Gz

L

B(S)

G

Ay = f()

x

y

Déformée en flexion d’une poutre initialement droite :

Gz

z

EIfM

)(''f

sz1/2Gt

sy1/21E/2Eint

zfMM

yTR

G

FF

Deux constantes d’intégration, déterminées par les conditions de liaison.

Résistance des matériaux

Essai de traction

Contrainte normale (N/mm²)

Allongement relatif

Rm

Rr

Re

A

BC

D

ERupture

permanent

H

K

S0

L

F

F

• Re : limite élastique• Rr : limite de rupture• Rm : Limite mécanique

²)mm( entaille'l de droit au Section)J( absorbée Energie

K Carré 10 x 10

Entaille 5 x 2

Essai de résilience (résistance aux chocs)

Essais de dureté

Ød

Essai Brinell

Matériaux de faible dureté

Essai Vickers

Matériaux de dureté moyenne

F

a1 x a2

F

Matériaux de grande dureté

Essai Rockwell

0F

F

0F

Enfoncement e

• de la nature et des dimensions de la discontinuité (rainure, gorge, épaulement…)• de la sollicitation (traction, torsion, flexion).

Résistance des matériaux

Concentration de contrainte

Lorsqu’une poutre possède une discontinuité (de géométrie ou de matériau) , il se produit un phénomène de «concentration de contrainte». Au voisinage de la discontinuité, la contrainte maximale est supérieure à la contrainte nominale calculée avec les outils de la RdM.

Définition

La contrainte maxi est déterminée en multipliant la contrainte nominale calculée par la RdM par un coefficient Kt qui dépend :

Calcul de la contrainte maxi «réelle»

nominaletimax K

Les valeurs de Kt,déterminées expérimentalement, sont extraites de tableaux ou abaques.

C’est tout pour aujourd’hui…