Chapitre 2 : Cinmatique du point

Chapitre 2 : Cinmatique du pointI Espace, temps

A) Espace

1) Rfrentiel despace R.

Cest un solide de rfrence, par rapport auquel on tudie le mouvement. Repre despace: cest la donne dune origine O et de trois axes Ox, Oy, Oz fixes dans le rfrentiel de rfrence.

2) Base de projection

Ce sont trois vecteurs linairement indpendants sur lesquels on projette les vecteurs.

Ces vecteurs ne sont pas forcment fixes par rapport au solide de rfrence.B) Temps

1) Rfrentiel de temps

On prend une horloge

2) Repre de temps

Cest la donne dune origine du temps et dune base de temps.

3) Postulat de la mcanique classique

Le rfrentiel de temps est indpendant du rfrentiel despace.

C) Drivation dun vecteur par rapport au temps

La drivation vectorielle na de sens quen prcisant le rfrentiel.

En gnral,

II Vitesse et acclration

A) Dfinition

On considre un rfrentiel R, un point O fixe dans R et M un mobile.On pose alors , .B) Composantes sur une base cartsienne fixe

C) Composantes sur la base cylindrique

D) Composantes sur la base de Frenet

1) Base de Frenet

Elle est utile lorsque le point se dplace sur une courbe dquation connue.

Plan osculateur

: plan passant par les trois points M, M, M.Lorsque , tend vers un plan, appel plan osculateur la courbe en M; cest le plan le mieux tangent la courbe.

Cercle osculateur: cest le cercle exinscrit au triangle lorsque .Le rayon de ce cercle sappelle le rayon de courbure. Vecteur unitaire tangent :

: sens positif, unitaire (s: abscisse curviligne) Vecteur unitaire normal :

, o R est un scalaire tel que .

est normal : , donc .

appartient au plan osculateur, est le rayon de courbure.

On peut prendre deux conventions pour le sens de :

Soit : (dans la concavit de la courbe)

Soit , et reste toujours du mme ct de la courbe. Vecteur unitaire binormal:

2) Vitesse

, soit ; v: vitesse curviligne (algbrique)3) Acclration

Lacclration tangentielle peut tre soit dans le sens positif soit ngatif, mais lacclration normale est toujours dirige dans la concavit de la courbe.

III Mouvements acclration centrale

A) Dfinition

On considre un point O fixe dans R.

Un mouvement acclration centrale est un mouvement pour lequel est colinaire , c'est--dire pour lequel .B) Nature du mouvement

1) Moment cintique constant

Moment cintique: (cest le moment du pointeur en O)

Donc

2) Mouvement plan

On a . Donc et sont orthogonaux

3) Loi des aires

On a aire du paralllogrammeEt : volume du paralllpipde.

Ici:

On a ainsi

On dfinit la vitesse arolaire:

Ainsi,

En coordonnes cylindriques:

On a , soit

C) Mouvements sinusodaux composs

On a donc une acclration centrale1) Changement dorigine des temps

On pose

Ainsi, .

On a alors

2) Trajectoire

On a

Donc , qui est lquation dune ellipse

Si , lquation devient

Pour , . Pour , .

3) Mouvement

Il se fait selon la loi des aires

Sens de parcours:-

Si , ; si ,

- x est maximal quand

Alors , donc a le signe de .Chapitre 2 : Cinmatique du pointMcanique

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Ay

-Ay

Ax

-Ax

0

=

j

2

p

p

2

3

p

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O

M

dS

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O

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+

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O

M

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M

M

p

M

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