Nombres complexes et géométrie euclidienne

Exercice N 1.Démontrer géométriquement les formules d’addition.

Exercice N 2.Enoncer et démontrer la formule de Moivre.

Exercice N 3.Enoncer et démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

Exercice N 4.On considère la bijection f qui à un point M du plan associe sont affixe z ∈ C.Quelle est alors l’image par l’exponentielle d’une droite verticale d’équation x = a puis d’une droitehorizontale d’équation y = b ?

Exercice N 5.a) Montrer que la somme S des racines nieme de l’unité est nulle.b) Calculer la somme Sp des puissances pieme de ces racines, p ∈ Z.

Exercice N 6.Soit le triangle BOA dont les sommets A et B ont pour affixe u et v.a) Calculer l’affixe ω du centre du cercle circonscrit.b) Montrer que le rayon R du cercle circonscrit est R =

abc

4S.

a, b, c désignant les longueurs des côtés du triangle BOA et S son aire.c) Démontrer que R =

abc

4Sen utilisant la loi des sinus.

Exercice N 7.L’espace E est muni d’un repère orthonormé direct R. Soient la droite D définie par

{x− z = 3y − z = 4

et D′ définie par {3x = −2yz = 9

Déterminer des équations cartésiennes des plans P et P ′ tels que :

D ⊂ P,D′ ⊂ P ′, P ‖ P ′.

Exercice N 8.Soit α = ei 2π

7 , on pose A = α + α2 + α4 et B = α3 + α5 + α6. Calculer A et B.

Exercice N 9.Soit M un point du demi-cercle (C) de diamètre [AB] ; on note r le rayon de ce cercle.Un solide Σ est formé de deux cubes de bases horizontales MACD et MBEF respectivementet d’un prisme triangulaire droit de base horizontale MAB de hauteur la moyenne arithmétiquedes arêtes des cubes adjacents (voir la figure ci-dessous).

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1) Exprimer le volume V de Σ en fonction de a = MA et b = MB.2) On pose s = a + b et p = ab.a) Démontrer que 2r ≤ s ≤ 2r

√2 puis montrer que lorsque M décrit (C),

s prend toutes les valeurs de [2r; 2r√

2].b) Exprimer V en fonction de s.3) Déterminer les points M de (C) pour lesquels le volume de Σ est maximum.

Exercice N 10.ABCD est un tétraèdre tel que (DB) ⊥ (DC) et D se projette sur le plan ABC en H,orthocentre du triangle ABC.Démontrer l’inégalité suivante : (AB + BC + CA)2 ≤ 6(DA2 + DB2 + DC2).

Exercice N 11.Soit z ∈ C. Prouver que z2 ∈ R− ⇐⇒ Re(z) = 0.

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