3- Résolution d’équations trigonométriques · 32 . Les rappels de cours 2- Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes 2-1. Racines carrées d’un

Bases mathématiques pour le technicien . 25

x�� x

A

j

i O 1

1

1�

1�

+

3- Résolution d’équations trigonométriques 3-1. Équation sinx = a Soit a un réel donné. L’équation ax �sin possède : � aucune solution si ]1;1[��a ;

� une infinité de solution si ]1;1[��a .

aArcx sin� désigne l’unique solution comprise dans l’intervalle ��

��

2;

2��

.

L’ensemble des solutions sur IR est :

�kaArcx 2sin � , k � � ou

�� kaArcx 2sin �� , k � �.

3-2. Équation cosx = a Soit a un réel donné. L’équation ax �cos possède : � aucune solution si ]1;1[��a ;

� une infinité de solution si ]1;1[��a .

aArcx cos� désigne l’unique solution comprise dans l’intervalle � ��;0 . L’ensemble des solutions sur IR est :

�kaArcx 2cos � , k � � ou

�kaArcx 2cos �� , k � �.

x�

x

A

j

i O 1

1

1�

1�

+

Joe

Math_DUT

32 . Les rappels de cours

2- Résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes

2-1. Racines carrées d’un nombre complexe Soit Z un nombre complexe. On appelle racines carrées de Z tous les nombres

complexes z tels que Zz �2 . � Remarque

L’écriture avec le symbole n’est autorisée que pour la racine carrée positive d’un nombre réel positif. � Exemple Le complexe iz 32 � est l’une des racines carrées du complexe iZ 125 �� .

2-2. Équation du second degré à coefficients complexes L’équation du second degré 02 � cbzaz où a , b et c sont des nombres complexes donnés admet toujours deux solutions (éventuellement confondues) dans � :

abz21

�� et

abz22

� ��

où � est une racine carrée (quelconque) du discriminant acb 42 �� . On a donc :

��2� � Remarque Ces résultats généralisent les formules relatives à la résolution des équations du second degré à coefficients réels. Elles s’appliquent donc dans tous les cas, que le discriminant � soit réel positif, nul, réel négatif ou encore complexe.

2-3. Méthode de détermination des racines carrées d’un nombre complexe

Soit un nombre complexe ibaZ � , 0�b . On souhaite déterminer tous les

nombres complexes iyxz � tels que Zz �2 .

Zz �2 s’écrit :

ibaxyiyxibaiyx � �� 2)( 222

Zz �2 et 22 zz � , on obtient l’égalité suivante :

2222 baibayx � �

Joe

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3- Équations cartésiennes dans le plan 3-1. Caractérisation d’une droite dans le plan Soit d une droite, A un point de d et n un vecteur normal à la droite d .

La droite d est l’ensemble des points M du plan tels que : 0��nAM . On a l’équivalence suivante :

0�� nAMdM

La droite d est l’ensemble des points M du plan tels que les vecteurs n et AM soient orthogonaux.

3-2. Détermination de l’équation d’une droite dans le plan

Soit ban un vecteur du plan �. On rappelle les propriétés suivantes :

(1) Si le vecteur ban est normal à une droite d , alors d a une équation de la

forme : 0� cbyax où c est un réel.

(2) Réciproquement, toute droite d ayant une équation de la forme :

0� cbyax , avec )0;0();( �ba , admet le vecteur ban comme vecteur normal.

� Démonstration (1) Soit );( AA yxA un point de d et );( yxM un point du plan �, alors :

0)(0)()(0 � � �� AAAA byaxbyaxyybxxanAMdM On obtient ainsi une équation du type :

0� cbyax en posant )( AA byaxc �� .

AM

d

Mn

u

A

Mathématiques 1 . 45

2-3.2 Notation différentielle de la dérivée Pour simplifier la notation, la différentielle de la fonction f au point d’abscisse x

est notée : hxfhdf �)(': �

Si on considère la fonction identité : xx� , sa différentielle est hhdx �: On obtient donc une relation entre les deux différentielles df et dx :

dxxfdf �� )(' , soit encore : dxdfxf �)('

Les différentes grandeurs étudiées sont reportées sur le graphique ci-dessous. On rappelle que le coefficient directeur de la tangente T à la courbe fC au point

d’abscisse a est égal à )(' af .

T

h

)()()( , fafhaf ha��

)()(' hdfahf a�

)(hh�

fC

ha

)(')( ahfaf

)( haf

)(af

M

A

j

i O a

Joe

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6- Fonctions Arcsinus, Arccosinus et Arctangente

6-1. Fonction Arcsinus

La fonction sinus est continue et strictement monotone sur ��

��

2;

2��

. Elle est

bijective de ��

��

2;

2��

vers � �1;1� . La fonction réciproque, Arcsinus, est une

bijection de � �1;1� vers ��

��

2;

2��

:

]1;1[��x , xxArc �)sinsin( et ��

��

2;

2��x , � � xxArc �sinsin

En utilisant le théorème de dérivation :

� � � � 211

sincos1'

sinxxArc

xArc�

��

En effet : 1)sin(sin)sin(cos 22 � xArcxArc avec 22 )sin(sin xxArc �

D’où 22 1)sin(cos xxArc �� et 21)sincos( xxArc ��


8-3. Tableau des dérivées u représente une fonction composée. Par exemple, � �1ln)( 2 � xxu .

)(xf )(' xf u 'u

nx 1�nnx nu 1' �� nuun

nx1

1 � nxn

nu1

1'

�� nu

un

x x21

u uu

2'

xln x1

uln uu'

xe xe ue ueu �'

xsin xcos usin uu cos'�

xcos xsin� ucos uu sin'��

xtan x

x 22

cos1tan1 � utan

uuuu 2

2

cos')tan1(' �

xArc sin 211x�

uArc sin 21'uu�

xArc cos 211x�

� uArc cos 21'uu�

�

xArc tan 211x

uArc tan 21'uu

shx chx shu chuu �'

chx shx chu shuu �'

thx xch

xth 22 11 �� thu

uchuuthu 2

2 ')1(' ��


5- Primitives usuelles u représente une fonction composée. Par exemple, � �1ln)( 2 � xxu .

f Une primitive F u Une primitive U

nx 1

11

nx

n nuu �'

1

11

nu

n

nx1

11

11

�� nxn

nuu'

11

11

�� nun

x1

xln uu'

uln

x1

x2 uu'

u2

xe xe ueu �' ue

xsin xcos� uu cos'� usin

xcos xsin uu sin'�� ucos

x

x

2

2

cos1tan1 �

xtan

uu

uu

2

2

cos'

)tan1(' � utan

211x�

xArcsin 21'uu�

uArcsin

211x�

� xArccos 21'uu�

� uArccos

211x

xArc tan 21'uu

uArc tan

chx shx chuu �' shu

shx chx shuu �' chu

xch

xth

2

2

11 ��

thx

uchu

uthu

2

2

')1(' ��

thu


A – Équations différentielles 1- Définitions 1-1. Équation différentielle On appelle équation différentielle, une équation où interviennent une fonction et une ou plusieurs de ses dérivées successives.

0)'',',,( �yyyxf ou 0,,, 2

2

��

��

�dxyd

dxdyyxf

� Résolution d’une équation différentielle Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I , c’est déterminer l’ensemble des fonctions dérivables sur I qui vérifient cette équation. La résolution d’équations différentielles est un outil indispensable pour l’étude de l’évolution des phénomènes physiques en général. En effet, les équations traduisant les évolutions physiques sont très souvent des équations différentielles. � Exemple En physique, dans un circuit RC , la tension )(tu aux bornes d’un condensateur est solution de l’équation différentielle suivante :

��Euu �

1'

où E est la tension continue délivrée par le générateur et

RC�� la constante de temps du circuit. La solution )(tu est :

��

��

��

��t

eEtu 1)(

� Courbe intégrale La représentation graphique d’une des solutions d’une équation différentielle est appelée courbe intégrale.

E

R

)(tu C


1-2.2 Dérivées partielles secondes Si on dérive une fonction f par rapport à la première variable x et si on dérive à nouveau le résultat par rapport à la variable y , on obtient une nouvelle fonction

appelée dérivée partielle seconde (ou dérivée partielle d’ordre 2 ), notée xyf

2

.

Le théorème de Schwarz précise que si la fonction f admet des dérivées partielles

d’ordre 2 suivant les variables x et y alors :

yxf

xyf

�

22

� Remarque L’ordre dans lequel on dérive n’a pas d’incidence sur le résultat. Si on dérive deux

fois de suite suivant la variable x , on note cette dérivée partielle seconde : 2

2

xf

.

� Exemple

Soit f la fonction définie sur 2IR par :

3234 523),( yyxxyxf �� On obtient les dérivées partielles suivantes :

223 612),( yxxyxxf

��

et 23 154),( yyxyxyf

��

yxyxxf

yyx

xyf 2

2

12),(),( ��

��

�

et yxyx

yf

xyx

yxf 2

2

12),(),( ��

��

�

�

On vérifie bien l’égalité suivante :

),(),(22

yxyxfyx

xyf

�

On obtient les dérivées partielles suivantes :

222

2

1236),( xyxyxxf

��

et yxyxyf 304),( 32

2

��

Joe

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2-2. Orthogonalité de deux vecteurs Deux vecteurs u et v de l’espace � sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul :

0��! vuvu � Remarque Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur de l’espace.

2-3. Équation d’une sphère dans l’espace Soit � la sphère de centre );;( AAA zyxA et de rayon r .

La sphère � est l’ensemble des points M de l’espace tels que : rAM � .

M � � 222222 )()()( rzzyyxxrAMrAM AAA �� L’équation de la sphère � dans l’espace a l’expression suivante :

2222 )()()( rzzyyxx AAA ��

3- Produit vectoriel 3-1. Trièdre direct

Soit u , v et w trois vecteurs de l’espace �.

� �wvu ,, est un trièdre direct si les trois vecteurs u , v et w vérifient les deux conditions suivantes :

(1) u , v et w ne sont pas coplanaires ;

(2) Le triplet � �wvu ,, vérifie la règle des 3 doigts de la main droite :

� u dans la direction du pouce ;

� v dans la direction de l’index ;

� w dans la direction du majeur.

w

u v

v

w

u


4- Équation cartésienne d’un plan dans l’espace

4-1. Caractérisation d’un plan dans l’espace

Un vecteur normal à un plan P est un vecteur non nul n dont la direction est orthogonale au plan P . Soit A , B et C trois points non alignés de l’espace �. On a les propriétés suivantes :

(1) Le plan )(ABC admet le vecteur ACABn "� comme vecteur normal.

(2) Le plan P qui passe par A et de vecteur normal n est l’ensemble des points M tels que :

0��nAM

4-2. Détermination de l’équation d’un plan dans l’espace � Définitions (1) Tout plan P de l’espace admet une équation du type : 0� dczbyax où

l’un au moins des réels a , b et c est non nul et d est un réel quelconque. De

plus, le vecteur non nul );;( cban est normal à P . (2) Soit a , b , c et d des réels tels que l’un au moins des réels a , b et c n’est pas nul. L’ensemble des points );;( zyxM de l’espace tels que

0� dczbyax est un plan P de vecteur normal );;( cban .

MB P

A

n

C


5-5. Produit de matrices Le produit de matrices est associé à la composition des endomorphismes. On considère deux endomorphismes f et g d’un espace vectoriel E de base

� �neeeeD ;;.........;; 321� . On note A , B et C les matrices de f , g et fg �

par rapport à la base D , et ija , ijb et ijc les coefficients de ces matrices.

La matrice C est égale au produit de la matrice B avec la matrice A :

ABC #� avec :

��

�

�

��

�

�

�

nnnjnn

inijii

nj

nj

cccc

cccc

cccccccc

C

............

............

......

......

21

21

222221

111211

On obtient le coefficient ijc en posant le calcul suivant :

��

�

�

��

�

�

�

��

�

�

��

�

�

�

nnnjnn

jnjjjj

nj

nj

nnnjnn

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

bbbb

bbbb

bbbbbbbb

C

............

............

......

......

............

............

......

......

21

21

222221

111211

21

21

222221

111211

Le coefficient ijc sur la èmei ligne et la èmej colonne de C s’obtient en

additionnant les produits deux à deux des coefficients de la èmei ligne de B avec

ceux de la èmej colonne de A .

njinkjikjijiij ababababc .............. 2211 �

� Remarque La multiplication de matrices ne consiste donc pas en la multiplication des coefficients situés aux mêmes positions ( ijijij abc .� ). Une conséquence importante

est que cette multiplication n’est pas commutative : en général, le produit AB# n’est pas égal au produit BA# .


D – Ajustement linéaire 1- Présentation Pour une population statistique donnée, on étudie simultanément deux caractères statistiques différents X et Y . On fait l’hypothèse que le caractère Y dépend linéairement du caractère X . Il s’agit de déterminer les réels a et b tels que :

baXY ��

� Variable indépendante et variable dépendante L’objectif d’un ajustement linéaire est de proposer un modèle permettant de calculer la valeur de Y en fonction de X . La variable X est la variable indépendante ou explicative, et la variable Y est la variable dépendante ou à expliquer.

2- Définitions et ajustement linéaire 2-1. Nuage de points associé à une population Il s’agit d’étudier deux caractères X et Y chez les individus d’une population statistique. On dispose, pour chaque individu i� , des modalités ix et iy prises par

les caractères X et Y . On représente dans un repère cet individu i� par le point

iM de coordonnées � �ii yx ; . � Nuage de points On appelle nuage de points l’ensemble des points obtenus en représentant toute la population. � Point moyen

On appelle point moyen du nuage de points le point G de coordonnées � �YX ; où

X et Y sont les moyennes arithmétiques des séries statistiques X et Y .

2-2. Principe de l’ajustement linéaire Il s’agit de déterminer les réels a et b tels que la distance moyenne entre les points du nuage et la droite D d’équation baxy �� soit minimale.

Pour chaque point iM , d’abscisse ix , on considère la distance définie par l’écart

entre le point théorique, situé sur la droite, et le point iM du nuage de points. Cette distance se mesure algébriquement en faisant la différence entre les ordonnées de ces deux points d’abscisses identiques.

Les exercices corrigés

Joe

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� Solution Il s’agit de résoudre l’inéquation suivante :

2100101 ��

��

n

On résout cette inéquation :

27.7)10.1ln(

2ln2ln)10.1ln(2100101 ��

�� nn

n

On choisit 8�n . Le prix aura doublé au bout de la 8ème année.

� Exercice A-4 Résoudre dans IR les inéquations et équations suivantes :

(1) 35 �x ; (2) 0239 �� xx ; (3) 23 12 ��x ; (4) 01039 1 �� xx

� Solution (1) On résout cette équation :

5ln3ln3ln5ln35 �� xxx

(2) On résout cette équation en posant xX 3� :

020239 2 �� XXxx On obtient les deux racines suivantes :

11 ��X et 22 �X

L’équation 13 Xx � n’admet aucune solution.

L’équation 23 Xx � donne la solution suivante :

3ln2ln

3lnln 2 ��Xx

Finalement :

0239 �� xx pour 3ln2ln

�x .

Joe

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B – TRIGONOMÉTRIE � Exercice B-1 On souhaite déterminer la hauteur d’un bâtiment dont la base (le point C ) est inaccessible. A l’aide d’un théodolite, on mesure les deux angles verticaux � et �

ainsi que la longueur LAB � . 1. Calculer la hauteur CDh � du bâtiment en fonction des valeurs mesurées � , � et L . 2. On a mesuré les valeurs suivantes :

gon25,51�� , gon35,72�� et mAB 10� .

En déduire la hauteur du bâtiment à m110� près.

� Solution 1. On écrit les égalités suivantes :

ACh

��tan et LAC

h�

��tan

On en déduit l’équation :

��

�

�tan

tantan

tan

tanLhh

Lhh

��

��

On obtient :

��

tantantantan

��Lh

2. On obtient :

mh 096.20� , soit mh 1.20� à m110� près.

208 . Les exercices corrigés

C – NOMBRES COMPLEXES � Exercice C-1 On considère le montage représenté ci-dessous, alimenté par une tension alternative sinusoïdale de fréquence Hzf 50� et de valeur efficace VU 250� . Ce montage comporte : � deux résisteurs de résistance ��1001R et ��1502R ;

� une bobine d’inductance pure de valeur HL 24.0� ; � un condensateur de capacité FC �16� . En électricité, le nombre complexe i est noté j . On note f�� 2� la pulsation et on rappelle les expressions des impédances : � Impédance de la bobine : �jLZ � ;

� Impédance du condensateur : �� Cj

jCZ ��

1.

Déterminer l’expression complexe, puis le module et l’argument des grandeurs suivantes : 1. L’impédance de chacune des branches du montage. 2. Le courant dans chacune des branches du montage. 3. La tension aux bornes de chacun des dipôles constituant le circuit. 4. Le courant total. 5. L’impédance équivalente à l’ensemble du montage.

� Solution 1. Détermination de l’impédance de chacune des branches du montage : � Branche supérieure

�jLRZ �� 11 On obtient :

jZ 40.751001 ��

�� 24.12511 rZ et radZ 646.0)arg( 11 ��

)sin(cos 1111 �� jrZ ��

1R

2i 2R

1i

C

L

i


D – GÉOMÉTRIE DANS LE PLAN Dans toute cette partie, le plan est rapporté au repère orthonormé � � , ; jiO .

� Exercice D-1 On considère la droite d d’équation :

0543 �� yx

1. Donner les coordonnées de trois points de la droite d . 2. Donner l’ordonnée d’un vecteur directeur de la droite d d’abscisse 1.

3. Donner un vecteur normal n à la droite d .

4. Le vecteur )9;12(u est-il un vecteur directeur de la droite d ?

5. Le vecteur )12;9( �v est-il un vecteur directeur de la droite d ?

� Solution 1. On choisit les trois points suivants :

)2;1(A ; �

��

45;0B et �

��

21;1C

2. Par lecture des coefficients : �

��

43;11u est un vecteur directeur de la droite d .

3. On obtient : � �4;3 �n . 4. On a l’égalité suivante :

112uu �

Les vecteurs u et 1u sont colinéaires ; le vecteur )9;12(u est donc un vecteur

directeur de la droite d .

5. Les vecteurs v et 1u ne sont pas colinéaires ; le vecteur )12;9( �v n’est donc

pas un vecteur directeur de la droite d .

� Exercice D-2 On donne les coordonnées des points )1;3(A et )0;2(�B . On souhaite déterminer

une équation de la médiatrice, notée md , du segment ][AB .

1. Déterminer les coordonnées du point I , milieu de ][AB .

2. Déterminer un vecteur normal n à la droite md .

3. En déduire une équation cartésienne de la droite md .


� Exercice A-9 On souhaite étudier les fonctions, notées kf , solutions de l’équation différentielle suivante :

2'xeyyx

��

La fonction kf est la fonction définie sur [;0] �� par :

xk e

xkxxf 1)( �

�

où k est un nombre réel donné. On note kC la courbe représentative de la fonction kf dans un repère orthonormé

� � , ; jiO . 1. Déterminer les limites de kf en 0 et en �� .

2. Calculer )(' xfk pour tout réel x de l’intervalle [;0] �� et déterminer le nombre

de solutions sur [;0] �� de l’équation 0)(' �xfk .

3. On a tracé sur le graphique ci-dessous les courbes 1�C , 25.0�C , 15.0�C et 0C . En utilisant les résultats de la question précédente, reconnaître chacune des courbes.


4. Pour tout réel a strictement positif, on pose :

dxxeaS

a

a

x

��

�1

)(

4.1. Interpréter géométriquement )(aS .

4.2. On désigne par F une primitive de la fonction xexx

� sur [;0] �� .

En remarquant que )()1()( aFaFaS �� étudier le sens de variation de la

fonction qui à tout réel a élément de [;0] �� associe le réel )(aS . 4.3. On veut découper dans le plan une bande verticale de largeur une unité de telle sorte que l’aire située dans cette bande entre les courbes 0C et l’axe )(Ox soit minimale. Comment doit-on procéder ?

� Solution 1. On calcule les limites suivantes :

x

x

x

xkxkee

xkxxf

��

�� lim1lim)(lim .

On en déduit les résultats suivants :

��

)(lim xfkx si 0�k et ��

��)(lim xfkx

si 0�k .

��

��

��

x

xxk

xx

ex

kxxf 1lim)(lim00

00

La droite d’équation 0�x est asymptote verticale à kC . 2. On calcule la fonction dérivée :

xxxk e

xxkxe

xkxe

xxf 2

2

2

111)(' ��

��

On étudie le nombre de solutions de l’équation 0)(' �xfk :

010)(' 2 �� xkxxfk On calcule le discriminant � :

k41��


C – FONCTIONS POLYNÔMES ET FONCTIONS RATIONNELLES � Exercice C-1 Pour chacune des questions suivantes, on donne un polynôme P ainsi qu’une ou plusieurs racines. Factoriser le polynôme P sous la forme d’un produit de polynômes irréductibles.

1. 1)( 23 �� xxxxP et 0)1( ��P .

2. 1)( 23 �� xxxxP et 0)1( �P .

3. 482)( 23 �� xxxxP et 0)2( �P .

4. 84)( 23 �� xxxP et 0)2( ��P .

5. 61353)( 234 �� xxxxxP et 0)2( �P , 0)3( ��P .

� Solution 1. 0)1(' ��P ; la racine 11 ��r est d’ordre de multiplicité égal à 1. On effectue

la division euclidienne du polynôme )(xP par )1( �x :

1�x

123 �� xxx

)( 23 xx ��

1�x )1( �� x

0

12 �x

On obtient :

)1)(1()( 2 �� xxxP 2. On calcule les valeurs suivantes :

123)(' 2 �� xxxP ; 0)1(' �P .

26)()2( �� xxP ; 0)1()2( �P . La racine 11 �r est d’ordre de multiplicité égal à 1. On remarque que 12 ��r est

une racine évidente de P . 0)1(' ��P et 0)1()2( ��P .

La racine 12 ��r est d’ordre de multiplicité égal à 2 . Finalement :

)1()1()( 2 �� xxxP


3. On calcule les valeurs suivantes :

826)(' 2 �� xxxP ; 0)2(' �P . La racine 21 �r est d’ordre de multiplicité égal

à 1. On effectue la division euclidienne suivante :

2�x

482 23 �� xxx

)42( 23 xx ��

485 2 �� xx

)105( 2 xx ��

42 �x )42( �� x

0

252 2 �� xx

On obtient :

)2)(252()( 2 �� xxxxP

Le polynôme 252 2 �� xx possède deux racines 22 ��r et 21

3 ��r .

Finalement :

)12)(2)(2(21)2)(2(2)( ��

� �� xxxxxxxP

4. On calcule les valeurs suivantes :

xxxP 83)(' 2 �� ; 0)2(' ��P . La racine 21 ��r est d’ordre de multiplicité égal

à 1. On effectue la division euclidienne suivante :

2�x

84 23 �� xx

)2( 23 xx ��

82 2 �x

)42( 2 xx ��

84 �� x )84( �� x

0

422 �� xx

Joe

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� Exercice D-10 Les courbes fC et gC du graphique ci-dessous représentent respectivement, dans

un repère orthonormal � , ; jiO , les fonctions f et g définies sur

l’intervalle [;0] �� par :

xxf ln)( � et 2)(ln)( xxg �

On cherche à déterminer l’aire S (en unités d’aire) de la partie hachurée du plan. On note :

��e

xdxI1

ln et ��e

dxxJ1

2)(ln

1. Calculer l’intégrale I . 2.1. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que IeJ 2�� . 2.2. En déduire J . 3. Calculer la valeur de l’aire S . 4. Pour x appartenant à l’intervalle ];1[ e , on note M le point de la courbe fC

d’abscisse x et N le point de la courbe gC de même abscisse. Pour quelle valeur

de x la distance MN est maximale ? Calculer la valeur maximale de MN .


� Solution

1. On calcule l’intégrale ��e

xdxI1

ln . On effectue une intégration par parties :

� �� b

a

b

a

ba dxxuvxuvdxxvu ))('()())('(

On pose : ��

��xxv

xuln)(

1)(' et

��

��

�

�

xxv

xxu1)('

)(

� � 1)1(ln1

1 �� eedxxxIe

e

2.1. ��e

dxxJ1

2)(ln . On effectue une intégration par parties :

� �� b

a

b

a

ba dxxuvxuvdxxvu ))('()())('(

On pose : ��

��

2)(ln)(1)('xxv

xu et

��

��

�

�

xx

xv

xxu

ln2)('

)(

� � IexdxxxxJe

e 2ln2)(ln1

12 ��

2.2. On en déduit la valeur de l’intégrale J : 2�� eJ . 3. L’aire S a l’expression suivante :

� eJIdxxxSe

�� 3)(lnln1

2

4. On pose 2)(lnln)()()( xxxgxfxd �� puis on calcule la dérivée :

xx

xx

xxd ln21ln21)(' �

��

La dérivée s’annule pour ex � et cette abscisse correspond à un maximum pour

la fonction d qui est égal à � � � � 41lnln

2�� eeed

Finalement, la distance MN est maximale pour ex � et la valeur maximale de

MN est égale à 41

.


� Exercice A-3 On souhaite déterminer l’expression de la température de l’eau )(yT le long du

tube de longueur mL 1� d’un échangeur de chaleur. On écrit pour cela le bilan thermique d’un tronçon de tube de longueur dy situé

entre l’ordonnée y et l’ordonnée dyy � :

0)(.2)()( �� ydddyyy cvyee

En exprimant les flux de chaleur en fonction de la température )(yT , on obtient l’équation différentielle suivante :

� 0)(67.0)(�� aTyT

dyydT

On donne les valeurs numériques suivantes : � Température de l’eau à l’entrée de l’échangeur : CT �� 80)0( ;

� Température ambiante : CTa �� 5 . 1. Résoudre l’équation différentielle afin de déterminer l’expression de la température de l’eau )(yT le long du tube de l’échangeur.

2. Calculer la température de l’eau )(LT à la sortie de l’échangeur.

3. Tracer la représentation graphique de la fonction T sur l’écran de la calculatrice.

)(ye�

)( dyye ��)(yd cv�

yd�

y�

x�

yd�


� Solution 1. L’équation différentielle s’écrit :

aTyTyT 67.0)(67.0)(' ��

35.3)(67.0)(' �� yTyT On commence par résoudre l’équation sans second membre :

0)(67.0)(' �� yTyT

On obtient : 67.0)()('

0

0 ��yTyT

; kyyT �� 67.0)(ln 0 , IR �k .

d’où : yk eeyT 67.00 .)( �� , IR �k .

On obtient la solution de l’équation sans second membre :

yeKyT 67.00 .)( �� , IR�K .

On détermine ensuite une solution particulière )(yTp . Le second membre est

constant, on pose donc : AyTp �)( , IR�A .

On remplace dans l’équation différentielle. On obtient :

5�A

On obtient l’ensemble des solutions :

5.)()()( 67.00 �� y

p eKyTyTyT

La condition CT �� 80)0( permet de déterminer la valeur de K :

75�K On en déduit la solution de l’équation différentielle :

575)( 67.0 �� yeyT 2. On calcule la température de l’eau à la sortie de l’échangeur :

CeT �� 4.43575)1( 67.0


� Exercice A-7 Dans un repère orthonormé � , , ; kjiO , on considère le plan P d’équation

cartésienne : 0�� dczbyax et le point de l’espace );;( 0000 zyxM . On note

H le projeté orthogonal du point 0M sur le plan P et n un vecteur normal au

plan P . On souhaite démontrer la formule donnant la distance du point 0M au

plan P .

1. Justifier l’égalité suivante :

22200 cbaHMHMn ��

2. Démontrer l’égalité suivante :

dczbyaxHMn �� 0000 3. En déduire la formule donnant la distance HM 0 .

� Solution 1. Le point H est le projeté orthogonal du point 0M sur le plan P et n est un

vecteur normal au plan P , avec

cba

n � .


On en déduit que les vecteurs HM 0 et n sont colinéaires. La valeur absolue du produit scalaire est donc égale au produit des normes de ces vecteurs, d’où :

22200 cbaHMHMn ��

2. On calcule le produit scalaire suivant :

)()()( 000

0

0

0

0 zzcyybxxazzyyxx

cba

HMn HHH

H

H

H

��

��

Le point H appartient au plan P , donc : 0�� dczbyax HHH . On remplace dans la dernière expression :

dczbyaxHMn �� 0000 3. On en déduit la distance du point 0M au plan P :

� 222

000

222

0

00 ,cba

dczbyax

cba

HMnHMPMd

��

��

��

��

� Exercice A-8 L’espace est rapporté à un repère orthonormé � , , ; kjiO . Soit D la droite

passant par le point )1;4;3( �A et de vecteur directeur )1;3;1( �u . On considère la

droite 'D dont une représentation paramétrique est :

��

��

�

��

tztytx

121

; IR�t

On admet qu’il existe une unique droite � perpendiculaire aux droites D et 'D . On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite � et de calculer la distance entre les droites D et 'D . On note H le point d’intersection des droites D et � , 'H le point d’intersection des droites 'D et � . On appelle P le plan contenant la droite D et la droite � . On admet que le plan P et la droite 'D sont sécants en 'H .


� Exercice D-3 Une collectivité territoriale s’intéresse à la quantité annuelle de déchets d’aluminium recyclés exprimée en tonnes. En 2013, cette collectivité dispose des données suivantes :

Année 2005 2007 2009 2011 2013

Rang de l’année ix 0 2 4 6 8

Aluminium recyclé

iy en tonnes 300 850 1 100 1 350 1 400

On a représenté ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique );( ii yx dans un repère orthogonal du plan.

1. Déterminer l’équation de la droite D de régression de y en x , obtenue par la méthode des moindres carrés. 2. A l’aide de cet ajustement, estimer la quantité d’aluminium qui sera recyclée en 2015. 3. Un responsable affirme que l’augmentation annuelle moyenne entre 2011 et 2013 a été d’environ %8.1 . 3.1. Justifier ce taux de %8.1 . 3.2. Estimer à une tonne près, en utilisant ce taux, la quantité d’aluminium qui sera recyclée en 2015. 3.3. Avec cette méthode, en quelle année peut-on estimer que plus de 1 600 tonnes de déchets d’aluminium seront recyclés ? 4. Une étude nationale prévoit une quantité de 1 500 tonnes de déchets d’aluminium recyclés en 2015 pour cette collectivité territoriale. Lequel des deux modèles précédents semble-t-il le plus proche de cette étude ?


� Solution 1. La calculatrice permet de déterminer l’équation suivante :

460135 �� xy 2. Quantité de déchets d’aluminium qui seront recyclés en 2015 :

1810460)10(135 ��y tonnes.

3.1. On note t le taux annuel d’augmentation en pourcentage. On a la relation suivante :

%835.11400100

113502

��

� � tt

Le taux annuel d’augmentation a été d’environ %8.1 . 3.2. Quantité de déchets d’aluminium qui seront recyclés en 2015 :

1451100

8.1114002

��

� ��y tonnes.

3.3. On écrit l’inéquation suivante :

4850.7

1008.11ln

)7/8ln(78

1008.111600

1008.111400 ��

��

� �

��

� ��

��

� � nn

nn

On choisit 8�n . On peut estimer que plus de 1 600 tonnes de déchets d’aluminium seront recyclés en 2021. 4. Le second modèle semble être le proche de l’étude nationale.

Joe

Math_DUT

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