5 juin 2002 Franz Dettling Avignon BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal I.Introduction 1. Rappels Une chaîne numérique est constituée des éléments suivants:

5 juin 2002Franz Dettling Avignon BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal

I.Introduction1. Rappels

• Une chaîne numérique est constituée des éléments suivants:

•Les fonction d’échantillonnage et du CAN sont supposées déjà étudiées

•Le thème de la présentation s’étend dans le rectangle de droite ,il comprend l’étude de la transformation des échantillons numériques {xn} d’entrée par un calculateur en une autre suite d’échantillons numériques {yn}

{xn} {yn}


I.Introduction2. Série d’échantillons numériques d’entrée {xn}

• Les échantillons sont une suite de nombres représentant l’évolution du signal analogique d’entrée,

{xn}

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

0 10 20 30 40 50

N° d'échantillon

Valeur numériquequantifiée

•la valeur des échantillons est quantifiée non continuité en ordonnée

•On a supprimé la référence temporelle, les échantillons d’entrée sont représentés par leur numéros d’ordre, on note cette suite {xn} , la lettre x pour désigner les échantillons d’entrée et n pour le numéro d’ordre

non continuité en abscisse

•Si on se place en « temps réel » , on désire obtenir une suite d’échantillons de sortie{yn} au même rythme qu’on a obtenu la suite {xn}


I.Introduction3. Architecture d’un processeur numérique

Le schéma fonctionnel d’un calculateur numérique (DSP)

Le processeur possède des instructions spécifiques et spécialisées (RISC)

La vitesse de traitement (30 à 2000 MIPS) est très grande

Traitement parallèle (pipeline) avec des instructions complexes à 1 seul coup d’horloge

Utilisation de nombreux BUS

horlogePROCESSEUR NUMERIQUE

(DSP)

Multiplieur Unité arithmétique ROM et ev. RAM rapide

Mémoire Principale (RAM)

Mémoire cache

Port E/S // ou série

{yn} {xn}

•RAM rapide

•RAM externe


I.Introduction4. Systèmes numériques linéaires

• Propriétés essentielles

Additivité :

La réponse de la somme est la somme des réponses



• Propriétés essentielles :

Homogénéïté :

La réponse est affectée du

même facteur multiplicatif

que l’entrée

Invariance par Translation:

La réponse est décalée du

même nombre de pas (s)

que l’entrée



• Propriétés essentielles :

Principe de superposition :

On peut décomposer {xn} en séquences plus simples, étudier les réponses séparément, et les recomposer en faisant la somme. La réponse {yn} est celle de l’entrée {xn}


I.Introduction5. Représentation des nombres entiers sur 16 bits signé

Les processeurs utilisés en traitement numérique du signal sont souvent à virgule fixe et à 16 bits (32 bits) les nombres x(n) sont limités entre +32767 et - 32767

1 bit

signe15 bits valeur absolue

32767 = 215 - 1+ ou -

Signal d’entrée Nombre x(n)

32767

- 32767


II.Equation de Récurrence1. Conséquence du principe de linéarité: équation de récurrence

• Calcul de l’échantillon de sortie d’indice n , yn

Principe de causalité : yn dépend que des états précédents de l’entrée donc des xp avec p ≤ n et éventuellement des états précédents de la sortie donc des yq avec q ≤ n –1 , l’ordre des échantillons est alors calqué sur l’écoulement du temps

Principe de linéarité :

yn est obtenu comme une combinaison linéaire des xp et yq

Le contraire est impossible si le système est linéaire

)y,y ., ,x, x( y 2-n1-n1-nnn f

...... 221122110 nnnnnn ybybxaxaxay

Équation de récurrence

ai et bj jnj

q

jini

p

in ybxay

10


II.Équation de Récurrence H(z)2. Définition d’un outils de calcul symbolique H(z)

• On convient que le retard R d’une unité à la prise d’échantillon est équivalent à une multiplication par z-1

XzaYzbY ii

p

0i

jj

q

1j

Xzazb1Y ii

p

0i

jj

q

1j

Calcul symbolique !

jnj

q

1jini

p

0in ybxay

retard d’une unité Multiplication par z -1

?)( X

YzH

z-1

Y R (Y)= z-1.Y

jnj

q

1jini

p

0in ybxay

Ryn yn-1


II.Équation de Récurrence H(z)2. Définition d’un outils de calcul symbolique H(z), propriétés

Transmittance en z :

Quotient de 2 polynômes en z

jj

q

1j

ii

p

0i

zb1

za

H(z)

On repasse très facilement de H(z) à l’équation de récurrence:

jnj

q

1jini

p

0in ybxay




Propriétés principales : mise en cascade de deux processus numériques

H1(z) H2(z)

{yn}{xn} {tn}

H(z) = H1(z). H2(z)

{yn}{xn} On peut déterminer directement {yn} avec H(z) et en repassant à l’équation de récurrence




Propriétés principales : addition de deux processus numériques

H1(z)

H2(z)

{yn}{xn} {y1n}

+

{y2n}

H(z) = H1(z)+ H2(z)

{yn}{xn}Ici aussi on peut déterminer directement {yn} avec H(z) et en repassant à l’équation de récurrence


II.Equation de Récurrence3. Diagrammes permettant la programmation dans un calculateur

• On note le retard d’une unité à la prise d’échantillon par R

xn

a0 +

R

R

+

a2

R

+

a1

multiplication addition

b1

+

+

+

yn

R

R

R

b2

Retard = mise en mémoire

Diagramme N°1


II.Equation de Récurrence2. Diagrammes permettant la programmation dans un calculateur

• Autre diagramme possible plus efficace (variable intermédiaire dn)

b1

+

+

+

R

R

R

b2

multiplication

xn

Diagramme N°2

a0 +

R

R

+

a2

R

+

a1

dn yn

Retard = mise en mémoire


III.Processus RIF et non RIF1. Définitions

Processus RIF :

à réponse impulsionnelle finie

Ces processus ne font appel qu’aux échantillons d’entrée {xn}

ini

p

0in xay

Processus non RIF (dits RII) :

à réponse impulsionnelle infinie (?)

Ces processus ont une équation de récurrence avec des termes en y

jnj

q

1jini

p

0in ybxay


III.Processus RIF et non RIF1. Processus RIF , réponse impulsionnelle

Stabilité : un processus est dit stable si sa réponse impulsionnelle tend vers 0 pour n

Un processus RIF est stable car les ai sont en nombre fini donc yn 0 lorsque n

ini

p

0in xay

• à partir de yp+1 toutes les valeurs de la réponse impulsionnelle du processus sont nulles

• La réponse impulsionnelle d’un processus RIF est la suite des coefficients ai


III.Processus RIF et non RIF2. Processus non RIF (ou RII) , réponse impulsionnelle

Un processus non RIF fait intervenir les états précédent de la sortie ceci est cause d’une instabilité éventuelle

• Suivant les valeurs données aux bj le processus RII peut-être stable ou instable

• Les processus RII linéaires dans les conditions réelles sont ceux qui restent stables : yn 0 pour n

jnj

q

1jini

p

0in ybxay


III.Processus RIF et non RIF3. Exemple : Moyenne glissante à 5 coefficients , modèle RIF

La sortie se calcule comme la moyenne de 5 états présent et précédents de l’entrée

• Le processus est évidemment stable

• Sa transmittance vaut :

in

4

0in x

5

1y

432115

1H(z) zzzz


III.Processus RIF et non RIF3. Exemple : Moyenne glissante à 5 coefficients , modèle RII

• Le processus est aussi stable malgré l’étiquette RII

• Sa transmittance vaut : z

z

1

1

5

1H(z)

5

in

4

0in x

5

1y

1in

4

0i1-n x

5

1y

1-n5nnn yx5

1x

5

1y

Même réponse impulsionnelle !


III.Processus RIF et non RIF3. Exemple : Moyenne glissante à 5 coefficients , Conclusion

• Les réponses impulsionnelles sont identiques, donc les 2 processus sont équivalents

• Les 2 transmittances sont égales car on a :

z

z

1

1

5

1H(z)

5

1-n5nnn yx5

1x

5

1y

in

4

0in x

5

1y

43211

5

1H(z) zzzz

1111 43215 zpourzzzzzz

•Mais ces 2 processus ne se programment pas de la même façon (expérience1 TMS320RIF) lancerexpRIF

(expérience2 TMS320RII)lancerexpRII


IV.Problèmes liés à l’utilisation de systèmes numériques

1. Théorème de shannon , condition de Nyquist

• Si l’échantillonnage ne respecte pas le théorème de Shannon : le processus numérique manipule des nombres qui ne représentent plus le signal d’entrée (expérience TMS320)

2

ff e

max


IV.Problèmes liés à l’utilisation de systèmes numériques2. Problème de résolution d’équations différentielles du premier ordre du type

(exemple sous excel dû à M. Rigat)

• Si Te est suffisamment petit on peut faire l’approximation (arrière)

à l’instant TE :

L’équation différentielle est alors ramenée à

l’équation de récurrence

• On peut aussi utiliser l’approximation (avant)

On arrive à une autre équation de récurrence:

Si Te devient trop grand par rapport à les 2 approximations sont très différentes

E

EE

T

TnsnTs

dt

ds )1(

1.

1

1n

En

E

ns

TeK

T

s

E

EE

T

nTsTns

dt

ds ()1(

)(.)( teKtsdt

ds

11..1

nEE

nneK

TTss


ANNEXE: Bibliographie

• « Digital Signal Processing » de Steven Smith (en anglais) réédité en 1999 disponible sur internet à www.dspguide.com

Éditeur :California Technical Publishing

• « Les DSP – Famille ADSP218x… » de Michel Pinard en français édité en 2000 par Dunod

• « Précis d’électronique 2ème Année» de Jean -Luc Azan édité en 2001 par Bréal

• « Toute l’électronique en exercices » d’ Isabelle Jelinski édité en 2000 par Vuibert

• « Cours d’électronique numérique et échantillonée » de A.Deluzurieux et

M. Rami édité en 1991 par Eyrolles

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5 juin 2002 Franz Dettling Avignon BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal I.Introduction 1. Rappels Une chaîne numérique est constituée des éléments suivants: