Antenne de Bretagne · comme modèle pour réaliser des filtres actifs possédant la même qualité mais ne nécessitant pas d’inductances (ex : filtres à gyrateurs

ENS Cachan – Antenne de Bretagne Notes de cours 2002 (version 1) Marie Frénéa

1

Antenne de Bretagne

Filtres passifs Ce document rassemble des notes de cours destinées aux élèves de préparation à l’Agrégation de Génie Electrique. Toutes les remarques qui pourraient contribuer à son amélioration sont les bienvenues. Certaines informations sont tirées d’ouvrages dont les références sont données en fin de document. Si certaines d’entre elles venaient à manquer, je m’en excuse par avance auprès de leurs auteurs et les invite à m’en faire part. Mon adresse est la suivante : [email protected]


2

FILTRES PASSIFS

Parmi les différentes technologies rencontrées, on peut citer :

- Les filtres passifs à inductances et condensateurs - Les filtres passifs à résonateurs piézo-électriques (quartz, résonateur céramique et à

onde de surface (SAW)) - Les filtres passifs à lignes imprimées, les résonateurs diélectriques, etc.

Synthèse des filtres LC passifs : Outre l’absence d’alimentation, les filtres LC passifs possèdent les avantages suivants :

- dynamique très importante (peuvent permettre des niveaux de tension et courant élevés)

- bruit très faible (fortement réduit par rapport aux filtres actifs, car on s’affranchit en grande partie du bruit thermique provenant des résistances et du bruit des aop).

- possibilité de travailler à fréquence élevée, jusqu’à quelques GHz (disparition des problèmes liés à la bande passante limitée des montages faisant intervenir des composants actifs tels que transistors ou aop).

- faible sensibilité de la réponse du filtre aux variations des valeurs des composants

En contrepartie, leur utilisation est généralement limitée aux fréquences élevées, car l’encombrement et le coût liés aux selfs deviennent prohibitifs dans le domaine des basses fréquences. Bien que les filtres LC soient difficiles à intégrer en raison de la présence d’inductances, on trouve en haute fréquence des réalisations qui se présentent sous forme de composants (Figure 1).

Figure 1 - Exemple de filtre LC (Murata)

D’autre part, la faible sensibilité des filtres LC étant inégalable, on les utilise parfois

comme modèle pour réaliser des filtres actifs possédant la même qualité mais ne nécessitant pas d’inductances (ex : filtres à gyrateurs. Voir chapitre filtres actifs).


3

1. Fonction de transfert en puissance d’un filtre LC passif:

Les filtres LC passifs sont constitués d’un quadripôle non dissipatif inséré entre un

générateur de résistance R1 et une charge de résistance R2, suivant le schéma représenté Figure 2 :

E1

R1

R2V2Quadripôle

L-CV1

E1

R1

V1 Z1

Figure 2 – Schéma de principe d’un filtre LC passif

On aurait naturellement tendance à définir la fonction de transfert de ce filtre comme

le rapport 1

2VV

, mais la tension que l’on souhaite filtrer est en fait E1 (tension délivrée par un

générateur, tension de sortie d’un étage HF…). Or, pour un filtre passif l’impédance d’entrée Z1 du quadripôle chargé par R2 varie avec la fréquence et on a :

1

1

1

2

1

2EV

xVV

EV

= avec 111

11 E

)(ZR)(Z

Vω+

ω=

Définir la fonction de transfert du filtre par 1

2VV

n’a donc pas de sens car V1 n’est pas

une image fidèle de E1. On aurait pu choisir de la définir par le rapport 1

2EV

, cependant la

présence des résistances R1 et R2 introduit invariablement une atténuation en tension qui se traduit par une translation du diagramme de Bode. Afin de s’en affranchir on préfère introduire la fonction de transfert en puissance définie par le rapport de la puissance fournie à la charge à la puissance disponible au niveau de la source. La puissance disponible au niveau de la source (puissance maximale pouvant être transmise à la charge) s’exprime par :

1

21

m R4E

P =

Si on note P2 la puissance effectivement fournie à la charge, on a : 2

22

2 RV

P =

La fonction de transfert en puissance du filtre est donc : 2

12

1

2

m

22RR4

EV

PP

)j(H ==ω


4

E1

R2Quadripôle

L-CR1

Pm P2

Pr

P2

Figure 3 – Transfert de puissance de la source vers la charge

Le quadripôle L-C étant non dissipatif , P2 s’exprime par la relation :

211

211

2ZR

E)ZRe(P

+=

La puissance réfléchie Pr se déduit alors par : 2

11

11m2

11

11m2mr RZ

RZP

ZR

)ZRe(R41PPPP

+−

=

+−=−=

En introduisant le coefficient de réflexion 11

11RZRZ

+−

=Γ , on a alors : m2

r PP Γ=

Note : La relation suivante est alors vérifiée : 1H 22 =Γ+ Fonction de transmission : On définit la fonction de transmission du filtre par :

2

r

2

m21PP

1PP

)j(H +==ω−

2. Sensibilité :

L’affaiblissement du filtre (exprimé en dB) est donné par la relation :

)j(H20log)A( 1- ω=ω

La variation d’un élément du filtre (L ou C) Xi d’une quantité ∆Xi, se traduira par une variation de l’affaiblissement pouvant être approchée par :

iiiii X

AX)X(A)XX(A∂∂∆+=∆+

Aux fréquences pour lesquelles on a adaptation d’impédance (Pm=P2), A=0 (zéros d’affaiblissement), soit :

0XAX)XX(A

iiii ≥

∂∂∆=∆+ (l’atténuation d’un filtre passif étant une grandeur positive)


5

∆Xi étant de signe quelconque, la relation ne peut être vérifiée qu’avec le signe égal, soit :

0XA

i=

∂∂

La dérivée partielle de l’affaiblissement d’un filtre LC inséré entre résistances par rapport à la valeur de chacun des éléments s’annule aux fréquences pour lesquelles l’adaptation est réalisée Conjecture d’Orchard : Le théorème précédent n’est valable que pour les zéros d’affaiblissement. L’expérience montre cependant que

iXA

∂∂ reste faible dans toute la bande passante du filtre (cela se

vérifie d’autant mieux lorsque Amax est faible). Cette proposition d’Orchard indique qu’un filtre LC (donc non dissipatif) admet des tolérances importantes sur la valeur de ses composants, sans que cela nuise à ses performances. Toutefois, elle ne s’applique qu’à l’affaiblissement et non au temps de propagation.

3. Filtres passe-bas en échelle (ladder) :

31. Les différentes topologies : On rencontre deux types de structures pour ces filtres : structure en T ou en Π ; Chacune de ces topologies est formée de n branches comportant au maximum deux éléments (un condensateur et une inductance). n est égal à l’ordre de la fonction de transfert du filtre. Structure en Π :

- la première branche est une branche parallèle - lorsque n est impair, le filtre se termine par une branche parallèle (Figure 4) - lorsque n est pair, le filtre se termine par une branche série (Figure 5)

Figure 4 - Structure en Π (n impair) - Filtres passe-bas polynomiaux


6

Figure 5 - Structure en Π (n pair) – Filtres passe-bas polynomiaux

Structure en T :

- la première branche est une branche série - lorsque n est impair, le filtre se termine par une branche série (Figure 6) - lorsque n est pair, le filtre se termine par une branche parallèle (Figure 7)

Figure 6 - Structure en T (n impair) - Filtres passe-bas polynomiaux

Figure 7 - Structure en T (n pair) - Filtres passe-bas polynomiaux

Les filtres passe-bas polynomiaux ne comportent qu’un élément par branche. Dans le cas

où une branche possède deux éléments, elle introduit un zéro de transmission à sa fréquence de résonance. Les zéros de transmission des filtres non polynomiaux (elliptiques ou Chebyshev inverse) sont obtenus par des circuits bouchons en série (structure en Π : Figure 8) ou des circuits résonants série dans des branches parallèles (structure en T : Figure 9).

Figure 8 - Filtres passe-bas non polynomiaux - Structure en Π


7

Figure 9 - Filtres passe-bas non polynomiaux - Structure en T

Remarque importante : La synthèse d’un filtre non polynomial (elliptique ou Chebyshev inverse) d’ordre pair n’est pas envisageable avec ce type de structures. Avec ces filtres, l’atténuation tend vers une valeur finie A min quand ω→∞ (voir Figure 10). Or lorsque ω→∞, la source et la charge voient soit un court-circuit, soit un circuit ouvert, les deux cas correspondant à une atténuation infinie ( 1=Γ ).

Figure 10 - Filtre elliptique d'ordre pair (n=6, Amax=3 dB, Amin=60 dB)

32. Synthèse d’un réseau en échelle :

• Fonction caractéristique La fonction de transmission est liée à la fonction caractéristique du filtre par la relation :

221 )j(K1)j(H Ω+=Ω− (cf. chapitre précédent)

• Equation de Feldkeller :

Si l’on pose :

)P(E)P(P)P(H = et

)P(P)P(F)P(K =

on a alors : )P(P).P(P)P(F).P(F1

)P(P).P(P)P(E).P(E)P(H).P(H)P(H 1121

−−+=

−−=−= −−−


8

ce qui nous permet d’écrire l’équation de Feldkeller :

)P(P).P(P)P(F).P(F)P(E).P(E −+−=−

Note : E(P) est un polynôme dont les racines sont à partie réelle négative.

• Impédance d’entrée Z1 du quadripôle LC : Comme établi précédemment :

1H 22 =Γ+

d’où : 222

2

22 KH

K1

K

K1

11 =+

=+

−=Γ

soit encore :

22

11

112EF

RZRZ

=+−

=Γ

On en déduit finalement :

EF±=Γ et

FEFERZ 11 −

+= ouFEFERZ 11 +

−=

A partir de ces deux expressions de Z1, on peut réaliser la synthèse de filtres LC en Π et en T. On peut montrer que les degrés des polynômes E+F et E-F sont différents. Si l’on fait le choix

d’une structure en T, il faut s’arranger pour avoir

>

1

1

1

1RZ

dendeg_RZ

numdeg_ . Pour

obtenir une structure en Π , il faudra avoir au contraire :

<

1

1

1

1RZ

dendeg_RZ

numdeg_

321. Cas de filtres polynomiaux :

La procédure consiste à développer 1

1RZ

en fraction continue en opérant plusieurs divisions

polynomiales successives.

On peut écrire :

...Y1Z

1Y

1ZDN

RZ

DC

BA

1

1

++

++== ZA ZC ZE

YB YD


9

Pour identifier les différents composants, on effectue une division des deux polynômes N et D : RQDN += , (Q et R : quotient et reste de la division de N par D) soit :

RD1Q

DRQ

DN +=+=

D’où la seconde division : 'RR'QD += , ( 'Q et 'R : quotient et reste de la division de D par R) soit :

'RR1'Q

1Q

R'R'Q

1QDN

++=

++=

et ainsi de suite. Il ne reste ensuite qu’à identifier : ZA=Q, YB= 'Q , etc. Pour une structure en T, on obtiendra :

...PC1PL

1PC

1PLFEFE

RZ

n4n3

n2n1

1

1

++

++=

−+=

Note : cette décomposition peut se faire élément par élément en faisant tendre p vers l’infini :

∞→=

P1

1n1 R

ZPL

∞→−

=

Pn1

1

1n2

PLRZ

1PC

etc. Pour une structure en ΠΠΠΠ :

...PC1PL

1PC

1FEFE

RZ

n3n2

n11

1

++

+=

+−=

Dénormalisation: La résistance du générateur R1 a été prise comme unité de normalisation. Dans ce cas, l’expression générale d’une impédance normalisée s’écrit sous la forme :

PC1PLR

R)P(ZZ

nnn

1n ++== .

On dénormalise en posant n

pPω

= et en multipliant par R1 :


10

ω

+ω

+=++=

nnn

nn.1 pC

1pLRRCp

1LpR)p(Z

On a donc par identification :

n1

n

n

1n

1n

.RC

C

R.LL

R.RR

ω=

ω=

=

Synthèse d’un filtre passe-bas de Butterworth : Pour ce type de filtres :

• P(P)=1. • E(P) est obtenu par exemple à l’aide des tables, ou donné par la fonction butter

de Matlab (cf. chapitre précédent). • F(P) peut être déduit à partir de la relation :

)j(P)j(P)j(F)j(F11)j(H n2221

Ω−ΩΩ−Ω+=Ωε+=Ω−

nnn2

2 )P(.PjP)P(F)P(F −εε=

ε=− ⇒

nP.)P(F ε=

Exemple : On veut réaliser un filtre passe-bas de Butterworth d’ordre 3, Amax=3 dB et dont la fréquence de coupure est de 1 MHz. La résistance du générateur vaut R1=50Ω Les tables nous donnent :

1P2P2P)P(E 23 +++=

n=3 et ε=1⇒3P)P(F =

• Synthèse en T :

1P1P2

1P

1P1P2P2

1P1P2P2

1P2P2P2FEFE

RZ

22

23

1

1

++

+=

+++

+=++

+++=−+=

Figure 11 - Schéma du filtre de Butterworth passe-bas normalisé (structure en T)


11

Ces valeurs normalisées peuvent se retrouver à partir des tables données en Annexe 1. Dénormalisation des impédances : R1=R2=50Ω ;

µH958.710.2

50L.RLL 6n

n1131 =

π=

ω== ; nF3662.6

10.2.502

.RC

C 6n1

n22 =

π=

ω=

Figure 12 - Schéma définitif du filtre passe-bas (structure en T)

La synthèse peut être faite directement sous RFSim99, ce qui nous permet de vérifier rapidement les valeurs des composants obtenues par le calcul :

Figure 13 – Synthèse directe sous RFSim99 (structure en T)

On rappelle que 2

12

1

2

m

22RR4

EV

PP

)j(H ==ω . Le tracé à l’aide de Micro-Cap de la fonction

1

2EV

2log20 nous permet donc de retrouver la courbe du filtre théorique. Une analyse de


12

Monte-Carlo nous permet de mettre en évidence l’influence des tolérances des composants (ici ±10%).

Figure 14 - Tracé de la réponse du filtre

• Synthèse en Π :

1P1P2

1P

1

1P2P21P2P2P2

11P2P2P2

1P2P2FEFE

RZ

2

2323

2

1

1

++

+=

+++++

=+++

++=+−=

Figure 15 - Schéma du filtre de Butterworth passe-bas normalisé (structure en ΠΠΠΠ)

Dénormalisation des impédances : R1=R2=50Ω ;

nF183.310.2.50

1.R

CCC 6n1

n131 =

π=

ω== ; µH915.15

10.22.50L.R

L 6n

n212 =

π=

ω= ;


13

Figure 16 - Synthèse directe sous RFSim99 (structure en ΠΠΠΠ)

Synthèse d’un filtre passe-bas de Chebyshev : Pour ce type de filtres :

• P(P)=1. • E(P) est obtenu par exemple à l’aide des tables, ou donné par la fonction

cheby1 de Matlab en prenant ωn=1 (cf. chapitre précédent). • F(P) peut être déduit à partir de la relation :

( ))P(P)P(P)P(F)P(F1C1)j(H 2

n221

−−+=Ωε+=Ω− ⇒

ε=−

jPC)P(F)P(F 2

n2

Exemple pour un filtre de Chebyshev d’ordre impair: On souhaite réaliser un filtre passe-bas de Chebyshev d’ordre 3, Amax=0.1dB et dont la fréquence de coupure est de 1 MHz. La résistance de sortie de l’étage situé en amont du filtre vaut 75Ω. Les tables nous donnent :

1P6052.1P1836.1P6105.0)P(E 23 +++=

( ) Ω−Ω=Ω 34C 33 ⇒ ( ) ( )P3P4jPC 3

3 +=

Amax=0.1dB ⇒ 15262.0110 10maxA

=−=ε

( )( ) ( )( ) ( ) ( )P)3(P)4(.ε3P4Pε3P4P3P4Pε3P4PjεP)F(P).F( 33332232 −+−+=++−=+=−

⇒ P4579.0P6105.0)P3P4(15262.0)P(F 33 +=+=


14

Structure en T :

1P0315.11P1474.1

1P0315.1RZ

1P0315.11P1473.1P1836.1

1P0315.11P1473.1P1836.1

1P0631.2P1836.1P221.1FEFE

RZ

1

1

22

23

1

1

++

+=

+++

+=++

+++=−+=

Figure 17 - Synthèse du filtre passe-bas normalisé (structure en T)

Dénormalisation : R1=R2=75Ω ;

µH314.1210.20315.1x75L.R

LL 6n

n1131 =

π=

ω== ; nF435.2

10.2.751474.1

.RC

C 6n1

n22 =

π=

ω=

Figure 18 - Synthèse directe avec RFSim99 (structure en T)


15

Structure en ΠΠΠΠ (obtenue par dualité) :

Figure 19 - Synthèse du filtre passe-bas normalisé (structure en ∏∏∏∏)

Figure 20 - Synthèse directe avec RFSim99 (structure en ΠΠΠΠ)

Exemple pour un filtre de Chebyshev d’ordre pair: On souhaite réaliser un filtre passe-bas de Chebyshev d’ordre 2, Amax=0.1dB et dont la fréquence de coupure est de 100 kHz. La résistance de sortie de l’étage situé en amont du filtre vaut 75Ω. La fonction cheby1 de Matlab nous donne, pour ωn=1 :

01158.1P72414.0P30524.0)P(E 2 ++=

( ) 12C 22 −Ω=Ω

( ) 15262.0P30524.01P2)P(F1jP2)P(F)P(F 22

222 +=+ε=⇒

−

ε=−


16

Structure en T :

7378.0P622.01P84304.0

85896.0P72414.01642.1P72414.0P61048.0

FEFE

RZ 2

1

1+

+=+

++=−+=

Figure 21 - Synthèse du filtre passe-bas normalisé (structure en T)

Figure 22 - Synthèse directe avec RFSim99 (structure en T)

(Noter la forte valeur de l'inductance: fréquence basse pour des filtres passifs!) Structure en ΠΠΠΠ :

7378.0P622.01P84304.0

1FEFE

RZ

1

1

++

=+−=

Figure 23 - Synthèse du filtre passe-bas normalisé (structure en ΠΠΠΠ)


17

Figure 24 - Synthèse directe avec RFSim99 (structure en ΠΠΠΠ)

Remarque concernant la valeur des résistances terminales :

- Pour les filtres dont l’affaiblissement est nul à la fréquence nulle (cas des filtres de Butterworth et des filtres de Chebyshev d’ordre impair), les résistances terminales R1 et R2 sont égales.

- Pour les filtres dont l’affaiblissement est non nul à la fréquence nulle (cas des filtres de Chebyshev d’ordre pair), la résistance du générateur est prise comme unité de normalisation mais cette fois-ci 21 RR ≠ . Pour 0=ω , le filtre L-C agit comme un court-circuit entre les deux résistances, et l’on a alors :

21

221

2

22

1

21

2

mRR4

)RR(RV

R4E

PP +

==

L’affaiblissement à 0=ω vaut donc :

( )

+=

21

221

max RR4RR

log10A

Si R1=1, en posant 10maxA

10=α on peut vérifier la relation : ( ) 121)12(R 22 −α−±−α=

(le signe + étant utilisé pour une structure en T et le signe – pour une structure en Π)


18

322. Cas de filtres non polynomiaux (ordre impair):

Pour les filtres non polynomiaux (filtres de Cauer ou de Chebyshev inverse), la procédure est plus complexe, puisqu’il faut positionner les fréquences de résonance i∞ω des circuits bouchons ou des circuits résonants série de façon à produire des zéros de transmission.

Par exemple, pour une structure en T (représentée Figure 9),on a :

...Y1PL

1Y

1PLRZ

4n3

2n1

1

1

++

++= avec

2i

2in

2inin

ini

P1

PC

PCL1

PCY

∞Ω+

=+

=

Attention : Quel que soit le type de filtre que l’on souhaite synthétiser, il est nécessaire de s’aider d’un calculateur afin de s’affranchir des erreurs d’arrondi. La décomposition en fraction continue pourra être illustrée à partir de l’exemple suivant : Synthèse d’un filtre elliptique passe-bas d’ordre 3, avec une fréquence de coupure de 1 MHz. On tolérera 1 dB d’ondulation dans la bande passante, et on prendra : Amin=40 dB. La résistance de sortie de l’étage situé en amont vaut 50 Ω. Matlab nous donne :

( )( ) 5265.0P2434.1P9782.0PPE

5265.0P0692.0PP23

2

+++=

+=

D’où :

( ) ( )( ) ( ) 2772.0P0729.0P0048.0PP.PP

2772.0P5159.0P5298.1PPE.PE24

246

++=−

+−−−=−

A partir de l’équation de Feldkeller, on peut écrire :

( )( )( ) ( )( )7673.0PP.7673.0PP

5887.0P5346.1PP

P5887.0P5346.1P

)P(P).P(P)P(E).P(E)P(F).P(F

22

242

246

+−−+=

++−=

−−−=

−−−=−

⇒ ( ) ( )7673.0PPPF 2 +=

Structure en T :

5265.0P4761.0P9782.05265.0P0107.2P9782.0P2

FEFE

RZ

2

23

1

1

+++++=

−+=

Le filtre étant d’ordre 3, on aura un seul zéro de transmission (à la fréquence

n2n2 CL1=Ω∞ ), c’est-à-dire une seule branche possédant un circuit résonant série :


19

Figure 25 - Filtre elliptique d'ordre 3 (structure en T) – Valeurs normalisées

La fréquence ∞Ω annule le polynôme )j(P Ω : 05265.0.0692.0 2 =+Ω− ∞ ⇒ 7584.2=Ω∞ Pour cette fréquence, le circuit résonant série se comporte comme un court-circuit, et l’on a donc :

j2668.5L.jRZ

n11

1 =Ω=Ω ∞∞ ⇒ 9094.1L n1 =

3n22

2

32

2

n1

32n2n2

n2n1

32

n11

1

Z.PCP1

Z.P1

PL

Z1

PCL1

PC1PL

Z1Y

1PLRZ

+

Ω+

Ω+

+=+

+

+=+

+=

∞

∞ (*)

FEXPL

FEFE

RZ

n11

1−

+=−+=

On obtient X par : ( ) ( )FE.PLFEX n1 −−+= = 5265.0P0053.1P0692.0P1321.0 23 +++

6086.7:avec1P9042.0P8579.1

)1P9094.1(P1

PL

1P9042.0P8579.11P9094.1P1314.0P2510.0PL

5265.0P4761.0P9782.05265.0P0053.1P0692.0P1321.0PL

RZ

22

2

2

n1

2

23n1

2

23n1

1

1

=Ω++

+

Ω+

+=

++++++=

++++++=

∞∞

En identifiant avec (*), on peut extraire : 1P9094.1Z3 += soit 9094.1L n3 = et 1R n2 =

On peut également identifier : 3n22

2Z.PCP1 +

Ω+

∞= 1P9042.0P8579.1 2 ++

⇒ 9042.0C n2 = . Pour finir, on calcule 1454.0C.1L

n22n2 =

Ω=

∞


20

Après dénormalisation : R1=R2=50Ω ;

µH19.1510.29094.1x50L.R

LL 6n

n1131 =

π=

ω== ; nF878.2

10.2.509042.0

.RC

C 6n1

n22 =

π=

ω=

µH157.110.21454.0x50L.R

L 6n

n212 =

π=

ω=

Figure 26 - Filtre elliptique d'ordre 3 (structure en T)

On obtient la structure en Π par dualité, en posant : Π

Π==

ininT

ininTCLLC

Figure 27 - Filtre elliptique d'ordre 3 (structure en ΠΠΠΠ)

Les performances du filtre sont vérifiées à l’aide de Micro-Cap (Figure 28).


21

Figure 28 - Vérification des performances du filtre (Micro-Cap)

4. Cas d'un quadripôle LC uniquement chargé par R2 (R1=0) Dans le cas particulier où R1=0, H(jω) est défini par le rapport des puissances P1et P2 définies

par 2

1

222

2

22

22

21

1E

V)j(H,

RV

P,RE

P =ω==

( ) ( ) 1

2EV

PN1PH ==

222 IRV −= et ( )22211222 VyEyRV +−=

⇒

122

222

2

1yR

yR1VE

N+

−==

En tenant compte de certaines propriétés mathématiques des admittances des quadripôles LC, on montrerait la relation (cf. réf. [5] et [8]).

)P(N)P(N)P(N)P(N

R1

impaire(N) partiepaire(N) partie

R1y

2222 −−

−+==

La résistance de charge R2 est choisie comme unité de résistance Sa valeur normalisée est

1RR

2

2 = .


22

On peut donc écrire: )P(N)P(N)P(N)P(Ny22 −−

−+=

Par divisions polynomiales successives, on pourra mettre y22 sous l'une des formes suivantes:

...L1PC

1PL

1PCy

3m2m

1mm22

++

++=

−−

−

(cas d'une structure en Π , ordre impair, ou en T, ordre pair)

...L1PC

1PL

1y

2m1m

m22

++

+=

−−

(cas d'une structure en Π , ordre pair, ou en T, ordre impair) A partir de cette expression de y22, on peut déterminer la valeur normalisée des composants, en partant de la sortie.

On dénormalise ensuite en appliquant les relations suivantes:

n2

n

n

2n

2n

RC

C

RLL

RR

ω=

ω=

=

5. Transformations des filtres LC :

Lorsque le filtre à réaliser n’est pas de type passe-bas, la synthèse comprend les étapes suivantes :

- on calcule la fonction de transfert du prototype passe-bas correspondant - on effectue la synthèse de ce prototype. - on applique une transformation aux composants du prototype passe-bas - on dénormalise

51. Transposition passe-bas / passe-haut On a : P

1P ⇔ ce qui induit sur les composants les transformations suivantes :


23

52. Transposition passe-bas / passe-bande On applique la relation de transformation :

( )P1PB

1P +⇔

53. Transposition passe-bas / coupe-bande On fait subir à la variable complexe normalisée :

P1P

BP+

⇔


24

Exemple : On veut réaliser un filtre passe-bande de Butterworth respectant le gabarit suivant :

40

3

50 90

BP

BC

Atténuation (dB)

f(kHz)110 150

BC

La fonction buttord de Matlab nous indique que le prototype est d’ordre N=3. Cela nous renvoie au premier exemple (synthèse d’un filtre passe-bas de Butterworth d’ordre 3), qui avait aboutit à la synthèse en T suivante :

1P1P2

1P

1P1P2P2

1P1P2P2

1P2P2P2FEFE

RZ

22

23

1

1

++

+=

+++

+=++

+++=−+=

Figure 29 - Schéma du filtre de Butterworth passe-bas normalisé (structure en T)

La transformation des composants nous conduit au schéma :


25

Figure 30 - Schéma obtenu après transformation des composants

Après dénormalisation (en prenant R1=50Ω), on obtient :R1=R2=50Ω ;

µH887.39710.2

5x50L.RLL 5n

n1131 =

π=

ω== ; nF366.6

10.2.502.0

.RC

CC 5n1

n131 =

π=

ω==

nF31.31810.2.50

10.R

CC 5n1

n22 =

π=

ω=

µH958.710.2

1.0x50L.RL 5n

n212 =

π=

ω=

Figure 31 - Synthèse directe du filtre passe-bande avec RFSim99

Remarque : Pour f=f0, l’impédance de la branche parallèle du quadripôle LC est infinie, tandis que celle des branches séries est nulle. La puissance maximale est donc transmise à la charge.

∞→+

=2p

LCp1LpZ pour

LC1f =

0p'C

1p'C'LZ2

s →+= pour 'C'L

1f =


26

On peut vérifier la relation : 0f2'C'L

1LC1 π==

6. Imperfections des composants :

Les calculs présentés ci-dessus ont été effectués en supposant que les inductances et condensateurs soient sans pertes. En réalité, dès que la fréquence devient suffisamment importante, les éléments parasites peuvent prendre des proportions importantes et il convient de les modéliser.

61. Inductances :

Self Capacité|Z|

Courbe réelle

fR Fréquence

Courbe idéale

Figure 32 - Schéma équivalent d'une inductance et courbe d’impédance

Rs : résistance du conducteur (varie avec la fréquence : effet de peau) C : capacité répartie (due aux capacités entre spires)

L’impédance de l’ensemble vaut : 1RCpLCp

LpRZ2 ++

+=

On trouve en général dans les documentations constructeurs (cf. Annexe 2.) les informations suivantes :

- facteur de qualité R

LQ ω=

- SRF (self resonance frequency=fréquence de résonance propre) : il s’agit en fait de la

fréquence LC.2

1fR π=

Il faut faire le choix de selfs dont la SRF est largement supérieure aux fréquences liées à l’application.


27

62. Condensateurs :

SelfCapacité|Z|

Courbe réelle

fR Fréquence

Courbe idéale

Figure 33 - Schéma équivalent d'un condensateur et courbe d’impédance

C : valeur nominale de la capacité L : inductance prenant en compte les connexions et éventuellement la géométrie des électrodes Rs : résistance série fonction de la résistance des connexions et des armatures Rp : résistance parallèle, représentant le défaut d’isolement entre les armatures (diélectrique) (plusieurs MΩ, souvent négligée) On trouve en général dans les documentations constructeurs (cf. Annexe 3.) les informations suivantes :

- ESR : Equivalent Series Resistance : Partie réelle de l’impédance : Rs (si on néglige Rp)

- facteur de qualité ESR.C1Q

ω=

- SRF (self resonance frequency=fréquence de résonance propre) : LC.2

1fR π=


28

ANNEXE 1


29


30

ANNEXE 2


31


32

ANNEXE 3


33

Références : 1. "De la physique du capteur au signal électrique", article de Paul Bildstein (Hermes)

2. "Filtrage et filtres électriques, Introduction", article des techniques de l'ingénieur, Paul

Bildstein

3. "Synthèse des filtres LC", article des techniques de l'ingénieur, Paul Bildstein

4. "Systèmes bouclés linéaires, de communication et de filtrage" Manneville - Esquieu

(Dunod).

5. "A Basic introduction to filters-Active, passive and switched-capacitor", AN-779 National

Semiconductor

6. "Electronique appliquée aux hautes fréquences", F. de Dieuleveult (Dunod)

Documents

Antenne de Bretagne · comme modèle pour réaliser des filtres actifs possédant la même qualité mais ne nécessitant pas d’inductances (ex : filtres à gyrateurs