asservissements linéaires

7/29/2019 asservissements linaires

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07 dcembre

notion d'asservissement linaire la boucle fermemthodes d'tude des SA rponse un signal

mthodes mathmatiques d'tude rgimes et perturbations

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introduction

Dans les chapitres concernant les oscillateurs ou les filtres on a introduit la notion desystme boucl et celle de contre-raction, nous allons gnraliser ce concept ce qu'on

appelle les systmes asservis et plus particulirements aux asservissements linaires quisont videmment un cas particulier plus simple grer que les asservissements nonlinaires qui sont le cas gnral.

chane ferme : notion d'asservissement linaire

Lorsqu'on souhaite contrler un dispositif on ralise un systme en boucle ferme schmatiquement reprsent commeci-dessous

Sur cette figure on distingue cinq lments fondamentaux typiques d'un asservissement:

un comparateurdont le rle est de faire la diffrence entre la valeur mesure de la grandeur que l'on veutasservir (c'est dire la grandeur contrle un coefficient multiplicateur prs fonction du type de capteurmis en jeu) et la valeur, dite de consigne, que l'on voudrait obtenir. Le rle de l'asservissement est

videmment de maintenir cette diffrence la plus proche possible de zro tout instant.

un amplificateur plusieurs tages, gnralement de type PID ou quivalent, charg d'amplifierjudicieusement l'cart mis en vidence par le comparateur afin d'apporter le plus rapidement possible unecorrection.

un tage de puissance qui est directement responsable de l'obtention de la grandeur pilote.

un capteurcharg de mesurer en permanence la valeur de la grandeur asservie

un dispositifcorrecteur qui pourra tre intgr en n'importe quel point de la chane (gnralement l oc'est le plus facile), ventuellement dans l'amplificateur ou, comme sur ce schma, dans la boucle de retour

et destin amliorer le comportement d'ensemble en minimisant les oscillations susceptibles de seproduire autour de la valeur de consigne.

On note aussi sur la figure la prsence d'une entre dite deperturbation. En effet dans un systme rel, l'une desdifficults surmonter pour obtenir une rgulation fine provient du fait qu'il existe des causes de perturbation

ervissements linaires http://michel.hubin.pagesperso-orange.fr/physique/elec/chap_asserv1.ht

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extrieures, gnralement compltement alatoires qu'il conviendra cependant d'identifier et d'valuer. Il va de soi quela (ou les) perturbation(s) peu(ven)t se produire en n'importe quel point de la chane mais qu'une mme perturbationaura une importance relative diffrente selon qu'elle se place en amont ou en aval d'un tage d'amplification.

Les quations montrent que les dispositifs correcteurs que l'on est amen placer pour contrer justement les effetsnfastes et oscillatoires des perturbations peuvent tre placs n'importe o dans la chane, mais on va privilgierl'endroit de celle-ci o le rapport qualit-prix d'un tel dispositif sera le meilleur et l'exprience nous apprend que c'estvidemment l o un tel dispositif pourra tre purement lectronique, c'est dire de conception plus aise, de cotrduit, de faible puissance et d'ajustement gnralement plus simple. Il arrive cependant qu'un systme mcanique se

rvle plus efficace, chaque cas tant un cas particulier.

Notons que la partie dite amplificateur est typiquement lectronique et fait appel le plus souvent un ou des tages amplificateurs oprationnels, tandis que le contrleur de puissance est un dispositif qui convertit la tension de sortie del'ampli, elle-mme proportionnelle l'erreur ou fonction plus ou moins complexe de celle-ci, en une grandeur pasforcment lectrique ( par ex: vitesse de rotation d'un moteur, temprature d'un four, intensit lumineuse...) maissouvent avec une puissance mise en jeu tout fait considrable (ex l'alternateur d'une centrale lectrique met en jeudes centaines de mgawatts).

classification

Il existe diffrents types d'asservissements linaires : asservissements de position que l'on appelle parfois servo-mcanismes ou systmes suiveurs, les rgulateurs ou asservissements de vitesse dont les caractristiquesessentielles diffrent sensiblement.

Dans un asservissement, dit de position, la grandeur d'entre et celle de sortie sont de mme nature (ex: une positionangulaire). La transmittance de la chane ouverte caractrise alors compltement le systme puisque c'est la totalitde la grandeur de sortie qui est ramene l'entre. On parle alors de retour unitaire.

.

et la transmittance de la chane complte s'exprimera par

Dans un rgulateur la caractristique fondamentale est que la grandeur d'entre est de nature diffrente de celle desortie (par ex dans un rgulateur de vitesse la grandeur contrle est un nombre de tours/mn tandis que la grandeurd'entre sera typiquement une ddp. Dans ce cas il y a naturellement une transmittance diffrente de 1 entre la sortie etle retour sur le comparateur.

.

et la transmittance du systme devient le retour n'est plus unitaire.

Notons que si dans un asservissement de position on peut obtenir = 0, ce n'est pas le cas dans un rgulateur

car c'est qui engendre la grandeur de sortie. On peut d'ailleurs le montrer en reprsentant le rgulateur par un autreschma quivalent au prcdent c'est- dire un systme retour unitaire suivi en cascade d'un bloc de transmittance1/H(p).


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qualits d'un asservissement

On distingue deux caractristiques essentielles, mais contradictoires, la stabilitet laprcision. En effet, intuitivement,pour avoir une grande prcision on va augmenter le gain de l'ampli et, ce faisant, on va rduire la stabilit et risquer deprovoquer des oscillations (cf condition de Nyquist pour les oscillateurs). De plus on souhaite un temps de rponserduit (c'est dire un rgime transitoire court). On voit donc que ce qui va permettre d'optimiser le rgime permanent atoutes les chances de dgrader le rgime transitoire, qui en outre devra prendre en compte les perturbationsextrieures que l'on ne maitrise gnralement pas puisque par nature elles sont alatoires.On va donc devoir tudiercela minutieusement.

mthodes d'tude des systmes asservis

L'tude consiste identifier la rponse non seulement vis vis du signal d'entre mais aussi vis vis des perturbations.En pratique on va utiliser deux mthodes : soit on applique un signal non sinusodal de forme bien prcise et choisi

judicieusement selon le problme (chelon, rampe...) et l'on dtermine la rponse complte (rgime transitoire etpermanent), soit on applique un signal sinusodal suffisamment longtemps pour que le rgime soit devenu permanent etl'on va reprsenter le module et la phase du signal de sortie en fonction de la frquence. La premire mthode donneplus d'information, mais la seconde est gnralement plus facile mettre en oeuvre.

rponse un chelon de position

On va considrer, dans la suite, un asservissement de position que l'on soumet ici un chelon, ralis en changeantbrusquement la consigne.

Sur le diagramme ci-dessus on a reprsent une rponse typique : en orange on a le signal d'entre (consigne) c'est dire un chelon, en bleu l'volution du signal de sortie qui en rsulte. Si l'asservissement tait parfait la courbe bleuedevrait se superposer celle en orange. La ralit est moins satisfaisante et sur cette rponse nous identifieronsplusieurs grandeurs:

tout d'abord le temps de monte tm , c'est le temps au bout duquel la sortie a atteint 90% de lavaleur finalelepremier dpassement: son amplitude ne doit pas dpasser de plus de 30% la valeur finale(50% tant gnralement considr comme prohibitif et souvent dangereux pour le dispositif).

Notons que plus tm sera court et plus, gnralement, le dpassement sera important.ce premier dpassement est suivi d'une volution en forme de sinusode amortiele temps de rponse tr caractrise le temps mis par le systme pour tre stabilis plus oumoins 5% de la valeur finale, temps considr comme correspondant sensiblement la disparitiondu rgime transitoire. On notera que ce temps est en corrlation avec l'importance du premierdpassement


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Le diagramme de Nyquist a notre prfrence car il permet d'un simple coup d'oeil d'identifier les rsonancesventuelles et, in fine, la marge de stabilit de l'asservissement. En effet tout point du lieu de transfert, situ unedistance maximale de l'origine, correspond une rsonance. Le rapport du rayon vecteur cette frquence celui lafrquence zro, si ce dernier est fini, caractrise le facteur de rsonance du systme pour la rsonance considre.

Aux frquences trs grandes correspond presque toujours la portion du lieu voisin de l'origine. Ceci s'expliquefacilement du fait de l'inertie des pices mcaniques aux grandes frquences. La tangente au lieu de transfert l'origine dpend de la diffrence de degrs du numrateur et du dnominateur de la fonction de transfert et caractrise

l'ordre du systme.

Le point de frquence zro du lieu de transfert correspond au fonctionnement du systme en rgime statique. Ce pointest souvent l'infini : ce sera le cas, par exemple, d'un moteur lectrique si l'on prend comme grandeur de sortie laposition angulaire de l'arbre. En effet, une tension constante applique l'induit donnera non une position mais unevitesse angulaire dfinie, dans ce cas la fonction de transfert admet un ple simple l'origine, on dit qu'elle possdeune intgration.

mthodes mathmatiques d'tude des SA

La transmittance peut s'exprimer par o K reprsente la transmittance pour p = 0,

c'est- dire le gain statique du systme. On l'exprime aussi sous une autre forme o

les coefficients zi sont les zros et pi les ples du systme. Comme ces quantits sont complexes on va lesreprsenter dans le plan complexe et en dduire une mthode d'analyse de l'asservissement.

rgime permanent

coefficients d'erreur

La transmittance peut s'crire sous la forme avec a = 0,1,2...

On va dfinir une

constante de position Kp = lim T(p) pour p = 0

constante de vitesse Kv = lim pT(p) pour p = 0

constante d'acclration Kg = lim p2T(p) pour p = 0

rponse un chelon de position

On a

Un chelon de position c'est E = constante, par exemple E = E1, alors E(p) = E1/p et en appliquant le thorme de la


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valeur finale

p = lim (t) quand t tend vers l'infini = lim p (p) quand p tend vers zro = lim E1/[1+KG(p)], soit

On voit que si l'on a affaire un systme de type zro [a = 0 dans l'expression de T(p)] pour lequel Kp vaut alors K,

l'erreur de position est non nulle, par contre dans les systmes d'ordre plus levs (a = 1,2...) alors Kp est infini et pest nulle.

Le mme raisonnement vaudra pour un chelon de vitesse du type (t) =1t. Nous montrerons aisment que l'erreur

de vitesse sera non nulle pour un systme de type 1, infinie pour un systme de type 0, mais nulle pour tout systmeayant a > 1

E(p) = 1/p2

v = lim (t) = lim p (p) = lim 1/[p+pKG(p)] = 1/Kv or Kv vaut 0 pour a = 0, K pour a = 1 et l'infini pour a > 1

perturbation

Supposons qu'elle intervienne en un point donn de la chaine directe, on va le reprsenter comme ci-dessous, gauche.

Le systme tant suppos linaire on peut appliquer le thorme de superposition et ne s'intresser sparment qu'la perturbation. Le schma de gauche va donc devenir celui de droite qui ressemble alors quelque chose de connu.On peut donc crire en supposant une perturbation de type chelon

si on appelle la transmittance du systme en boucle ferme, on peut crire

Ce qui montre que l'erreur lie la perturbation dpend de W (systme complet : figure de gauche) et de T 1 c'est-dire de la partie de la boucle qui est en amont de la perturbation. En rgime permanent, on obtient videmment pour

l'erreur de position pb=lim (t) pour t infini = lim p (p) pour p tendant vers zro =B1lim W/T1

On va donc avoir plusieurs cas possibles selon la nature de T1

Si T1 possde au moins une intgration ( avec a > 0 ) lorsque p tend vers 0, T1 tend vers l'infini

et W vers 1 donc pb = 0 et il n'y a aucune erreur de position.

Si T1 ne possde pas d'intgration, tout dpend de T2 : s'il a une intgration, la limite de pb est B1/K1; si T2 ne

possde pas d'intgration, la limite est pb = B1/[K1+1/K2]. Dans les deux cas il y a erreur de position.

erreur globale

En appliquant le principe de superposition, on obtient la rponse globale du systme

. Dans le cas le plus dfavorable, on aura une erreur gale la somme des

valeurs absolues des 2 erreurs calcules prcdemment.


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procdure pratique

Il arrive frquemment que l'on ne sache pas mettre le systme en quation, ou qu'on sache le mettre en quation maisqu'on ne puisse dterminer a priori les valeurs numriques des divers coefficients entrant dans l'quation : dans ce casl'exprimentation est incontournable. On va donc procder exprimentalement l'identification en boucle ouverte (cequi permet de mesurer KG(j )) et l'on va examiner essentiellement la stabilit, en remarquant qu'un systme asserviest stable si le polynme 1+KG(p) = 0 ne possde pas de racines dans la partie droite du plan complexe ni sur l'axeimaginaire, en d'autres termes si ses zros sont dans la partie gauche. C'est cette proprit que prcise

graphiquement le critre du revers qui s'nonce : un systme linaire est stable si, en dcrivant le lieu de transfert enboucle ouverte dans le sens des frquences croissantes, on laisse le point critique -1+ j0 sa gauche.

En pratique cette condition n'est pas suffisante car des composants peuvent driver (en particulier sous l'effet degrandeurs d'influence telle la temprature) ou vieillir, d'autre part il est possible que la rponse transitoire soit troplongue par dfaut d'amortissement. On s'attachera donc obtenir une certaine marge de stabilit (marge de gain au

moins gale 12dB et marge de phase de 45): la marge de phase est le dphasage supplmentaire qui dans la zonede rsonance en boucle ferme ferait passer le lieu de transfert de l'autre cot du point critique.

De mme la marge de gain caractrise la quantit, exprime en dcibels, dont on peut augmenter le gain en boucleouverte sans provoquer l'instabilit( Gm = - 20 log |KG(j )| pour = 1 ).

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