Leon 78

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Diverses mthodes de calcul approch dintgrales dfinies. Lexpos pourra tre illustr par un ou des exemples faisant appel lutilisation dun calculatrice

Introduction : Comme pour la rsolution des quations diffrentielles, il est parfois difficile, et par parfois jentends souvent, de calculer la valeur dune intgrale, par exemple parce quon ne connat pas de primitive explicite. Le but de cette leon est dessayer de trouver une valeur approche de cette intgrale. Pour se faire on va considrer plusieurs mthodes et valuer chaque fois lerreur commise. On supposera connu les notions sur les intgrales ainsi que la formule de Taylor-Lagrange.

Notation du problme : On considre dans la suite une fonction f dfinie et continue sur un intervalle [a ; b] de Y, a < b valeurs dans Y. On dsignera par sa courbe reprsentative dans un repre orthonorm du plan. On notera I = a

bf(x) dx , et f une primitive de f dans les cas o elle existe.

On va considrer = (xi)0 < i < n une subdivision de [a ; b] (i.e. on dcoupe lintervalle [a ; b] en n intervalles de mme amplitude h = b a

n , h est aussi appel le pas de la subdivision). On a alors xi = a + i h , i [|0 ; n|], n V *.

1. Approximation par des fonctions en escaliers:

1.1 Mthode des rectangles :

Principe : On remplace f par la fonction en escalier qui prend sur chaque segment [xi ; xi+1] de la subdivision, la valeur de f lextrmit gauche de ce segment, i.e. f(xi), (ou la valeur de lextrmit droite, i.e. f(xi+1) ). Cela nous donne une approximation par dfaut (ou par excs ) de I. On note g la fonction en escalier dfinie ci-dessus. Lintgrale de g sur [a ; b] est donc gale laire de la runion des rectangles dont les sommets sont (xi ; f(xi)), (xi ; 0), (xi+1 ; 0), (xi+1 ; f(xi)) , 0 < i < n-1

Proposition 1 : La valeur approche de I par la mthode des rectangles est alors donne par :

Rn = b an

i = 0

n1

f(xi) (respectivement : Rn = b an

i = 1

n

f(xi+1) )

Dmonstration : Il suffit dcrire que laire su rectangle sur [xi ; xi+1] est (xi+1 xi) f(xi) et que xi+1 - xi = h = b an

.

Thorme 1 : Si de plus on suppose que f est de classe C1 sur [a ; b] on a la majoration suivante : | I - Rn | < (b a) 2n M1 n V

*, et o M1 = sup | f (x) | pour x [a ; b].

En particulier on tire de cette majoration que (Rn) converge vers I.

Dmonstration : On va utiliser lingalit de Taylor Lagrange sur F et sur [xi ; xi+1] qui donne une majoration sur le reste. Pour rappel, si f est Cn+1 sur I, et si a et b sont deux lments de I et M la borne suprieur de |f ( n+1) | sur [a ; b]

alors on a : f(b) k = 0

n

(b a)k k ! f

( k) (a)

< | b a | n+1

(n + 1) ! M. Ici on a :

| I Rn | = i = 0

n1

xi

xi+1 f(t) dt b a

n f(xi)

< i =0

n 1

xi

xi+1 f(t) dt b a

n f(xi)

= i = 0

n1

F(xi+1) F(xi) b an

F (xi)

< i = 0

n1

b a

n

2

12!

sup[a; b] | F(x) | = i = 0

n1

b a

n

2

12!

M1 = (b a)

2n M 0 lorsque n (F = f )

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Remarque : Vu quil existe un rel M tel que | I Rn | < Mn , la mthode des rectangles est dordre 1.

1.2 Mthode des rectangles mdians :

Lapproche est exactement la mme que dans le cas prcdent, la diffrence prs quau lieu de considrer la valeur de f lextrmit gauche ou droite de [xi ; xi+1], on choisit de prendre la valeur de f au milieu de ce segment, cest dire g prend la valeur f

xi + xi+1

2 , 0 < i < n-1

Proposition 2 : La valeur approche de I par la mthodes des rectangles mdians est donne par :

Rn = b an

i = 0

n 1

f

xi + xi+1

2

Dmonstration : Mme principe que prcdemment, il suffit de savoir calculer laire dun rectangle.

Thorme 2 : Si de plus f est C2 sur [a ; b] alors n V*, | I - Rn | < (b a)3

24 n M2 o M2 = sup[a ; b] | f (x) |.

Dmonstration : Pour allger lcriture, on pose i = xi + xi+1

2 . On remarque par un calcul simple(en dveloppant) que

xi

xi+1

(t i) f (i ) dt = 0. Ainsi puisque galement xi+1 - xi = b an

, on a b an

f (i ) = xi xi+1

( )f (i ) (t i ) f (i ) dt

| I Rn |= i = 0

n1

xi

xi+1 f(t) dt b a

n f (i )

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Proposition 3 : La valeur approche de I par la mthode des trapzes est donne par :

Tn = b a 2n

i = 0

n1

( )f(xi) + f(xi+1) = b an

i = 1

n1

f(xi) + f(a) + f(b)2

Dmonstration : Il faut se rappeler que laire dun trapze est donn par (Grande base + petite base) Hauteur 2

Thorme 3 : Si de plus f est C2 sur [a ; b] alors n V *, | I Tn | < (b a)3

12n M2 o M2 = sup[a ; b] | f (x) |.

Dmonstration : | I Tn | = i = 0

n1

xi

xi+1 f(t) dt b a

n

f(xi) + f(xi+1) 2 <

i = 0

n1

xi

xi+1

f(t) dt b an

f(xi) + f(xi+1)2

Soit la fonction affine dfinie sur chaque [xi ; xi+1] par : (t) = f(t) M22 (t xi) (xi+1 t). est bien 2 fois drivables

et t [xi ; xi+1] (t) = f (t) + M2 > 0 (par dfinition de M2). Donc la fonction est convexe sur chaque [xi ; xi+1] et donc elle est infrieure la fonction affine g qui concide avec f en xi et xi+1. Ainsi :

t [xi ; xi+1] f(t) M22 (t xi) (xi+1 t) < g(t). (1)

De mme la fonction dfinie sur chaque [xi ; xi+1] par : (t) = f(t) + M22 (t xi) (xi+1 t) va tre elle concave. Ainsi :

t [xi ; xi+1] f(t) + M22 (t xi) (xi+1 t) > g(t). (2)

De (1) et (2) on tire que t [xi ; xi+1], | g(t) f(t) | < M22 (t xi) (xi+1 t)

La fonction g a pour quation sur [xi ; xi+1] g(t) = f(xi+1) f(xi)xi+1 xi

(t xi) + f(xi). Ainsi aprs calcul on trouve que :

xi

xi+1

g(t) dt = b an

f(xi+1) + f(xi)2

Ainsi, | I Tn | < i = 0

n1

xi

xi+1

( )f(t) g(t) dt <

i = 0

n1

xi

xi+1

( )f(t) g(t) dt < M22

i = 0

n1

xi

xi+1

(t xi) (xi+1 t) dt

et

xi

xi+1

(t xi) (xi+1 t) dt = (xi+1 xi)3

6 =

16

b a

n

3

= (b a)3

6n3. Par suite,

| I Tn | < M22 (b a)3

6n3 n =

(b a)312 n

M2

Remarque : Lingalit montre que la mthode des trapzes est dordre 2.

2.2 Mthode du point milieu (aussi appele mthode des tangentes) :

On suppose pour cette mthode que f est drivable sur [a ; b].

Principe : On remplace f sur chaque segment [xi ; xi+1] par son approximation affine au milieu de ce segment, cest dire quon remplace f sur chaque [xi ; xi+1] par la tangente au point dabscisse i = xi + xi+12

.

La fonction g ainsi construite est continue par morceaux.

Proposition 4 : La valeur approche de I par la mthode des tangentes

est donne par Mn = b an

i = 0

n1

f( i)

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Dmonstration : Sur [xi ; xi+1] , g(t) = f (i) (t - i) + f(i). Aprs calcul on trouve g(xi) + g(xi+1) = 2 f(i). Laire du trapze associ sen suit.

Thorme 4 : Si de plus f est de classe C2 sur [a ; b]alors n V*, | I - Mn | < (b a)3

24 n M2 o M2 = sup[a ; b] | f (x) |.

Dmonstration : Comme pour les rectangles mdians puisque la formule est la mme.

3. Approximation par des fonctions polynomiales du second degr :

3.1 Mthode de Simpson :

Principe : On remplace f sur chaque segment [xi ; xi+1] par une fonction polynme g de degr 2 au plus qui prend les mmes valeurs que f aux 2 extrmits et au milieu de ce segment.

Lemme 1 : Soit g une fonction polynme de degr 2 au plus dfinie sur [a ; b] et valeurs dans Y telle que : g(x) = x + x + , (, , ) Y3. On a alors le rsultat suivant a

b g(t) dt = b a

6

g(a) + g(b) + 4 g

a + b

2

Dmonstration : Faire le calcul. Le rsultat est valable aussi pour le degr 3 mais devient faux pour le degr > 4. On voit en plus que le rsultat ne dpend que de a et b et pas des coefficients.

Proposition 5 : La valeur approche de I par la mthode de Simpson est donne par :

Sn = b a6

i = 0

n1

f(xi) + f(xi+1) + 4 f

xi + xi+1

2

Dmonstration : On va utiliser les polynmes interpolateurs de Lagrange : par interpolation de Lagrange de f sur le

segment [xi ; xi+1] aux points xi , xi+1 et i = xi + xi+12 , on a :

gi (x) = f(xi) (x xi+1) (x i) (xi xi+1) (xi i)

+ f(xi+1) (x xi) (x i) (xi+1 xi) (xi+1 i)

+ f(i) (x xi) (x xi+1) (i xi) (i xi+1)

.

On intgre gi(x) sur le segment [xi ; xi+1] et on trouve aprs calcul (en utilisant le lemme 1) que

xi

xi+1

gi(x) dx = (xi+1 xi)6 { }f(xi) + f(xi+1) + 4 f(i) et comme x+1 xi = b an et Sn = i = 0

n1

xi

xi+1 gi(x) dx on trouve le

rsultat voulu.

Thorme 5 : Si de plus f est C4 sur [a ; b] alors n V * | I Sn | < (b a)5

2880 n4 M4 o M4 = sup[a ; b] | f (4)

(x) |

Dmonstration : Admise

Remarque : La mthode Simpson est dordre 4.

3.2 Relation avec les autres mthodes :

Proposition 6 : n V * on a Sn = Tn + 2 Mn

3

Dmonstration : Sn = b a6

i = 0

n1

f(xi) + f(xi+1) + 4 f

xi + xi+1

2 = b a

n

i = 0

n1

1

3 f(xi) + f(xi+1)

2 + 23 f

xi + xi+1

2

= 13 Tn + 23

Mn . Do le rsultat.

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4. Applications :

Calculer une approximation de pi 10 5 prs par les mthodes des rectangles, trapzes, tangentes et Simpson. Comparer les rsultats obtenus. Pour rappel, une valeur approche de pi est 3,14159265359

On remarquera que

0

1 4 1 + t dt = pi ( arctan(1) =

pi 4 et arctan(0) = 0 )

Voici les programmes Simpson, Tangentes, Trapzes et Rectangles classs par ordre dcroissant de leurs performances pour la Texas voyage 200

Pour la mthode des rectangles, pour avoir une telle prcision la calculatrice nous informe quil faut un dcoupage de [0 ; 1] en 129904 intervalles, soit autant de calculs effectuer. A moins davoir beaucoup de temps devant soit, autant dire que la prcision demande est trop importante pour cette mthode. Pour une prcision 10 2 on voit quil faut tout de mme un dcoupage en 130 intervalles !!

Il est intressant de voir que pour la mme prcision (10 5), la mthode de Simpson ne demande quun dcoupage en 8 intervalles, ce qui est largement trs raisonnable pour une telle prcision.