Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 1
Chap.1: OUTILS MATHEMATIQUES
VECTEURS & TORSEURS
L'objectif de ce chapitre est de donner brièvement les outils mathématiques nécessaires à
la compréhension de la suite de ce cours et donner des notions sur les glisseurs et les
torseurs.
1. VECTEURS :
Un vecteur est une grandeur mathématique défini par son sens, son module, sa direction et son point
d’application.
Si son point d’application est quelconque : vecteur libre.
Si son point d’application est fixe : vecteur lié et s’écrit (A, X ).
Si son point d’application est libre sur un support : vecteur glissant.
Géométrique Analytique
Caracteristiques
d’un vecteur
B * Direction.
A X * Sens.
* Point d’application.
* Module ou norme.
Adoption d’une base kjiB ,, liée au repère kjiOR ,,,
L’expression de X dans la base B est :
z
y
x
kzjyixX
B
zyx ,, : sont les composantes de X
2. OPERATIONS ALGEBRIQUES SUR LES VECTEURS :
L'objectif est de voir de façon élémentaire certaines opérations sur les vecteurs.
2.1 Module d’un vecteur :
X
= 2
1
2
1
2
1 zyx
2.2 Vecteur unitaire :
u
: X
Xu
X
= 1
2.3 Egalité de deux vecteurs :
Soient kzjyixX
1111 et kzjyixX
2222
21 XX
1x = 2x ; 1y = 2y ; 1z = 2z
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2.4 Vecteurs opposés :
21 XX
1x =- 2x ; 1y =- 2y ; 1z =- 2z
2.5 Somme des vecteurs :
2121, XXXX
21 XX
= 12 XX
)( 321 XXX
= 321 )( XXX
a )( 21 XX
= a1X
+ a2X
; a R
(a+b) 1X
= a1X
+ b1X
; a, b R
2.6 Multiplication par un réel : XX ,
3. PRODUIT SCALAIRE :
Par définition, le produit scalaire de 2 vecteurs 1X et 2X est:
2121 XXXX
Cosθ tel que θ = (1X
^ 2X
)
Dans une base orthonormée directe kji ,, :
Si kzjyixX 1111 et kzjyixX 2222
Alors on aura : 21212121 .... zzyyxxXX
NB : Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est un SCALAIRE.
Géométrique Analytique
1X
2X
2X
1X
1X 2X
1
1
1
1111
z
y
x
kzjyixX
B
2
2
2
2222;
z
y
x
kzjyixX
B
21
21
21
21212121 )()()(
zz
yy
xx
kzzjyyixxXX
B
Géométrique Analytique
* Même direction que X .
* Sens :- même si 0
X - opposé si 0
* XX
1
1
1
111
z
y
x
kzjyixX
B
1
1
1
111
z
y
x
kzjyixX
B
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Propriétés:
Commutativité: 21 XX 12 XX
Distributivité à droite et à gauche: 3121321 ..)( XXXXXXX et
3231321 ..)( XXXXXXX
Multiplication par un réel: ).(.).().(. YXYXYX λR
Normes:2
32
22
1. xxxXXX
Calculs sur les vecteurs d’une base orthonormée directe
0... ikkjji ; 1... kkjjii
Cas de nullité :
o Un des vecteurs est nul.
o Les deux vecteurs sont orthogonaux.
Dérivée d’un produit scalaire : 122121 Xdt
dXX
dt
dXXX
dt
d
4. PRODUIT VECTORIEL :
Par définition, le produit vectoriel de 2 vecteurs X et Y noté YX est égale Z tel que :
Si on définit l’angle ),( YX , alors
kSinYXYX ..
Sa direction est perpendiculaire au plan formé par X et Y .
Son sens est celui de la rotation de X vers Y (sens de tire-bouchon).
Sa norme est l’aire du parallélogramme formé par X et Y :
YXSinYXYXZ ,
),,( ZYX forme un trièdre direct, quelque soit le point O.
Méthode de calcul :
Dans une base kji ,, , si kxjxixX 321 et kyjyiyY 321 , alors on aura :
Calcul à effectuer: 3
2
1
xxx
3
2
1
yyy
Première composante : On barre la première ligne et on calcule le déterminant restant:
3
2
1
xxx
3
2
1
yyy
233233
22yxyx
yxyx
3
2
1
xxx
3
2
1
yyy
= ??
2332 yxyx
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Deuxième composante : On barre la deuxième ligne et on calcule l'opposé du déterminant restant:
3
2
1
xxx
3
2
1
yyy
)( 133133
11yxyx
yxyx
3
2
1
xxx
3
2
1
yyy
=
?
3113
2332
yxyx
yxyx
Troisième composante : On barre la troisième ligne et on calcule le déterminant restant:
3
2
1
xxx
3
2
1
yyy
122122
11yxyx
yxyx
3
2
1
xxx
3
2
1
yyy
= 1221
3113
2332
yxyxyxyxyxyx
Propriétés:
Anti-commutativité: YX XY
Distributivité à droite et à gauche: ZXYXZYX )( et ZYZXZYX )(
Multiplication par un réel: ).().()(. YXYXYX ; λR
Cas de nullité :
o Un des vecteurs est nul.
o Les deux vecteurs ont même direction.
Dérivée d’un produit vectoriel : 212121 Xdt
dXXX
dt
dXX
dt
d
Calculs sur les vecteurs d'une base orthonormée directe:
kji , ikj , jik
ii jj 0 kk
Méthode pratique : on écrit 2 fois la base, le sens est donné par l’ordre d’écriture
kji ; kij
4.3 Produit Mixte :
Le résultat du produit mixte de trois vecteurs ),,( ZYX est un SCALAIRE égale au volume du
parallélépipède formé par ces vecteurs.
aZYX )(. .
Propriétés:
0)(. ZYX si l'un des vecteurs est une combinaison linéaire des deux autres.
)()()(. YXZXZYZYX
kji kji
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5. CHANGEMENT DE BASE :
5.1 Projection des vecteurs de bases :
Si on exprime les vecteurs de la base ),,( 1111 kjiB dans ),,( 0000 kjiB , on obtient:
001 jSiniCosi
001
jCosiSinj
01 kk
Inversement, si on exprime les vecteurs de la base ),,( 0000 kjiB dans ),,( 1111 kjiB , on obtient:
110 jSiniCosi
110 jCosiSinj
10 kk
5.2 Changements de bases d'un vecteur quelconque :
Soit 1),,( BcbaU un vecteur exprimé dans la base ),,( 1111 kjiB . L'expression de U dans la base
),,( 0000 kjiB sera : 111 kcjbiaU )(00 jSiniCosa )(
00 jCosiSinb 0kc
000 )()( kcjCosbSinaiSinbCosaU
D’où : 0
),,(B
cCosbSinaSinbCosaU
6. MOMENT D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A UN POINT :
Le moment par rapport au point P d’un vecteur V
de point d’application A est par définition :
VPAVM P
Cas particuliers :
Le moment est nul :
- S’il est calculé au point d’application A du vecteur V
: 0
VAAVM A
- S’il est calculé à un point P au support du vecteur V
: 0
VPAVM P
Soient deux bases orthonormées directes
),,( 0000 kjiB et ),,( 1111 kjiB tel que 01 kk
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Propriété :
On connaît le moment en P, comment l’obtient-on en Q ?
VMVQPVPAVQPVPAQPVQAVM PQ
Nous appellerons loi de distribution ou loi du transfert de moment la relation:
VQPVMVMQP PQ
)()(),(
7. SOMME DE n VECTEURS :
Soit l’ensemble de vecteurs E = ),).......(,(),,( 2211 nn VAVAVA
La somme S
de l’ensemble E est : nVVVES
.......)( 21
)(ES
est un vecteur libre et est appelé aussi la résultante )(ER
tel que :
n
i
iVER1
)(
Si l’origine du premier vecteur est confondue avec l’extrémité du dernier vecteur on a )(ER
= 0
8. MOMENTS DE n VECTEURS PAR RAPPORT A UN POINT :
Le moment par rapport à P de E est nnnP VPAVPAVPAEM
........211
EM P est appelé moment résultant de (E) : i
n
i
iP VPAEM
1
EM P est un vecteur dépendant du point P tel que :
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
n
i
iiQ VPAVQPVPAQPVQAEM1111
)()()(),( ERQPEMEMQP PQ
9. NOTIONS SUR LES TORSEURS
Afin de simplifier la présentation des calculs sur les vecteurs ou ensemble de vecteurs (représentant
des forces, des vitesses...) et leurs moments (tels que les moments de force bien connus), nous allons
présenter un formalisme simple permettant de manipuler ces grandeurs : il s'agit de la notion de torseur,
que nous allons présenter à partir de l'exemple d'un ensemble de forces.
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Bien que cette formulation ne soit pas indispensable pour présenter la mécanique générale, nous
l'utiliserons fréquemment dans la suite du cours. Nous pensons en effet que cette présentation permet
d'alléger la formulation des équations et de donner une certaine unité à la présentation des principaux
résultats.
9.1 Torseurs :
Un torseur noté ou ou …….définit en un point P A ou A ou ….. est un champ de vecteurs
antisymétrique.
Pour définir un torseur en un point A, il suffit de préciser :
Le vecteur R : Appelé résultante du torseur, constituant un champ uniforme.
Le vecteur AM : appelé moment du torseur en un point A, constituant un champ non uniforme.
N.B : R et AM sont les éléments de réduction du torseur.
9.2 Notation :
Un torseur se note au point A dans un repère (R) par : A
B =A
BAM
R
Si
BZ
Y
X
R
et
B
A
N
M
L
M
Le torseur s’écrit soit : A
B = A
BA zNyMxLM
zZyYxXR
ou A
B =
A
BNZ
MY
LX
NB : le moment d’un torseur doit vérifier la relation de transfert de moment tel que
)()()(),( TRQPTMTMQP PQ
9.3 Cas particuliers de torseurs :
9.3.1 Torseur nul :
0 =
BM
R
0
0
9.3.2 Torseur couple :
C =
BCM
R
0
o On dit qu’un couple n’a pas de point d’application.
o La somme de n couples est un couple.
Ce type de torseur est nul en tout point.
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9.3.3 Torseur glisseur :
g =
BM
R
0
Les Coordonnées en A seront :
N
M
L
RAP
Z
Y
X
R
g
A
A
o Le moment d’un glisseur est nul sur l’axe et non nul ailleurs.
o Le moment d’un glisseur est perpendiculaire à l’axe et à la résultante.
o Le moment augmente si on s’éloigne de l’axe (en module).
Remarques:
1/ La notion de torseur de force permet donc de parler globalement d'une force et de son moment en
tout point de l'espace.
2/ Les deux vecteurs définis dans un torseur sont de natures différentes. Pour un torseur de force, le
vecteur résultant est une force ayant des composantes dont les unités sont en (N), alors que le moment
en un point est un moment dont les composantes ont des unités en (N.m).
3/ Attention quand l'on demande de définir un torseur, il est nécessaire de donner une réponse pour
la résultante et une réponse pour le moment.
9.4 Opérations usuelles sur les torseurs :
NB : Les torseurs doivent être calculés au même point et exprimés dans le même repère.
On pose : A
B1 =
A
BAM
R
)( 1
1
et A
B2 =
A
BAM
R
)( 2
2
o Somme de deux torseurs : A
B1 + A
B2 =
A
BAA MM
RR
)()( 21
21
o Multiplication par un réel : A
B = A
B =
A
BAM
R
)(
o Co-moment de 2 torseurs : A
B1 = )()( 1221 AA MRMR
A
B2
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9.5 Torseurs équivalents :
Deux torseurs sont dits équivalents, s’ils ont les mêmes éléments de réductions, lorsqu’ils sont
calculés en même point.
A
B1 et sont équivalents A
B1 =
)()( 21
21
AA MM
RR
9.6 Invariants de torseur :
Invariant vectoriel : la résultante du torseur.
Invariant scalaire : le produit scalaire de la résultante par le moment d’un torseur
)()()()( TMTRTMTR PQ
9.7 Axe central d’un torseur :
L’axe central Δ est le lieu des points où la résultante et le moment du torseur sont colinéaires.
Partant d’un torseur connu au point P, soit u
le vecteur unitaire d’orientation de Δ et Q un point appartenant à
l’axe cherché tel que 0)()(
TMTR Q
Soit H la projection de P sur Δ, elle est obtenu par 2
)(
)()(
TR
TMTRHP P
et Q est tel que
HPTRHPQHQP )(
l’axe passant par H et Q constitue l’axe central du torseur PT .
L’axe central Δ ne peut exister que si la résultante est différente de zéro.
L’axe central Δ, sil existe doit être parallèle à la résultante )(TR
.
Si 0)(
TM P , l’axe central Δ est le lieu des points ayant un moment nul.
A
B2 A
B2
u
Q
P
H
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Chap.2: STATIQUE
Après un rappel sur les expressions des torseurs associés aux différents types d'actions
mécaniques, nous introduirons le principe de la statique puis les méthodes de résolution
d'un problème de statique.
1. SOLIDES ET SYSTEMES MATERIELS :
1.1 Système matériel:
Ensemble de matière dont les atomes peuvent être de même nature ou non, déformable ou non,
compressible ou incompressible.
1.2 Solide:
Ensemble de matière dont les atomes sont de même nature, géométriquement parfait, indéformable
et homogène.
2. ACTION MECANIQUE :
2.1 Définition :
Action mécanique : Toute cause ayant pour effet de maintenir au repos, ou de modifier l’état de repos
ou de mouvement d’un mécanisme ou de certaines de ses parties.
2.2 Actions mécaniques
Une action mécanique fait intervenir deux corps, l’un exerçant l’action l’autre la subissant, elle peut
être:
Une action de contact (pression, Force appliquer par un opérateur, action d’une liaison, couple
appliquer par un moteur,………).
Une action à distance (poids, forces électriques et magnétiques,....).
Une action mécanique peut s’exercer :
Sur un point (action ponctuelle).
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Sur une surface (action d’un solide sur un autre au point de contact, pression d’un liquide, d’un
gaz,....)
Sur un volume (poids par exemple).
Une action mécanique peut être :
Intérieure au système considéré (action d’une partie du système sur une autre).
Extérieure au système considéré (action exercée par l’environnement sur le système).
Quel que soit son type, une action mécanique fait intervenir un ensemble de force (élémentaires ou
non)d’où on la représente par un torseur
12
12
12)(F
M C
FF
N.B :
L'ensemble des actions mécaniques qui s'exercent à l'intérieur d'une liaison parfaite peut
être représenté par un torseur résultant exprimé au centre de la liaison. (voir tableau des liaisons)
Somme géométrique des forces
exercées par « 1 » sur « 2 ». Elle est
appelée force.
Somme des moments des forces
exercées par « 1 » sur « 2 » (au point M) appelée couple
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Nom de la
liaison
Symbole
Torseur des actions
du solide 2 sur le
solide 1
Nom de la
liaison
Symbole
Torseur des actions du
solide 2 sur le
solide1
Encastrement
O
NZ
MY
LX
En tout point
Appui plan de normale
),( zO
O
Z
M
L
0
0
0
En tout point
Pivot d’axe
),( xO
O
NZ
MY
X
0
Points de
),( xO
Linéaire
rectiligne
d’axe ),( xO
de
normale ),( zO
O
Z
M
0
0
00
Point du
plan (O,
z , x )
Glissière
d’axe ),( xO
O
NZ
MY
L
0
En tout point
Linéaire
annulaire
d’axe ),( xO
O
Z
Y
0
0
00
Au point O
Pivot glissant
d’axe ),( xO
O
NZ
MY
00
Points de
),( xO
Ponctuelle de normale
),( zO
O
Z
0
00
00
Points de
),( zO
Sphérique ou Rotule
de centre O
O
Z
Y
X
0
0
0
Au point O
Glissière
hélicoïdale
d’axe ),( xO
O
NZ
MY
pXLX
Points de
),( xO
3. PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE :
3.1 Enoncé :
Pour qu’un mécanisme composé d’un ou plusieurs solides soit en équilibre dans un repère galiléen
sous l’effet de n actions extérieures, il faut que les conditions suivantes soient satisfaites :
Etat d’équilibre du mécanisme avant l’étude.
Egalisation du torseur statique des actions mécanique extérieures s’exerçant sur (S) au
torseur nul.
0)(
0)(0)(
SSM
SSRSST
A
S
A
S
avec
statique.moment du théorème: 0S)S(M
statique.résultanteladethéoreme:0S)S(RA
S
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La projection de ces deux théorèmes sur les axes du repère fourni au maximum six
équations analytiques permettant de déterminer les inconnues statiques et/ou géométriques.
Remarques :
a) Le principe fondamental de la statique n’est en fait qu’un cas particulier du principe
fondamental de la dynamique.
b) Pour un ensemble de solides si le torseur des actions mécaniques extérieures est nul par
rapport au repère galiléen, les différents solides constituant l’ensemble ne sont pas
forcément en équilibre, seul l’ensemble est en équilibre.
c) Dans le cas d’un problème plan (par exemple X et Y), la projection fournit trois équations :
Deux équations liées à la résultante statique suivant x et y.
Une équation pour le moment statique portée par l’axe z
3.2 Principe des actions mutuelles (action et réaction) :
Si un système matériel E1 exerce une action mécanique )21( F
sur un système matériel E2 alors le
système matériel E2 exerce sur le système matériel E1 une action mécanique )12( F
telle que :
)1(2F - )21(
F
Ces deux actions mécaniques sont dites réciproques et les torseurs représentant ces deux actions
mécaniques réciproques sont opposés :
MM
SSFSSF ))(( - ))(( 1221
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4. DEMARCHE DE RESOLUTION D’UN PROBLEME STATIQUE:
Isoler le système ......is et
déterminer son extérieure .....is ,
Etablir le bilan et identifier les actions
mécaniques extérieures à is ,
Construire au centre de liaison, le torseur
statique associé à chaque action
mécanique,
Effectuer le transfert de tous les torseurs
en un point bien déterminé,
Appliquer le principe fondamental de la
statique PFS sur .....is
Nombre d’inconnues est
supérieur au nombre
d’équations
Déterminer les inconnues statiques et/ou
géométriques du système
Finir l’étude.
Oui
Non
Isoler un autre sous système en liaison
avec le premier système et déterminer
son extérieure
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Chap.3: CINEMATIQUE
La cinématique est la partie de la mécanique qui étudie les mouvements des corps par
rapport au temps, indépendamment de leurs causes.
1. Paramétrage de la position d’un point :
1.1 Système des coordonnées :
En mécanique on définit la position d’un point M par rapport à un repère de référence choisi ( R ) à
l’aide du vecteur position de M par rapport à RO : MOR
Les paramétrages qui définissent la position d’un point M dans un repère ( R ) sont habituellement :
Les coordonnées cartésiennes,
Les coordonnées cylindriques ou polaires,
Les coordonnées sphériques.
Le type de coordonnées est choisi en fonction du problème que l’on a à traiter (problème à symétrie
de révolution autour d’un axe, problème à symétrie sphérique …).
1.1.1 Les coordonnées cartésiennes :
x, y, z sont les coordonnées de M dans un repère
),,,( zyxOR , tel que O origine de repère et
),,( zyx
les vecteurs unitaires orthogonaux de R
définissant une base B.
La donnée des 3 variables zyx ,, définit 1 point
et un seul de l’espace.
Le vecteur de position de M par rapport à R
(origine) :
Bz
y
x
zzyyxxOM
z z
M
O
y y
x
x
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1.1.2 Les coordonnées cylindriques ou polaires :
, z sont les coordonnées de M dans un repère
),,,(1
zvuOR tel que O origine de repère et ),,( zvu
les vecteurs unitaires orthogonaux de R1 définissant une
base B1.
La donnée des 3 variables z,, définit 1 point et
un seul de l’espace.
Le vecteur de position de M par rapport à R1
(origine) :
1
0.
Bz
zzuOM
z z
M
v
O y y
x
x u
Ce même vecteur peut être exprimé dans R
Bz
Sin
Cos
zzySinxCosOM
Cosx
Siny
1.1.3 Les coordonnées sphériques :
sont les coordonnées de M dans un repère ),,,(2 vjiOR
tel que O origine de repère et ),,( vji
les vecteurs unitaires
orthogonaux de R2 définissant une base B2.
La donnée des 3 variables ,, définit 1 point et
un seul de l’espace.
Le vecteur de position de M par rapport à R2
(origine) :
20
0
B
iOM
Ce même vecteur peut être exprimé dans R1
1
0
BCos
Sin
zCosuSinOM
z
z i M
v
O
y
x j u
SinCosx
SinSiny
Cosz
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Ce même vecteur peut être exprimé dans R
BCos
SinSin
SinCos
zCosySinSinxCosSinOM
1.2 Changement de système de coordonnées :
On peut facilement passer d’un système à un autre en remarquant qu’on doit exprimer le même vecteur
position dans les systèmes de coordonnées.
Exemple : Passer de polaires en cartésiennes ou réciproquement :
zzuOM 1 et zzyyxxOM en identifiant : Cosx ; Siny
1zz
Pour le passage inverse : yx22
; x
ytgarc et zz 1 .
1.3 Angles d’Euler :
1ère Rotation
zvuzyxzRot
,,,,),(
v
z y
x u
2ème Rotation
1),(
,,,, zwuzvuuRot
1z z
w
u v
z
1z
1
y w
v
O y
x u 1x
Les 3 angles d’Euler sont les suivants :
ux, : angle orienté par z
1,zz : angle orienté par u
1,xu : angle orienté par 1z
Ces 3 angles qui sont utilisés dans l’étude du mouvement gyroscopique
portant les noms suivants :
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3ème Rotation
111
),(
1 ,,,,1
zyxzwuzRot
1y
1z w
u 1x
: angle de précession.
: angle de mutation.
: angle de rotation propre.
2. Cinématique d’un point :
2.1 Dérivation d’un vecteur :
2.1.1 Définition :
La dérivée du vecteur tV par rapport à la variable t dans l’espace vectoriel E est le vecteur suivant :
h
tVhtVV
dtd
hE
0
lim
2.1.2 Remarque :
La variable t est quelconque, qui sera bientôt associée au temps.
La variable d’un vecteur, que la dérivée représente dépend de l’espace vectoriel de référence, c’est à
dire en pratique de la position de l’observateur qui étudie la variation du vecteur, d’ou la nécessité de
notations précises. E
dtVd
ou
BdtVd
ou encore
RdtVd
qui se lit : dérivée du vecteur V par rapport à
la variable t dans R.
2.2 Propriétés :
o Dérivée de la somme de vecteurs :
RR
R dtVd
dtVdVV
dtd
21
21
o Dérivée du produit d’une fonction scalaire par un vecteur :
RR
dtVdV
dtVd
avec R
dtd
o Dérivée d’un produit scalaire :
RR
R dtVdVV
dtVdVV
dtd
2
121
21
o Dérivée d’un produit vectoriel :
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RR
R dtVdVV
dtVdVV
dtd
2
121
21
o Dérivée d’une fonction de fonction :
Supposons que le vecteur V est fonction de t et par l’intermédiaire de la fonction .
Alors :
RR d
VdtVdtd
avec Rdt
d
2.3 Dérivée d’un vecteur exprimée dans la base de dérivation :
Dérivée d’un vecteur V exprimée dans la base du repère zyxOR ,,, : soit zcybxaV Avec
):,,( tdefonctionsontcba
RRRRdt
zdczc
dt
ydbyb
dt
xdaxa
dt
Vd
Comme les vecteurs unitaires sont constants dans la base de R , 0
Rdtxd ; 0
Rdt
yd ; 0
Rdtzd
alors : zcybxadt
Vd
R
2.4 Changement de base de dérivation :
Soient zyxOR ,,, et 1111 ,,, zyxOR deux repères orthonormés directes. Considérons un vecteur V exprimé
dans la base du repère 1R : 111 zcybxaV où ):,,( tdefonctionsontcba .
Cherchons la dérivée du vecteur V par rapport à la variable t dans la base du repère R .
Cas ou : zz 1
Posons : 1,xx ou est fonction de ( t ).
La dérivée de V par rapport à la variable t dans R :
RRR
RR
dt
zdc
dt
ydb
dt
xdazcybxa
dt
d
dt
Vd
111111
RRRdt
zdczc
dt
ydbyb
dt
xdaxa
1
1
11
11
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 20
Or la somme 111 zcybxa =
1Rdt
Vd
RRRRRdtzdc
dt
ydb
dtxda
dtVd
dtVd
111
1
comme 01
1
Rdt
zdzz
Pour calculer
Rdtxd
1 on considère que le vecteur 1x est fonction de t par l’intermédiaire de : tx 1 .
Alors
RRRR
dtdavec
dxd
dtd
dxd
dtxd 111
Par projection on obtient : yxx sincos1 ;
R
R
yxdt
d
d
xd)]sin(cos[
1
1cossin yyx
Rd
xd
= 1y
N.B : La dérivée d’un vecteur unitaire par rapport à son angle polaire est le vecteur directeur perpendicularité
(déduite par une rotation d’angle + 90°).
De même façon 11)( x
dt
ydR par suite 11
1
xbyadtVd
dtVd
RR
Ou encore pour mettre en évidence le vecteur V : )( 111
1
zcybxazdtVd
dtVd
RR
On pose : zRR 1 où RR1 : le vecteur de rotation de 1R par rapport à R .
VRRdtVd
dtVd
RR
1
1
(E)
2.5 Propriétés du vecteur rotation :
2.5.1 Composition des vecteurs rotations :
On note iiii zyxB ,, la base du repère orthonormé directe iiii zyxOR ,,, . Etant donné un vecteurV ,
on peut écrire successivement : VRRdt
Vd
dt
Vd
RR
12
21
VRRdt
Vd
dt
Vdnn
RR nn
1
1
Faisons la somme et après simplification on obtient : VRRdt
Vd
dt
Vd n
i
ii
RnR
1
1
1
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 21
Or d’après (E) on a VRRdt
Vd
dt
Vdn
RR n
1
1
Par équivalence entre ces deux dernières équations en obtient :
1RRn 1 nn RR + ………………….. + 12 RR
1RRn 1
1
ii
n
i
RR
Exemple : Expression du vecteur rotation en fonction des angles d’Euler
En reprenant les notations du paragraphe étudier précédemment 13 zuzRR
2.6 Inversion des bases de dérivation :
VRRdt
Vd
dt
Vd
RR
12
21
VRRdt
Vd
dt
Vd
RR
21
12
2.7 Vecteur vitesse d’un point par rapport à un repère :
Le vecteur vitesse d’un point P par rapport à un repère (R), est la dérivée du vecteur position OP par
rapport au temps (t), dans un repère (R) :
R
OPdt
dRPV
Si sOP alors tvtdtdsV P avec t le vecteur unitaire tangent à la trajectoire ( s )
2.8 Vecteur accélération d’un point par rapport à un repère :
Le vecteur accélération d’un point P par rapport à un repère ( R ), est la dérivée du vecteur vitesse
RPV par rapport au temps ( t ), dans un repère ( R ) :
R
RPVdt
dRP
12 RR = 21 RR
Mécanique Générale - Niveau 1
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3. Cinématique du solide :
Dans ce cours, nous nous intéresserons uniquement au solide indéformable. Si M1, M2, M3 et M4 sont
quatre points quelconque du solide, la définition du solide indéformable se traduit mathématiquement par
l’une des deux relations suivantes : 21MM est indépendante du temps, ou bien cteMMMM 4321
3.1 Distribution des vitesses dans un solide :
*A B*
1R
R
O
Soient les deux points A et B d’un solide (1), sont en mouvement par rapport
à un repère R (voir figure ci-contre). Appliquons la relation de changement
de base de dérivation au vecteur AB , entre le repère R et le repère lié au
solide (1) R1 on trouve :
ABRdt
ABd
dt
ABd
RR
1
1
or 0
1
Rdt
ABd car le vecteur
AB étant constant dans 1R
RAVRBVdt
OAd
dt
OBd
dt
OBAOd
dt
ABd
RRRR
11)(
Par suite, la relation entre les vecteurs vitesse des points A et B du solide (1) s’écrit :
ABRRAVRBV 111
3.2 Mouvements plans d’un solide :
3.2.1 Définition :
Par définition, le mouvement d’un solide est dit mouvement plan si tous les points qui le
constituent ont des trajectoires planes et contenues dans des plans parallèles. L’étude d’un tel mouvement
peut donc se restreindre à l’étude d’une « tranche » de solide contenue dans le plan du mouvement. La
section choisie est généralement celle qui passe par le centre de masse.
Remarque : le choix du référentiel fixe d’étude est immédiat (deux vecteurs de base définissant le plan du
mouvement, par exemple i et j ). Ainsi, dans un tel référentiel, le vecteur rotation instantanée ne peut être
que perpendiculaire au plan du mouvement, donc porté par l’axe kO, .
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 23
3.2.2 Exemples de mouvements plans :
Translation rectiligne :
y
1y
0R 1R
(S) 1x
O A B
z x
Le solide (S) glisse le long de (O, x ) avec xVRSV AA 0
Calculons ?0 RSVB
000 RSBARSVRSV AB
or 00 RS car la position angulaire de 1R par
rapport à 0R est constante, donc pour un mouvement de
translation rectiligne : 0RSVB xVRSV AA 0
Remarque :
Si un solide est en translation 00 RS alors tous ses points ont la même vitesse (à l’instant t ).
Mouvement de rotation autour d’un axe fixe :
000 RSMARSVRSV AM vMAzuMA
vMARSVM 0
Remarque :
La vitesse est proportionnelle au rayon AM (en mouvement de rotation).
y
1y
u
v
1x
z
x
Le solide (S) tourne autour de l’axe zA, à la vitesse
angulaire : 0RS z 00 RSVA
110 yABzxABRSVB
1
0 yABRSVB
α
θ
(S)
M
A
B
o
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4. Champ des vecteurs accélération des points d’un solide :
Soient deux points A et B d’un solide (S) en mouvement par rapport à un repère R0.
000 RSBARSVRSV AB 0R dans (t) % dériveon
000
))(( 000
RR
A
R
B
dt
RSBAd
dt
RSVd
dt
RSVd
00
0
000
RR
AB
dt
RSdBARS
dt
BAdRSRS
0
0000 )(
R
A
dt
RSdBARSBARSRS
or BARSdt
BAd
dt
BAd
RR
0
10
avec 01
RdtBAd
On note que le repère R1 est lié au solide (S).
D’ou la relation :
ABRSRSdt
RSdBARS
dt
BAdRSRS
RR
AB
00
0
0
000
1
ABRSRSdt
RSdBARSRS
R
AB
00
0
0
00
Remarque :
Le champ des vecteurs d’accélération des points d’un solide ne vérifie pas la relation du changement de
point du moment d’un torseur, à cause de l’existence du terme
ABRSRS 00.
Par suite, il n’est pas représentable par un torseur.
Mécanique Générale - Niveau 1
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5. Composition des vecteurs vitesses :
y
1z 1y
. P
1x
0R 1R
O1 O
z x
Soit un point P mobile par rapport à zyxOR ,,,0 et 11111 ,,, zyxOR :
Cherchons la relation entre 0RPV et 1RPV .
0
0
)( 110
RRdt
POOOd
dtOPdRPV
or
0
101
Rdt
OOdROV
et PORRRPVPORRdt
POd
dt
POd
RR
1011101
11
10
par suite :
PORRRROVRPVRPV 10101110
Si on considère à l’instant (t) quelconque, le point P lié au repère 1R : 01 RPV et on aura
PORRRROVRRPV 10101101 d’ou la relation :
0110 RRPVRPVRPV
Avec :
Généralisation :
Soit n points, P mobile par rapport à n repères Ri (i = 1,2…..n)
1221 RRPVRPVRPV
2332 RRPVRPVRPV
11 nnnn RRPVRPVRPV
Après simplification :
n
i
iin RRPVRPVRPV1
11 )/(
Or 11 RRPVRPVRPV nn
n
i
iin RRPVRRPV1
11 )/(
Par définition on a :
1221 RRPVRPVRPV
2112 RRPVRPVRPV
Faisons la somme et après simplification on obtient : )/( 2112 RRPVRRPV
0RPV : Vecteur vitesse absolue.
1RPV : Vecteur vitesse relative.
01 RRPV : Vecteur vitesse d’entraînement.
Mécanique Générale - Niveau 1
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6. Composition des vecteurs accélérations :
y
1z 1y . P
1x
0R 1R
O1 O
z x
Soit un point P mobile par rapport à zyxOR ,,,0 et
11111 ,,, zyxOR .
Cherchons la relation entre 0RP et 1RP ? On sait que :
0110 RRPVRPVRPV
PORRRROVRPVRPV 10101110
dérivons chaque terme par rapport au temps ( t ) dans R0 :
00000
10110101110
RRRRR
POdt
dRRPORR
dt
dRROV
dt
dRPV
dt
dRPV
dt
d
En appliquant la relation de changement de base de dérivation, on trouve alors :
1010110 2 RPVRRRRPRPRP
0RP : Vecteur accélération absolue.
1RP : Vecteur accélération relative.
01 RRP : Vecteur accélération d’entraînement.
1012 RPVRR : Vecteur accélération de Coriolis.
7. Vitesse de glissement - Condition de roulement sans glissement :
y
1
1I
0R I 2I
2 z O x
Deux roues de friction :
Considérons deux solides (S1) et (S2) en contact à un instant donné.
Appelons I le point de (S1) et (S2) en contact à cet instant.
On définit la vitesse de glissement 21gV du solide (S1) par rapport
le solide (S2) par:
0/20/121 IVIVV g
Mécanique Générale - Niveau 1
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Si la condition de roulement sans glissement est réalisée, cette vitesse est nulle soit :
021 gV donc 0/20/1 IVIV
Remarques :
Les points I 1 et I 2 ne coïncident qu'à un instant t , aussi l'égalité de leurs vitesses ne
conduit en aucun cas à l'égalité de leurs accélérations: 202101 IVIV
Les points I 1 et I 2 ne sont pas fixes par rapport à (S1) et (S2)
8. Torseurs cinématiques :
Le torseur cinématique du mouvement du solide (2) par rapport au solide (1) s’écrit au point O :
origine du repère locale associé à la liaison :
O
B
O
B
O
BOV
OV
)1/2()1/2(
12
12
12
On pose : zyx zyx 12 et zVyVxVOV zyx 12
O
Bzz
yy
xx
O
O
Bzyx
zyx
O
O
B
V
V
V
zVyVxVOV
zyx
12
12
1/2
Changement de point de calcul du torseur cinématique :
Connaissant le torseur cinématique au point (O), cherchons ce torseur au point (P) ?
O
B
O
B
OV
12
12
12 et
P
B
P
B
PV
12
12
12
Si on connaît la vitesse au point (O), alors la vitesse au point (P) est :
121212 POVV OP
Tableau des torseurs cinématiques des liaisons normalisées :
L'ensemble des mouvements qui s'exercent à l'intérieur d'une liaison peut être représenté par un
torseur cinématique exprimé au centre de la liaison. (Voir tableau des liaisons usuelles)
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 28
Nom de la
liaison
Symbole
Torseur
cinématique du
solide 2 sur le
solide 1
Nom de la
liaison
Symbole
Torseur
cinématique du
solide 2 sur le
solide1
Encastrement
000
000
O
En tout
point
Appui plane de
normale ),( zO
000
vu
O
En tout
point
Pivot d’axe
),( xO
000
00
O
Points
de
),( xO
Linéaire
rectiligne
d’axe ),( xO
de normale
),( zO
00 v
u
O
Points du plan
(O, z , x )
Glissière
d’axe ),( xO
00
000 u
O
En tout
point
Linéaire
annulaire
d’axe ),( xO
00u
O
Au point O
Pivot glissant
d’axe ),( xO
00
00
u
O
Points
de
),( xO
Ponctuelle de normale
),( zO
0vu
O
Points
de ),( zO
Rotule ou Sphérique
de centre O
000
O
Au point O
Glissière
hélicoïdale
d’axe ),( xO
00
00
pu
O
Points
de ),( xO
Si on compare le torseur statique d’une liaison sans frottement avec son torseur cinématique on constate
que la somme : 21212121 / SSSSMSSOVSSRO
est toujours
nulle.
Composition des torseurs cinématiques :
Considérons n repères R1 , R2 , …, Rn en mouvement les uns par rapport aux autres. Le torseur
cinématique du mouvement Ri par rapport à Ri-1 au point P s’écrit :
1
1
1
ii
ii
P
RR
RRPV
RR
ii et
1RRn
1
2
ii RR
n
i
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 29
Travaux dirigés:
MECANIQUE GENERALE
Niveau 1
Mécanique Générale - Niveau 1
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TD
Mécanique Générale
Niveau 1
CHAPITRE 1 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
OUTILS MATHEMATIQUES
VECTEURS & TORSEURS
Réalisé par
Wiem CHAANBANE
Exercice 1 :
Si zyx ,, sont les vecteurs unitaires d’une base orthonormée directe.
On donne : 1111 ,, zyxV , 2222 ,, zyxV et 3333 ,, zyxV .
1 - Calculer 21 VV puis 12 VV .
2 - Calculer 11 VV
3 - Calculer 21 .3.2 VV
4 - Calculer )( 321 VVV puis 3121 VVVV . Comparer les résultats.
Exercice 2 :
Soit un espace vectoriel muni d'un repère orthonormé kjiO ,,,
A/ Soit un repère fixe ),,,( 0000 zyxOR , Soient des repères mobiles ),,,( 1111 zyxOR , ),,,( 2222 zyxOR .
On note: 10,xx 10,yy , 21,xx 21,zz .
1- Faire des représentations planes permettant de visualiser chaque changement de base.
2- Déterminer les expressions des vecteurs de la base 2b exprimés dans 1b .
3- Déterminer les expressions des vecteurs de la base 0b exprimés dans 1b .
4- Déterminer directement les produits scalaires: 21 xx , 21 zx , 21 xz .
5- Déterminer directement les produits vectoriels: 21 zz , 21 zy ,21 yz
B/ Soit les vecteurs 1,4,3A , 3,6,2 B , 2,1,5 C , 5,4,1 D
1- Calculez les produits scalaires : .A B
, .A C
, .A D
, .C B
, .B D
et .C D
2- Calculez les produits vectoriels: A B
, A C
, A D
, C B
, B D
et C D
C/ Soit deux vecteurs u
et v
tels que:
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 31
2u
et ,4
i u
; 4v
et 5
,4
i v
; 3w
et 3
,4
i w
1- Représentez les vecteurs dans le plan , ,O i j
2- Calculez les coordonnées cartésiennes de u
, v
et w
dans la base , ,i j k
3- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique): .u v
, .u w
et .v w
4- Calculez directement (en utilisant la formule de calcul pratique): u v
,u w
et v w
Exercice 3 :
A/ Soit les vecteurs forces 0,,0 AA YF ; BBB ZYF ,,0 et CCCC ZYXF ,, appliqués à
un solide aux points 0,0,aA , 0,,0 bB et cC ,0,0 dans un repère zyxOR ,,, .
1/ Ecrivez le torseur de chaque force à son point d’application.
2/ En déduire le torseur de chaque force en O.
3/ Donner le torseur équivalent à la somme.
B/ Soit les vecteurs forces AAAA ZYXF ,, et 0,, BBB YXF appliqués à un solide aux points
0,,baA et dbcB 4,, dans un repère zyxOR ,,, .
1- Ecrivez le torseur A et B on leurs points puis en O ?
2- Calculer la somme de deux torseurs ?
3- Déterminer le torseur équivalent aux torseurs A et B
?
4- Calculer le comoment de deux torseurs A et B
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 32
Exercice 4 :
A/ Soit un torseur de résultante: 4,1,3 R et de moment au point O: 0,3,2)( OM
Calculer le torseur au point A(2,-1,4) et B(6,-3,-2).
B/ On considère une poigné de serrage d’un mécanisme, à l’extrémité
de la quelle s’exerce une action mécanique représentée par le glisseur
FA, , tel que dans un repère orthonormé directe zyxOR ,,, :
zFxFF zx et
ydOA . La vis de serrage a pour axe zO, .
1 – Déterminer le moment au point O du glisseur FA, .
z
F
o y
x
2 – En déduire le moment du glisseur FA, par rapport à l‘axe zO, (moment de serrage) et par rapport à
l’axe xO, (moment de basculement).
C/ On pose que la poutre ci-dessous est soumise à l’effort yFxFF yx
y
F
O l
A x
Ecrivez le torseur de F en A puis en O.
D/ Soient deux vecteurs glissants : en A(1,0,0)
aaU 1
1et en B(0,1,0)
12
aV
a) Ecrivez le torseur A et B on leurs points puis en O.
b) Pour quelle valeur de a sont-ils équivalent à un Couple ? à un Glisseur ?
c) Calculer le moment du couple et déterminer le support de glisseur.
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 33
TD de MG
Niveau 1
CHAPITRE 2 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
STATIQUE
Réalisé par
Wiem CHAANBANE
Exercice 1 : Système de serrage simultané
Le mécanisme représenté sur la figure 1 et schématisé sur la figure 2 permet de serrer simultanément
deux pièces (1) et (2), de masse négligeable, sur le bâti (0) à l’aide des brides (3) et (4).
Pour l’étude statique, les liaisons des pièces (1) et (2) avec le bâti peuvent être considérée comme des
liaisons encastrement.
yHBDyHACyhxLBJyhxLAI
,,, (L, H et h constantes positives)
.4/),(),(),(),( 4433 yyxxyyxx
Le plan ),,( yxO
de normal z
est un plan se symétrie pour notre mécanisme.
Entre la pièce (5) et le bâti (0) on a une liaison appui plan, l’action de l’écrou (8) sur (6) en E (effort de
serrage) est donnée .yFF
L’action du ressort (7) est négligée.
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 34
Questions :
On se propose de déterminer les efforts de serrage 2/41/3 FetF
appliqués respectivement en I et en J. Pour
cela :
1- Isoler (3) + (4) + (5) + (6) et appliquer le théorème de la résultante générale en projection sur .x
2- Isoler (3) et appliquer le théorème du moment statique par rapport au point A.
3- Isoler (4) et appliquer le théorème du moment statique par rapport au point B.
4- Isoler (6) et appliquer le théorème de la résultante générale en projection sur y
.
5- Déduire les efforts de serrage en I et J.
Exercice 2 :
La figure ci dessus représente une potence de maintien d'un palan. Le système du palan exerce sur la
potence au point M un effort P=2000 daN susceptible de se déplacer le long de la poutre (3)
Les liaisons en A, B et D sont des liaisons pivots d'axe horizontal.
On traitera le problème dans le plan de la figure.
1. Isoler l'ensemble de la potence et faire un bilan des inconnues ?
2. Isoler la tige 2 et déterminer les actions 2/1A et 2/3A ?
3. Isoler la poutre 3 et déterminer l’action 3/1A ?
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 35
Exercice 3 :
On se propose de déterminer les actions exercées sur les liaisons en A et C. on suppose que les liaisons sont
symétriques par rapport au plan ).,,( yxE
Sont donnés :
).0,,(),0,,(),0,,(),0,,(,5000,2000 22 baGfeChgBdcANFFNP
1. Isoler et transférer en E les torseurs correspondants aux actions mécaniques qui s’exercent sur la lame
(2).
2. Appliquer le PFS sur (2) et résoudre le système d’équation correspondant.
3. Choisir un autre sous ensemble l’étudier statiquement pour réduire le nombre d’inconnues.
Une lame (2) de compacteur (schéma(1)) de poids
yPP
22 , utilisée sur les chantiers pour tasser et
égaliser les sols, est articulés en C sur un châssis (1) et est
manœuvrée en A par un vérin hydraulique, composé d’un
corps (3) et d’une tige (4), articulé en B sur (1). Les
liaisons en A, B et C sont des liaisons pivots dont les
centres portent le même nom.
On se place dans le plan de symétrie de l’appareil, la
lame est en équilibre.
Schématise le poids de la lame et désigne l’action du sol
(0) sur la lame (2) par F
.
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 36
4. Déterminer les actions mécaniques en A et en B.
CORRECTION TD N° 2
Il s’agit d’un problème plan suivant ).,,( yxO
1. On isole (3) + (4) + (5) + (6)
Inventaire des actions/
Action de (1) sur (3) en I (appui ponctuel)
0
0
0
0
03/1
I
I
X
Action de l’écrou (8) en E
0
0
0
0
0
FF E
Action de (0) sur (5) en O (appui plan)
O
OO
N
Y 0
0
0
0
5/0
Action de (2) sur (4) en J
0
0
0
0
04/2
J
J
X
Théorème de la résultante générale : 0
s
Par projection sur :x
0. JI XXxs
(1)
2. On isole (3)
Inventaire des actions
Action de (1) sur (3) en I
0
0
0
0
03/1
I
I
X
Action de (6) sur (3) en C :
0
4/sin4/(cos3
3/6
c
Cc
C
yxXxXs
),,(
3/6
0
0
0
02
22
2
zyx
C
C
CX
X
Action de (5) sur (3) en A (liaison pivot)
0
0
0
0
3/5 A
A
AY
X
Théorème du moment statique au point A : 0
A
sACCA
3/63/6
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 37
C
C
C
XH
X
X
H
2
2
0
0
02
22
2
0
0
0
C
C
C
A
XH
X
X
2
2
0
0
02
22
2
3/6
3/13/13/1 sAIIA
I
I
hX
X
h
L
0
0
0
0
0
0
I
I
A
hX
X
0
0
0
03/1
Par projection sur z
02
2. ICA hXXHz
(2)
3. on isole (4)
Inventaire des actions
action de (2) sur (4) en J
0
0
0
0
04/2
J
J
X
action de (5) sur (4) en B
0
0
0
0
4/5 B
B
Y
X
action de (6) sur (4) en D
02
2
2
24
4/6
D
DDD yYxYyYs
),,(
4/6
0
0
0
02
22
2
zyx
D
D
DY
Y
Théorème du moment résultant au point B
0
B
J
J
JB
hX
X
h
L
sBJ 0
0
0
0
0
4/24/24/2
J
J
B
hX
X
0
0
0
04/2
D
D
D
DB
HY
Y
Y
HsBD
2
2
0
0
02
22
2
0
0
4/64/64/6
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 38
D
D
D
B
HY
Y
Y
2
2
0
0
02
22
2
4/6 D’où : 02
2. DJB HYhXz
(3)
4. on isole (6) :
Inventaire des actions
Action de l’écrou (8) en E
0
0
0
0
0
FF E
Action de (3) sur (6) en C
0
0
0
02
22
2
6/3 C
C
CX
X
Action de (4) sur (6) en D
0
0
0
02
22
2
6/4 D
D
DY
Y
Action de (5) sur (6) en K liaison pivot glissant
K
K
K
N
X
0
0
0
06/5
Théorème de la résultante générale : 0
s
Par projection sur y
02
2
2
2. DC YXFys
(4)
5. on a un système de 4 équations à 4 inconnues ),,,( DCFI XXXX
Notre système admet une solution unique
(1) JI XX ; (3) devient 0
2
2 DI HYhX ; (3) + (2) DC YX
Donc (4) 02 CXF 2/FXC
(2) àhXFH
I
2
.2
2
h
HFX I
2 Et
h
HFX F
2
D’où
0
02
1/3
h
HF
F
et
0
02
1/4
h
HF
F
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 39
TD
Mécanique Générale
Niveau 1
CHAPITRE 3 ¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤
CINEMATIQUE
Réalisé par
Wiem CHAANBANE
Exercice 1 :
On considère les repères kjiOR ,,,0 , kvuOR ,,,1 et tnuOR ,,,2 tels que ),(),( vjui
et ),(),( tknv . Un point M est tel que nROM , avec R = constante.
a) Donnez les expressions de n et t dans 1B
b) Donnez les expressions de nvu ,, et t dans 0B
c) Donnez les coordonnées cartésiennes du point M dans 0B
d) Donnez les expressions de la vitesse 0/ RMV et de l'accélération 0/ RM du point M par
rapport au repère de référence 0R .
e) Donnez les expressions de la vitesse 1/ RMV et de l'accélération 1/ RM du point M par
rapport au repère de référence 1R .
Exercice 2
Considérons une centrifugeuse de laboratoire composée d’un bâti (S0), d’un bras (S1) et d’une
éprouvette (S2) contenant deux liquides de masses volumiques différentes.
Sous l’effet centrifuge due à la rotation du bras (S1), l’éprouvette (S2) s’incline pour se mettre
pratiquement dans l’axe du bras et le liquide dont la masse volumique est la plus grande est rejeté vers le fond
de l’éprouvette, ce qui réalise la séparation des deux liquides (voir figure ci-contre).
Soient : zyxOR ,,, un repère lié à (S0).
11,,,1
zyxOR un repère lié à (S1).
1z G
β
β
1y
2x
2y
x x
S1
S0
A O
S2
1zz
1y
y
x
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 40
1222 ,,, zyxOR un repère lié à (S2).
Les solides (S0) et (S1) ont une liaison pivot d’axe (O, x ).
Les solides (S1) et (S2) ont une liaison pivot d’axe (A, 1z ) telle que 1yaOA (a constante positive
exprimée en mètres)
Posons : ),( 1yy avec t (ω constante positive exprimée en radians par seconde).
),( 2xx ; étant une fonction du temps inconnue.
Soit G le centre d’inertie de (S2) tel que : 2xbAG ; (b=cste>0 ; [m])
1. Déterminer le vecteur rotation de la base du repère 1R , lié au solide (S1), par rapport à la base du
repère R : RRRS 11 ?
2. Déterminer le vecteur rotation de la base du repère 2R , lié au solide (S2), par rapport à la base du
repère R : RRRS 22 ?
3. Déterminer le vecteur vitesse du point G par rapport au repère R : RGV ?
4. Déterminer le vecteur accélération du point G par rapport au repère R : RG ?
Exercice 3 :
Soit zyxOR ,,, repère lié au bâti (0) d’un régulateur à boules schématisé comme l’indique la
figure suivante :
1y
3y
1
y 2y 2x
B
2 3
z 1 C
A 3x
1z O O D x
0 4
x 1z
Soient : 111 ,,, zyxOR Repère lié au bâti (1)
1222 ,,, zyxAR Repère lié au bâti (2).
1333 ,,, zyxBR Repère lié au bâti (3).
Mécanique Générale - Niveau 1
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114 ,,, zyxDR Repère lié au bâti (4).
Le corps (1) a une liaison pivot d’axe xO, avec (0).
Le levier (2) a une liaison pivot d’axe
1, zA avec (1).
Le levier (3) a une liaison pivot d’axe
1, zB avec (2).
La pièce (4) a une liaison pivot glissant d’axe xO, avec (0).
La pièce (4) a une liaison pivot d’axe
1,zC avec (3).
On pose :
1
, yyt ;
2, xxt .
1yrOA 0r ; 2xlAB 0l ;
1yrDC et 3xlBC .
Le point D est située sur l’axe xO, .
QUESTIONS :
Déterminer :
1. les vecteurs rotations: 01 , 02 , 03 , 23 .
2. les vecteurs vitesse du point B : 1BV , 01BV , 0BV .
3. les vecteurs vitesse du point C : 2CV , 02CV , 0CV .
4. les vecteurs accélération du point B : 1B , 01 B , 0B .
Mécanique Générale - Niveau 1
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CORRECTION TD N° 3
Exercice 3 : Régulateur à boules
1. xzx
)0/1()1/2()0/2( ; )0/1( 1
xz
)0/1()1/3()0/3( 1
xzxzz
)2/0()0/3( 2)2/3( 111
2. 1111 21 )1/(
RRRR xdt
dly
dt
drABOA
dt
dOB
dt
dBV
2212 )( )1/2( ylxzlxl
2 )1/( ylBV
)0/1()0/1()0/1(
BAAVBV
xxlAVAV
)1/()0/( 2
xyxlOAdt
dOA
dt
dRR
) sin (cos 110
1111 sin )( sin 0
zlyxrzlydt
dr
R
1 )sin()0/1( zlrBV
)0/1()1/()0/( BVBVBV
12 )sin( zlryl
11 )sin( sin cos)0/( zlrxlylBV
0000
)0/( 1 RRRR ABdt
dly
dt
drABOA
dt
dOB
dt
dBV
21121 )()())0/2(())0/1(( xxzlyxrxlyr
)sin(cos)( 111 yxxzlzr
xlylzlrBV
sin cos )sin()0/( 11
3. 2222
)2/( RRRR BCdt
dlAB
dt
dBCAB
dt
dAC
dt
dCV
22
32 l RR
xdt
dlx
dt
d
3)2/3( xl
31 2 xzl
3 2)2/( yLCV
BCBVCV )0/2()0/2()0/2(
BCBVOBV )0/2()2/()/(
Mécanique Générale - Niveau 1
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BCABdt
dOB
dt
dRR )0/2(
20
BCxdt
dly
dt
dr
R )0/2(21
0
BCxxzlyxr )0/2() ( 211
321 )0/2( ylylzrCV
) sin (cos )0/2()2/()0/( 11 xylzrCVCVCV
213 ylzryl
xlzrCV
sin2 )0/( 1
00000 321)0/(
RRRRR xdt
dlx
dt
dly
dt
drBCABOA
dt
dOC
dt
dCV
321 )0/3()0/2()0/1( xlxlyr
111111 sin (cos) ( sin (cos) ( yxxzlyxxzlyxr
321 )0/2( ylylzrCV
4. 1
11 222)1/()1/(R
RRy
dt
dlylyl
dt
dBV
dt
dB
21222 )1/2( yzlylylyl
22 )1/( xlylB
0
)0/1()0/1(R
BVdt
dB
)1/()0/1(2)0/1()1/()0/( BVBBB
Mécanique Générale - Niveau 1
ISET de Mahdia Département Génie Mécanique 44
Références bibliographiques
[1] : Jean Luis Fanchon, <Guide de mécanique sciences et technologies industrielles> ; NATHAN ;
2003.
[2] : Claude Chéze-Eléne Lange, <Mécanique générale> ; ELLIPSES, 1995.
[3] : Bernard Gendreau, <L’essentiel de la mécanique du point matériel> ; ELLIPSES, 1993.
[4] : Yves Bremont – Paul Reocreux, <Mécanique1 : mécanique du solide
indéformable> ;ELLIPSE, 2003.
[5] : Abdelmajid FATNASI ; <mécanique générale des solides> ; EDITON un plus 1999.