Embed Size (px)
Citation preview
Chapitre 2 :
Cal c u l s d es d é b its pl u v iau x d e pro j ets : m é tho d es
d y n am iq u es
1. Modélisation des précipitations
1.1. Modèles de pluie ponctuelles
1.1.1. Courbes I-D-F
a. définition
C'est un modèle probabiliste de l'intensité pluvieuse extrême au cours d'un événement
pluvieux observé généralement en un point (série pluviométrique ponctuelle). Il permet
d'attribuer une fréquence d'apparition F (ou une période de retour T) à l'intensité
moyenne pluvieuse maximale sur une certaine durée t : iM(t,T)
Pour une station pluviométrique, on dispose de N années de mesures. Si l'on a observé
n événements tels que iM(t)≥I, la "fréquence" associée est :
F=Prob(iM(t)≥I) = n/N
Et la période de retour correspondante :
T=1/F
En hydrologie urbaine, c'est la pluie décennale qui sert souvent de base au
dimensionnement. L'intensité décennale I10(t) , pour une pluie de durée t , est telle que
Prob(iM(t)≥I10(t)) = 0,1. Cette intensité est atteinte ou dépassée en moyenne une fois
tous les 10 ans.
b. Méthode de construction des courbes IDF
Conditionnement des données : Pour une averse donnée, il s'agit de déterminer
l'intensité maximale observée sur une durée t. Le dépouillement de l'hyétogramme peut
se faire à origine fixée (à éviter) ou à origine variable.
i(mm/h) i(mm/h)
t (mn) t (mn)15 30 45 60 75 100
10
20
30
40
10
20
30
40
15 30 45 60 75 100
Figure 1 : dépouillemen t
a ) à origin e f ix e b ) à origin e v a ria b le
On constitue ainsi pour une pluie donnée un tableau faisant correspondre à chaque
durée t (plutôt un intervalle de temps ∆t), l'intensité maximale moyenne correspondante
iM=∆h/∆t (où ∆h est la hauteur de pluie tombée pendant l'intervalle de temps ∆t)
Tableau 1 - Conditionnement des données : Exemple de l'averse du 23 juin 1936, Paris Montsouris
Constitution de l'échantillon des maximas : Le conditionnement des données a permis
d'associer à chaque événement pluvieux un ensemble d'intensités moyennes
maximales prises sur les différentes durées de cumul choisies. Il est alors nécessaire de
retenir parmi ces valeurs celles sur lesquelles va porter l'analyse fréquentielle.
Plusieurs choix sont possibles pour constituer l'échantillon analysé. On peut retenir,
pour une durée ∆t fixée :
i) toutes les valeurs soit autant que d'événements pluvieux ;
ii) les valeurs dépassant un seuil et la question est alors de définir ce seuil (ce choix est
celui de Météo France qui utilise les seuils donnés dans le tableau 1 indépendamment
du lieu et de la période d'observation) ;
Durée de cumul H a ut eur mi n i ma le ( mm) I n t en s i t é éq ui v a len t e ( mm/ h )
6 mn 4 40
1 5 mn 6 2 4
3 0 mn 7 1 4
1 h 9 9
2 h 1 1 5 , 5
3 h 1 4 4, 7
6 h 1 7 2 , 8
1 2 h 2 1 1 , 7
2 4 h 2 6 1 , 1
48 h 3 6 0 , 7
96 h 48 0 , 5
T a b lea u 2 : S euils de s élec t ion des in t en s it és moy en n es ma x ima les ret en us pa r M ét éo-Fra n c e pour dif f éren t es durées
de c umul.
iii) les valeurs maximales annuelles, soit autant de valeurs que d'années d'observation ;
iv) les P plus fortes valeurs, avec P généralement pris égal au nombre d'années
d'observation.
Ce choix est important car il conditionne de manière sensible les résultats obtenus
Les P intensités maximales sont classées par ordre décroissant.
A chaque valeur de la série, on associe une fréquence empirique basée sur le rang r de
la valeur :
F=r/P
A la formule ci dessus, (qui donne un événement certain pour la valeur de rang P), on
préfère la formule ci dessous :
F=(r-a)/(P+1-2a) avec a=0,5 en général
Lorsque le nombre P de maxima analysés correspond au nombre d'années
d'observation N (c'est à dire lorsque l'échantillon est constitué en suivant les règles iii)
ou iv)) les fréquences calculées deviennent des fréquences annuelles. Les inverses des
fréquences de dépassement Ti = 1 /Fi sont les périodes de retour qui se définissent
comme l'intervalle de temps moyen en années séparant deux événements pluvieux pour
lesquels l'intensité moyenne maximum sur une durée donnée atteint ou dépasse une
certaine valeur. Le mode de calcul donné plus haut conduit à associer au plus fort
événement observé (i=1) une période de retour Ti = N /0,5 égale au double de la durée
d'observation.
Tableau 3 - Constitution de l'échantillon des maximax : exemple des durées 30 et 40 mn à Paris
Montsouris
Il est à remarquer que les N valeurs retenues pour chacune des durées d'analyse ne
correspondent pas nécessairement aux mêmes événements pluvieux. En particulier,
l'événement générant l'intensité moyenne maximale la plus forte sur la période
d'observation, pour une durée particulière d'analyse, n'est pas nécessairement le même
que celui qui génère l'intensité moyenne maximum pour les autres durées d'analyse.
Ceci signifie que la période de retour que l'on calcule n'est pas celle de l'événement
pluvieux dans son ensemble, mais celle d'une caractéristique particulière de
l'événement pluvieux considéré. Formulé autrement, il est parfaitement normal, sur une
durée d'observation de N années, d'obtenir plusieurs événements pluvieux dont l'une au
moins des caractéristiques possède une période de retour de 2N années
Choix d'un modèle : Pour une même période de retour (même F), on cale un modèle
théorique de courbes intensité-durée. Les modèles le plus souvent employés sont :
Formule de Montana : i(t,T)=a(T)tb(T)
Formule de Grisollet : )(
)(),(
Tbt
TaTti
+=
Formule de Keifer-Chu :)()(
)(),(
TcTtb
TaTti
+=
Les modèles à deux paramètre, dont celui de Montana, ont des limites et permettent des
calages souvent peu satisfaisant sur la plage de durées intéressantes en hydrologie
urbaine. Par exemple la formule de Montana s'ajuste mal pour des durées supérieures à
2h et tend vers l'infini pour les faibles durée (t → 0).
0
50
100
150
200
250
0 20 40 60 80 100 120 140
durée en mn
retour 100 ans
retour 10 ans
retour 5 ans
Intensité mm/h
F i g u r e 2 : C o u r b e s I n t e n s i t é -d u r é e -f r é q u e n c e d e l a s t a t i o n d e P a r i s -M o n t s o u r i s e n t r e 1 9 2 7 e t 1 9 7 8 p o u r l e s p é r i o d e s
d e r e t o u r d e 5 , 1 0 e t 1 0 0 a n s . A j u s t e m e n t s p a r l a f o r m u l e d e G r i s o l l e t
1.1.2. Pluies de projets
Evénement pluvieux fictif, généralement représenté par son hyétogramme, et censé à la
fois :
- être représentatif de la pluviométrie locale,
- provoquer des effets dans le réseau d’assainissement (débit, volume, etc.) auxquels il
est possible d'associer une période de retour.
a. Modèle de Keifer
A la fin des années 1950, les premiers besoins d'études en hydrologie urbaine butent
sur la difficulté à représenter la pluie à de faibles pas de temps. En effet, les méthodes
classiques de l'hydrologie, utilisant des pluies d’intensité constante pendant toute leur
durée, ne conviennent pas pour représenter les phénomènes brefs et violents qui sont
les plus critiques pour les bassins versants urbains. D'autre part les moyens de calcul
de l'époque sont extrêmement réduits et il n'est pas envisageable de réaliser plusieurs
simulations avec différents événements pluvieux. Enfin, les données pluviométriques
disponibles sont très réduites, en nombre comme en qualité.
Dans ce contexte, en 1957, [Keifer & Chu, 1957] proposent de représenter la
pluviométrie locale par un événement fictif unique. La méthode qu'ils proposent est
relativement simple. Elle consiste à utiliser les courbes Intensité-durée-fréquence pour
construire un hyétogramme synthétique tel que l'intensité moyenne maximum de pluie
ait la même période de retour quelle que soit la durée d'analyse. Pour déterminer la
relation analytique entre l'intensité instantanée et le temps, il suffit alors de résoudre une
équation intégrale plus ou moins simple selon l'ajustement utilisé pour les courbes
Intensité-durée-fréquence.
Si l'on considère un hyétogramme synthétique tel que le maximum d'intensité soit situé
à l'origine des temps (averse de type complètement avancée), et quel que soit le temps
t considéré, inférieur ou égal à la durée de l'averse, on peut écrire :
i d i tmoy
t
( ) . .τ τ =∫0
( 1 )
avec i(τ) intensité instantanée et imoy , intensité moyenne sur la durée t. A partir des courbes IDF, et connaissant la période de retour, on peut évaluer imoy. Keifer
et Chu proposent d'utiliser un ajustement des courbes IDF de la forme :
ia
t cmoy b
=+
( 2 )
En dérivant les deux termes de l'équation (1) on obtient alors :
d
dti d
d
dt
a t
t c
t
b( ) .
.τ τ0
∫
=
+
( 3 )
soit :
( )i t
a b t c
t c
b
b
( ).( ).= − +
+
12
( 4 )
Cette relation donne la forme d'un hyétogramme correspondant à une pluie de type
totalement avancé (monotone décroissante) qui est représentée par la figure 1.
i(t)
t
Figure 3 : Hyétogramme avancé de type Keifer-Chu.
Plutôt que de présupposer un modèle, pour la courbe IDF on peut discrétiser la courbe
Imax(t,T) correspondant. L'équation (3) donne en effet, si on ne modélise pas la courbe
IDF,
( )tTtidt
ddi
dt
d
M
t
⋅=
∫ ),().(
0
ττ ( 5 )
S o i t :
( )[ ] ( )TtitTtidt
dti
MM,),()( +⋅= ( 6 )
Si on discrétise la dérivée, au pas de temps n.dt (n=0 à ∞) la pluie synthétisée peut être
approximée par :
( ) ),)1((),)1((),(
Tdtnindtdt
TdtniTndtindti
M
MM −+⋅−−= (7)
Soit :
( ) ),)1(()1(),( TdtninTndtinndtiMM
−⋅−−⋅= ( 8 )
Cette forme de pluie synthétique, qui suppose que l'intensité instantanée est
uniformément décroissante, est bien évidemment peu probable : les éléments la
composant ont été observés sur des pluies aux caractéristiques météorologiques très
différentes. Ainsi, les hauteurs de pluie fortes sur de cours pas de temps proviennent
habituellement d'événements orageux intenses et de courte durée alors que les
hauteurs de pluie importantes sur de longues durées peuvent provenir d'épisodes
d'intensité faible ou modérée, ces deux types de pluie n'étant en général pas
concomitantes.
Keifer et Chu vont donc modifier le mode de construction du hyétogramme en
considérant deux périodes : l'une précédant la pointe d'intensité, de durée :
t r ta
= . ( s i t e s t l a d u r é e t o t a l e d e l a p l u i e ) ,
et l'autre suivant la pointe d'intensité, de durée :
t r tp
= −( ) .1
Le coefficient r, compris entre 0 et 1 caractérise la forme du hyétogramme. A partir de
l'analyse d'averses orageuses enregistrées sur la ville de Chicago, Keifer et Chu
proposent de donner la valeur 0,5 à r. Les calculs se mènent alors comme
précédemment, l'intégrale étant calculée entre ta et tp (Cf TD n°2)
i d i tmoy
r t
r t
( ) . .
.
( 1 ) .
τ τ =−
−
∫ ( 9 )
Cette méthode est intéressante par sa simplicité et son caractère exemplaire ; elle va
cependant faire l'objet de plusieurs critiques. La principale d'entre elles est que la
période de retour que l'on doit attacher à un tel événement pluviométrique est
supérieure à la période de retour de la courbe IDF à partir duquel il a été construit. En
effet, du fait du mode de construction, la pluie a la même période de retour quelle que
soit la durée d'analyse, ce qui n'est pas le cas d'une pluie réelle. La période de retour
réelle des débits générés par un tel événement pluvieux est donc également supérieure
à celle escomptée. Elle est de plus difficile à déterminer.
b. Modèle de Normand
Pour pallier le défaut du modèle de Keifer, Norman et al (1971) proposent quelques
aménagements suite à l'observation de structure d'averses enregistrées en plusieurs
points de France. (i) La période de retour d'une pluie réelle est associée à une durée t1
(ii) pour les durées t2 inférieures ou supérieures à t1 , les intensités moyennes maximales
doivent correspondre à des périodes de retour plus faibles.
L'abaque de la figure 4, extrait de [Deutsch & al., 1989], permet de déterminer les
périodes de retour à prendre en compte.
5 10 15 20 30 45 60 minutes
1 15 2 3 4 5 61
2
3
4
5678910
T période de retouren années
t1 = 5'
t1 = 15'
t1 = 30'
t1 = 1h
t1 = 3h
t1 = 6h heures
t1 = 6h
t1 = 1h
t1 = 30'
t1 = 3h
t1 = 15'
t2
Figure 4 : Période de retour des intensités I(t2) associées à une intensité décennale I(t1) dans un hyétogramme décennal centré sur I(t1). Valeurs moyennes françaises.
Extrait de [Deutsch & al., 1989]. Pour construire la pluie de projet, le temps t1 (et la période de retour associée T)
peuvent être déduit en considérant une durée critique pour le bassin versant (le temps
de concentration par exemple). Pour le reste de la pluie, à un temps t correspond une
période de retour donné par l'abaque ci-dessus. La courbe IDF donne ensuite l'intensité
de la pluie pour ce temps t.
Cette méthode, bien qu'intéressante a fait l'objet de critiques sur sa validité statistique.
Elle repose en effet sur des corrélations entre contenant et contenu qui n'assurent pas
l'indépendance stochastique des variables analysées
c. Modèle de Desbordes
En 1973, M. Desbordes développe le concept de pluie de projet double triangle à partir
d'une analyse statistique de la forme d'une série chronologique de pluies réelles. Ce
modèle repose sur un double constat :
- les événements pluvieux réels provoquant des désordres dans les réseaux
d'assainissement pluvial sont généralement constitués d'une période de pluie intense
relativement courte située à l'intérieur d'une séquence de pluie de quelques heures
- le point précédent mis à part, aucune forme particulière de distribution temporelle
des intensités n'est plus probable qu'une autre.
Desbordes propose de choisir une forme particulière de pluie basée sur les éléments
auxquels le modèle de ruissellement (utilisé après le modèle pluviométrique) est le plus
sensible. L'intérêt de cette forme de pluie est de fournir des formes d'hydrogrammes et
des valeurs de débit maximum assez peu sensibles à des erreurs sur le paramètre
principal du modèle de ruissellement La forme choisie est une pluie "double triangle".
Elle comporte 5 paramètres :
Intensit
tem p
DT
TP
DP
H M 1
H M 2
Figure 5 : Pluie de projet double-triangle.
- la durée totale : DT (souvent prise égale à 4 heures) ;
- la durée de la période de pluie intense : DP (quelques dizaines de minutes) ;
- la position de la pointe d'intensité par rapport au début de la pluie : TP ;
- la hauteur de pluie tombée au cours de DT , HM1 (=aire hachurée traits espacés);
- la hauteur de pluie tombée hors de la période de pluie intense, HM2 (=aire hachurée
traits serrés=
HM1 et HM2 sont des variables aléatoires suivant des lois exponentielles ou log-
normales
TP suit une loi uniforme à Montpellier et uniforme tronquée à Paris
HM1 , HM2 et TP sont stochastiquement indépendants
Pour utiliser ce modèle, deux approches sont possibles :
Une approche statistique, un peu lourde, consiste à simuler un nombre significatif N de
pluies successive sur une période temporelle (20, 30 ans). Pour chaque épisode, la
pluie est générée par un tirage des variables aléatoires (HM1 , HM2 et TP) et le
ruissellement correspondant à ces N événements pluvieux simulé. On procède ensuite à
une analyse fréquentielle pour étudier les variables d'intérêt (débit de pointe, volumes
…)
Une autre méthode consiste à ne construire qu'une pluie de période de retour T (comme
dans la méthode de Normand). On choisit DP en fonction de la zone d'étude. L'intensité
de pluie correspondante HM1(DP,T) est donnée par des tableaux (issus des courbes
IDF) . La durée totale de la pluie, DT est fixée forfaitairement à 4h. La hauteur HM2 est
calculée selon la formule HM2 = HT(DT, T')-HM1.
T' est donné dans des tableaux (exemple ci dessous pour Paris-MontSouris). La pointe
de débit peut être choisie indépendamment mais on choisit souvent TP/DT = 0.5
Période de
retour
T(années)
Durée intense t1 HM1 (DP,T)
mm
HT (DT=4h) mm Période de
retour T' de
HT(4h) (années)
2 15 mn
30 mn
1h
2h
11
17
21
24
18
21
23
25
8 mois
10 mois
1,2 ans
1,5 ans
5 15 mn
30 mn
1 h
2h
17
24
28
31
30
31
32
33
2,5
3
3,5
4
10 15 mn
30 mn
1h
2h
19
30
39
43
40
43
44
45
7
8
8,5
9,5
1.2. Modèles spatiaux
Lors d'un événement pluvieux, les précipitations sont rarement identiques en tous les
points d'un bassin versant donné. Dès que la surface du bassin versant dépasse
quelques centaines d'hectares, il devient nécessaire de tenir compte de leur variabilité.
Les pluies de projet présentées plus haut présentent l'inconvénient de ne pas tenir
compte de cette variabilité spatio-temporelle des pluies réelles.
Pour être plus réaliste, on construit des modèles permettant de représenter l'évolution
des intensités en fonction du temps et de l'espace : i (x,y,t). Cette fonction est appelée
modèle de répartition spatio-temporelle de la pluie. On peut en déduire la lame d'eau à
un instant t par intégration sur la surface du bassin versant :
L(t i x y t d x d y
surface
) ( , , ). .= ∫∫ � ( � � )
Il existe différents modèles de représentation, reposant sur des concepts très variés. La
difficulté provient du fait que les variations spatiales et temporelles des intensités ne
sont pas indépendantes l'une de l'autre, et qu'elles dépendent également à la fois du
phénomène pluvieux lui même et des caractéristiques physiques et géomorphologiques
du bassin versant (altitude, pente et exposition des versants, albédo du sol, etc.).
1.2.1. MODELE A ABATTEMENT SPATIAL
Dans des méthodes comme la méthode rationnelle, la pluie est représentée par un
modèle ponctuel. Il s'agit de passer de ce modèle ponctuel à une répartition spatiale de
la pluie. On fait alors intervenir la notion de Coefficient d'abattement
Deux définitions différentes sont utilisées :
Modèle à coefficient déterministe : On définit un épicentre fixe où l'intensité de pluie
est maximum et on fait l'hypothèse d'une décroissance régulière de la pluie lorsque l'on
s'éloigne de ce point. On applique à cet épicentre un hyétogramme correspondant à une
pluie observée ou à une pluie de projet et on calcule les intensités instantanées en tous
points (ou la lame d'eau moyenne sur le bassin versant) en appliquant la loi de
décroissance. L'abattement spatial permet ainsi de passer d'une intensité locale à une
lame d'eau moyenne précipitée sur la surface du bassin versant :
Lm(A,t)=αiM(xe,ye,t) (11)
Ce coefficient s'exprime soit sous la forme d'une fonction réduisant l'intensité de façon
régulière lorsque l'on s'éloigne de l'épicentre, soit sous la forme d'un coefficient
pondérant la valeur de la surface active du bassin (formule de Burkli-Ziegler α=A-ε).
C'est cette dernière méthode qui est utilisée dans la méthode de Caquot.
α semble dépendre en outre de la durée de la pluie : plus la pluie est courte, plus elle
est abattue.
Tableau 5- Exemple de resultats sur le bassin expérimental de Rungis (9 pluviomètres, 400ha):
t α(A)
5 mn 0,9 A-0,075
15 mn 0,48 A-0,048
30 mn 1,0 A-0,042
60 mn 0,98 A-0,03
120 mn 0,91 A-0,015
240 mn 0,93 A-0,008
Dans le cas des études de conception, et tout particulièrement lorsque l'on utilise des
pluies de projet, on recommande de ne pas appliquer d'abattement spatial tant que la
surface du bassin versant étudié est inférieure à 1000 hectares.
Remarque : Il existe des modèles faisant intervenir un déplacement de l'épicentre sur
une trajectoire donnée. Par exemple, le modèle de [Chocat, 1981] considère une
intensité constante sous l'épicentre : imax, une trajectoire linéaire, une vitesse constante
V, et une loi de paramètres a et ε caractérisant une décroissance exponentielle des
intensités en fonction de la distance. L'intensité à la distance r de l'épicentre s'écrit alors
:
)1()(max
ε−−= ariri (12)
Si t0 est le temps pour lequel l'épicentre est situé au dessus d'un point donné A de la
trajectoire. Aux instants t0 - t et t0 + t, l'épicentre est situé à une distance x du point A.
Cette distance x est liée au temps t par la relation : x = V . t
La loi de variation des intensités en fonction du temps au point A (comme en tout autre
point de la trajectoire) est donc :
( )ε−−=+=− )..(1)()(max00
tVaittitti (13)
Soit encore :
a.V=b avec ).1()()( -
max00
εε−−=+=− tbittitti (14)
Le choix correct des paramètres permet donc d'obtenir en tous les points de la
trajectoire un hyétogramme de type Keiffer symétrique.
Modèles probabilistes : le coefficient d'abattement représente le rapport entre une
lame d'eau précipitée sur une surface et une hauteur d'eau précipitée ponctuellement,
de même fréquence de non-dépassement. Il s'agit d'un rapport entre deux quantiles : les
deux réalisations ne sont donc pas nécessairement concomitantes. Ce coefficient
d'abattement dépend alors de la durée d'observation de la pluie , de la surface sur
laquelle on observe la lame d'eau, de sa forme et enfin de la période de retour
considérée.
Figure 6 : coefficient d'abattement fonction de la période de retour. Données de Lund, Suède
1.2.2. Modèles à approximation spatiale
Ces modèles utilisent l'information issue de différents postes de mesure ou d'un radar.
Nous ne développerons pas ces notions vues par ailleurs dans le cours de Modélisation
stochastique des processus (Ch. Obled).
2. Modélisation des pertes au ruissellement
2.1. Bassins urbains : notion de coefficient de ruissellement
2.1.1. definitions
Le concept de coefficient de ruissellement consiste à supposer qu'à l'échelle d'un
élément de surface réceptrice, voire de la totalité du bassin versant, la pluie nette, ou le
débit ruisselé, peuvent s'exprimer sous la forme d'une fraction C de la pluie brute. Cette
fraction est relative :
- soit aux flux instantanés mis en jeu, et l'on parle alors de coefficient de ruissellement
"instantané" C(t).
- soit aux volumes mis en jeu au cours d'un événement pluvieux, on parle alors de
coefficient "volumétrique" de ruissellement Cv.
Coefficient instantanés
Pour tenir compte des variabilités spatio-temporelles de la pluie et du ruissellement, on
définit ainsi un coefficient instantané local sur un élément de surface :
),,(
),,(1
),,(
),,(),,(
tyxi
tyxp
tyxi
tyxityxC
bb
n −== (15)
et un coefficient de ruissellement global instantané à l'échelle du bassin versant :
∫∫
∫∫==
A
b
A
n
b
n
dAtyxi
dAtyxi
ti
titC
),,(
),,(
)(
)()( (1'6)
Ce coefficient évolue avec le temps au cours de l'événement pluvieux. En effet, dans
certaines zones, en début de pluie, des infiltrations partielles se produisent, infiltrations
qui diminuent au cours du temps (c'est ce que traduit la première équation où p(x,y,t) est
la perte locale au ruissellement)
in(t) représente la pluie nette à l'instant t contribuant à l'écoulement sur le bassin
versant. Cette quantité n'est pas directement accessible et l'on utilise une méthode
indirecte sur la base du débit instantanée Q(t). On suppose alors que ce débit est relié à
l'intensité nette de pluie par une relation de convolution dont la fonction de transfert
caractérise la réponse du bassin versant.
Le coefficient de ruissellement global instantané s'écrit alors :
∫∫=
A
b
A
dAtyxi
tQtC
),,(
)()( (17)
Coefficients volumétriques
à l'échelle d'un élément de surface on a :
Cv(x, y ) = 1- (H / H ) = H Hp b n / b (18)
et à l'échelle d'un bassin versant on a :
CvA=Vr/Vb (19)
Hp : hauteur totale de pertes
Hb : hauteur totale de pluie brute
Hn : hauteur totale de pluie nette
Vb : volume de pluie brute ;
Vr : volume de ruissellement récupéré au cours d'un épisode pluvieux donné.
Les relations entre les coefficients locaux (ou élémentaires) de ruissellement (équations
(15) et (18)), qui pourraient avoir un sens physique (et être localement mesurés), et les
coefficients globaux, à l'échelle d'une unité hydrologique (équations (17) et (19)), ne
sont pas évidentes sans hypothèses particulières. En fait, la formulation des coefficients
CA(t) et CvA , à l'échelle d'une unité hydrologique, est essentiellement conceptuelle, et
repose sur l'hypothèse d'une analogie de comportement entre la parcelle élémentaire et
l'unité hydrologique.
2.1.2. Modélisation à coefficient constant
Nous avons déjà utilisé ce type de modélisation lorsque nous avons parlé des méthodes
globales au chapitre précédent. En particulier, les modèles les plus significatifs font
intervenir le coefficient d'imperméabilisation du bassin et la pente
cbIaCCimp
++=
On trouvera en annexe des documents comparant les coefficients d'écoulements basés
sur des bilans volumétriques et le coefficient d'imperméabilisation. Ces documents
montrent bien la difficulté d'évaluation et la variabilité de ce coefficient
2.1.3. Modélisation à coefficient variable
Ce concept est basé sur une croissance possible (vers une limite supérieure) du
coefficient de ruissellement au cours de l'épisode pluvieux (contribution éventuelle de
surfaces perméables, augmentation de surfaces actives par remplissage progressif de
certaines macro-dépressions des voies d'écoulement) . Les modèles reposant sur l'idée
simple que l'accroissement du coefficient de ruissellement dépend du volume de pluie
tombée ou du volume des pertes.
Par exemple, on peut supposer une croissance exponentielle du type :
C ( t ) = a ( 1 - e )A
- b . t (2 0 )
Le paramètre q est calé à l'aide de mesure de débits à l'exutoire. Ce problème n'est pas
aisé puisque pour le calage, il faut faire intervenir une modélisation du ruissellement. En
effet, la liaison entre le débit à l'instant t à l'exutoire et le ruissellement s'écrit :
)()),()(()(
00
tSPIdALCdQb
t
A
t
−−= ∫∫ τττττ (21)
Lb est la lame d'eau brute et S(t) le stock d'eau sur le bassin (résultant de la pluie
tombée jusqu'à l'instant t mais qui n'est pas encore parvenue à l'exutoire).
2.2. Bassins péri-urbains
L'apport des zones péri-urbaines, en termes de débit de pointe, est le plus souvent
négligeable. Cependant, pour des pluies exceptionnellement forte, ou pour le
dimensionnement d'ouvrage de retenues, le volume de la crue est un paramètre
essentiel. Par rapport au contexte purement urbain, les pertes au ruissellement
reprennent leur caractère aléatoire (fonction de l'antécédent pluviométrique, nature et
saturation des sols, niveau de la nappe …). On revient donc à un problème d'hydrologie
générale le plus souvent assez mal pris en compte dans les logiciels d'assainissement.
Un modèle déterministe consiste à estimer forfaitairement les pertes initiales (2 mm à 16
mm) et à modéliser l'infiltration selon une loi empirique (Horton). Dans ce modèle, la
vitesse d'infiltration f(t) est exprimée sous la forme :
kteffftfCC
−⋅−+= )()(0
(22)
f0 est la vitesse d'infiltration initiale, fc la vitesse d'infiltration limite du sol.
Si ib(t)≤f(t), on considère qu'il n'y a pas de ruissellement. Sinon, on écrit in(t)=ib(t)-f(t). La
difficulté du modèle réside dans l'estimation des paramètres f0 , fc et k.
- fc : ce paramètre dépend de la nature du sol. On admet des valeurs de l'ordre de 15
à 25 mm/h pour des sols sableux, 3 à 15 mm/h pour des sols "lourds", 1 à 3 mm/h
pour des sols très argileux.
- f0 : ce paramètre dépend de l'état de saturation du sol. Sur des sols secs, on a
observé des valeurs variant entre 20 et 100 mm/h. Pour un sol sec, on utilise en
général le modèle de Holtan (f0=4fc). Pour un sol saturé, on prend f0 = fc
- k est souvent exprimé en fonction du temps de saturation TS. Ce temps varierait
entre 12 et 24 h dans le sud de la France , 24 et 48 h dans le nord. Si le temps de
saturation est défini comme le temps nécessaire pour atteindre 90% de la variation
de f(t) (i.e e-kt=0,1) alors pour TS = 12h, k=0,2h-1
3. Modélisation du ruissellement
3.1. Méthode rationnelle modifiée (méthode des courbes isochrones)
3.1.1. Définition
Une courbe isochrone est définie comme l'ensemble des points d'un bassin versant tels
que le temps mis par l'eau pour parcourir le trajet entre le point considéré et l'exutoire
soit égal à une valeur donnée. Ce temps est supposé constant (c'est à dire indépendant
du débit instantané et de son "histoire"). Sous ces hypothèses, on peut subdiviser un
bassin en sous bassins-versant limités par des isochrones.
∆t
∆ t∆ t
∆ t
23
4
5
∆ t
S2
S 1exutoire
figure 7 : exemple de découpage en sous bassins limités par des courbes isochrones
3.1.2. Mise en œuvre
a. Système stationnaire non spatialement distribué
On se fixe un pas de temps ∆t. Cette discrétisation temporelle doit être compatible avec
celle des mesures de précipitation. Le bassin versant est découpé en sous k bassins
d'aire Ak limités par des isochrones séparées d'une durée ∆t.
A partir des courbes isochrones, il est possible de construire un graphe aire/temps : ce
graphe représente l'évolution de la surface théorique contribuant au ruissellement à
l'instant n. ∆t .
∆t ∆t ∆t ∆t ∆t tc
temps
surface
S1
S1+S2
2 3 4 5
St
Figure 8 : Exemple de diagramme aire-temps permettant de calculer la surface contribuant à l'écoulement
à l'exutoire en fonction du temps écoulé depuis le début de la pluie.
Le débit à l'exutoire est donnée par application de la méthode rationnelle: la pluie est
discrétisée en m pas de temps ∆t (m > k car les pluies considérées durent plus
longtemps que le temps de concentration).
Au premier pas de temps (t=1∆t), la pluie nette sur la bassin versant total est in(1. ∆t)
mais seule la surface A1 participe au débit. D'où Q(1.∆t)= in(1. ∆t).A1
Au deuxième pas de temps (t=2.∆t), la pluie nette sur le bassin versant total est in(2. ∆t).
La pluie tombée sur la surface A2 à l''instant (t=1.∆t ) et d'intensité in(1.∆t) arrive
maintenant à l'exutoire. De plus, la surface A1 contribue au débit avec une pluie
d'intensité in(2.∆t). Le débit a l'exutoire est donc Q(2.∆t)= in(1. ∆t).A2+ in(2. ∆t).A1
En généralisant :
�=
−+⋅=m
i
imnAiimQ
1
1)()( . (23)
Cette dernière équation est la forme discrète d'une équation de convolution
∫ −=t
ndtAiQ
0
)()()( ττττ (24)
Le diagramme aire-temps représente la fonction de transfert du système. L'opération de
base dansla méthode consiste en une translation sans amortissement de la pluie nette
vers l'exutoire du bassin
b. Prise en compte d'une distribution spatiale de la pluie et
de pertes au ruissellement
On applique le même raisonnement que ci-dessus:
- on considère un coefficient de ruissellement qui dépend du temps et du bassin
élémentaire C(i,Ak)
- la pluie nette dépend aussi du bassin élémentaire considéré : in(i,Ak)
On obtient alors la relation suivante :
�=
−+−+−+=m
i
imimimnAAiCAiimQ
1
111).,().,()( (25)
3.2. Modèle du réservoir linéaire
a. définition
C'est le modèle le plus connu en hydrologie urbaine.
Le bassin versant est modélisé par un réservoir dont le stock d'eau à l'instant t est S(t)
(m3) . Le débit Q(t) à l'exutoire dépend du stock S(t) et de la pluie nette sur le bassin in(t)
(ou plutôt du débit de pluie nette : Qin(t)=A.in(t) où A est la surface active du bassin
versant .
Q (t)
V (t)
Q (t)e
s
s
figure 9 : modèle du réservoir linéaire
Si on fait un bilan sur le système, on obtient :
Q(t) = K.S(t) qui exprime que le débit à l'exutoire dépend du stockage (ou encore du
ruissellement).
L'équation de continuité donne : )()()(
tQtQdt
tdSin
−= (26)
La résolution de cette équation (par la méthode de Laplace par exemple) donne :
∫ +=−−t
in
K
t
inQdeQ
KtQ
0
)(
)0()(1
)( τττ
(27)
Qin(0) est le débit à l'exutoire à l'instant 0. La fonction
K
t
eK
th
−
= 1)( est la fonction de
transfert du système. On reconnaît là un système du 1er ordre, dont la constante de
temps est K et le gain proportionnel à 1/K
Notons que la réponse est immédiate, c'est à dire qu'une modification de l'entrée (pluie
nette) se traduit instantanément à l'exutoire sur Q(t) (ce qui est évidemment irréaliste:
les temps de transit à l'intérieur du bassin versant sont nuls !) . Cependant, ce modèle
reproduit assez bien certains des aspects du comportement d'un bassin versant
(filtrage, lissage, décalage et amortissement du signal d'entrée).
S(t)
Qin (t)
Q(t)
Pour le modèle linéaire à un bassin, K représente le décalage entre le centre de gravité
du hyétogramme et le centre de gravité de l'hydrogramme. Ce décalage est d'autant
plus important que K est grand. K ne doit pas être confondu avec le temps de
concentration qui est ici infini (h→0 quand t→∞. Ceci veut dire que dans l'équation de
convolution, il y a toujours une contribution à Q(t) même quand t→∞). De plus comme le
montre la figure ci dessous, ce modèle agit comme un filtre passe-bas sur la pluie nette
(amortissement des hautes fréquences). Comme le gain est proportionnel à 1/K, plus la
constante de temps est grande, plus l'hydrogramme est amorti.
t
t
K
Q e
Q s
figure 10 : transformation pluie-débit par le modèle du réservoir linéaire
b. Mise en œuvre pratique
Généralement, on dispose de mesure discrète (en temps) de la pluie nette (et donc du
débit de pluie nette) sur n intervalles de temps ∆t. Au pas de temps i, on peut donc
calculer le débit à l'exutoire par récurrence :
)1()())1(()( / kt
in
K
t
etiQtiQetiQ∆−
∆−
−⋅∆+∆−=∆ (28)
c. Calage du paramètre K
Lorsque l'on dispose de mesures sur un bassin versant, on peut alors caler le paramètre
K à condition de disposer de suffisamment de mesures. La difficulté a consisté à
proposer une formulation de K pour étendre le modèle à des bassins non jaugé.
Desbordes a proposé une formule prenant en compte les caractéristiques du bassin
versant et la pluie. 07.015.021.09.136.018.0 1)1(07.5 −−− += HMLDPCIAK
imp (29)
K : mn
A : ha
I : en %
DP : durée de la pluie intense en mn
L : m
HM1 : auteur de pluie pendant la période intense en mm
Cette formule n'est valable que pour une certaine gamme des paramètre :
0.4 ≤ A ≤5000 ha
0.2 ≤ Cimp ≤ 1.0
110 ≤ L ≤ 17800 m
0.4 ≤ I ≤4.7 %
5 ≤ DP ≤ 180 mn
5 ≤ HM1 ≤ 240 mm
En pratique, on se rend compte que le paramètre K ne conduit pas au meilleur calage
en terme de débits de pointe. Pour pallier ce problème on suggère la correction suivante
: K'=0.7KA0.09
3.3. Cascades de réservoirs
Une extension du modèle précédent considérer N réservoirs en série se déversant les
uns dans les autres (et de même paramètre K). Pour N=2, un raisonnement analogue
au paragraphe précédent permet de montrer que le débit à l'exutoire obéit à l'équation
différentielle :
0)()(22
2
2 =−++ tQtQdt
dQK
dt
dQK
in (30)
dont la solution est :
∫−−+=
t
K
t
ininde
K
ttQ
KQtQ
0
)(1
)0()( ττ τ
(31)
La fonction de transfert du système est :
K
t
eK
t
Kth
−
= 1)( (32)
Ce modèle possède une réponse moins rapide et plus amortie que le modèle à un
réservoir.
La généralisation à N réservoir est assez immédiate (les réservoirs étant en série, il est
facile d'avoir la fonction de transfert dans le plan de Laplace par multiplication des
fonctions de transfert élémentaires). On trouve que :
K
tn
enK
t
Kth
−−
−
=)!1(
11)(
1
(33)
3.4. Autres modèles
Nous reverrons ces modèles dans le chapitre consacré à l'hydraulique dans les
réseaux. Le modèle de Muskingum par exemple opère une combinaison linéaire de
l'entrée et de la sortie : ))()1()(()( tQxtQxKtSe
−+⋅= . Citons aussi le modèle de Meyer qui
introduit un retard T pour temporiser la réponse du bassin versant (Cf TD n°3) ainsi que
les modèles à réservoirs non linéaires (S(t)=KQ(t)n)
