Chapitre 2 :

Cal c u l s d es d é b its pl u v iau x d e pro j ets : m é tho d es

d y n am iq u es

1. Modélisation des précipitations

1.1. Modèles de pluie ponctuelles

1.1.1. Courbes I-D-F

a. définition

C'est un modèle probabiliste de l'intensité pluvieuse extrême au cours d'un événement

pluvieux observé généralement en un point (série pluviométrique ponctuelle). Il permet

d'attribuer une fréquence d'apparition F (ou une période de retour T) à l'intensité

moyenne pluvieuse maximale sur une certaine durée t : iM(t,T)

Pour une station pluviométrique, on dispose de N années de mesures. Si l'on a observé

n événements tels que iM(t)≥I, la "fréquence" associée est :

F=Prob(iM(t)≥I) = n/N

Et la période de retour correspondante :

T=1/F

En hydrologie urbaine, c'est la pluie décennale qui sert souvent de base au

dimensionnement. L'intensité décennale I10(t) , pour une pluie de durée t , est telle que

Prob(iM(t)≥I10(t)) = 0,1. Cette intensité est atteinte ou dépassée en moyenne une fois

tous les 10 ans.

b. Méthode de construction des courbes IDF

Conditionnement des données : Pour une averse donnée, il s'agit de déterminer

l'intensité maximale observée sur une durée t. Le dépouillement de l'hyétogramme peut

se faire à origine fixée (à éviter) ou à origine variable.

i(mm/h) i(mm/h)

t (mn) t (mn)15 30 45 60 75 100

10

20

30

40

10

20

30

40

15 30 45 60 75 100

Figure 1 : dépouillemen t

a ) à origin e f ix e b ) à origin e v a ria b le

On constitue ainsi pour une pluie donnée un tableau faisant correspondre à chaque

durée t (plutôt un intervalle de temps ∆t), l'intensité maximale moyenne correspondante

iM=∆h/∆t (où ∆h est la hauteur de pluie tombée pendant l'intervalle de temps ∆t)

Tableau 1 - Conditionnement des données : Exemple de l'averse du 23 juin 1936, Paris Montsouris

Constitution de l'échantillon des maximas : Le conditionnement des données a permis

d'associer à chaque événement pluvieux un ensemble d'intensités moyennes

maximales prises sur les différentes durées de cumul choisies. Il est alors nécessaire de

retenir parmi ces valeurs celles sur lesquelles va porter l'analyse fréquentielle.

Plusieurs choix sont possibles pour constituer l'échantillon analysé. On peut retenir,

pour une durée ∆t fixée :

i) toutes les valeurs soit autant que d'événements pluvieux ;

ii) les valeurs dépassant un seuil et la question est alors de définir ce seuil (ce choix est

celui de Météo France qui utilise les seuils donnés dans le tableau 1 indépendamment

du lieu et de la période d'observation) ;

Durée de cumul H a ut eur mi n i ma le ( mm) I n t en s i t é éq ui v a len t e ( mm/ h )

6 mn 4 40

1 5 mn 6 2 4

3 0 mn 7 1 4

1 h 9 9

2 h 1 1 5 , 5

3 h 1 4 4, 7

6 h 1 7 2 , 8

1 2 h 2 1 1 , 7

2 4 h 2 6 1 , 1

48 h 3 6 0 , 7

96 h 48 0 , 5

T a b lea u 2 : S euils de s élec t ion des in t en s it és moy en n es ma x ima les ret en us pa r M ét éo-Fra n c e pour dif f éren t es durées

de c umul.

iii) les valeurs maximales annuelles, soit autant de valeurs que d'années d'observation ;

iv) les P plus fortes valeurs, avec P généralement pris égal au nombre d'années

d'observation.

Ce choix est important car il conditionne de manière sensible les résultats obtenus

Les P intensités maximales sont classées par ordre décroissant.

A chaque valeur de la série, on associe une fréquence empirique basée sur le rang r de

la valeur :

F=r/P

A la formule ci dessus, (qui donne un événement certain pour la valeur de rang P), on

préfère la formule ci dessous :

F=(r-a)/(P+1-2a) avec a=0,5 en général

Lorsque le nombre P de maxima analysés correspond au nombre d'années

d'observation N (c'est à dire lorsque l'échantillon est constitué en suivant les règles iii)

ou iv)) les fréquences calculées deviennent des fréquences annuelles. Les inverses des

fréquences de dépassement Ti = 1 /Fi sont les périodes de retour qui se définissent

comme l'intervalle de temps moyen en années séparant deux événements pluvieux pour

lesquels l'intensité moyenne maximum sur une durée donnée atteint ou dépasse une

certaine valeur. Le mode de calcul donné plus haut conduit à associer au plus fort

événement observé (i=1) une période de retour Ti = N /0,5 égale au double de la durée

d'observation.

Tableau 3 - Constitution de l'échantillon des maximax : exemple des durées 30 et 40 mn à Paris

Montsouris

Il est à remarquer que les N valeurs retenues pour chacune des durées d'analyse ne

correspondent pas nécessairement aux mêmes événements pluvieux. En particulier,

l'événement générant l'intensité moyenne maximale la plus forte sur la période

d'observation, pour une durée particulière d'analyse, n'est pas nécessairement le même

que celui qui génère l'intensité moyenne maximum pour les autres durées d'analyse.

Ceci signifie que la période de retour que l'on calcule n'est pas celle de l'événement

pluvieux dans son ensemble, mais celle d'une caractéristique particulière de

l'événement pluvieux considéré. Formulé autrement, il est parfaitement normal, sur une

durée d'observation de N années, d'obtenir plusieurs événements pluvieux dont l'une au

moins des caractéristiques possède une période de retour de 2N années

Choix d'un modèle : Pour une même période de retour (même F), on cale un modèle

théorique de courbes intensité-durée. Les modèles le plus souvent employés sont :

Formule de Montana : i(t,T)=a(T)tb(T)

Formule de Grisollet : )(

)(),(

Tbt

TaTti

+=

Formule de Keifer-Chu :)()(

)(),(

TcTtb

TaTti

+=

Les modèles à deux paramètre, dont celui de Montana, ont des limites et permettent des

calages souvent peu satisfaisant sur la plage de durées intéressantes en hydrologie

urbaine. Par exemple la formule de Montana s'ajuste mal pour des durées supérieures à

2h et tend vers l'infini pour les faibles durée (t → 0).

0

50

100

150

200

250

0 20 40 60 80 100 120 140

durée en mn

retour 100 ans

retour 10 ans

retour 5 ans

Intensité mm/h

F i g u r e 2 : C o u r b e s I n t e n s i t é -d u r é e -f r é q u e n c e d e l a s t a t i o n d e P a r i s -M o n t s o u r i s e n t r e 1 9 2 7 e t 1 9 7 8 p o u r l e s p é r i o d e s

d e r e t o u r d e 5 , 1 0 e t 1 0 0 a n s . A j u s t e m e n t s p a r l a f o r m u l e d e G r i s o l l e t

1.1.2. Pluies de projets

Evénement pluvieux fictif, généralement représenté par son hyétogramme, et censé à la

fois :

- être représentatif de la pluviométrie locale,

- provoquer des effets dans le réseau d’assainissement (débit, volume, etc.) auxquels il

est possible d'associer une période de retour.

a. Modèle de Keifer

A la fin des années 1950, les premiers besoins d'études en hydrologie urbaine butent

sur la difficulté à représenter la pluie à de faibles pas de temps. En effet, les méthodes

classiques de l'hydrologie, utilisant des pluies d’intensité constante pendant toute leur

durée, ne conviennent pas pour représenter les phénomènes brefs et violents qui sont

les plus critiques pour les bassins versants urbains. D'autre part les moyens de calcul

de l'époque sont extrêmement réduits et il n'est pas envisageable de réaliser plusieurs

simulations avec différents événements pluvieux. Enfin, les données pluviométriques

disponibles sont très réduites, en nombre comme en qualité.

Dans ce contexte, en 1957, [Keifer & Chu, 1957] proposent de représenter la

pluviométrie locale par un événement fictif unique. La méthode qu'ils proposent est

relativement simple. Elle consiste à utiliser les courbes Intensité-durée-fréquence pour

construire un hyétogramme synthétique tel que l'intensité moyenne maximum de pluie

ait la même période de retour quelle que soit la durée d'analyse. Pour déterminer la

relation analytique entre l'intensité instantanée et le temps, il suffit alors de résoudre une

équation intégrale plus ou moins simple selon l'ajustement utilisé pour les courbes

Intensité-durée-fréquence.

Si l'on considère un hyétogramme synthétique tel que le maximum d'intensité soit situé

à l'origine des temps (averse de type complètement avancée), et quel que soit le temps

t considéré, inférieur ou égal à la durée de l'averse, on peut écrire :

i d i tmoy

t

( ) . .τ τ =∫0

( 1 )

avec i(τ) intensité instantanée et imoy , intensité moyenne sur la durée t. A partir des courbes IDF, et connaissant la période de retour, on peut évaluer imoy. Keifer

et Chu proposent d'utiliser un ajustement des courbes IDF de la forme :

ia

t cmoy b

=+

( 2 )

En dérivant les deux termes de l'équation (1) on obtient alors :

d

dti d

d

dt

a t

t c

t

b( ) .

.τ τ0

∫

=

+

( 3 )

soit :

( )i t

a b t c

t c

b

b

( ).( ).= − +

+

12

( 4 )

Cette relation donne la forme d'un hyétogramme correspondant à une pluie de type

totalement avancé (monotone décroissante) qui est représentée par la figure 1.

i(t)

t

Figure 3 : Hyétogramme avancé de type Keifer-Chu.

Plutôt que de présupposer un modèle, pour la courbe IDF on peut discrétiser la courbe

Imax(t,T) correspondant. L'équation (3) donne en effet, si on ne modélise pas la courbe

IDF,

( )tTtidt

ddi

dt

d

M

t

⋅=

∫ ),().(

0

ττ ( 5 )

S o i t :

( )[ ] ( )TtitTtidt

dti

MM,),()( +⋅= ( 6 )

Si on discrétise la dérivée, au pas de temps n.dt (n=0 à ∞) la pluie synthétisée peut être

approximée par :

( ) ),)1((),)1((),(

Tdtnindtdt

TdtniTndtindti

M

MM −+⋅−−= (7)

Soit :

( ) ),)1(()1(),( TdtninTndtinndtiMM

−⋅−−⋅= ( 8 )

Cette forme de pluie synthétique, qui suppose que l'intensité instantanée est

uniformément décroissante, est bien évidemment peu probable : les éléments la

composant ont été observés sur des pluies aux caractéristiques météorologiques très

différentes. Ainsi, les hauteurs de pluie fortes sur de cours pas de temps proviennent

habituellement d'événements orageux intenses et de courte durée alors que les

hauteurs de pluie importantes sur de longues durées peuvent provenir d'épisodes

d'intensité faible ou modérée, ces deux types de pluie n'étant en général pas

concomitantes.

Keifer et Chu vont donc modifier le mode de construction du hyétogramme en

considérant deux périodes : l'une précédant la pointe d'intensité, de durée :

t r ta

= . ( s i t e s t l a d u r é e t o t a l e d e l a p l u i e ) ,

et l'autre suivant la pointe d'intensité, de durée :

t r tp

= −( ) .1

Le coefficient r, compris entre 0 et 1 caractérise la forme du hyétogramme. A partir de

l'analyse d'averses orageuses enregistrées sur la ville de Chicago, Keifer et Chu

proposent de donner la valeur 0,5 à r. Les calculs se mènent alors comme

précédemment, l'intégrale étant calculée entre ta et tp (Cf TD n°2)

i d i tmoy

r t

r t

( ) . .

.

( 1 ) .

τ τ =−

−

∫ ( 9 )

Cette méthode est intéressante par sa simplicité et son caractère exemplaire ; elle va

cependant faire l'objet de plusieurs critiques. La principale d'entre elles est que la

période de retour que l'on doit attacher à un tel événement pluviométrique est

supérieure à la période de retour de la courbe IDF à partir duquel il a été construit. En

effet, du fait du mode de construction, la pluie a la même période de retour quelle que

soit la durée d'analyse, ce qui n'est pas le cas d'une pluie réelle. La période de retour

réelle des débits générés par un tel événement pluvieux est donc également supérieure

à celle escomptée. Elle est de plus difficile à déterminer.

b. Modèle de Normand

Pour pallier le défaut du modèle de Keifer, Norman et al (1971) proposent quelques

aménagements suite à l'observation de structure d'averses enregistrées en plusieurs

points de France. (i) La période de retour d'une pluie réelle est associée à une durée t1

(ii) pour les durées t2 inférieures ou supérieures à t1 , les intensités moyennes maximales

doivent correspondre à des périodes de retour plus faibles.

L'abaque de la figure 4, extrait de [Deutsch & al., 1989], permet de déterminer les

périodes de retour à prendre en compte.

5 10 15 20 30 45 60 minutes

1 15 2 3 4 5 61

2

3

4

5678910

T période de retouren années

t1 = 5'

t1 = 15'

t1 = 30'

t1 = 1h

t1 = 3h

t1 = 6h heures

t1 = 6h

t1 = 1h

t1 = 30'

t1 = 3h

t1 = 15'

t2

Figure 4 : Période de retour des intensités I(t2) associées à une intensité décennale I(t1) dans un hyétogramme décennal centré sur I(t1). Valeurs moyennes françaises.

Extrait de [Deutsch & al., 1989]. Pour construire la pluie de projet, le temps t1 (et la période de retour associée T)

peuvent être déduit en considérant une durée critique pour le bassin versant (le temps

de concentration par exemple). Pour le reste de la pluie, à un temps t correspond une

période de retour donné par l'abaque ci-dessus. La courbe IDF donne ensuite l'intensité

de la pluie pour ce temps t.

Cette méthode, bien qu'intéressante a fait l'objet de critiques sur sa validité statistique.

Elle repose en effet sur des corrélations entre contenant et contenu qui n'assurent pas

l'indépendance stochastique des variables analysées

c. Modèle de Desbordes

En 1973, M. Desbordes développe le concept de pluie de projet double triangle à partir

d'une analyse statistique de la forme d'une série chronologique de pluies réelles. Ce

modèle repose sur un double constat :

- les événements pluvieux réels provoquant des désordres dans les réseaux

d'assainissement pluvial sont généralement constitués d'une période de pluie intense

relativement courte située à l'intérieur d'une séquence de pluie de quelques heures

- le point précédent mis à part, aucune forme particulière de distribution temporelle

des intensités n'est plus probable qu'une autre.

Desbordes propose de choisir une forme particulière de pluie basée sur les éléments

auxquels le modèle de ruissellement (utilisé après le modèle pluviométrique) est le plus

sensible. L'intérêt de cette forme de pluie est de fournir des formes d'hydrogrammes et

des valeurs de débit maximum assez peu sensibles à des erreurs sur le paramètre

principal du modèle de ruissellement La forme choisie est une pluie "double triangle".

Elle comporte 5 paramètres :

Intensit

tem p

DT

TP

DP

H M 1

H M 2

Figure 5 : Pluie de projet double-triangle.

- la durée totale : DT (souvent prise égale à 4 heures) ;

- la durée de la période de pluie intense : DP (quelques dizaines de minutes) ;

- la position de la pointe d'intensité par rapport au début de la pluie : TP ;

- la hauteur de pluie tombée au cours de DT , HM1 (=aire hachurée traits espacés);

- la hauteur de pluie tombée hors de la période de pluie intense, HM2 (=aire hachurée

traits serrés=

HM1 et HM2 sont des variables aléatoires suivant des lois exponentielles ou log-

normales

TP suit une loi uniforme à Montpellier et uniforme tronquée à Paris

HM1 , HM2 et TP sont stochastiquement indépendants

Pour utiliser ce modèle, deux approches sont possibles :

Une approche statistique, un peu lourde, consiste à simuler un nombre significatif N de

pluies successive sur une période temporelle (20, 30 ans). Pour chaque épisode, la

pluie est générée par un tirage des variables aléatoires (HM1 , HM2 et TP) et le

ruissellement correspondant à ces N événements pluvieux simulé. On procède ensuite à

une analyse fréquentielle pour étudier les variables d'intérêt (débit de pointe, volumes

…)

Une autre méthode consiste à ne construire qu'une pluie de période de retour T (comme

dans la méthode de Normand). On choisit DP en fonction de la zone d'étude. L'intensité

de pluie correspondante HM1(DP,T) est donnée par des tableaux (issus des courbes

IDF) . La durée totale de la pluie, DT est fixée forfaitairement à 4h. La hauteur HM2 est

calculée selon la formule HM2 = HT(DT, T')-HM1.

T' est donné dans des tableaux (exemple ci dessous pour Paris-MontSouris). La pointe

de débit peut être choisie indépendamment mais on choisit souvent TP/DT = 0.5

Période de

retour

T(années)

Durée intense t1 HM1 (DP,T)

mm

HT (DT=4h) mm Période de

retour T' de

HT(4h) (années)

2 15 mn

30 mn

1h

2h

11

17

21

24

18

21

23

25

8 mois

10 mois

1,2 ans

1,5 ans

5 15 mn

30 mn

1 h

2h

17

24

28

31

30

31

32

33

2,5

3

3,5

4

10 15 mn

30 mn

1h

2h

19

30

39

43

40

43

44

45

7

8

8,5

9,5

1.2. Modèles spatiaux

Lors d'un événement pluvieux, les précipitations sont rarement identiques en tous les

points d'un bassin versant donné. Dès que la surface du bassin versant dépasse

quelques centaines d'hectares, il devient nécessaire de tenir compte de leur variabilité.

Les pluies de projet présentées plus haut présentent l'inconvénient de ne pas tenir

compte de cette variabilité spatio-temporelle des pluies réelles.

Pour être plus réaliste, on construit des modèles permettant de représenter l'évolution

des intensités en fonction du temps et de l'espace : i (x,y,t). Cette fonction est appelée

modèle de répartition spatio-temporelle de la pluie. On peut en déduire la lame d'eau à

un instant t par intégration sur la surface du bassin versant :

L(t i x y t d x d y

surface

) ( , , ). .= ∫∫ � ( � � )

Il existe différents modèles de représentation, reposant sur des concepts très variés. La

difficulté provient du fait que les variations spatiales et temporelles des intensités ne

sont pas indépendantes l'une de l'autre, et qu'elles dépendent également à la fois du

phénomène pluvieux lui même et des caractéristiques physiques et géomorphologiques

du bassin versant (altitude, pente et exposition des versants, albédo du sol, etc.).

1.2.1. MODELE A ABATTEMENT SPATIAL

Dans des méthodes comme la méthode rationnelle, la pluie est représentée par un

modèle ponctuel. Il s'agit de passer de ce modèle ponctuel à une répartition spatiale de

la pluie. On fait alors intervenir la notion de Coefficient d'abattement

Deux définitions différentes sont utilisées :

Modèle à coefficient déterministe : On définit un épicentre fixe où l'intensité de pluie

est maximum et on fait l'hypothèse d'une décroissance régulière de la pluie lorsque l'on

s'éloigne de ce point. On applique à cet épicentre un hyétogramme correspondant à une

pluie observée ou à une pluie de projet et on calcule les intensités instantanées en tous

points (ou la lame d'eau moyenne sur le bassin versant) en appliquant la loi de

décroissance. L'abattement spatial permet ainsi de passer d'une intensité locale à une

lame d'eau moyenne précipitée sur la surface du bassin versant :

Lm(A,t)=αiM(xe,ye,t) (11)

Ce coefficient s'exprime soit sous la forme d'une fonction réduisant l'intensité de façon

régulière lorsque l'on s'éloigne de l'épicentre, soit sous la forme d'un coefficient

pondérant la valeur de la surface active du bassin (formule de Burkli-Ziegler α=A-ε).

C'est cette dernière méthode qui est utilisée dans la méthode de Caquot.

α semble dépendre en outre de la durée de la pluie : plus la pluie est courte, plus elle

est abattue.

Tableau 5- Exemple de resultats sur le bassin expérimental de Rungis (9 pluviomètres, 400ha):

t α(A)

5 mn 0,9 A-0,075

15 mn 0,48 A-0,048

30 mn 1,0 A-0,042

60 mn 0,98 A-0,03

120 mn 0,91 A-0,015

240 mn 0,93 A-0,008

Dans le cas des études de conception, et tout particulièrement lorsque l'on utilise des

pluies de projet, on recommande de ne pas appliquer d'abattement spatial tant que la

surface du bassin versant étudié est inférieure à 1000 hectares.

Remarque : Il existe des modèles faisant intervenir un déplacement de l'épicentre sur

une trajectoire donnée. Par exemple, le modèle de [Chocat, 1981] considère une

intensité constante sous l'épicentre : imax, une trajectoire linéaire, une vitesse constante

V, et une loi de paramètres a et ε caractérisant une décroissance exponentielle des

intensités en fonction de la distance. L'intensité à la distance r de l'épicentre s'écrit alors

:

)1()(max

ε−−= ariri (12)

Si t0 est le temps pour lequel l'épicentre est situé au dessus d'un point donné A de la

trajectoire. Aux instants t0 - t et t0 + t, l'épicentre est situé à une distance x du point A.

Cette distance x est liée au temps t par la relation : x = V . t

La loi de variation des intensités en fonction du temps au point A (comme en tout autre

point de la trajectoire) est donc :

( )ε−−=+=− )..(1)()(max00

tVaittitti (13)

Soit encore :

a.V=b avec ).1()()( -

max00

εε−−=+=− tbittitti (14)

Le choix correct des paramètres permet donc d'obtenir en tous les points de la

trajectoire un hyétogramme de type Keiffer symétrique.

Modèles probabilistes : le coefficient d'abattement représente le rapport entre une

lame d'eau précipitée sur une surface et une hauteur d'eau précipitée ponctuellement,

de même fréquence de non-dépassement. Il s'agit d'un rapport entre deux quantiles : les

deux réalisations ne sont donc pas nécessairement concomitantes. Ce coefficient

d'abattement dépend alors de la durée d'observation de la pluie , de la surface sur

laquelle on observe la lame d'eau, de sa forme et enfin de la période de retour

considérée.

Figure 6 : coefficient d'abattement fonction de la période de retour. Données de Lund, Suède

1.2.2. Modèles à approximation spatiale

Ces modèles utilisent l'information issue de différents postes de mesure ou d'un radar.

Nous ne développerons pas ces notions vues par ailleurs dans le cours de Modélisation

stochastique des processus (Ch. Obled).

2. Modélisation des pertes au ruissellement

2.1. Bassins urbains : notion de coefficient de ruissellement

2.1.1. definitions

Le concept de coefficient de ruissellement consiste à supposer qu'à l'échelle d'un

élément de surface réceptrice, voire de la totalité du bassin versant, la pluie nette, ou le

débit ruisselé, peuvent s'exprimer sous la forme d'une fraction C de la pluie brute. Cette

fraction est relative :

- soit aux flux instantanés mis en jeu, et l'on parle alors de coefficient de ruissellement

"instantané" C(t).

- soit aux volumes mis en jeu au cours d'un événement pluvieux, on parle alors de

coefficient "volumétrique" de ruissellement Cv.

Coefficient instantanés

Pour tenir compte des variabilités spatio-temporelles de la pluie et du ruissellement, on

définit ainsi un coefficient instantané local sur un élément de surface :

),,(

),,(1

),,(

),,(),,(

tyxi

tyxp

tyxi

tyxityxC

bb

n −== (15)

et un coefficient de ruissellement global instantané à l'échelle du bassin versant :

∫∫

∫∫==

A

b

A

n

b

n

dAtyxi

dAtyxi

ti

titC

),,(

),,(

)(

)()( (1'6)

Ce coefficient évolue avec le temps au cours de l'événement pluvieux. En effet, dans

certaines zones, en début de pluie, des infiltrations partielles se produisent, infiltrations

qui diminuent au cours du temps (c'est ce que traduit la première équation où p(x,y,t) est

la perte locale au ruissellement)

in(t) représente la pluie nette à l'instant t contribuant à l'écoulement sur le bassin

versant. Cette quantité n'est pas directement accessible et l'on utilise une méthode

indirecte sur la base du débit instantanée Q(t). On suppose alors que ce débit est relié à

l'intensité nette de pluie par une relation de convolution dont la fonction de transfert

caractérise la réponse du bassin versant.

Le coefficient de ruissellement global instantané s'écrit alors :

∫∫=

A

b

A

dAtyxi

tQtC

),,(

)()( (17)

Coefficients volumétriques

à l'échelle d'un élément de surface on a :

Cv(x, y ) = 1- (H / H ) = H Hp b n / b (18)

et à l'échelle d'un bassin versant on a :

CvA=Vr/Vb (19)

Hp : hauteur totale de pertes

Hb : hauteur totale de pluie brute

Hn : hauteur totale de pluie nette

Vb : volume de pluie brute ;

Vr : volume de ruissellement récupéré au cours d'un épisode pluvieux donné.

Les relations entre les coefficients locaux (ou élémentaires) de ruissellement (équations

(15) et (18)), qui pourraient avoir un sens physique (et être localement mesurés), et les

coefficients globaux, à l'échelle d'une unité hydrologique (équations (17) et (19)), ne

sont pas évidentes sans hypothèses particulières. En fait, la formulation des coefficients

CA(t) et CvA , à l'échelle d'une unité hydrologique, est essentiellement conceptuelle, et

repose sur l'hypothèse d'une analogie de comportement entre la parcelle élémentaire et

l'unité hydrologique.

2.1.2. Modélisation à coefficient constant

Nous avons déjà utilisé ce type de modélisation lorsque nous avons parlé des méthodes

globales au chapitre précédent. En particulier, les modèles les plus significatifs font

intervenir le coefficient d'imperméabilisation du bassin et la pente

cbIaCCimp

++=

On trouvera en annexe des documents comparant les coefficients d'écoulements basés

sur des bilans volumétriques et le coefficient d'imperméabilisation. Ces documents

montrent bien la difficulté d'évaluation et la variabilité de ce coefficient

2.1.3. Modélisation à coefficient variable

Ce concept est basé sur une croissance possible (vers une limite supérieure) du

coefficient de ruissellement au cours de l'épisode pluvieux (contribution éventuelle de

surfaces perméables, augmentation de surfaces actives par remplissage progressif de

certaines macro-dépressions des voies d'écoulement) . Les modèles reposant sur l'idée

simple que l'accroissement du coefficient de ruissellement dépend du volume de pluie

tombée ou du volume des pertes.

Par exemple, on peut supposer une croissance exponentielle du type :

C ( t ) = a ( 1 - e )A

- b . t (2 0 )

Le paramètre q est calé à l'aide de mesure de débits à l'exutoire. Ce problème n'est pas

aisé puisque pour le calage, il faut faire intervenir une modélisation du ruissellement. En

effet, la liaison entre le débit à l'instant t à l'exutoire et le ruissellement s'écrit :

)()),()(()(

00

tSPIdALCdQb

t

A

t

−−= ∫∫ τττττ (21)

Lb est la lame d'eau brute et S(t) le stock d'eau sur le bassin (résultant de la pluie

tombée jusqu'à l'instant t mais qui n'est pas encore parvenue à l'exutoire).

2.2. Bassins péri-urbains

L'apport des zones péri-urbaines, en termes de débit de pointe, est le plus souvent

négligeable. Cependant, pour des pluies exceptionnellement forte, ou pour le

dimensionnement d'ouvrage de retenues, le volume de la crue est un paramètre

essentiel. Par rapport au contexte purement urbain, les pertes au ruissellement

reprennent leur caractère aléatoire (fonction de l'antécédent pluviométrique, nature et

saturation des sols, niveau de la nappe …). On revient donc à un problème d'hydrologie

générale le plus souvent assez mal pris en compte dans les logiciels d'assainissement.

Un modèle déterministe consiste à estimer forfaitairement les pertes initiales (2 mm à 16

mm) et à modéliser l'infiltration selon une loi empirique (Horton). Dans ce modèle, la

vitesse d'infiltration f(t) est exprimée sous la forme :

kteffftfCC

−⋅−+= )()(0

(22)

f0 est la vitesse d'infiltration initiale, fc la vitesse d'infiltration limite du sol.

Si ib(t)≤f(t), on considère qu'il n'y a pas de ruissellement. Sinon, on écrit in(t)=ib(t)-f(t). La

difficulté du modèle réside dans l'estimation des paramètres f0 , fc et k.

- fc : ce paramètre dépend de la nature du sol. On admet des valeurs de l'ordre de 15

à 25 mm/h pour des sols sableux, 3 à 15 mm/h pour des sols "lourds", 1 à 3 mm/h

pour des sols très argileux.

- f0 : ce paramètre dépend de l'état de saturation du sol. Sur des sols secs, on a

observé des valeurs variant entre 20 et 100 mm/h. Pour un sol sec, on utilise en

général le modèle de Holtan (f0=4fc). Pour un sol saturé, on prend f0 = fc

- k est souvent exprimé en fonction du temps de saturation TS. Ce temps varierait

entre 12 et 24 h dans le sud de la France , 24 et 48 h dans le nord. Si le temps de

saturation est défini comme le temps nécessaire pour atteindre 90% de la variation

de f(t) (i.e e-kt=0,1) alors pour TS = 12h, k=0,2h-1

3. Modélisation du ruissellement

3.1. Méthode rationnelle modifiée (méthode des courbes isochrones)

3.1.1. Définition

Une courbe isochrone est définie comme l'ensemble des points d'un bassin versant tels

que le temps mis par l'eau pour parcourir le trajet entre le point considéré et l'exutoire

soit égal à une valeur donnée. Ce temps est supposé constant (c'est à dire indépendant

du débit instantané et de son "histoire"). Sous ces hypothèses, on peut subdiviser un

bassin en sous bassins-versant limités par des isochrones.

∆t

∆ t∆ t

∆ t

23

4

5

∆ t

S2

S 1exutoire

figure 7 : exemple de découpage en sous bassins limités par des courbes isochrones

3.1.2. Mise en œuvre

a. Système stationnaire non spatialement distribué

On se fixe un pas de temps ∆t. Cette discrétisation temporelle doit être compatible avec

celle des mesures de précipitation. Le bassin versant est découpé en sous k bassins

d'aire Ak limités par des isochrones séparées d'une durée ∆t.

A partir des courbes isochrones, il est possible de construire un graphe aire/temps : ce

graphe représente l'évolution de la surface théorique contribuant au ruissellement à

l'instant n. ∆t .

∆t ∆t ∆t ∆t ∆t tc

temps

surface

S1

S1+S2

2 3 4 5

St

Figure 8 : Exemple de diagramme aire-temps permettant de calculer la surface contribuant à l'écoulement

à l'exutoire en fonction du temps écoulé depuis le début de la pluie.

Le débit à l'exutoire est donnée par application de la méthode rationnelle: la pluie est

discrétisée en m pas de temps ∆t (m > k car les pluies considérées durent plus

longtemps que le temps de concentration).

Au premier pas de temps (t=1∆t), la pluie nette sur la bassin versant total est in(1. ∆t)

mais seule la surface A1 participe au débit. D'où Q(1.∆t)= in(1. ∆t).A1

Au deuxième pas de temps (t=2.∆t), la pluie nette sur le bassin versant total est in(2. ∆t).

La pluie tombée sur la surface A2 à l''instant (t=1.∆t ) et d'intensité in(1.∆t) arrive

maintenant à l'exutoire. De plus, la surface A1 contribue au débit avec une pluie

d'intensité in(2.∆t). Le débit a l'exutoire est donc Q(2.∆t)= in(1. ∆t).A2+ in(2. ∆t).A1

En généralisant :

�=

−+⋅=m

i

imnAiimQ

1

1)()( . (23)

Cette dernière équation est la forme discrète d'une équation de convolution

∫ −=t

ndtAiQ

0

)()()( ττττ (24)

Le diagramme aire-temps représente la fonction de transfert du système. L'opération de

base dansla méthode consiste en une translation sans amortissement de la pluie nette

vers l'exutoire du bassin

b. Prise en compte d'une distribution spatiale de la pluie et

de pertes au ruissellement

On applique le même raisonnement que ci-dessus:

- on considère un coefficient de ruissellement qui dépend du temps et du bassin

élémentaire C(i,Ak)

- la pluie nette dépend aussi du bassin élémentaire considéré : in(i,Ak)

On obtient alors la relation suivante :

�=

−+−+−+=m

i

imimimnAAiCAiimQ

1

111).,().,()( (25)

3.2. Modèle du réservoir linéaire

a. définition

C'est le modèle le plus connu en hydrologie urbaine.

Le bassin versant est modélisé par un réservoir dont le stock d'eau à l'instant t est S(t)

(m3) . Le débit Q(t) à l'exutoire dépend du stock S(t) et de la pluie nette sur le bassin in(t)

(ou plutôt du débit de pluie nette : Qin(t)=A.in(t) où A est la surface active du bassin

versant .

Q (t)

V (t)

Q (t)e

s

s

figure 9 : modèle du réservoir linéaire

Si on fait un bilan sur le système, on obtient :

Q(t) = K.S(t) qui exprime que le débit à l'exutoire dépend du stockage (ou encore du

ruissellement).

L'équation de continuité donne : )()()(

tQtQdt

tdSin

−= (26)

La résolution de cette équation (par la méthode de Laplace par exemple) donne :

∫ +=−−t

in

K

t

inQdeQ

KtQ

0

)(

)0()(1

)( τττ

(27)

Qin(0) est le débit à l'exutoire à l'instant 0. La fonction

K

t

eK

th

−

= 1)( est la fonction de

transfert du système. On reconnaît là un système du 1er ordre, dont la constante de

temps est K et le gain proportionnel à 1/K

Notons que la réponse est immédiate, c'est à dire qu'une modification de l'entrée (pluie

nette) se traduit instantanément à l'exutoire sur Q(t) (ce qui est évidemment irréaliste:

les temps de transit à l'intérieur du bassin versant sont nuls !) . Cependant, ce modèle

reproduit assez bien certains des aspects du comportement d'un bassin versant

(filtrage, lissage, décalage et amortissement du signal d'entrée).

S(t)

Qin (t)

Q(t)

Pour le modèle linéaire à un bassin, K représente le décalage entre le centre de gravité

du hyétogramme et le centre de gravité de l'hydrogramme. Ce décalage est d'autant

plus important que K est grand. K ne doit pas être confondu avec le temps de

concentration qui est ici infini (h→0 quand t→∞. Ceci veut dire que dans l'équation de

convolution, il y a toujours une contribution à Q(t) même quand t→∞). De plus comme le

montre la figure ci dessous, ce modèle agit comme un filtre passe-bas sur la pluie nette

(amortissement des hautes fréquences). Comme le gain est proportionnel à 1/K, plus la

constante de temps est grande, plus l'hydrogramme est amorti.

t

t

K

Q e

Q s

figure 10 : transformation pluie-débit par le modèle du réservoir linéaire

b. Mise en œuvre pratique

Généralement, on dispose de mesure discrète (en temps) de la pluie nette (et donc du

débit de pluie nette) sur n intervalles de temps ∆t. Au pas de temps i, on peut donc

calculer le débit à l'exutoire par récurrence :

)1()())1(()( / kt

in

K

t

etiQtiQetiQ∆−

∆−

−⋅∆+∆−=∆ (28)

c. Calage du paramètre K

Lorsque l'on dispose de mesures sur un bassin versant, on peut alors caler le paramètre

K à condition de disposer de suffisamment de mesures. La difficulté a consisté à

proposer une formulation de K pour étendre le modèle à des bassins non jaugé.

Desbordes a proposé une formule prenant en compte les caractéristiques du bassin

versant et la pluie. 07.015.021.09.136.018.0 1)1(07.5 −−− += HMLDPCIAK

imp (29)

K : mn

A : ha

I : en %

DP : durée de la pluie intense en mn

L : m

HM1 : auteur de pluie pendant la période intense en mm

Cette formule n'est valable que pour une certaine gamme des paramètre :

0.4 ≤ A ≤5000 ha

0.2 ≤ Cimp ≤ 1.0

110 ≤ L ≤ 17800 m

0.4 ≤ I ≤4.7 %

5 ≤ DP ≤ 180 mn

5 ≤ HM1 ≤ 240 mm

En pratique, on se rend compte que le paramètre K ne conduit pas au meilleur calage

en terme de débits de pointe. Pour pallier ce problème on suggère la correction suivante

: K'=0.7KA0.09

3.3. Cascades de réservoirs

Une extension du modèle précédent considérer N réservoirs en série se déversant les

uns dans les autres (et de même paramètre K). Pour N=2, un raisonnement analogue

au paragraphe précédent permet de montrer que le débit à l'exutoire obéit à l'équation

différentielle :

0)()(22

2

2 =−++ tQtQdt

dQK

dt

dQK

in (30)

dont la solution est :

∫−−+=

t

K

t

ininde

K

ttQ

KQtQ

0

)(1

)0()( ττ τ

(31)

La fonction de transfert du système est :

K

t

eK

t

Kth

−

= 1)( (32)

Ce modèle possède une réponse moins rapide et plus amortie que le modèle à un

réservoir.

La généralisation à N réservoir est assez immédiate (les réservoirs étant en série, il est

facile d'avoir la fonction de transfert dans le plan de Laplace par multiplication des

fonctions de transfert élémentaires). On trouve que :

K

tn

enK

t

Kth

−−

−

=)!1(

11)(

1

(33)

3.4. Autres modèles

Nous reverrons ces modèles dans le chapitre consacré à l'hydraulique dans les

réseaux. Le modèle de Muskingum par exemple opère une combinaison linéaire de

l'entrée et de la sortie : ))()1()(()( tQxtQxKtSe

−+⋅= . Citons aussi le modèle de Meyer qui

introduit un retard T pour temporiser la réponse du bassin versant (Cf TD n°3) ainsi que

les modèles à réservoirs non linéaires (S(t)=KQ(t)n)