Cours 9: Cosmologie 1

Cours 9 : Eveil Cosmologie

Cours 9: Cosmologie 2

Resume du cours d’aujourd’hui

– Introduction a la cosmologie

– L’expansion de l’Univers et la loi de Hubble

– La principe de cosmologie

– La metrique de Robertson-Walker

Cours 9: Cosmologie 3

Qu’est-ce que c’est la cosmologie ?

– La cosmologie est l’etude de l’Univers entier : son histoire, son

evolution, sa composition, et ses dynamiques.

– Une question principale est de comprendre la structure de

l’Univers a les plus grandes echelles.

– La relativite generale est essentiel pour la cosmologie.

Cours 9: Cosmologie 4

Unite naturelle

– Dans la relativite generale, c’est commode d’utiliser les unite

avec lequel c = 1 et G = 1. Ca implique que

1 =G

c2= 7, 425× 10−28m kg−1

– Et la masse est exprime avec les unites de [m]. Par exemple, le

soleil a une masse de :

M� ≈ 2× 1030 kg = 1500 m

Cours 9: Cosmologie 5

Quand sont les effets de relativite

generale importants ?

– En gros, la theorie de gravite de Newton marche a une bonne

approximation quandM

R� 1

– Pour le soleil,

M�R

=1, 5× 103m

7× 108m≈ 2× 10−6 � 1

– Pour la voie lactee,

M

R≈ M� × 1011

15kpc=

1, 5× 103m× 1011

15× 103 × 3× 1016m≈ 3× 10−7

– Meme pour les amas de galaxies (une association de plus d’une

Cours 9: Cosmologie 6

centaine de galaxies liees entre elles par la gravitation) avec

R ∼Mpc,M

R≈ 10−4

– Sur les plus grande echelle, superieur de 10 Mpc, la densite est

presque constante, ρ ≈ 10−26kg m−3, et donc pour R = 6 Gpc,

M

R=

43πR

3ρ

R=

(ρ4π

3

)R2 ≈ 1

Cours 9: Cosmologie 7

L’Univers est simple !

– Pour les echelles superieurs d’environ 10 Mpc :

– L’Univers est homogene. Par exemple, le nombre de galaxies

par unite de volume, les types de galaxies, leurs chemie.

– L’Univers est isotrope. Par exemple, la temperature du

rayonnement de fond cosmologique (CMB) depend tres

faiblement de la direction d’observation dans le ciel :

2, 725. . . K ± 10−5 K. Le CMB est le nom donne au

rayonnement electromagnetique issu de l’epoque dense et

chaude a peu pres 400.000 ans apres le Big Bang.

– L’expansion de l’Univers est uniforme. On voit les galaxies

s’eloigner les unes des autres. Mais cet ecartement mutuel, que

l’on pourrait prendre pour un mouvement des galaxies dans

l’espace, s’interprete en realite par un gonflement de l’espace

Cours 9: Cosmologie 8

lui-meme.

– Cet observation nous mene au principe cosmologique. Nous

extrapolons que l’Univers est, a une tres bonne approximation,

homogene et isotrope partout.

Cours 9: Cosmologie 9

L’expantion de l’Univers

– C’etait prevu en 1927 a partir de la relativite generale par

Georges Lemaıtre (pretre belge).

– C’etait observe en 1929 par Edwin Hubble. Il a remarque que

toutes les galaxies s’eloigner de nous et que la vitesse de recul v

est lineaire par rapport de distance d’ecartement r :

v = H0r H0 ≈ 70 km s−1/Mpc.

– Maintenent nous comprenons cette vitesse apparant comme un

gonflement de l’espace lui-meme. C’est l’espace entre les galaxies,

pas la taille des galaxies elles-meme, qui gonfle. Nous parlons de

la vitesse de Hubble d’une galaxie pour la vitesse apparant d’une

galaxie en cause de l’expansion de l’Univers.

– La relation ne marche pas parfaitement parce que les galaxies ont

Cours 9: Cosmologie 10

une vitesse particuliere typiquement au maximum 100 km/s.

Donc il faut avoir les observations des galaxies plus loin que

plusieurs Mpc (r � 1 Mpc) tel que la vitesse de Hubble est

superieur a la vitesse particuliere.

Cours 9: Cosmologie 11

La metrique de l’Univers homogene et

isotrope partout : feuilletage de

l’espace-temps

– Nous allons jusifier la metrique de Friedmann-Robertson-Walker

ds2 = c2dt2 − a2(t)

(1

1− kr2dr2 + r2dθ2 + r2 sin2θdφ2

). (1)

dans les coordonnees standards ou t est le temps cosmologique,

et {r, θ, φ} sont les coordonnees spatial avec r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ π et

0 ≤ π ≤ 2π. Le parametre k est la courbure et prend une valeur

discret : k = {0,+1,−1}. Nous allons faire un argument physique

que les coordonnees sont « comobile ».

– Rappelez-vous que la notion de simultaneite n’est pas

independent de referentiel. De plus, il n’y a pas un referentiel

Cours 9: Cosmologie 12

inertiel global dans le RG. Donc c’est subtile de definer un

instant de temps.

– Nous faisons un feuilletage de l’espace-temps, definant des

hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle. Nous faisons

l’approximation que c’est possible de faire le feuilletage tel que

chaque hypersurface ou tranche est isotrope et homogene.

– Avec cet approximation, le moyen des positions de tous les

galaxies dans un volume de 10 Mpc× 10 Mpc× 10 Mpc a les

coordinees stationaires, xi =constant.

– Nous choisissons la coordonee temporelle, t = τ , le temps propre

d’une horloge qui se deplace avec les positions stationaires :

dτ = dt.

– La partie spatiale de la metrique donne la distance propre (ou la

« distance physique ») carre entre deux points separe par dxi a

un instant de temps t0 :

dl2(t0) = gij(t0)dxidxj

Cours 9: Cosmologie 13

– L’expantion de l’Univers exige que dl2 augmente avec le temps.

dl2(t0) < dl2(t1) = gij(t1)dxidxj , t1 > t0

= a2(t1)gij(t0)dxidxj (2)

ou a(t) est un facteur d’echelle.

– Et pour la metrique quadridimensionelle, en generale on aurait

ds2(t) = c2dt2 + g0i dtdxi + a2(t)gij(t0)dxidxj

Remarquez-vous que g00 = c2 parce que ds2 = c2dτ2 quand

dxi = 0. Supposons que g02 > 0. Ca veux dire que la direction dy

c’est differente que celle de −dy. Donc nous devrions choisir les

~et · ~ey = 0 et le meme pour x et z. C’est a dire ~et · ~ei = 0, et

g0i = 0 et :

ds2(t) = c2dt2 + a2(t)gij(t0)dxidxj (3)

– Les hypersurfaces du genre espace tridimensionnelle devraient

Cours 9: Cosmologie 14

etre isotrope. Ca veut dire que chaque point a la geometrie d’un

point sur la surface d’une sphere avec le centre a l’origine de

notre systeme de coordonnees. Ce critere exige que :

dl2(t0) = gij(t0)dxidxj = grr(r, t0)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

Mais n’importe quel point peut etre l’origine de notre systeme de

coordonnees. Et notre condition d’isotrope ici est beaucoup plus

restrictive que dans le cas d’un trou noir (le cas pour lequel il y a

un seul centre de symetrie.)

– La courbure d’espace-temps est decrit par un teneur qui s’appele

le tenseur de Ricci. Il est une fonction des symboles de

Christoffel. Le scalaire de Ricci R est la contraction du tenseur

de Ricci :

R = Rii (4)

– Et donc, de plus, nous exigeons que le scalaire de Ricci,

Cours 9: Cosmologie 15

Ri i = constant. Pour la metrique

dl2(t0) = B(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

nous trouvons le tenseur de Ricci (spatial) :

R11 = −B′

rB

R22 =1

B− 1− rB′

2B2

R33 = sin2 θR22 (5)

Cours 9: Cosmologie 16

– Le scalaire de Ricci (spatial), Ri i nous donne

R = gijRji = B−1R11 + r−2R22 + r−2 sin−2 θR33

= −B−1 B′

rB+ 2r−2

(1

B− 1− rB′

2B2

)=

2

r2B− 2

r2− 2

B′

rB2

=2

r2

(d

dr

( rB

)− 1

)(6)

– Pour que l’espace-temps est homogene, nous devons resoudre

R = κ =2

r2

(d

dr

( rB

)− 1

)ou κ est une constante.

Cours 9: Cosmologie 17

– C’est tres facile d’integrer∫(1 +

r2κ

2)dr =

∫d( rB

)⇒

B =1

1 + r2κ/6 + C/r(7)

ou C est une constante d’integration.

– On obtient

R11 =2κr − 6C/r2

κr3 + 6r + 6C(8)

– Mais proche d’origine, r → 0, nous voulons que l’espace-temps

reste non singulaire (Rij reste finie). Ca donne C = 0 et

B =1

1 + r2κ/6=

1

1− r2k

Cours 9: Cosmologie 18

ou k est la courbure de l’espace et

dl2(t0) =

(1

1− r2k

)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

– Nous le remplacons dans (3). Donc nous avons la metrique de

Friedmann-Robertson-Walker (FRW) :

ds2(t) = c2dt2 − a2(t)gij(t0)dxidxj

= c2dt2 − a2(t)

[(1

1− r2k

)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2

](9)

– Il reste de demontrer que l’espace-temps de FRW est homogene

et isotrope partout. Vendredi nous considerons les trois cas

k = 0, k > 0, k < 0.

Cours 9: Cosmologie 19

Equations dynamique de l’Univers

– Pour decrire expansion de l’Univers nous avons besoin des

equations d’Einstein. La partie droite est le tenseur

d’energie-impulsion d’un fluid parfait :

8πTαβ = 8π[(ρ+ p/c2)UαUβ + gαβp

]ou p est la pression et ρ est la densite de masse est energie

relativiste, et Uα est la quadrivitesse du fluide.

– La partie gauche des equations d’Einstein, Gαβ , est la meme sort

de calcul que nous avons fait pour obtenir Rαβ pour la metrique

de Schwarzschild mais ici nous devons, bien sur, utiliser la

metrique de FRW.

– Vous avez trois possibilite pour trouver les symbole de

Christoffel : (1) la methode nous avons utilise pour la metrique

Cours 9: Cosmologie 20

de Schwarzschild (2) une logiciel comme Maple avec le package

tensor, (3) la methode suivant.

– On fait la correspondance entre les equations des geodesique a

partir de les symboles de Christoffel,

0 =d2

dτ2xα + Γαµν

∂xµ

∂τ

∂xν

∂τ= xα + Γαµν x

µxν (10)

et les equations des geodesique a partir des equations

d’Euler-Lagrange :

d

dτ

(∂L

∂xα

)− ∂L

∂xα= 0 (11)

ou

L = gαβ xαxβ

Cours 9: Cosmologie 21

– Le tenseur d’Einstein devient simplement :

G00 =3

a2(t)

(a′2 + k

)g00

Gij =

[2

a(t)a′′ +

1

a2(t)

(a′2 + k

)]gij (12)

Cours 9: Cosmologie 22

References